Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem1 19986
 Description: Lemma for evlseu 19987, give a formula for (the unique) polynomial evaluation homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem1.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem1.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem1.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem1.x = (.g𝑇)
evlslem1.m · = (.r𝑆)
evlslem1.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem1.e 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
evlslem1.i (𝜑𝐼 ∈ V)
evlslem1.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlslem1.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlslem1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
evlslem1.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
evlslem1 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸𝑉) = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝐵   𝐶,𝑏,𝑝   𝜑,𝑏,𝑝   𝐹,𝑏,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   𝐷,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝐼,𝑝   𝑅,𝑏,,𝑝   𝐺,𝑏,𝑝   𝑃,𝑏,𝑝   𝑆,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐴(,𝑝,𝑏)   𝐵()   𝐶()   𝐷()   𝑃()   𝑆()   𝑇()   · ()   𝐸(,𝑝,𝑏)   ()   𝐹()   𝐺()   𝑉(,𝑝,𝑏)

Proof of Theorem evlslem1
Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2797 . . 3 (1r𝑃) = (1r𝑃)
3 eqid 2797 . . 3 (1r𝑆) = (1r𝑆)
4 eqid 2797 . . 3 (.r𝑃) = (.r𝑃)
5 evlslem1.m . . 3 · = (.r𝑆)
6 evlslem1.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
7 evlslem1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
8 crngring 19002 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 evlslem1.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
1110mplring 19924 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
126, 9, 11syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
13 evlslem1.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
14 crngring 19002 . . . 4 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
16 2fveq3 6550 . . . . . 6 (𝑥 = (1r𝑅) → (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))))
17 fveq2 6545 . . . . . 6 (𝑥 = (1r𝑅) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(1r𝑅)))
1816, 17eqeq12d 2812 . . . . 5 (𝑥 = (1r𝑅) → ((𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))) = (𝐹‘(1r𝑅))))
19 evlslem1.d . . . . . . . . 9 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
20 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
21 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22 evlslem1.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algSc‘𝑃)
236adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ V)
249adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
25 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
2610, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mplascl 19967 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴𝑥) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅))))
2726fveq2d 6549 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)))))
28 evlslem1.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
29 evlslem1.t . . . . . . . 8 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
30 evlslem1.x . . . . . . . 8 = (.g𝑇)
31 evlslem1.v . . . . . . . 8 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
32 evlslem1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
337adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
3413adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑆 ∈ CRing)
35 evlslem1.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
37 evlslem1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐺:𝐼𝐶)
3919psrbag0 19965 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ V → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
406, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
4140adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
4210, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 23, 33, 34, 36, 38, 20, 41, 25evlslem3 19984 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)))) = ((𝐹𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺))))
43 0zd 11847 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ∈ ℤ)
44 fvexd 6560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ V)
45 fconstmpt 5507 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0))
4737feqmptd 6608 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
486, 43, 44, 46, 47offval2 7291 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ (0 (𝐺𝑥))))
4937ffvelrnda 6723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐶)
5029, 28mgpbas 18939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = (Base‘𝑇)
5129, 3ringidval 18947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝑆) = (0g𝑇)
5250, 51, 30mulg0 17992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → (0 (𝐺𝑥)) = (1r𝑆))
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (0 (𝐺𝑥)) = (1r𝑆))
5453mpteq2dva 5062 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (0 (𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆)))
5548, 54eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆)))
5655oveq2d 7039 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆))))
5729crngmgp 18999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
5813, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
59 cmnmnd 18652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
6151gsumz 17817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆))) = (1r𝑆))
6260, 6, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆))) = (1r𝑆))
6356, 62eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺)) = (1r𝑆))
6463adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺)) = (1r𝑆))
6564oveq2d 7039 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺))) = ((𝐹𝑥) · (1r𝑆)))
6621, 28rhmf 19172 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
6735, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
6867ffvelrnda 6723 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
6928, 5, 3ringridm 19016 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝑥) · (1r𝑆)) = (𝐹𝑥))
7015, 68, 69syl2an2r 681 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑥) · (1r𝑆)) = (𝐹𝑥))
7165, 70eqtrd 2833 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺))) = (𝐹𝑥))
7227, 42, 713eqtrd 2837 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐹𝑥))
7372ralrimiva 3151 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐹𝑥))
74 eqid 2797 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
7521, 74ringidcl 19012 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
769, 75syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
7718, 73, 76rspcdva 3567 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))) = (𝐹‘(1r𝑅)))
7810mplassa 19926 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
796, 7, 78syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ AssAlg)
80 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
8122, 80asclrhm 19811 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
8279, 81syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
8310, 6, 7mplsca 19917 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8483oveq1d 7038 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
8582, 84eleqtrrd 2888 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
8674, 2rhm1 19176 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) → (𝐴‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
8785, 86syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
8887fveq2d 6549 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))) = (𝐸‘(1r𝑃)))
8974, 3rhm1 19176 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
9035, 89syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
9177, 88, 903eqtr3d 2841 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘(1r𝑃)) = (1r𝑆))
92 eqid 2797 . . . . 5 (+g𝑃) = (+g𝑃)
93 eqid 2797 . . . . 5 (+g𝑆) = (+g𝑆)
94 ringgrp 18996 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
9512, 94syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
96 ringgrp 18996 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
9715, 96syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
98 eqid 2797 . . . . . . 7 (0g𝑆) = (0g𝑆)
99 ringcmn 19025 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ CMnd)
10015, 99syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ CMnd)
101100adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑆 ∈ CMnd)
102 ovex 7055 . . . . . . . . 9 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
10319, 102rabex2 5135 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ V
104103a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐷 ∈ V)
1056adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐼 ∈ V)
1067adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
10713adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
10835adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10937adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐺:𝐼𝐶)
110 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑝𝐵)
11110, 1, 28, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 105, 106, 107, 108, 109, 110evlslem6 19985 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝐵) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
112111simpld 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶)
113111simprd 496 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
11428, 98, 101, 104, 112, 113gsumcl 18760 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ 𝐶)
115114, 32fmptd 6748 . . . . 5 (𝜑𝐸:𝐵𝐶)
116 eqid 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝑅) = (+g𝑅)
117 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑥𝐵)
118 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑦𝐵)
11910, 1, 116, 92, 117, 118mpladd 19914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) = (𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦))
120119fveq1d 6547 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦)‘𝑏))
121 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
12210, 21, 1, 19, 121mplelf 19905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥:𝐷⟶(Base‘𝑅))
123122ffnd 6390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 Fn 𝐷)
124123adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑥 Fn 𝐷)
125 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
12610, 21, 1, 19, 125mplelf 19905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦:𝐷⟶(Base‘𝑅))
127126ffnd 6390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐷)
128127adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑦 Fn 𝐷)
129103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐷 ∈ V)
130 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑏𝐷)
131 fnfvof 7288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 Fn 𝐷𝑦 Fn 𝐷) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑏𝐷)) → ((𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏)))
132124, 128, 129, 130, 131syl22anc 835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏)))
133120, 132eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏)))
134133fveq2d 6549 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) = (𝐹‘((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏))))
135 rhmghm 19171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
13635, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
137136ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
138122ffvelrnda 6723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑥𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
139126ffvelrnda 6723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑦𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
14021, 116, 93ghmlin 18108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (𝑥𝑏) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏))) = ((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))))
141137, 138, 139, 140syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏))) = ((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))))
142134, 141eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) = ((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))))
143142oveq1d 7038 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
14415ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
14567ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
146145, 138ffvelrnd 6724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑥𝑏)) ∈ 𝐶)
147145, 139ffvelrnd 6724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑦𝑏)) ∈ 𝐶)
14858ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
14937ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐺:𝐼𝐶)
1506ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐼 ∈ V)
15119, 50, 30, 148, 130, 149, 150psrbagev2 19982 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
15228, 93, 5ringdir 19011 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑦𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)) → (((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
153144, 146, 147, 151, 152syl13anc 1365 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
154143, 153eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
155154mpteq2dva 5062 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
156103a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
157 ovexd 7057 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ V)
158 ovexd 7057 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ V)
159 eqidd 2798 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
160 eqidd 2798 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
161156, 157, 158, 159, 160offval2 7291 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∘𝑓 (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑏𝐷 ↦ (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
162155, 161eqtr4d 2836 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∘𝑓 (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
163162oveq2d 7039 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∘𝑓 (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))))
164100adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ CMnd)
1656adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐼 ∈ V)
1667adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
16713adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ CRing)
16835adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16937adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺:𝐼𝐶)
17010, 1, 28, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 165, 166, 167, 168, 169, 121evlslem6 19985 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
171170simpld 495 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶)
17210, 1, 28, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 165, 166, 167, 168, 169, 125evlslem6 19985 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
173172simpld 495 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶)
174170simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
175172simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
17628, 98, 93, 164, 156, 171, 173, 174, 175gsumadd 18767 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑆 Σg ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∘𝑓 (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))) = ((𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))(+g𝑆)(𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))))
177163, 176eqtrd 2833 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = ((𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))(+g𝑆)(𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))))
17895adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
1791, 92grpcl 17873 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
180178, 121, 125, 179syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
181 fveq1 6544 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝑝𝑏) = ((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏))
182181fveq2d 6549 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)))
183182oveq1d 7038 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
184183mpteq2dv 5063 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
185184oveq2d 7039 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
186 ovex 7055 . . . . . . . 8 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ V
187185, 32, 186fvmpt 6642 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
188180, 187syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
189 fveq1 6544 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑏) = (𝑥𝑏))
190189fveq2d 6549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘(𝑥𝑏)))
191190oveq1d 7038 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
192191mpteq2dv 5063 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑥 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
193192oveq2d 7039 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑥 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
194 ovex 7055 . . . . . . . . 9 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ V
195193, 32, 194fvmpt 6642 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → (𝐸𝑥) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
196121, 195syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸𝑥) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
197 fveq1 6544 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑦 → (𝑝𝑏) = (𝑦𝑏))
198197fveq2d 6549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘(𝑦𝑏)))
199198oveq1d 7038 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
200199mpteq2dv 5063 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑦 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
201200oveq2d 7039 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑦 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
202 ovex 7055 . . . . . . . . 9 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ V
203201, 32, 202fvmpt 6642 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → (𝐸𝑦) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
204203ad2antll 725 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸𝑦) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
205196, 204oveq12d 7041 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐸𝑥)(+g𝑆)(𝐸𝑦)) = ((𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))(+g𝑆)(𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))))
206177, 188, 2053eqtr4d 2843 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = ((𝐸𝑥)(+g𝑆)(𝐸𝑦)))
2071, 28, 92, 93, 95, 97, 115, 206isghmd 18112 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑆))
208 eqid 2797 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
209208, 29rhmmhm 19168 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
21035, 209syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
211210adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
212 simprll 775 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑥𝐵)
21310, 21, 1, 19, 212mplelf 19905 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑥:𝐷⟶(Base‘𝑅))
214 simprrl 777 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑧𝐷)
215213, 214ffvelrnd 6724 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑥𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
216 simprlr 776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑦𝐵)
21710, 21, 1, 19, 216mplelf 19905 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑦:𝐷⟶(Base‘𝑅))
218 simprrr 778 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑤𝐷)
219217, 218ffvelrnd 6724 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑦𝑤) ∈ (Base‘𝑅))
220208, 21mgpbas 18939 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
221 eqid 2797 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
222208, 221mgpplusg 18937 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
22329, 5mgpplusg 18937 . . . . . . . . 9 · = (+g𝑇)
224220, 222, 223mhmlin 17785 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇) ∧ (𝑥𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦𝑤) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))))
225211, 215, 219, 224syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))))
22660ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
227 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑧𝐷)
22819psrbagf 19837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
2296, 227, 228syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
230229ffvelrnda 6723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑧𝑣) ∈ ℕ0)
231 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑤𝐷)
23219psrbagf 19837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑤𝐷) → 𝑤:𝐼⟶ℕ0)
2336, 231, 232syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑤:𝐼⟶ℕ0)
234233ffvelrnda 6723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑤𝑣) ∈ ℕ0)
23537adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐺:𝐼𝐶)
236235ffvelrnda 6723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐶)
23750, 30, 223mulgnn0dir 18015 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ ((𝑧𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝑤𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐺𝑣) ∈ 𝐶)) → (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣)) = (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣))))
238226, 230, 234, 236, 237syl13anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣)) = (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣))))
239238mpteq2dva 5062 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣))) = (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)))))
2406adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐼 ∈ V)
241 ovexd 7057 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → ((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) ∈ V)
242 fvexd 6560 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐺𝑣) ∈ V)
243229ffnd 6390 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑧 Fn 𝐼)
244233ffnd 6390 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑤 Fn 𝐼)
245 inidm 4121 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝐼) = 𝐼
246 eqidd 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑧𝑣) = (𝑧𝑣))
247 eqidd 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑤𝑣) = (𝑤𝑣))
248243, 244, 240, 240, 245, 246, 247offval 7281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧𝑓 + 𝑤) = (𝑣𝐼 ↦ ((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣))))
24937feqmptd 6608 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 = (𝑣𝐼 ↦ (𝐺𝑣)))
250249adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐺 = (𝑣𝐼 ↦ (𝐺𝑣)))
251240, 241, 242, 248, 250offval2 7291 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺) = (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣))))
252 ovexd 7057 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → ((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) ∈ V)
253 ovexd 7057 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)) ∈ V)
25437ffnd 6390 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
255254adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐺 Fn 𝐼)
256 eqidd 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐺𝑣) = (𝐺𝑣))
257243, 255, 240, 240, 245, 246, 256offval 7281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧𝑓 𝐺) = (𝑣𝐼 ↦ ((𝑧𝑣) (𝐺𝑣))))
258244, 255, 240, 240, 245, 247, 256offval 7281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑤𝑓 𝐺) = (𝑣𝐼 ↦ ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣))))
259240, 252, 253, 257, 258offval2 7291 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧𝑓 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤𝑓 𝐺)) = (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)))))
260239, 251, 2593eqtr4d 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺) = ((𝑧𝑓 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤𝑓 𝐺)))
261260oveq2d 7039 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺)) = (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤𝑓 𝐺))))
26258adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑇 ∈ CMnd)
26319, 50, 30, 51, 262, 227, 235, 240psrbagev1 19981 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧𝑓 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝑧𝑓 𝐺) finSupp (1r𝑆)))
264263simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧𝑓 𝐺):𝐼𝐶)
26519, 50, 30, 51, 262, 231, 235, 240psrbagev1 19981 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑤𝑓 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝑤𝑓 𝐺) finSupp (1r𝑆)))
266265simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑤𝑓 𝐺):𝐼𝐶)
267263simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧𝑓 𝐺) finSupp (1r𝑆))
268265simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑤𝑓 𝐺) finSupp (1r𝑆))
26950, 51, 223, 262, 240, 264, 266, 267, 268gsumadd 18767 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤𝑓 𝐺))) = ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺))))
270261, 269eqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺)) = ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺))))
271270adantrl 712 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺)) = ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺))))
272225, 271oveq12d 7041 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))))
27358adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑇 ∈ CMnd)
27467adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
275274, 215ffvelrnd 6724 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐹‘(𝑥𝑧)) ∈ 𝐶)
276274, 219ffvelrnd 6724 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐹‘(𝑦𝑤)) ∈ 𝐶)
27719, 50, 30, 262, 227, 235, 240psrbagev2 19982 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
278277adantrl 712 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
27919, 50, 30, 262, 231, 235, 240psrbagev2 19982 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
280279adantrl 712 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
28150, 223cmn4 18656 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ CMnd ∧ ((𝐹‘(𝑥𝑧)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑦𝑤)) ∈ 𝐶) ∧ ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)) → (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))))
282273, 275, 276, 278, 280, 281syl122anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))))
283272, 282eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))))
2846adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐼 ∈ V)
2857adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑅 ∈ CRing)
28613adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑆 ∈ CRing)
28735adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
28837adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐺:𝐼𝐶)
28919psrbagaddcl 19842 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑧𝐷𝑤𝐷) → (𝑧𝑓 + 𝑤) ∈ 𝐷)
290284, 214, 218, 289syl3anc 1364 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑧𝑓 + 𝑤) ∈ 𝐷)
2919adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑅 ∈ Ring)
29221, 221ringcl 19005 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦𝑤) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)) ∈ (Base‘𝑅))
293291, 215, 219, 292syl3anc 1364 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)) ∈ (Base‘𝑅))
29410, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 284, 285, 286, 287, 288, 20, 290, 293evlslem3 19984 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧𝑓 + 𝑤), ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺))))
29510, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 284, 285, 286, 287, 288, 20, 214, 215evlslem3 19984 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥𝑧), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺))))
29610, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 284, 285, 286, 287, 288, 20, 218, 219evlslem3 19984 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦𝑤), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺))))
297295, 296oveq12d 7041 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥𝑧), (0g𝑅)))) · (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦𝑤), (0g𝑅))))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))))
298283, 294, 2973eqtr4d 2843 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧𝑓 + 𝑤), ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)), (0g𝑅)))) = ((𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥𝑧), (0g𝑅)))) · (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦𝑤), (0g𝑅))))))
29910, 1, 5, 20, 19, 6, 7, 13, 207, 298evlslem2 19983 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((𝐸𝑥) · (𝐸𝑦)))
3001, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 91, 299, 28, 92, 93, 115, 206isrhmd 19175 . 2 (𝜑𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆))
301 ovex 7055 . . . . . 6 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ V
302301, 32fnmpti 6366 . . . . 5 𝐸 Fn 𝐵
303302a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐸 Fn 𝐵)
30421, 1rhmf 19172 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
30585, 304syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
306305ffnd 6390 . . . 4 (𝜑𝐴 Fn (Base‘𝑅))
307305frnd 6396 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐴𝐵)
308 fnco 6342 . . . 4 ((𝐸 Fn 𝐵𝐴 Fn (Base‘𝑅) ∧ ran 𝐴𝐵) → (𝐸𝐴) Fn (Base‘𝑅))
309303, 306, 307, 308syl3anc 1364 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐴) Fn (Base‘𝑅))
31067ffnd 6390 . . 3 (𝜑𝐹 Fn (Base‘𝑅))
311 fvco2 6632 . . . . 5 ((𝐴 Fn (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐸𝐴)‘𝑥) = (𝐸‘(𝐴𝑥)))
312306, 311sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐸𝐴)‘𝑥) = (𝐸‘(𝐴𝑥)))
313312, 72eqtrd 2833 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐸𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
314309, 310, 313eqfnfvd 6677 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐴) = 𝐹)
31510, 31, 1, 6, 9mvrf2 19963 . . . . 5 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
316315ffnd 6390 . . . 4 (𝜑𝑉 Fn 𝐼)
317315frnd 6396 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑉𝐵)
318 fnco 6342 . . . 4 ((𝐸 Fn 𝐵𝑉 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑉𝐵) → (𝐸𝑉) Fn 𝐼)
319303, 316, 317, 318syl3anc 1364 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝑉) Fn 𝐼)
320 fvco2 6632 . . . . 5 ((𝑉 Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((𝐸𝑉)‘𝑥) = (𝐸‘(𝑉𝑥)))
321316, 320sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐸𝑉)‘𝑥) = (𝐸‘(𝑉𝑥)))
3226adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼 ∈ V)
3237adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CRing)
324 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
32531, 19, 20, 74, 322, 323, 324mvrval 19893 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))))
326325fveq2d 6549 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐸‘(𝑉𝑥)) = (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))))
32713adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ∈ CRing)
32835adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
32937adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺:𝐼𝐶)
33019psrbagsn 19966 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ V → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
3316, 330syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
332331adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
33376adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
33410, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 322, 323, 327, 328, 329, 20, 332, 333evlslem3 19984 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘(1r𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺))))
33590adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
336 1nn0 11767 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
337 0nn0 11766 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
338336, 337ifcli 4433 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0
339338a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0)
34037ffvelrnda 6723 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐶)
341 eqidd 2798 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)))
34237feqmptd 6608 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 = (𝑧𝐼 ↦ (𝐺𝑧)))
3436, 339, 340, 341, 342offval2 7291 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺) = (𝑧𝐼 ↦ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧))))
344 oveq1 7030 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → (1 (𝐺𝑧)) = (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)))
345344eqeq1d 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (1 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → ((1 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) ↔ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
346 oveq1 7030 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → (0 (𝐺𝑧)) = (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)))
347346eqeq1d 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → ((0 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) ↔ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
348340adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐶)
34950, 30mulg1 17994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑧) ∈ 𝐶 → (1 (𝐺𝑧)) = (𝐺𝑧))
350348, 349syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (1 (𝐺𝑧)) = (𝐺𝑧))
351 iftrue 4393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (𝐺𝑧))
352351adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (𝐺𝑧))
353350, 352eqtr4d 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (1 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
35450, 51, 30mulg0 17992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑧) ∈ 𝐶 → (0 (𝐺𝑧)) = (1r𝑆))
355340, 354syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐼) → (0 (𝐺𝑧)) = (1r𝑆))
356355adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → (0 (𝐺𝑧)) = (1r𝑆))
357 iffalse 4396 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
358357adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
359356, 358eqtr4d 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → (0 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
360345, 347, 353, 359ifbothda 4424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
361360mpteq2dva 5062 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧))) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
362343, 361eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
363362adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
364363oveq2d 7039 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))))
36560adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
366340adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐶)
36728, 3ringidcl 19012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ 𝐶)
36815, 367syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ 𝐶)
369368ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → (1r𝑆) ∈ 𝐶)
370366, 369ifcld 4432 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) ∈ 𝐶)
371370fmpttd 6749 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))):𝐼𝐶)
372 eldifsnneq 4636 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ¬ 𝑧 = 𝑥)
373372, 357syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
374373adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
375374, 322suppss2 7722 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))) supp (1r𝑆)) ⊆ {𝑥})
37650, 51, 365, 322, 324, 371, 375gsumpt 18806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))) = ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))‘𝑥))
377 fveq2 6545 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑥))
378351, 377eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (𝐺𝑥))
379 eqid 2797 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
380 fvex 6558 . . . . . . . . . 10 (𝐺𝑥) ∈ V
381378, 379, 380fvmpt 6642 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
382381adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
383364, 376, 3823eqtrd 2837 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺)) = (𝐺𝑥))
384335, 383oveq12d 7041 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹‘(1r𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺))) = ((1r𝑆) · (𝐺𝑥)))
38528, 5, 3ringlidm 19015 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐶) → ((1r𝑆) · (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
38615, 49, 385syl2an2r 681 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((1r𝑆) · (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
387384, 386eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹‘(1r𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺))) = (𝐺𝑥))
388326, 334, 3873eqtrd 2837 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐸‘(𝑉𝑥)) = (𝐺𝑥))
389321, 388eqtrd 2833 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐸𝑉)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
390319, 254, 389eqfnfvd 6677 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑉) = 𝐺)
391300, 314, 3903jca 1121 1 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸𝑉) = 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  {crab 3111  Vcvv 3440   ∖ cdif 3862   ⊆ wss 3865  ifcif 4387  {csn 4478   class class class wbr 4968   ↦ cmpt 5047   × cxp 5448  ◡ccnv 5449  ran crn 5451   “ cima 5453   ∘ ccom 5454   Fn wfn 6227  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023   ∘𝑓 cof 7272   ↑𝑚 cmap 8263  Fincfn 8364   finSupp cfsupp 8686  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393  ℕcn 11492  ℕ0cn0 11751  ℤcz 11835  Basecbs 16316  +gcplusg 16398  .rcmulr 16399  Scalarcsca 16401  0gc0g 16546   Σg cgsu 16547  Mndcmnd 17737   MndHom cmhm 17776  Grpcgrp 17865  .gcmg 17985   GrpHom cghm 18100  CMndccmn 18637  mulGrpcmgp 18933  1rcur 18945  Ringcrg 18991  CRingccrg 18992   RingHom crh 19158  AssAlgcasa 19775  algSccascl 19777   mVar cmvr 19824   mPoly cmpl 19825 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-ofr 7275  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-tset 16417  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-mhm 17778  df-submnd 17779  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-mulg 17986  df-subg 18034  df-ghm 18101  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-cring 18994  df-rnghom 19161  df-subrg 19227  df-lmod 19330  df-lss 19398  df-assa 19778  df-ascl 19780  df-psr 19828  df-mvr 19829  df-mpl 19830 This theorem is referenced by:  evlseu  19987
 Copyright terms: Public domain W3C validator