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Theorem liminflelimsuplem 43948
Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflelimsuplem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
liminflelimsuplem.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ (π‘˜[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
Assertion
Ref Expression
liminflelimsuplem (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜   πœ‘,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝑉(𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem liminflelimsuplem
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ 𝑙 ∈ ℝ)
2 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
31, 2ifcld 4530 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ)
43adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ)
5 liminflelimsuplem.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ (π‘˜[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
65ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ (π‘˜[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
7 oveq1 7360 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) β†’ (π‘˜[,)+∞) = (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞))
87rexeqdv 3312 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (π‘˜[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘— ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…))
98rspcva 3577 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ (π‘˜[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
104, 6, 9syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
11 inss2 4187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*
12 infxrcl 13244 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ* β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15 inss2 4187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*
16 infxrcl 13244 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ* β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19 inss2 4187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*
20 supxrcl 13226 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ* β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
23 rexr 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℝ β†’ 𝑖 ∈ ℝ*)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ*)
25 pnfxr 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
273rexrd 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ*)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ*)
29 icossxr 13341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞) βŠ† ℝ*
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞) β†’ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞))
3129, 30sselid 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
33 max1 13096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ 𝑖 ≀ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖))
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑖 ≀ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖))
35 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞))
3628, 26, 35icogelbd 43728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ≀ 𝑗)
3724, 28, 32, 34, 36xrletrd 13073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑖 ≀ 𝑗)
3824, 26, 37icossico2 43734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ (𝑗[,)+∞) βŠ† (𝑖[,)+∞))
3938imass2d 43427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ (𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)))
4039ssrind 4193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*)
42 infxrss 13250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4340, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
45 supxrcl 13226 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ* β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4615, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4815a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*)
49 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…)
5048, 49infxrlesupxr 43607 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
51 rexr 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 ∈ ℝ β†’ 𝑙 ∈ ℝ*)
5251ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑙 ∈ ℝ*)
53 max2 13098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ 𝑙 ≀ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖))
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑙 ≀ if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖))
5552, 28, 32, 54, 36xrletrd 13073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ 𝑙 ≀ 𝑗)
5652, 26, 55icossico2 43734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ (𝑗[,)+∞) βŠ† (𝑙[,)+∞))
5756imass2d 43427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ (𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)))
5857ssrind 4193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*))
5919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ ((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*)
60 supxrss 13243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ*) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6158, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6318, 47, 22, 50, 62xrletrd 13073 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6414, 18, 22, 44, 63xrletrd 13073 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6564ad5ant2345 1370 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ…) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6665rexlimdva2 3152 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (if(𝑖 ≀ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 β€œ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) β‰  βˆ… β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
6710, 66mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6867ralrimiva 3141 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘™ ∈ ℝ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
69 nfv 1917 . . . . . . . . 9 β„²π‘™πœ‘
70 xrltso 13052 . . . . . . . . . . 11 < Or ℝ*
7170supex 9395 . . . . . . . . . 10 sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
73 breq2 5107 . . . . . . . . 9 (𝑦 = sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) β†’ (inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦 ↔ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
7469, 72, 73ralrnmpt3 43423 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘™ ∈ ℝ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
7574adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘™ ∈ ℝ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
7668, 75mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦)
77 oveq1 7360 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑖 β†’ (𝑙[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
7877imaeq2d 6011 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑖 β†’ (𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)))
7978ineq1d 4169 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑖 β†’ ((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
8079supeq1d 9378 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑖 β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8180cbvmptv 5216 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8281rneqi 5890 . . . . . . . 8 ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8382raleqi 3309 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦)
8483a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦))
8576, 84mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦)
86 supxrcl 13226 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) βŠ† ℝ* β†’ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8711, 86ax-mp 5 . . . . . . . . 9 sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
8887rgenw 3066 . . . . . . . 8 βˆ€π‘– ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
89 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
9089rnmptss 7066 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘– ∈ ℝ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ* β†’ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) βŠ† ℝ*)
9188, 90ax-mp 5 . . . . . . 7 ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) βŠ† ℝ*
9291a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) βŠ† ℝ*)
9313a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
94 infxrgelb 13246 . . . . . 6 ((ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) βŠ† ℝ* ∧ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) β†’ (inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦))
9592, 93, 94syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ (inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ 𝑦))
9685, 95mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) β†’ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
9796ralrimiva 3141 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ ℝ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
98 nfv 1917 . . . 4 β„²π‘–πœ‘
99 nfcv 2905 . . . 4 Ⅎ𝑖ℝ
100 nfmpt1 5211 . . . . . 6 Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
101100nfrn 5905 . . . . 5 Ⅎ𝑖ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
102 nfcv 2905 . . . . 5 Ⅎ𝑖ℝ*
103 nfcv 2905 . . . . 5 Ⅎ𝑖 <
104101, 102, 103nfinf 9414 . . . 4 Ⅎ𝑖inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
105 infxrcl 13244 . . . . . 6 (ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) βŠ† ℝ* β†’ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10691, 105ax-mp 5 . . . . 5 inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
107106a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10898, 99, 104, 93, 107supxrleubrnmptf 43622 . . 3 (πœ‘ β†’ (sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘– ∈ ℝ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
10997, 108mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
110 liminflelimsuplem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
111 eqid 2736 . . . 4 (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
112110, 111liminfvald 43937 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
113110, 89limsupvald 43928 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
114112, 113breq12d 5116 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ) ↔ sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≀ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 β€œ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
115109, 114mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) ≀ (lim supβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3443   ∩ cin 3907   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280  ifcif 4484   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5632   β€œ cima 5634  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7353  supcsup 9372  infcinf 9373  β„cr 11046  +∞cpnf 11182  β„*cxr 11184   < clt 11185   ≀ cle 11186  [,)cico 13258  lim supclsp 15344  lim infclsi 43924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-ico 13262  df-limsup 15345  df-liminf 43925
This theorem is referenced by:  liminflelimsup  43949
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