MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringo2times Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringo2times 20289
Description: A ring element plus itself is two times the element. "Two" in an arbitrary unital ring is the sum of the unity element with itself. (Contributed by AV, 24-Aug-2021.) Variant of o2timesd 20228 for rings. (Revised by AV, 5-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ringo2times.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringo2times.p + = (+g𝑅)
ringo2times.t · = (.r𝑅)
ringo2times.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringo2times ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))

Proof of Theorem ringo2times
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringo2times.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 ringo2times.p . . . . 5 + = (+g𝑅)
3 ringo2times.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
41, 2, 3ringdir 20279 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
54ralrimivvva 3203 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
65adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
7 ringo2times.u . . . 4 1 = (1r𝑅)
81, 7ringidcl 20280 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
98adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → 1𝐵)
101, 3, 7ringlidm 20283 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
1110ralrimiva 3144 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
1211adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑥𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
13 simpr 484 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
146, 9, 12, 13o2timesd 20228 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  1rcur 20199  Ringcrg 20251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253
This theorem is referenced by:  ringadd2  20290
  Copyright terms: Public domain W3C validator