MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringrghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringrghm 20209
Description: Right-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringlghm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringlghm.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
ringrghm ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘…))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ,๐‘‹

Proof of Theorem ringrghm
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringlghm.b . 2 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 eqid 2726 . 2 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
3 ringgrp 20140 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
43adantr 480 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
5 ringlghm.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
61, 5ringcl 20152 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
763expa 1115 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
87an32s 649 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
98fmpttd 7109 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)):๐ตโŸถ๐ต)
10 df-3an 1086 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†” ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
111, 2, 5ringdir 20161 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ง ยท ๐‘‹)))
1210, 11sylan2br 594 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ง ยท ๐‘‹)))
1312anass1rs 652 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ง ยท ๐‘‹)))
141, 2ringacl 20174 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
15143expb 1117 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
1615adantlr 712 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
17 oveq1 7411 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) ยท ๐‘‹))
18 eqid 2726 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))
19 ovex 7437 . . . . 5 ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) ยท ๐‘‹) โˆˆ V
2017, 18, 19fvmpt 6991 . . . 4 ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) ยท ๐‘‹))
2116, 20syl 17 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง) ยท ๐‘‹))
22 oveq1 7411 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
23 ovex 7437 . . . . . 6 (๐‘ฆ ยท ๐‘‹) โˆˆ V
2422, 18, 23fvmpt 6991 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘‹))
25 oveq1 7411 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = (๐‘ง ยท ๐‘‹))
26 ovex 7437 . . . . . 6 (๐‘ง ยท ๐‘‹) โˆˆ V
2725, 18, 26fvmpt 6991 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท ๐‘‹))
2824, 27oveqan12d 7423 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ง ยท ๐‘‹)))
2928adantl 481 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฆ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ง ยท ๐‘‹)))
3013, 21, 293eqtr4d 2776 . 2 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹))โ€˜๐‘ง)))
311, 1, 2, 2, 4, 4, 9, 30isghmd 19147 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐‘‹)) โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  .rcmulr 17204  Grpcgrp 18860   GrpHom cghm 19135  Ringcrg 20135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-ghm 19136  df-mgp 20037  df-ring 20137
This theorem is referenced by:  gsummulc1OLD  20210  gsummulc1  20212  fidomndrnglem  21216
  Copyright terms: Public domain W3C validator