Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvscl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lflvscl 37947
Description: Closure of a scalar product with a functional. Note that this is the scalar product for a right vector space with the scalar after the vector; reversing these fails closure. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsccl.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lflsccl.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lflsccl.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lflsccl.t Β· = (.rβ€˜π·)
lflsccl.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lflsccl.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lflsccl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lflsccl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
lflvscl (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅})) ∈ 𝐹)
Proof of Theorem lflvscl
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflsccl.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
3 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š))
4 lflsccl.d . . 3 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š))
6 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
7 lflsccl.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
87a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜π·))
9 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·))
10 lflsccl.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π·)
1110a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π·))
12 lflsccl.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
1312a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š))
14 lflsccl.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
154lmodring 20479 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
1614, 15syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Ring)
177, 10ringcl 20073 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐾)
18173expb 1121 . . . 4 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐾)
1916, 18sylan 581 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐾)
20 lflsccl.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
214, 7, 1, 12lflf 37933 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
2214, 20, 21syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
23 lflsccl.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
24 fconst6g 6781 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (𝑉 Γ— {𝑅}):π‘‰βŸΆπΎ)
2523, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— {𝑅}):π‘‰βŸΆπΎ)
261fvexi 6906 . . . 4 𝑉 ∈ V
2726a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
28 inidm 4219 . . 3 (𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑉
2919, 22, 25, 27, 27, 28off 7688 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅})):π‘‰βŸΆπΎ)
3014adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3120adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
32 simpr1 1195 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐾)
33 simpr2 1196 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
34 simpr3 1197 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
35 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
36 eqid 2733 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
37 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
381, 35, 4, 36, 7, 37, 10, 12lfli 37931 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘¦)))
3930, 31, 32, 33, 34, 38syl113anc 1383 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘¦)))
4039oveq1d 7424 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) Β· 𝑅) = (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘¦)) Β· 𝑅))
4116adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
424, 7, 1, 12lflcl 37934 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
4330, 31, 33, 42syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
447, 10ringcl 20073 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾) β†’ (π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐾)
4541, 32, 43, 44syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐾)
464, 7, 1, 12lflcl 37934 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐾)
4730, 31, 34, 46syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐾)
4823adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
497, 37, 10ringdir 20082 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) β†’ (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘¦)) Β· 𝑅) = (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) Β· 𝑅)(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)))
5041, 45, 47, 48, 49syl13anc 1373 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘¦)) Β· 𝑅) = (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) Β· 𝑅)(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)))
517, 10ringass 20076 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) Β· 𝑅) = (π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅)))
5241, 32, 43, 48, 51syl13anc 1373 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) Β· 𝑅) = (π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅)))
5352oveq1d 7424 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Ÿ Β· (πΊβ€˜π‘₯)) Β· 𝑅)(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)) = ((π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅))(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)))
5440, 50, 533eqtrd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) Β· 𝑅) = ((π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅))(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)))
551, 4, 36, 7lmodvscl 20489 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉)
5630, 32, 33, 55syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉)
571, 35lmodvacl 20486 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
5830, 56, 34, 57syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉)
5922ffnd 6719 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
60 eqidd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = (πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)))
6127, 23, 59, 60ofc2 7697 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) Β· 𝑅))
6258, 61syldan 592 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((πΊβ€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) Β· 𝑅))
63 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
6427, 23, 59, 63ofc2 7697 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅))
6533, 64syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅))
6665oveq2d 7425 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ÿ Β· ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘₯)) = (π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅)))
67 eqidd 2734 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
6827, 23, 59, 67ofc2 7697 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘¦) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅))
6934, 68syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘¦) = ((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅))
7066, 69oveq12d 7427 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ÿ Β· ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘¦)) = ((π‘Ÿ Β· ((πΊβ€˜π‘₯) Β· 𝑅))(+gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘¦) Β· 𝑅)))
7154, 62, 703eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)𝑦)) = ((π‘Ÿ Β· ((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘₯))(+gβ€˜π·)((𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅}))β€˜π‘¦)))
722, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 29, 71, 14islfld 37932 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑉 Γ— {𝑅})) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  {csn 4629   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  Ringcrg 20056  LModclmod 20471  LFnlclfn 37927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-mgp 19988  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-lfl 37928
This theorem is referenced by:  lkrsc  37967  lfl1dim  37991  ldualvscl  38009  ldualvsass  38011
  Copyright terms: Public domain W3C validator