MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringnegl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringnegl 20281
Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by -1. (rngonegmn1l 37642 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringnegl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t · = (.r𝑅)
ringnegl.u 1 = (1r𝑅)
ringnegl.n 𝑁 = (invg𝑅)
ringnegl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringnegl (𝜑 → ((𝑁1 ) · 𝑋) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem ringnegl
StepHypRef Expression
1 ringnegl.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringnegl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 ringnegl.u . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
42, 3ringidcl 20245 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑1𝐵)
6 ringgrp 20221 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
8 ringnegl.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
92, 8grpinvcl 18982 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → (𝑁1 ) ∈ 𝐵)
107, 5, 9syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁1 ) ∈ 𝐵)
11 ringnegl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
12 eqid 2726 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
13 ringnegl.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
142, 12, 13ringdir 20244 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ( 1𝐵 ∧ (𝑁1 ) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → (( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)))
151, 5, 10, 11, 14syl13anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)))
16 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
172, 12, 16, 8grprinv 18985 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → ( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) = (0g𝑅))
187, 5, 17syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → ( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) = (0g𝑅))
1918oveq1d 7439 . . . . 5 (𝜑 → (( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) · 𝑋) = ((0g𝑅) · 𝑋))
202, 13, 16ringlz 20272 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝑅) · 𝑋) = (0g𝑅))
211, 11, 20syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑅) · 𝑋) = (0g𝑅))
2219, 21eqtrd 2766 . . . 4 (𝜑 → (( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) · 𝑋) = (0g𝑅))
232, 13, 3ringlidm 20248 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
241, 11, 23syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
2524oveq1d 7439 . . . 4 (𝜑 → (( 1 · 𝑋)(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)) = (𝑋(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)))
2615, 22, 253eqtr3rd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝑋(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)) = (0g𝑅))
272, 13ringcl 20233 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁1 ) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑁1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
281, 10, 11, 27syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
292, 12, 16, 8grpinvid1 18986 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((𝑁1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋) = ((𝑁1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)) = (0g𝑅)))
307, 11, 28, 29syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝑋) = ((𝑁1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)) = (0g𝑅)))
3126, 30mpbird 256 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) = ((𝑁1 ) · 𝑋))
3231eqcomd 2732 1 (𝜑 → ((𝑁1 ) · 𝑋) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  +gcplusg 17266  .rcmulr 17267  0gc0g 17454  Grpcgrp 18928  invgcminusg 18929  1rcur 20164  Ringcrg 20216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218
This theorem is referenced by:  ringmneg1  20283  dvdsrneg  20352  abvneg  20805  lmodvsneg  20882  lmodsubvs  20894  lmodsubdi  20895  lmodsubdir  20896  lmodvsinv  21014  mplind  22083  mdetralt  22601  m2detleiblem7  22620  lflsub  38765  baerlem3lem1  41406
  Copyright terms: Public domain W3C validator