Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflvscl 37585
Description: Closure of a scalar product with a functional. Note that this is the scalar product for a right vector space with the scalar after the vector; reversing these fails closure. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsccl.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflsccl.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflsccl.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lflsccl.t Β· = (.rβ€˜π·)
lflsccl.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lflsccl.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lflsccl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lflsccl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
lflvscl (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅})) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lflvscl
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflsccl.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
3 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š))
4 lflsccl.d . . 3 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š))
6 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
7 lflsccl.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
87a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜π·))
9 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·))
10 lflsccl.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π·)
1110a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π·))
12 lflsccl.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
1312a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š))
14 lflsccl.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
154lmodring 20344 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
1614, 15syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Ring)
177, 10ringcl 19986 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐾)
18173expb 1121 . . . 4 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐾)
1916, 18sylan 581 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐾)
20 lflsccl.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
214, 7, 1, 12lflf 37571 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
2214, 20, 21syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
23 lflsccl.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
24 fconst6g 6732 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (𝑉 Γ— {𝑅}):π‘‰βŸΆπΎ)
2523, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— {𝑅}):π‘‰βŸΆπΎ)
261fvexi 6857 . . . 4 𝑉 ∈ V
2726a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
28 inidm 4179 . . 3 (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
2919, 22, 25, 27, 27, 28off 7636 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅})):π‘‰βŸΆπΎ)
3014adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3120adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
32 simpr1 1195 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐾)
33 simpr2 1196 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
34 simpr3 1197 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
35 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
36 eqid 2733 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
37 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
381, 35, 4, 36, 7, 37, 10, 12lfli 37569 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘¦)))
3930, 31, 32, 33, 34, 38syl113anc 1383 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘¦)))
4039oveq1d 7373 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) Β· 𝑅) = (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘¦)) Β· 𝑅))
4116adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
424, 7, 1, 12lflcl 37572 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
4330, 31, 33, 42syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
447, 10ringcl 19986 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾) β†’ (π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐾)
4541, 32, 43, 44syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐾)
464, 7, 1, 12lflcl 37572 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐾)
4730, 31, 34, 46syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐾)
4823adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
497, 37, 10ringdir 19993 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) β†’ (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘¦)) Β· 𝑅) = (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) Β· 𝑅)(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)))
5041, 45, 47, 48, 49syl13anc 1373 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘¦)) Β· 𝑅) = (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) Β· 𝑅)(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)))
517, 10ringass 19989 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) Β· 𝑅) = (π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅)))
5241, 32, 43, 48, 51syl13anc 1373 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) Β· 𝑅) = (π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅)))
5352oveq1d 7373 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) Β· 𝑅)(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)) = ((π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅))(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)))
5440, 50, 533eqtrd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) Β· 𝑅) = ((π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅))(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)))
551, 4, 36, 7lmodvscl 20354 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉)
5630, 32, 33, 55syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉)
571, 35lmodvacl 20351 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
5830, 56, 34, 57syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
5922ffnd 6670 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
60 eqidd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = (πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)))
6127, 23, 59, 60ofc2 7645 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) Β· 𝑅))
6258, 61syldan 592 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) Β· 𝑅))
63 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
6427, 23, 59, 63ofc2 7645 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅))
6533, 64syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅))
6665oveq2d 7374 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ÿ Β· ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘₯)) = (π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅)))
67 eqidd 2734 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
6827, 23, 59, 67ofc2 7645 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘¦) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅))
6934, 68syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘¦) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅))
7066, 69oveq12d 7376 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ÿ Β· ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘¦)) = ((π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅))(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)))
7154, 62, 703eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ Β· ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘¦)))
722, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 29, 71, 14islfld 37570 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅})) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  {csn 4587   Γ— cxp 5632  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  LFnlclfn 37565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-mgp 19902  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lfl 37566
This theorem is referenced by:  lkrsc  37605  lfl1dim  37629  ldualvscl  37647  ldualvsass  37649
  Copyright terms: Public domain W3C validator