MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgass2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgass2 20025
Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mulgass2.m · = (.g𝑅)
mulgass2.t × = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
mulgass2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem mulgass2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
21oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((0 · 𝑋) × 𝑌))
3 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (0 · (𝑋 × 𝑌)))
42, 3eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((0 · 𝑋) × 𝑌) = (0 · (𝑋 × 𝑌))))
5 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
65oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 · 𝑋) × 𝑌))
7 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))
86, 7eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
9 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦 + 1) · 𝑋))
109oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌))
11 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)))
1210, 11eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌))))
13 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (-𝑦 · 𝑋))
1413oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌))
15 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))
1614, 15eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = -𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
17 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
1817oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌))
19 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))
2018, 19eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))
21 mulgass2.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
22 mulgass2.t . . . . . . . 8 × = (.r𝑅)
23 eqid 2736 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2421, 22, 23ringlz 20011 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ((0g𝑅) × 𝑌) = (0g𝑅))
25243adant3 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → ((0g𝑅) × 𝑌) = (0g𝑅))
26 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
27 mulgass2.m . . . . . . . . 9 · = (.g𝑅)
2821, 23, 27mulg0 18879 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝑅))
2926, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝑅))
3029oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → ((0 · 𝑋) × 𝑌) = ((0g𝑅) × 𝑌))
3121, 22ringcl 19981 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
32313com23 1126 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
3321, 23, 27mulg0 18879 . . . . . . 7 ((𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑋 × 𝑌)) = (0g𝑅))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (0 · (𝑋 × 𝑌)) = (0g𝑅))
3525, 30, 343eqtr4d 2786 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → ((0 · 𝑋) × 𝑌) = (0 · (𝑋 × 𝑌)))
36 oveq1 7364 . . . . . . 7 (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
37 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
38 ringgrp 19969 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
40 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
4140adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
4226adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
43 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4421, 27, 43mulgp1 18909 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)𝑋))
4539, 41, 42, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)𝑋))
4645oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)𝑋) × 𝑌))
47383ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
4921, 27mulgcl 18893 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
5048, 41, 42, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
51 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑌𝐵)
5221, 43, 22ringdir 19988 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
5337, 50, 42, 51, 52syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
5446, 53eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
5532adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
5621, 27, 43mulgp1 18909 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
5739, 41, 55, 56syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
5854, 57eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) ↔ (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌))))
5936, 58syl5ibr 245 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌))))
6059ex 413 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)))))
61 fveq2 6842 . . . . . . 7 (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((invg𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)) = ((invg𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
6247adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Grp)
63 nnz 12520 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
6463adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
6526adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
66 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (invg𝑅) = (invg𝑅)
6721, 27, 66mulgneg 18894 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)))
6862, 64, 65, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)))
6968oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (((invg𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)) × 𝑌))
70 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
7162, 64, 65, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
72 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑌𝐵)
7321, 22, 66, 70, 71, 72ringmneg1 20020 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((invg𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)) × 𝑌) = ((invg𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)))
7469, 73eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = ((invg𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)))
7532adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
7621, 27, 66mulgneg 18894 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) = ((invg𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
7762, 64, 75, 76syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) = ((invg𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
7874, 77eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((invg𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)) = ((invg𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))))
7961, 78syl5ibr 245 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
8079ex 413 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))))
814, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80zindd 12604 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))
82813exp 1119 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌𝐵 → (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))))
8382com24 95 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋𝐵 → (𝑌𝐵 → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))))
84833imp2 1349 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  -cneg 11386  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  .gcmg 18872  Ringcrg 19964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966
This theorem is referenced by:  mulgass3  20066  mulgrhm  20898  zlmassa  21305  dvdschrmulg  32066  isarchiofld  32112  elrspunidl  32203
  Copyright terms: Public domain W3C validator