Theorem r1pcyc 33667

Description: The polynomial remainder operation is periodic. See modcyc 13865. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pcyc.p	⊢ + = (+g‘𝑃)
r1pcyc.m	⊢ · = (.r‘𝑃)
r1pcyc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1pcyc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pcyc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)
r1pcyc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
r1pcyc	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = (𝐴𝐸𝐵))

Proof of Theorem r1pcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pcyc.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1padd1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22211	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
5	4	ringgrpd 20223	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
6		r1pcyc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
7		r1padd1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
8		r1pcyc.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
9		r1pcyc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)
10		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
11		r1padd1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
12	10, 2, 7, 11	q1pcl 26122	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
13	1, 6, 9, 12	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
14	2, 7, 11	uc1pcl 26109	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ∈ 𝑈)
15	9, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	7, 8, 4, 13, 15	ringcld 20241	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) ∈ 𝑈)
17		r1pcyc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
18	7, 8, 4, 17, 15	ringcld 20241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈)
19		r1pcyc.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
20		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
21	7, 19, 20	grppnpcan2 19010	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈)) → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
22	5, 6, 16, 18, 21	syl13anc 1375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
23	7, 19, 5, 6, 18	grpcld 18923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑈)
24		r1padd1.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
25	24, 2, 7, 10, 8, 20	r1pval 26123	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
26	23, 15, 25	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
27	10, 2, 7, 11	q1pcl 26122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
28	1, 18, 9, 27	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
29	7, 19, 8	ringdir 20243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈)) → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
30	4, 13, 28, 15, 29	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
31	2, 7, 11, 10, 1, 6, 9, 18, 19	q1pdir 33663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) = ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)))
32	31	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) + ((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵)) · 𝐵))
33		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
34	7, 33, 8	dvdsrmul 20344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → 𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵))
35	15, 17, 34	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵))
36	2, 33, 7, 11, 8, 10	dvdsq1p 26128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) = (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
37	1, 18, 9, 36	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(∥r‘𝑃)(𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝐵) = (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
38	35, 37	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵))
39	38	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (((𝐶 · 𝐵)(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
40	30, 32, 39	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)))
41	40	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))))
42	26, 41	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))(-g‘𝑃)(((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵))))
43	24, 2, 7, 10, 8, 20	r1pval 26123	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
44	6, 15, 43	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) · 𝐵)))
45	22, 42, 44	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐶 · 𝐵))𝐸𝐵) = (𝐴𝐸𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Grpcgrp 18909  -_gcsg 18911  Ringcrg 20214  ∥_rcdsr 20334  Poly₁cpl1 22140  Unic_1pcuc1p 26092  quot_1pcq1p 26093  rem_1pcr1p 26094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-rlreg 20671  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-cnfld 21353  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-psr1 22143  df-vr1 22144  df-ply1 22145  df-coe1 22146  df-mdeg 26020  df-deg1 26021  df-uc1p 26097  df-q1p 26098  df-r1p 26099

This theorem is referenced by:  r1padd1  33668