Theorem ringnegl 20221

Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by -1. (rngonegmn1l 37987 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringnegl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringnegl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringnegl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringnegl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringnegl	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem ringnegl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringnegl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringnegl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ringnegl.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 20184	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
6		ringgrp 20157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		ringnegl.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
9	2, 8	grpinvcl 18900	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
10	7, 5, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
11		ringnegl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
13		ringnegl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	2, 12, 13	ringdir 20181	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)))
15	1, 5, 10, 11, 14	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)))
16		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	2, 12, 16, 8	grprinv 18903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → ( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) = (0g‘𝑅))
18	7, 5, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) = (0g‘𝑅))
19	18	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = ((0g‘𝑅) · 𝑋))
20	2, 13, 16	ringlz 20212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
21	1, 11, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
22	19, 21	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 (+g‘𝑅)(𝑁‘ 1 )) · 𝑋) = (0g‘𝑅))
23	2, 13, 3	ringlidm 20188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
24	1, 11, 23	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
25	24	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)))
26	15, 22, 25	3eqtr3rd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (0g‘𝑅))
27	2, 13	ringcl 20169	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
28	1, 10, 11, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
29	2, 12, 16, 8	grpinvid1 18904	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
30	7, 11, 28, 29	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝑅)((𝑁‘ 1 ) · 𝑋)) = (0g‘𝑅)))
31	26, 30	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋))
32	31	eqcomd 2737	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18846  inv_gcminusg 18847  1_rcur 20100  Ringcrg 20152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154

This theorem is referenced by:  ringmneg1  20223  dvdsrneg  20289  abvneg  20742  lmodvsneg  20840  lmodsubvs  20852  lmodsubdi  20853  lmodsubdir  20854  lmodvsinv  20971  mplind  22006  mdetralt  22524  m2detleiblem7  22543  lflsub  39112  baerlem3lem1  41752