MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem1 22124
Description: Lemma for evlseu 22125, give a formula for (the unique) polynomial evaluation homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Jul-2019.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem1.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem1.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem1.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem1.x = (.g𝑇)
evlslem1.m · = (.r𝑆)
evlslem1.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem1.e 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
evlslem1.i (𝜑𝐼𝑊)
evlslem1.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlslem1.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlslem1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
evlslem1.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
evlslem1 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸𝑉) = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝐵   𝐶,𝑏,𝑝   𝜑,𝑏,𝑝   𝐹,𝑏,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   𝐷,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝐼,𝑝   𝑅,𝑏,,𝑝   𝐺,𝑏,𝑝   𝑃,𝑏,𝑝   𝑆,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐴(,𝑝,𝑏)   𝐵()   𝐶()   𝐷()   𝑃()   𝑆()   𝑇()   · ()   𝐸(,𝑝,𝑏)   ()   𝐹()   𝐺()   𝑉(,𝑝,𝑏)   𝑊(,𝑝,𝑏)

Proof of Theorem evlslem1
Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2735 . . 3 (1r𝑃) = (1r𝑃)
3 eqid 2735 . . 3 (1r𝑆) = (1r𝑆)
4 eqid 2735 . . 3 (.r𝑃) = (.r𝑃)
5 evlslem1.m . . 3 · = (.r𝑆)
6 evlslem1.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7 evlslem1.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
8 evlslem1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
98crngringd 20264 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
106, 7, 9mplringd 22061 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
11 evlslem1.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
1211crngringd 20264 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
13 2fveq3 6912 . . . . . 6 (𝑥 = (1r𝑅) → (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))))
14 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑥 = (1r𝑅) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(1r𝑅)))
1513, 14eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑥 = (1r𝑅) → ((𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))) = (𝐹‘(1r𝑅))))
16 evlslem1.d . . . . . . . . 9 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
17 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
18 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19 evlslem1.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algSc‘𝑃)
207adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐼𝑊)
219adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
236, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22mplascl 22106 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴𝑥) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅))))
2423fveq2d 6911 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)))))
25 evlslem1.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
26 evlslem1.t . . . . . . . 8 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
27 evlslem1.x . . . . . . . 8 = (.g𝑇)
28 evlslem1.v . . . . . . . 8 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
29 evlslem1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
308adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
3111adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑆 ∈ CRing)
32 evlslem1.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
3332adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
34 evlslem1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
3534adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐺:𝐼𝐶)
3616psrbag0 22104 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
377, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
396, 1, 25, 18, 16, 26, 27, 5, 28, 29, 20, 30, 31, 33, 35, 17, 38, 22evlslem3 22122 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)))) = ((𝐹𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺))))
40 0zd 12623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ∈ ℤ)
41 fvexd 6922 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ V)
42 fconstmpt 5751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0))
4434feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
457, 40, 41, 43, 44offval2 7717 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ (0 (𝐺𝑥))))
4634ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐶)
4726, 25mgpbas 20158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = (Base‘𝑇)
4826, 3ringidval 20201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝑆) = (0g𝑇)
4947, 48, 27mulg0 19105 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → (0 (𝐺𝑥)) = (1r𝑆))
5046, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (0 (𝐺𝑥)) = (1r𝑆))
5150mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (0 (𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆)))
5245, 51eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆)))
5352oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆))))
5426crngmgp 20259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
5511, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
5655cmnmndd 19837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
5748gsumz 18862 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑊) → (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆))) = (1r𝑆))
5856, 7, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆))) = (1r𝑆))
5953, 58eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺)) = (1r𝑆))
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺)) = (1r𝑆))
6160oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺))) = ((𝐹𝑥) · (1r𝑆)))
6218, 25rhmf 20502 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
6332, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
6463ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
6525, 5, 3ringridm 20284 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝑥) · (1r𝑆)) = (𝐹𝑥))
6612, 64, 65syl2an2r 685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑥) · (1r𝑆)) = (𝐹𝑥))
6761, 66eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘f 𝐺))) = (𝐹𝑥))
6824, 39, 673eqtrd 2779 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐹𝑥))
6968ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐹𝑥))
70 eqid 2735 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
7118, 70ringidcl 20280 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
729, 71syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
7315, 69, 72rspcdva 3623 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))) = (𝐹‘(1r𝑅)))
746mplassa 22060 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
757, 8, 74syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ AssAlg)
76 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
7719, 76asclrhm 21928 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
7875, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
796, 7, 8mplsca 22051 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8079oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
8178, 80eleqtrrd 2842 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
8270, 2rhm1 20506 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) → (𝐴‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
8381, 82syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
8483fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))) = (𝐸‘(1r𝑃)))
8570, 3rhm1 20506 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
8632, 85syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
8773, 84, 863eqtr3d 2783 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘(1r𝑃)) = (1r𝑆))
88 eqid 2735 . . . . 5 (+g𝑃) = (+g𝑃)
89 eqid 2735 . . . . 5 (+g𝑆) = (+g𝑆)
9010ringgrpd 20260 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
9112ringgrpd 20260 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
92 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝑆) = (0g𝑆)
93 ringcmn 20296 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ CMnd)
9412, 93syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ CMnd)
9594adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑆 ∈ CMnd)
96 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
9716, 96rabex2 5347 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ V
9897a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐷 ∈ V)
997adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐼𝑊)
1008adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
10111adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
10232adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10334adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐺:𝐼𝐶)
104 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑝𝐵)
1056, 1, 25, 16, 26, 27, 5, 28, 29, 99, 100, 101, 102, 103, 104evlslem6 22123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝐵) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
106105simpld 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))):𝐷𝐶)
107105simprd 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
10825, 92, 95, 98, 106, 107gsumcl 19948 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) ∈ 𝐶)
109108, 29fmptd 7134 . . . . 5 (𝜑𝐸:𝐵𝐶)
110 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝑅) = (+g𝑅)
111 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑥𝐵)
112 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑦𝐵)
1136, 1, 110, 88, 111, 112mpladd 22047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) = (𝑥f (+g𝑅)𝑦))
114113fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥f (+g𝑅)𝑦)‘𝑏))
115 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
1166, 18, 1, 16, 115mplelf 22036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥:𝐷⟶(Base‘𝑅))
117116ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 Fn 𝐷)
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑥 Fn 𝐷)
119 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
1206, 18, 1, 16, 119mplelf 22036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦:𝐷⟶(Base‘𝑅))
121120ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐷)
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑦 Fn 𝐷)
12397a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐷 ∈ V)
124 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑏𝐷)
125 fnfvof 7714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 Fn 𝐷𝑦 Fn 𝐷) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑏𝐷)) → ((𝑥f (+g𝑅)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏)))
126118, 122, 123, 124, 125syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑥f (+g𝑅)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏)))
127114, 126eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏)))
128127fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) = (𝐹‘((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏))))
129 rhmghm 20501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
13032, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
131130ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
132116ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑥𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
133120ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑦𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
13418, 110, 89ghmlin 19252 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (𝑥𝑏) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏))) = ((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))))
135131, 132, 133, 134syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏))) = ((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))))
136128, 135eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) = ((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))))
137136oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
13812ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
13963ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
140139, 132ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑥𝑏)) ∈ 𝐶)
141139, 133ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑦𝑏)) ∈ 𝐶)
14255ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
14334ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐺:𝐼𝐶)
14416, 47, 27, 142, 124, 143psrbagev2 22120 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)) ∈ 𝐶)
14525, 89, 5ringdir 20279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑦𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)) ∈ 𝐶)) → (((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
146138, 140, 141, 144, 145syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
147137, 146eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
148147mpteq2dva 5248 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
14997a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
150 ovexd 7466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) ∈ V)
151 ovexd 7466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) ∈ V)
152 eqidd 2736 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
153 eqidd 2736 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
154149, 150, 151, 152, 153offval2 7717 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) ∘f (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = (𝑏𝐷 ↦ (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
155148, 154eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) ∘f (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
156155oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = (𝑆 Σg ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) ∘f (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))))
15794adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ CMnd)
1587adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐼𝑊)
1598adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
16011adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ CRing)
16132adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16234adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺:𝐼𝐶)
1636, 1, 25, 16, 26, 27, 5, 28, 29, 158, 159, 160, 161, 162, 115evlslem6 22123 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
164163simpld 494 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))):𝐷𝐶)
1656, 1, 25, 16, 26, 27, 5, 28, 29, 158, 159, 160, 161, 162, 119evlslem6 22123 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
166165simpld 494 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))):𝐷𝐶)
167163simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
168165simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
16925, 92, 89, 157, 149, 164, 166, 167, 168gsumadd 19956 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑆 Σg ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) ∘f (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))) = ((𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))(+g𝑆)(𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))))
170156, 169eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = ((𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))(+g𝑆)(𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))))
17190adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
1721, 88grpcl 18972 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
173171, 115, 119, 172syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
174 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝑝𝑏) = ((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏))
175174fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)))
176175oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
177176mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
178177oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
179 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) ∈ V
180178, 29, 179fvmpt 7016 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
181173, 180syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
182 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑏) = (𝑥𝑏))
183182fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘(𝑥𝑏)))
184183oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
185184mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑥 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
186185oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑥 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
187 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) ∈ V
188186, 29, 187fvmpt 7016 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → (𝐸𝑥) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
189115, 188syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸𝑥) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
190 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑦 → (𝑝𝑏) = (𝑦𝑏))
191190fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘(𝑦𝑏)))
192191oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
193192mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑦 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
194193oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑦 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
195 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) ∈ V
196194, 29, 195fvmpt 7016 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → (𝐸𝑦) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
197196ad2antll 729 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸𝑦) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
198189, 197oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐸𝑥)(+g𝑆)(𝐸𝑦)) = ((𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))(+g𝑆)(𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))))
199170, 181, 1983eqtr4d 2785 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = ((𝐸𝑥)(+g𝑆)(𝐸𝑦)))
2001, 25, 88, 89, 90, 91, 109, 199isghmd 19256 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑆))
201 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
202201, 26rhmmhm 20496 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
20332, 202syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
204203adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
205 simprll 779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑥𝐵)
2066, 18, 1, 16, 205mplelf 22036 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑥:𝐷⟶(Base‘𝑅))
207 simprrl 781 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑧𝐷)
208206, 207ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑥𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
209 simprlr 780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑦𝐵)
2106, 18, 1, 16, 209mplelf 22036 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑦:𝐷⟶(Base‘𝑅))
211 simprrr 782 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑤𝐷)
212210, 211ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑦𝑤) ∈ (Base‘𝑅))
213201, 18mgpbas 20158 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
214 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
215201, 214mgpplusg 20156 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
21626, 5mgpplusg 20156 . . . . . . . . 9 · = (+g𝑇)
217213, 215, 216mhmlin 18819 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇) ∧ (𝑥𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦𝑤) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))))
218204, 208, 212, 217syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))))
21956ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
220 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑧𝐷)
22116psrbagf 21956 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝐷𝑧:𝐼⟶ℕ0)
222220, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
223222ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑧𝑣) ∈ ℕ0)
22416psrbagf 21956 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝐷𝑤:𝐼⟶ℕ0)
225224ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑤:𝐼⟶ℕ0)
226225ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑤𝑣) ∈ ℕ0)
22734adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐺:𝐼𝐶)
228227ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐶)
22947, 27, 216mulgnn0dir 19135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ ((𝑧𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝑤𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐺𝑣) ∈ 𝐶)) → (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣)) = (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣))))
230219, 223, 226, 228, 229syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣)) = (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣))))
231230mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣))) = (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)))))
2327adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐼𝑊)
233 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → ((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) ∈ V)
234 fvexd 6922 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐺𝑣) ∈ V)
235222ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑧 Fn 𝐼)
236225ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑤 Fn 𝐼)
237 inidm 4235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝐼) = 𝐼
238 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑧𝑣) = (𝑧𝑣))
239 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑤𝑣) = (𝑤𝑣))
240235, 236, 232, 232, 237, 238, 239offval 7706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧f + 𝑤) = (𝑣𝐼 ↦ ((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣))))
24134feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 = (𝑣𝐼 ↦ (𝐺𝑣)))
242241adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐺 = (𝑣𝐼 ↦ (𝐺𝑣)))
243232, 233, 234, 240, 242offval2 7717 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺) = (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣))))
244 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → ((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) ∈ V)
245 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)) ∈ V)
24634ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
247246adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐺 Fn 𝐼)
248 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐺𝑣) = (𝐺𝑣))
249235, 247, 232, 232, 237, 238, 248offval 7706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧f 𝐺) = (𝑣𝐼 ↦ ((𝑧𝑣) (𝐺𝑣))))
250236, 247, 232, 232, 237, 239, 248offval 7706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑤f 𝐺) = (𝑣𝐼 ↦ ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣))))
251232, 244, 245, 249, 250offval2 7717 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧f 𝐺) ∘f · (𝑤f 𝐺)) = (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)))))
252231, 243, 2513eqtr4d 2785 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺) = ((𝑧f 𝐺) ∘f · (𝑤f 𝐺)))
253252oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺)) = (𝑇 Σg ((𝑧f 𝐺) ∘f · (𝑤f 𝐺))))
25455adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑇 ∈ CMnd)
25516, 47, 27, 48, 254, 220, 227psrbagev1 22119 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧f 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝑧f 𝐺) finSupp (1r𝑆)))
256255simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧f 𝐺):𝐼𝐶)
257 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑤𝐷)
25816, 47, 27, 48, 254, 257, 227psrbagev1 22119 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑤f 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝑤f 𝐺) finSupp (1r𝑆)))
259258simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑤f 𝐺):𝐼𝐶)
260255simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧f 𝐺) finSupp (1r𝑆))
261258simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑤f 𝐺) finSupp (1r𝑆))
26247, 48, 216, 254, 232, 256, 259, 260, 261gsumadd 19956 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧f 𝐺) ∘f · (𝑤f 𝐺))) = ((𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺))))
263253, 262eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺)) = ((𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺))))
264263adantrl 716 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑇 Σg ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺)) = ((𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺))))
265218, 264oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)))))
26655adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑇 ∈ CMnd)
26763adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐶)
268267, 208ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐹‘(𝑥𝑧)) ∈ 𝐶)
269267, 212ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐹‘(𝑦𝑤)) ∈ 𝐶)
27016, 47, 27, 254, 220, 227psrbagev2 22120 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) ∈ 𝐶)
271270adantrl 716 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) ∈ 𝐶)
27216, 47, 27, 254, 257, 227psrbagev2 22120 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)) ∈ 𝐶)
273272adantrl 716 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)) ∈ 𝐶)
27447, 216cmn4 19834 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ CMnd ∧ ((𝐹‘(𝑥𝑧)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑦𝑤)) ∈ 𝐶) ∧ ((𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)) ∈ 𝐶)) → (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧f 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)))))
275266, 268, 269, 271, 273, 274syl122anc 1378 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧f 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧f 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)))))
276265, 275eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧f 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)))))
2777adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐼𝑊)
2788adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑅 ∈ CRing)
27911adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑆 ∈ CRing)
28032adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
28134adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐺:𝐼𝐶)
28216psrbagaddcl 21962 . . . . . . 7 ((𝑧𝐷𝑤𝐷) → (𝑧f + 𝑤) ∈ 𝐷)
283282ad2antll 729 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑧f + 𝑤) ∈ 𝐷)
2849adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑅 ∈ Ring)
28518, 214ringcl 20268 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦𝑤) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)) ∈ (Base‘𝑅))
286284, 208, 212, 285syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)) ∈ (Base‘𝑅))
2876, 1, 25, 18, 16, 26, 27, 5, 28, 29, 277, 278, 279, 280, 281, 17, 283, 286evlslem3 22122 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧f + 𝑤), ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧f + 𝑤) ∘f 𝐺))))
2886, 1, 25, 18, 16, 26, 27, 5, 28, 29, 277, 278, 279, 280, 281, 17, 207, 208evlslem3 22122 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥𝑧), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧f 𝐺))))
2896, 1, 25, 18, 16, 26, 27, 5, 28, 29, 277, 278, 279, 280, 281, 17, 211, 212evlslem3 22122 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦𝑤), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺))))
290288, 289oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥𝑧), (0g𝑅)))) · (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦𝑤), (0g𝑅))))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧f 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤f 𝐺)))))
291276, 287, 2903eqtr4d 2785 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧f + 𝑤), ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)), (0g𝑅)))) = ((𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥𝑧), (0g𝑅)))) · (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦𝑤), (0g𝑅))))))
2926, 1, 5, 17, 16, 7, 8, 11, 200, 291evlslem2 22121 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((𝐸𝑥) · (𝐸𝑦)))
2931, 2, 3, 4, 5, 10, 12, 87, 292, 25, 88, 89, 109, 199isrhmd 20505 . 2 (𝜑𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆))
294 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) ∈ V
295294, 29fnmpti 6712 . . . . 5 𝐸 Fn 𝐵
296295a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐸 Fn 𝐵)
29718, 1rhmf 20502 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) → 𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
29881, 297syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
299298ffnd 6738 . . . 4 (𝜑𝐴 Fn (Base‘𝑅))
300298frnd 6745 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐴𝐵)
301 fnco 6687 . . . 4 ((𝐸 Fn 𝐵𝐴 Fn (Base‘𝑅) ∧ ran 𝐴𝐵) → (𝐸𝐴) Fn (Base‘𝑅))
302296, 299, 300, 301syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐴) Fn (Base‘𝑅))
30363ffnd 6738 . . 3 (𝜑𝐹 Fn (Base‘𝑅))
304 fvco2 7006 . . . . 5 ((𝐴 Fn (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐸𝐴)‘𝑥) = (𝐸‘(𝐴𝑥)))
305299, 304sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐸𝐴)‘𝑥) = (𝐸‘(𝐴𝑥)))
306305, 68eqtrd 2775 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐸𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
307302, 303, 306eqfnfvd 7054 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐴) = 𝐹)
3086, 28, 1, 7, 9mvrf2 22031 . . . . 5 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
309308ffnd 6738 . . . 4 (𝜑𝑉 Fn 𝐼)
310308frnd 6745 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑉𝐵)
311 fnco 6687 . . . 4 ((𝐸 Fn 𝐵𝑉 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑉𝐵) → (𝐸𝑉) Fn 𝐼)
312296, 309, 310, 311syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝑉) Fn 𝐼)
313 fvco2 7006 . . . . 5 ((𝑉 Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((𝐸𝑉)‘𝑥) = (𝐸‘(𝑉𝑥)))
314309, 313sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐸𝑉)‘𝑥) = (𝐸‘(𝑉𝑥)))
3157adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
3168adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CRing)
317 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
31828, 16, 17, 70, 315, 316, 317mvrval 22020 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))))
319318fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐸‘(𝑉𝑥)) = (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))))
32011adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ∈ CRing)
32132adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
32234adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺:𝐼𝐶)
32316psrbagsn 22105 . . . . . . . 8 (𝐼𝑊 → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
3247, 323syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
325324adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
32672adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3276, 1, 25, 18, 16, 26, 27, 5, 28, 29, 315, 316, 320, 321, 322, 17, 325, 326evlslem3 22122 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘(1r𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺))))
32886adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
329 1nn0 12540 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
330 0nn0 12539 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
331329, 330ifcli 4578 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0
332331a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0)
33334ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐶)
334 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)))
33534feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 = (𝑧𝐼 ↦ (𝐺𝑧)))
3367, 332, 333, 334, 335offval2 7717 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺) = (𝑧𝐼 ↦ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧))))
337 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → (1 (𝐺𝑧)) = (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)))
338337eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (1 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → ((1 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) ↔ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
339 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → (0 (𝐺𝑧)) = (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)))
340339eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → ((0 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) ↔ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
341333adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐶)
34247, 27mulg1 19112 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑧) ∈ 𝐶 → (1 (𝐺𝑧)) = (𝐺𝑧))
343341, 342syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (1 (𝐺𝑧)) = (𝐺𝑧))
344 iftrue 4537 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (𝐺𝑧))
345344adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (𝐺𝑧))
346343, 345eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (1 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
34747, 48, 27mulg0 19105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑧) ∈ 𝐶 → (0 (𝐺𝑧)) = (1r𝑆))
348333, 347syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐼) → (0 (𝐺𝑧)) = (1r𝑆))
349348adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → (0 (𝐺𝑧)) = (1r𝑆))
350 iffalse 4540 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
351350adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
352349, 351eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → (0 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
353338, 340, 346, 352ifbothda 4569 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
354353mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧))) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
355336, 354eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
356355adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
357356oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))))
35856adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
359333adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐶)
36025, 3ringidcl 20280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ 𝐶)
36112, 360syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ 𝐶)
362361ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → (1r𝑆) ∈ 𝐶)
363359, 362ifcld 4577 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) ∈ 𝐶)
364363fmpttd 7135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))):𝐼𝐶)
365 eldifsnneq 4796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ¬ 𝑧 = 𝑥)
366365, 350syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
367366adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
368367, 315suppss2 8224 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))) supp (1r𝑆)) ⊆ {𝑥})
36947, 48, 358, 315, 317, 364, 368gsumpt 19995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))) = ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))‘𝑥))
370 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑥))
371344, 370eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (𝐺𝑥))
372 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
373 fvex 6920 . . . . . . . . . 10 (𝐺𝑥) ∈ V
374371, 372, 373fvmpt 7016 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
375374adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
376357, 369, 3753eqtrd 2779 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺)) = (𝐺𝑥))
377328, 376oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹‘(1r𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺))) = ((1r𝑆) · (𝐺𝑥)))
37825, 5, 3ringlidm 20283 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐶) → ((1r𝑆) · (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
37912, 46, 378syl2an2r 685 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((1r𝑆) · (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
380377, 379eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹‘(1r𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘f 𝐺))) = (𝐺𝑥))
381319, 327, 3803eqtrd 2779 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐸‘(𝑉𝑥)) = (𝐺𝑥))
382314, 381eqtrd 2775 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐸𝑉)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
383312, 246, 382eqfnfvd 7054 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑉) = 𝐺)
384293, 307, 3833jca 1127 1 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸𝑉) = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  ccnv 5688  ran crn 5690  cima 5692  ccom 5693   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8865  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098   GrpHom cghm 19243  CMndccmn 19813  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  AssAlgcasa 21888  algSccascl 21890   mVar cmvr 21943   mPoly cmpl 21944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-assa 21891  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949
This theorem is referenced by:  evlseu  22125  evlsval3  42546
  Copyright terms: Public domain W3C validator