Theorem ringo2times 20451

Description: A ring element plus itself is two times the element. "Two" in an arbitrary unital ring is the sum of the unity element with itself. (Contributed by AV, 24-Aug-2021.) Variant of o2timesd 20383 for rings. (Revised by AV, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringo2times.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringo2times.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ringo2times.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringo2times.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringo2times	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))

Proof of Theorem ringo2times

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringo2times.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringo2times.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		ringo2times.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	ringdir 20437	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
5	4	ralrimivvva 3208	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
7		ringo2times.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	1, 7	ringidcl 20441	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
10	1, 3, 7	ringlidm 20445	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
11	10	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
12	11	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
13		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
14	6, 9, 12, 13	o2timesd 20383	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Basecbs 17334  +_gcplusg 17375  ._rcmulr 17376  1_rcur 20354  Ringcrg 20406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-plusg 17388  df-0g 17559  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mgp 20308  df-ur 20355  df-ring 20408

This theorem is used by:  ringadd2  20452