Theorem ringnegl 20387

Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by -1. (rngonegmn1l 38517 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringnegl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringnegl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringnegl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringnegl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringnegl	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem ringnegl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringnegl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringnegl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ringnegl.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 20350	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
6		ringgrp 20322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	1, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		ringnegl.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
9	2, 8	grpinvcl 19056	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
10	7, 5, 9	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
11		ringnegl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
13		ringnegl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	2, 12, 13	ringdir 20346	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)))
15	1, 5, 10, 11, 14	syl13anc 1397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)))
16		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	2, 12, 16, 8	grprinv 19059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → ( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) = (0g‘𝑅))
18	7, 5, 17	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) = (0g‘𝑅))
19	18	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
20	2, 13, 16	ringlz 20378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
21	1, 11, 20	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
22	19, 21	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
23	2, 13, 3	ringlidm 20354	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
24	1, 11, 23	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
25	24	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)))
26	15, 22, 25	3eqtr3rd 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (0g‘𝑅))
27	2, 13	ringcl 20334	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
28	1, 10, 11, 27	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
29	2, 12, 16, 8	grpinvid1 19060	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
30	7, 11, 28, 29	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
31	26, 30	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋))
32	31	eqcomd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  Basecbs 17271  +_gcplusg 17312  ._rcmulr 17313  0_gc0g 17494  Grpcgrp 19002  inv_gcminusg 19003  1_rcur 20265  Ringcrg 20317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-plusg 17325  df-0g 17496  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-ring 20319

This theorem is referenced by:  ringmneg1  20389  dvdsrneg  20454  abvneg  20909  lmodvsneg  21007  lmodsubvs  21019  lmodsubdi  21020  lmodsubdir  21021  lmodvsinv  21137  mplind  22192  mdetralt  22736  m2detleiblem7  22755  lflsub  39768  baerlem3lem1  42408