MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem1 19788
Description: Lemma for evlseu 19789, give a formula for (the unique) polynomial evaluation homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem1.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem1.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem1.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem1.x = (.g𝑇)
evlslem1.m · = (.r𝑆)
evlslem1.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem1.e 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
evlslem1.i (𝜑𝐼 ∈ V)
evlslem1.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlslem1.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlslem1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
evlslem1.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
evlslem1 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸𝑉) = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝐵   𝐶,𝑏,𝑝   𝜑,𝑏,𝑝   𝐹,𝑏,𝑝   𝐾,𝑏   𝑇,𝑏,𝑝   𝐷,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝐼,𝑝   𝑅,𝑏,,𝑝   𝐺,𝑏,𝑝   𝑃,𝑏,𝑝   𝑆,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐴(,𝑝,𝑏)   𝐵()   𝐶()   𝐷()   𝑃()   𝑆()   𝑇()   · ()   𝐸(,𝑝,𝑏)   ()   𝐹()   𝐺()   𝐾(,𝑝)   𝑉(,𝑝,𝑏)

Proof of Theorem evlslem1
Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2765 . . 3 (1r𝑃) = (1r𝑃)
3 eqid 2765 . . 3 (1r𝑆) = (1r𝑆)
4 eqid 2765 . . 3 (.r𝑃) = (.r𝑃)
5 evlslem1.m . . 3 · = (.r𝑆)
6 evlslem1.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
7 evlslem1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
8 crngring 18825 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 evlslem1.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
1110mplring 19726 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
126, 9, 11syl2anc 579 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
13 evlslem1.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
14 crngring 18825 . . . 4 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
16 2fveq3 6380 . . . . . 6 (𝑥 = (1r𝑅) → (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))))
17 fveq2 6375 . . . . . 6 (𝑥 = (1r𝑅) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(1r𝑅)))
1816, 17eqeq12d 2780 . . . . 5 (𝑥 = (1r𝑅) → ((𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))) = (𝐹‘(1r𝑅))))
19 evlslem1.d . . . . . . . . 9 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
20 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
21 evlslem1.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
22 evlslem1.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algSc‘𝑃)
236adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝐼 ∈ V)
249adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
25 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
2610, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mplascl 19769 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐴𝑥) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅))))
2726fveq2d 6379 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)))))
28 evlslem1.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
29 evlslem1.t . . . . . . . 8 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
30 evlslem1.x . . . . . . . 8 = (.g𝑇)
31 evlslem1.v . . . . . . . 8 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
32 evlslem1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
337adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
3413adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑆 ∈ CRing)
35 evlslem1.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
3635adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
37 evlslem1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
3837adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝐺:𝐼𝐶)
3919psrbag0 19767 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ V → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
406, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
4140adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
4210, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 23, 33, 34, 36, 38, 20, 41, 25evlslem3 19787 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)))) = ((𝐹𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺))))
43 0zd 11636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ∈ ℤ)
44 fvexd 6390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ V)
45 fconstmpt 5333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0))
4737feqmptd 6438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
486, 43, 44, 46, 47offval2 7112 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ (0 (𝐺𝑥))))
4937ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐶)
5029, 28mgpbas 18762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = (Base‘𝑇)
5129, 3ringidval 18770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝑆) = (0g𝑇)
5250, 51, 30mulg0 17815 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → (0 (𝐺𝑥)) = (1r𝑆))
5349, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (0 (𝐺𝑥)) = (1r𝑆))
5453mpteq2dva 4903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (0 (𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆)))
5548, 54eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆)))
5655oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆))))
5729crngmgp 18822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
5813, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
59 cmnmnd 18474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
6151gsumz 17642 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆))) = (1r𝑆))
6260, 6, 61syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆))) = (1r𝑆))
6356, 62eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺)) = (1r𝑆))
6463adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺)) = (1r𝑆))
6564oveq2d 6858 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝐹𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺))) = ((𝐹𝑥) · (1r𝑆)))
6621, 28rhmf 18995 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾𝐶)
6735, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐾𝐶)
6867ffvelrnda 6549 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
6928, 5, 3ringridm 18839 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝑥) · (1r𝑆)) = (𝐹𝑥))
7015, 68, 69syl2an2r 675 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝐹𝑥) · (1r𝑆)) = (𝐹𝑥))
7165, 70eqtrd 2799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝐹𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺))) = (𝐹𝑥))
7227, 42, 713eqtrd 2803 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐹𝑥))
7372ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐾 (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐹𝑥))
74 eqid 2765 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
7521, 74ringidcl 18835 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
769, 75syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
7718, 73, 76rspcdva 3467 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))) = (𝐹‘(1r𝑅)))
7810mplassa 19728 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
796, 7, 78syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ AssAlg)
80 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
8122, 80asclrhm 19616 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
8279, 81syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
8310, 6, 7mplsca 19719 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8483oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
8582, 84eleqtrrd 2847 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
8674, 2rhm1 18999 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) → (𝐴‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
8785, 86syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
8887fveq2d 6379 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))) = (𝐸‘(1r𝑃)))
8974, 3rhm1 18999 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
9035, 89syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
9177, 88, 903eqtr3d 2807 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘(1r𝑃)) = (1r𝑆))
92 eqid 2765 . . . . 5 (+g𝑃) = (+g𝑃)
93 eqid 2765 . . . . 5 (+g𝑆) = (+g𝑆)
94 ringgrp 18819 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
9512, 94syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
96 ringgrp 18819 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
9715, 96syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
98 eqid 2765 . . . . . . 7 (0g𝑆) = (0g𝑆)
99 ringcmn 18848 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ CMnd)
10015, 99syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ CMnd)
101100adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑆 ∈ CMnd)
102 ovex 6874 . . . . . . . . 9 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
10319, 102rabex2 4975 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ V
104103a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐷 ∈ V)
1056adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐼 ∈ V)
1067adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
10713adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
10835adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10937adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐺:𝐼𝐶)
110 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑝𝐵)
11110, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 105, 106, 107, 108, 109, 110evlslem6 19786 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝐵) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
112111simpld 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶)
113111simprd 489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
11428, 98, 101, 104, 112, 113gsumcl 18582 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ 𝐶)
115114, 32fmptd 6574 . . . . 5 (𝜑𝐸:𝐵𝐶)
116 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝑅) = (+g𝑅)
117 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑥𝐵)
118 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑦𝐵)
11910, 1, 116, 92, 117, 118mpladd 19716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) = (𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦))
120119fveq1d 6377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦)‘𝑏))
121 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
12210, 21, 1, 19, 121mplelf 19707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥:𝐷𝐾)
123122ffnd 6224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 Fn 𝐷)
124123adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑥 Fn 𝐷)
125 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
12610, 21, 1, 19, 125mplelf 19707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦:𝐷𝐾)
127126ffnd 6224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐷)
128127adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑦 Fn 𝐷)
129103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐷 ∈ V)
130 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑏𝐷)
131 fnfvof 7109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 Fn 𝐷𝑦 Fn 𝐷) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑏𝐷)) → ((𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏)))
132124, 128, 129, 130, 131syl22anc 867 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏)))
133120, 132eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏)))
134133fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) = (𝐹‘((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏))))
135 rhmghm 18994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
13635, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
137136ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
138122ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑥𝑏) ∈ 𝐾)
139126ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑦𝑏) ∈ 𝐾)
14021, 116, 93ghmlin 17931 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (𝑥𝑏) ∈ 𝐾 ∧ (𝑦𝑏) ∈ 𝐾) → (𝐹‘((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏))) = ((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))))
141137, 138, 139, 140syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏))) = ((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))))
142134, 141eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) = ((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))))
143142oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
14415ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
14567ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐹:𝐾𝐶)
146145, 138ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑥𝑏)) ∈ 𝐶)
147145, 139ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑦𝑏)) ∈ 𝐶)
14858ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
14937ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐺:𝐼𝐶)
1506ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐼 ∈ V)
15119, 50, 30, 51, 148, 130, 149, 150psrbagev2 19784 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
15228, 93, 5ringdir 18834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑦𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)) → (((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
153144, 146, 147, 151, 152syl13anc 1491 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
154143, 153eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
155154mpteq2dva 4903 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
156103a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
157 ovexd 6876 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ V)
158 ovexd 6876 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ V)
159 eqidd 2766 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
160 eqidd 2766 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
161156, 157, 158, 159, 160offval2 7112 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∘𝑓 (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑏𝐷 ↦ (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
162155, 161eqtr4d 2802 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∘𝑓 (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
163162oveq2d 6858 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∘𝑓 (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))))
164100adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ CMnd)
1656adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐼 ∈ V)
1667adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
16713adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ CRing)
16835adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
16937adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺:𝐼𝐶)
17010, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 165, 166, 167, 168, 169, 121evlslem6 19786 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
171170simpld 488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶)
17210, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 165, 166, 167, 168, 169, 125evlslem6 19786 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
173172simpld 488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶)
174170simprd 489 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
175172simprd 489 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
17628, 98, 93, 164, 156, 171, 173, 174, 175gsumadd 18589 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑆 Σg ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∘𝑓 (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))) = ((𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))(+g𝑆)(𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))))
177163, 176eqtrd 2799 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = ((𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))(+g𝑆)(𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))))
17895adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
1791, 92grpcl 17699 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
180178, 121, 125, 179syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
181 fveq1 6374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝑝𝑏) = ((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏))
182181fveq2d 6379 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)))
183182oveq1d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
184183mpteq2dv 4904 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
185184oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
186 ovex 6874 . . . . . . . 8 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ V
187185, 32, 186fvmpt 6471 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
188180, 187syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
189 fveq1 6374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑏) = (𝑥𝑏))
190189fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘(𝑥𝑏)))
191190oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
192191mpteq2dv 4904 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑥 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
193192oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑥 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
194 ovex 6874 . . . . . . . . 9 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ V
195193, 32, 194fvmpt 6471 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → (𝐸𝑥) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
196121, 195syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸𝑥) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
197 fveq1 6374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑦 → (𝑝𝑏) = (𝑦𝑏))
198197fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘(𝑦𝑏)))
199198oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
200199mpteq2dv 4904 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑦 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
201200oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑦 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
202 ovex 6874 . . . . . . . . 9 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ V
203201, 32, 202fvmpt 6471 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → (𝐸𝑦) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
204203ad2antll 720 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸𝑦) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
205196, 204oveq12d 6860 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐸𝑥)(+g𝑆)(𝐸𝑦)) = ((𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))(+g𝑆)(𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))))
206177, 188, 2053eqtr4d 2809 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = ((𝐸𝑥)(+g𝑆)(𝐸𝑦)))
2071, 28, 92, 93, 95, 97, 115, 206isghmd 17935 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑆))
208 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
209208, 29rhmmhm 18991 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
21035, 209syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
211210adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
212 simprll 797 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑥𝐵)
21310, 21, 1, 19, 212mplelf 19707 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑥:𝐷𝐾)
214 simprrl 799 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑧𝐷)
215213, 214ffvelrnd 6550 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑥𝑧) ∈ 𝐾)
216 simprlr 798 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑦𝐵)
21710, 21, 1, 19, 216mplelf 19707 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑦:𝐷𝐾)
218 simprrr 800 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑤𝐷)
219217, 218ffvelrnd 6550 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑦𝑤) ∈ 𝐾)
220208, 21mgpbas 18762 . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
221 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
222208, 221mgpplusg 18760 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
22329, 5mgpplusg 18760 . . . . . . . . 9 · = (+g𝑇)
224220, 222, 223mhmlin 17610 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇) ∧ (𝑥𝑧) ∈ 𝐾 ∧ (𝑦𝑤) ∈ 𝐾) → (𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))))
225211, 215, 219, 224syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))))
22660ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
227 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑧𝐷)
22819psrbagf 19639 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
2296, 227, 228syl2an2r 675 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
230229ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑧𝑣) ∈ ℕ0)
231 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑤𝐷)
23219psrbagf 19639 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑤𝐷) → 𝑤:𝐼⟶ℕ0)
2336, 231, 232syl2an2r 675 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑤:𝐼⟶ℕ0)
234233ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑤𝑣) ∈ ℕ0)
23537adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐺:𝐼𝐶)
236235ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐶)
23750, 30, 223mulgnn0dir 17838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ ((𝑧𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝑤𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐺𝑣) ∈ 𝐶)) → (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣)) = (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣))))
238226, 230, 234, 236, 237syl13anc 1491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣)) = (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣))))
239238mpteq2dva 4903 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣))) = (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)))))
2406adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐼 ∈ V)
241 ovexd 6876 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → ((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) ∈ V)
242 fvexd 6390 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐺𝑣) ∈ V)
243229ffnd 6224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑧 Fn 𝐼)
244233ffnd 6224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑤 Fn 𝐼)
245 inidm 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝐼) = 𝐼
246 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑧𝑣) = (𝑧𝑣))
247 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑤𝑣) = (𝑤𝑣))
248243, 244, 240, 240, 245, 246, 247offval 7102 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧𝑓 + 𝑤) = (𝑣𝐼 ↦ ((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣))))
24937feqmptd 6438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 = (𝑣𝐼 ↦ (𝐺𝑣)))
250249adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐺 = (𝑣𝐼 ↦ (𝐺𝑣)))
251240, 241, 242, 248, 250offval2 7112 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺) = (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣))))
252 ovexd 6876 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → ((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) ∈ V)
253 ovexd 6876 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)) ∈ V)
25437ffnd 6224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
255254adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐺 Fn 𝐼)
256 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐺𝑣) = (𝐺𝑣))
257243, 255, 240, 240, 245, 246, 256offval 7102 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧𝑓 𝐺) = (𝑣𝐼 ↦ ((𝑧𝑣) (𝐺𝑣))))
258244, 255, 240, 240, 245, 247, 256offval 7102 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑤𝑓 𝐺) = (𝑣𝐼 ↦ ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣))))
259240, 252, 253, 257, 258offval2 7112 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧𝑓 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤𝑓 𝐺)) = (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)))))
260239, 251, 2593eqtr4d 2809 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺) = ((𝑧𝑓 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤𝑓 𝐺)))
261260oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺)) = (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤𝑓 𝐺))))
26258adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑇 ∈ CMnd)
26319, 50, 30, 51, 262, 227, 235, 240psrbagev1 19783 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧𝑓 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝑧𝑓 𝐺) finSupp (1r𝑆)))
264263simpld 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧𝑓 𝐺):𝐼𝐶)
26519, 50, 30, 51, 262, 231, 235, 240psrbagev1 19783 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑤𝑓 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝑤𝑓 𝐺) finSupp (1r𝑆)))
266265simpld 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑤𝑓 𝐺):𝐼𝐶)
267263simprd 489 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧𝑓 𝐺) finSupp (1r𝑆))
268265simprd 489 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑤𝑓 𝐺) finSupp (1r𝑆))
26950, 51, 223, 262, 240, 264, 266, 267, 268gsumadd 18589 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤𝑓 𝐺))) = ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺))))
270261, 269eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺)) = ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺))))
271270adantrl 707 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺)) = ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺))))
272225, 271oveq12d 6860 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))))
27358adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑇 ∈ CMnd)
27467adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐹:𝐾𝐶)
275274, 215ffvelrnd 6550 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐹‘(𝑥𝑧)) ∈ 𝐶)
276274, 219ffvelrnd 6550 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐹‘(𝑦𝑤)) ∈ 𝐶)
27719, 50, 30, 51, 262, 227, 235, 240psrbagev2 19784 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
278277adantrl 707 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
27919, 50, 30, 51, 262, 231, 235, 240psrbagev2 19784 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
280279adantrl 707 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
28150, 223cmn4 18478 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ CMnd ∧ ((𝐹‘(𝑥𝑧)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑦𝑤)) ∈ 𝐶) ∧ ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)) → (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))))
282273, 275, 276, 278, 280, 281syl122anc 1498 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))))
283272, 282eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))))
2846adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐼 ∈ V)
2857adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑅 ∈ CRing)
28613adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑆 ∈ CRing)
28735adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
28837adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐺:𝐼𝐶)
28919psrbagaddcl 19644 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑧𝐷𝑤𝐷) → (𝑧𝑓 + 𝑤) ∈ 𝐷)
290284, 214, 218, 289syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑧𝑓 + 𝑤) ∈ 𝐷)
2919adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑅 ∈ Ring)
29221, 221ringcl 18828 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑧) ∈ 𝐾 ∧ (𝑦𝑤) ∈ 𝐾) → ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)) ∈ 𝐾)
293291, 215, 219, 292syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)) ∈ 𝐾)
29410, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 284, 285, 286, 287, 288, 20, 290, 293evlslem3 19787 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧𝑓 + 𝑤), ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺))))
29510, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 284, 285, 286, 287, 288, 20, 214, 215evlslem3 19787 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥𝑧), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺))))
29610, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 284, 285, 286, 287, 288, 20, 218, 219evlslem3 19787 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦𝑤), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺))))
297295, 296oveq12d 6860 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥𝑧), (0g𝑅)))) · (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦𝑤), (0g𝑅))))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))))
298283, 294, 2973eqtr4d 2809 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧𝑓 + 𝑤), ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)), (0g𝑅)))) = ((𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥𝑧), (0g𝑅)))) · (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦𝑤), (0g𝑅))))))
29910, 1, 5, 20, 19, 6, 7, 13, 207, 298evlslem2 19785 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((𝐸𝑥) · (𝐸𝑦)))
3001, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 91, 299, 28, 92, 93, 115, 206isrhmd 18998 . 2 (𝜑𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆))
301 ovex 6874 . . . . . 6 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ V
302301, 32fnmpti 6200 . . . . 5 𝐸 Fn 𝐵
303302a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐸 Fn 𝐵)
30421, 1rhmf 18995 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) → 𝐴:𝐾𝐵)
30585, 304syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴:𝐾𝐵)
306305ffnd 6224 . . . 4 (𝜑𝐴 Fn 𝐾)
307305frnd 6230 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐴𝐵)
308 fnco 6177 . . . 4 ((𝐸 Fn 𝐵𝐴 Fn 𝐾 ∧ ran 𝐴𝐵) → (𝐸𝐴) Fn 𝐾)
309303, 306, 307, 308syl3anc 1490 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐴) Fn 𝐾)
31067ffnd 6224 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐾)
311 fvco2 6462 . . . . 5 ((𝐴 Fn 𝐾𝑥𝐾) → ((𝐸𝐴)‘𝑥) = (𝐸‘(𝐴𝑥)))
312306, 311sylan 575 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝐸𝐴)‘𝑥) = (𝐸‘(𝐴𝑥)))
313312, 72eqtrd 2799 . . 3 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝐸𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
314309, 310, 313eqfnfvd 6504 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐴) = 𝐹)
31510, 31, 1, 6, 9mvrf2 19765 . . . . 5 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
316315ffnd 6224 . . . 4 (𝜑𝑉 Fn 𝐼)
317315frnd 6230 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑉𝐵)
318 fnco 6177 . . . 4 ((𝐸 Fn 𝐵𝑉 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑉𝐵) → (𝐸𝑉) Fn 𝐼)
319303, 316, 317, 318syl3anc 1490 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝑉) Fn 𝐼)
320 fvco2 6462 . . . . 5 ((𝑉 Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((𝐸𝑉)‘𝑥) = (𝐸‘(𝑉𝑥)))
321316, 320sylan 575 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐸𝑉)‘𝑥) = (𝐸‘(𝑉𝑥)))
3226adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼 ∈ V)
3237adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CRing)
324 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
32531, 19, 20, 74, 322, 323, 324mvrval 19695 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))))
326325fveq2d 6379 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐸‘(𝑉𝑥)) = (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))))
32713adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ∈ CRing)
32835adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
32937adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺:𝐼𝐶)
33019psrbagsn 19768 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ V → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
3316, 330syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
332331adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
33376adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
33410, 1, 28, 21, 19, 29, 30, 5, 31, 32, 322, 323, 327, 328, 329, 20, 332, 333evlslem3 19787 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘(1r𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺))))
33590adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
336 1nn0 11556 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
337 0nn0 11555 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
338336, 337ifcli 4289 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0
339338a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0)
34037ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐶)
341 eqidd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)))
34237feqmptd 6438 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 = (𝑧𝐼 ↦ (𝐺𝑧)))
3436, 339, 340, 341, 342offval2 7112 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺) = (𝑧𝐼 ↦ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧))))
344 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → (1 (𝐺𝑧)) = (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)))
345344eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (1 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → ((1 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) ↔ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
346 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → (0 (𝐺𝑧)) = (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)))
347346eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → ((0 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) ↔ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
348340adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐶)
34950, 30mulg1 17817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑧) ∈ 𝐶 → (1 (𝐺𝑧)) = (𝐺𝑧))
350348, 349syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (1 (𝐺𝑧)) = (𝐺𝑧))
351 iftrue 4249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (𝐺𝑧))
352351adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (𝐺𝑧))
353350, 352eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (1 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
35450, 51, 30mulg0 17815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑧) ∈ 𝐶 → (0 (𝐺𝑧)) = (1r𝑆))
355340, 354syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐼) → (0 (𝐺𝑧)) = (1r𝑆))
356355adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → (0 (𝐺𝑧)) = (1r𝑆))
357 iffalse 4252 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
358357adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
359356, 358eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → (0 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
360345, 347, 353, 359ifbothda 4280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
361360mpteq2dva 4903 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧))) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
362343, 361eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
363362adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
364363oveq2d 6858 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))))
36560adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
366340adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐶)
36728, 3ringidcl 18835 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ 𝐶)
36815, 367syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ 𝐶)
369368ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → (1r𝑆) ∈ 𝐶)
370366, 369ifcld 4288 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) ∈ 𝐶)
371370fmpttd 6575 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))):𝐼𝐶)
372 eldifn 3895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ¬ 𝑧 ∈ {𝑥})
373 velsn 4350 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ {𝑥} ↔ 𝑧 = 𝑥)
374372, 373sylnib 319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ¬ 𝑧 = 𝑥)
375374, 357syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
376375adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
377376, 322suppss2 7532 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))) supp (1r𝑆)) ⊆ {𝑥})
37850, 51, 365, 322, 324, 371, 377gsumpt 18627 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))) = ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))‘𝑥))
379 fveq2 6375 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑥))
380351, 379eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (𝐺𝑥))
381 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
382 fvex 6388 . . . . . . . . . 10 (𝐺𝑥) ∈ V
383380, 381, 382fvmpt 6471 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
384383adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
385364, 378, 3843eqtrd 2803 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺)) = (𝐺𝑥))
386335, 385oveq12d 6860 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹‘(1r𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺))) = ((1r𝑆) · (𝐺𝑥)))
38728, 5, 3ringlidm 18838 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐶) → ((1r𝑆) · (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
38815, 49, 387syl2an2r 675 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((1r𝑆) · (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
389386, 388eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹‘(1r𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺))) = (𝐺𝑥))
390326, 334, 3893eqtrd 2803 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐸‘(𝑉𝑥)) = (𝐺𝑥))
391321, 390eqtrd 2799 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐸𝑉)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
392319, 254, 391eqfnfvd 6504 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑉) = 𝐺)
393300, 314, 3923jca 1158 1 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸𝑉) = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  {crab 3059  Vcvv 3350  cdif 3729  wss 3732  ifcif 4243  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888   × cxp 5275  ccnv 5276  ran crn 5278  cima 5280  ccom 5281   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑓 cof 7093  𝑚 cmap 8060  Fincfn 8160   finSupp cfsupp 8482  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  Basecbs 16132  +gcplusg 16216  .rcmulr 16217  Scalarcsca 16219  0gc0g 16368   Σg cgsu 16369  Mndcmnd 17562   MndHom cmhm 17601  Grpcgrp 17691  .gcmg 17809   GrpHom cghm 17923  CMndccmn 18459  mulGrpcmgp 18756  1rcur 18768  Ringcrg 18814  CRingccrg 18815   RingHom crh 18981  AssAlgcasa 19583  algSccascl 19585   mVar cmvr 19626   mPoly cmpl 19627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-tset 16235  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-mhm 17603  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-mulg 17810  df-subg 17857  df-ghm 17924  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-rnghom 18984  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-assa 19586  df-ascl 19588  df-psr 19630  df-mvr 19631  df-mpl 19632
This theorem is referenced by:  evlseu  19789
  Copyright terms: Public domain W3C validator