Theorem evlslem1 19788

Description: Lemma for evlseu 19789, give a formula for (the unique) polynomial evaluation homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlslem1.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem1.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem1.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem1.x	⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
evlslem1.m	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlslem1.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))))
evlslem1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
evlslem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlslem1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlslem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
evlslem1.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
evlslem1	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸 ∘ 𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ 𝑉) = 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝐵   𝐶,𝑏,𝑝   𝜑,𝑏,𝑝   𝐹,𝑏,𝑝   𝐾,𝑏   𝑇,𝑏,𝑝   𝐷,𝑏,𝑝   ℎ,𝑏,𝐼,𝑝   𝑅,𝑏,ℎ,𝑝   𝐺,𝑏,𝑝   𝑃,𝑏,𝑝   𝑆,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   ↑ ,𝑏,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ,𝑝,𝑏)   𝐵(ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(ℎ)   𝑆(ℎ)   𝑇(ℎ)   · (ℎ)   𝐸(ℎ,𝑝,𝑏)   ↑ (ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐺(ℎ)   𝐾(ℎ,𝑝)   𝑉(ℎ,𝑝,𝑏)

Proof of Theorem evlslem1

Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlslem1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		evlslem1.m	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
6		evlslem1.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
7		evlslem1.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8		crngring 18825	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		evlslem1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
11	10	mplring 19726	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
12	6, 9, 11	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
13		evlslem1.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
14		crngring 18825	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
16		2fveq3 6380	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (𝐸‘(𝐴‘𝑥)) = (𝐸‘(𝐴‘(1r‘𝑅))))
17		fveq2 6375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
18	16, 17	eqeq12d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → ((𝐸‘(𝐴‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐸‘(𝐴‘(1r‘𝑅))) = (𝐹‘(1r‘𝑅))))
19		evlslem1.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
20		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21		evlslem1.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
22		evlslem1.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
23	6	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝐼 ∈ V)
24	9	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
25		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑥 ∈ 𝐾)
26	10, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	mplascl 19769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑥) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝑅))))
27	26	fveq2d 6379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐸‘(𝐴‘𝑥)) = (𝐸‘(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝑅)))))
28		evlslem1.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
29		evlslem1.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
30		evlslem1.x	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
31		evlslem1.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
32		evlslem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))))
33	7	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
34	13	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ CRing)
35		evlslem1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
36	35	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
37		evlslem1.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
38	37	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
39	19	psrbag0 19767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
40	6, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
41	40	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
42	10, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 23, 33, 34, 36, 38, 20, 41, 25	evlslem3 19787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐸‘(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝑅)))) = ((𝐹‘𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 ↑ 𝐺))))
43		0zd 11636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℤ)
44		fvexd 6390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
45		fconstmpt 5333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0))
47	37	feqmptd 6438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
48	6, 43, 44, 46, 47	offval2 7112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 ↑ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (0 ↑ (𝐺‘𝑥))))
49	37	ffvelrnda 6549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐶)
50	29, 28	mgpbas 18762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
51	29, 3	ringidval 18770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘𝑇)
52	50, 51, 30	mulg0 17815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝐶 → (0 ↑ (𝐺‘𝑥)) = (1r‘𝑆))
53	49, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (0 ↑ (𝐺‘𝑥)) = (1r‘𝑆))
54	53	mpteq2dva 4903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (0 ↑ (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (1r‘𝑆)))
55	48, 54	eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 ↑ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (1r‘𝑆)))
56	55	oveq2d 6858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 ↑ 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (1r‘𝑆))))
57	29	crngmgp 18822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
58	13, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
59		cmnmnd 18474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
61	51	gsumz 17642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (1r‘𝑆))) = (1r‘𝑆))
62	60, 6, 61	syl2anc 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (1r‘𝑆))) = (1r‘𝑆))
63	56, 62	eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 ↑ 𝐺)) = (1r‘𝑆))
64	63	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 ↑ 𝐺)) = (1r‘𝑆))
65	64	oveq2d 6858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝐹‘𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘𝑥) · (1r‘𝑆)))
66	21, 28	rhmf 18995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
67	35, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
68	67	ffvelrnda 6549	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐶)
69	28, 5, 3	ringridm 18839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (1r‘𝑆)) = (𝐹‘𝑥))
70	15, 68, 69	syl2an2r 675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝐹‘𝑥) · (1r‘𝑆)) = (𝐹‘𝑥))
71	65, 70	eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝐹‘𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 ↑ 𝐺))) = (𝐹‘𝑥))
72	27, 42, 71	3eqtrd 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐸‘(𝐴‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
73	72	ralrimiva 3113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (𝐸‘(𝐴‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
74		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
75	21, 74	ringidcl 18835	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
76	9, 75	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
77	18, 73, 76	rspcdva 3467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝐴‘(1r‘𝑅))) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
78	10	mplassa 19728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
79	6, 7, 78	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ AssAlg)
80		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
81	22, 80	asclrhm 19616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
82	79, 81	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
83	10, 6, 7	mplsca 19719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
84	83	oveq1d 6857	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
85	82, 84	eleqtrrd 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
86	74, 2	rhm1 18999	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) → (𝐴‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
87	85, 86	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
88	87	fveq2d 6379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝐴‘(1r‘𝑅))) = (𝐸‘(1r‘𝑃)))
89	74, 3	rhm1 18999	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
90	35, 89	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
91	77, 88, 90	3eqtr3d 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑆))
92		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
93		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
94		ringgrp 18819	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
95	12, 94	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
96		ringgrp 18819	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
97	15, 96	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
98		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
99		ringcmn 18848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ CMnd)
100	15, 99	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
101	100	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CMnd)
102		ovex 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V
103	19, 102	rabex2 4975	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ V
104	103	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ V)
105	6	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ V)
106	7	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
107	13	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
108	35	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
109	37	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
110		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
111	10, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 105, 106, 107, 108, 109, 110	evlslem6 19786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶 ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆)))
112	111	simpld 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶)
113	111	simprd 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆))
114	28, 98, 101, 104, 112, 113	gsumcl 18582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))) ∈ 𝐶)
115	114, 32	fmptd 6574	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶𝐶)
116		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
117		simplrl 795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐵)
118		simplrr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐵)
119	10, 1, 116, 92, 117, 118	mpladd 19716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑦))
120	119	fveq1d 6377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑦)‘𝑏))
121		simprl 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
122	10, 21, 1, 19, 121	mplelf 19707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥:𝐷⟶𝐾)
123	122	ffnd 6224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 Fn 𝐷)
124	123	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑥 Fn 𝐷)
125		simprr 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
126	10, 21, 1, 19, 125	mplelf 19707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦:𝐷⟶𝐾)
127	126	ffnd 6224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐷)
128	127	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑦 Fn 𝐷)
129	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ V)
130		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
131		fnfvof 7109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 Fn 𝐷 ∧ 𝑦 Fn 𝐷) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → ((𝑥 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥‘𝑏)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑏)))
132	124, 128, 129, 130, 131	syl22anc 867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∘𝑓 (+g‘𝑅)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥‘𝑏)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑏)))
133	120, 132	eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥‘𝑏)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑏)))
134	133	fveq2d 6379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) = (𝐹‘((𝑥‘𝑏)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑏))))
135		rhmghm 18994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
136	35, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
137	136	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
138	122	ffvelrnda 6549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑥‘𝑏) ∈ 𝐾)
139	126	ffvelrnda 6549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑦‘𝑏) ∈ 𝐾)
140	21, 116, 93	ghmlin 17931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (𝑥‘𝑏) ∈ 𝐾 ∧ (𝑦‘𝑏) ∈ 𝐾) → (𝐹‘((𝑥‘𝑏)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑏))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑏))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑏))))
141	137, 138, 139, 140	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘((𝑥‘𝑏)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑏))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑏))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑏))))
142	134, 141	eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑏))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑏))))
143	142	oveq1d 6857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑏))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))
144	15	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
145	67	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
146	145, 138	ffvelrnd 6550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑥‘𝑏)) ∈ 𝐶)
147	145, 139	ffvelrnd 6550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑦‘𝑏)) ∈ 𝐶)
148	58	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
149	37	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
150	6	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ V)
151	19, 50, 30, 51, 148, 130, 149, 150	psrbagev2 19784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
152	28, 93, 5	ringdir 18834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑦‘𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)) → (((𝐹‘(𝑥‘𝑏))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))(+g‘𝑆)((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))
153	144, 146, 147, 151, 152	syl13anc 1491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((𝐹‘(𝑥‘𝑏))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))(+g‘𝑆)((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))
154	143, 153	eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))(+g‘𝑆)((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))
155	154	mpteq2dva 4903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))(+g‘𝑆)((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))))
156	103	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
157		ovexd 6876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) ∈ V)
158		ovexd 6876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) ∈ V)
159		eqidd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))
160		eqidd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))
161	156, 157, 158, 159, 160	offval2 7112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) ∘𝑓 (+g‘𝑆)(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ (((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))(+g‘𝑆)((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))))
162	155, 161	eqtr4d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) ∘𝑓 (+g‘𝑆)(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))))
163	162	oveq2d 6858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) ∘𝑓 (+g‘𝑆)(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))))
164	100	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ CMnd)
165	6	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ V)
166	7	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
167	13	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ CRing)
168	35	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
169	37	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
170	10, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 165, 166, 167, 168, 169, 121	evlslem6 19786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶 ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆)))
171	170	simpld 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶)
172	10, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 165, 166, 167, 168, 169, 125	evlslem6 19786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶 ∧ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆)))
173	172	simpld 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶)
174	170	simprd 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆))
175	172	simprd 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) finSupp (0g‘𝑆))
176	28, 98, 93, 164, 156, 171, 173, 174, 175	gsumadd 18589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) ∘𝑓 (+g‘𝑆)(𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))) = ((𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))(+g‘𝑆)(𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))))
177	163, 176	eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))) = ((𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))(+g‘𝑆)(𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))))
178	95	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
179	1, 92	grpcl 17699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
180	178, 121, 125, 179	syl3anc 1490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
181		fveq1 6374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) → (𝑝‘𝑏) = ((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏))
182	181	fveq2d 6379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) → (𝐹‘(𝑝‘𝑏)) = (𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)))
183	182	oveq1d 6857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) → ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))
184	183	mpteq2dv 4904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))
185	184	oveq2d 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))))
186		ovex 6874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))) ∈ V
187	185, 32, 186	fvmpt 6471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))))
188	180, 187	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g‘𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))))
189		fveq1 6374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑝‘𝑏) = (𝑥‘𝑏))
190	189	fveq2d 6379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑝‘𝑏)) = (𝐹‘(𝑥‘𝑏)))
191	190	oveq1d 6857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))
192	191	mpteq2dv 4904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))
193	192	oveq2d 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))))
194		ovex 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))) ∈ V
195	193, 32, 194	fvmpt 6471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝐸‘𝑥) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))))
196	121, 195	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘𝑥) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))))
197		fveq1 6374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑝‘𝑏) = (𝑦‘𝑏))
198	197	fveq2d 6379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑝‘𝑏)) = (𝐹‘(𝑦‘𝑏)))
199	198	oveq1d 6857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))
200	199	mpteq2dv 4904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))
201	200	oveq2d 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))))
202		ovex 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))) ∈ V
203	201, 32, 202	fvmpt 6471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐸‘𝑦) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))))
204	203	ad2antll 720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘𝑦) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))))
205	196, 204	oveq12d 6860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐸‘𝑥)(+g‘𝑆)(𝐸‘𝑦)) = ((𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))(+g‘𝑆)(𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))))
206	177, 188, 205	3eqtr4d 2809	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = ((𝐸‘𝑥)(+g‘𝑆)(𝐸‘𝑦)))
207	1, 28, 92, 93, 95, 97, 115, 206	isghmd 17935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑆))
208		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
209	208, 29	rhmmhm 18991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
210	35, 209	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
211	210	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
212		simprll 797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
213	10, 21, 1, 19, 212	mplelf 19707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑥:𝐷⟶𝐾)
214		simprrl 799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑧 ∈ 𝐷)
215	213, 214	ffvelrnd 6550	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝑥‘𝑧) ∈ 𝐾)
216		simprlr 798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
217	10, 21, 1, 19, 216	mplelf 19707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑦:𝐷⟶𝐾)
218		simprrr 800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
219	217, 218	ffvelrnd 6550	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝑦‘𝑤) ∈ 𝐾)
220	208, 21	mgpbas 18762	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
221		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
222	208, 221	mgpplusg 18760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
223	29, 5	mgpplusg 18760	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘𝑇)
224	220, 222, 223	mhmlin 17610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇) ∧ (𝑥‘𝑧) ∈ 𝐾 ∧ (𝑦‘𝑤) ∈ 𝐾) → (𝐹‘((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝐹‘(𝑦‘𝑤))))
225	211, 215, 219, 224	syl3anc 1490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝐹‘((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝐹‘(𝑦‘𝑤))))
226	60	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
227		simprl 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝑧 ∈ 𝐷)
228	19	psrbagf 19639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
229	6, 227, 228	syl2an2r 675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
230	229	ffvelrnda 6549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑣) ∈ ℕ0)
231		simprr 789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝑤 ∈ 𝐷)
232	19	psrbagf 19639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝑤:𝐼⟶ℕ0)
233	6, 231, 232	syl2an2r 675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝑤:𝐼⟶ℕ0)
234	233	ffvelrnda 6549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝑤‘𝑣) ∈ ℕ0)
235	37	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
236	235	ffvelrnda 6549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐶)
237	50, 30, 223	mulgnn0dir 17838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ ((𝑧‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝑤‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐶)) → (((𝑧‘𝑣) + (𝑤‘𝑣)) ↑ (𝐺‘𝑣)) = (((𝑧‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)) · ((𝑤‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣))))
238	226, 230, 234, 236, 237	syl13anc 1491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (((𝑧‘𝑣) + (𝑤‘𝑣)) ↑ (𝐺‘𝑣)) = (((𝑧‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)) · ((𝑤‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣))))
239	238	mpteq2dva 4903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑧‘𝑣) + (𝑤‘𝑣)) ↑ (𝐺‘𝑣))) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑧‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)) · ((𝑤‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)))))
240	6	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝐼 ∈ V)
241		ovexd 6876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → ((𝑧‘𝑣) + (𝑤‘𝑣)) ∈ V)
242		fvexd 6390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑣) ∈ V)
243	229	ffnd 6224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝑧 Fn 𝐼)
244	233	ffnd 6224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝑤 Fn 𝐼)
245		inidm 3982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
246		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑣) = (𝑧‘𝑣))
247		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝑤‘𝑣) = (𝑤‘𝑣))
248	243, 244, 240, 240, 245, 246, 247	offval 7102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑧 ∘𝑓 + 𝑤) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧‘𝑣) + (𝑤‘𝑣))))
249	37	feqmptd 6438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑣)))
250	249	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑣)))
251	240, 241, 242, 248, 250	offval2 7112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → ((𝑧 ∘𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 ↑ 𝐺) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑧‘𝑣) + (𝑤‘𝑣)) ↑ (𝐺‘𝑣))))
252		ovexd 6876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → ((𝑧‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)) ∈ V)
253		ovexd 6876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → ((𝑤‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)) ∈ V)
254	37	ffnd 6224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
255	254	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝐺 Fn 𝐼)
256		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑣) = (𝐺‘𝑣))
257	243, 255, 240, 240, 245, 246, 256	offval 7102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣))))
258	244, 255, 240, 240, 245, 247, 256	offval 7102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑤‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣))))
259	240, 252, 253, 257, 258	offval2 7112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → ((𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) = (𝑣 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑧‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)) · ((𝑤‘𝑣) ↑ (𝐺‘𝑣)))))
260	239, 251, 259	3eqtr4d 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → ((𝑧 ∘𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 ↑ 𝐺) = ((𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))
261	260	oveq2d 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧 ∘𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 ↑ 𝐺)) = (𝑇 Σg ((𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))
262	58	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝑇 ∈ CMnd)
263	19, 50, 30, 51, 262, 227, 235, 240	psrbagev1 19783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → ((𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺) finSupp (1r‘𝑆)))
264	263	simpld 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺):𝐼⟶𝐶)
265	19, 50, 30, 51, 262, 231, 235, 240	psrbagev1 19783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → ((𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺):𝐼⟶𝐶 ∧ (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺) finSupp (1r‘𝑆)))
266	265	simpld 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺):𝐼⟶𝐶)
267	263	simprd 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺) finSupp (1r‘𝑆))
268	265	simprd 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺) finSupp (1r‘𝑆))
269	50, 51, 223, 262, 240, 264, 266, 267, 268	gsumadd 18589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) = ((𝑇 Σg (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))
270	261, 269	eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧 ∘𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 ↑ 𝐺)) = ((𝑇 Σg (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))
271	270	adantrl 707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝑇 Σg ((𝑧 ∘𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 ↑ 𝐺)) = ((𝑇 Σg (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))
272	225, 271	oveq12d 6860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → ((𝐹‘((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧 ∘𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 ↑ 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝐹‘(𝑦‘𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))
273	58	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑇 ∈ CMnd)
274	67	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
275	274, 215	ffvelrnd 6550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝐹‘(𝑥‘𝑧)) ∈ 𝐶)
276	274, 219	ffvelrnd 6550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝐹‘(𝑦‘𝑤)) ∈ 𝐶)
277	19, 50, 30, 51, 262, 227, 235, 240	psrbagev2 19784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑇 Σg (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
278	277	adantrl 707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝑇 Σg (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
279	19, 50, 30, 51, 262, 231, 235, 240	psrbagev2 19784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑇 Σg (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
280	279	adantrl 707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝑇 Σg (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
281	50, 223	cmn4 18478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ CMnd ∧ ((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑦‘𝑤)) ∈ 𝐶) ∧ ((𝑇 Σg (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)) → (((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝐹‘(𝑦‘𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦‘𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))
282	273, 275, 276, 278, 280, 281	syl122anc 1498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝐹‘(𝑦‘𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦‘𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))
283	272, 282	eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → ((𝐹‘((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧 ∘𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 ↑ 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦‘𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))
284	6	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝐼 ∈ V)
285	7	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑅 ∈ CRing)
286	13	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑆 ∈ CRing)
287	35	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
288	37	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
289	19	psrbagaddcl 19644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∘𝑓 + 𝑤) ∈ 𝐷)
290	284, 214, 218, 289	syl3anc 1490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝑧 ∘𝑓 + 𝑤) ∈ 𝐷)
291	9	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → 𝑅 ∈ Ring)
292	21, 221	ringcl 18828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥‘𝑧) ∈ 𝐾 ∧ (𝑦‘𝑤) ∈ 𝐾) → ((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤)) ∈ 𝐾)
293	291, 215, 219, 292	syl3anc 1490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → ((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤)) ∈ 𝐾)
294	10, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 284, 285, 286, 287, 288, 20, 290, 293	evlslem3 19787	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧 ∘𝑓 + 𝑤), ((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤)), (0g‘𝑅)))) = ((𝐹‘((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧 ∘𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 ↑ 𝐺))))
295	10, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 284, 285, 286, 287, 288, 20, 214, 215	evlslem3 19787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥‘𝑧), (0g‘𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))
296	10, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 284, 285, 286, 287, 288, 20, 218, 219	evlslem3 19787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦‘𝑤), (0g‘𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑦‘𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))
297	295, 296	oveq12d 6860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → ((𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥‘𝑧), (0g‘𝑅)))) · (𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦‘𝑤), (0g‘𝑅))))) = (((𝐹‘(𝑥‘𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧 ∘𝑓 ↑ 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦‘𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤 ∘𝑓 ↑ 𝐺)))))
298	283, 294, 297	3eqtr4d 2809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷))) → (𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧 ∘𝑓 + 𝑤), ((𝑥‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑦‘𝑤)), (0g‘𝑅)))) = ((𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥‘𝑧), (0g‘𝑅)))) · (𝐸‘(𝑣 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦‘𝑤), (0g‘𝑅))))))
299	10, 1, 5, 20, 19, 6, 7, 13, 207, 298	evlslem2 19785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐸‘𝑥) · (𝐸‘𝑦)))
300	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 91, 299, 28, 92, 93, 115, 206	isrhmd 18998	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆))
301		ovex 6874	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘𝑓 ↑ 𝐺))))) ∈ V
302	301, 32	fnmpti 6200	. . . . 5 ⊢ 𝐸 Fn 𝐵
303	302	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝐵)
304	21, 1	rhmf 18995	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
305	85, 304	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
306	305	ffnd 6224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐾)
307	305	frnd 6230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ⊆ 𝐵)
308		fnco 6177	. . . 4 ⊢ ((𝐸 Fn 𝐵 ∧ 𝐴 Fn 𝐾 ∧ ran 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐸 ∘ 𝐴) Fn 𝐾)
309	303, 306, 307, 308	syl3anc 1490	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ 𝐴) Fn 𝐾)
310	67	ffnd 6224	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐾)
311		fvco2 6462	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝐸 ∘ 𝐴)‘𝑥) = (𝐸‘(𝐴‘𝑥)))
312	306, 311	sylan 575	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝐸 ∘ 𝐴)‘𝑥) = (𝐸‘(𝐴‘𝑥)))
313	312, 72	eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → ((𝐸 ∘ 𝐴)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
314	309, 310, 313	eqfnfvd 6504	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ 𝐴) = 𝐹)
315	10, 31, 1, 6, 9	mvrf2 19765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)
316	315	ffnd 6224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn 𝐼)
317	315	frnd 6230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ 𝐵)
318		fnco 6177	. . . 4 ⊢ ((𝐸 Fn 𝐵 ∧ 𝑉 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝐸 ∘ 𝑉) Fn 𝐼)
319	303, 316, 317, 318	syl3anc 1490	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ 𝑉) Fn 𝐼)
320		fvco2 6462	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐸 ∘ 𝑉)‘𝑥) = (𝐸‘(𝑉‘𝑥)))
321	316, 320	sylan 575	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐸 ∘ 𝑉)‘𝑥) = (𝐸‘(𝑉‘𝑥)))
322	6	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
323	7	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ CRing)
324		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
325	31, 19, 20, 74, 322, 323, 324	mvrval 19695	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑉‘𝑥) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
326	325	fveq2d 6379	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐸‘(𝑉‘𝑥)) = (𝐸‘(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
327	13	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ CRing)
328	35	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
329	37	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
330	19	psrbagsn 19768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
331	6, 330	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
332	331	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
333	76	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
334	10, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 322, 323, 327, 328, 329, 20, 332, 333	evlslem3 19787	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐸‘(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = ((𝐹‘(1r‘𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 ↑ 𝐺))))
335	90	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
336		1nn0 11556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ0
337		0nn0 11555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
338	336, 337	ifcli 4289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0
339	338	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0)
340	37	ffvelrnda 6549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐶)
341		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)))
342	37	feqmptd 6438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑧)))
343	6, 339, 340, 341, 342	offval2 7112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 ↑ 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ↑ (𝐺‘𝑧))))
344		oveq1 6849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → (1 ↑ (𝐺‘𝑧)) = (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ↑ (𝐺‘𝑧)))
345	344	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → ((1 ↑ (𝐺‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) ↔ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ↑ (𝐺‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))))
346		oveq1 6849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → (0 ↑ (𝐺‘𝑧)) = (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ↑ (𝐺‘𝑧)))
347	346	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → ((0 ↑ (𝐺‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) ↔ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ↑ (𝐺‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))))
348	340	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐶)
349	50, 30	mulg1 17817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ 𝐶 → (1 ↑ (𝐺‘𝑧)) = (𝐺‘𝑧))
350	348, 349	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (1 ↑ (𝐺‘𝑧)) = (𝐺‘𝑧))
351		iftrue 4249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑧))
352	351	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑧))
353	350, 352	eqtr4d 2802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (1 ↑ (𝐺‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))
354	50, 51, 30	mulg0 17815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺‘𝑧) ∈ 𝐶 → (0 ↑ (𝐺‘𝑧)) = (1r‘𝑆))
355	340, 354	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (0 ↑ (𝐺‘𝑧)) = (1r‘𝑆))
356	355	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → (0 ↑ (𝐺‘𝑧)) = (1r‘𝑆))
357		iffalse 4252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
358	357	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
359	356, 358	eqtr4d 2802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → (0 ↑ (𝐺‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))
360	345, 347, 353, 359	ifbothda 4280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ↑ (𝐺‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))
361	360	mpteq2dva 4903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ↑ (𝐺‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))))
362	343, 361	eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 ↑ 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))))
363	362	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 ↑ 𝐺) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))))
364	363	oveq2d 6858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 ↑ 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))))
365	60	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
366	340	adantlr 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐶)
367	28, 3	ringidcl 18835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝐶)
368	15, 367	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝐶)
369	368	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (1r‘𝑆) ∈ 𝐶)
370	366, 369	ifcld 4288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) ∈ 𝐶)
371	370	fmpttd 6575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))):𝐼⟶𝐶)
372		eldifn 3895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ¬ 𝑧 ∈ {𝑥})
373		velsn 4350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥} ↔ 𝑧 = 𝑥)
374	372, 373	sylnib 319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ¬ 𝑧 = 𝑥)
375	374, 357	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
376	375	adantl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) = (1r‘𝑆))
377	376, 322	suppss2 7532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))) supp (1r‘𝑆)) ⊆ {𝑥})
378	50, 51, 365, 322, 324, 371, 377	gsumpt 18627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))) = ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))‘𝑥))
379		fveq2 6375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑥))
380	351, 379	eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)) = (𝐺‘𝑥))
381		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))
382		fvex 6388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺‘𝑥) ∈ V
383	380, 381, 382	fvmpt 6471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
384	383	adantl 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺‘𝑧), (1r‘𝑆)))‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
385	364, 378, 384	3eqtrd 2803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑇 Σg ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 ↑ 𝐺)) = (𝐺‘𝑥))
386	335, 385	oveq12d 6860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘(1r‘𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 ↑ 𝐺))) = ((1r‘𝑆) · (𝐺‘𝑥)))
387	28, 5, 3	ringlidm 18838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐶) → ((1r‘𝑆) · (𝐺‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
388	15, 49, 387	syl2an2r 675	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((1r‘𝑆) · (𝐺‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
389	386, 388	eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘(1r‘𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 ↑ 𝐺))) = (𝐺‘𝑥))
390	326, 334, 389	3eqtrd 2803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐸‘(𝑉‘𝑥)) = (𝐺‘𝑥))
391	321, 390	eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐸 ∘ 𝑉)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
392	319, 254, 391	eqfnfvd 6504	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ 𝑉) = 𝐺)
393	300, 314, 392	3jca 1158	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸 ∘ 𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸 ∘ 𝑉) = 𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  {crab 3059  Vcvv 3350   ∖ cdif 3729   ⊆ wss 3732  ifcif 4243  {csn 4334   class class class wbr 4809   ↦ cmpt 4888   × cxp 5275  ^◡ccnv 5276  ran crn 5278   “ cima 5280   ∘ ccom 5281   Fn wfn 6063  ⟶wf 6064  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842   ∘_𝑓 cof 7093   ↑_𝑚 cmap 8060  Fincfn 8160   finSupp cfsupp 8482  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  ℕcn 11274  ℕ₀cn0 11538  ℤcz 11624  Basecbs 16132  +_gcplusg 16216  ._rcmulr 16217  Scalarcsca 16219  0_gc0g 16368   Σ_g cgsu 16369  Mndcmnd 17562   MndHom cmhm 17601  Grpcgrp 17691  ._gcmg 17809   GrpHom cghm 17923  CMndccmn 18459  mulGrpcmgp 18756  1_rcur 18768  Ringcrg 18814  CRingccrg 18815   RingHom crh 18981  AssAlgcasa 19583  algSccascl 19585   mVar cmvr 19626   mPoly cmpl 19627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-tset 16235  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-mhm 17603  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-mulg 17810  df-subg 17857  df-ghm 17924  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-rnghom 18984  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-assa 19586  df-ascl 19588  df-psr 19630  df-mvr 19631  df-mpl 19632

This theorem is referenced by:  evlseu  19789