MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringnegl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringnegl 20316
Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by -1. (rngonegmn1l 37928 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringnegl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t · = (.r𝑅)
ringnegl.u 1 = (1r𝑅)
ringnegl.n 𝑁 = (invg𝑅)
ringnegl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringnegl (𝜑 → ((𝑁1 ) · 𝑋) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem ringnegl
StepHypRef Expression
1 ringnegl.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringnegl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 ringnegl.u . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
42, 3ringidcl 20280 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑1𝐵)
6 ringgrp 20256 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
8 ringnegl.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
92, 8grpinvcl 19018 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → (𝑁1 ) ∈ 𝐵)
107, 5, 9syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁1 ) ∈ 𝐵)
11 ringnegl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
12 eqid 2735 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
13 ringnegl.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
142, 12, 13ringdir 20279 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ( 1𝐵 ∧ (𝑁1 ) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → (( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)))
151, 5, 10, 11, 14syl13anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)))
16 eqid 2735 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
172, 12, 16, 8grprinv 19021 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → ( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) = (0g𝑅))
187, 5, 17syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) = (0g𝑅))
1918oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) · 𝑋) = ((0g𝑅) · 𝑋))
202, 13, 16ringlz 20307 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝑅) · 𝑋) = (0g𝑅))
211, 11, 20syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑅) · 𝑋) = (0g𝑅))
2219, 21eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (( 1 (+g𝑅)(𝑁1 )) · 𝑋) = (0g𝑅))
232, 13, 3ringlidm 20283 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
241, 11, 23syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
2524oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → (( 1 · 𝑋)(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)) = (𝑋(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)))
2615, 22, 253eqtr3rd 2784 . . 3 (𝜑 → (𝑋(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)) = (0g𝑅))
272, 13ringcl 20268 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁1 ) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑁1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
281, 10, 11, 27syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵)
292, 12, 16, 8grpinvid1 19022 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ ((𝑁1 ) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋) = ((𝑁1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)) = (0g𝑅)))
307, 11, 28, 29syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝑋) = ((𝑁1 ) · 𝑋) ↔ (𝑋(+g𝑅)((𝑁1 ) · 𝑋)) = (0g𝑅)))
3126, 30mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) = ((𝑁1 ) · 𝑋))
3231eqcomd 2741 1 (𝜑 → ((𝑁1 ) · 𝑋) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  1rcur 20199  Ringcrg 20251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253
This theorem is referenced by:  ringmneg1  20318  dvdsrneg  20387  abvneg  20844  lmodvsneg  20921  lmodsubvs  20933  lmodsubdi  20934  lmodsubdir  20935  lmodvsinv  21053  mplind  22112  mdetralt  22630  m2detleiblem7  22649  lflsub  39049  baerlem3lem1  41690
  Copyright terms: Public domain W3C validator