MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringnegl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringnegl 20026
Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by -1. (rngonegmn1l 36450 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringnegl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringnegl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringnegl.u 1 = (1rโ€˜๐‘…)
ringnegl.n ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
ringnegl.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ringnegl.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
ringnegl (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) = (๐‘โ€˜๐‘‹))

Proof of Theorem ringnegl
StepHypRef Expression
1 ringnegl.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 ringnegl.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 ringnegl.u . . . . . . 7 1 = (1rโ€˜๐‘…)
42, 3ringidcl 19997 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
51, 4syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
6 ringgrp 19977 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
71, 6syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
8 ringnegl.n . . . . . . 7 ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
92, 8grpinvcl 18806 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
107, 5, 9syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
11 ringnegl.x . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
12 eqid 2733 . . . . . 6 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
13 ringnegl.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
142, 12, 13ringdir 19996 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ( 1 โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) ยท ๐‘‹) = (( 1 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)))
151, 5, 10, 11, 14syl13anc 1373 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) ยท ๐‘‹) = (( 1 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)))
16 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
172, 12, 16, 8grprinv 18809 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) = (0gโ€˜๐‘…))
187, 5, 17syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) = (0gโ€˜๐‘…))
1918oveq1d 7376 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) ยท ๐‘‹) = ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹))
202, 13, 16ringlz 20019 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
211, 11, 20syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
2219, 21eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
232, 13, 3ringlidm 20000 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘‹) = ๐‘‹)
241, 11, 23syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ( 1 ยท ๐‘‹) = ๐‘‹)
2524oveq1d 7376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (( 1 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)) = (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)))
2615, 22, 253eqtr3rd 2782 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐‘…))
272, 13ringcl 19989 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
281, 10, 11, 27syl3anc 1372 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
292, 12, 16, 8grpinvid1 18810 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) = ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) โ†” (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐‘…)))
307, 11, 28, 29syl3anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) = ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) โ†” (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐‘…)))
3126, 30mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) = ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹))
3231eqcomd 2739 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) = (๐‘โ€˜๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  1rcur 19921  Ringcrg 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974
This theorem is referenced by:  ringmneg1  20028  dvdsrneg  20091  abvneg  20336  lmodvsneg  20410  lmodsubvs  20422  lmodsubdi  20423  lmodsubdir  20424  lmodvsinv  20541  mplind  21501  mdetralt  21980  m2detleiblem7  21999  lflsub  37579  baerlem3lem1  40220
  Copyright terms: Public domain W3C validator