Theorem r1pcyc 33539

Description: The polynomial remainder operation is periodic. See modcyc 13810. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pcyc.p	⊢ + = (+g‘𝑃)
r1pcyc.m	⊢ · = (.r‘𝑃)
r1pcyc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1pcyc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pcyc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)
r1pcyc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
r1pcyc	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = (𝐴𝐸𝐵))

Proof of Theorem r1pcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pcyc.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22130	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
5	4	ringgrpd 20127	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
6		r1pcyc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
7		r1padd1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
8		r1pcyc.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
9		r1pcyc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)
10		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
11		r1padd1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
12	10, 2, 7, 11	q1pcl 26060	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
13	1, 6, 9, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
14	2, 7, 11	uc1pcl 26047	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ∈ 𝑈)
15	9, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	7, 8, 4, 13, 15	ringcld 20145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) ∈ 𝑈)
17		r1pcyc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
18	7, 8, 4, 17, 15	ringcld 20145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈)
19		r1pcyc.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
20		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
21	7, 19, 20	grppnpcan2 18913	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
22	5, 6, 16, 18, 21	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
23	7, 19, 5, 6, 18	grpcld 18826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑈)
24		r1padd1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
25	24, 2, 7, 10, 8, 20	r1pval 26061	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
26	23, 15, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
27	10, 2, 7, 11	q1pcl 26060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
28	1, 18, 9, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
29	7, 19, 8	ringdir 20147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
30	4, 13, 28, 15, 29	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
31	2, 7, 11, 10, 1, 6, 9, 18, 19	q1pdir 33535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) = ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)))
32	31	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)) · 𝐵))
33		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
34	7, 33, 8	dvdsrmul 20249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵))
35	15, 17, 34	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵))
36	2, 33, 7, 11, 8, 10	dvdsq1p 26066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) = (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
37	1, 18, 9, 36	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) = (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
38	35, 37	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵))
39	38	oveq2d 7365	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
40	30, 32, 39	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)))
41	40	oveq2d 7365	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))))
42	26, 41	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))))
43	24, 2, 7, 10, 8, 20	r1pval 26061	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
44	6, 15, 43	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
45	22, 42, 44	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = (𝐴𝐸𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  Grpcgrp 18812  -_gcsg 18814  Ringcrg 20118  ∥_rcdsr 20239  Poly₁cpl1 22059  Unic_1pcuc1p 26030  quot_1pcq1p 26031  rem_1pcr1p 26032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-rlreg 20579  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-cnfld 21262  df-psr 21816  df-mvr 21817  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-psr1 22062  df-vr1 22063  df-ply1 22064  df-coe1 22065  df-mdeg 25958  df-deg1 25959  df-uc1p 26035  df-q1p 26036  df-r1p 26037

This theorem is referenced by:  r1padd1  33540