MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmphl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmphl 21722
Description: Conditions for a free module to be a pre-Hilbert space. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
frlmphl.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
frlmphl.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Œ)
frlmphl.j , = (Β·π‘–β€˜π‘Œ)
frlmphl.o 𝑂 = (0gβ€˜π‘Œ)
frlmphl.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
frlmphl.s βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜π‘…)
frlmphl.f (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Field)
frlmphl.m ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) β†’ 𝑔 = 𝑂)
frlmphl.u ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( βˆ— β€˜π‘₯) = π‘₯)
frlmphl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
frlmphl (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ PreHil)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑔,π‘₯   𝑔,𝐼,π‘₯   𝑅,𝑔,π‘₯   𝑔,𝑉,π‘₯   𝑔,π‘Š,π‘₯   Β· ,𝑔,π‘₯   𝑔,π‘Œ,π‘₯   0 ,𝑔,π‘₯   πœ‘,𝑔,π‘₯   , ,𝑔,π‘₯   𝑔,𝑂   π‘₯, βˆ—
Allowed substitution hints:   βˆ— (𝑔)   𝑂(π‘₯)

Proof of Theorem frlmphl
Dummy variables 𝑓 𝑒 β„Ž 𝑖 𝑦 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmphl.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Œ)
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Œ))
3 eqidd 2729 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ))
4 eqidd 2729 . 2 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Œ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ))
5 frlmphl.j . . 3 , = (Β·π‘–β€˜π‘Œ)
65a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ , = (Β·π‘–β€˜π‘Œ))
7 frlmphl.o . . 3 𝑂 = (0gβ€˜π‘Œ)
87a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (0gβ€˜π‘Œ))
9 frlmphl.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Field)
10 isfld 20642 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
119, 10sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
1211simpld 493 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
13 frlmphl.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
14 frlmphl.y . . . 4 π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
1514frlmsca 21694 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
1612, 13, 15syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
17 frlmphl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1817a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
19 eqidd 2729 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…))
20 frlmphl.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
2120a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π‘…))
22 frlmphl.s . . 3 βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜π‘…)
2322a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜π‘…))
24 frlmphl.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
2524a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜π‘…))
2612drngringd 20639 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2714frlmlmod 21690 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
2826, 13, 27syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LMod)
2916, 12eqeltrrd 2830 . . 3 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ DivRing)
30 eqid 2728 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
3130islvec 20996 . . 3 (π‘Œ ∈ LVec ↔ (π‘Œ ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘Œ) ∈ DivRing))
3228, 29, 31sylanbrc 581 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LVec)
339fldcrngd 20644 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
34 frlmphl.u . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( βˆ— β€˜π‘₯) = π‘₯)
3517, 22, 33, 34idsrngd 20749 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ *-Ring)
36133ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
37263ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
38 simp2 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ 𝑔 ∈ 𝑉)
39 simp3 1135 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ β„Ž ∈ 𝑉)
4014, 17, 20, 1, 5frlmipval 21720 . . . . 5 (((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉)) β†’ (𝑔 , β„Ž) = (𝑅 Ξ£g (𝑔 ∘f Β· β„Ž)))
4136, 37, 38, 39, 40syl22anc 837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑔 , β„Ž) = (𝑅 Ξ£g (𝑔 ∘f Β· β„Ž)))
4214, 17, 1frlmbasmap 21700 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑔 ∈ 𝑉) β†’ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼))
4336, 38, 42syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼))
44 elmapi 8874 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) β†’ 𝑔:𝐼⟢𝐡)
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ 𝑔:𝐼⟢𝐡)
4645ffnd 6728 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ 𝑔 Fn 𝐼)
4714, 17, 1frlmbasmap 21700 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ β„Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝐼))
4836, 39, 47syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ β„Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝐼))
49 elmapi 8874 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) β†’ β„Ž:𝐼⟢𝐡)
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ β„Ž:𝐼⟢𝐡)
5150ffnd 6728 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ β„Ž Fn 𝐼)
52 inidm 4221 . . . . . 6 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
53 eqidd 2729 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘₯))
54 eqidd 2729 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) = (β„Žβ€˜π‘₯))
5546, 51, 36, 36, 52, 53, 54offval 7700 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑔 ∘f Β· β„Ž) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯))))
5655oveq2d 7442 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑔 ∘f Β· β„Ž)) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯)))))
5741, 56eqtrd 2768 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑔 , β„Ž) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯)))))
5826ringcmnd 20227 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
59583ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
6037adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6145ffvelcdmda 7099 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
6250ffvelcdmda 7099 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
6317, 20, 60, 61, 62ringcld 20206 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
6463fmpttd 7130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯))):𝐼⟢𝐡)
65 frlmphl.m . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) β†’ 𝑔 = 𝑂)
6614, 17, 20, 1, 5, 7, 24, 22, 9, 65, 34, 13frlmphllem 21721 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯))) finSupp 0 )
6717, 24, 59, 36, 64, 66gsumcl 19877 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝐡)
6857, 67eqeltrd 2829 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑔 , β„Ž) ∈ 𝐡)
69 eqid 2728 . . . 4 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
70583ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
71133ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
72263ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7372adantr 479 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
74 simp2 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
7574adantr 479 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
76 simp31 1206 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑔 ∈ 𝑉)
7771, 76, 42syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼))
7877, 44syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑔:𝐼⟢𝐡)
7978ffvelcdmda 7099 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
80 simp33 1208 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑖 ∈ 𝑉)
8114, 17, 1frlmbasmap 21700 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑖 ∈ 𝑉) β†’ 𝑖 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼))
8271, 80, 81syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑖 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼))
83 elmapi 8874 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) β†’ 𝑖:𝐼⟢𝐡)
8482, 83syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑖:𝐼⟢𝐡)
8584ffvelcdmda 7099 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘–β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
8617, 20, 73, 79, 85ringcld 20206 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
8717, 20, 73, 75, 86ringcld 20206 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))) ∈ 𝐡)
88 simp32 1207 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ β„Ž ∈ 𝑉)
8971, 88, 47syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ β„Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝐼))
9089, 49syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ β„Ž:𝐼⟢𝐡)
9190ffvelcdmda 7099 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
9217, 20, 73, 91, 85ringcld 20206 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
93 eqidd 2729 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))))
94 eqidd 2729 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))
95 fveq2 6902 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘¦))
9695oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯)) = (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘¦)))
9796cbvmptv 5265 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘¦)))
9897oveq1i 7436 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))) ∘f Β· 𝑖) = ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘¦))) ∘f Β· 𝑖)
9917, 20, 73, 75, 79ringcld 20206 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
10099fmpttd 7130 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))):𝐼⟢𝐡)
101100ffnd 6728 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))) Fn 𝐼)
10297fneq1i 6656 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))) Fn 𝐼 ↔ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘¦))) Fn 𝐼)
103101, 102sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘¦))) Fn 𝐼)
10484ffnd 6728 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑖 Fn 𝐼)
105 eqidd 2729 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘¦))))
106 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
107106fveq2d 6906 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (π‘”β€˜π‘¦) = (π‘”β€˜π‘₯))
108107oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘¦)) = (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯)))
109 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
110 ovexd 7461 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ V)
111105, 108, 109, 110fvmptd 7017 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘¦)))β€˜π‘₯) = (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯)))
112 eqidd 2729 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘–β€˜π‘₯) = (π‘–β€˜π‘₯))
113103, 104, 71, 71, 52, 111, 112offval 7700 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘¦))) ∘f Β· 𝑖) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯)) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))
11417, 20ringass 20200 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (π‘–β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯)) Β· (π‘–β€˜π‘₯)) = (π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))
11573, 75, 79, 85, 114syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯)) Β· (π‘–β€˜π‘₯)) = (π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))
116115mpteq2dva 5252 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯)) Β· (π‘–β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))))
117113, 116eqtrd 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘¦))) ∘f Β· 𝑖) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))))
11898, 117eqtrid 2780 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))) ∘f Β· 𝑖) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))))
119 ovexd 7461 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))) ∘f Β· 𝑖) ∈ V)
120101, 104, 71, 71offun 7705 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ Fun ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))) ∘f Β· 𝑖))
121 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉) β†’ 𝑖 ∈ 𝑉)
12213, 121anim12i 611 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑖 ∈ 𝑉))
1231223adant2 1128 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑖 ∈ 𝑉))
12414, 24, 1frlmbasfsupp 21699 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑖 ∈ 𝑉) β†’ 𝑖 finSupp 0 )
125123, 124syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑖 finSupp 0 )
12617, 24ring0cl 20210 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ 𝐡)
12772, 126syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ 0 ∈ 𝐡)
12817, 20, 24ringrz 20237 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 Β· 0 ) = 0 )
12972, 128sylan 578 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 Β· 0 ) = 0 )
13071, 127, 100, 84, 129suppofss2d 8217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))) ∘f Β· 𝑖) supp 0 ) βŠ† (𝑖 supp 0 ))
131 fsuppsssupp 9412 . . . . . 6 (((((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))) ∘f Β· 𝑖) ∈ V ∧ Fun ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))) ∘f Β· 𝑖)) ∧ (𝑖 finSupp 0 ∧ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))) ∘f Β· 𝑖) supp 0 ) βŠ† (𝑖 supp 0 ))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))) ∘f Β· 𝑖) finSupp 0 )
132119, 120, 125, 130, 131syl22anc 837 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))) ∘f Β· 𝑖) finSupp 0 )
133118, 132eqbrtrrd 5176 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))) finSupp 0 )
134 simp1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ πœ‘)
135 eleq1w 2812 . . . . . . . . 9 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑔 ∈ 𝑉 ↔ β„Ž ∈ 𝑉))
136 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = β„Ž β†’ 𝑔 = β„Ž)
137136, 136oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑔 , 𝑔) = (β„Ž , β„Ž))
138137eqeq1d 2730 . . . . . . . . 9 (𝑔 = β„Ž β†’ ((𝑔 , 𝑔) = 0 ↔ (β„Ž , β„Ž) = 0 ))
139135, 1383anbi23d 1435 . . . . . . . 8 (𝑔 = β„Ž β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) ↔ (πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ (β„Ž , β„Ž) = 0 )))
140 eqeq1 2732 . . . . . . . 8 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑔 = 𝑂 ↔ β„Ž = 𝑂))
141139, 140imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑔 = β„Ž β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) β†’ 𝑔 = 𝑂) ↔ ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ (β„Ž , β„Ž) = 0 ) β†’ β„Ž = 𝑂)))
142141, 65chvarvv 1994 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ (β„Ž , β„Ž) = 0 ) β†’ β„Ž = 𝑂)
14314, 17, 20, 1, 5, 7, 24, 22, 9, 142, 34, 13frlmphllem 21721 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))) finSupp 0 )
144134, 88, 80, 143syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))) finSupp 0 )
14517, 24, 69, 70, 71, 87, 92, 93, 94, 133, 144gsummptfsadd 19886 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘…)((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))) = ((𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))))(+gβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))))
14614, 17, 20frlmip 21719 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), β„Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯))))) = (Β·π‘–β€˜π‘Œ))
14713, 12, 146syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), β„Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯))))) = (Β·π‘–β€˜π‘Œ))
1485, 147eqtr4id 2787 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ , = (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), β„Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯))))))
149 fveq1 6901 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑔 β†’ (π‘’β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘₯))
150149oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑔 β†’ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
151150mpteq2dv 5254 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑔 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯))))
152151oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑔 β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))))
153 fveq1 6901 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = β„Ž β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (β„Žβ€˜π‘₯))
154153oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = β„Ž β†’ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯)))
155154mpteq2dv 5254 . . . . . . . . 9 (𝑓 = β„Ž β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯))))
156155oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (𝑓 = β„Ž β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯)))))
157152, 156cbvmpov 7521 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯))))) = (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), β„Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯)))))
158148, 157eqtr4di 2786 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ , = (𝑒 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯))))))
1591583ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ , = (𝑒 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯))))))
160 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ 𝑒 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž))
161160fveq1d 6904 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ (π‘’β€˜π‘₯) = (((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž)β€˜π‘₯))
162 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ 𝑓 = 𝑖)
163162fveq1d 6904 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘–β€˜π‘₯))
164161, 163oveq12d 7444 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = ((((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž)β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))
165164mpteq2dv 5254 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž)β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))
166165oveq2d 7442 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž)β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))))
167283ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
168163ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
169168fveq2d 6906 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
17017, 169eqtrid 2780 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
17174, 170eleqtrd 2831 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
172 eqid 2728 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 β€˜π‘Œ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
173 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
1741, 30, 172, 173lmodvscl 20768 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔) ∈ 𝑉)
175167, 171, 76, 174syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔) ∈ 𝑉)
176 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ)
1771, 176lmodvacl 20765 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔) ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) ∈ 𝑉)
178167, 175, 88, 177syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) ∈ 𝑉)
17914, 17, 1frlmbasmap 21700 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) ∈ (𝐡 ↑m 𝐼))
18071, 178, 179syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) ∈ (𝐡 ↑m 𝐼))
181 ovexd 7461 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž)β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))) ∈ V)
182159, 166, 180, 82, 181ovmpod 7579 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) , 𝑖) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž)β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))))
18314, 1, 72, 71, 175, 88, 69, 176frlmplusgval 21705 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) = ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔) ∘f (+gβ€˜π‘…)β„Ž))
18414, 17, 1frlmbasmap 21700 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔) ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔) ∈ (𝐡 ↑m 𝐼))
18571, 175, 184syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔) ∈ (𝐡 ↑m 𝐼))
186 elmapi 8874 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔) ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔):𝐼⟢𝐡)
187 ffn 6727 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔):𝐼⟢𝐡 β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔) Fn 𝐼)
188185, 186, 1873syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔) Fn 𝐼)
18990ffnd 6728 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ β„Ž Fn 𝐼)
19071adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
19176adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑔 ∈ 𝑉)
19214, 1, 17, 190, 75, 191, 109, 172, 20frlmvscaval 21709 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)β€˜π‘₯) = (π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯)))
193 eqidd 2729 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) = (β„Žβ€˜π‘₯))
194188, 189, 71, 71, 52, 192, 193offval 7700 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔) ∘f (+gβ€˜π‘…)β„Ž) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))(+gβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜π‘₯))))
195183, 194eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))(+gβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜π‘₯))))
196 ovexd 7461 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))(+gβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ V)
197195, 196fvmpt2d 7023 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž)β€˜π‘₯) = ((π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))(+gβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜π‘₯)))
198197oveq1d 7441 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž)β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)) = (((π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))(+gβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜π‘₯)) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))
19917, 69, 20ringdir 20208 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡 ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (π‘–β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))(+gβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜π‘₯)) Β· (π‘–β€˜π‘₯)) = (((π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯)) Β· (π‘–β€˜π‘₯))(+gβ€˜π‘…)((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))
20073, 99, 91, 85, 199syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯))(+gβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜π‘₯)) Β· (π‘–β€˜π‘₯)) = (((π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯)) Β· (π‘–β€˜π‘₯))(+gβ€˜π‘…)((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))
201115oveq1d 7441 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘˜ Β· (π‘”β€˜π‘₯)) Β· (π‘–β€˜π‘₯))(+gβ€˜π‘…)((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))) = ((π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘…)((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))
202198, 200, 2013eqtrd 2772 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž)β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)) = ((π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘…)((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))
203202mpteq2dva 5252 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž)β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘…)((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))))
204203oveq2d 7442 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž)β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘…)((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))))
205182, 204eqtrd 2768 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) , 𝑖) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))(+gβ€˜π‘…)((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))))
206 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔 ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ 𝑒 = 𝑔)
207206fveq1d 6904 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔 ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ (π‘’β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘₯))
208 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔 ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ 𝑓 = 𝑖)
209208fveq1d 6904 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔 ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘–β€˜π‘₯))
210207, 209oveq12d 7444 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔 ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))
211210mpteq2dv 5254 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔 ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))
212211oveq2d 7442 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔 ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))))
213 ovexd 7461 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))) ∈ V)
214159, 212, 77, 82, 213ovmpod 7579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑔 , 𝑖) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))))
215214oveq2d 7442 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜ Β· (𝑔 , 𝑖)) = (π‘˜ Β· (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))))
21614, 17, 20, 1, 5, 7, 24, 22, 9, 65, 34, 13frlmphllem 21721 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))) finSupp 0 )
217134, 76, 80, 216syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))) finSupp 0 )
21817, 24, 20, 72, 71, 74, 86, 217gsummulc2 20260 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))) = (π‘˜ Β· (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))))
219215, 218eqtr4d 2771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘˜ Β· (𝑔 , 𝑖)) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))))
220 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = β„Ž ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ 𝑒 = β„Ž)
221220fveq1d 6904 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = β„Ž ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ (π‘’β€˜π‘₯) = (β„Žβ€˜π‘₯))
222 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = β„Ž ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ 𝑓 = 𝑖)
223222fveq1d 6904 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = β„Ž ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘–β€˜π‘₯))
224221, 223oveq12d 7444 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = β„Ž ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))
225224mpteq2dv 5254 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = β„Ž ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))
226225oveq2d 7442 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑒 = β„Ž ∧ 𝑓 = 𝑖)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))))
227 ovexd 7461 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))) ∈ V)
228159, 226, 89, 82, 227ovmpod 7579 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (β„Ž , 𝑖) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))))
229219, 228oveq12d 7444 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘˜ Β· (𝑔 , 𝑖))(+gβ€˜π‘…)(β„Ž , 𝑖)) = ((𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ Β· ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯)))))(+gβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘–β€˜π‘₯))))))
230145, 205, 2293eqtr4d 2778 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ (𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑔)(+gβ€˜π‘Œ)β„Ž) , 𝑖) = ((π‘˜ Β· (𝑔 , 𝑖))(+gβ€˜π‘…)(β„Ž , 𝑖)))
231333ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
232231adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
23317, 20crngcom 20198 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯)))
234232, 62, 61, 233syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯)))
235234mpteq2dva 5252 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯))))
236235oveq2d 7442 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯)))))
2371583ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ , = (𝑒 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯))))))
238 simprl 769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = β„Ž ∧ 𝑓 = 𝑔)) β†’ 𝑒 = β„Ž)
239238fveq1d 6904 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = β„Ž ∧ 𝑓 = 𝑔)) β†’ (π‘’β€˜π‘₯) = (β„Žβ€˜π‘₯))
240 simprr 771 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = β„Ž ∧ 𝑓 = 𝑔)) β†’ 𝑓 = 𝑔)
241240fveq1d 6904 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = β„Ž ∧ 𝑓 = 𝑔)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘₯))
242239, 241oveq12d 7444 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = β„Ž ∧ 𝑓 = 𝑔)) β†’ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))
243242mpteq2dv 5254 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = β„Ž ∧ 𝑓 = 𝑔)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))
244243oveq2d 7442 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑒 = β„Ž ∧ 𝑓 = 𝑔)) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘’β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))))
245 ovexd 7461 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))) ∈ V)
246237, 244, 48, 43, 245ovmpod 7579 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ (β„Ž , 𝑔) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((β„Žβ€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))))
247 fveq2 6902 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑔 , β„Ž) β†’ ( βˆ— β€˜π‘₯) = ( βˆ— β€˜(𝑔 , β„Ž)))
248 id 22 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑔 , β„Ž) β†’ π‘₯ = (𝑔 , β„Ž))
249247, 248eqeq12d 2744 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑔 , β„Ž) β†’ (( βˆ— β€˜π‘₯) = π‘₯ ↔ ( βˆ— β€˜(𝑔 , β„Ž)) = (𝑔 , β„Ž)))
25034ralrimiva 3143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ( βˆ— β€˜π‘₯) = π‘₯)
2512503ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ( βˆ— β€˜π‘₯) = π‘₯)
252249, 251, 68rspcdva 3612 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ ( βˆ— β€˜(𝑔 , β„Ž)) = (𝑔 , β„Ž))
253252, 57eqtrd 2768 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ ( βˆ— β€˜(𝑔 , β„Ž)) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘₯) Β· (β„Žβ€˜π‘₯)))))
254236, 246, 2533eqtr4rd 2779 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ β„Ž ∈ 𝑉) β†’ ( βˆ— β€˜(𝑔 , β„Ž)) = (β„Ž , 𝑔))
2552, 3, 4, 6, 8, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 32, 35, 68, 230, 65, 254isphld 21593 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428   ∘f cof 7689   supp csupp 8171   ↑m cmap 8851   finSupp cfsupp 9393  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241  *π‘Ÿcstv 17242  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  Β·π‘–cip 17245  0gc0g 17428   Ξ£g cgsu 17429  CMndccmn 19742  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  DivRingcdr 20631  Fieldcfield 20632  LModclmod 20750  LVecclvec 20994  PreHilcphl 21563   freeLMod cfrlm 21687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-rhm 20418  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-field 20634  df-staf 20732  df-srng 20733  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lmhm 20914  df-lvec 20995  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-phl 21565  df-dsmm 21673  df-frlm 21688
This theorem is referenced by:  rrxcph  25340
  Copyright terms: Public domain W3C validator