Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminflelimsuplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminflelimsuplem 44006
Description: The superior limit is greater than or equal to the inferior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminflelimsuplem.1 (𝜑𝐹𝑉)
liminflelimsuplem.2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
liminflelimsuplem (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘   𝜑,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑉(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminflelimsuplem
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑙 ∈ ℝ)
2 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑖 ∈ ℝ)
31, 2ifcld 4532 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ)
43adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ)
5 liminflelimsuplem.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
65ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
7 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) → (𝑘[,)+∞) = (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞))
87rexeqdv 3314 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) → (∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅))
98rspcva 3579 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
104, 6, 9syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
11 inss2 4189 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
12 infxrcl 13252 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15 inss2 4189 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
16 infxrcl 13252 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19 inss2 4189 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
20 supxrcl 13234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
23 rexr 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℝ → 𝑖 ∈ ℝ*)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑖 ∈ ℝ*)
25 pnfxr 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
273rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ*)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) ∈ ℝ*)
29 icossxr 13349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞) ⊆ ℝ*
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞) → 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞))
3129, 30sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞) → 𝑗 ∈ ℝ*)
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑗 ∈ ℝ*)
33 max1 13104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑖 ≤ if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖))
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑖 ≤ if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖))
35 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞))
3628, 26, 35icogelbd 43786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖) ≤ 𝑗)
3724, 28, 32, 34, 36xrletrd 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑖𝑗)
3824, 26, 37icossico2 43792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → (𝑗[,)+∞) ⊆ (𝑖[,)+∞))
3938imass2d 43480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)))
4039ssrind 4195 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
42 infxrss 13258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4340, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
45 supxrcl 13234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4615, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4815a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
49 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
5048, 49infxrlesupxr 43661 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
51 rexr 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 ∈ ℝ → 𝑙 ∈ ℝ*)
5251ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑙 ∈ ℝ*)
53 max2 13106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑙 ≤ if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖))
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑙 ≤ if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖))
5552, 28, 32, 54, 36xrletrd 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → 𝑙𝑗)
5652, 26, 55icossico2 43792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → (𝑗[,)+∞) ⊆ (𝑙[,)+∞))
5756imass2d 43480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → (𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑙[,)+∞)))
5857ssrind 4195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*))
5919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
60 supxrss 13251 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*) → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6158, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → sup(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6318, 47, 22, 50, 62xrletrd 13081 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6414, 18, 22, 44, 63xrletrd 13081 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6564ad5ant2345 1370 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)) ∧ ((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6665rexlimdva2 3154 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (if(𝑖𝑙, 𝑙, 𝑖)[,)+∞)((𝐹 “ (𝑗[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅ → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
6710, 66mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
6867ralrimiva 3143 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → ∀𝑙 ∈ ℝ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
69 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑙𝜑
70 xrltso 13060 . . . . . . . . . . 11 < Or ℝ*
7170supex 9399 . . . . . . . . . 10 sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑙 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
73 breq2 5109 . . . . . . . . 9 (𝑦 = sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) → (inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
7469, 72, 73ralrnmpt3 43477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑙 ∈ ℝ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
7574adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑙 ∈ ℝ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
7668, 75mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
77 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑖 → (𝑙[,)+∞) = (𝑖[,)+∞))
7877imaeq2d 6013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑖 → (𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑖[,)+∞)))
7978ineq1d 4171 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑖 → ((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*))
8079supeq1d 9382 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑖 → sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8180cbvmptv 5218 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8281rneqi 5892 . . . . . . . 8 ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8382raleqi 3311 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
8483a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ran (𝑙 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑙[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦))
8576, 84mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
86 supxrcl 13234 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8711, 86ax-mp 5 . . . . . . . . 9 sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
8887rgenw 3068 . . . . . . . 8 𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
89 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
9089rnmptss 7070 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ ℝ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ* → ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*)
9188, 90ax-mp 5 . . . . . . 7 ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*
9291a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*)
9313a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
94 infxrgelb 13254 . . . . . 6 ((ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ* ∧ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦))
9592, 93, 94syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → (inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑦))
9685, 95mpbird 256 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
9796ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℝ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
98 nfv 1917 . . . 4 𝑖𝜑
99 nfcv 2907 . . . 4 𝑖
100 nfmpt1 5213 . . . . . 6 𝑖(𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
101100nfrn 5907 . . . . 5 𝑖ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
102 nfcv 2907 . . . . 5 𝑖*
103 nfcv 2907 . . . . 5 𝑖 <
104101, 102, 103nfinf 9418 . . . 4 𝑖inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
105 infxrcl 13252 . . . . . 6 (ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ* → inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10691, 105ax-mp 5 . . . . 5 inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
107106a1i 11 . . . 4 (𝜑 → inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10898, 99, 104, 93, 107supxrleubrnmptf 43676 . . 3 (𝜑 → (sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
10997, 108mpbird 256 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
110 liminflelimsuplem.1 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
111 eqid 2736 . . . 4 (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
112110, 111liminfvald 43995 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
113110, 89limsupvald 43986 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
114112, 113breq12d 5118 . 2 (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ sup(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
115109, 114mpbird 256 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) ≤ (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  cima 5636  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  infcinf 9377  cr 11050  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  [,)cico 13266  lim supclsp 15352  lim infclsi 43982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-ico 13270  df-limsup 15353  df-liminf 43983
This theorem is referenced by:  liminflelimsup  44007
  Copyright terms: Public domain W3C validator