Theorem r1pcyc 33685

Description: The polynomial remainder operation is periodic. See modcyc 13859. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pcyc.p	⊢ + = (+g‘𝑃)
r1pcyc.m	⊢ · = (.r‘𝑃)
r1pcyc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1pcyc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pcyc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)
r1pcyc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
r1pcyc	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = (𝐴𝐸𝐵))

Proof of Theorem r1pcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pcyc.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22224	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
5	4	ringgrpd 20217	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
6		r1pcyc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
7		r1padd1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
8		r1pcyc.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
9		r1pcyc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
11		r1padd1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
12	10, 2, 7, 11	q1pcl 26135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
13	1, 6, 9, 12	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
14	2, 7, 11	uc1pcl 26122	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ∈ 𝑈)
15	9, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	7, 8, 4, 13, 15	ringcld 20235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) ∈ 𝑈)
17		r1pcyc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
18	7, 8, 4, 17, 15	ringcld 20235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈)
19		r1pcyc.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
20		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
21	7, 19, 20	grppnpcan2 19004	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
22	5, 6, 16, 18, 21	syl13anc 1375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
23	7, 19, 5, 6, 18	grpcld 18917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑈)
24		r1padd1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
25	24, 2, 7, 10, 8, 20	r1pval 26136	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
26	23, 15, 25	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
27	10, 2, 7, 11	q1pcl 26135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
28	1, 18, 9, 27	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
29	7, 19, 8	ringdir 20237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
30	4, 13, 28, 15, 29	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
31	2, 7, 11, 10, 1, 6, 9, 18, 19	q1pdir 33681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) = ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)))
32	31	oveq1d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)) · 𝐵))
33		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
34	7, 33, 8	dvdsrmul 20338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵))
35	15, 17, 34	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵))
36	2, 33, 7, 11, 8, 10	dvdsq1p 26141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) = (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
37	1, 18, 9, 36	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) = (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
38	35, 37	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵))
39	38	oveq2d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
40	30, 32, 39	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)))
41	40	oveq2d 7377	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))))
42	26, 41	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))))
43	24, 2, 7, 10, 8, 20	r1pval 26136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
44	6, 15, 43	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
45	22, 42, 44	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = (𝐴𝐸𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  ._rcmulr 17215  Grpcgrp 18903  -_gcsg 18905  Ringcrg 20208  ∥_rcdsr 20328  Poly₁cpl1 22153  Unic_1pcuc1p 26105  quot_1pcq1p 26106  rem_1pcr1p 26107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-rlreg 20665  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-cnfld 21348  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-psr1 22156  df-vr1 22157  df-ply1 22158  df-coe1 22159  df-mdeg 26033  df-deg1 26034  df-uc1p 26110  df-q1p 26111  df-r1p 26112

This theorem is referenced by:  r1padd1  33686