Theorem q1pdir 34135

Description: Distribution of univariate polynomial quotient over addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
q1pdir.d	⊢ / = (quot1p‘𝑅)
q1pdir.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
q1pdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
q1pdir.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
q1pdir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
q1pdir.1	⊢ + = (+g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
q1pdir	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem q1pdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		q1pdir.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
3		q1pdir.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑃)
4		r1padd1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22565	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	1, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	ringgrpd 20469	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
8		q1pdir.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
9		q1pdir.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
10	2, 3, 7, 8, 9	grpcld 19158	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈)
11		q1pdir.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
12		q1pdir.d	. . . . 5 ⊢ / = (quot1p‘𝑅)
13		r1padd1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
14	12, 4, 2, 13	q1pcl 26475	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
15	1, 8, 11, 14	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
16	12, 4, 2, 13	q1pcl 26475	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈)
17	1, 9, 11, 16	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈)
18	2, 3, 7, 15, 17	grpcld 19158	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈)
19	4, 2, 13	uc1pcl 26462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑁 → 𝐶 ∈ 𝑈)
20	11, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
21		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
22	2, 3, 21	ringdir 20490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
23	6, 15, 17, 20, 22	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
24	23	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
25	6	ringabld 20512	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Abel)
26	2, 21, 6, 15, 20	ringcld 20484	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
27	2, 21, 6, 17, 20	ringcld 20484	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
28		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
29	2, 3, 28	ablsub4 20024	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ (((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
30	25, 8, 9, 26, 27, 29	syl122anc 1406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
31	24, 30	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
32	31	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) = ((deg1‘𝑅)‘((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))))
33		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
34		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
35	34, 4, 2, 12, 21, 28	r1pval 26476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
36	8, 20, 35	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
37	34, 4, 2, 13	r1pcl 26477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
38	1, 8, 11, 37	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
39	36, 38	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
40	34, 4, 2, 12, 21, 28	r1pval 26476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
41	9, 20, 40	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
42	34, 4, 2, 13	r1pcl 26477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
43	1, 9, 11, 42	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
44	41, 43	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
45	33, 4, 2	deg1xrcl 26400	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑈 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
46	20, 45	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
47	36	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
48	34, 4, 2, 13, 33	r1pdeglt 26478	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
49	1, 8, 11, 48	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
50	47, 49	eqbrtrrd 5129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
51	41	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶)) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
52	34, 4, 2, 13, 33	r1pdeglt 26478	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
53	1, 9, 11, 52	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
54	51, 53	eqbrtrrd 5129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
55	4, 33, 1, 2, 3, 39, 44, 46, 50, 54	deg1addlt 34132	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
56	32, 55	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
57	12, 4, 2, 33, 28, 21, 13	q1peqb 26474	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))))
58	57	biimpa 482	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) ∧ (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
59	1, 10, 11, 18, 56, 58	syl32anc 1405	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429  -_gcsg 19146  Abelcabl 19995  Ringcrg 20459  Poly₁cpl1 22495  deg₁cdg1 26372  Unic_1pcuc1p 26445  quot_1pcq1p 26446  rem_1pcr1p 26447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-rlreg 20946  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-cnfld 21679  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-vr1 22499  df-ply1 22500  df-coe1 22501  df-mdeg 26373  df-deg1 26374  df-uc1p 26450  df-q1p 26451  df-r1p 26452

This theorem is used by:  r1pcyc  34139