MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem1 21636
Description: Lemma for evlseu 21637, give a formula for (the unique) polynomial evaluation homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlslem1.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
evlslem1.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlslem1.t 𝑇 = (mulGrpβ€˜π‘†)
evlslem1.x ↑ = (.gβ€˜π‘‡)
evlslem1.m Β· = (.rβ€˜π‘†)
evlslem1.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem1.e 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐡 ↦ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
evlslem1.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
evlslem1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evlslem1.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlslem1.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem1.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
evlslem1.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
evlslem1 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸 ∘ 𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ 𝑉) = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝐡   𝐢,𝑏,𝑝   πœ‘,𝑏,𝑝   𝐹,𝑏,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   𝐷,𝑏,𝑝   β„Ž,𝑏,𝐼,𝑝   𝑅,𝑏,β„Ž,𝑝   𝐺,𝑏,𝑝   𝑃,𝑏,𝑝   𝑆,𝑏,𝑝   Β· ,𝑏,𝑝   ↑ ,𝑏,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(β„Ž,𝑝,𝑏)   𝐡(β„Ž)   𝐢(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑃(β„Ž)   𝑆(β„Ž)   𝑇(β„Ž)   Β· (β„Ž)   𝐸(β„Ž,𝑝,𝑏)   ↑ (β„Ž)   𝐹(β„Ž)   𝐺(β„Ž)   𝑉(β„Ž,𝑝,𝑏)   π‘Š(β„Ž,𝑝,𝑏)

Proof of Theorem evlslem1
Dummy variables π‘₯ 𝑣 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2 eqid 2732 . . 3 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
3 eqid 2732 . . 3 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
4 eqid 2732 . . 3 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
5 evlslem1.m . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘†)
6 evlslem1.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
7 evlslem1.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
87crngringd 20062 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9 evlslem1.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
109mplring 21569 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
116, 8, 10syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
12 evlslem1.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
1312crngringd 20062 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
14 2fveq3 6893 . . . . . 6 (π‘₯ = (1rβ€˜π‘…) β†’ (πΈβ€˜(π΄β€˜π‘₯)) = (πΈβ€˜(π΄β€˜(1rβ€˜π‘…))))
15 fveq2 6888 . . . . . 6 (π‘₯ = (1rβ€˜π‘…) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
1614, 15eqeq12d 2748 . . . . 5 (π‘₯ = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((πΈβ€˜(π΄β€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΈβ€˜(π΄β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…))))
17 evlslem1.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
18 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
19 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
20 evlslem1.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
216adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
228adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
249, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23mplascl 21616 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π΄β€˜π‘₯) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), π‘₯, (0gβ€˜π‘…))))
2524fveq2d 6892 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΈβ€˜(π΄β€˜π‘₯)) = (πΈβ€˜(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), π‘₯, (0gβ€˜π‘…)))))
26 evlslem1.c . . . . . . . 8 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
27 evlslem1.t . . . . . . . 8 𝑇 = (mulGrpβ€˜π‘†)
28 evlslem1.x . . . . . . . 8 ↑ = (.gβ€˜π‘‡)
29 evlslem1.v . . . . . . . 8 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
30 evlslem1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐡 ↦ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
317adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
3212adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
33 evlslem1.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
3433adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
35 evlslem1.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
3717psrbag0 21614 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐷)
386, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐷)
3938adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐷)
409, 1, 26, 19, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 21, 31, 32, 34, 36, 18, 39, 23evlslem3 21634 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΈβ€˜(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), π‘₯, (0gβ€˜π‘…)))) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (𝑇 Ξ£g ((𝐼 Γ— {0}) ∘f ↑ 𝐺))))
41 0zd 12566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ∈ β„€)
42 fvexd 6903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ V)
43 fconstmpt 5736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0))
4535feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
466, 41, 42, 44, 45offval2 7686 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐼 Γ— {0}) ∘f ↑ 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (0 ↑ (πΊβ€˜π‘₯))))
4735ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
4827, 26mgpbas 19987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
4927, 3ringidval 20000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1rβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘‡)
5048, 49, 28mulg0 18951 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐢 β†’ (0 ↑ (πΊβ€˜π‘₯)) = (1rβ€˜π‘†))
5147, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (0 ↑ (πΊβ€˜π‘₯)) = (1rβ€˜π‘†))
5251mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (0 ↑ (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (1rβ€˜π‘†)))
5346, 52eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐼 Γ— {0}) ∘f ↑ 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (1rβ€˜π‘†)))
5453oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇 Ξ£g ((𝐼 Γ— {0}) ∘f ↑ 𝐺)) = (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (1rβ€˜π‘†))))
5527crngmgp 20057 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ CRing β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
5612, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
5756cmnmndd 19666 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
5849gsumz 18713 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (1rβ€˜π‘†))) = (1rβ€˜π‘†))
5957, 6, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (1rβ€˜π‘†))) = (1rβ€˜π‘†))
6054, 59eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑇 Ξ£g ((𝐼 Γ— {0}) ∘f ↑ 𝐺)) = (1rβ€˜π‘†))
6160adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑇 Ξ£g ((𝐼 Γ— {0}) ∘f ↑ 𝐺)) = (1rβ€˜π‘†))
6261oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (𝑇 Ξ£g ((𝐼 Γ— {0}) ∘f ↑ 𝐺))) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (1rβ€˜π‘†)))
6319, 26rhmf 20255 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢𝐢)
6433, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢𝐢)
6564ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
6626, 5, 3ringridm 20080 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (1rβ€˜π‘†)) = (πΉβ€˜π‘₯))
6713, 65, 66syl2an2r 683 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (1rβ€˜π‘†)) = (πΉβ€˜π‘₯))
6862, 67eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (𝑇 Ξ£g ((𝐼 Γ— {0}) ∘f ↑ 𝐺))) = (πΉβ€˜π‘₯))
6925, 40, 683eqtrd 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΈβ€˜(π΄β€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
7069ralrimiva 3146 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(πΈβ€˜(π΄β€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
71 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
7219, 71ringidcl 20076 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
738, 72syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7416, 70, 73rspcdva 3613 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π΄β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
759mplassa 21572 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ AssAlg)
766, 7, 75syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ AssAlg)
77 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
7820, 77asclrhm 21435 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ AssAlg β†’ 𝐴 ∈ ((Scalarβ€˜π‘ƒ) RingHom 𝑃))
7976, 78syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((Scalarβ€˜π‘ƒ) RingHom 𝑃))
809, 6, 7mplsca 21563 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
8180oveq1d 7420 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalarβ€˜π‘ƒ) RingHom 𝑃))
8279, 81eleqtrrd 2836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
8371, 2rhm1 20259 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) β†’ (π΄β€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
8482, 83syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
8584fveq2d 6892 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π΄β€˜(1rβ€˜π‘…))) = (πΈβ€˜(1rβ€˜π‘ƒ)))
8671, 3rhm1 20259 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘†))
8733, 86syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘†))
8874, 85, 873eqtr3d 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = (1rβ€˜π‘†))
89 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
90 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
9111ringgrpd 20058 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Grp)
9213ringgrpd 20058 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Grp)
93 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
94 ringcmn 20092 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
9513, 94syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
9695adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
97 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
9817, 97rabex2 5333 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ V
9998a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ V)
1006adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
1017adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
10212adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
10333adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10435adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
105 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
1069, 1, 26, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 100, 101, 102, 103, 104, 105evlslem6 21635 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟢𝐢 ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) finSupp (0gβ€˜π‘†)))
107106simpld 495 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟢𝐢)
108106simprd 496 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
10926, 93, 96, 99, 107, 108gsumcl 19777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ 𝐢)
110109, 30fmptd 7110 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸:𝐡⟢𝐢)
111 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
112 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
113 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1149, 1, 111, 89, 112, 113mpladd 21559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑦))
115114fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘) = ((π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑦)β€˜π‘))
116 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
1179, 19, 1, 17, 116mplelf 21548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
118117ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ Fn 𝐷)
119118adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ Fn 𝐷)
120 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1219, 19, 1, 17, 120mplelf 21548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
122121ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 Fn 𝐷)
123122adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 Fn 𝐷)
12498a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 ∈ V)
125 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
126 fnfvof 7683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ Fn 𝐷 ∧ 𝑦 Fn 𝐷) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ ((π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑦)β€˜π‘) = ((π‘₯β€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘)))
127119, 123, 124, 125, 126syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑦)β€˜π‘) = ((π‘₯β€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘)))
128115, 127eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘) = ((π‘₯β€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘)))
129128fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘)) = (πΉβ€˜((π‘₯β€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘))))
130 rhmghm 20254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
13133, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
132131ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
133117ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
134121ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (π‘¦β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
13519, 111, 90ghmlin 19091 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (π‘₯β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘¦β€˜π‘) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯β€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘))) = ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘))))
136132, 133, 134, 135syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯β€˜π‘)(+gβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘))) = ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘))))
137129, 136eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘)) = ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘))))
138137oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘))) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
13913ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
14064ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢𝐢)
141140, 133ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) ∈ 𝐢)
142140, 134ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) ∈ 𝐢)
14356ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
14435ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
14517, 48, 28, 143, 125, 144psrbagev2 21631 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐢)
14626, 90, 5ringdir 20075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) ∈ 𝐢 ∧ (πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) ∈ 𝐢 ∧ (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐢)) β†’ (((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘))) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))(+gβ€˜π‘†)((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
147139, 141, 142, 145, 146syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘))(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘))) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))(+gβ€˜π‘†)((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
148138, 147eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))(+gβ€˜π‘†)((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
149148mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))(+gβ€˜π‘†)((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
15098a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ V)
151 ovexd 7440 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ V)
152 ovexd 7440 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ V)
153 eqidd 2733 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
154 eqidd 2733 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
155150, 151, 152, 153, 154offval2 7686 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) ∘f (+gβ€˜π‘†)(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))(+gβ€˜π‘†)((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
156149, 155eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) ∘f (+gβ€˜π‘†)(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
157156oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Ξ£g ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) ∘f (+gβ€˜π‘†)(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))))
15895adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
1596adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
1607adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
16112adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
16233adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16335adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
1649, 1, 26, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 159, 160, 161, 162, 163, 116evlslem6 21635 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟢𝐢 ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) finSupp (0gβ€˜π‘†)))
165164simpld 495 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟢𝐢)
1669, 1, 26, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 159, 160, 161, 162, 163, 120evlslem6 21635 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟢𝐢 ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) finSupp (0gβ€˜π‘†)))
167166simpld 495 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟢𝐢)
168164simprd 496 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
169166simprd 496 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
17026, 93, 90, 158, 150, 165, 167, 168, 169gsumadd 19785 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑆 Ξ£g ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) ∘f (+gβ€˜π‘†)(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))) = ((𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))(+gβ€˜π‘†)(𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))))
171157, 170eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = ((𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))(+gβ€˜π‘†)(𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))))
17291adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ Grp)
1731, 89grpcl 18823 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝐡)
174172, 116, 120, 173syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝐡)
175 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦) β†’ (π‘β€˜π‘) = ((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘))
176175fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦) β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) = (πΉβ€˜((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘)))
177176oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦) β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((πΉβ€˜((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
178177mpteq2dv 5249 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
179178oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (𝑝 = (π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦) β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
180 ovex 7438 . . . . . . . 8 (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V
181179, 30, 180fvmpt 6995 . . . . . . 7 ((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝐡 β†’ (πΈβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
182174, 181syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΈβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜((π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
183 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = π‘₯ β†’ (π‘β€˜π‘) = (π‘₯β€˜π‘))
184183fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) = (πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)))
185184oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
186185mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = π‘₯ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
187186oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑝 = π‘₯ β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
188 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V
189187, 30, 188fvmpt 6995 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (πΈβ€˜π‘₯) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
190116, 189syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΈβ€˜π‘₯) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
191 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑦 β†’ (π‘β€˜π‘) = (π‘¦β€˜π‘))
192191fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) = (πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)))
193192oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
194193mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑦 β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
195194oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑦 β†’ (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
196 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V
197195, 30, 196fvmpt 6995 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
198197ad2antll 727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
199190, 198oveq12d 7423 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΈβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘†)(πΈβ€˜π‘¦)) = ((𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))(+gβ€˜π‘†)(𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))))
200171, 182, 1993eqtr4d 2782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΈβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = ((πΈβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘†)(πΈβ€˜π‘¦)))
2011, 26, 89, 90, 91, 92, 110, 200isghmd 19095 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑆))
202 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
203202, 27rhmmhm 20250 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom 𝑇))
20433, 203syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom 𝑇))
205204adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom 𝑇))
206 simprll 777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2079, 19, 1, 17, 206mplelf 21548 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ π‘₯:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
208 simprrl 779 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
209207, 208ffvelcdmd 7084 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ (π‘₯β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
210 simprlr 778 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
2119, 19, 1, 17, 210mplelf 21548 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ 𝑦:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
212 simprrr 780 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐷)
213211, 212ffvelcdmd 7084 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ (π‘¦β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
214202, 19mgpbas 19987 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
215 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
216202, 215mgpplusg 19985 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
21727, 5mgpplusg 19985 . . . . . . . . 9 Β· = (+gβ€˜π‘‡)
218214, 216, 217mhmlin 18675 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘…) MndHom 𝑇) ∧ (π‘₯β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘¦β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘€))) = ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘§)) Β· (πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘€))))
219205, 209, 213, 218syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘€))) = ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘§)) Β· (πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘€))))
22057ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
221 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
22217psrbagf 21462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝐷 β†’ 𝑧:πΌβŸΆβ„•0)
223221, 222syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑧:πΌβŸΆβ„•0)
224223ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ (π‘§β€˜π‘£) ∈ β„•0)
22517psrbagf 21462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ 𝐷 β†’ 𝑀:πΌβŸΆβ„•0)
226225ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑀:πΌβŸΆβ„•0)
227226ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ (π‘€β€˜π‘£) ∈ β„•0)
22835adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
229228ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐢)
23048, 28, 217mulgnn0dir 18978 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ ((π‘§β€˜π‘£) ∈ β„•0 ∧ (π‘€β€˜π‘£) ∈ β„•0 ∧ (πΊβ€˜π‘£) ∈ 𝐢)) β†’ (((π‘§β€˜π‘£) + (π‘€β€˜π‘£)) ↑ (πΊβ€˜π‘£)) = (((π‘§β€˜π‘£) ↑ (πΊβ€˜π‘£)) Β· ((π‘€β€˜π‘£) ↑ (πΊβ€˜π‘£))))
231220, 224, 227, 229, 230syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘§β€˜π‘£) + (π‘€β€˜π‘£)) ↑ (πΊβ€˜π‘£)) = (((π‘§β€˜π‘£) ↑ (πΊβ€˜π‘£)) Β· ((π‘€β€˜π‘£) ↑ (πΊβ€˜π‘£))))
232231mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘§β€˜π‘£) + (π‘€β€˜π‘£)) ↑ (πΊβ€˜π‘£))) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘§β€˜π‘£) ↑ (πΊβ€˜π‘£)) Β· ((π‘€β€˜π‘£) ↑ (πΊβ€˜π‘£)))))
2336adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
234 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘§β€˜π‘£) + (π‘€β€˜π‘£)) ∈ V)
235 fvexd 6903 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘£) ∈ V)
236223ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑧 Fn 𝐼)
237226ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑀 Fn 𝐼)
238 inidm 4217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
239 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ (π‘§β€˜π‘£) = (π‘§β€˜π‘£))
240 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ (π‘€β€˜π‘£) = (π‘€β€˜π‘£))
241236, 237, 233, 233, 238, 239, 240offval 7675 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑧 ∘f + 𝑀) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘§β€˜π‘£) + (π‘€β€˜π‘£))))
24235feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (πΊβ€˜π‘£)))
243242adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (πΊβ€˜π‘£)))
244233, 234, 235, 241, 243offval2 7686 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ ((𝑧 ∘f + 𝑀) ∘f ↑ 𝐺) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘§β€˜π‘£) + (π‘€β€˜π‘£)) ↑ (πΊβ€˜π‘£))))
245 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘§β€˜π‘£) ↑ (πΊβ€˜π‘£)) ∈ V)
246 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘€β€˜π‘£) ↑ (πΊβ€˜π‘£)) ∈ V)
24735ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
248247adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
249 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = (πΊβ€˜π‘£))
250236, 248, 233, 233, 238, 239, 249offval 7675 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑧 ∘f ↑ 𝐺) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘§β€˜π‘£) ↑ (πΊβ€˜π‘£))))
251237, 248, 233, 233, 238, 240, 249offval 7675 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑀 ∘f ↑ 𝐺) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘€β€˜π‘£) ↑ (πΊβ€˜π‘£))))
252233, 245, 246, 250, 251offval2 7686 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ ((𝑧 ∘f ↑ 𝐺) ∘f Β· (𝑀 ∘f ↑ 𝐺)) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘§β€˜π‘£) ↑ (πΊβ€˜π‘£)) Β· ((π‘€β€˜π‘£) ↑ (πΊβ€˜π‘£)))))
253232, 244, 2523eqtr4d 2782 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ ((𝑧 ∘f + 𝑀) ∘f ↑ 𝐺) = ((𝑧 ∘f ↑ 𝐺) ∘f Β· (𝑀 ∘f ↑ 𝐺)))
254253oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑇 Ξ£g ((𝑧 ∘f + 𝑀) ∘f ↑ 𝐺)) = (𝑇 Ξ£g ((𝑧 ∘f ↑ 𝐺) ∘f Β· (𝑀 ∘f ↑ 𝐺))))
25556adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
25617, 48, 28, 49, 255, 221, 228psrbagev1 21629 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ ((𝑧 ∘f ↑ 𝐺):𝐼⟢𝐢 ∧ (𝑧 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (1rβ€˜π‘†)))
257256simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑧 ∘f ↑ 𝐺):𝐼⟢𝐢)
258 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐷)
25917, 48, 28, 49, 255, 258, 228psrbagev1 21629 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ ((𝑀 ∘f ↑ 𝐺):𝐼⟢𝐢 ∧ (𝑀 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (1rβ€˜π‘†)))
260259simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑀 ∘f ↑ 𝐺):𝐼⟢𝐢)
261256simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑧 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (1rβ€˜π‘†))
262259simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑀 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (1rβ€˜π‘†))
26348, 49, 217, 255, 233, 257, 260, 261, 262gsumadd 19785 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑇 Ξ£g ((𝑧 ∘f ↑ 𝐺) ∘f Β· (𝑀 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝑇 Ξ£g (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑀 ∘f ↑ 𝐺))))
264254, 263eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑇 Ξ£g ((𝑧 ∘f + 𝑀) ∘f ↑ 𝐺)) = ((𝑇 Ξ£g (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑀 ∘f ↑ 𝐺))))
265264adantrl 714 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ (𝑇 Ξ£g ((𝑧 ∘f + 𝑀) ∘f ↑ 𝐺)) = ((𝑇 Ξ£g (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑀 ∘f ↑ 𝐺))))
266219, 265oveq12d 7423 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ ((πΉβ€˜((π‘₯β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘€))) Β· (𝑇 Ξ£g ((𝑧 ∘f + 𝑀) ∘f ↑ 𝐺))) = (((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘§)) Β· (πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘€))) Β· ((𝑇 Ξ£g (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑀 ∘f ↑ 𝐺)))))
26756adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
26864adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘…)⟢𝐢)
269268, 209ffvelcdmd 7084 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘§)) ∈ 𝐢)
270268, 213ffvelcdmd 7084 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ (πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘€)) ∈ 𝐢)
27117, 48, 28, 255, 221, 228psrbagev2 21631 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑇 Ξ£g (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐢)
272271adantrl 714 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ (𝑇 Ξ£g (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐢)
27317, 48, 28, 255, 258, 228psrbagev2 21631 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑇 Ξ£g (𝑀 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐢)
274273adantrl 714 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ (𝑇 Ξ£g (𝑀 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐢)
27548, 217cmn4 19663 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ CMnd ∧ ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘§)) ∈ 𝐢 ∧ (πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘€)) ∈ 𝐢) ∧ ((𝑇 Ξ£g (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐢 ∧ (𝑇 Ξ£g (𝑀 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐢)) β†’ (((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘§)) Β· (πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘€))) Β· ((𝑇 Ξ£g (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑀 ∘f ↑ 𝐺)))) = (((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘§)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑧 ∘f ↑ 𝐺))) Β· ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘€)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑀 ∘f ↑ 𝐺)))))
276267, 269, 270, 272, 274, 275syl122anc 1379 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ (((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘§)) Β· (πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘€))) Β· ((𝑇 Ξ£g (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑀 ∘f ↑ 𝐺)))) = (((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘§)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑧 ∘f ↑ 𝐺))) Β· ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘€)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑀 ∘f ↑ 𝐺)))))
277266, 276eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ ((πΉβ€˜((π‘₯β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘€))) Β· (𝑇 Ξ£g ((𝑧 ∘f + 𝑀) ∘f ↑ 𝐺))) = (((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘§)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑧 ∘f ↑ 𝐺))) Β· ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘€)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑀 ∘f ↑ 𝐺)))))
2786adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
2797adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
28012adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
28133adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
28235adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
28317psrbagaddcl 21472 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) β†’ (𝑧 ∘f + 𝑀) ∈ 𝐷)
284283ad2antll 727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ (𝑧 ∘f + 𝑀) ∈ 𝐷)
2858adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
28619, 215ringcl 20066 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘¦β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘€)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
287285, 209, 213, 286syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘€)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2889, 1, 26, 19, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 278, 279, 280, 281, 282, 18, 284, 287evlslem3 21634 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ (πΈβ€˜(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧 ∘f + 𝑀), ((π‘₯β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘€)), (0gβ€˜π‘…)))) = ((πΉβ€˜((π‘₯β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘€))) Β· (𝑇 Ξ£g ((𝑧 ∘f + 𝑀) ∘f ↑ 𝐺))))
2899, 1, 26, 19, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 278, 279, 280, 281, 282, 18, 208, 209evlslem3 21634 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ (πΈβ€˜(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (π‘₯β€˜π‘§), (0gβ€˜π‘…)))) = ((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘§)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑧 ∘f ↑ 𝐺))))
2909, 1, 26, 19, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 278, 279, 280, 281, 282, 18, 212, 213evlslem3 21634 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ (πΈβ€˜(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑀, (π‘¦β€˜π‘€), (0gβ€˜π‘…)))) = ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘€)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑀 ∘f ↑ 𝐺))))
291289, 290oveq12d 7423 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ ((πΈβ€˜(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (π‘₯β€˜π‘§), (0gβ€˜π‘…)))) Β· (πΈβ€˜(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑀, (π‘¦β€˜π‘€), (0gβ€˜π‘…))))) = (((πΉβ€˜(π‘₯β€˜π‘§)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑧 ∘f ↑ 𝐺))) Β· ((πΉβ€˜(π‘¦β€˜π‘€)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑀 ∘f ↑ 𝐺)))))
292277, 288, 2913eqtr4d 2782 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷))) β†’ (πΈβ€˜(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧 ∘f + 𝑀), ((π‘₯β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘¦β€˜π‘€)), (0gβ€˜π‘…)))) = ((πΈβ€˜(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (π‘₯β€˜π‘§), (0gβ€˜π‘…)))) Β· (πΈβ€˜(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑀, (π‘¦β€˜π‘€), (0gβ€˜π‘…))))))
2939, 1, 5, 18, 17, 6, 7, 12, 201, 292evlslem2 21633 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΈβ€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = ((πΈβ€˜π‘₯) Β· (πΈβ€˜π‘¦)))
2941, 2, 3, 4, 5, 11, 13, 88, 293, 26, 89, 90, 110, 200isrhmd 20258 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆))
295 ovex 7438 . . . . . 6 (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜(π‘β€˜π‘)) Β· (𝑇 Ξ£g (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V
296295, 30fnmpti 6690 . . . . 5 𝐸 Fn 𝐡
297296a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 Fn 𝐡)
29819, 1rhmf 20255 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) β†’ 𝐴:(Baseβ€˜π‘…)⟢𝐡)
29982, 298syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:(Baseβ€˜π‘…)⟢𝐡)
300299ffnd 6715 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn (Baseβ€˜π‘…))
301299frnd 6722 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐴 βŠ† 𝐡)
302 fnco 6664 . . . 4 ((𝐸 Fn 𝐡 ∧ 𝐴 Fn (Baseβ€˜π‘…) ∧ ran 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐸 ∘ 𝐴) Fn (Baseβ€˜π‘…))
303297, 300, 301, 302syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∘ 𝐴) Fn (Baseβ€˜π‘…))
30464ffnd 6715 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘…))
305 fvco2 6985 . . . . 5 ((𝐴 Fn (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝐸 ∘ 𝐴)β€˜π‘₯) = (πΈβ€˜(π΄β€˜π‘₯)))
306300, 305sylan 580 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝐸 ∘ 𝐴)β€˜π‘₯) = (πΈβ€˜(π΄β€˜π‘₯)))
307306, 69eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝐸 ∘ 𝐴)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
308303, 304, 307eqfnfvd 7032 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∘ 𝐴) = 𝐹)
3099, 29, 1, 6, 8mvrf2 21543 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉:𝐼⟢𝐡)
310309ffnd 6715 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 Fn 𝐼)
311309frnd 6722 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† 𝐡)
312 fnco 6664 . . . 4 ((𝐸 Fn 𝐡 ∧ 𝑉 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐸 ∘ 𝑉) Fn 𝐼)
313297, 310, 311, 312syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∘ 𝑉) Fn 𝐼)
314 fvco2 6985 . . . . 5 ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐸 ∘ 𝑉)β€˜π‘₯) = (πΈβ€˜(π‘‰β€˜π‘₯)))
315310, 314sylan 580 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐸 ∘ 𝑉)β€˜π‘₯) = (πΈβ€˜(π‘‰β€˜π‘₯)))
3166adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3177adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
318 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
31929, 17, 18, 71, 316, 317, 318mvrval 21532 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘₯) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))
320319fveq2d 6892 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΈβ€˜(π‘‰β€˜π‘₯)) = (πΈβ€˜(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))))
32112adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
32233adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
32335adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐢)
32417psrbagsn 21615 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)) ∈ 𝐷)
3256, 324syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)) ∈ 𝐷)
326325adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)) ∈ 𝐷)
32773adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3289, 1, 26, 19, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 316, 317, 321, 322, 323, 18, 326, 327evlslem3 21634 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΈβ€˜(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = ((πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) Β· (𝑇 Ξ£g ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺))))
32987adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘†))
330 1nn0 12484 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•0
331 0nn0 12483 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ β„•0
332330, 331ifcli 4574 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑧 = π‘₯, 1, 0) ∈ β„•0
333332a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0) ∈ β„•0)
33435ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐢)
335 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)))
33635feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
3376, 333, 334, 335, 336offval2 7686 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (if(𝑧 = π‘₯, 1, 0) ↑ (πΊβ€˜π‘§))))
338 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = if(𝑧 = π‘₯, 1, 0) β†’ (1 ↑ (πΊβ€˜π‘§)) = (if(𝑧 = π‘₯, 1, 0) ↑ (πΊβ€˜π‘§)))
339338eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (1 = if(𝑧 = π‘₯, 1, 0) β†’ ((1 ↑ (πΊβ€˜π‘§)) = if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)) ↔ (if(𝑧 = π‘₯, 1, 0) ↑ (πΊβ€˜π‘§)) = if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†))))
340 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑧 = π‘₯, 1, 0) β†’ (0 ↑ (πΊβ€˜π‘§)) = (if(𝑧 = π‘₯, 1, 0) ↑ (πΊβ€˜π‘§)))
341340eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑧 = π‘₯, 1, 0) β†’ ((0 ↑ (πΊβ€˜π‘§)) = if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)) ↔ (if(𝑧 = π‘₯, 1, 0) ↑ (πΊβ€˜π‘§)) = if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†))))
342334adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 = π‘₯) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐢)
34348, 28mulg1 18955 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐢 β†’ (1 ↑ (πΊβ€˜π‘§)) = (πΊβ€˜π‘§))
344342, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 = π‘₯) β†’ (1 ↑ (πΊβ€˜π‘§)) = (πΊβ€˜π‘§))
345 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = π‘₯ β†’ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)) = (πΊβ€˜π‘§))
346345adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 = π‘₯) β†’ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)) = (πΊβ€˜π‘§))
347344, 346eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 = π‘₯) β†’ (1 ↑ (πΊβ€˜π‘§)) = if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)))
34848, 49, 28mulg0 18951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐢 β†’ (0 ↑ (πΊβ€˜π‘§)) = (1rβ€˜π‘†))
349334, 348syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (0 ↑ (πΊβ€˜π‘§)) = (1rβ€˜π‘†))
350349adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑧 = π‘₯) β†’ (0 ↑ (πΊβ€˜π‘§)) = (1rβ€˜π‘†))
351 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝑧 = π‘₯ β†’ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)) = (1rβ€˜π‘†))
352351adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑧 = π‘₯) β†’ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)) = (1rβ€˜π‘†))
353350, 352eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑧 = π‘₯) β†’ (0 ↑ (πΊβ€˜π‘§)) = if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)))
354339, 341, 347, 353ifbothda 4565 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (if(𝑧 = π‘₯, 1, 0) ↑ (πΊβ€˜π‘§)) = if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)))
355354mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (if(𝑧 = π‘₯, 1, 0) ↑ (πΊβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†))))
356337, 355eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†))))
357356adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†))))
358357oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑇 Ξ£g ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺)) = (𝑇 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)))))
35957adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
360334adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐢)
36126, 3ringidcl 20076 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝐢)
36213, 361syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝐢)
363362ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝐢)
364360, 363ifcld 4573 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)) ∈ 𝐢)
365364fmpttd 7111 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†))):𝐼⟢𝐢)
366 eldifsnneq 4793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) β†’ Β¬ 𝑧 = π‘₯)
367366, 351syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) β†’ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)) = (1rβ€˜π‘†))
368367adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) β†’ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)) = (1rβ€˜π‘†))
369368, 316suppss2 8181 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†))) supp (1rβ€˜π‘†)) βŠ† {π‘₯})
37048, 49, 359, 316, 318, 365, 369gsumpt 19824 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑇 Ξ£g (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)))) = ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)))β€˜π‘₯))
371 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘₯))
372345, 371eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = π‘₯ β†’ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)) = (πΊβ€˜π‘₯))
373 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)))
374 fvex 6901 . . . . . . . . . 10 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ V
375372, 373, 374fvmpt 6995 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)))β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
376375adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, (πΊβ€˜π‘§), (1rβ€˜π‘†)))β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
377358, 370, 3763eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑇 Ξ£g ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺)) = (πΊβ€˜π‘₯))
378329, 377oveq12d 7423 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) Β· (𝑇 Ξ£g ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺))) = ((1rβ€˜π‘†) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
37926, 5, 3ringlidm 20079 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ ((1rβ€˜π‘†) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜π‘₯))
38013, 47, 379syl2an2r 683 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((1rβ€˜π‘†) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜π‘₯))
381378, 380eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) Β· (𝑇 Ξ£g ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = π‘₯, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺))) = (πΊβ€˜π‘₯))
382320, 328, 3813eqtrd 2776 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΈβ€˜(π‘‰β€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜π‘₯))
383315, 382eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐸 ∘ 𝑉)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
384313, 247, 383eqfnfvd 7032 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∘ 𝑉) = 𝐺)
385294, 308, 3843jca 1128 1 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸 ∘ 𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ 𝑉) = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18621   MndHom cmhm 18665  Grpcgrp 18815  .gcmg 18944   GrpHom cghm 19083  CMndccmn 19642  mulGrpcmgp 19981  1rcur 19998  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050   RingHom crh 20240  AssAlgcasa 21396  algSccascl 21398   mVar cmvr 21449   mPoly cmpl 21450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-assa 21399  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455
This theorem is referenced by:  evlseu  21637  evlsval3  41128
  Copyright terms: Public domain W3C validator