Theorem dvrdir 20643

Description: Distributive law for the division operation of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
dvrdir.t	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrdir	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)))

Proof of Theorem dvrdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simpr1 1213	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr2 1214	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		dvrdir.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		dvrdir.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6	4, 5	unitss 20607	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
7		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
9	5, 8	unitinvcl 20621	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
10	7, 9	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
11	6, 10	sselid 3927	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
12		dvrdir.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
13		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14	4, 12, 13	ringdir 20491	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) = ((𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍))))
15	1, 2, 3, 11, 14	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) = ((𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍))))
16		ringgrp 20465	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Grp)
18	4, 12	grpcl 19153	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
19	17, 2, 3, 18	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
20		dvrdir.t	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
21	4, 13, 5, 8, 20	dvrval 20634	. . 3 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
22	19, 7, 21	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
23	4, 13, 5, 8, 20	dvrval 20634	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
24	2, 7, 23	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
25	4, 13, 5, 8, 20	dvrval 20634	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑌 / 𝑍) = (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
26	3, 7, 25	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑌 / 𝑍) = (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
27	24, 26	oveq12d 7439	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)) = ((𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍))))
28	15, 22, 27	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429  ._rcmulr 17430  Grpcgrp 19145  Ringcrg 20460  Unitcui 20586  inv_rcinvr 20618  /_rcdvr 20631

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-invr 20619  df-dvr 20632

This theorem is used by:  lringuplu  20797  qqhghm  34621  qqhrhm  34622