MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringrghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringrghm 20327
Description: Right-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringlghm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlghm.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringrghm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ringrghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringlghm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2735 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 ringgrp 20256 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
43adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
5 ringlghm.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
61, 5ringcl 20268 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑋𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
763expa 1117 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
87an32s 652 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 · 𝑋) ∈ 𝐵)
98fmpttd 7135 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)):𝐵𝐵)
10 df-3an 1088 . . . . 5 ((𝑦𝐵𝑧𝐵𝑋𝐵) ↔ ((𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ 𝑋𝐵))
111, 2, 5ringdir 20279 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
1210, 11sylan2br 595 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
1312anass1rs 655 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
141, 2ringacl 20292 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
15143expb 1119 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
1615adantlr 715 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
17 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → (𝑥 · 𝑋) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋))
18 eqid 2735 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))
19 ovex 7464 . . . . 5 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 7016 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋))
2116, 20syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧) · 𝑋))
22 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑦 · 𝑋))
23 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑦 · 𝑋) ∈ V
2422, 18, 23fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦) = (𝑦 · 𝑋))
25 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝑋) = (𝑧 · 𝑋))
26 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑧 · 𝑋) ∈ V
2725, 18, 26fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧) = (𝑧 · 𝑋))
2824, 27oveqan12d 7450 . . . 4 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧)) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
2928adantl 481 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧)) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝑅)(𝑧 · 𝑋)))
3013, 21, 293eqtr4d 2785 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑦)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋))‘𝑧)))
311, 1, 2, 2, 4, 4, 9, 30isghmd 19256 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑋)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243  Ringcrg 20251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-ghm 19244  df-mgp 20153  df-ring 20253
This theorem is referenced by:  gsummulc1OLD  20328  gsummulc1  20330  fidomndrnglem  20790
  Copyright terms: Public domain W3C validator