Theorem liminflelimsuplem 45780

Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminflelimsuplem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
liminflelimsuplem.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
liminflelimsuplem	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝜑,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminflelimsuplem

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 4204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
2		infxrcl 13301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5		inss2 4204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
6		infxrcl 13301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9		inss2 4204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
10	9	supxrcli 45437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12		rexr 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → 𝑖 ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑖 ∈ ℝ*)
14		pnfxr 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑙 ∈ ℝ)
17		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
18	16, 17	ifcld 4538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ*)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ*)
21		icossxr 13400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞) ⊆ ℝ*
22	21	sseli 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞) → 𝑗 ∈ ℝ*)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑗 ∈ ℝ*)
24		max1 13152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑖 ≤ if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖))
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞))
27	20, 15, 26	icogelbd 13365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ≤ 𝑗)
28	13, 20, 23, 25, 27	xrletrd 13129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑖 ≤ 𝑗)
29	13, 15, 28	icossico2d 13389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → (𝑗[,)+∞) ⊆ (𝑖[,)+∞))
30	29	imass2d 45262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)))
31	30	ssrind 4210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
32		infxrss 13307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
33	31, 1, 32	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
35	5	supxrcli 45437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
37	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
39	37, 38	infxrlesupxr 45439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
40		rexr 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 ∈ ℝ → 𝑙 ∈ ℝ*)
41	40	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑙 ∈ ℝ*)
42		max2 13154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑙 ≤ if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑙 ≤ if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖))
44	41, 20, 23, 43, 27	xrletrd 13129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑙 ≤ 𝑗)
45	41, 15, 44	icossico2d 13389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → (𝑗[,)+∞) ⊆ (𝑙[,)+∞))
46	45	imass2d 45262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑙[,)+∞)))
47	46	ssrind 4210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*))
48	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
49	47, 48	xrsupssd 13300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
51	8, 36, 11, 39, 50	xrletrd 13129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
52	4, 8, 11, 34, 51	xrletrd 13129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
53	52	ad5ant2345 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖) → (𝑘[,)+∞) = (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞))
55	54	rexeqdv 3302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖) → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
56		liminflelimsuplem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
57	56	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
58	18	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ)
59	55, 57, 58	rspcdva 3592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ (if(𝑖 ≤ 𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
60	53, 59	r19.29a 3142	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
61	60	ralrimiva 3126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → ∀𝑙 ∈ ℝ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
62		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑙𝜑
63		xrltso 13108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < Or ℝ*
64	63	supex 9422	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
66		breq2 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) → (inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
67	62, 65, 66	ralrnmpt3 45260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑙 ∈ ℝ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
68	67	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑙 ∈ ℝ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
69	61, 68	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
70		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑙[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
71	70	imaeq2d 6034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)))
72	71	ineq1d 4185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
73	72	supeq1d 9404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
74	73	cbvmptv 5214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
75	74	rneqi 5904	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
76	75	raleqi 3299	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
77	69, 76	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
78	1	supxrcli 45437	. . . . . . . . 9 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
79	78	rgenw 3049	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
80		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
81	80	rnmptss 7098	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ* → ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*
83	82	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*)
84		infxrgelb 13303	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ* ∧ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦))
85	83, 3, 84	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦))
86	77, 85	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
87	86	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℝ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
88		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
89		nfcv 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖ℝ
90		nfmpt1 5209	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
91	90	nfrn 5919	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
92		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖ℝ*
93		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖 <
94	91, 92, 93	nfinf 9441	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
95	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
96		infxrcl 13301	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ* → inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
97	82, 96	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
98	97	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
99	88, 89, 94, 95, 98	supxrleubrnmptf 45454	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
100	87, 99	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
101		liminflelimsuplem.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
102		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
103	101, 102	liminfvald 45769	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
104	101, 80	limsupvald 45760	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
105	100, 103, 104	3brtr4d 5142	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ran crn 5642   “ cima 5644  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  supcsup 9398  infcinf 9399  ℝcr 11074  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  [,)cico 13315  lim supclsp 15443  lim infclsi 45756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-ico 13319  df-limsup 15444  df-liminf 45757

This theorem is referenced by:  liminflelimsup  45781