Theorem lflvscl 40271

Description: Closure of a scalar product with a functional. Note that this is the scalar product for a right vector space with the scalar after the vector; reversing these fails closure. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflsccl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsccl.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsccl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflsccl.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lflsccl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflsccl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lflsccl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lflsccl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lflvscl	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lflvscl

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflsccl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊))
3		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
4		lflsccl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (Scalar‘𝑊))
6		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
7		lflsccl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝐷))
9		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷))
10		lflsccl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝐷)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐷))
12		lflsccl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (LFnl‘𝑊))
14		lflsccl.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
15	4	lmodring 21152	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
16	14, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
17	7, 10	ringcl 20486	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
18	17	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
19	16, 18	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
20		lflsccl.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
21	4, 7, 1, 12	lflf 40257	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
22	14, 20, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
23		lflsccl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
24		fconst6g 6776	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑉 × {𝑅}):𝑉⟶𝐾)
25	23, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {𝑅}):𝑉⟶𝐾)
26	1	fvexi 6904	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
28		inidm 4122	. . 3 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
29	19, 22, 25, 27, 27, 28	off 7715	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})):𝑉⟶𝐾)
30	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
31	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
32		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑟 ∈ 𝐾)
33		simpr2 1214	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
34		simpr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
35		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
36		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
37		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
38	1, 35, 4, 36, 7, 37, 10, 12	lfli 40255	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)))
39	30, 31, 32, 33, 34, 38	syl113anc 1409	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)))
40	39	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)) · 𝑅))
41	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
42	4, 7, 1, 12	lflcl 40258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾)
43	30, 31, 33, 42	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾)
44	7, 10	ringcl 20486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾) → (𝑟 · (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐾)
45	41, 32, 43, 44	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑟 · (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐾)
46	4, 7, 1, 12	lflcl 40258	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐾)
47	30, 31, 34, 46	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐾)
48	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
49	7, 37, 10	ringdir 20499	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) → (((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅)(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
50	41, 45, 47, 48, 49	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅)(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
51	7, 10	ringass 20489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) → ((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅) = (𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅)))
52	41, 32, 43, 48, 51	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅) = (𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅)))
53	52	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅)(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)) = ((𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
54	40, 50, 53	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅) = ((𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
55	1, 4, 36, 7	lmodvscl 21162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
56	30, 32, 33, 55	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
57	1, 35	lmodvacl 21159	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
58	30, 56, 34, 57	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
59	22	ffnd 6715	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
60		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)))
61	27, 23, 59, 60	ofc2 7726	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅))
62	58, 61	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅))
63		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
64	27, 23, 59, 63	ofc2 7726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))
65	33, 64	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))
66	65	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑟 · ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥)) = (𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅)))
67		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
68	27, 23, 59, 67	ofc2 7726	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦) = ((𝐺‘𝑦) · 𝑅))
69	34, 68	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦) = ((𝐺‘𝑦) · 𝑅))
70	66, 69	oveq12d 7442	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑟 · ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦)) = ((𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
71	54, 62, 70	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦)))
72	2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 29, 71, 14	islfld 40256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4584   × cxp 5649  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7695  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437  ._rcmulr 17438  Scalarcsca 17440   ·_𝑠 cvsca 17441  Ringcrg 20468  LModclmod 21144  LFnlclfn 40251

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-mgp 20370  df-ring 20470  df-lmod 21146  df-lfl 40252

This theorem is used by:  lkrsc  40291  lfl1dim  40315  ldualvscl  40333  ldualvsass  40335