Theorem lflvscl 36373

Description: Closure of a scalar product with a functional. Note that this is the scalar product for a right vector space with the scalar after the vector; reversing these fails closure. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflsccl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsccl.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsccl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflsccl.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lflsccl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflsccl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lflsccl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lflsccl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lflvscl	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lflvscl

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflsccl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊))
3		eqidd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
4		lflsccl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (Scalar‘𝑊))
6		eqidd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
7		lflsccl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝐷))
9		eqidd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷))
10		lflsccl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝐷)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐷))
12		lflsccl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (LFnl‘𝑊))
14		lflsccl.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
15	4	lmodring 19635	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
17	7, 10	ringcl 19307	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
18	17	3expb 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
19	16, 18	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
20		lflsccl.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
21	4, 7, 1, 12	lflf 36359	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
22	14, 20, 21	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
23		lflsccl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
24		fconst6g 6542	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑉 × {𝑅}):𝑉⟶𝐾)
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {𝑅}):𝑉⟶𝐾)
26	1	fvexi 6659	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
28		inidm 4145	. . 3 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
29	19, 22, 25, 27, 27, 28	off 7404	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})):𝑉⟶𝐾)
30	14	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
31	20	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
32		simpr1 1191	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑟 ∈ 𝐾)
33		simpr2 1192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
34		simpr3 1193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
35		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
36		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
37		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
38	1, 35, 4, 36, 7, 37, 10, 12	lfli 36357	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)))
39	30, 31, 32, 33, 34, 38	syl113anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)))
40	39	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)) · 𝑅))
41	16	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
42	4, 7, 1, 12	lflcl 36360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾)
43	30, 31, 33, 42	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾)
44	7, 10	ringcl 19307	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾) → (𝑟 · (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐾)
45	41, 32, 43, 44	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑟 · (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐾)
46	4, 7, 1, 12	lflcl 36360	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐾)
47	30, 31, 34, 46	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐾)
48	23	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
49	7, 37, 10	ringdir 19313	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) → (((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅)(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
50	41, 45, 47, 48, 49	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅)(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
51	7, 10	ringass 19310	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) → ((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅) = (𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅)))
52	41, 32, 43, 48, 51	syl13anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅) = (𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅)))
53	52	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅)(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)) = ((𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
54	40, 50, 53	3eqtrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅) = ((𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
55	1, 4, 36, 7	lmodvscl 19644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
56	30, 32, 33, 55	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
57	1, 35	lmodvacl 19641	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
58	30, 56, 34, 57	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
59	22	ffnd 6488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
60		eqidd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)))
61	27, 23, 59, 60	ofc2 7413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅))
62	58, 61	syldan 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅))
63		eqidd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
64	27, 23, 59, 63	ofc2 7413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))
65	33, 64	syldan 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))
66	65	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑟 · ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥)) = (𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅)))
67		eqidd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
68	27, 23, 59, 67	ofc2 7413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦) = ((𝐺‘𝑦) · 𝑅))
69	34, 68	syldan 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦) = ((𝐺‘𝑦) · 𝑅))
70	66, 69	oveq12d 7153	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑟 · ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦)) = ((𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
71	54, 62, 70	3eqtr4d 2843	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦)))
72	2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 29, 71, 14	islfld 36358	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  {csn 4525   × cxp 5517  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  Ringcrg 19290  LModclmod 19627  LFnlclfn 36353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-mgp 19233  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lfl 36354

This theorem is referenced by:  lkrsc  36393  lfl1dim  36417  ldualvscl  36435  ldualvsass  36437