Theorem ringo2times 20213

Description: A ring element plus itself is two times the element. "Two" in an arbitrary unital ring is the sum of the unity element with itself. (Contributed by AV, 24-Aug-2021.) Variant of o2timesd 20152 for rings. (Revised by AV, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringo2times.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringo2times.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ringo2times.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringo2times.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringo2times	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))

Proof of Theorem ringo2times

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringo2times.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringo2times.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		ringo2times.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	ringdir 20203	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
5	4	ralrimivvva 3194	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
6	5	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
7		ringo2times.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	1, 7	ringidcl 20204	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
10	1, 3, 7	ringlidm 20207	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
11	10	ralrimiva 3136	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
12	11	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
13		simpr 483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
14	6, 9, 12, 13	o2timesd 20152	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +_gcplusg 17230  ._rcmulr 17231  1_rcur 20123  Ringcrg 20175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mgp 20077  df-ur 20124  df-ring 20177

This theorem is referenced by:  ringadd2  20214