Theorem ringidcl 20212

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20186	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20092	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 20130	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 18686	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  Mndcmnd 18671  mulGrpcmgp 20087  1_rcur 20128  Ringcrg 20180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182

This theorem is referenced by:  ringidcld  20213  ringid  20221  ringo2times  20222  ringadd2  20223  ringcomlem  20226  ringnegl  20249  ringnegr  20250  ringmneg1  20251  ringmneg2  20252  pwspjmhmmgpd  20275  imasring  20278  xpsring1d  20281  opprring  20295  dvdsrid  20315  dvdsrneg  20318  1unit  20322  ringinvdv  20362  rngisomfv1  20413  rngisom1  20414  rngisomring1  20416  elrhmunit  20455  isnzr2  20463  isnzr2hash  20464  0ring01eq  20474  subrgid  20518  rrgnz  20649  isdomn3  20660  isdrng2  20688  isdrngd  20710  isdrngdOLD  20712  fidomndrnglem  20717  abv1z  20769  abvneg  20771  srng1  20798  issrngd  20800  orng0le1  20819  suborng  20821  lmod1cl  20852  lmodvsneg  20869  lmodsubvs  20881  lmodsubdi  20882  lmodsubdir  20883  lmodprop2d  20887  rmodislmod  20893  lssvnegcl  20919  prdslmodd  20932  lmodvsinv  21000  islmhm2  21002  lbsind2  21045  lspsneq  21089  lspexch  21096  lidl1el  21193  rsp1  21204  rhmqusnsg  21252  rngqiprng1elbas  21253  rngqiprngghmlem1  21254  rngqiprngimf  21264  rngqiprngimf1  21267  rng2idl1cntr  21272  rngqiprngfulem1  21278  rngqiprngfulem4  21281  rngqiprngfulem5  21282  rngqiprngu  21285  lpi1  21294  mulgrhm  21444  chrcl  21491  chrid  21492  chrdvds  21493  chrcong  21494  dvdschrmulg  21495  zncyg  21515  frobrhm  21542  ofldchr  21543  zrhpsgnelbas  21561  uvcvvcl2  21755  uvcff  21758  lindfind2  21785  sraassab  21835  asclf  21849  asclghm  21850  ascl0  21852  ascl1  21853  asclmul1  21854  asclmul2  21855  ascldimul  21856  rnascl  21859  assamulgscmlem1  21867  asclmulg  21870  psrlmod  21927  psr1cl  21928  psrascl  21946  mvrf  21952  mplsubrg  21972  mplmon  22002  mplmonmul  22003  mplcoe1  22004  mplind  22037  evlslem1  22049  mhppwdeg  22105  psd1  22122  psdascl  22123  coe1pwmul  22233  ply1scl0OLD  22245  ply1scl1OLD  22248  coe1id  22249  ply1idvr1OLD  22251  ply1chr  22262  lply1binomsc  22267  evls1maprhm  22332  rhmmpl  22339  rhmply1vr1  22343  mamumat1cl  22395  mat1bas  22405  matsc  22406  mat0dimid  22424  mat1mhm  22440  dmatid  22451  scmatscmide  22463  scmatscmiddistr  22464  scmatmats  22467  scmatscm  22469  scmatid  22470  scmataddcl  22472  scmatsubcl  22473  scmatmulcl  22474  smatvscl  22480  scmatrhmcl  22484  scmatf1  22487  scmatmhm  22490  mat0scmat  22494  mat1scmat  22495  mdet0pr  22548  mdet1  22557  mdetunilem8  22575  mdetunilem9  22576  mdetuni0  22577  mdetmul  22579  m2detleiblem5  22581  m2detleiblem6  22582  maducoeval2  22596  maduf  22597  madutpos  22598  madugsum  22599  madulid  22601  minmar1marrep  22606  minmar1cl  22607  marep01ma  22616  smadiadetglem1  22627  smadiadetglem2  22628  matinv  22633  1pmatscmul  22658  1elcpmat  22671  mat2pmat1  22688  decpmatid  22726  idpm2idmp  22757  chmatcl  22784  chmatval  22785  chpmat1dlem  22791  chpmat1d  22792  chpdmatlem0  22793  chpdmatlem2  22795  chpdmatlem3  22796  chpidmat  22803  chmaidscmat  22804  cpmidgsumm2pm  22825  cpmidpmatlem2  22827  cpmidpmatlem3  22828  cpmadugsumlemB  22830  cpmadugsumfi  22833  cpmidgsum2  22835  chcoeffeqlem  22841  tlmtgp  24152  nrginvrcnlem  24647  clmvsubval  25077  cvsmuleqdivd  25102  cphsubrglem  25145  deg1pwle  26093  deg1pw  26094  ply1nz  26095  mon1pid  26127  ply1remlem  26138  dchrmulcl  27228  dchrinv  27240  dchrhash  27250  lgsqrlem1  27325  lgsqrlem2  27326  lgsqrlem3  27327  lgsqrlem4  27328  isarchiofld  33292  elrgspnlem2  33336  fracerl  33399  fracfld  33401  primefldgen1  33414  imaslmod  33445  dvdsruasso  33477  rhmquskerlem  33517  elrspunidl  33520  elrspunsn  33521  drngidl  33525  drngidlhash  33526  rhmpreimaprmidl  33543  qsnzr  33547  ssdifidlprm  33550  mxidlprm  33562  mxidlirredi  33563  drnglidl1ne0  33567  drng0mxidl  33568  qsdrngilem  33586  qsdrnglem2  33588  rsprprmprmidl  33614  rprmasso2  33618  rprmirredlem  33622  rprmdvdsprod  33626  1arithufdlem4  33639  ressasclcl  33663  coe1mon  33679  deg1vr  33684  psrmon  33725  psrmonmul  33726  rlmdim  33786  rgmoddimOLD  33787  drngdimgt0  33795  extdg1id  33843  ply1annnr  33880  rtelextdg2lem  33903  submatminr1  33987  madjusmdetlem1  34004  zarcmplem  34058  zrhnm  34144  zrhchr  34151  zrhcntr  34156  qqh1  34162  qqhucn  34169  lflsub  39440  eqlkr  39472  eqlkr3  39474  lduallmodlem  39525  ldualvsubcl  39529  ldualvsubval  39530  dochfl1  41849  lcfrlem2  41916  lcdvsubval  41991  mapdpglem30  42075  hgmapval1  42266  hdmapglem5  42295  rhmzrhval  42338  aks6d1c1p6  42481  deg1gprod  42507  deg1pow  42508  aks5lem2  42554  unitscyglem5  42566  rnasclg  42866  ricdrng1  42895  fidomncyc  42902  rhmpsr  42917  evlsbagval  42924  evlsmaprhm  42928  0prjspnrel  42982  mendlmod  43543  idomodle  43545  mon1psubm  43553  deg1mhm  43554  lidldomn1  48588  mgpsumn  48720  ply1sclrmsm  48741  evl1at1  48749  linc0scn0  48780  linc1  48782  islindeps2  48840  lmod1lem5  48848  asclelbasALT  49362