Theorem dvrdir 20413

Description: Distributive law for the division operation of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
dvrdir.t	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrdir	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)))

Proof of Theorem dvrdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simpr1 1194	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr2 1195	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		dvrdir.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		dvrdir.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
6	4, 5	unitss 20377	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
7		simpr3 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
9	5, 8	unitinvcl 20391	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
10	7, 9	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
11	6, 10	sselid 3980	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
12		dvrdir.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14	4, 12, 13	ringdir 20260	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) = ((𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍))))
15	1, 2, 3, 11, 14	syl13anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) = ((𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍))))
16		ringgrp 20236	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Grp)
18	4, 12	grpcl 18960	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
19	17, 2, 3, 18	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
20		dvrdir.t	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
21	4, 13, 5, 8, 20	dvrval 20404	. . 3 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
22	19, 7, 21	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
23	4, 13, 5, 8, 20	dvrval 20404	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
24	2, 7, 23	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
25	4, 13, 5, 8, 20	dvrval 20404	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑌 / 𝑍) = (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
26	3, 7, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → (𝑌 / 𝑍) = (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)))
27	24, 26	oveq12d 7450	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)) = ((𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑍))))
28	15, 22, 27	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  Grpcgrp 18952  Ringcrg 20231  Unitcui 20356  inv_rcinvr 20388  /_rcdvr 20401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402

This theorem is referenced by:  lringuplu  20545  qqhghm  33990  qqhrhm  33991