Theorem dvrdir 20447

Description: Distributive law for the division operation of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
dvrdir.t	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrdir	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)))

Proof of Theorem dvrdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simpr1 1207	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr2 1208	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		dvrdir.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		dvrdir.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6	4, 5	unitss 20411	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
7		simpr3 1209	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
9	5, 8	unitinvcl 20425	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
10	7, 9	syldan 600	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
11	6, 10	sselid 3932	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
12		dvrdir.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
13		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14	4, 12, 13	ringdir 20298	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) = ((𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍))))
15	1, 2, 3, 11, 14	syl13anc 1390	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) = ((𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍))))
16		ringgrp 20274	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Grp)
18	4, 12	grpcl 18973	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
19	17, 2, 3, 18	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
20		dvrdir.t	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
21	4, 13, 5, 8, 20	dvrval 20438	. . 3 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
22	19, 7, 21	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
23	4, 13, 5, 8, 20	dvrval 20438	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
24	2, 7, 23	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
25	4, 13, 5, 8, 20	dvrval 20438	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑌 / 𝑍) = (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
26	3, 7, 25	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑌 / 𝑍) = (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
27	24, 26	oveq12d 7408	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)) = ((𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍))))
28	15, 22, 27	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  Grpcgrp 18965  Ringcrg 20269  Unitcui 20390  inv_rcinvr 20422  /_rcdvr 20435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-tpos 8199  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-ring 20271  df-oppr 20372  df-dvdsr 20392  df-unit 20393  df-invr 20423  df-dvr 20436

This theorem is referenced by:  lringuplu  20580  qqhghm  34245  qqhrhm  34246