Theorem ringrghm 20364

Description: Right-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlghm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringrghm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ringrghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringlghm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		ringgrp 20289	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	3	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
5		ringlghm.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	ringcl 20301	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	6	3expa 1132	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
8	7	an32s 662	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 7097	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵⟶𝐵)
10		df-3an 1101	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
11	1, 2, 5	ringdir 20313	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
12	10, 11	sylan2br 604	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
13	12	anass1rs 665	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
14	1, 2	ringacl 20329	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
16	15	adantlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
17		oveq1 7404	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) · 𝑋))
18		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))
19		ovex 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) · 𝑋) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6976	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) · 𝑋))
21	16, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) · 𝑋))
22		oveq1 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
23		ovex 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 · 𝑋) ∈ V
24	22, 18, 23	fvmpt 6976	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦) = (𝑦 · 𝑋))
25		oveq1 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑧 · 𝑋))
26		ovex 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 · 𝑋) ∈ V
27	25, 18, 26	fvmpt 6976	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧) = (𝑧 · 𝑋))
28	24, 27	oveqan12d 7416	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧)) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
29	28	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧)) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
30	13, 21, 29	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧)))
31	1, 1, 2, 2, 4, 4, 9, 30	isghmd 19266	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5182  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Basecbs 17246  +_gcplusg 17287  ._rcmulr 17288  Grpcgrp 18976   GrpHom cghm 19254  Ringcrg 20284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-map 8811  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-plusg 17300  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-grp 18979  df-ghm 19255  df-mgp 20188  df-ring 20286

This theorem is referenced by:  gsummulc1  20365  fidomndrnglem  20823