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Theorem liminflelimsuplem 44478
Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflelimsuplem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
liminflelimsuplem.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ (π‘˜[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
Assertion
Ref Expression
liminflelimsuplem (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜   πœ‘,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝑉(𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem liminflelimsuplem
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ 𝑙 ∈ ℝ)
2 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
31, 2ifcld 4574 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ)
43adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ)
5 liminflelimsuplem.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ (π‘˜[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
65ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ (π‘˜[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
7 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) β†’ (π‘˜[,)+∞) = (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞))
87rexeqdv 3327 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (π‘˜[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘— ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…))
98rspcva 3611 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ (π‘˜[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
104, 6, 9syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
11 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*
12 infxrcl 13309 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ* β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*
16 infxrcl 13309 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ* β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*
20 supxrcl 13291 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ* β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
23 rexr 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℝ β†’ 𝑖 ∈ ℝ*)
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ*)
25 pnfxr 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
273rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ*)
2827adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ*)
29 icossxr 13406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞) βŠ† ℝ*
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞) β†’ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞))
3129, 30sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
3231adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
33 max1 13161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ 𝑖 ≀ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖))
3433adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑖 ≀ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖))
35 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞))
3628, 26, 35icogelbd 44258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ≀ 𝑗)
3724, 28, 32, 34, 36xrletrd 13138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑖 ≀ 𝑗)
3824, 26, 37icossico2 44264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ (𝑗[,)+∞) βŠ† (𝑖[,)+∞))
3938imass2d 43953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ (𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)))
4039ssrind 4235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*)
42 infxrss 13315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4340, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4443adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
45 supxrcl 13291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ* β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4615, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4815a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*)
49 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
5048, 49infxrlesupxr 44133 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
51 rexr 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 ∈ ℝ β†’ 𝑙 ∈ ℝ*)
5251ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑙 ∈ ℝ*)
53 max2 13163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ 𝑙 ≀ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖))
5453adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑙 ≀ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖))
5552, 28, 32, 54, 36xrletrd 13138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑙 ≀ 𝑗)
5652, 26, 55icossico2 44264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ (𝑗[,)+∞) βŠ† (𝑙[,)+∞))
5756imass2d 43953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ (𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)))
5857ssrind 4235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*))
5919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*)
60 supxrss 13308 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6158, 59, 60syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6261adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6318, 47, 22, 50, 62xrletrd 13138 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6414, 18, 22, 44, 63xrletrd 13138 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6564ad5ant2345 1371 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6665rexlimdva2 3158 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ… β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
6710, 66mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6867ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘™ ∈ ℝ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
69 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘™πœ‘
70 xrltso 13117 . . . . . . . . . . 11 < Or ℝ*
7170supex 9455 . . . . . . . . . 10 sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
73 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑦 = sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) β†’ (inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦 ↔ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
7469, 72, 73ralrnmpt3 43950 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘™ ∈ ℝ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
7574adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘™ ∈ ℝ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
7668, 75mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦)
77 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑖 β†’ (𝑙[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
7877imaeq2d 6058 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑖 β†’ (𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)))
7978ineq1d 4211 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑖 β†’ ((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
8079supeq1d 9438 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑖 β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8180cbvmptv 5261 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8281rneqi 5935 . . . . . . . 8 ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8382raleqi 3324 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦)
8483a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦))
8576, 84mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦)
86 supxrcl 13291 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ* β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8711, 86ax-mp 5 . . . . . . . . 9 sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
8887rgenw 3066 . . . . . . . 8 βˆ€π‘– ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
89 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
9089rnmptss 7119 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘– ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ* β†’ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) βŠ† ℝ*)
9188, 90ax-mp 5 . . . . . . 7 ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) βŠ† ℝ*
9291a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) βŠ† ℝ*)
9313a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
94 infxrgelb 13311 . . . . . 6 ((ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) βŠ† ℝ* ∧ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) β†’ (inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦))
9592, 93, 94syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ (inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦))
9685, 95mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
9796ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ ℝ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
98 nfv 1918 . . . 4 β„²π‘–πœ‘
99 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑖ℝ
100 nfmpt1 5256 . . . . . 6 Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
101100nfrn 5950 . . . . 5 Ⅎ𝑖ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
102 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑖ℝ*
103 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑖 <
104101, 102, 103nfinf 9474 . . . 4 Ⅎ𝑖inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
105 infxrcl 13309 . . . . . 6 (ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) βŠ† ℝ* β†’ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10691, 105ax-mp 5 . . . . 5 inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
107106a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10898, 99, 104, 93, 107supxrleubrnmptf 44148 . . 3 (πœ‘ β†’ (sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘– ∈ ℝ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
10997, 108mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
110 liminflelimsuplem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
111 eqid 2733 . . . 4 (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
112110, 111liminfvald 44467 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
113110, 89limsupvald 44458 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
114112, 113breq12d 5161 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
115109, 114mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  supcsup 9432  infcinf 9433  β„cr 11106  +∞cpnf 11242  β„*cxr 11244   < clt 11245   ≀ cle 11246  [,)cico 13323  lim supclsp 15411  lim infclsi 44454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-ico 13327  df-limsup 15412  df-liminf 44455
This theorem is referenced by:  liminflelimsup  44479
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