Theorem q1pdir 33696

Description: Distribution of univariate polynomial quotient over addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
q1pdir.d	⊢ / = (quot1p‘𝑅)
q1pdir.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
q1pdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
q1pdir.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
q1pdir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
q1pdir.1	⊢ + = (+g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
q1pdir	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem q1pdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		q1pdir.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
3		q1pdir.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑃)
4		r1padd1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22200	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
7	6	ringgrpd 20189	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
8		q1pdir.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
9		q1pdir.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
10	2, 3, 7, 8, 9	grpcld 18889	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈)
11		q1pdir.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑁)
12		q1pdir.d	. . . . 5 ⊢ / = (quot1p‘𝑅)
13		r1padd1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
14	12, 4, 2, 13	q1pcl 26130	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
15	1, 8, 11, 14	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈)
16	12, 4, 2, 13	q1pcl 26130	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈)
17	1, 9, 11, 16	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈)
18	2, 3, 7, 15, 17	grpcld 18889	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈)
19	4, 2, 13	uc1pcl 26117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑁 → 𝐶 ∈ 𝑈)
20	11, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
21		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
22	2, 3, 21	ringdir 20209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈)) → (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
23	6, 15, 17, 20, 22	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶) = (((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
24	23	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
25	6	ringabld 20230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Abel)
26	2, 21, 6, 15, 20	ringcld 20207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
27	2, 21, 6, 17, 20	ringcld 20207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)
28		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
29	2, 3, 28	ablsub4 19751	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) ∧ (((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
30	25, 8, 9, 26, 27, 29	syl122anc 1382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶) + ((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
31	24, 30	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶)) = ((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
32	31	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) = ((deg1‘𝑅)‘((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))))
33		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
34		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (rem1p‘𝑅) = (rem1p‘𝑅)
35	34, 4, 2, 12, 21, 28	r1pval 26131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
36	8, 20, 35	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
37	34, 4, 2, 13	r1pcl 26132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
38	1, 8, 11, 37	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
39	36, 38	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
40	34, 4, 2, 12, 21, 28	r1pval 26131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
41	9, 20, 40	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) = (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))
42	34, 4, 2, 13	r1pcl 26132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
43	1, 9, 11, 42	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑈)
44	41, 43	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) ∈ 𝑈)
45	33, 4, 2	deg1xrcl 26055	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑈 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
46	20, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘𝐶) ∈ ℝ*)
47	36	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
48	34, 4, 2, 13, 33	r1pdeglt 26133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
49	1, 8, 11, 48	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
50	47, 49	eqbrtrrd 5124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
51	41	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶)) = ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))))
52	34, 4, 2, 13, 33	r1pdeglt 26133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
53	1, 9, 11, 52	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(rem1p‘𝑅)𝐶)) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
54	51, 53	eqbrtrrd 5124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘(𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
55	4, 33, 1, 2, 3, 39, 44, 46, 50, 54	deg1addlt 33693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐴(-g‘𝑃)((𝐴 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)) + (𝐵(-g‘𝑃)((𝐵 / 𝐶)(.r‘𝑃)𝐶)))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
56	32, 55	eqbrtrd 5122	. 2 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))
57	12, 4, 2, 33, 28, 21, 13	q1peqb 26129	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) → ((((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))))
58	57	biimpa 476	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑁) ∧ (((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝑅)‘((𝐴 + 𝐵)(-g‘𝑃)(((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶))(.r‘𝑃)𝐶))) < ((deg1‘𝑅)‘𝐶))) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
59	1, 10, 11, 18, 56, 58	syl32anc 1381	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190  -_gcsg 18877  Abelcabl 19722  Ringcrg 20180  Poly₁cpl1 22129  deg₁cdg1 26027  Unic_1pcuc1p 26100  quot_1pcq1p 26101  rem_1pcr1p 26102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-rlreg 20639  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-cnfld 21322  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-coe1 22135  df-mdeg 26028  df-deg1 26029  df-uc1p 26105  df-q1p 26106  df-r1p 26107

This theorem is referenced by:  r1pcyc  33700