Theorem ringidcl 19807

Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 19789	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 19726	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 19739	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 18400	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  Mndcmnd 18385  mulGrpcmgp 19720  1_rcur 19737  Ringcrg 19783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785

This theorem is referenced by:  ringid  19813  rngo2times  19815  ringcom  19818  ringnegl  19833  rngnegr  19834  ringmneg1  19835  ringmneg2  19836  imasring  19858  opprring  19873  dvdsrid  19893  dvdsrneg  19896  1unit  19900  ringinvdv  19936  isdrng2  20001  isdrngd  20016  subrgid  20026  abv1z  20092  abvneg  20094  srng1  20119  issrngd  20121  lmod1cl  20150  lmodvsneg  20167  lmodsubvs  20179  lmodsubdi  20180  lmodsubdir  20181  lmodprop2d  20185  rmodislmod  20191  rmodislmodOLD  20192  lssvnegcl  20218  prdslmodd  20231  lmodvsinv  20298  islmhm2  20300  lbsind2  20343  lspsneq  20384  lspexch  20391  lidl1el  20489  rsp1  20495  lpi1  20519  isnzr2  20534  isnzr2hash  20535  0ring01eq  20542  fidomndrnglem  20578  mulgrhm  20699  chrcl  20730  chrid  20731  chrdvds  20732  chrcong  20733  zncyg  20756  zrhpsgnelbas  20799  uvcvvcl2  20995  uvcff  20998  lindfind2  21025  asclf  21086  asclghm  21087  ascl0  21088  ascl1  21089  asclmul1  21090  asclmul2  21091  ascldimul  21092  rnascl  21095  assamulgscmlem1  21103  psrlmod  21170  psr1cl  21171  mvrf  21193  mplsubrg  21211  mplmon  21236  mplmonmul  21237  mplcoe1  21238  mplind  21278  evlslem1  21292  mhppwdeg  21340  coe1pwmul  21450  ply1scl0  21461  ply1scl1  21463  ply1idvr1  21464  lply1binomsc  21478  mamumat1cl  21588  mat1bas  21598  matsc  21599  mat0dimid  21617  mat1mhm  21633  dmatid  21644  scmatscmide  21656  scmatscmiddistr  21657  scmatmats  21660  scmatscm  21662  scmatid  21663  scmataddcl  21665  scmatsubcl  21666  scmatmulcl  21667  smatvscl  21673  scmatrhmcl  21677  scmatf1  21680  scmatmhm  21683  mat0scmat  21687  mat1scmat  21688  mdet0pr  21741  mdet1  21750  mdetunilem8  21768  mdetunilem9  21769  mdetuni0  21770  mdetmul  21772  m2detleiblem5  21774  m2detleiblem6  21775  maducoeval2  21789  maduf  21790  madutpos  21791  madugsum  21792  madulid  21794  minmar1marrep  21799  minmar1cl  21800  marep01ma  21809  smadiadetglem1  21820  smadiadetglem2  21821  matinv  21826  1pmatscmul  21851  1elcpmat  21864  mat2pmat1  21881  decpmatid  21919  idpm2idmp  21950  chmatcl  21977  chmatval  21978  chpmat1dlem  21984  chpmat1d  21985  chpdmatlem0  21986  chpdmatlem2  21988  chpdmatlem3  21989  chpidmat  21996  chmaidscmat  21997  cpmidgsumm2pm  22018  cpmidpmatlem2  22020  cpmidpmatlem3  22021  cpmadugsumlemB  22023  cpmadugsumfi  22026  cpmidgsum2  22028  chcoeffeqlem  22034  tlmtgp  23347  nrginvrcnlem  23855  clmvsubval  24272  cvsmuleqdivd  24297  cphsubrglem  24341  deg1pwle  25284  deg1pw  25285  ply1nz  25286  ply1remlem  25327  dchrmulcl  26397  dchrinv  26409  dchrhash  26419  lgsqrlem1  26494  lgsqrlem2  26495  lgsqrlem3  26496  lgsqrlem4  26497  dvdschrmulg  31483  frobrhm  31485  orng0le1  31511  ofldchr  31513  suborng  31514  isarchiofld  31516  elrhmunit  31519  imaslmod  31553  elrspunidl  31606  rhmpreimaprmidl  31627  mxidlprm  31640  asclmulg  31666  ply1chr  31669  rgmoddim  31693  drngdimgt0  31701  extdg1id  31738  submatminr1  31760  madjusmdetlem1  31777  zarcmplem  31831  zrhnm  31919  zrhchr  31926  qqh1  31935  qqhucn  31942  lflsub  37081  eqlkr  37113  eqlkr3  37115  lduallmodlem  37166  ldualvsubcl  37170  ldualvsubval  37171  dochfl1  39490  lcfrlem2  39557  lcdvsubval  39632  mapdpglem30  39716  hgmapval1  39907  hdmapglem5  39936  rnasclg  40223  pwspjmhmmgpd  40267  evlsbagval  40275  mhphf  40285  0prjspnrel  40464  mendlmod  41018  idomodle  41021  isdomn3  41029  mon1pid  41030  mon1psubm  41031  deg1mhm  41032  lidldomn1  45479  mgpsumn  45699  ply1sclrmsm  45724  coe1id  45725  evl1at1  45733  linc0scn0  45764  linc1  45766  islindeps2  45824  lmod1lem5  45832