Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvscl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lflvscl 38250
Description: Closure of a scalar product with a functional. Note that this is the scalar product for a right vector space with the scalar after the vector; reversing these fails closure. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsccl.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflsccl.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflsccl.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lflsccl.t Β· = (.rβ€˜π·)
lflsccl.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lflsccl.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lflsccl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lflsccl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
lflvscl (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅})) ∈ 𝐹)
Proof of Theorem lflvscl
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflsccl.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
3 eqidd 2731 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š))
4 lflsccl.d . . 3 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š))
6 eqidd 2731 . 2 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
7 lflsccl.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
87a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜π·))
9 eqidd 2731 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·))
10 lflsccl.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π·)
1110a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π·))
12 lflsccl.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
1312a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š))
14 lflsccl.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
154lmodring 20622 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
1614, 15syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Ring)
177, 10ringcl 20144 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐾)
18173expb 1118 . . . 4 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐾)
1916, 18sylan 578 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐾)
20 lflsccl.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
214, 7, 1, 12lflf 38236 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
2214, 20, 21syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
23 lflsccl.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
24 fconst6g 6779 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (𝑉 Γ— {𝑅}):π‘‰βŸΆπΎ)
2523, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— {𝑅}):π‘‰βŸΆπΎ)
261fvexi 6904 . . . 4 𝑉 ∈ V
2726a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
28 inidm 4217 . . 3 (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
2919, 22, 25, 27, 27, 28off 7690 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅})):π‘‰βŸΆπΎ)
3014adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3120adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
32 simpr1 1192 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐾)
33 simpr2 1193 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
34 simpr3 1194 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
35 eqid 2730 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
36 eqid 2730 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
37 eqid 2730 . . . . . . 7 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
381, 35, 4, 36, 7, 37, 10, 12lfli 38234 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘¦)))
3930, 31, 32, 33, 34, 38syl113anc 1380 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘¦)))
4039oveq1d 7426 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) Β· 𝑅) = (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘¦)) Β· 𝑅))
4116adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
424, 7, 1, 12lflcl 38237 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
4330, 31, 33, 42syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
447, 10ringcl 20144 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾) β†’ (π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐾)
4541, 32, 43, 44syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐾)
464, 7, 1, 12lflcl 38237 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐾)
4730, 31, 34, 46syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐾)
4823adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
497, 37, 10ringdir 20153 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) β†’ (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘¦)) Β· 𝑅) = (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) Β· 𝑅)(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)))
5041, 45, 47, 48, 49syl13anc 1370 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘¦)) Β· 𝑅) = (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) Β· 𝑅)(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)))
517, 10ringass 20147 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) Β· 𝑅) = (π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅)))
5241, 32, 43, 48, 51syl13anc 1370 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) Β· 𝑅) = (π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅)))
5352oveq1d 7426 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) Β· 𝑅)(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)) = ((π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅))(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)))
5440, 50, 533eqtrd 2774 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) Β· 𝑅) = ((π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅))(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)))
551, 4, 36, 7lmodvscl 20632 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉)
5630, 32, 33, 55syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉)
571, 35lmodvacl 20629 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
5830, 56, 34, 57syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
5922ffnd 6717 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
60 eqidd 2731 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = (πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)))
6127, 23, 59, 60ofc2 7699 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) Β· 𝑅))
6258, 61syldan 589 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) Β· 𝑅))
63 eqidd 2731 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
6427, 23, 59, 63ofc2 7699 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅))
6533, 64syldan 589 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅))
6665oveq2d 7427 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ÿ Β· ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘₯)) = (π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅)))
67 eqidd 2731 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
6827, 23, 59, 67ofc2 7699 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘¦) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅))
6934, 68syldan 589 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘¦) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅))
7066, 69oveq12d 7429 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ÿ Β· ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘¦)) = ((π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅))(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)))
7154, 62, 703eqtr4d 2780 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ Β· ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘¦)))
722, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 29, 71, 14islfld 38235 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅})) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472  {csn 4627   Γ— cxp 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  Ringcrg 20127  LModclmod 20614  LFnlclfn 38230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-mgp 20029  df-ring 20129  df-lmod 20616  df-lfl 38231
This theorem is referenced by:  lkrsc  38270  lfl1dim  38294  ldualvscl  38312  ldualvsass  38314
  Copyright terms: Public domain W3C validator