Theorem ringidcl 20289

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20266	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20167	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 20210	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 18787	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  Mndcmnd 18772  mulGrpcmgp 20161  1_rcur 20208  Ringcrg 20260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262

This theorem is referenced by:  ringid  20297  ringo2times  20298  ringadd2  20299  ringcomlem  20302  ringnegl  20325  ringnegr  20326  ringmneg1  20327  ringmneg2  20328  pwspjmhmmgpd  20351  imasring  20353  xpsring1d  20356  opprring  20373  dvdsrid  20393  dvdsrneg  20396  1unit  20400  ringinvdv  20440  rngisomfv1  20491  rngisom1  20492  rngisomring1  20494  elrhmunit  20536  isnzr2  20544  isnzr2hash  20545  0ring01eq  20555  subrgid  20601  rrgnz  20726  isdomn3  20737  isdrng2  20765  isdrngd  20787  isdrngdOLD  20789  fidomndrnglem  20795  abv1z  20847  abvneg  20849  srng1  20876  issrngd  20878  lmod1cl  20909  lmodvsneg  20926  lmodsubvs  20938  lmodsubdi  20939  lmodsubdir  20940  lmodprop2d  20944  rmodislmod  20950  rmodislmodOLD  20951  lssvnegcl  20977  prdslmodd  20990  lmodvsinv  21058  islmhm2  21060  lbsind2  21103  lspsneq  21147  lspexch  21154  lidl1el  21259  rsp1  21270  rhmqusnsg  21318  rngqiprng1elbas  21319  rngqiprngghmlem1  21320  rngqiprngimf  21330  rngqiprngimf1  21333  rng2idl1cntr  21338  rngqiprngfulem1  21344  rngqiprngfulem4  21347  rngqiprngfulem5  21348  rngqiprngu  21351  lpi1  21360  mulgrhm  21511  chrcl  21562  chrid  21563  chrdvds  21564  chrcong  21565  dvdschrmulg  21566  zncyg  21590  frobrhm  21617  zrhpsgnelbas  21635  uvcvvcl2  21831  uvcff  21834  lindfind2  21861  sraassab  21911  asclf  21925  asclghm  21926  ascl0  21927  ascl1  21928  asclmul1  21929  asclmul2  21930  ascldimul  21931  rnascl  21934  assamulgscmlem1  21942  asclmulg  21945  psrlmod  22003  psr1cl  22004  psrascl  22022  mvrf  22028  mplsubrg  22048  mplmon  22076  mplmonmul  22077  mplcoe1  22078  mplind  22117  evlslem1  22129  mhppwdeg  22177  psd1  22194  psdascl  22195  coe1pwmul  22303  ply1scl0OLD  22315  ply1scl1OLD  22318  ply1idvr1OLD  22320  ply1chr  22331  lply1binomsc  22336  evls1maprhm  22401  rhmmpl  22408  rhmply1vr1  22412  mamumat1cl  22466  mat1bas  22476  matsc  22477  mat0dimid  22495  mat1mhm  22511  dmatid  22522  scmatscmide  22534  scmatscmiddistr  22535  scmatmats  22538  scmatscm  22540  scmatid  22541  scmataddcl  22543  scmatsubcl  22544  scmatmulcl  22545  smatvscl  22551  scmatrhmcl  22555  scmatf1  22558  scmatmhm  22561  mat0scmat  22565  mat1scmat  22566  mdet0pr  22619  mdet1  22628  mdetunilem8  22646  mdetunilem9  22647  mdetuni0  22648  mdetmul  22650  m2detleiblem5  22652  m2detleiblem6  22653  maducoeval2  22667  maduf  22668  madutpos  22669  madugsum  22670  madulid  22672  minmar1marrep  22677  minmar1cl  22678  marep01ma  22687  smadiadetglem1  22698  smadiadetglem2  22699  matinv  22704  1pmatscmul  22729  1elcpmat  22742  mat2pmat1  22759  decpmatid  22797  idpm2idmp  22828  chmatcl  22855  chmatval  22856  chpmat1dlem  22862  chpmat1d  22863  chpdmatlem0  22864  chpdmatlem2  22866  chpdmatlem3  22867  chpidmat  22874  chmaidscmat  22875  cpmidgsumm2pm  22896  cpmidpmatlem2  22898  cpmidpmatlem3  22899  cpmadugsumlemB  22901  cpmadugsumfi  22904  cpmidgsum2  22906  chcoeffeqlem  22912  tlmtgp  24225  nrginvrcnlem  24733  clmvsubval  25161  cvsmuleqdivd  25186  cphsubrglem  25230  deg1pwle  26179  deg1pw  26180  ply1nz  26181  mon1pid  26213  ply1remlem  26224  dchrmulcl  27311  dchrinv  27323  dchrhash  27333  lgsqrlem1  27408  lgsqrlem2  27409  lgsqrlem3  27410  lgsqrlem4  27411  fracerl  33273  fracfld  33275  primefldgen1  33288  orng0le1  33307  ofldchr  33309  suborng  33310  isarchiofld  33312  imaslmod  33346  dvdsruasso  33378  rhmquskerlem  33418  elrspunidl  33421  elrspunsn  33422  drngidl  33426  drngidlhash  33427  rhmpreimaprmidl  33444  qsnzr  33448  ssdifidlprm  33451  mxidlprm  33463  mxidlirredi  33464  drnglidl1ne0  33468  drng0mxidl  33469  qsdrngilem  33487  qsdrnglem2  33489  rsprprmprmidl  33515  rprmasso2  33519  rprmirredlem  33523  rprmdvdsprod  33527  1arithufdlem4  33540  ressasclcl  33561  coe1mon  33575  deg1vr  33579  rlmdim  33622  rgmoddimOLD  33623  drngdimgt0  33631  extdg1id  33676  ply1annnr  33696  rtelextdg2lem  33717  submatminr1  33756  madjusmdetlem1  33773  zarcmplem  33827  zrhnm  33915  zrhchr  33922  qqh1  33931  qqhucn  33938  lflsub  39023  eqlkr  39055  eqlkr3  39057  lduallmodlem  39108  ldualvsubcl  39112  ldualvsubval  39113  dochfl1  41433  lcfrlem2  41500  lcdvsubval  41575  mapdpglem30  41659  hgmapval1  41850  hdmapglem5  41879  rhmzrhval  41926  aks6d1c1p6  42071  deg1gprod  42097  deg1pow  42098  aks5lem2  42144  unitscyglem5  42156  rnasclg  42454  ricdrng1  42483  fidomncyc  42490  rhmpsr  42507  evlsbagval  42521  evlsmaprhm  42525  0prjspnrel  42582  mendlmod  43150  idomodle  43152  mon1psubm  43160  deg1mhm  43161  lidldomn1  47954  mgpsumn  48088  ply1sclrmsm  48112  coe1id  48113  evl1at1  48121  linc0scn0  48152  linc1  48154  islindeps2  48212  lmod1lem5  48220