MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringnegl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringnegl 18955
Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by -1. (rngonegmn1l 34277 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringnegl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t · = (.r𝑅)
ringnegl.u 1 = (1r𝑅)
ringnegl.n 𝑁 = (invg𝑅)
ringnegl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringnegl (𝜑 → ((𝑁1 ) · 𝑋) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem ringnegl
StepHypRef Expression
1 ringnegl.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringnegl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 ringnegl.u . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
42, 3ringidcl 18929 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑1𝐵)
6 ringgrp 18913 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
8 ringnegl.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
92, 8grpinvcl 17828 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → (𝑁1 ) ∈ 𝐵)
107, 5, 9syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁1 ) ∈ 𝐵)
11 ringnegl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
12 eqid 2825 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
13 ringnegl.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
142, 12, 13ringdir 18928 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ( 1𝐵 ∧ (𝑁1 ) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → (( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)))
151, 5, 10, 11, 14syl13anc 1495 . . . 4 (𝜑 → (( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)))
16 eqid 2825 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
172, 12, 16, 8grprinv 17830 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → ( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) = (0g𝑅))
187, 5, 17syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) = (0g𝑅))
1918oveq1d 6925 . . . . 5 (𝜑 → (( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) · 𝑋) = ((0g𝑅) · 𝑋))
202, 13, 16ringlz 18948 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝑅) · 𝑋) = (0g𝑅))
211, 11, 20syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑅) · 𝑋) = (0g𝑅))
2219, 21eqtrd 2861 . . . 4 (𝜑 → (( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) · 𝑋) = (0g𝑅))
232, 13, 3ringlidm 18932 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
241, 11, 23syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
2524oveq1d 6925 . . . 4 (𝜑 → (( 1 · 𝑋)(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)) = (𝑋(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)))
2615, 22, 253eqtr3rd 2870 . . 3 (𝜑 → (𝑋(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)) = (0g𝑅))
272, 13ringcl 18922 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁1 ) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑁1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
281, 10, 11, 27syl3anc 1494 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
292, 12, 16, 8grpinvid1 17831 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((𝑁1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋) = ((𝑁1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)) = (0g𝑅)))
307, 11, 28, 29syl3anc 1494 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝑋) = ((𝑁1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)) = (0g𝑅)))
3126, 30mpbird 249 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) = ((𝑁1 ) · 𝑋))
3231eqcomd 2831 1 (𝜑 → ((𝑁1 ) · 𝑋) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1656  wcel 2164  cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  +gcplusg 16312  .rcmulr 16313  0gc0g 16460  Grpcgrp 17783  invgcminusg 17784  1rcur 18862  Ringcrg 18908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-plusg 16325  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910
This theorem is referenced by:  ringmneg1  18957  dvdsrneg  19015  abvneg  19197  lmodvsneg  19270  lmodsubvs  19282  lmodsubdi  19283  lmodsubdir  19284  lmodvsinv  19402  mplind  19869  mdetralt  20789  m2detleiblem7  20808  lflsub  35137  baerlem3lem1  37777
  Copyright terms: Public domain W3C validator