Theorem evlslem1 21292

Description: Lemma for evlseu 21293, give a formula for (the unique) polynomial evaluation homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlslem1.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem1.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem1.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem1.x	⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
evlslem1.m	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlslem1.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
evlslem1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
evlslem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlslem1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlslem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
evlslem1.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
evlslem1	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸 ∘ 𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ 𝑉) = 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝐵   𝐶,𝑏,𝑝   𝜑,𝑏,𝑝   𝐹,𝑏,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   𝐷,𝑏,𝑝   ℎ,𝑏,𝐼,𝑝   𝑅,𝑏,ℎ,𝑝   𝐺,𝑏,𝑝   𝑃,𝑏,𝑝   𝑆,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   ↑ ,𝑏,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ,𝑝,𝑏)   𝐵(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑆(ℎ)   𝑇(ℎ)   · (ℎ)   𝐸(ℎ,𝑝,𝑏)   ↑ (ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐺(ℎ)   𝑉(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑊(ℎ,𝑝,𝑏)

Proof of Theorem evlslem1

Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlslem1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		evlslem1.m	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
6		evlslem1.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		evlslem1.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8	7	crngringd 19796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		evlslem1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
10	9	mplring 21224	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
11	6, 8, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
12		evlslem1.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
13	12	crngringd 19796	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
14		2fveq3 6779	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (𝐸‘(𝐴‘𝑥)) = (𝐸‘(𝐴‘(1r‘𝑅))))
15		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
16	14, 15	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → ((𝐸‘(𝐴‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐸‘(𝐴‘(1r‘𝑅))) = (𝐹‘(1r‘𝑅))))
17		evlslem1.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
18		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20		evlslem1.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
21	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
22	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
23		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
24	9, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	mplascl 21272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴‘𝑥) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝑅))))
25	24	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐸‘(𝐴‘𝑥)) = (𝐸‘(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝑅)))))
26		evlslem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
27		evlslem1.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
28		evlslem1.x	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
29		evlslem1.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
30		evlslem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
31	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
32	12	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑆 ∈ CRing)
33		evlslem1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
35		evlslem1.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
37	17	psrbag0 21270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
38	6, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
39	38	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
40	9, 1, 26, 19, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 21, 31, 32, 34, 36, 18, 39, 23	evlslem3 21290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐸‘(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝑅)))) = ((𝐹‘𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f ↑ 𝐺))))
41		0zd 12331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℤ)
42		fvexd 6789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
43		fconstmpt 5649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0))
45	35	feqmptd 6837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
46	6, 41, 42, 44, 45	offval2 7553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {0}) ∘f ↑ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (0 ↑ (𝐺‘𝑥))))
47	35	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐶)
48	27, 26	mgpbas 19726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
49	27, 3	ringidval 19739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘𝑇)
50	48, 49, 28	mulg0 18707	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝐶 → (0 ↑ (𝐺‘𝑥)) = (1r‘𝑆))
51	47, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (0 ↑ (𝐺‘𝑥)) = (1r‘𝑆))
52	51	mpteq2dva 5174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (0 ↑ (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (1r‘𝑆)))
53	46, 52	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {0}) ∘f ↑ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (1r‘𝑆)))
54	53	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f ↑ 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (1r‘𝑆))))
55	27	crngmgp 19791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
56	12, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
57	56	cmnmndd 19409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
58	49	gsumz 18474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (1r‘𝑆))) = (1r‘𝑆))
59	57, 6, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (1r‘𝑆))) = (1r‘𝑆))
60	54, 59	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f ↑ 𝐺)) = (1r‘𝑆))
61	60	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f ↑ 𝐺)) = (1r‘𝑆))
62	61	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘𝑥) · (1r‘𝑆)))
63	19, 26	rhmf 19970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
64	33, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
65	64	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐶)
66	26, 5, 3	ringridm 19811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (1r‘𝑆)) = (𝐹‘𝑥))
67	13, 65, 66	syl2an2r 682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥) · (1r‘𝑆)) = (𝐹‘𝑥))
68	62, 67	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f ↑ 𝐺))) = (𝐹‘𝑥))
69	25, 40, 68	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐸‘(𝐴‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
70	69	ralrimiva 3103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝐸‘(𝐴‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
71		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
72	19, 71	ringidcl 19807	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
73	8, 72	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
74	16, 70, 73	rspcdva 3562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝐴‘(1r‘𝑅))) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
75	9	mplassa 21227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
76	6, 7, 75	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ AssAlg)
77		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
78	20, 77	asclrhm 21094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
79	76, 78	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
80	9, 6, 7	mplsca 21217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
81	80	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
82	79, 81	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
83	71, 2	rhm1 19974	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) → (𝐴‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
84	82, 83	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
85	84	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝐴‘(1r‘𝑅))) = (𝐸‘(1r‘𝑃)))
86	71, 3	rhm1 19974	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
87	33, 86	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
88	74, 85, 87	3eqtr3d 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑆))
89		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
90		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
91	11	ringgrpd 19792	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
92	13	ringgrpd 19792	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
93		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
94		ringcmn 19820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ CMnd)
95	13, 94	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
96	95	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CMnd)
97		ovex 7308	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
98	17, 97	rabex2 5258	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ V
99	98	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ V)
100	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
101	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
102	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
103	33	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
104	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
105		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
106	9, 1, 26, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 100, 101, 102, 103, 104, 105	evlslem6 21291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶 ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆)))
107	106	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶)
108	106	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆))
109	26, 93, 96, 99, 107, 108	gsumcl 19516	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ 𝐶)
110	109, 30	fmptd 6988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶𝐶)
111		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
112		simplrl 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐵)
113		simplrr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐵)
114	9, 1, 111, 89, 112, 113	mpladd 21213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
115	114	fveq1d 6776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)‘𝑏))
116		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
117	9, 19, 1, 17, 116	mplelf 21204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥:𝐷⟶(Base‘𝑅))
118	117	ffnd 6601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 Fn 𝐷)
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑥 Fn 𝐷)
120		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
121	9, 19, 1, 17, 120	mplelf 21204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦:𝐷⟶(Base‘𝑅))
122	121	ffnd 6601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐷)
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑦 Fn 𝐷)
124	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ V)
125		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
126		fnfvof 7550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 Fn 𝐷 ∧ 𝑦 Fn 𝐷) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥‘𝑏)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑏)))
127	119, 123, 124, 125, 126	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥‘𝑏)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑏)))
128	115, 127	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥‘𝑏)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑏)))
129	128	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) = (𝐹‘((𝑥‘𝑏)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑏))))
130		rhmghm 19969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
131	33, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
132	131	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
133	117	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑥‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
134	121	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑦‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
135	19, 111, 90	ghmlin 18839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (𝑥‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦‘𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘((𝑥‘𝑏)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑏))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑏))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑏))))
136	132, 133, 134, 135	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘((𝑥‘𝑏)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑏))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑏))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑏))))
137	129, 136	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑏))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑏))))
138	137	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑏))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
139	13	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
140	64	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
141	140, 133	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑥‘𝑏)) ∈ 𝐶)
142	140, 134	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑦‘𝑏)) ∈ 𝐶)
143	56	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
144	35	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
145	17, 48, 28, 143, 125, 144	psrbagev2 21287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
146	26, 90, 5	ringdir 19806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑦‘𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)) → (((𝐹‘(𝑥‘𝑏))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))(+g‘𝑆)((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
147	139, 141, 142, 145, 146	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐹‘(𝑥‘𝑏))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))(+g‘𝑆)((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
148	138, 147	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))(+g‘𝑆)((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
149	148	mpteq2dva 5174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))(+g‘𝑆)((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
150	98	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
151		ovexd 7310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ V)
152		ovexd 7310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ V)
153		eqidd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
154		eqidd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
155	150, 151, 152, 153, 154	offval2 7553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) ∘f (+g‘𝑆)(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))(+g‘𝑆)((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
156	149, 155	eqtr4d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) ∘f (+g‘𝑆)(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
157	156	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) ∘f (+g‘𝑆)(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))))
158	95	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ CMnd)
159	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
160	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
161	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ CRing)
162	33	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
163	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
164	9, 1, 26, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 159, 160, 161, 162, 163, 116	evlslem6 21291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶 ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆)))
165	164	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶)
166	9, 1, 26, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 159, 160, 161, 162, 163, 120	evlslem6 21291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶 ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆)))
167	166	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶)
168	164	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆))
169	166	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆))
170	26, 93, 90, 158, 150, 165, 167, 168, 169	gsumadd 19524	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) ∘f (+g‘𝑆)(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))) = ((𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))(+g‘𝑆)(𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))))
171	157, 170	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = ((𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))(+g‘𝑆)(𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))))
172	91	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
173	1, 89	grpcl 18585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
174	172, 116, 120, 173	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
175		fveq1 6773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) → (𝑝‘𝑏) = ((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏))
176	175	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) → (𝐹‘(𝑝‘𝑏)) = (𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)))
177	176	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) → ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
178	177	mpteq2dv 5176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
179	178	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
180		ovex 7308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V
181	179, 30, 180	fvmpt 6875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
182	174, 181	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
183		fveq1 6773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑝‘𝑏) = (𝑥‘𝑏))
184	183	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑝‘𝑏)) = (𝐹‘(𝑥‘𝑏)))
185	184	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
186	185	mpteq2dv 5176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
187	186	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
188		ovex 7308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V
189	187, 30, 188	fvmpt 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝐸‘𝑥) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
190	116, 189	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘𝑥) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
191		fveq1 6773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑝‘𝑏) = (𝑦‘𝑏))
192	191	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑝‘𝑏)) = (𝐹‘(𝑦‘𝑏)))
193	192	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
194	193	mpteq2dv 5176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
195	194	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
196		ovex 7308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V
197	195, 30, 196	fvmpt 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐸‘𝑦) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
198	197	ad2antll 726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘𝑦) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
199	190, 198	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐸‘𝑥)(+g‘𝑆)(𝐸‘𝑦)) = ((𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))(+g‘𝑆)(𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))))
200	171, 182, 199	3eqtr4d 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = ((𝐸‘𝑥)(+g‘𝑆)(𝐸‘𝑦)))
201	1, 26, 89, 90, 91, 92, 110, 200	isghmd 18843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑆))
202		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
203	202, 27	rhmmhm 19966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
204	33, 203	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
205	204	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
206		simprll 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
207	9, 19, 1, 17, 206	mplelf 21204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑥:𝐷⟶(Base‘𝑅))
208		simprrl 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑧 ∈ 𝐷)
209	207, 208	ffvelrnd 6962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝑥‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
210		simprlr 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
211	9, 19, 1, 17, 210	mplelf 21204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑦:𝐷⟶(Base‘𝑅))
212		simprrr 779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
213	211, 212	ffvelrnd 6962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘𝑅))
214	202, 19	mgpbas 19726	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
215		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
216	202, 215	mgpplusg 19724	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
217	27, 5	mgpplusg 19724	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘𝑇)
218	214, 216, 217	mhmlin 18437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇) ∧ (𝑥‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝐹‘(𝑦‘𝑤))))
219	205, 209, 213, 218	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝐹‘((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝐹‘(𝑦‘𝑤))))
220	57	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
221		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝑧 ∈ 𝐷)
222	17	psrbagf 21121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
223	221, 222	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
224	223	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑣) ∈ ℕ0)
225	17	psrbagf 21121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐷 → 𝑤:𝐼⟶ℕ0)
226	225	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝑤:𝐼⟶ℕ0)
227	226	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝑤‘𝑣) ∈ ℕ0)
228	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
229	228	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐶)
230	48, 28, 217	mulgnn0dir 18733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ ((𝑧‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝑤‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐶)) → (((𝑧‘𝑣) + (𝑤‘𝑣)) ↑ (𝐺‘𝑣)) = (((𝑧‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)) · ((𝑤‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣))))
231	220, 224, 227, 229, 230	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (((𝑧‘𝑣) + (𝑤‘𝑣)) ↑ (𝐺‘𝑣)) = (((𝑧‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)) · ((𝑤‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣))))
232	231	mpteq2dva 5174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑧‘𝑣) + (𝑤‘𝑣)) ↑ (𝐺‘𝑣))) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑧‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)) · ((𝑤‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)))))
233	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
234		ovexd 7310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → ((𝑧‘𝑣) + (𝑤‘𝑣)) ∈ V)
235		fvexd 6789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑣) ∈ V)
236	223	ffnd 6601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝑧 Fn 𝐼)
237	226	ffnd 6601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝑤 Fn 𝐼)
238		inidm 4152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
239		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑣) = (𝑧‘𝑣))
240		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝑤‘𝑣) = (𝑤‘𝑣))
241	236, 237, 233, 233, 238, 239, 240	offval 7542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑧 ∘f + 𝑤) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧‘𝑣) + (𝑤‘𝑣))))
242	35	feqmptd 6837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑣)))
243	242	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑣)))
244	233, 234, 235, 241, 243	offval2 7553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → ((𝑧 ∘f + 𝑤) ∘f ↑ 𝐺) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑧‘𝑣) + (𝑤‘𝑣)) ↑ (𝐺‘𝑣))))
245		ovexd 7310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → ((𝑧‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)) ∈ V)
246		ovexd 7310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → ((𝑤‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)) ∈ V)
247	35	ffnd 6601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
248	247	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝐺 Fn 𝐼)
249		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑣) = (𝐺‘𝑣))
250	236, 248, 233, 233, 238, 239, 249	offval 7542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑧 ∘f ↑ 𝐺) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣))))
251	237, 248, 233, 233, 238, 240, 249	offval 7542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑤 ∘f ↑ 𝐺) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑤‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣))))
252	233, 245, 246, 250, 251	offval2 7553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → ((𝑧 ∘f ↑ 𝐺) ∘f · (𝑤 ∘f ↑ 𝐺)) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑧‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)) · ((𝑤‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)))))
253	232, 244, 252	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → ((𝑧 ∘f + 𝑤) ∘f ↑ 𝐺) = ((𝑧 ∘f ↑ 𝐺) ∘f · (𝑤 ∘f ↑ 𝐺)))
254	253	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧 ∘f + 𝑤) ∘f ↑ 𝐺)) = (𝑇 Σg ((𝑧 ∘f ↑ 𝐺) ∘f · (𝑤 ∘f ↑ 𝐺))))
255	56	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝑇 ∈ CMnd)
256	17, 48, 28, 49, 255, 221, 228	psrbagev1 21285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → ((𝑧 ∘f ↑ 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝑧 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (1r‘𝑆)))
257	256	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑧 ∘f ↑ 𝐺):𝐼⟶𝐶)
258		simprr 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝑤 ∈ 𝐷)
259	17, 48, 28, 49, 255, 258, 228	psrbagev1 21285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → ((𝑤 ∘f ↑ 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝑤 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (1r‘𝑆)))
260	259	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑤 ∘f ↑ 𝐺):𝐼⟶𝐶)
261	256	simprd 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑧 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (1r‘𝑆))
262	259	simprd 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑤 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (1r‘𝑆))
263	48, 49, 217, 255, 233, 257, 260, 261, 262	gsumadd 19524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧 ∘f ↑ 𝐺) ∘f · (𝑤 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝑇 Σg (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘f ↑ 𝐺))))
264	254, 263	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧 ∘f + 𝑤) ∘f ↑ 𝐺)) = ((𝑇 Σg (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘f ↑ 𝐺))))
265	264	adantrl 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝑇 Σg ((𝑧 ∘f + 𝑤) ∘f ↑ 𝐺)) = ((𝑇 Σg (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘f ↑ 𝐺))))
266	219, 265	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → ((𝐹‘((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧 ∘f + 𝑤) ∘f ↑ 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝐹‘(𝑦‘𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘f ↑ 𝐺)))))
267	56	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑇 ∈ CMnd)
268	64	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
269	268, 209	ffvelrnd 6962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝐹‘(𝑥‘𝑧)) ∈ 𝐶)
270	268, 213	ffvelrnd 6962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝐹‘(𝑦‘𝑤)) ∈ 𝐶)
271	17, 48, 28, 255, 221, 228	psrbagev2 21287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑇 Σg (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
272	271	adantrl 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝑇 Σg (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
273	17, 48, 28, 255, 258, 228	psrbagev2 21287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑇 Σg (𝑤 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
274	273	adantrl 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝑇 Σg (𝑤 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
275	48, 217	cmn4 19406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ CMnd ∧ ((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑦‘𝑤)) ∈ 𝐶) ∧ ((𝑇 Σg (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑤 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)) → (((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝐹‘(𝑦‘𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘f ↑ 𝐺)))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧 ∘f ↑ 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦‘𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘f ↑ 𝐺)))))
276	267, 269, 270, 272, 274, 275	syl122anc 1378	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝐹‘(𝑦‘𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧 ∘f ↑ 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘f ↑ 𝐺)))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧 ∘f ↑ 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦‘𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘f ↑ 𝐺)))))
277	266, 276	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → ((𝐹‘((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧 ∘f + 𝑤) ∘f ↑ 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧 ∘f ↑ 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦‘𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘f ↑ 𝐺)))))
278	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝐼 ∈ 𝑊)
279	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑅 ∈ CRing)
280	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑆 ∈ CRing)
281	33	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
282	35	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
283	17	psrbagaddcl 21131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∘f + 𝑤) ∈ 𝐷)
284	283	ad2antll 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝑧 ∘f + 𝑤) ∈ 𝐷)
285	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑅 ∈ Ring)
286	19, 215	ringcl 19800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤)) ∈ (Base‘𝑅))
287	285, 209, 213, 286	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → ((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤)) ∈ (Base‘𝑅))
288	9, 1, 26, 19, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 278, 279, 280, 281, 282, 18, 284, 287	evlslem3 21290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧 ∘f + 𝑤), ((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤)), (0g‘𝑅)))) = ((𝐹‘((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧 ∘f + 𝑤) ∘f ↑ 𝐺))))
289	9, 1, 26, 19, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 278, 279, 280, 281, 282, 18, 208, 209	evlslem3 21290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥‘𝑧), (0g‘𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧 ∘f ↑ 𝐺))))
290	9, 1, 26, 19, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 278, 279, 280, 281, 282, 18, 212, 213	evlslem3 21290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦‘𝑤), (0g‘𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑦‘𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘f ↑ 𝐺))))
291	289, 290	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → ((𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥‘𝑧), (0g‘𝑅)))) · (𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦‘𝑤), (0g‘𝑅))))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧 ∘f ↑ 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦‘𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘f ↑ 𝐺)))))
292	277, 288, 291	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧 ∘f + 𝑤), ((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤)), (0g‘𝑅)))) = ((𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥‘𝑧), (0g‘𝑅)))) · (𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦‘𝑤), (0g‘𝑅))))))
293	9, 1, 5, 18, 17, 6, 7, 12, 201, 292	evlslem2 21289	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐸‘𝑥) · (𝐸‘𝑦)))
294	1, 2, 3, 4, 5, 11, 13, 88, 293, 26, 89, 90, 110, 200	isrhmd 19973	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆))
295		ovex 7308	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V
296	295, 30	fnmpti 6576	. . . . 5 ⊢ 𝐸 Fn 𝐵
297	296	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝐵)
298	19, 1	rhmf 19970	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
299	82, 298	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
300	299	ffnd 6601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn (Base‘𝑅))
301	299	frnd 6608	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ⊆ 𝐵)
302		fnco 6549	. . . 4 ⊢ ((𝐸 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 Fn (Base‘𝑅) ∧ ran 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐸 ∘ 𝐴) Fn (Base‘𝑅))
303	297, 300, 301, 302	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ 𝐴) Fn (Base‘𝑅))
304	64	ffnd 6601	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (Base‘𝑅))
305		fvco2 6865	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 Fn (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐸 ∘ 𝐴)‘𝑥) = (𝐸‘(𝐴‘𝑥)))
306	300, 305	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐸 ∘ 𝐴)‘𝑥) = (𝐸‘(𝐴‘𝑥)))
307	306, 69	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐸 ∘ 𝐴)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
308	303, 304, 307	eqfnfvd 6912	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ 𝐴) = 𝐹)
309	9, 29, 1, 6, 8	mvrf2 21268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)
310	309	ffnd 6601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn 𝐼)
311	309	frnd 6608	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ 𝐵)
312		fnco 6549	. . . 4 ⊢ ((𝐸 Fn 𝐵 ∧ 𝑉 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝐸 ∘ 𝑉) Fn 𝐼)
313	297, 310, 311, 312	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ 𝑉) Fn 𝐼)
314		fvco2 6865	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐸 ∘ 𝑉)‘𝑥) = (𝐸‘(𝑉‘𝑥)))
315	310, 314	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐸 ∘ 𝑉)‘𝑥) = (𝐸‘(𝑉‘𝑥)))
316	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
317	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ CRing)
318		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
319	29, 17, 18, 71, 316, 317, 318	mvrval 21190	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑉‘𝑥) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
320	319	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐸‘(𝑉‘𝑥)) = (𝐸‘(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
321	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ CRing)
322	33	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
323	35	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
324	17	psrbagsn 21271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
325	6, 324	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
326	325	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
327	73	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
328	9, 1, 26, 19, 17, 27, 28, 5, 29, 30, 316, 317, 321, 322, 323, 18, 326, 327	evlslem3 21290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐸‘(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = ((𝐹‘(1r‘𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺))))
329	87	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
330		1nn0 12249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ0
331		0nn0 12248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
332	330, 331	ifcli 4506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0
333	332	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0)
334	35	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐶)
335		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)))
336	35	feqmptd 6837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑧)))
337	6, 333, 334, 335, 336	offval2 7553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ↑ (𝐺‘𝑧))))
338		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → (1 ↑ (𝐺‘𝑧)) = (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ↑ (𝐺‘𝑧)))
339	338	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → ((1 ↑ (𝐺‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) ↔ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ↑ (𝐺‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))))
340		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → (0 ↑ (𝐺‘𝑧)) = (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ↑ (𝐺‘𝑧)))
341	340	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → ((0 ↑ (𝐺‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) ↔ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ↑ (𝐺‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))))
342	334	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐶)
343	48, 28	mulg1 18711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ 𝐶 → (1 ↑ (𝐺‘𝑧)) = (𝐺‘𝑧))
344	342, 343	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (1 ↑ (𝐺‘𝑧)) = (𝐺‘𝑧))
345		iftrue 4465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑧))
346	345	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑧))
347	344, 346	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (1 ↑ (𝐺‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))
348	48, 49, 28	mulg0 18707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ 𝐶 → (0 ↑ (𝐺‘𝑧)) = (1r‘𝑆))
349	334, 348	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (0 ↑ (𝐺‘𝑧)) = (1r‘𝑆))
350	349	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → (0 ↑ (𝐺‘𝑧)) = (1r‘𝑆))
351		iffalse 4468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
352	351	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
353	350, 352	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → (0 ↑ (𝐺‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))
354	339, 341, 347, 353	ifbothda 4497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ↑ (𝐺‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))
355	354	mpteq2dva 5174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ↑ (𝐺‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))))
356	337, 355	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))))
357	356	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))))
358	357	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))))
359	57	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
360	334	adantlr 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐶)
361	26, 3	ringidcl 19807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝐶)
362	13, 361	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝐶)
363	362	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (1r‘𝑆) ∈ 𝐶)
364	360, 363	ifcld 4505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) ∈ 𝐶)
365	364	fmpttd 6989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))):𝐼⟶𝐶)
366		eldifsnneq 4724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ¬ 𝑧 = 𝑥)
367	366, 351	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
368	367	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
369	368, 316	suppss2 8016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))) supp (1r‘𝑆)) ⊆ {𝑥})
370	48, 49, 359, 316, 318, 365, 369	gsumpt 19563	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))) = ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))‘𝑥))
371		fveq2 6774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑥))
372	345, 371	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑥))
373		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))
374		fvex 6787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺‘𝑥) ∈ V
375	372, 373, 374	fvmpt 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
376	375	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
377	358, 370, 376	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺)) = (𝐺‘𝑥))
378	329, 377	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘(1r‘𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺))) = ((1r‘𝑆) · (𝐺‘𝑥)))
379	26, 5, 3	ringlidm 19810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐶) → ((1r‘𝑆) · (𝐺‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
380	13, 47, 379	syl2an2r 682	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((1r‘𝑆) · (𝐺‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
381	378, 380	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘(1r‘𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f ↑ 𝐺))) = (𝐺‘𝑥))
382	320, 328, 381	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐸‘(𝑉‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
383	315, 382	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐸 ∘ 𝑉)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
384	313, 247, 383	eqfnfvd 6912	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ 𝑉) = 𝐺)
385	294, 308, 384	3jca 1127	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸 ∘ 𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ 𝑉) = 𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ifcif 4459  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  ^◡ccnv 5588  ran crn 5590   “ cima 5592   ∘ ccom 5593   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  Scalarcsca 16965  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  Mndcmnd 18385   MndHom cmhm 18428  Grpcgrp 18577  ._gcmg 18700   GrpHom cghm 18831  CMndccmn 19386  mulGrpcmgp 19720  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784   RingHom crh 19956  AssAlgcasa 21057  algSccascl 21059   mVar cmvr 21108   mPoly cmpl 21109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-rnghom 19959  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-assa 21060  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114

This theorem is referenced by:  evlseu  21293  evlsval3  40272