MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvrdir 20312
Description: Distributive law for the division operation of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrdir.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvrdir.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvrdir.p + = (+gβ€˜π‘…)
dvrdir.t / = (/rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvrdir ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (π‘Œ / 𝑍)))
Proof of Theorem dvrdir
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 simpr1 1191 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simpr2 1192 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 dvrdir.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
5 dvrdir.u . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
64, 5unitss 20276 . . . 4 π‘ˆ βŠ† 𝐡
7 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
8 eqid 2726 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
95, 8unitinvcl 20290 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
107, 9syldan 590 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
116, 10sselid 3975 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
12 dvrdir.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘…)
13 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
144, 12, 13ringdir 20162 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) = ((𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) + (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
151, 2, 3, 11, 14syl13anc 1369 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) = ((𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) + (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
16 ringgrp 20141 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1716adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
184, 12grpcl 18869 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
1917, 2, 3, 18syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
20 dvrdir.t . . . 4 / = (/rβ€˜π‘…)
214, 13, 5, 8, 20dvrval 20303 . . 3 (((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) / 𝑍) = ((𝑋 + π‘Œ)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
2219, 7, 21syl2anc 583 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) / 𝑍) = ((𝑋 + π‘Œ)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
234, 13, 5, 8, 20dvrval 20303 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
242, 7, 23syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
254, 13, 5, 8, 20dvrval 20303 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ / 𝑍) = (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
263, 7, 25syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Œ / 𝑍) = (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
2724, 26oveq12d 7422 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 / 𝑍) + (π‘Œ / 𝑍)) = ((𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) + (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
2815, 22, 273eqtr4d 2776 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (π‘Œ / 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  Grpcgrp 18861  Ringcrg 20136  Unitcui 20255  invrcinvr 20287  /rcdvr 20300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301
This theorem is referenced by:  lringuplu  20442  qqhghm  33498  qqhrhm  33499
  Copyright terms: Public domain W3C validator