Theorem ringrghm 20241

Description: Right-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlghm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringrghm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ringrghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringlghm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2733	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		ringgrp 20166	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
5		ringlghm.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	ringcl 20178	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
7	6	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
8	7	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 7057	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵⟶𝐵)
10		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
11	1, 2, 5	ringdir 20190	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
12	10, 11	sylan2br 595	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
13	12	anass1rs 655	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
14	1, 2	ringacl 20206	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
16	15	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
17		oveq1 7362	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) · 𝑋))
18		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))
19		ovex 7388	. . . . 5 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) · 𝑋) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6938	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) · 𝑋))
21	16, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) · 𝑋))
22		oveq1 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
23		ovex 7388	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 · 𝑋) ∈ V
24	22, 18, 23	fvmpt 6938	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦) = (𝑦 · 𝑋))
25		oveq1 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑧 · 𝑋))
26		ovex 7388	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 · 𝑋) ∈ V
27	25, 18, 26	fvmpt 6938	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧) = (𝑧 · 𝑋))
28	24, 27	oveqan12d 7374	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧)) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
29	28	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧)) = ((𝑦 · 𝑋)(+g‘𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
30	13, 21, 29	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧)))
31	1, 1, 2, 2, 4, 4, 9, 30	isghmd 19147	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  +_gcplusg 17171  ._rcmulr 17172  Grpcgrp 18856   GrpHom cghm 19134  Ringcrg 20161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-plusg 17184  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-grp 18859  df-ghm 19135  df-mgp 20069  df-ring 20163

This theorem is referenced by:  gsummulc1OLD  20242  gsummulc1  20244  fidomndrnglem  20697