MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgass2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgass2 20247
Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mulgass2.m ยท = (.gโ€˜๐‘…)
mulgass2.t ร— = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mulgass2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))

Proof of Theorem mulgass2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
21oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
3 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
42, 3eqeq12d 2741 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
5 oveq1 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
65oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
7 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
86, 7eqeq12d 2741 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
9 oveq1 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹))
109oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
11 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
1210, 11eqeq12d 2741 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
13 oveq1 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
1413oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
15 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
1614, 15eqeq12d 2741 . . . . 5 (๐‘ฅ = -๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
17 oveq1 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
1817oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
19 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
2018, 19eqeq12d 2741 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
21 mulgass2.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
22 mulgass2.t . . . . . . . 8 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
23 eqid 2725 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
2421, 22, 23ringlz 20231 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ร— ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…))
25243adant3 1129 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ร— ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…))
26 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
27 mulgass2.m . . . . . . . . 9 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
2821, 23, 27mulg0 19032 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
2926, 28syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
3029oveq1d 7429 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((0gโ€˜๐‘…) ร— ๐‘Œ))
3121, 22ringcl 20192 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
32313com23 1123 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
3321, 23, 27mulg0 19032 . . . . . . 7 ((๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…))
3525, 30, 343eqtr4d 2775 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0 ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (0 ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
36 oveq1 7421 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
37 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
38 ringgrp 20180 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
40 nn0z 12611 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
4140adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
4226adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
43 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
4421, 27, 43mulgp1 19064 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹))
4539, 41, 42, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹))
4645oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) ร— ๐‘Œ))
47383ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
4847adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
4921, 27mulgcl 19048 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
5048, 41, 42, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
51 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
5221, 43, 22ringdir 20203 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5337, 50, 42, 51, 52syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5446, 53eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5532adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
5621, 27, 43mulgp1 19064 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5739, 41, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
5854, 57eqeq12d 2741 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
5936, 58imbitrrid 245 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
6059ex 411 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘ฆ + 1) ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((๐‘ฆ + 1) ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
61 fveq2 6890 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
6247adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
63 nnz 12607 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
6463adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
6526adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
66 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (invgโ€˜๐‘…) = (invgโ€˜๐‘…)
6721, 27, 66mulgneg 19049 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
6862, 64, 65, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)))
6968oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) ร— ๐‘Œ))
70 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
7162, 64, 65, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
72 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
7321, 22, 66, 70, 71, 72ringmneg1 20242 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท ๐‘‹)) ร— ๐‘Œ) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)))
7469, 73eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)))
7532adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
7621, 27, 66mulgneg 19049 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
7762, 64, 75, 76syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
7874, 77eqeq12d 2741 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†” ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
7961, 78imbitrrid 245 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
8079ex 411 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (-๐‘ฆ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))))
814, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80zindd 12691 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
82813exp 1116 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))))
8382com24 95 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))))
84833imp2 1346 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139  -cneg 11473  โ„•cn 12240  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  .rcmulr 17231  0gc0g 17418  Grpcgrp 18892  invgcminusg 18893  .gcmg 19025  Ringcrg 20175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-seq 13997  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-mulg 19026  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177
This theorem is referenced by:  mulgass3  20294  mulgrhm  21405  dvdschrmulg  21460  zlmassa  21838  psdmul  22096  isarchiofld  33052  elrspunidl  33165
  Copyright terms: Public domain W3C validator