![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ringnegl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by -1. (rngonegmn1l 37414 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
ringnegl.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
ringnegl.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
ringnegl.u | โข 1 = (1rโ๐ ) |
ringnegl.n | โข ๐ = (invgโ๐ ) |
ringnegl.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
ringnegl.x | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
ringnegl | โข (๐ โ ((๐โ 1 ) ยท ๐) = (๐โ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ringnegl.r | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
2 | ringnegl.b | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
3 | ringnegl.u | . . . . . . 7 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
4 | 2, 3 | ringidcl 20202 | . . . . . 6 โข (๐ โ Ring โ 1 โ ๐ต) |
5 | 1, 4 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ 1 โ ๐ต) |
6 | ringgrp 20178 | . . . . . . 7 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Grp) | |
7 | 1, 6 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ Grp) |
8 | ringnegl.n | . . . . . . 7 โข ๐ = (invgโ๐ ) | |
9 | 2, 8 | grpinvcl 18944 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Grp โง 1 โ ๐ต) โ (๐โ 1 ) โ ๐ต) |
10 | 7, 5, 9 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐โ 1 ) โ ๐ต) |
11 | ringnegl.x | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
12 | eqid 2728 | . . . . . 6 โข (+gโ๐ ) = (+gโ๐ ) | |
13 | ringnegl.t | . . . . . 6 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
14 | 2, 12, 13 | ringdir 20201 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง ( 1 โ ๐ต โง (๐โ 1 ) โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต)) โ (( 1 (+gโ๐ )(๐โ 1 )) ยท ๐) = (( 1 ยท ๐)(+gโ๐ )((๐โ 1 ) ยท ๐))) |
15 | 1, 5, 10, 11, 14 | syl13anc 1370 | . . . 4 โข (๐ โ (( 1 (+gโ๐ )(๐โ 1 )) ยท ๐) = (( 1 ยท ๐)(+gโ๐ )((๐โ 1 ) ยท ๐))) |
16 | eqid 2728 | . . . . . . . 8 โข (0gโ๐ ) = (0gโ๐ ) | |
17 | 2, 12, 16, 8 | grprinv 18947 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ Grp โง 1 โ ๐ต) โ ( 1 (+gโ๐ )(๐โ 1 )) = (0gโ๐ )) |
18 | 7, 5, 17 | syl2anc 583 | . . . . . 6 โข (๐ โ ( 1 (+gโ๐ )(๐โ 1 )) = (0gโ๐ )) |
19 | 18 | oveq1d 7435 | . . . . 5 โข (๐ โ (( 1 (+gโ๐ )(๐โ 1 )) ยท ๐) = ((0gโ๐ ) ยท ๐)) |
20 | 2, 13, 16 | ringlz 20229 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ((0gโ๐ ) ยท ๐) = (0gโ๐ )) |
21 | 1, 11, 20 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข (๐ โ ((0gโ๐ ) ยท ๐) = (0gโ๐ )) |
22 | 19, 21 | eqtrd 2768 | . . . 4 โข (๐ โ (( 1 (+gโ๐ )(๐โ 1 )) ยท ๐) = (0gโ๐ )) |
23 | 2, 13, 3 | ringlidm 20205 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ( 1 ยท ๐) = ๐) |
24 | 1, 11, 23 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข (๐ โ ( 1 ยท ๐) = ๐) |
25 | 24 | oveq1d 7435 | . . . 4 โข (๐ โ (( 1 ยท ๐)(+gโ๐ )((๐โ 1 ) ยท ๐)) = (๐(+gโ๐ )((๐โ 1 ) ยท ๐))) |
26 | 15, 22, 25 | 3eqtr3rd 2777 | . . 3 โข (๐ โ (๐(+gโ๐ )((๐โ 1 ) ยท ๐)) = (0gโ๐ )) |
27 | 2, 13 | ringcl 20190 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง (๐โ 1 ) โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐โ 1 ) ยท ๐) โ ๐ต) |
28 | 1, 10, 11, 27 | syl3anc 1369 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐โ 1 ) ยท ๐) โ ๐ต) |
29 | 2, 12, 16, 8 | grpinvid1 18948 | . . . 4 โข ((๐ โ Grp โง ๐ โ ๐ต โง ((๐โ 1 ) ยท ๐) โ ๐ต) โ ((๐โ๐) = ((๐โ 1 ) ยท ๐) โ (๐(+gโ๐ )((๐โ 1 ) ยท ๐)) = (0gโ๐ ))) |
30 | 7, 11, 28, 29 | syl3anc 1369 | . . 3 โข (๐ โ ((๐โ๐) = ((๐โ 1 ) ยท ๐) โ (๐(+gโ๐ )((๐โ 1 ) ยท ๐)) = (0gโ๐ ))) |
31 | 26, 30 | mpbird 257 | . 2 โข (๐ โ (๐โ๐) = ((๐โ 1 ) ยท ๐)) |
32 | 31 | eqcomd 2734 | 1 โข (๐ โ ((๐โ 1 ) ยท ๐) = (๐โ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 = wceq 1534 โ wcel 2099 โcfv 6548 (class class class)co 7420 Basecbs 17180 +gcplusg 17233 .rcmulr 17234 0gc0g 17421 Grpcgrp 18890 invgcminusg 18891 1rcur 20121 Ringcrg 20173 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11195 ax-resscn 11196 ax-1cn 11197 ax-icn 11198 ax-addcl 11199 ax-addrcl 11200 ax-mulcl 11201 ax-mulrcl 11202 ax-mulcom 11203 ax-addass 11204 ax-mulass 11205 ax-distr 11206 ax-i2m1 11207 ax-1ne0 11208 ax-1rid 11209 ax-rnegex 11210 ax-rrecex 11211 ax-cnre 11212 ax-pre-lttri 11213 ax-pre-lttrn 11214 ax-pre-ltadd 11215 ax-pre-mulgt0 11216 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7871 df-2nd 7994 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8392 df-rdg 8431 df-er 8725 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-pnf 11281 df-mnf 11282 df-xr 11283 df-ltxr 11284 df-le 11285 df-sub 11477 df-neg 11478 df-nn 12244 df-2 12306 df-sets 17133 df-slot 17151 df-ndx 17163 df-base 17181 df-plusg 17246 df-0g 17423 df-mgm 18600 df-sgrp 18679 df-mnd 18695 df-grp 18893 df-minusg 18894 df-cmn 19737 df-abl 19738 df-mgp 20075 df-rng 20093 df-ur 20122 df-ring 20175 |
This theorem is referenced by: ringmneg1 20240 dvdsrneg 20309 abvneg 20714 lmodvsneg 20789 lmodsubvs 20801 lmodsubdi 20802 lmodsubdir 20803 lmodvsinv 20921 mplind 22014 mdetralt 22523 m2detleiblem7 22542 lflsub 38539 baerlem3lem1 41180 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |