Theorem q1pdir 33563

Description: Distribution of univariate polynomial quotient over addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
q1pdir.d	⊢ / = (quot1p‘𝑅)
q1pdir.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
q1pdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
q1pdir.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
q1pdir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
q1pdir.1	⊢ + = (+g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
q1pdir	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem q1pdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		q1pdir.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
3		q1pdir.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑃)
4		r1padd1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22160	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	ringgrpd 20160	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
8		q1pdir.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
9		q1pdir.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
10	2, 3, 7, 8, 9	grpcld 18860	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈)
11		q1pdir.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
12		q1pdir.d	. . . . 5 ⊢ / = (quot1p‘𝑅)
13		r1padd1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
14	12, 4, 2, 13	q1pcl 26089	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
15	1, 8, 11, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
16	12, 4, 2, 13	q1pcl 26089	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈)
17	1, 9, 11, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈)
18	2, 3, 7, 15, 17	grpcld 18860	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈)
19	4, 2, 13	uc1pcl 26076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑁 → 𝐶 ∈ 𝑈)
20	11, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
21		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
22	2, 3, 21	ringdir 20180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
23	6, 15, 17, 20, 22	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
24	23	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
25	6	ringabld 20201	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Abel)
26	2, 21, 6, 15, 20	ringcld 20178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
27	2, 21, 6, 17, 20	ringcld 20178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
28		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
29	2, 3, 28	ablsub4 19722	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ (((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
30	25, 8, 9, 26, 27, 29	syl122anc 1381	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
31	24, 30	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
32	31	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) = ((deg1‘𝑅)‘((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))))
33		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
34		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
35	34, 4, 2, 12, 21, 28	r1pval 26090	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
36	8, 20, 35	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
37	34, 4, 2, 13	r1pcl 26091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
38	1, 8, 11, 37	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
39	36, 38	eqeltrrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
40	34, 4, 2, 12, 21, 28	r1pval 26090	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
41	9, 20, 40	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
42	34, 4, 2, 13	r1pcl 26091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
43	1, 9, 11, 42	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
44	41, 43	eqeltrrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
45	33, 4, 2	deg1xrcl 26014	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑈 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
46	20, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
47	36	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
48	34, 4, 2, 13, 33	r1pdeglt 26092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
49	1, 8, 11, 48	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
50	47, 49	eqbrtrrd 5113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
51	41	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶)) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
52	34, 4, 2, 13, 33	r1pdeglt 26092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
53	1, 9, 11, 52	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
54	51, 53	eqbrtrrd 5113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
55	4, 33, 1, 2, 3, 39, 44, 46, 50, 54	deg1addlt 33560	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
56	32, 55	eqbrtrd 5111	. 2 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
57	12, 4, 2, 33, 28, 21, 13	q1peqb 26088	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))))
58	57	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) ∧ (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
59	1, 10, 11, 18, 56, 58	syl32anc 1380	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  -_gcsg 18848  Abelcabl 19693  Ringcrg 20151  Poly₁cpl1 22089  deg₁cdg1 25986  Unic_1pcuc1p 26059  quot_1pcq1p 26060  rem_1pcr1p 26061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-rlreg 20609  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-cnfld 21292  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22092  df-vr1 22093  df-ply1 22094  df-coe1 22095  df-mdeg 25987  df-deg1 25988  df-uc1p 26064  df-q1p 26065  df-r1p 26066

This theorem is referenced by:  r1pcyc  33567