MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem1 21492
Description: Lemma for evlseu 21493, give a formula for (the unique) polynomial evaluation homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem1.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem1.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem1.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem1.x = (.g𝑇)
evlslem1.m · = (.r𝑆)
evlslem1.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem1.e 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
evlslem1.i (𝜑𝐼𝑊)
evlslem1.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlslem1.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlslem1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
evlslem1.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
evlslem1 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸𝑉) = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝐵   𝐶,𝑏,𝑝   𝜑,𝑏,𝑝   𝐹,𝑏,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   𝐷,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝐼,𝑝   𝑅,𝑏,,𝑝   𝐺,𝑏,𝑝   𝑃,𝑏,𝑝   𝑆,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐴(,𝑝,𝑏)   𝐵()   𝐶()   𝐷()   𝑃()   𝑆()   𝑇()   · ()   𝐸(,𝑝,𝑏)   ()   𝐹()   𝐺()   𝑉(,𝑝,𝑏)   𝑊(,𝑝,𝑏)

Proof of Theorem evlslem1
Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2736 . . 3 (1r𝑃) = (1r𝑃)
3 eqid 2736 . . 3 (1r𝑆) = (1r𝑆)
4 eqid 2736 . . 3 (.r𝑃) = (.r𝑃)
5 evlslem1.m . . 3 · = (.r𝑆)
6 evlslem1.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
7 evlslem1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
87crngringd 19977 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 evlslem1.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
109mplring 21424 . . . 4 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
116, 8, 10syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
12 evlslem1.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
1312crngringd 19977 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
14 2fveq3 6847 . . . . . 6 (𝑥 = (1r𝑅) → (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))))
15 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑥 = (1r𝑅) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(1r𝑅)))
1614, 15eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑥 = (1r𝑅) → ((𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))) = (𝐹‘(1r𝑅))))
17 evlslem1.d . . . . . . . . 9 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
18 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
19 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20 evlslem1.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algSc‘𝑃)
216adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐼𝑊)
228adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
23 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
249, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23mplascl 21472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴𝑥) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅))))
2524fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)))))
26 evlslem1.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
27 evlslem1.t . . . . . . . 8 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
28 evlslem1.x . . . . . . . 8 = (.g𝑇)
29 evlslem1.v . . . . . . . 8 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
30 evlslem1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
317adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
3212adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑆 ∈ CRing)
33 evlslem1.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
3433adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
35 evlslem1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐺:𝐼𝐶)
3717psrbag0 21470 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
386, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
3938adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
409, 1, 26, 19, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 21, 31, 32, 34, 36, 18, 39, 23evlslem3 21490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)))) = ((𝐹𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺))))
41 0zd 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ∈ ℤ)
42 fvexd 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ V)
43 fconstmpt 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0))
4535feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
466, 41, 42, 44, 45offval2 7637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ (0 (𝐺𝑥))))
4735ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐶)
4827, 26mgpbas 19902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = (Base‘𝑇)
4927, 3ringidval 19915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝑆) = (0g𝑇)
5048, 49, 28mulg0 18879 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → (0 (𝐺𝑥)) = (1r𝑆))
5147, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (0 (𝐺𝑥)) = (1r𝑆))
5251mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (0 (𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆)))
5346, 52eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆)))
5453oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆))))
5527crngmgp 19972 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
5612, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
5756cmnmndd 19586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
5849gsumz 18646 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆))) = (1r𝑆))
5957, 6, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆))) = (1r𝑆))
6054, 59eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺)) = (1r𝑆))
6160adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺)) = (1r𝑆))
6261oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺))) = ((𝐹𝑥) · (1r𝑆)))
6319, 26rhmf 20158 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
6433, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
6564ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
6626, 5, 3ringridm 19993 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝑥) · (1r𝑆)) = (𝐹𝑥))
6713, 65, 66syl2an2r 683 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑥) · (1r𝑆)) = (𝐹𝑥))
6862, 67eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺))) = (𝐹𝑥))
6925, 40, 683eqtrd 2780 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐹𝑥))
7069ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐹𝑥))
71 eqid 2736 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
7219, 71ringidcl 19989 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
738, 72syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
7416, 70, 73rspcdva 3582 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))) = (𝐹‘(1r𝑅)))
759mplassa 21427 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
766, 7, 75syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ AssAlg)
77 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
7820, 77asclrhm 21293 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
7976, 78syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
809, 6, 7mplsca 21417 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8180oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
8279, 81eleqtrrd 2841 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
8371, 2rhm1 20162 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) → (𝐴‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
8482, 83syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
8584fveq2d 6846 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))) = (𝐸‘(1r𝑃)))
8671, 3rhm1 20162 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
8733, 86syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
8874, 85, 873eqtr3d 2784 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘(1r𝑃)) = (1r𝑆))
89 eqid 2736 . . . . 5 (+g𝑃) = (+g𝑃)
90 eqid 2736 . . . . 5 (+g𝑆) = (+g𝑆)
9111ringgrpd 19973 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
9213ringgrpd 19973 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
93 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝑆) = (0g𝑆)
94 ringcmn 20003 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ CMnd)
9513, 94syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ CMnd)
9695adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑆 ∈ CMnd)
97 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
9817, 97rabex2 5291 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ V
9998a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐷 ∈ V)
1006adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐼𝑊)
1017adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
10212adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
10333adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10435adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐺:𝐼𝐶)
105 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑝𝐵)
1069, 1, 26, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 100, 101, 102, 103, 104, 105evlslem6 21491 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝐵) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
107106simpld 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))):𝐷𝐶)
108106simprd 496 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
10926, 93, 96, 99, 107, 108gsumcl 19692 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) ∈ 𝐶)
110109, 30fmptd 7062 . . . . 5 (𝜑𝐸:𝐵𝐶)
111 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝑅) = (+g𝑅)
112 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑥𝐵)
113 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑦𝐵)
1149, 1, 111, 89, 112, 113mpladd 21413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) = (𝑥f (+g𝑅)𝑦))
115114fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥f (+g𝑅)𝑦)‘𝑏))
116 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
1179, 19, 1, 17, 116mplelf 21404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥:𝐷⟶(Base‘𝑅))
118117ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 Fn 𝐷)
119118adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑥 Fn 𝐷)
120 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
1219, 19, 1, 17, 120mplelf 21404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦:𝐷⟶(Base‘𝑅))
122121ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐷)
123122adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑦 Fn 𝐷)
12498a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐷 ∈ V)
125 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑏𝐷)
126 fnfvof 7634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 Fn 𝐷𝑦 Fn 𝐷) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑏𝐷)) → ((𝑥f (+g𝑅)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏)))
127119, 123, 124, 125, 126syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑥f (+g𝑅)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏)))
128115, 127eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏)))
129128fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) = (𝐹‘((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏))))
130 rhmghm 20157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
13133, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
132131ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
133117ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑥𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
134121ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑦𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
13519, 111, 90ghmlin 19013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (𝑥𝑏) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏))) = ((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))))
136132, 133, 134, 135syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏))) = ((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))))
137129, 136eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) = ((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))))
138137oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
13913ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
14064ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
141140, 133ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑥𝑏)) ∈ 𝐶)
142140, 134ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑦𝑏)) ∈ 𝐶)
14356ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
14435ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐺:𝐼𝐶)
14517, 48, 28, 143, 125, 144psrbagev2 21487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)) ∈ 𝐶)
14626, 90, 5ringdir 19988 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑦𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)) ∈ 𝐶)) → (((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
147139, 141, 142, 145, 146syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
148138, 147eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
149148mpteq2dva 5205 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
15098a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
151 ovexd 7392 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) ∈ V)
152 ovexd 7392 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) ∈ V)
153 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
154 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
155150, 151, 152, 153, 154offval2 7637 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) ∘f (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = (𝑏𝐷 ↦ (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
156149, 155eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) ∘f (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
157156oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = (𝑆 Σg ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) ∘f (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))))
15895adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ CMnd)
1596adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐼𝑊)
1607adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
16112adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ CRing)
16233adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16335adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺:𝐼𝐶)
1649, 1, 26, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 159, 160, 161, 162, 163, 116evlslem6 21491 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
165164simpld 495 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))):𝐷𝐶)
1669, 1, 26, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 159, 160, 161, 162, 163, 120evlslem6 21491 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
167166simpld 495 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))):𝐷𝐶)
168164simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
169166simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
17026, 93, 90, 158, 150, 165, 167, 168, 169gsumadd 19700 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑆 Σg ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) ∘f (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))) = ((𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))(+g𝑆)(𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))))
171157, 170eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = ((𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))(+g𝑆)(𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))))
17291adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
1731, 89grpcl 18756 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
174172, 116, 120, 173syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
175 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝑝𝑏) = ((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏))
176175fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)))
177176oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
178177mpteq2dv 5207 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
179178oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
180 ovex 7390 . . . . . . . 8 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) ∈ V
181179, 30, 180fvmpt 6948 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
182174, 181syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
183 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑏) = (𝑥𝑏))
184183fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘(𝑥𝑏)))
185184oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
186185mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑥 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
187186oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑥 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
188 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) ∈ V
189187, 30, 188fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → (𝐸𝑥) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
190116, 189syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸𝑥) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
191 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑦 → (𝑝𝑏) = (𝑦𝑏))
192191fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘(𝑦𝑏)))
193192oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
194193mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑦 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
195194oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑦 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
196 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) ∈ V
197195, 30, 196fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → (𝐸𝑦) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
198197ad2antll 727 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸𝑦) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
199190, 198oveq12d 7375 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐸𝑥)(+g𝑆)(𝐸𝑦)) = ((𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))(+g𝑆)(𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))))
200171, 182, 1993eqtr4d 2786 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = ((𝐸𝑥)(+g𝑆)(𝐸𝑦)))
2011, 26, 89, 90, 91, 92, 110, 200isghmd 19017 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑆))
202 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
203202, 27rhmmhm 20153 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
20433, 203syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
205204adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
206 simprll 777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑥𝐵)
2079, 19, 1, 17, 206mplelf 21404 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑥:𝐷⟶(Base‘𝑅))
208 simprrl 779 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑧𝐷)
209207, 208ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑥𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
210 simprlr 778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑦𝐵)
2119, 19, 1, 17, 210mplelf 21404 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑦:𝐷⟶(Base‘𝑅))
212 simprrr 780 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑤𝐷)
213211, 212ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑦𝑤) ∈ (Base‘𝑅))
214202, 19mgpbas 19902 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
215 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
216202, 215mgpplusg 19900 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
21727, 5mgpplusg 19900 . . . . . . . . 9 · = (+g𝑇)
218214, 216, 217mhmlin 18609 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇) ∧ (𝑥𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦𝑤) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))))
219205, 209, 213, 218syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))))
22057ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
221 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑧𝐷)
22217psrbagf 21320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝐷𝑧:𝐼⟶ℕ0)
223221, 222syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
224223ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑧𝑣) ∈ ℕ0)
22517psrbagf 21320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐷𝑤:𝐼⟶ℕ0)
226225ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑤:𝐼⟶ℕ0)
227226ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑤𝑣) ∈ ℕ0)
22835adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐺:𝐼𝐶)
229228ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐶)
23048, 28, 217mulgnn0dir 18906 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ ((𝑧𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝑤𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐺𝑣) ∈ 𝐶)) → (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣)) = (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣))))
231220, 224, 227, 229, 230syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣)) = (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣))))
232231mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣))) = (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)))))
2336adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐼𝑊)
234 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → ((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) ∈ V)
235 fvexd 6857 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐺𝑣) ∈ V)
236223ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑧 Fn 𝐼)
237226ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑤 Fn 𝐼)
238 inidm 4178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝐼) = 𝐼
239 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑧𝑣) = (𝑧𝑣))
240 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑤𝑣) = (𝑤𝑣))
241236, 237, 233, 233, 238, 239, 240offval 7626 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧f + 𝑤) = (𝑣𝐼 ↦ ((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣))))
24235feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 = (𝑣𝐼 ↦ (𝐺𝑣)))
243242adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐺 = (𝑣𝐼 ↦ (𝐺𝑣)))
244233, 234, 235, 241, 243offval2 7637 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺) = (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣))))
245 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → ((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) ∈ V)
246 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)) ∈ V)
24735ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
248247adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐺 Fn 𝐼)
249 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐺𝑣) = (𝐺𝑣))
250236, 248, 233, 233, 238, 239, 249offval 7626 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧f 𝐺) = (𝑣𝐼 ↦ ((𝑧𝑣) (𝐺𝑣))))
251237, 248, 233, 233, 238, 240, 249offval 7626 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑤f 𝐺) = (𝑣𝐼 ↦ ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣))))
252233, 245, 246, 250, 251offval2 7637 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧f 𝐺) ∘f · (𝑤f 𝐺)) = (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)))))
253232, 244, 2523eqtr4d 2786 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺) = ((𝑧f 𝐺) ∘f · (𝑤f 𝐺)))
254253oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺)) = (𝑇 Σg ((𝑧f 𝐺) ∘f · (𝑤f 𝐺))))
25556adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑇 ∈ CMnd)
25617, 48, 28, 49, 255, 221, 228psrbagev1 21485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧f 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝑧f 𝐺) finSupp (1r𝑆)))
257256simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧f 𝐺):𝐼𝐶)
258 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑤𝐷)
25917, 48, 28, 49, 255, 258, 228psrbagev1 21485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑤f 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝑤f 𝐺) finSupp (1r𝑆)))
260259simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑤f 𝐺):𝐼𝐶)
261256simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧f 𝐺) finSupp (1r𝑆))
262259simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑤f 𝐺) finSupp (1r𝑆))
26348, 49, 217, 255, 233, 257, 260, 261, 262gsumadd 19700 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧f 𝐺) ∘f · (𝑤f 𝐺))) = ((𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺))))
264254, 263eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺)) = ((𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺))))
265264adantrl 714 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑇 Σg ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺)) = ((𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺))))
266219, 265oveq12d 7375 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)))))
26756adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑇 ∈ CMnd)
26864adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
269268, 209ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐹‘(𝑥𝑧)) ∈ 𝐶)
270268, 213ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐹‘(𝑦𝑤)) ∈ 𝐶)
27117, 48, 28, 255, 221, 228psrbagev2 21487 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) ∈ 𝐶)
272271adantrl 714 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) ∈ 𝐶)
27317, 48, 28, 255, 258, 228psrbagev2 21487 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)) ∈ 𝐶)
274273adantrl 714 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)) ∈ 𝐶)
27548, 217cmn4 19583 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ CMnd ∧ ((𝐹‘(𝑥𝑧)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑦𝑤)) ∈ 𝐶) ∧ ((𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)) ∈ 𝐶)) → (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧f 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)))))
276267, 269, 270, 272, 274, 275syl122anc 1379 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧f 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)))))
277266, 276eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧f 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)))))
2786adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐼𝑊)
2797adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑅 ∈ CRing)
28012adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑆 ∈ CRing)
28133adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
28235adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐺:𝐼𝐶)
28317psrbagaddcl 21330 . . . . . . 7 ((𝑧𝐷𝑤𝐷) → (𝑧f + 𝑤) ∈ 𝐷)
284283ad2antll 727 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑧f + 𝑤) ∈ 𝐷)
2858adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑅 ∈ Ring)
28619, 215ringcl 19981 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦𝑤) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)) ∈ (Base‘𝑅))
287285, 209, 213, 286syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)) ∈ (Base‘𝑅))
2889, 1, 26, 19, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 278, 279, 280, 281, 282, 18, 284, 287evlslem3 21490 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧f + 𝑤), ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺))))
2899, 1, 26, 19, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 278, 279, 280, 281, 282, 18, 208, 209evlslem3 21490 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥𝑧), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧f 𝐺))))
2909, 1, 26, 19, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 278, 279, 280, 281, 282, 18, 212, 213evlslem3 21490 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦𝑤), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺))))
291289, 290oveq12d 7375 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥𝑧), (0g𝑅)))) · (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦𝑤), (0g𝑅))))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧f 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)))))
292277, 288, 2913eqtr4d 2786 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧f + 𝑤), ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)), (0g𝑅)))) = ((𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥𝑧), (0g𝑅)))) · (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦𝑤), (0g𝑅))))))
2939, 1, 5, 18, 17, 6, 7, 12, 201, 292evlslem2 21489 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((𝐸𝑥) · (𝐸𝑦)))
2941, 2, 3, 4, 5, 11, 13, 88, 293, 26, 89, 90, 110, 200isrhmd 20161 . 2 (𝜑𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆))
295 ovex 7390 . . . . . 6 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) ∈ V
296295, 30fnmpti 6644 . . . . 5 𝐸 Fn 𝐵
297296a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐸 Fn 𝐵)
29819, 1rhmf 20158 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
29982, 298syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
300299ffnd 6669 . . . 4 (𝜑𝐴 Fn (Base‘𝑅))
301299frnd 6676 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐴𝐵)
302 fnco 6618 . . . 4 ((𝐸 Fn 𝐵𝐴 Fn (Base‘𝑅) ∧ ran 𝐴𝐵) → (𝐸𝐴) Fn (Base‘𝑅))
303297, 300, 301, 302syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐴) Fn (Base‘𝑅))
30464ffnd 6669 . . 3 (𝜑𝐹 Fn (Base‘𝑅))
305 fvco2 6938 . . . . 5 ((𝐴 Fn (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐸𝐴)‘𝑥) = (𝐸‘(𝐴𝑥)))
306300, 305sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐸𝐴)‘𝑥) = (𝐸‘(𝐴𝑥)))
307306, 69eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐸𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
308303, 304, 307eqfnfvd 6985 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐴) = 𝐹)
3099, 29, 1, 6, 8mvrf2 21468 . . . . 5 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
310309ffnd 6669 . . . 4 (𝜑𝑉 Fn 𝐼)
311309frnd 6676 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑉𝐵)
312 fnco 6618 . . . 4 ((𝐸 Fn 𝐵𝑉 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑉𝐵) → (𝐸𝑉) Fn 𝐼)
313297, 310, 311, 312syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝑉) Fn 𝐼)
314 fvco2 6938 . . . . 5 ((𝑉 Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((𝐸𝑉)‘𝑥) = (𝐸‘(𝑉𝑥)))
315310, 314sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐸𝑉)‘𝑥) = (𝐸‘(𝑉𝑥)))
3166adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
3177adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CRing)
318 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
31929, 17, 18, 71, 316, 317, 318mvrval 21390 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))))
320319fveq2d 6846 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐸‘(𝑉𝑥)) = (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))))
32112adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ∈ CRing)
32233adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
32335adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺:𝐼𝐶)
32417psrbagsn 21471 . . . . . . . 8 (𝐼𝑊 → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
3256, 324syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
326325adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
32773adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3289, 1, 26, 19, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 316, 317, 321, 322, 323, 18, 326, 327evlslem3 21490 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘(1r𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺))))
32987adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
330 1nn0 12429 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
331 0nn0 12428 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
332330, 331ifcli 4533 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0
333332a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0)
33435ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐶)
335 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)))
33635feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 = (𝑧𝐼 ↦ (𝐺𝑧)))
3376, 333, 334, 335, 336offval2 7637 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺) = (𝑧𝐼 ↦ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧))))
338 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → (1 (𝐺𝑧)) = (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)))
339338eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (1 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → ((1 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) ↔ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
340 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → (0 (𝐺𝑧)) = (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)))
341340eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → ((0 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) ↔ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
342334adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐶)
34348, 28mulg1 18883 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑧) ∈ 𝐶 → (1 (𝐺𝑧)) = (𝐺𝑧))
344342, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (1 (𝐺𝑧)) = (𝐺𝑧))
345 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (𝐺𝑧))
346345adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (𝐺𝑧))
347344, 346eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (1 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
34848, 49, 28mulg0 18879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑧) ∈ 𝐶 → (0 (𝐺𝑧)) = (1r𝑆))
349334, 348syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐼) → (0 (𝐺𝑧)) = (1r𝑆))
350349adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → (0 (𝐺𝑧)) = (1r𝑆))
351 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
352351adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
353350, 352eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → (0 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
354339, 341, 347, 353ifbothda 4524 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
355354mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧))) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
356337, 355eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
357356adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
358357oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))))
35957adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
360334adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐶)
36126, 3ringidcl 19989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ 𝐶)
36213, 361syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ 𝐶)
363362ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → (1r𝑆) ∈ 𝐶)
364360, 363ifcld 4532 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) ∈ 𝐶)
365364fmpttd 7063 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))):𝐼𝐶)
366 eldifsnneq 4751 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ¬ 𝑧 = 𝑥)
367366, 351syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
368367adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
369368, 316suppss2 8131 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))) supp (1r𝑆)) ⊆ {𝑥})
37048, 49, 359, 316, 318, 365, 369gsumpt 19739 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))) = ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))‘𝑥))
371 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑥))
372345, 371eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (𝐺𝑥))
373 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
374 fvex 6855 . . . . . . . . . 10 (𝐺𝑥) ∈ V
375372, 373, 374fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
376375adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
377358, 370, 3763eqtrd 2780 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺)) = (𝐺𝑥))
378329, 377oveq12d 7375 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹‘(1r𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺))) = ((1r𝑆) · (𝐺𝑥)))
37926, 5, 3ringlidm 19992 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐶) → ((1r𝑆) · (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
38013, 47, 379syl2an2r 683 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((1r𝑆) · (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
381378, 380eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹‘(1r𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺))) = (𝐺𝑥))
382320, 328, 3813eqtrd 2780 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐸‘(𝑉𝑥)) = (𝐺𝑥))
383315, 382eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐸𝑉)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
384313, 247, 383eqfnfvd 6985 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑉) = 𝐺)
385294, 308, 3843jca 1128 1 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸𝑉) = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  ran crn 5634  cima 5636  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599  Grpcgrp 18748  .gcmg 18872   GrpHom cghm 19005  CMndccmn 19562  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   RingHom crh 20143  AssAlgcasa 21256  algSccascl 21258   mVar cmvr 21307   mPoly cmpl 21308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-assa 21259  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313
This theorem is referenced by:  evlseu  21493  evlsval3  40732
  Copyright terms: Public domain W3C validator