MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmphl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmphl 20743
Description: Conditions for a free module to be a pre-Hilbert space. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t · = (.r𝑅)
frlmphl.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j , = (·𝑖𝑌)
frlmphl.o 𝑂 = (0g𝑌)
frlmphl.0 0 = (0g𝑅)
frlmphl.s = (*𝑟𝑅)
frlmphl.f (𝜑𝑅 ∈ Field)
frlmphl.m ((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
frlmphl.u ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
frlmphl.i (𝜑𝐼𝑊)
Assertion
Ref Expression
frlmphl (𝜑𝑌 ∈ PreHil)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝑅,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝑔,𝑊,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝑔,𝑌,𝑥   0 ,𝑔,𝑥   𝜑,𝑔,𝑥   , ,𝑔,𝑥   𝑔,𝑂   𝑥,
Allowed substitution hints:   (𝑔)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem frlmphl
Dummy variables 𝑓 𝑒 𝑖 𝑦 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmphl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑌)
21a1i 11 . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑌))
3 eqidd 2738 . 2 (𝜑 → (+g𝑌) = (+g𝑌))
4 eqidd 2738 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌))
5 frlmphl.j . . 3 , = (·𝑖𝑌)
65a1i 11 . 2 (𝜑, = (·𝑖𝑌))
7 frlmphl.o . . 3 𝑂 = (0g𝑌)
87a1i 11 . 2 (𝜑𝑂 = (0g𝑌))
9 frlmphl.f . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Field)
10 isfld 19776 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
119, 10sylib 221 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
1211simpld 498 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
13 frlmphl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
14 frlmphl.y . . . 4 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
1514frlmsca 20715 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
1612, 13, 15syl2anc 587 . 2 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑌))
17 frlmphl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
1817a1i 11 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
19 eqidd 2738 . 2 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝑅))
20 frlmphl.t . . 3 · = (.r𝑅)
2120a1i 11 . 2 (𝜑· = (.r𝑅))
22 frlmphl.s . . 3 = (*𝑟𝑅)
2322a1i 11 . 2 (𝜑 = (*𝑟𝑅))
24 frlmphl.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
2524a1i 11 . 2 (𝜑0 = (0g𝑅))
26 drngring 19774 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2712, 26syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2814frlmlmod 20711 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
2927, 13, 28syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ LMod)
3016, 12eqeltrrd 2839 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘𝑌) ∈ DivRing)
31 eqid 2737 . . . 4 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
3231islvec 20141 . . 3 (𝑌 ∈ LVec ↔ (𝑌 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑌) ∈ DivRing))
3329, 30, 32sylanbrc 586 . 2 (𝜑𝑌 ∈ LVec)
3411simprd 499 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
35 frlmphl.u . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
3617, 22, 34, 35idsrngd 19898 . 2 (𝜑𝑅 ∈ *-Ring)
37133ad2ant1 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝐼𝑊)
38273ad2ant1 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
39 simp2 1139 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔𝑉)
40 simp3 1140 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑉)
4114, 17, 20, 1, 5frlmipval 20741 . . . . 5 (((𝐼𝑊𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑔𝑉𝑉)) → (𝑔 , ) = (𝑅 Σg (𝑔f · )))
4237, 38, 39, 40, 41syl22anc 839 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔 , ) = (𝑅 Σg (𝑔f · )))
4314, 17, 1frlmbasmap 20721 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑔𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼))
4437, 39, 43syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼))
45 elmapi 8530 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑔:𝐼𝐵)
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔:𝐼𝐵)
4746ffnd 6546 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 Fn 𝐼)
4814, 17, 1frlmbasmap 20721 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑉) → ∈ (𝐵m 𝐼))
4937, 40, 48syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ∈ (𝐵m 𝐼))
50 elmapi 8530 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐵m 𝐼) → :𝐼𝐵)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → :𝐼𝐵)
5251ffnd 6546 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fn 𝐼)
53 inidm 4133 . . . . . 6 (𝐼𝐼) = 𝐼
54 eqidd 2738 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
55 eqidd 2738 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) = (𝑥))
5647, 52, 37, 37, 53, 54, 55offval 7477 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔f · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
5756oveq2d 7229 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑅 Σg (𝑔f · )) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
5842, 57eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔 , ) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
59 ringcmn 19599 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6027, 59syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
61603ad2ant1 1135 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑅 ∈ CMnd)
6238adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
6346ffvelrnda 6904 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ 𝐵)
6451ffvelrnda 6904 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) ∈ 𝐵)
6517, 20ringcl 19579 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑔𝑥) · (𝑥)) ∈ 𝐵)
6662, 63, 64, 65syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑔𝑥) · (𝑥)) ∈ 𝐵)
6766fmpttd 6932 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))):𝐼𝐵)
68 frlmphl.m . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
6914, 17, 20, 1, 5, 7, 24, 22, 9, 68, 35, 13frlmphllem 20742 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 )
7017, 24, 61, 37, 67, 69gsumcl 19300 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))) ∈ 𝐵)
7158, 70eqeltrd 2838 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔 , ) ∈ 𝐵)
72 eqid 2737 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
73603ad2ant1 1135 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑅 ∈ CMnd)
74133ad2ant1 1135 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝐼𝑊)
75273ad2ant1 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
7675adantr 484 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
77 simp2 1139 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑘𝐵)
7877adantr 484 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑘𝐵)
79 simp31 1211 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑔𝑉)
8074, 79, 43syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼))
8180, 45syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑔:𝐼𝐵)
8281ffvelrnda 6904 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ 𝐵)
83 simp33 1213 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑖𝑉)
8414, 17, 1frlmbasmap 20721 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑖𝑉) → 𝑖 ∈ (𝐵m 𝐼))
8574, 83, 84syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑖 ∈ (𝐵m 𝐼))
86 elmapi 8530 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑖:𝐼𝐵)
8785, 86syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑖:𝐼𝐵)
8887ffvelrnda 6904 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑖𝑥) ∈ 𝐵)
8917, 20ringcl 19579 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)) ∈ 𝐵)
9076, 82, 88, 89syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)) ∈ 𝐵)
9117, 20ringcl 19579 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘𝐵 ∧ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)) ∈ 𝐵) → (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))) ∈ 𝐵)
9276, 78, 90, 91syl3anc 1373 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))) ∈ 𝐵)
93 simp32 1212 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑉)
9474, 93, 48syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ∈ (𝐵m 𝐼))
9594, 50syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → :𝐼𝐵)
9695ffvelrnda 6904 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) ∈ 𝐵)
9717, 20ringcl 19579 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑥) · (𝑖𝑥)) ∈ 𝐵)
9876, 96, 88, 97syl3anc 1373 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑖𝑥)) ∈ 𝐵)
99 eqidd 2738 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
100 eqidd 2738 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))))
101 fveq2 6717 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑦))
102101oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 · (𝑔𝑥)) = (𝑘 · (𝑔𝑦)))
103102cbvmptv 5158 . . . . . . 7 (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦)))
104103oveq1i 7223 . . . . . 6 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) = ((𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) ∘f · 𝑖)
10517, 20ringcl 19579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑘 · (𝑔𝑥)) ∈ 𝐵)
10676, 78, 82, 105syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 · (𝑔𝑥)) ∈ 𝐵)
107106fmpttd 6932 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))):𝐼𝐵)
108107ffnd 6546 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) Fn 𝐼)
109103fneq1i 6476 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) Fn 𝐼 ↔ (𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) Fn 𝐼)
110108, 109sylib 221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) Fn 𝐼)
11187ffnd 6546 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑖 Fn 𝐼)
112 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))))
113 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
114113fveq2d 6721 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑔𝑦) = (𝑔𝑥))
115114oveq2d 7229 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑘 · (𝑔𝑦)) = (𝑘 · (𝑔𝑥)))
116 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
117 ovexd 7248 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 · (𝑔𝑥)) ∈ V)
118112, 115, 116, 117fvmptd 6825 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦)))‘𝑥) = (𝑘 · (𝑔𝑥)))
119 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑖𝑥) = (𝑖𝑥))
120110, 111, 74, 74, 53, 118, 119offval 7477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) ∘f · 𝑖) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥))))
12117, 20ringass 19582 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑥) ∈ 𝐵)) → ((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥)) = (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))
12276, 78, 82, 88, 121syl13anc 1374 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥)) = (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))
123122mpteq2dva 5150 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
124120, 123eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) ∘f · 𝑖) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
125104, 124syl5eq 2790 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
126 ovexd 7248 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) ∈ V)
127 funmpt 6418 . . . . . . 7 Fun (𝑧𝐼 ↦ (((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥)))‘𝑧) · (𝑖𝑧)))
128 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥)))‘𝑧) = ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥)))‘𝑧))
129 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑖𝑧) = (𝑖𝑧))
130108, 111, 74, 74, 53, 128, 129offval 7477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) = (𝑧𝐼 ↦ (((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥)))‘𝑧) · (𝑖𝑧))))
131130funeqd 6402 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (Fun ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) ↔ Fun (𝑧𝐼 ↦ (((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥)))‘𝑧) · (𝑖𝑧)))))
132127, 131mpbiri 261 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → Fun ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖))
133 simp3 1140 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉) → 𝑖𝑉)
13413, 133anim12i 616 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝐼𝑊𝑖𝑉))
1351343adant2 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝐼𝑊𝑖𝑉))
13614, 24, 1frlmbasfsupp 20720 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝑖𝑉) → 𝑖 finSupp 0 )
137135, 136syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑖 finSupp 0 )
13817, 24ring0cl 19587 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
13975, 138syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 0𝐵)
14017, 20, 24ringrz 19606 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 · 0 ) = 0 )
14175, 140sylan 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 · 0 ) = 0 )
14274, 139, 107, 87, 141suppofss2d 7947 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) supp 0 ) ⊆ (𝑖 supp 0 ))
143 fsuppsssupp 9001 . . . . . 6 (((((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) ∈ V ∧ Fun ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖)) ∧ (𝑖 finSupp 0 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) supp 0 ) ⊆ (𝑖 supp 0 ))) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) finSupp 0 )
144126, 132, 137, 142, 143syl22anc 839 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) finSupp 0 )
145125, 144eqbrtrrd 5077 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))) finSupp 0 )
146 simp1 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝜑)
147 eleq1w 2820 . . . . . . . . 9 (𝑔 = → (𝑔𝑉𝑉))
148 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑔 = )
149148, 148oveq12d 7231 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = → (𝑔 , 𝑔) = ( , ))
150149eqeq1d 2739 . . . . . . . . 9 (𝑔 = → ((𝑔 , 𝑔) = 0 ↔ ( , ) = 0 ))
151147, 1503anbi23d 1441 . . . . . . . 8 (𝑔 = → ((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) ↔ (𝜑𝑉 ∧ ( , ) = 0 )))
152 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 (𝑔 = → (𝑔 = 𝑂 = 𝑂))
153151, 152imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑔 = → (((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂) ↔ ((𝜑𝑉 ∧ ( , ) = 0 ) → = 𝑂)))
154153, 68chvarvv 2007 . . . . . 6 ((𝜑𝑉 ∧ ( , ) = 0 ) → = 𝑂)
15514, 17, 20, 1, 5, 7, 24, 22, 9, 154, 35, 13frlmphllem 20742 . . . . 5 ((𝜑𝑉𝑖𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))) finSupp 0 )
156146, 93, 83, 155syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))) finSupp 0 )
15717, 24, 72, 73, 74, 92, 98, 99, 100, 145, 156gsummptfsadd 19309 . . 3 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))) = ((𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))))))
15814, 17, 20frlmip 20740 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ DivRing) → (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼), ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
15913, 12, 158syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼), ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
1605, 159eqtr4id 2797 . . . . . . 7 (𝜑, = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼), ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))))
161 fveq1 6716 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑔 → (𝑒𝑥) = (𝑔𝑥))
162161oveq1d 7228 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑔 → ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥)))
163162mpteq2dv 5151 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑔 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥))))
164163oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑔 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥)))))
165 fveq1 6716 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = → (𝑓𝑥) = (𝑥))
166165oveq2d 7229 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = → ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((𝑔𝑥) · (𝑥)))
167166mpteq2dv 5151 . . . . . . . . 9 (𝑓 = → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
168167oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (𝑓 = → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
169164, 168cbvmpov 7306 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))))) = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼), ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
170160, 169eqtr4di 2796 . . . . . 6 (𝜑, = (𝑒 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))))))
1711703ad2ant1 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → , = (𝑒 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))))))
172 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → 𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)))
173172fveq1d 6719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑒𝑥) = (((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥))
174 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → 𝑓 = 𝑖)
175174fveq1d 6719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑓𝑥) = (𝑖𝑥))
176173, 175oveq12d 7231 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)))
177176mpteq2dv 5151 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥))))
178177oveq2d 7229 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)))))
179293ad2ant1 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑌 ∈ LMod)
180163ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
181180fveq2d 6721 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
18217, 181syl5eq 2790 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
18377, 182eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
184 eqid 2737 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
185 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
1861, 31, 184, 185lmodvscl 19916 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑔𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ 𝑉)
187179, 183, 79, 186syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ 𝑉)
188 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+g𝑌) = (+g𝑌)
1891, 188lmodvacl 19913 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ 𝑉𝑉) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∈ 𝑉)
190179, 187, 93, 189syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∈ 𝑉)
19114, 17, 1frlmbasmap 20721 . . . . . 6 ((𝐼𝑊 ∧ ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∈ 𝑉) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∈ (𝐵m 𝐼))
19274, 190, 191syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∈ (𝐵m 𝐼))
193 ovexd 7248 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)))) ∈ V)
194171, 178, 192, 85, 193ovmpod 7361 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) , 𝑖) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)))))
19514, 1, 75, 74, 187, 93, 72, 188frlmplusgval 20726 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∘f (+g𝑅)))
19614, 17, 1frlmbasmap 20721 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ 𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ (𝐵m 𝐼))
19774, 187, 196syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ (𝐵m 𝐼))
198 elmapi 8530 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ (𝐵m 𝐼) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔):𝐼𝐵)
199 ffn 6545 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔):𝐼𝐵 → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) Fn 𝐼)
200197, 198, 1993syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) Fn 𝐼)
20195ffnd 6546 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → Fn 𝐼)
20274adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
20379adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑔𝑉)
20414, 1, 17, 202, 78, 203, 116, 184, 20frlmvscaval 20730 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)‘𝑥) = (𝑘 · (𝑔𝑥)))
205 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) = (𝑥))
206200, 201, 74, 74, 53, 204, 205offval 7477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∘f (+g𝑅)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥))))
207195, 206eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥))))
208 ovexd 7248 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥)) ∈ V)
209207, 208fvmpt2d 6831 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) = ((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥)))
210209oveq1d 7228 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)) = (((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥)) · (𝑖𝑥)))
21117, 72, 20ringdir 19585 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑘 · (𝑔𝑥)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑥) ∈ 𝐵)) → (((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥)) · (𝑖𝑥)) = (((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))
21276, 106, 96, 88, 211syl13anc 1374 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥)) · (𝑖𝑥)) = (((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))
213122oveq1d 7228 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))) = ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))
214210, 212, 2133eqtrd 2781 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)) = ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))
215214mpteq2dva 5150 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥)))))
216215oveq2d 7229 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))))
217194, 216eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) , 𝑖) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))))
218 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → 𝑒 = 𝑔)
219218fveq1d 6719 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → (𝑒𝑥) = (𝑔𝑥))
220 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → 𝑓 = 𝑖)
221220fveq1d 6719 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → (𝑓𝑥) = (𝑖𝑥))
222219, 221oveq12d 7231 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))
223222mpteq2dv 5151 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))
224223oveq2d 7229 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
225 ovexd 7248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))) ∈ V)
226171, 224, 80, 85, 225ovmpod 7361 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑔 , 𝑖) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
227226oveq2d 7229 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑘 · (𝑔 , 𝑖)) = (𝑘 · (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))))
22814, 17, 20, 1, 5, 7, 24, 22, 9, 68, 35, 13frlmphllem 20742 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑖𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))) finSupp 0 )
229146, 79, 83, 228syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))) finSupp 0 )
23017, 24, 72, 20, 75, 74, 77, 90, 229gsummulc2 19625 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))) = (𝑘 · (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))))
231227, 230eqtr4d 2780 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑘 · (𝑔 , 𝑖)) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))))
232 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → 𝑒 = )
233232fveq1d 6719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → (𝑒𝑥) = (𝑥))
234 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → 𝑓 = 𝑖)
235234fveq1d 6719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → (𝑓𝑥) = (𝑖𝑥))
236233, 235oveq12d 7231 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((𝑥) · (𝑖𝑥)))
237236mpteq2dv 5151 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))))
238237oveq2d 7229 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥)))))
239 ovexd 7248 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥)))) ∈ V)
240171, 238, 94, 85, 239ovmpod 7361 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ( , 𝑖) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥)))))
241231, 240oveq12d 7231 . . 3 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘 · (𝑔 , 𝑖))(+g𝑅)( , 𝑖)) = ((𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))))))
242157, 217, 2413eqtr4d 2787 . 2 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) , 𝑖) = ((𝑘 · (𝑔 , 𝑖))(+g𝑅)( , 𝑖)))
243343ad2ant1 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
244243adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CRing)
24517, 20crngcom 19580 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑔𝑥) · (𝑥)))
246244, 64, 63, 245syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑔𝑥) · (𝑥)))
247246mpteq2dva 5150 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
248247oveq2d 7229 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
2491703ad2ant1 1135 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → , = (𝑒 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))))))
250 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → 𝑒 = )
251250fveq1d 6719 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → (𝑒𝑥) = (𝑥))
252 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → 𝑓 = 𝑔)
253252fveq1d 6719 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → (𝑓𝑥) = (𝑔𝑥))
254251, 253oveq12d 7231 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((𝑥) · (𝑔𝑥)))
255254mpteq2dv 5151 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))
256255oveq2d 7229 . . . 4 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))))
257 ovexd 7248 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))) ∈ V)
258249, 256, 49, 44, 257ovmpod 7361 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ( , 𝑔) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))))
259 fveq2 6717 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑔 , ) → ( 𝑥) = ( ‘(𝑔 , )))
260 id 22 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑔 , ) → 𝑥 = (𝑔 , ))
261259, 260eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑥 = (𝑔 , ) → (( 𝑥) = 𝑥 ↔ ( ‘(𝑔 , )) = (𝑔 , )))
26235ralrimiva 3105 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥)
2632623ad2ant1 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥)
264261, 263, 71rspcdva 3539 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ( ‘(𝑔 , )) = (𝑔 , ))
265264, 58eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ( ‘(𝑔 , )) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
266248, 258, 2653eqtr4rd 2788 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ( ‘(𝑔 , )) = ( , 𝑔))
2672, 3, 4, 6, 8, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 33, 36, 71, 242, 68, 266isphld 20616 1 (𝜑𝑌 ∈ PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  Vcvv 3408  wss 3866   class class class wbr 5053  cmpt 5135  Fun wfun 6374   Fn wfn 6375  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  f cof 7467   supp csupp 7903  m cmap 8508   finSupp cfsupp 8985  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  .rcmulr 16803  *𝑟cstv 16804  Scalarcsca 16805   ·𝑠 cvsca 16806  ·𝑖cip 16807  0gc0g 16944   Σg cgsu 16945  CMndccmn 19170  Ringcrg 19562  CRingccrg 19563  DivRingcdr 19767  Fieldcfield 19768  LModclmod 19899  LVecclvec 20139  PreHilcphl 20586   freeLMod cfrlm 20708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-hom 16826  df-cco 16827  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-prds 16952  df-pws 16954  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-oppr 19641  df-rnghom 19735  df-drng 19769  df-field 19770  df-subrg 19798  df-staf 19881  df-srng 19882  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lmhm 20059  df-lvec 20140  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-phl 20588  df-dsmm 20694  df-frlm 20709
This theorem is referenced by:  rrxcph  24289
  Copyright terms: Public domain W3C validator