Theorem q1pdir 33561

Description: Distribution of univariate polynomial quotient over addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
q1pdir.d	⊢ / = (quot1p‘𝑅)
q1pdir.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
q1pdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
q1pdir.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
q1pdir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
q1pdir.1	⊢ + = (+g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
q1pdir	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem q1pdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		q1pdir.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
3		q1pdir.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑃)
4		r1padd1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22165	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	ringgrpd 20162	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
8		q1pdir.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
9		q1pdir.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
10	2, 3, 7, 8, 9	grpcld 18861	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈)
11		q1pdir.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
12		q1pdir.d	. . . . 5 ⊢ / = (quot1p‘𝑅)
13		r1padd1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
14	12, 4, 2, 13	q1pcl 26095	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
15	1, 8, 11, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
16	12, 4, 2, 13	q1pcl 26095	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈)
17	1, 9, 11, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈)
18	2, 3, 7, 15, 17	grpcld 18861	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈)
19	4, 2, 13	uc1pcl 26082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑁 → 𝐶 ∈ 𝑈)
20	11, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
21		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
22	2, 3, 21	ringdir 20182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
23	6, 15, 17, 20, 22	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
24	23	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
25	6	ringabld 20203	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Abel)
26	2, 21, 6, 15, 20	ringcld 20180	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
27	2, 21, 6, 17, 20	ringcld 20180	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
28		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
29	2, 3, 28	ablsub4 19724	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ (((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
30	25, 8, 9, 26, 27, 29	syl122anc 1381	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
31	24, 30	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
32	31	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) = ((deg1‘𝑅)‘((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))))
33		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
34		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
35	34, 4, 2, 12, 21, 28	r1pval 26096	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
36	8, 20, 35	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
37	34, 4, 2, 13	r1pcl 26097	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
38	1, 8, 11, 37	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
39	36, 38	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
40	34, 4, 2, 12, 21, 28	r1pval 26096	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
41	9, 20, 40	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
42	34, 4, 2, 13	r1pcl 26097	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
43	1, 9, 11, 42	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
44	41, 43	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
45	33, 4, 2	deg1xrcl 26020	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑈 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
46	20, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
47	36	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
48	34, 4, 2, 13, 33	r1pdeglt 26098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
49	1, 8, 11, 48	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
50	47, 49	eqbrtrrd 5126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
51	41	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶)) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
52	34, 4, 2, 13, 33	r1pdeglt 26098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
53	1, 9, 11, 52	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
54	51, 53	eqbrtrrd 5126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
55	4, 33, 1, 2, 3, 39, 44, 46, 50, 54	deg1addlt 33558	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
56	32, 55	eqbrtrd 5124	. 2 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
57	12, 4, 2, 33, 28, 21, 13	q1peqb 26094	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))))
58	57	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) ∧ (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
59	1, 10, 11, 18, 56, 58	syl32anc 1380	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  -_gcsg 18849  Abelcabl 19695  Ringcrg 20153  Poly₁cpl1 22094  deg₁cdg1 25992  Unic_1pcuc1p 26065  quot_1pcq1p 26066  rem_1pcr1p 26067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-rlreg 20614  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-cnfld 21297  df-psr 21851  df-mvr 21852  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-psr1 22097  df-vr1 22098  df-ply1 22099  df-coe1 22100  df-mdeg 25993  df-deg1 25994  df-uc1p 26070  df-q1p 26071  df-r1p 26072

This theorem is referenced by:  r1pcyc  33565