Theorem r1pcyc 32967

Description: The polynomial remainder operation is periodic. See modcyc 13878. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pcyc.p	⊢ + = (+g‘𝑃)
r1pcyc.m	⊢ · = (.r‘𝑃)
r1pcyc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1pcyc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pcyc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)
r1pcyc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
r1pcyc	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = (𝐴𝐸𝐵))

Proof of Theorem r1pcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pcyc.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22003	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
5	4	ringgrpd 20140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
6		r1pcyc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
7		r1padd1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
8		r1pcyc.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
9		r1pcyc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)
10		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
11		r1padd1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
12	10, 2, 7, 11	q1pcl 25922	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
13	1, 6, 9, 12	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
14	2, 7, 11	uc1pcl 25910	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ∈ 𝑈)
15	9, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	7, 8, 4, 13, 15	ringcld 20155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) ∈ 𝑈)
17		r1pcyc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
18	7, 8, 4, 17, 15	ringcld 20155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈)
19		r1pcyc.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
20		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
21	7, 19, 20	grppnpcan2 18957	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
22	5, 6, 16, 18, 21	syl13anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
23	7, 19, 5, 6, 18	grpcld 18872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑈)
24		r1padd1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
25	24, 2, 7, 10, 8, 20	r1pval 25923	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
26	23, 15, 25	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
27	10, 2, 7, 11	q1pcl 25922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
28	1, 18, 9, 27	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
29	7, 19, 8	ringdir 20157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
30	4, 13, 28, 15, 29	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
31	2, 7, 11, 10, 1, 6, 9, 18, 19	q1pdir 32963	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) = ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)))
32	31	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)) · 𝐵))
33		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
34	7, 33, 8	dvdsrmul 20259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵))
35	15, 17, 34	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵))
36	2, 33, 7, 11, 8, 10	dvdsq1p 25927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) = (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
37	1, 18, 9, 36	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) = (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
38	35, 37	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵))
39	38	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
40	30, 32, 39	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)))
41	40	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))))
42	26, 41	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))))
43	24, 2, 7, 10, 8, 20	r1pval 25923	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
44	6, 15, 43	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
45	22, 42, 44	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = (𝐴𝐸𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  ._rcmulr 17205  Grpcgrp 18858  -_gcsg 18860  Ringcrg 20131  ∥_rcdsr 20249  Poly₁cpl1 21933  Unic_1pcuc1p 25893  quot_1pcq1p 25894  rem_1pcr1p 25895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-mulg 18991  df-subg 19043  df-ghm 19132  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-cring 20134  df-oppr 20229  df-dvdsr 20252  df-unit 20253  df-invr 20283  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-lmod 20620  df-lss 20691  df-rlreg 21103  df-cnfld 21149  df-psr 21685  df-mvr 21686  df-mpl 21687  df-opsr 21689  df-psr1 21936  df-vr1 21937  df-ply1 21938  df-coe1 21939  df-mdeg 25819  df-deg1 25820  df-uc1p 25898  df-q1p 25899  df-r1p 25900

This theorem is referenced by:  r1padd1  32968