Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvrdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrdir 30998
 Description: Distributive law for the division operation of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrdir.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrdir.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrdir.p + = (+g𝑅)
dvrdir.t / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrdir ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)))

Proof of Theorem dvrdir
StepHypRef Expression
1 simpl 487 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
2 simpr1 1192 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → 𝑋𝐵)
3 simpr2 1193 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → 𝑌𝐵)
4 dvrdir.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 dvrdir.u . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
64, 5unitss 19466 . . . 4 𝑈𝐵
7 simpr3 1194 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → 𝑍𝑈)
8 eqid 2759 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
95, 8unitinvcl 19480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
107, 9syldan 595 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝑈)
116, 10sseldi 3886 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
12 dvrdir.p . . . 4 + = (+g𝑅)
13 eqid 2759 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
144, 12, 13ringdir 19373 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)) = ((𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍))))
151, 2, 3, 11, 14syl13anc 1370 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)) = ((𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍))))
16 ringgrp 19355 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1716adantr 485 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → 𝑅 ∈ Grp)
184, 12grpcl 18162 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
1917, 2, 3, 18syl3anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
20 dvrdir.t . . . 4 / = (/r𝑅)
214, 13, 5, 8, 20dvrval 19491 . . 3 (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝑈) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
2219, 7, 21syl2anc 588 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 + 𝑌)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
234, 13, 5, 8, 20dvrval 19491 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑍𝑈) → (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
242, 7, 23syl2anc 588 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → (𝑋 / 𝑍) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
254, 13, 5, 8, 20dvrval 19491 . . . 4 ((𝑌𝐵𝑍𝑈) → (𝑌 / 𝑍) = (𝑌(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
263, 7, 25syl2anc 588 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → (𝑌 / 𝑍) = (𝑌(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)))
2724, 26oveq12d 7161 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)) = ((𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍)) + (𝑌(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑍))))
2815, 22, 273eqtr4d 2804 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌) / 𝑍) = ((𝑋 / 𝑍) + (𝑌 / 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  Basecbs 16526  +gcplusg 16608  .rcmulr 16609  Grpcgrp 18154  Ringcrg 19350  Unitcui 19445  invrcinvr 19477  /rcdvr 19488 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-0g 16758  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-grp 18157  df-minusg 18158  df-mgp 19293  df-ur 19305  df-ring 19352  df-oppr 19429  df-dvdsr 19447  df-unit 19448  df-invr 19478  df-dvr 19489 This theorem is referenced by:  qqhghm  31442  qqhrhm  31443
 Copyright terms: Public domain W3C validator