Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  q1pdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem q1pdir 33624
Description: Distribution of univariate polynomial quotient over addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
r1padd1.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
r1padd1.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n 𝑁 = (Unic1p𝑅)
q1pdir.d / = (quot1p𝑅)
q1pdir.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
q1pdir.a (𝜑𝐴𝑈)
q1pdir.c (𝜑𝐶𝑁)
q1pdir.b (𝜑𝐵𝑈)
q1pdir.1 + = (+g𝑃)
Assertion
Ref Expression
q1pdir (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem q1pdir
StepHypRef Expression
1 q1pdir.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 r1padd1.u . . 3 𝑈 = (Base‘𝑃)
3 q1pdir.1 . . 3 + = (+g𝑃)
4 r1padd1.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
54ply1ring 22250 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
76ringgrpd 20240 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
8 q1pdir.a . . 3 (𝜑𝐴𝑈)
9 q1pdir.b . . 3 (𝜑𝐵𝑈)
102, 3, 7, 8, 9grpcld 18966 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈)
11 q1pdir.c . 2 (𝜑𝐶𝑁)
12 q1pdir.d . . . . 5 / = (quot1p𝑅)
13 r1padd1.n . . . . 5 𝑁 = (Unic1p𝑅)
1412, 4, 2, 13q1pcl 26197 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈𝐶𝑁) → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
151, 8, 11, 14syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
1612, 4, 2, 13q1pcl 26197 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑈𝐶𝑁) → (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈)
171, 9, 11, 16syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈)
182, 3, 7, 15, 17grpcld 18966 . 2 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈)
194, 2, 13uc1pcl 26184 . . . . . . . 8 (𝐶𝑁𝐶𝑈)
2011, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑈)
21 eqid 2736 . . . . . . . 8 (.r𝑃) = (.r𝑃)
222, 3, 21ringdir 20260 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈𝐶𝑈)) → (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r𝑃)𝐶) = (((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶)))
236, 15, 17, 20, 22syl13anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r𝑃)𝐶) = (((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶)))
2423oveq2d 7448 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r𝑃)𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)(-g𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶))))
256ringabld 20281 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Abel)
262, 21, 6, 15, 20ringcld 20258 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
272, 21, 6, 17, 20ringcld 20258 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
28 eqid 2736 . . . . . . 7 (-g𝑃) = (-g𝑃)
292, 3, 28ablsub4 19829 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑈) ∧ (((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + 𝐵)(-g𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶))) = ((𝐴(-g𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶))))
3025, 8, 9, 26, 27, 29syl122anc 1380 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶))) = ((𝐴(-g𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶))))
3124, 30eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r𝑃)𝐶)) = ((𝐴(-g𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶))))
3231fveq2d 6909 . . 3 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r𝑃)𝐶))) = ((deg1𝑅)‘((𝐴(-g𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶)))))
33 eqid 2736 . . . 4 (deg1𝑅) = (deg1𝑅)
34 eqid 2736 . . . . . . 7 (rem1p𝑅) = (rem1p𝑅)
3534, 4, 2, 12, 21, 28r1pval 26198 . . . . . 6 ((𝐴𝑈𝐶𝑈) → (𝐴(rem1p𝑅)𝐶) = (𝐴(-g𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶)))
368, 20, 35syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(rem1p𝑅)𝐶) = (𝐴(-g𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶)))
3734, 4, 2, 13r1pcl 26199 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈𝐶𝑁) → (𝐴(rem1p𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
381, 8, 11, 37syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(rem1p𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
3936, 38eqeltrrd 2841 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(-g𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
4034, 4, 2, 12, 21, 28r1pval 26198 . . . . . 6 ((𝐵𝑈𝐶𝑈) → (𝐵(rem1p𝑅)𝐶) = (𝐵(-g𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶)))
419, 20, 40syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵(rem1p𝑅)𝐶) = (𝐵(-g𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶)))
4234, 4, 2, 13r1pcl 26199 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑈𝐶𝑁) → (𝐵(rem1p𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
431, 9, 11, 42syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵(rem1p𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
4441, 43eqeltrrd 2841 . . . 4 (𝜑 → (𝐵(-g𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
4533, 4, 2deg1xrcl 26122 . . . . 5 (𝐶𝑈 → ((deg1𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
4620, 45syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
4736fveq2d 6909 . . . . 5 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘(𝐴(rem1p𝑅)𝐶)) = ((deg1𝑅)‘(𝐴(-g𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶))))
4834, 4, 2, 13, 33r1pdeglt 26200 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈𝐶𝑁) → ((deg1𝑅)‘(𝐴(rem1p𝑅)𝐶)) < ((deg1𝑅)‘𝐶))
491, 8, 11, 48syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘(𝐴(rem1p𝑅)𝐶)) < ((deg1𝑅)‘𝐶))
5047, 49eqbrtrrd 5166 . . . 4 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘(𝐴(-g𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶))) < ((deg1𝑅)‘𝐶))
5141fveq2d 6909 . . . . 5 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘(𝐵(rem1p𝑅)𝐶)) = ((deg1𝑅)‘(𝐵(-g𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶))))
5234, 4, 2, 13, 33r1pdeglt 26200 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵𝑈𝐶𝑁) → ((deg1𝑅)‘(𝐵(rem1p𝑅)𝐶)) < ((deg1𝑅)‘𝐶))
531, 9, 11, 52syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘(𝐵(rem1p𝑅)𝐶)) < ((deg1𝑅)‘𝐶))
5451, 53eqbrtrrd 5166 . . . 4 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘(𝐵(-g𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶))) < ((deg1𝑅)‘𝐶))
554, 33, 1, 2, 3, 39, 44, 46, 50, 54deg1addlt 33621 . . 3 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘((𝐴(-g𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r𝑃)𝐶)))) < ((deg1𝑅)‘𝐶))
5632, 55eqbrtrd 5164 . 2 (𝜑 → ((deg1𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r𝑃)𝐶))) < ((deg1𝑅)‘𝐶))
5712, 4, 2, 33, 28, 21, 13q1peqb 26196 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈𝐶𝑁) → ((((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r𝑃)𝐶))) < ((deg1𝑅)‘𝐶)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))))
5857biimpa 476 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈𝐶𝑁) ∧ (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r𝑃)𝐶))) < ((deg1𝑅)‘𝐶))) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
591, 10, 11, 18, 56, 58syl32anc 1379 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  *cxr 11295   < clt 11296  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  -gcsg 18954  Abelcabl 19800  Ringcrg 20231  Poly1cpl1 22179  deg1cdg1 26094  Unic1pcuc1p 26167  quot1pcq1p 26168  rem1pcr1p 26169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-rlreg 20695  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-cnfld 21366  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-mdeg 26095  df-deg1 26096  df-uc1p 26172  df-q1p 26173  df-r1p 26174
This theorem is referenced by:  r1pcyc  33628
  Copyright terms: Public domain W3C validator