Theorem q1pdir 33681

Description: Distribution of univariate polynomial quotient over addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
q1pdir.d	⊢ / = (quot1p‘𝑅)
q1pdir.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
q1pdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
q1pdir.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
q1pdir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
q1pdir.1	⊢ + = (+g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
q1pdir	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem q1pdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		q1pdir.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
3		q1pdir.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑃)
4		r1padd1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22224	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	ringgrpd 20217	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
8		q1pdir.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
9		q1pdir.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
10	2, 3, 7, 8, 9	grpcld 18917	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈)
11		q1pdir.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
12		q1pdir.d	. . . . 5 ⊢ / = (quot1p‘𝑅)
13		r1padd1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
14	12, 4, 2, 13	q1pcl 26135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
15	1, 8, 11, 14	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
16	12, 4, 2, 13	q1pcl 26135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈)
17	1, 9, 11, 16	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈)
18	2, 3, 7, 15, 17	grpcld 18917	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈)
19	4, 2, 13	uc1pcl 26122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑁 → 𝐶 ∈ 𝑈)
20	11, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
21		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
22	2, 3, 21	ringdir 20237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
23	6, 15, 17, 20, 22	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
24	23	oveq2d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
25	6	ringabld 20258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Abel)
26	2, 21, 6, 15, 20	ringcld 20235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
27	2, 21, 6, 17, 20	ringcld 20235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
28		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
29	2, 3, 28	ablsub4 19779	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ (((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
30	25, 8, 9, 26, 27, 29	syl122anc 1382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
31	24, 30	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
32	31	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) = ((deg1‘𝑅)‘((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))))
33		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
34		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
35	34, 4, 2, 12, 21, 28	r1pval 26136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
36	8, 20, 35	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
37	34, 4, 2, 13	r1pcl 26137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
38	1, 8, 11, 37	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
39	36, 38	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
40	34, 4, 2, 12, 21, 28	r1pval 26136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
41	9, 20, 40	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
42	34, 4, 2, 13	r1pcl 26137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
43	1, 9, 11, 42	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
44	41, 43	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
45	33, 4, 2	deg1xrcl 26060	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑈 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
46	20, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
47	36	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
48	34, 4, 2, 13, 33	r1pdeglt 26138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
49	1, 8, 11, 48	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
50	47, 49	eqbrtrrd 5110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
51	41	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶)) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
52	34, 4, 2, 13, 33	r1pdeglt 26138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
53	1, 9, 11, 52	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
54	51, 53	eqbrtrrd 5110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
55	4, 33, 1, 2, 3, 39, 44, 46, 50, 54	deg1addlt 33678	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
56	32, 55	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
57	12, 4, 2, 33, 28, 21, 13	q1peqb 26134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))))
58	57	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) ∧ (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
59	1, 10, 11, 18, 56, 58	syl32anc 1381	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  ._rcmulr 17215  -_gcsg 18905  Abelcabl 19750  Ringcrg 20208  Poly₁cpl1 22153  deg₁cdg1 26032  Unic_1pcuc1p 26105  quot_1pcq1p 26106  rem_1pcr1p 26107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-rlreg 20665  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-cnfld 21348  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-psr1 22156  df-vr1 22157  df-ply1 22158  df-coe1 22159  df-mdeg 26033  df-deg1 26034  df-uc1p 26110  df-q1p 26111  df-r1p 26112

This theorem is referenced by:  r1pcyc  33685