MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvrdir 20351
Description: Distributive law for the division operation of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrdir.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvrdir.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvrdir.p + = (+gβ€˜π‘…)
dvrdir.t / = (/rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvrdir ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (π‘Œ / 𝑍)))
Proof of Theorem dvrdir
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 simpr1 1192 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simpr2 1193 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 dvrdir.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
5 dvrdir.u . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
64, 5unitss 20315 . . . 4 π‘ˆ βŠ† 𝐡
7 simpr3 1194 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
8 eqid 2728 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
95, 8unitinvcl 20329 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
107, 9syldan 590 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
116, 10sselid 3978 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
12 dvrdir.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘…)
13 eqid 2728 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
144, 12, 13ringdir 20201 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) = ((𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) + (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
151, 2, 3, 11, 14syl13anc 1370 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) = ((𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) + (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
16 ringgrp 20178 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1716adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
184, 12grpcl 18898 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
1917, 2, 3, 18syl3anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
20 dvrdir.t . . . 4 / = (/rβ€˜π‘…)
214, 13, 5, 8, 20dvrval 20342 . . 3 (((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) / 𝑍) = ((𝑋 + π‘Œ)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
2219, 7, 21syl2anc 583 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) / 𝑍) = ((𝑋 + π‘Œ)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
234, 13, 5, 8, 20dvrval 20342 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
242, 7, 23syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
254, 13, 5, 8, 20dvrval 20342 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ / 𝑍) = (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
263, 7, 25syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Œ / 𝑍) = (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
2724, 26oveq12d 7438 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 / 𝑍) + (π‘Œ / 𝑍)) = ((𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) + (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
2815, 22, 273eqtr4d 2778 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (π‘Œ / 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  .rcmulr 17234  Grpcgrp 18890  Ringcrg 20173  Unitcui 20294  invrcinvr 20326  /rcdvr 20339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340
This theorem is referenced by:  lringuplu  20481  qqhghm  33589  qqhrhm  33590
  Copyright terms: Public domain W3C validator