![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ringnegl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by -1. (rngonegmn1l 37313 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
ringnegl.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
ringnegl.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
ringnegl.u | โข 1 = (1rโ๐ ) |
ringnegl.n | โข ๐ = (invgโ๐ ) |
ringnegl.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
ringnegl.x | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
ringnegl | โข (๐ โ ((๐โ 1 ) ยท ๐) = (๐โ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ringnegl.r | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
2 | ringnegl.b | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
3 | ringnegl.u | . . . . . . 7 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
4 | 2, 3 | ringidcl 20161 | . . . . . 6 โข (๐ โ Ring โ 1 โ ๐ต) |
5 | 1, 4 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ 1 โ ๐ต) |
6 | ringgrp 20139 | . . . . . . 7 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Grp) | |
7 | 1, 6 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ Grp) |
8 | ringnegl.n | . . . . . . 7 โข ๐ = (invgโ๐ ) | |
9 | 2, 8 | grpinvcl 18913 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Grp โง 1 โ ๐ต) โ (๐โ 1 ) โ ๐ต) |
10 | 7, 5, 9 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐โ 1 ) โ ๐ต) |
11 | ringnegl.x | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
12 | eqid 2724 | . . . . . 6 โข (+gโ๐ ) = (+gโ๐ ) | |
13 | ringnegl.t | . . . . . 6 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
14 | 2, 12, 13 | ringdir 20160 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง ( 1 โ ๐ต โง (๐โ 1 ) โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต)) โ (( 1 (+gโ๐ )(๐โ 1 )) ยท ๐) = (( 1 ยท ๐)(+gโ๐ )((๐โ 1 ) ยท ๐))) |
15 | 1, 5, 10, 11, 14 | syl13anc 1369 | . . . 4 โข (๐ โ (( 1 (+gโ๐ )(๐โ 1 )) ยท ๐) = (( 1 ยท ๐)(+gโ๐ )((๐โ 1 ) ยท ๐))) |
16 | eqid 2724 | . . . . . . . 8 โข (0gโ๐ ) = (0gโ๐ ) | |
17 | 2, 12, 16, 8 | grprinv 18916 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ Grp โง 1 โ ๐ต) โ ( 1 (+gโ๐ )(๐โ 1 )) = (0gโ๐ )) |
18 | 7, 5, 17 | syl2anc 583 | . . . . . 6 โข (๐ โ ( 1 (+gโ๐ )(๐โ 1 )) = (0gโ๐ )) |
19 | 18 | oveq1d 7417 | . . . . 5 โข (๐ โ (( 1 (+gโ๐ )(๐โ 1 )) ยท ๐) = ((0gโ๐ ) ยท ๐)) |
20 | 2, 13, 16 | ringlz 20188 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ((0gโ๐ ) ยท ๐) = (0gโ๐ )) |
21 | 1, 11, 20 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข (๐ โ ((0gโ๐ ) ยท ๐) = (0gโ๐ )) |
22 | 19, 21 | eqtrd 2764 | . . . 4 โข (๐ โ (( 1 (+gโ๐ )(๐โ 1 )) ยท ๐) = (0gโ๐ )) |
23 | 2, 13, 3 | ringlidm 20164 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ( 1 ยท ๐) = ๐) |
24 | 1, 11, 23 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข (๐ โ ( 1 ยท ๐) = ๐) |
25 | 24 | oveq1d 7417 | . . . 4 โข (๐ โ (( 1 ยท ๐)(+gโ๐ )((๐โ 1 ) ยท ๐)) = (๐(+gโ๐ )((๐โ 1 ) ยท ๐))) |
26 | 15, 22, 25 | 3eqtr3rd 2773 | . . 3 โข (๐ โ (๐(+gโ๐ )((๐โ 1 ) ยท ๐)) = (0gโ๐ )) |
27 | 2, 13 | ringcl 20151 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง (๐โ 1 ) โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐โ 1 ) ยท ๐) โ ๐ต) |
28 | 1, 10, 11, 27 | syl3anc 1368 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐โ 1 ) ยท ๐) โ ๐ต) |
29 | 2, 12, 16, 8 | grpinvid1 18917 | . . . 4 โข ((๐ โ Grp โง ๐ โ ๐ต โง ((๐โ 1 ) ยท ๐) โ ๐ต) โ ((๐โ๐) = ((๐โ 1 ) ยท ๐) โ (๐(+gโ๐ )((๐โ 1 ) ยท ๐)) = (0gโ๐ ))) |
30 | 7, 11, 28, 29 | syl3anc 1368 | . . 3 โข (๐ โ ((๐โ๐) = ((๐โ 1 ) ยท ๐) โ (๐(+gโ๐ )((๐โ 1 ) ยท ๐)) = (0gโ๐ ))) |
31 | 26, 30 | mpbird 257 | . 2 โข (๐ โ (๐โ๐) = ((๐โ 1 ) ยท ๐)) |
32 | 31 | eqcomd 2730 | 1 โข (๐ โ ((๐โ 1 ) ยท ๐) = (๐โ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6534 (class class class)co 7402 Basecbs 17149 +gcplusg 17202 .rcmulr 17203 0gc0g 17390 Grpcgrp 18859 invgcminusg 18860 1rcur 20082 Ringcrg 20134 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-om 7850 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-nn 12212 df-2 12274 df-sets 17102 df-slot 17120 df-ndx 17132 df-base 17150 df-plusg 17215 df-0g 17392 df-mgm 18569 df-sgrp 18648 df-mnd 18664 df-grp 18862 df-minusg 18863 df-cmn 19698 df-abl 19699 df-mgp 20036 df-rng 20054 df-ur 20083 df-ring 20136 |
This theorem is referenced by: ringmneg1 20199 dvdsrneg 20268 abvneg 20673 lmodvsneg 20748 lmodsubvs 20760 lmodsubdi 20761 lmodsubdir 20762 lmodvsinv 20880 mplind 21962 mdetralt 22454 m2detleiblem7 22473 lflsub 38441 baerlem3lem1 41082 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |