MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmphl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmphl 21819
Description: Conditions for a free module to be a pre-Hilbert space. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t · = (.r𝑅)
frlmphl.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j , = (·𝑖𝑌)
frlmphl.o 𝑂 = (0g𝑌)
frlmphl.0 0 = (0g𝑅)
frlmphl.s = (*𝑟𝑅)
frlmphl.f (𝜑𝑅 ∈ Field)
frlmphl.m ((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
frlmphl.u ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
frlmphl.i (𝜑𝐼𝑊)
Assertion
Ref Expression
frlmphl (𝜑𝑌 ∈ PreHil)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝑅,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝑔,𝑊,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝑔,𝑌,𝑥   0 ,𝑔,𝑥   𝜑,𝑔,𝑥   , ,𝑔,𝑥   𝑔,𝑂   𝑥,
Allowed substitution hints:   (𝑔)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem frlmphl
Dummy variables 𝑓 𝑒 𝑖 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmphl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑌)
21a1i 11 . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑌))
3 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (+g𝑌) = (+g𝑌))
4 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌))
5 frlmphl.j . . 3 , = (·𝑖𝑌)
65a1i 11 . 2 (𝜑, = (·𝑖𝑌))
7 frlmphl.o . . 3 𝑂 = (0g𝑌)
87a1i 11 . 2 (𝜑𝑂 = (0g𝑌))
9 frlmphl.f . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Field)
10 isfld 20757 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
119, 10sylib 218 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
1211simpld 494 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
13 frlmphl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
14 frlmphl.y . . . 4 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
1514frlmsca 21791 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
1612, 13, 15syl2anc 584 . 2 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑌))
17 frlmphl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
1817a1i 11 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
19 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝑅))
20 frlmphl.t . . 3 · = (.r𝑅)
2120a1i 11 . 2 (𝜑· = (.r𝑅))
22 frlmphl.s . . 3 = (*𝑟𝑅)
2322a1i 11 . 2 (𝜑 = (*𝑟𝑅))
24 frlmphl.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
2524a1i 11 . 2 (𝜑0 = (0g𝑅))
2612drngringd 20754 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2714frlmlmod 21787 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
2826, 13, 27syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ LMod)
2916, 12eqeltrrd 2840 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘𝑌) ∈ DivRing)
30 eqid 2735 . . . 4 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
3130islvec 21121 . . 3 (𝑌 ∈ LVec ↔ (𝑌 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑌) ∈ DivRing))
3228, 29, 31sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝑌 ∈ LVec)
339fldcrngd 20759 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
34 frlmphl.u . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
3517, 22, 33, 34idsrngd 20874 . 2 (𝜑𝑅 ∈ *-Ring)
36133ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝐼𝑊)
37263ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
38 simp2 1136 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔𝑉)
39 simp3 1137 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑉)
4014, 17, 20, 1, 5frlmipval 21817 . . . . 5 (((𝐼𝑊𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑔𝑉𝑉)) → (𝑔 , ) = (𝑅 Σg (𝑔f · )))
4136, 37, 38, 39, 40syl22anc 839 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔 , ) = (𝑅 Σg (𝑔f · )))
4214, 17, 1frlmbasmap 21797 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑔𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼))
4336, 38, 42syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼))
44 elmapi 8888 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑔:𝐼𝐵)
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔:𝐼𝐵)
4645ffnd 6738 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 Fn 𝐼)
4714, 17, 1frlmbasmap 21797 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑉) → ∈ (𝐵m 𝐼))
4836, 39, 47syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ∈ (𝐵m 𝐼))
49 elmapi 8888 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐵m 𝐼) → :𝐼𝐵)
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → :𝐼𝐵)
5150ffnd 6738 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fn 𝐼)
52 inidm 4235 . . . . . 6 (𝐼𝐼) = 𝐼
53 eqidd 2736 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
54 eqidd 2736 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) = (𝑥))
5546, 51, 36, 36, 52, 53, 54offval 7706 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔f · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
5655oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑅 Σg (𝑔f · )) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
5741, 56eqtrd 2775 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔 , ) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
5826ringcmnd 20298 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
59583ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑅 ∈ CMnd)
6037adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
6145ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ 𝐵)
6250ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) ∈ 𝐵)
6317, 20, 60, 61, 62ringcld 20277 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑔𝑥) · (𝑥)) ∈ 𝐵)
6463fmpttd 7135 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))):𝐼𝐵)
65 frlmphl.m . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
6614, 17, 20, 1, 5, 7, 24, 22, 9, 65, 34, 13frlmphllem 21818 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 )
6717, 24, 59, 36, 64, 66gsumcl 19948 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))) ∈ 𝐵)
6857, 67eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔 , ) ∈ 𝐵)
69 eqid 2735 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
70583ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑅 ∈ CMnd)
71133ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝐼𝑊)
72263ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
7372adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
74 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑘𝐵)
7574adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑘𝐵)
76 simp31 1208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑔𝑉)
7771, 76, 42syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼))
7877, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑔:𝐼𝐵)
7978ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ 𝐵)
80 simp33 1210 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑖𝑉)
8114, 17, 1frlmbasmap 21797 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑖𝑉) → 𝑖 ∈ (𝐵m 𝐼))
8271, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑖 ∈ (𝐵m 𝐼))
83 elmapi 8888 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑖:𝐼𝐵)
8482, 83syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑖:𝐼𝐵)
8584ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑖𝑥) ∈ 𝐵)
8617, 20, 73, 79, 85ringcld 20277 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)) ∈ 𝐵)
8717, 20, 73, 75, 86ringcld 20277 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))) ∈ 𝐵)
88 simp32 1209 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑉)
8971, 88, 47syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ∈ (𝐵m 𝐼))
9089, 49syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → :𝐼𝐵)
9190ffvelcdmda 7104 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) ∈ 𝐵)
9217, 20, 73, 91, 85ringcld 20277 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑖𝑥)) ∈ 𝐵)
93 eqidd 2736 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
94 eqidd 2736 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))))
95 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑦))
9695oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 · (𝑔𝑥)) = (𝑘 · (𝑔𝑦)))
9796cbvmptv 5261 . . . . . . 7 (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦)))
9897oveq1i 7441 . . . . . 6 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) = ((𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) ∘f · 𝑖)
9917, 20, 73, 75, 79ringcld 20277 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 · (𝑔𝑥)) ∈ 𝐵)
10099fmpttd 7135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))):𝐼𝐵)
101100ffnd 6738 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) Fn 𝐼)
10297fneq1i 6666 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) Fn 𝐼 ↔ (𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) Fn 𝐼)
103101, 102sylib 218 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) Fn 𝐼)
10484ffnd 6738 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑖 Fn 𝐼)
105 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))))
106 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
107106fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑔𝑦) = (𝑔𝑥))
108107oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑘 · (𝑔𝑦)) = (𝑘 · (𝑔𝑥)))
109 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
110 ovexd 7466 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 · (𝑔𝑥)) ∈ V)
111105, 108, 109, 110fvmptd 7023 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦)))‘𝑥) = (𝑘 · (𝑔𝑥)))
112 eqidd 2736 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑖𝑥) = (𝑖𝑥))
113103, 104, 71, 71, 52, 111, 112offval 7706 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) ∘f · 𝑖) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥))))
11417, 20ringass 20271 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑥) ∈ 𝐵)) → ((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥)) = (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))
11573, 75, 79, 85, 114syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥)) = (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))
116115mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
117113, 116eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) ∘f · 𝑖) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
11898, 117eqtrid 2787 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
119 ovexd 7466 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) ∈ V)
120101, 104, 71, 71offun 7711 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → Fun ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖))
121 simp3 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉) → 𝑖𝑉)
12213, 121anim12i 613 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝐼𝑊𝑖𝑉))
1231223adant2 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝐼𝑊𝑖𝑉))
12414, 24, 1frlmbasfsupp 21796 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝑖𝑉) → 𝑖 finSupp 0 )
125123, 124syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑖 finSupp 0 )
12617, 24ring0cl 20281 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
12772, 126syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 0𝐵)
12817, 20, 24ringrz 20308 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 · 0 ) = 0 )
12972, 128sylan 580 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 · 0 ) = 0 )
13071, 127, 100, 84, 129suppofss2d 8229 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) supp 0 ) ⊆ (𝑖 supp 0 ))
131 fsuppsssupp 9419 . . . . . 6 (((((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) ∈ V ∧ Fun ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖)) ∧ (𝑖 finSupp 0 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) supp 0 ) ⊆ (𝑖 supp 0 ))) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) finSupp 0 )
132119, 120, 125, 130, 131syl22anc 839 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) finSupp 0 )
133118, 132eqbrtrrd 5172 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))) finSupp 0 )
134 simp1 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝜑)
135 eleq1w 2822 . . . . . . . . 9 (𝑔 = → (𝑔𝑉𝑉))
136 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑔 = )
137136, 136oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = → (𝑔 , 𝑔) = ( , ))
138137eqeq1d 2737 . . . . . . . . 9 (𝑔 = → ((𝑔 , 𝑔) = 0 ↔ ( , ) = 0 ))
139135, 1383anbi23d 1438 . . . . . . . 8 (𝑔 = → ((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) ↔ (𝜑𝑉 ∧ ( , ) = 0 )))
140 eqeq1 2739 . . . . . . . 8 (𝑔 = → (𝑔 = 𝑂 = 𝑂))
141139, 140imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑔 = → (((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂) ↔ ((𝜑𝑉 ∧ ( , ) = 0 ) → = 𝑂)))
142141, 65chvarvv 1996 . . . . . 6 ((𝜑𝑉 ∧ ( , ) = 0 ) → = 𝑂)
14314, 17, 20, 1, 5, 7, 24, 22, 9, 142, 34, 13frlmphllem 21818 . . . . 5 ((𝜑𝑉𝑖𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))) finSupp 0 )
144134, 88, 80, 143syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))) finSupp 0 )
14517, 24, 69, 70, 71, 87, 92, 93, 94, 133, 144gsummptfsadd 19957 . . 3 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))) = ((𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))))))
14614, 17, 20frlmip 21816 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ DivRing) → (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼), ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
14713, 12, 146syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼), ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
1485, 147eqtr4id 2794 . . . . . . 7 (𝜑, = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼), ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))))
149 fveq1 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑔 → (𝑒𝑥) = (𝑔𝑥))
150149oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑔 → ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥)))
151150mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑔 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥))))
152151oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑔 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥)))))
153 fveq1 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = → (𝑓𝑥) = (𝑥))
154153oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = → ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((𝑔𝑥) · (𝑥)))
155154mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 (𝑓 = → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
156155oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑓 = → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
157152, 156cbvmpov 7528 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))))) = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼), ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
158148, 157eqtr4di 2793 . . . . . 6 (𝜑, = (𝑒 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))))))
1591583ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → , = (𝑒 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))))))
160 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → 𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)))
161160fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑒𝑥) = (((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥))
162 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → 𝑓 = 𝑖)
163162fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑓𝑥) = (𝑖𝑥))
164161, 163oveq12d 7449 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)))
165164mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥))))
166165oveq2d 7447 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)))))
167283ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑌 ∈ LMod)
168163ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
169168fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
17017, 169eqtrid 2787 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
17174, 170eleqtrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
172 eqid 2735 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
173 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
1741, 30, 172, 173lmodvscl 20893 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑔𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ 𝑉)
175167, 171, 76, 174syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ 𝑉)
176 eqid 2735 . . . . . . . 8 (+g𝑌) = (+g𝑌)
1771, 176lmodvacl 20890 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ 𝑉𝑉) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∈ 𝑉)
178167, 175, 88, 177syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∈ 𝑉)
17914, 17, 1frlmbasmap 21797 . . . . . 6 ((𝐼𝑊 ∧ ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∈ 𝑉) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∈ (𝐵m 𝐼))
18071, 178, 179syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∈ (𝐵m 𝐼))
181 ovexd 7466 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)))) ∈ V)
182159, 166, 180, 82, 181ovmpod 7585 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) , 𝑖) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)))))
18314, 1, 72, 71, 175, 88, 69, 176frlmplusgval 21802 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∘f (+g𝑅)))
18414, 17, 1frlmbasmap 21797 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ 𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ (𝐵m 𝐼))
18571, 175, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ (𝐵m 𝐼))
186 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ (𝐵m 𝐼) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔):𝐼𝐵)
187 ffn 6737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔):𝐼𝐵 → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) Fn 𝐼)
188185, 186, 1873syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) Fn 𝐼)
18990ffnd 6738 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → Fn 𝐼)
19071adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
19176adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑔𝑉)
19214, 1, 17, 190, 75, 191, 109, 172, 20frlmvscaval 21806 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)‘𝑥) = (𝑘 · (𝑔𝑥)))
193 eqidd 2736 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) = (𝑥))
194188, 189, 71, 71, 52, 192, 193offval 7706 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∘f (+g𝑅)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥))))
195183, 194eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥))))
196 ovexd 7466 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥)) ∈ V)
197195, 196fvmpt2d 7029 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) = ((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥)))
198197oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)) = (((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥)) · (𝑖𝑥)))
19917, 69, 20ringdir 20279 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑘 · (𝑔𝑥)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑥) ∈ 𝐵)) → (((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥)) · (𝑖𝑥)) = (((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))
20073, 99, 91, 85, 199syl13anc 1371 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥)) · (𝑖𝑥)) = (((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))
201115oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))) = ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))
202198, 200, 2013eqtrd 2779 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)) = ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))
203202mpteq2dva 5248 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥)))))
204203oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))))
205182, 204eqtrd 2775 . . 3 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) , 𝑖) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))))
206 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → 𝑒 = 𝑔)
207206fveq1d 6909 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → (𝑒𝑥) = (𝑔𝑥))
208 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → 𝑓 = 𝑖)
209208fveq1d 6909 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → (𝑓𝑥) = (𝑖𝑥))
210207, 209oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))
211210mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))
212211oveq2d 7447 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
213 ovexd 7466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))) ∈ V)
214159, 212, 77, 82, 213ovmpod 7585 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑔 , 𝑖) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
215214oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑘 · (𝑔 , 𝑖)) = (𝑘 · (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))))
21614, 17, 20, 1, 5, 7, 24, 22, 9, 65, 34, 13frlmphllem 21818 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑖𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))) finSupp 0 )
217134, 76, 80, 216syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))) finSupp 0 )
21817, 24, 20, 72, 71, 74, 86, 217gsummulc2 20331 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))) = (𝑘 · (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))))
219215, 218eqtr4d 2778 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑘 · (𝑔 , 𝑖)) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))))
220 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → 𝑒 = )
221220fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → (𝑒𝑥) = (𝑥))
222 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → 𝑓 = 𝑖)
223222fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → (𝑓𝑥) = (𝑖𝑥))
224221, 223oveq12d 7449 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((𝑥) · (𝑖𝑥)))
225224mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))))
226225oveq2d 7447 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥)))))
227 ovexd 7466 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥)))) ∈ V)
228159, 226, 89, 82, 227ovmpod 7585 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ( , 𝑖) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥)))))
229219, 228oveq12d 7449 . . 3 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘 · (𝑔 , 𝑖))(+g𝑅)( , 𝑖)) = ((𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))))))
230145, 205, 2293eqtr4d 2785 . 2 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) , 𝑖) = ((𝑘 · (𝑔 , 𝑖))(+g𝑅)( , 𝑖)))
231333ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
232231adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CRing)
23317, 20crngcom 20269 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑔𝑥) · (𝑥)))
234232, 62, 61, 233syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑔𝑥) · (𝑥)))
235234mpteq2dva 5248 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
236235oveq2d 7447 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
2371583ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → , = (𝑒 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))))))
238 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → 𝑒 = )
239238fveq1d 6909 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → (𝑒𝑥) = (𝑥))
240 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → 𝑓 = 𝑔)
241240fveq1d 6909 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → (𝑓𝑥) = (𝑔𝑥))
242239, 241oveq12d 7449 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((𝑥) · (𝑔𝑥)))
243242mpteq2dv 5250 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))
244243oveq2d 7447 . . . 4 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))))
245 ovexd 7466 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))) ∈ V)
246237, 244, 48, 43, 245ovmpod 7585 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ( , 𝑔) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))))
247 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑔 , ) → ( 𝑥) = ( ‘(𝑔 , )))
248 id 22 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑔 , ) → 𝑥 = (𝑔 , ))
249247, 248eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑥 = (𝑔 , ) → (( 𝑥) = 𝑥 ↔ ( ‘(𝑔 , )) = (𝑔 , )))
25034ralrimiva 3144 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥)
2512503ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥)
252249, 251, 68rspcdva 3623 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ( ‘(𝑔 , )) = (𝑔 , ))
253252, 57eqtrd 2775 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ( ‘(𝑔 , )) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
254236, 246, 2533eqtr4rd 2786 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ( ‘(𝑔 , )) = ( , 𝑔))
2552, 3, 4, 6, 8, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 32, 35, 68, 230, 65, 254isphld 21690 1 (𝜑𝑌 ∈ PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  f cof 7695   supp csupp 8184  m cmap 8865   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  *𝑟cstv 17300  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  ·𝑖cip 17303  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  CMndccmn 19813  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  DivRingcdr 20746  Fieldcfield 20747  LModclmod 20875  LVecclvec 21119  PreHilcphl 21660   freeLMod cfrlm 21784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-rhm 20489  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lmhm 21039  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-phl 21662  df-dsmm 21770  df-frlm 21785
This theorem is referenced by:  rrxcph  25440
  Copyright terms: Public domain W3C validator