Theorem dvrdir 20559

Description: Distributive law for the division operation of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
dvrdir.t	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrdir	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)))

Proof of Theorem dvrdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simpr1 1213	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr2 1214	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		dvrdir.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		dvrdir.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6	4, 5	unitss 20523	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
7		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
8		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
9	5, 8	unitinvcl 20537	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
10	7, 9	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
11	6, 10	sselid 3932	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
12		dvrdir.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
13		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14	4, 12, 13	ringdir 20408	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) = ((𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍))))
15	1, 2, 3, 11, 14	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) = ((𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍))))
16		ringgrp 20383	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Grp)
18	4, 12	grpcl 19071	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
19	17, 2, 3, 18	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
20		dvrdir.t	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
21	4, 13, 5, 8, 20	dvrval 20550	. . 3 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
22	19, 7, 21	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
23	4, 13, 5, 8, 20	dvrval 20550	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
24	2, 7, 23	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
25	4, 13, 5, 8, 20	dvrval 20550	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑌 / 𝑍) = (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
26	3, 7, 25	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑌 / 𝑍) = (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
27	24, 26	oveq12d 7435	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)) = ((𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍))))
28	15, 22, 27	3eqtr4d 2807	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  Grpcgrp 19063  Ringcrg 20378  Unitcui 20502  inv_rcinvr 20534  /_rcdvr 20547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548

This theorem is used by:  lringuplu  20712  qqhghm  34506  qqhrhm  34507