MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringnegl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringnegl 20238
Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by -1. (rngonegmn1l 37414 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringnegl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringnegl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringnegl.u 1 = (1rโ€˜๐‘…)
ringnegl.n ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
ringnegl.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ringnegl.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
ringnegl (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) = (๐‘โ€˜๐‘‹))

Proof of Theorem ringnegl
StepHypRef Expression
1 ringnegl.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 ringnegl.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 ringnegl.u . . . . . . 7 1 = (1rโ€˜๐‘…)
42, 3ringidcl 20202 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
51, 4syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
6 ringgrp 20178 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
71, 6syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
8 ringnegl.n . . . . . . 7 ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
92, 8grpinvcl 18944 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
107, 5, 9syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
11 ringnegl.x . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
12 eqid 2728 . . . . . 6 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
13 ringnegl.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
142, 12, 13ringdir 20201 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ( 1 โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) ยท ๐‘‹) = (( 1 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)))
151, 5, 10, 11, 14syl13anc 1370 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) ยท ๐‘‹) = (( 1 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)))
16 eqid 2728 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
172, 12, 16, 8grprinv 18947 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) = (0gโ€˜๐‘…))
187, 5, 17syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) = (0gโ€˜๐‘…))
1918oveq1d 7435 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) ยท ๐‘‹) = ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹))
202, 13, 16ringlz 20229 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
211, 11, 20syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
2219, 21eqtrd 2768 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (( 1 (+gโ€˜๐‘…)(๐‘โ€˜ 1 )) ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐‘…))
232, 13, 3ringlidm 20205 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘‹) = ๐‘‹)
241, 11, 23syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ( 1 ยท ๐‘‹) = ๐‘‹)
2524oveq1d 7435 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (( 1 ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)) = (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)))
2615, 22, 253eqtr3rd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐‘…))
272, 13ringcl 20190 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘โ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
281, 10, 11, 27syl3anc 1369 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
292, 12, 16, 8grpinvid1 18948 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) = ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) โ†” (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐‘…)))
307, 11, 28, 29syl3anc 1369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘‹) = ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) โ†” (๐‘‹(+gโ€˜๐‘…)((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹)) = (0gโ€˜๐‘…)))
3126, 30mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘‹) = ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹))
3231eqcomd 2734 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜ 1 ) ยท ๐‘‹) = (๐‘โ€˜๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  .rcmulr 17234  0gc0g 17421  Grpcgrp 18890  invgcminusg 18891  1rcur 20121  Ringcrg 20173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175
This theorem is referenced by:  ringmneg1  20240  dvdsrneg  20309  abvneg  20714  lmodvsneg  20789  lmodsubvs  20801  lmodsubdi  20802  lmodsubdir  20803  lmodvsinv  20921  mplind  22014  mdetralt  22523  m2detleiblem7  22542  lflsub  38539  baerlem3lem1  41180
  Copyright terms: Public domain W3C validator