Theorem lflvscl 39569

Description: Closure of a scalar product with a functional. Note that this is the scalar product for a right vector space with the scalar after the vector; reversing these fails closure. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflsccl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsccl.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsccl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflsccl.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lflsccl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflsccl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lflsccl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lflsccl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lflvscl	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lflvscl

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflsccl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊))
3		eqidd 2740	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
4		lflsccl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (Scalar‘𝑊))
6		eqidd 2740	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
7		lflsccl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝐷))
9		eqidd 2740	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷))
10		lflsccl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝐷)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐷))
12		lflsccl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (LFnl‘𝑊))
14		lflsccl.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
15	4	lmodring 20858	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Ring)
17	7, 10	ringcl 20222	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
18	17	3expb 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
19	16, 18	sylan 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
20		lflsccl.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
21	4, 7, 1, 12	lflf 39555	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
22	14, 20, 21	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
23		lflsccl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
24		fconst6g 6716	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑉 × {𝑅}):𝑉⟶𝐾)
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {𝑅}):𝑉⟶𝐾)
26	1	fvexi 6841	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
28		inidm 4155	. . 3 ⊢ (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
29	19, 22, 25, 27, 27, 28	off 7638	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})):𝑉⟶𝐾)
30	14	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
31	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
32		simpr1 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑟 ∈ 𝐾)
33		simpr2 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
34		simpr3 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
35		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
36		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
37		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
38	1, 35, 4, 36, 7, 37, 10, 12	lfli 39553	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)))
39	30, 31, 32, 33, 34, 38	syl113anc 1390	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)))
40	39	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)) · 𝑅))
41	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
42	4, 7, 1, 12	lflcl 39556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾)
43	30, 31, 33, 42	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾)
44	7, 10	ringcl 20222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾) → (𝑟 · (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐾)
45	41, 32, 43, 44	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑟 · (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐾)
46	4, 7, 1, 12	lflcl 39556	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐾)
47	30, 31, 34, 46	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐾)
48	23	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
49	7, 37, 10	ringdir 20234	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) → (((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅)(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
50	41, 45, 47, 48, 49	syl13anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝑟 · (𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅)(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
51	7, 10	ringass 20225	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) → ((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅) = (𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅)))
52	41, 32, 43, 48, 51	syl13anc 1380	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅) = (𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅)))
53	52	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝑟 · (𝐺‘𝑥)) · 𝑅)(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)) = ((𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
54	40, 50, 53	3eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅) = ((𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
55	1, 4, 36, 7	lmodvscl 20868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
56	30, 32, 33, 55	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
57	1, 35	lmodvacl 20865	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
58	30, 56, 34, 57	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
59	22	ffnd 6656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
60		eqidd 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)))
61	27, 23, 59, 60	ofc2 7649	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅))
62	58, 61	syldan 597	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) · 𝑅))
63		eqidd 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
64	27, 23, 59, 63	ofc2 7649	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))
65	33, 64	syldan 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))
66	65	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑟 · ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥)) = (𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅)))
67		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
68	27, 23, 59, 67	ofc2 7649	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦) = ((𝐺‘𝑦) · 𝑅))
69	34, 68	syldan 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦) = ((𝐺‘𝑦) · 𝑅))
70	66, 69	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑟 · ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦)) = ((𝑟 · ((𝐺‘𝑥) · 𝑅))(+g‘𝐷)((𝐺‘𝑦) · 𝑅)))
71	54, 62, 70	3eqtr4d 2784	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · ((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥))(+g‘𝐷)((𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦)))
72	2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 29, 71, 14	islfld 39554	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  {csn 4555   × cxp 5616  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  Ringcrg 20205  LModclmod 20850  LFnlclfn 39549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-mgp 20113  df-ring 20207  df-lmod 20852  df-lfl 39550

This theorem is referenced by:  lkrsc  39589  lfl1dim  39613  ldualvscl  39631  ldualvsass  39633