Theorem ringidcl 20302

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20276	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20182	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 20220	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 18774	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  Basecbs 17236  Mndcmnd 18759  mulGrpcmgp 20177  1_rcur 20218  Ringcrg 20270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-plusg 17290  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mgp 20178  df-ur 20219  df-ring 20272

This theorem is referenced by:  ringidcld  20303  ringid  20311  ringo2times  20312  ringadd2  20313  ringcomlem  20316  ringnegl  20339  ringnegr  20340  ringmneg1  20341  ringmneg2  20342  pwspjmhmmgpd  20363  imasring  20366  xpsring1d  20369  opprring  20383  dvdsrid  20403  dvdsrneg  20406  1unit  20410  ringinvdv  20450  rngisomfv1  20501  rngisom1  20502  rngisomring1  20504  elrhmunit  20547  isnzr2  20555  isnzr2hash  20556  0ring01eq  20566  subrgid  20610  rrgnz  20741  isdomn3  20752  isdrng2  20780  isdrngd  20802  isdrngdOLD  20804  fidomndrnglem  20809  abv1z  20861  abvneg  20863  srng1  20890  issrngd  20892  orng0le1  20911  suborng  20913  lmod1cl  20944  lmodvsneg  20961  lmodsubvs  20973  lmodsubdi  20974  lmodsubdir  20975  lmodprop2d  20979  rmodislmod  20985  lssvnegcl  21011  prdslmodd  21024  lmodvsinv  21091  islmhm2  21093  lbsind2  21136  lspsneq  21180  lspexch  21187  lidl1el  21284  rsp1  21295  rhmqusnsg  21343  rngqiprng1elbas  21344  rngqiprngghmlem1  21345  rngqiprngimf  21355  rngqiprngimf1  21358  rng2idl1cntr  21363  rngqiprngfulem1  21369  rngqiprngfulem4  21372  rngqiprngfulem5  21373  rngqiprngu  21376  lpi1  21385  mulgrhm  21517  chrcl  21564  chrid  21565  chrdvds  21566  chrcong  21567  dvdschrmulg  21568  zncyg  21588  frobrhm  21615  ofldchr  21616  zrhpsgnelbas  21634  uvcvvcl2  21828  uvcff  21831  lindfind2  21858  sraassab  21908  asclf  21921  asclghm  21922  ascl0  21924  ascl1  21925  asclmul1  21926  asclmul2  21927  ascldimul  21928  rnascl  21931  assamulgscmlem1  21939  asclmulg  21942  psrlmod  21999  psr1cl  22000  psrascl  22018  mvrf  22024  mplsubrg  22044  mplmon  22076  mplmonmul  22077  mplcoe1  22078  mplind  22111  evlslem1  22123  evlsmaprhm  22172  mhppwdeg  22203  psd1  22220  psdascl  22221  coe1pwmul  22330  coe1id  22344  ply1idvr1OLD  22346  ply1chr  22357  lply1binomsc  22362  evls1maprhm  22427  rhmmpl  22431  rhmply1vr1  22435  mamumat1cl  22487  mat1bas  22497  matsc  22498  mat0dimid  22516  mat1mhm  22532  dmatid  22543  scmatscmide  22555  scmatscmiddistr  22556  scmatmats  22559  scmatscm  22561  scmatid  22562  scmataddcl  22564  scmatsubcl  22565  scmatmulcl  22566  smatvscl  22572  scmatrhmcl  22576  scmatf1  22579  scmatmhm  22582  mat0scmat  22586  mat1scmat  22587  mdet0pr  22640  mdet1  22649  mdetunilem8  22667  mdetunilem9  22668  mdetuni0  22669  mdetmul  22671  m2detleiblem5  22673  m2detleiblem6  22674  maducoeval2  22688  maduf  22689  madutpos  22690  madugsum  22691  madulid  22693  minmar1marrep  22698  minmar1cl  22699  marep01ma  22708  smadiadetglem1  22719  smadiadetglem2  22720  matinv  22725  1pmatscmul  22750  1elcpmat  22763  mat2pmat1  22780  decpmatid  22818  idpm2idmp  22849  chmatcl  22876  chmatval  22877  chpmat1dlem  22883  chpmat1d  22884  chpdmatlem0  22885  chpdmatlem2  22887  chpdmatlem3  22888  chpidmat  22895  chmaidscmat  22896  cpmidgsumm2pm  22917  cpmidpmatlem2  22919  cpmidpmatlem3  22920  cpmadugsumlemB  22922  cpmadugsumfi  22925  cpmidgsum2  22927  chcoeffeqlem  22933  tlmtgp  24244  nrginvrcnlem  24739  clmvsubval  25159  cvsmuleqdivd  25184  cphsubrglem  25227  deg1pwle  26168  deg1pw  26169  ply1nz  26170  mon1pid  26202  ply1remlem  26213  dchrmulcl  27301  dchrinv  27313  dchrhash  27323  lgsqrlem1  27398  lgsqrlem2  27399  lgsqrlem3  27400  lgsqrlem4  27401  isarchiofld  33340  elrgspnlem2  33385  fracerl  33454  fracfld  33456  primefldgen1  33469  imaslmod  33500  dvdsruasso  33532  rhmquskerlem  33572  elrspunidl  33575  elrspunsn  33576  drngidl  33580  drngidlhash  33581  rhmpreimaprmidl  33599  qsnzr  33603  ssdifidlprm  33606  prmidlsubm  33607  mxidlprm  33619  drnglidl1ne0  33624  drng0mxidl  33625  qsdrngilem  33643  qsdrnglem2  33645  rsprprmprmidl  33679  rprmasso2  33683  rprmirredlem  33687  rprmdvdsprod  33691  1arithufdlem4  33704  ressasclcl  33728  coe1mon  33744  deg1vr  33749  psrmon  33807  psrmonmul  33808  rlmdim  33868  drngdimgt0  33876  extdg1id  33924  ply1annnr  33961  rtelextdg2lem  33984  submatminr1  34068  madjusmdetlem1  34085  zarcmplem  34139  zrhnm  34225  zrhchr  34232  zrhcntr  34237  qqh1  34243  qqhucn  34250  lflsub  39652  eqlkr  39684  eqlkr3  39686  lduallmodlem  39737  ldualvsubcl  39741  ldualvsubval  39742  dochfl1  42061  lcfrlem2  42128  lcdvsubval  42203  mapdpglem30  42287  hgmapval1  42478  hdmapglem5  42507  rhmzrhval  42550  aks6d1c1p6  42692  deg1gprod  42718  deg1pow  42719  aks5lem2  42765  unitscyglem5  42777  rnasclg  43082  ricdrng1  43107  fidomncyc  43114  rhmpsr  43126  evlsbagval  43129  0prjspnrel  43170  mendlmod  43727  idomodle  43729  mon1psubm  43737  deg1mhm  43738  lidldomn1  48814  mgpsumn  48946  ply1sclrmsm  48967  evl1at1  48975  linc0scn0  49006  linc1  49008  islindeps2  49066  lmod1lem5  49074  asclelbasALT  49588