MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgass2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgass2 20208
Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mulgass2.m ยท = (.gโ€˜๐‘…)
mulgass2.t ร— = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mulgass2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))

Proof of Theorem mulgass2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
21oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
3 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
42, 3eqeq12d 2742 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
5 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
65oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
7 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
86, 7eqeq12d 2742 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
9 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹))
109oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
11 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
1210, 11eqeq12d 2742 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
13 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
1413oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
15 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
1614, 15eqeq12d 2742 . . . . 5 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
17 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
1817oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
19 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
2018, 19eqeq12d 2742 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
21 mulgass2.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
22 mulgass2.t . . . . . . . 8 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
23 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
2421, 22, 23ringlz 20192 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ร— ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…))
25243adant3 1129 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ร— ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…))
26 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
27 mulgass2.m . . . . . . . . 9 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
2821, 23, 27mulg0 19002 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
2926, 28syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
3029oveq1d 7420 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((0gโ€˜๐‘…) ร— ๐‘Œ))
3121, 22ringcl 20155 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
32313com23 1123 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
3321, 23, 27mulg0 19002 . . . . . . 7 ((๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…))
3525, 30, 343eqtr4d 2776 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
36 oveq1 7412 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
37 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
38 ringgrp 20143 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
40 nn0z 12587 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
4140adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
4226adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
43 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
4421, 27, 43mulgp1 19034 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹))
4539, 41, 42, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹))
4645oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
47383ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
4921, 27mulgcl 19018 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
5048, 41, 42, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
51 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
5221, 43, 22ringdir 20164 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5337, 50, 42, 51, 52syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5446, 53eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5532adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
5621, 27, 43mulgp1 19034 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5739, 41, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5854, 57eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
5936, 58imbitrrid 245 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
6059ex 412 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
61 fveq2 6885 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
6247adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
63 nnz 12583 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
6526adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
66 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (invgโ€˜๐‘…) = (invgโ€˜๐‘…)
6721, 27, 66mulgneg 19019 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
6862, 64, 65, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
6968oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) ร— ๐‘Œ))
70 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
7162, 64, 65, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
72 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
7321, 22, 66, 70, 71, 72ringmneg1 20203 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) ร— ๐‘Œ) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)))
7469, 73eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)))
7532adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
7621, 27, 66mulgneg 19019 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
7762, 64, 75, 76syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
7874, 77eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
7961, 78imbitrrid 245 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
8079ex 412 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
814, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80zindd 12667 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
82813exp 1116 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))))
8382com24 95 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))))
84833imp2 1346 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  -cneg 11449  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  .gcmg 18995  Ringcrg 20138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140
This theorem is referenced by:  mulgass3  20255  mulgrhm  21364  dvdschrmulg  21419  zlmassa  21797  isarchiofld  32938  elrspunidl  33052
  Copyright terms: Public domain W3C validator