MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvrdir 20218
Description: Distributive law for the division operation of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrdir.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvrdir.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvrdir.p + = (+gβ€˜π‘…)
dvrdir.t / = (/rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvrdir ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (π‘Œ / 𝑍)))
Proof of Theorem dvrdir
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 simpr1 1194 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simpr2 1195 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 dvrdir.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
5 dvrdir.u . . . . 5 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
64, 5unitss 20182 . . . 4 π‘ˆ βŠ† 𝐡
7 simpr3 1196 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
8 eqid 2732 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
95, 8unitinvcl 20196 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
107, 9syldan 591 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
116, 10sselid 3979 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
12 dvrdir.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘…)
13 eqid 2732 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
144, 12, 13ringdir 20075 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) = ((𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) + (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
151, 2, 3, 11, 14syl13anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) = ((𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) + (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
16 ringgrp 20054 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1716adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
184, 12grpcl 18823 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
1917, 2, 3, 18syl3anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
20 dvrdir.t . . . 4 / = (/rβ€˜π‘…)
214, 13, 5, 8, 20dvrval 20209 . . 3 (((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) / 𝑍) = ((𝑋 + π‘Œ)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
2219, 7, 21syl2anc 584 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) / 𝑍) = ((𝑋 + π‘Œ)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
234, 13, 5, 8, 20dvrval 20209 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
242, 7, 23syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
254, 13, 5, 8, 20dvrval 20209 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ / 𝑍) = (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
263, 7, 25syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘Œ / 𝑍) = (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
2724, 26oveq12d 7423 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 / 𝑍) + (π‘Œ / 𝑍)) = ((𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘)) + (π‘Œ(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘))))
2815, 22, 273eqtr4d 2782 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (π‘Œ / 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Grpcgrp 18815  Ringcrg 20049  Unitcui 20161  invrcinvr 20193  /rcdvr 20206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207
This theorem is referenced by:  lringuplu  20306  qqhghm  32956  qqhrhm  32957
  Copyright terms: Public domain W3C validator