MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmphl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmphl 20853
Description: Conditions for a free module to be a pre-Hilbert space. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t · = (.r𝑅)
frlmphl.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j , = (·𝑖𝑌)
frlmphl.o 𝑂 = (0g𝑌)
frlmphl.0 0 = (0g𝑅)
frlmphl.s = (*𝑟𝑅)
frlmphl.f (𝜑𝑅 ∈ Field)
frlmphl.m ((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
frlmphl.u ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
frlmphl.i (𝜑𝐼𝑊)
Assertion
Ref Expression
frlmphl (𝜑𝑌 ∈ PreHil)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝑅,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝑔,𝑊,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝑔,𝑌,𝑥   0 ,𝑔,𝑥   𝜑,𝑔,𝑥   , ,𝑔,𝑥   𝑔,𝑂   𝑥,
Allowed substitution hints:   (𝑔)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem frlmphl
Dummy variables 𝑓 𝑒 𝑖 𝑦 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmphl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑌)
21a1i 11 . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑌))
3 eqidd 2819 . 2 (𝜑 → (+g𝑌) = (+g𝑌))
4 eqidd 2819 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌))
5 frlmphl.j . . 3 , = (·𝑖𝑌)
65a1i 11 . 2 (𝜑, = (·𝑖𝑌))
7 frlmphl.o . . 3 𝑂 = (0g𝑌)
87a1i 11 . 2 (𝜑𝑂 = (0g𝑌))
9 frlmphl.f . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Field)
10 isfld 19440 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
119, 10sylib 219 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
1211simpld 495 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
13 frlmphl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
14 frlmphl.y . . . 4 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
1514frlmsca 20825 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
1612, 13, 15syl2anc 584 . 2 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑌))
17 frlmphl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
1817a1i 11 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
19 eqidd 2819 . 2 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝑅))
20 frlmphl.t . . 3 · = (.r𝑅)
2120a1i 11 . 2 (𝜑· = (.r𝑅))
22 frlmphl.s . . 3 = (*𝑟𝑅)
2322a1i 11 . 2 (𝜑 = (*𝑟𝑅))
24 frlmphl.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
2524a1i 11 . 2 (𝜑0 = (0g𝑅))
26 drngring 19438 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2712, 26syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2814frlmlmod 20821 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
2927, 13, 28syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ LMod)
3016, 12eqeltrrd 2911 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘𝑌) ∈ DivRing)
31 eqid 2818 . . . 4 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
3231islvec 19805 . . 3 (𝑌 ∈ LVec ↔ (𝑌 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑌) ∈ DivRing))
3329, 30, 32sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝑌 ∈ LVec)
3411simprd 496 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
35 frlmphl.u . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
3617, 22, 34, 35idsrngd 19562 . 2 (𝜑𝑅 ∈ *-Ring)
37133ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝐼𝑊)
38273ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
39 simp2 1129 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔𝑉)
40 simp3 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑉)
4114, 17, 20, 1, 5frlmipval 20851 . . . . 5 (((𝐼𝑊𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑔𝑉𝑉)) → (𝑔 , ) = (𝑅 Σg (𝑔f · )))
4237, 38, 39, 40, 41syl22anc 834 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔 , ) = (𝑅 Σg (𝑔f · )))
4314, 17, 1frlmbasmap 20831 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑔𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼))
4437, 39, 43syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼))
45 elmapi 8417 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑔:𝐼𝐵)
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔:𝐼𝐵)
4746ffnd 6508 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 Fn 𝐼)
4814, 17, 1frlmbasmap 20831 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑉) → ∈ (𝐵m 𝐼))
4937, 40, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ∈ (𝐵m 𝐼))
50 elmapi 8417 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐵m 𝐼) → :𝐼𝐵)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → :𝐼𝐵)
5251ffnd 6508 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fn 𝐼)
53 inidm 4192 . . . . . 6 (𝐼𝐼) = 𝐼
54 eqidd 2819 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
55 eqidd 2819 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) = (𝑥))
5647, 52, 37, 37, 53, 54, 55offval 7405 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔f · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
5756oveq2d 7161 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑅 Σg (𝑔f · )) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
5842, 57eqtrd 2853 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔 , ) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
59 ringcmn 19260 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6027, 59syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
61603ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑅 ∈ CMnd)
6238adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
6346ffvelrnda 6843 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ 𝐵)
6451ffvelrnda 6843 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) ∈ 𝐵)
6517, 20ringcl 19240 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑔𝑥) · (𝑥)) ∈ 𝐵)
6662, 63, 64, 65syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑔𝑥) · (𝑥)) ∈ 𝐵)
6766fmpttd 6871 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))):𝐼𝐵)
68 frlmphl.m . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
6914, 17, 20, 1, 5, 7, 24, 22, 9, 68, 35, 13frlmphllem 20852 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 )
7017, 24, 61, 37, 67, 69gsumcl 18964 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))) ∈ 𝐵)
7158, 70eqeltrd 2910 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔 , ) ∈ 𝐵)
72 eqid 2818 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
73603ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑅 ∈ CMnd)
74133ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝐼𝑊)
75273ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑅 ∈ Ring)
7675adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
77 simp2 1129 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑘𝐵)
7877adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑘𝐵)
79 simp31 1201 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑔𝑉)
8074, 79, 43syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼))
8180, 45syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑔:𝐼𝐵)
8281ffvelrnda 6843 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ 𝐵)
83 simp33 1203 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑖𝑉)
8414, 17, 1frlmbasmap 20831 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑖𝑉) → 𝑖 ∈ (𝐵m 𝐼))
8574, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑖 ∈ (𝐵m 𝐼))
86 elmapi 8417 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑖:𝐼𝐵)
8785, 86syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑖:𝐼𝐵)
8887ffvelrnda 6843 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑖𝑥) ∈ 𝐵)
8917, 20ringcl 19240 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)) ∈ 𝐵)
9076, 82, 88, 89syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)) ∈ 𝐵)
9117, 20ringcl 19240 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘𝐵 ∧ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)) ∈ 𝐵) → (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))) ∈ 𝐵)
9276, 78, 90, 91syl3anc 1363 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))) ∈ 𝐵)
93 simp32 1202 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑉)
9474, 93, 48syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ∈ (𝐵m 𝐼))
9594, 50syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → :𝐼𝐵)
9695ffvelrnda 6843 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) ∈ 𝐵)
9717, 20ringcl 19240 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑥) · (𝑖𝑥)) ∈ 𝐵)
9876, 96, 88, 97syl3anc 1363 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑖𝑥)) ∈ 𝐵)
99 eqidd 2819 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
100 eqidd 2819 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))))
101 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑦))
102101oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 · (𝑔𝑥)) = (𝑘 · (𝑔𝑦)))
103102cbvmptv 5160 . . . . . . 7 (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦)))
104103oveq1i 7155 . . . . . 6 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) = ((𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) ∘f · 𝑖)
10517, 20ringcl 19240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑘 · (𝑔𝑥)) ∈ 𝐵)
10676, 78, 82, 105syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 · (𝑔𝑥)) ∈ 𝐵)
107106fmpttd 6871 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))):𝐼𝐵)
108107ffnd 6508 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) Fn 𝐼)
109103fneq1i 6443 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) Fn 𝐼 ↔ (𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) Fn 𝐼)
110108, 109sylib 219 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) Fn 𝐼)
11187ffnd 6508 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑖 Fn 𝐼)
112 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))))
113 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
114113fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑔𝑦) = (𝑔𝑥))
115114oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑘 · (𝑔𝑦)) = (𝑘 · (𝑔𝑥)))
116 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
117 ovexd 7180 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 · (𝑔𝑥)) ∈ V)
118112, 115, 116, 117fvmptd 6767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦)))‘𝑥) = (𝑘 · (𝑔𝑥)))
119 eqidd 2819 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑖𝑥) = (𝑖𝑥))
120110, 111, 74, 74, 53, 118, 119offval 7405 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) ∘f · 𝑖) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥))))
12117, 20ringass 19243 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑥) ∈ 𝐵)) → ((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥)) = (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))
12276, 78, 82, 88, 121syl13anc 1364 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥)) = (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))
123122mpteq2dva 5152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
124120, 123eqtrd 2853 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑦))) ∘f · 𝑖) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
125104, 124syl5eq 2865 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
126 ovexd 7180 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) ∈ V)
127 funmpt 6386 . . . . . . 7 Fun (𝑧𝐼 ↦ (((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥)))‘𝑧) · (𝑖𝑧)))
128 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥)))‘𝑧) = ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥)))‘𝑧))
129 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑖𝑧) = (𝑖𝑧))
130108, 111, 74, 74, 53, 128, 129offval 7405 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) = (𝑧𝐼 ↦ (((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥)))‘𝑧) · (𝑖𝑧))))
131130funeqd 6370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (Fun ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) ↔ Fun (𝑧𝐼 ↦ (((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥)))‘𝑧) · (𝑖𝑧)))))
132127, 131mpbiri 259 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → Fun ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖))
133 simp3 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉) → 𝑖𝑉)
13413, 133anim12i 612 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝐼𝑊𝑖𝑉))
1351343adant2 1123 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝐼𝑊𝑖𝑉))
13614, 24, 1frlmbasfsupp 20830 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝑖𝑉) → 𝑖 finSupp 0 )
137135, 136syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑖 finSupp 0 )
13817, 24ring0cl 19248 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
13975, 138syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 0𝐵)
14017, 20, 24ringrz 19267 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 · 0 ) = 0 )
14175, 140sylan 580 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 · 0 ) = 0 )
14274, 139, 107, 87, 141suppofss2d 7858 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) supp 0 ) ⊆ (𝑖 supp 0 ))
143 fsuppsssupp 8837 . . . . . 6 (((((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) ∈ V ∧ Fun ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖)) ∧ (𝑖 finSupp 0 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) supp 0 ) ⊆ (𝑖 supp 0 ))) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) finSupp 0 )
144126, 132, 137, 142, 143syl22anc 834 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · (𝑔𝑥))) ∘f · 𝑖) finSupp 0 )
145125, 144eqbrtrrd 5081 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))) finSupp 0 )
146 simp1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝜑)
147 eleq1w 2892 . . . . . . . . 9 (𝑔 = → (𝑔𝑉𝑉))
148 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑔 = )
149148, 148oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = → (𝑔 , 𝑔) = ( , ))
150149eqeq1d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑔 = → ((𝑔 , 𝑔) = 0 ↔ ( , ) = 0 ))
151147, 1503anbi23d 1430 . . . . . . . 8 (𝑔 = → ((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) ↔ (𝜑𝑉 ∧ ( , ) = 0 )))
152 eqeq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑔 = → (𝑔 = 𝑂 = 𝑂))
153151, 152imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑔 = → (((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂) ↔ ((𝜑𝑉 ∧ ( , ) = 0 ) → = 𝑂)))
154153, 68chvarvv 1996 . . . . . 6 ((𝜑𝑉 ∧ ( , ) = 0 ) → = 𝑂)
15514, 17, 20, 1, 5, 7, 24, 22, 9, 154, 35, 13frlmphllem 20852 . . . . 5 ((𝜑𝑉𝑖𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))) finSupp 0 )
156146, 93, 83, 155syl3anc 1363 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))) finSupp 0 )
15717, 24, 72, 73, 74, 92, 98, 99, 100, 145, 156gsummptfsadd 18973 . . 3 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))) = ((𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))))))
15814, 17, 20frlmip 20850 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑊𝑅 ∈ DivRing) → (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼), ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
15913, 12, 158syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼), ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
160159, 5syl6reqr 2872 . . . . . . 7 (𝜑, = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼), ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))))
161 fveq1 6662 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑔 → (𝑒𝑥) = (𝑔𝑥))
162161oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑔 → ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥)))
163162mpteq2dv 5153 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑔 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥))))
164163oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑔 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥)))))
165 fveq1 6662 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = → (𝑓𝑥) = (𝑥))
166165oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = → ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((𝑔𝑥) · (𝑥)))
167166mpteq2dv 5153 . . . . . . . . 9 (𝑓 = → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
168167oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (𝑓 = → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
169164, 168cbvmpov 7238 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))))) = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼), ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
170160, 169syl6eqr 2871 . . . . . 6 (𝜑, = (𝑒 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))))))
1711703ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → , = (𝑒 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))))))
172 simprl 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → 𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)))
173172fveq1d 6665 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑒𝑥) = (((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥))
174 simprr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → 𝑓 = 𝑖)
175174fveq1d 6665 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑓𝑥) = (𝑖𝑥))
176173, 175oveq12d 7163 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)))
177176mpteq2dv 5153 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥))))
178177oveq2d 7161 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∧ 𝑓 = 𝑖)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)))))
179293ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑌 ∈ LMod)
180163ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
181180fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
18217, 181syl5eq 2865 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
18377, 182eleqtrd 2912 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
184 eqid 2818 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
185 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
1861, 31, 184, 185lmodvscl 19580 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑔𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ 𝑉)
187179, 183, 79, 186syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ 𝑉)
188 eqid 2818 . . . . . . . 8 (+g𝑌) = (+g𝑌)
1891, 188lmodvacl 19577 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ 𝑉𝑉) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∈ 𝑉)
190179, 187, 93, 189syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∈ 𝑉)
19114, 17, 1frlmbasmap 20831 . . . . . 6 ((𝐼𝑊 ∧ ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∈ 𝑉) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∈ (𝐵m 𝐼))
19274, 190, 191syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) ∈ (𝐵m 𝐼))
193 ovexd 7180 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)))) ∈ V)
194171, 178, 192, 85, 193ovmpod 7291 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) , 𝑖) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)))))
19514, 1, 75, 74, 187, 93, 72, 188frlmplusgval 20836 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) = ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∘f (+g𝑅)))
19614, 17, 1frlmbasmap 20831 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ 𝑉) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ (𝐵m 𝐼))
19774, 187, 196syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ (𝐵m 𝐼))
198 elmapi 8417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∈ (𝐵m 𝐼) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔):𝐼𝐵)
199 ffn 6507 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔):𝐼𝐵 → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) Fn 𝐼)
200197, 198, 1993syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) Fn 𝐼)
20195ffnd 6508 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → Fn 𝐼)
20274adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
20379adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑔𝑉)
20414, 1, 17, 202, 78, 203, 116, 184, 20frlmvscaval 20840 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)‘𝑥) = (𝑘 · (𝑔𝑥)))
205 eqidd 2819 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) = (𝑥))
206200, 201, 74, 74, 53, 204, 205offval 7405 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔) ∘f (+g𝑅)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥))))
207195, 206eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥))))
208 ovexd 7180 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥)) ∈ V)
209207, 208fvmpt2d 6773 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) = ((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥)))
210209oveq1d 7160 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)) = (((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥)) · (𝑖𝑥)))
21117, 72, 20ringdir 19246 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑘 · (𝑔𝑥)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑥) ∈ 𝐵)) → (((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥)) · (𝑖𝑥)) = (((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))
21276, 106, 96, 88, 211syl13anc 1364 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑘 · (𝑔𝑥))(+g𝑅)(𝑥)) · (𝑖𝑥)) = (((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))
213122oveq1d 7160 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑘 · (𝑔𝑥)) · (𝑖𝑥))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))) = ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))
214210, 212, 2133eqtrd 2857 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)) = ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))
215214mpteq2dva 5152 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥)))))
216215oveq2d 7161 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌))‘𝑥) · (𝑖𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))))
217194, 216eqtrd 2853 . . 3 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) , 𝑖) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))(+g𝑅)((𝑥) · (𝑖𝑥))))))
218 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → 𝑒 = 𝑔)
219218fveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → (𝑒𝑥) = (𝑔𝑥))
220 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → 𝑓 = 𝑖)
221220fveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → (𝑓𝑥) = (𝑖𝑥))
222219, 221oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))
223222mpteq2dv 5153 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))
224223oveq2d 7161 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑔𝑓 = 𝑖)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
225 ovexd 7180 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))) ∈ V)
226171, 224, 80, 85, 225ovmpod 7291 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑔 , 𝑖) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))
227226oveq2d 7161 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑘 · (𝑔 , 𝑖)) = (𝑘 · (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))))
22814, 17, 20, 1, 5, 7, 24, 22, 9, 68, 35, 13frlmphllem 20852 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑖𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))) finSupp 0 )
229146, 79, 83, 228syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))) finSupp 0 )
23017, 24, 72, 20, 75, 74, 77, 90, 229gsummulc2 19286 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))) = (𝑘 · (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))))
231227, 230eqtr4d 2856 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑘 · (𝑔 , 𝑖)) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥))))))
232 simprl 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → 𝑒 = )
233232fveq1d 6665 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → (𝑒𝑥) = (𝑥))
234 simprr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → 𝑓 = 𝑖)
235234fveq1d 6665 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → (𝑓𝑥) = (𝑖𝑥))
236233, 235oveq12d 7163 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((𝑥) · (𝑖𝑥)))
237236mpteq2dv 5153 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))))
238237oveq2d 7161 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑖)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥)))))
239 ovexd 7180 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥)))) ∈ V)
240171, 238, 94, 85, 239ovmpod 7291 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ( , 𝑖) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥)))))
241231, 240oveq12d 7163 . . 3 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → ((𝑘 · (𝑔 , 𝑖))(+g𝑅)( , 𝑖)) = ((𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑘 · ((𝑔𝑥) · (𝑖𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑖𝑥))))))
242157, 217, 2413eqtr4d 2863 . 2 ((𝜑𝑘𝐵 ∧ (𝑔𝑉𝑉𝑖𝑉)) → (((𝑘( ·𝑠𝑌)𝑔)(+g𝑌)) , 𝑖) = ((𝑘 · (𝑔 , 𝑖))(+g𝑅)( , 𝑖)))
243343ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
244243adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CRing)
24517, 20crngcom 19241 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑔𝑥) · (𝑥)))
246244, 64, 63, 245syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝑔𝑥) · (𝑥)))
247246mpteq2dva 5152 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
248247oveq2d 7161 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
2491703ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → , = (𝑒 ∈ (𝐵m 𝐼), 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))))))
250 simprl 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → 𝑒 = )
251250fveq1d 6665 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → (𝑒𝑥) = (𝑥))
252 simprr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → 𝑓 = 𝑔)
253252fveq1d 6665 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → (𝑓𝑥) = (𝑔𝑥))
254251, 253oveq12d 7163 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)) = ((𝑥) · (𝑔𝑥)))
255254mpteq2dv 5153 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥))))
256255oveq2d 7161 . . . 4 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ (𝑒 = 𝑓 = 𝑔)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑒𝑥) · (𝑓𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))))
257 ovexd 7180 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))) ∈ V)
258249, 256, 49, 44, 257ovmpod 7291 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ( , 𝑔) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥) · (𝑔𝑥)))))
259 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑔 , ) → ( 𝑥) = ( ‘(𝑔 , )))
260 id 22 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑔 , ) → 𝑥 = (𝑔 , ))
261259, 260eqeq12d 2834 . . . . 5 (𝑥 = (𝑔 , ) → (( 𝑥) = 𝑥 ↔ ( ‘(𝑔 , )) = (𝑔 , )))
26235ralrimiva 3179 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥)
2632623ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ∀𝑥𝐵 ( 𝑥) = 𝑥)
264261, 263, 71rspcdva 3622 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ( ‘(𝑔 , )) = (𝑔 , ))
265264, 58eqtrd 2853 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ( ‘(𝑔 , )) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
266248, 258, 2653eqtr4rd 2864 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ( ‘(𝑔 , )) = ( , 𝑔))
2672, 3, 4, 6, 8, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 33, 36, 71, 242, 68, 266isphld 20726 1 (𝜑𝑌 ∈ PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  Vcvv 3492  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  f cof 7396   supp csupp 7819  m cmap 8395   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  *𝑟cstv 16555  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  ·𝑖cip 16558  0gc0g 16701   Σg cgsu 16702  CMndccmn 18835  Ringcrg 19226  CRingccrg 19227  DivRingcdr 19431  Fieldcfield 19432  LModclmod 19563  LVecclvec 19803  PreHilcphl 20696   freeLMod cfrlm 20818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-field 19434  df-subrg 19462  df-staf 19545  df-srng 19546  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lmhm 19723  df-lvec 19804  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-phl 20698  df-dsmm 20804  df-frlm 20819
This theorem is referenced by:  rrxcph  23922
  Copyright terms: Public domain W3C validator