Theorem ringo2times 20174

Description: A ring element plus itself is two times the element. "Two" in an arbitrary unital ring is the sum of the unity element with itself. (Contributed by AV, 24-Aug-2021.) Variant of o2timesd 20115 for rings. (Revised by AV, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringo2times.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringo2times.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ringo2times.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringo2times.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringo2times	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))

Proof of Theorem ringo2times

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringo2times.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringo2times.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		ringo2times.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	ringdir 20164	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
5	4	ralrimivvva 3197	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
7		ringo2times.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	1, 7	ringidcl 20165	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
10	1, 3, 7	ringlidm 20168	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
11	10	ralrimiva 3140	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
13		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
14	6, 9, 12, 13	o2timesd 20115	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  ._rcmulr 17207  1_rcur 20086  Ringcrg 20138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140

This theorem is referenced by:  ringadd2  20175