MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgass2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgass2 20306
Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mulgass2.m · = (.g𝑅)
mulgass2.t × = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
mulgass2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem mulgass2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
21oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((0 · 𝑋) × 𝑌))
3 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (0 · (𝑋 × 𝑌)))
42, 3eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((0 · 𝑋) × 𝑌) = (0 · (𝑋 × 𝑌))))
5 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
65oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 · 𝑋) × 𝑌))
7 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))
86, 7eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
9 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦 + 1) · 𝑋))
109oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌))
11 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)))
1210, 11eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌))))
13 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (-𝑦 · 𝑋))
1413oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌))
15 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))
1614, 15eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑥 = -𝑦 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
17 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
1817oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌))
19 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))
2018, 19eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑥 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))
21 mulgass2.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
22 mulgass2.t . . . . . . . 8 × = (.r𝑅)
23 eqid 2737 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2421, 22, 23ringlz 20290 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ((0g𝑅) × 𝑌) = (0g𝑅))
25243adant3 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → ((0g𝑅) × 𝑌) = (0g𝑅))
26 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
27 mulgass2.m . . . . . . . . 9 · = (.g𝑅)
2821, 23, 27mulg0 19092 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝑅))
2926, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝑅))
3029oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → ((0 · 𝑋) × 𝑌) = ((0g𝑅) × 𝑌))
3121, 22ringcl 20247 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
32313com23 1127 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
3321, 23, 27mulg0 19092 . . . . . . 7 ((𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑋 × 𝑌)) = (0g𝑅))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (0 · (𝑋 × 𝑌)) = (0g𝑅))
3525, 30, 343eqtr4d 2787 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → ((0 · 𝑋) × 𝑌) = (0 · (𝑋 × 𝑌)))
36 oveq1 7438 . . . . . . 7 (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
37 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
38 ringgrp 20235 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
40 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
4140adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
4226adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
43 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4421, 27, 43mulgp1 19125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)𝑋))
4539, 41, 42, 44syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)𝑋))
4645oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)𝑋) × 𝑌))
47383ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
4921, 27mulgcl 19109 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
5048, 41, 42, 49syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
51 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑌𝐵)
5221, 43, 22ringdir 20259 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
5337, 50, 42, 51, 52syl13anc 1374 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
5446, 53eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
5532adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
5621, 27, 43mulgp1 19125 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
5739, 41, 55, 56syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
5854, 57eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)) ↔ (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = ((𝑦 · (𝑋 × 𝑌))(+g𝑅)(𝑋 × 𝑌))))
5936, 58imbitrrid 246 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌))))
6059ex 412 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → (((𝑦 + 1) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝑦 + 1) · (𝑋 × 𝑌)))))
61 fveq2 6906 . . . . . . 7 (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((invg𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)) = ((invg𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
6247adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Grp)
63 nnz 12634 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
6526adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
66 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (invg𝑅) = (invg𝑅)
6721, 27, 66mulgneg 19110 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)))
6862, 64, 65, 67syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)))
6968oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (((invg𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)) × 𝑌))
70 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
7162, 64, 65, 49syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
72 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑌𝐵)
7321, 22, 66, 70, 71, 72ringmneg1 20301 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((invg𝑅)‘(𝑦 · 𝑋)) × 𝑌) = ((invg𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)))
7469, 73eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = ((invg𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)))
7532adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
7621, 27, 66mulgneg 19110 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) = ((invg𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
7762, 64, 75, 76syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) = ((invg𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
7874, 77eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) ↔ ((invg𝑅)‘((𝑦 · 𝑋) × 𝑌)) = ((invg𝑅)‘(𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))))
7961, 78imbitrrid 246 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌))))
8079ex 412 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑦 · (𝑋 × 𝑌)) → ((-𝑦 · 𝑋) × 𝑌) = (-𝑦 · (𝑋 × 𝑌)))))
814, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80zindd 12719 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))
82813exp 1120 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌𝐵 → (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))))
8382com24 95 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋𝐵 → (𝑌𝐵 → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌))))))
84833imp2 1350 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑁 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  -cneg 11493  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  .gcmg 19085  Ringcrg 20230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232
This theorem is referenced by:  mulgass3  20353  mulgrhm  21488  dvdschrmulg  21543  zlmassa  21923  psdmul  22170  psdpw  22174  elrgspnlem2  33247  elrgspnsubrunlem2  33252  isarchiofld  33347  elrspunidl  33456
  Copyright terms: Public domain W3C validator