MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringrghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringrghm 19284
Description: Right-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringlghm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlghm.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringrghm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ringrghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringlghm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2818 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 ringgrp 19231 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
43adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
5 ringlghm.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
61, 5ringcl 19240 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑋𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
763expa 1110 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
87an32s 648 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
98fmpttd 6871 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵𝐵)
10 df-3an 1081 . . . . 5 ((𝑦𝐵𝑧𝐵𝑋𝐵) ↔ ((𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ 𝑋𝐵))
111, 2, 5ringdir 19246 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
1210, 11sylan2br 594 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
1312anass1rs 651 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
141, 2ringacl 19257 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
15143expb 1112 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
1615adantlr 711 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
17 oveq1 7152 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋))
18 eqid 2818 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))
19 ovex 7178 . . . . 5 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6761 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋))
2116, 20syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋))
22 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
23 ovex 7178 . . . . . 6 (𝑦 · 𝑋) ∈ V
2422, 18, 23fvmpt 6761 . . . . 5 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦) = (𝑦 · 𝑋))
25 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑧 · 𝑋))
26 ovex 7178 . . . . . 6 (𝑧 · 𝑋) ∈ V
2725, 18, 26fvmpt 6761 . . . . 5 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧) = (𝑧 · 𝑋))
2824, 27oveqan12d 7164 . . . 4 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧)) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
2928adantl 482 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧)) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
3013, 21, 293eqtr4d 2863 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧)))
311, 1, 2, 2, 4, 4, 9, 30isghmd 18305 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Grpcgrp 18041   GrpHom cghm 18293  Ringcrg 19226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-ghm 18294  df-mgp 19169  df-ring 19228
This theorem is referenced by:  gsummulc1  19285  fidomndrnglem  20007
  Copyright terms: Public domain W3C validator