MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringnegl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringnegl 20197
Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by -1. (rngonegmn1l 37313 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringnegl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringnegl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringnegl.u 1 = (1rโ€˜๐‘…)
ringnegl.n ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
ringnegl.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ringnegl.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
ringnegl (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) = (๐‘โ€˜๐‘‹))

Proof of Theorem ringnegl
StepHypRef Expression
1 ringnegl.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 ringnegl.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 ringnegl.u . . . . . . 7 1 = (1rโ€˜๐‘…)
42, 3ringidcl 20161 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
51, 4syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
6 ringgrp 20139 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
71, 6syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
8 ringnegl.n . . . . . . 7 ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
92, 8grpinvcl 18913 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
107, 5, 9syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
11 ringnegl.x . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
12 eqid 2724 . . . . . 6 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
13 ringnegl.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
142, 12, 13ringdir 20160 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ( 1 โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) ยท ๐‘‹) = (( 1 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)))
151, 5, 10, 11, 14syl13anc 1369 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) ยท ๐‘‹) = (( 1 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)))
16 eqid 2724 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
172, 12, 16, 8grprinv 18916 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) = (0gโ€˜๐‘…))
187, 5, 17syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) = (0gโ€˜๐‘…))
1918oveq1d 7417 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) ยท ๐‘‹) = ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹))
202, 13, 16ringlz 20188 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
211, 11, 20syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
2219, 21eqtrd 2764 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
232, 13, 3ringlidm 20164 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘‹) = ๐‘‹)
241, 11, 23syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ( 1 ยท ๐‘‹) = ๐‘‹)
2524oveq1d 7417 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (( 1 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)) = (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)))
2615, 22, 253eqtr3rd 2773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐‘…))
272, 13ringcl 20151 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
281, 10, 11, 27syl3anc 1368 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
292, 12, 16, 8grpinvid1 18917 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) = ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) โ†” (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐‘…)))
307, 11, 28, 29syl3anc 1368 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) = ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) โ†” (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐‘…)))
3126, 30mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) = ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹))
3231eqcomd 2730 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) = (๐‘โ€˜๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  0gc0g 17390  Grpcgrp 18859  invgcminusg 18860  1rcur 20082  Ringcrg 20134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136
This theorem is referenced by:  ringmneg1  20199  dvdsrneg  20268  abvneg  20673  lmodvsneg  20748  lmodsubvs  20760  lmodsubdi  20761  lmodsubdir  20762  lmodvsinv  20880  mplind  21962  mdetralt  22454  m2detleiblem7  22473  lflsub  38441  baerlem3lem1  41082
  Copyright terms: Public domain W3C validator