Theorem ringidcl 20545

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by FL, 12-Feb-2010.) (Revised by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20516	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20416	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 20460	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 18989	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  Mndcmnd 18973  mulGrpcmgp 20411  1_rcur 20458  Ringcrg 20510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512

This theorem is used by:  ringidcld  20546  ringid  20554  ringo2times  20555  ringadd2  20556  ringcomlem  20559  ringnegl  20584  ringnegr  20585  ringmneg1  20586  ringmneg2  20587  pwspjmhmmgpd  20608  imasring  20611  xpsring1d  20614  opprring  20628  dvdsrid  20648  dvdsrneg  20651  1unit  20655  ringinvdv  20695  rngisomfv1  20746  rngisom1  20747  rngisomring1  20749  elrhmunit  20811  isnzr2  20819  drnglidl1ne0  20820  isnzr2hash  20821  0ring01eq  20831  subrgid  20876  rrgnz  21007  isdomn3  21017  isdrng2  21048  isdrng3lem1  21056  isdrng3lem2  21057  isdrngd  21073  isdrngdOLD  21075  fidomndrnglem  21081  abv1z  21132  abvneg  21134  srng1  21161  issrngd  21163  orng0le1  21182  suborng  21184  lmod1cl  21215  lmodvsneg  21232  lmodsubvs  21244  lmodsubdi  21245  lmodsubdir  21246  lmodprop2d  21250  rmodislmod  21256  lssvnegcl  21282  prdslmodd  21295  lmodvsinv  21362  islmhm2  21364  lbsind2  21407  lspsneq  21451  lspexch  21458  lidl1el  21556  rsp1  21571  drngidl  21590  rhmqusnsg  21632  rngqiprng1elbas  21633  rngqiprngghmlem1  21634  rngqiprngimf  21644  rngqiprngimf1  21647  rng2idl1cntr  21652  rngqiprngfulem1  21658  rngqiprngfulem4  21661  rngqiprngfulem5  21662  rngqiprngu  21665  rhmpreimaprmidl  21686  qsnzr  21690  ssdifidlprm  21693  prmidlsubm  21694  lpi1  21702  mulgrhm  21838  chrcl  21885  chrid  21886  chrdvds  21887  chrcong  21888  dvdschrmulg  21889  zncyg  21909  frobrhm  21936  ofldchr  21937  zrhpsgnelbas  21955  uvcvvcl2  22149  uvcff  22152  lindfind2  22179  sraassab  22231  asclf  22244  asclghm  22245  ascl0  22247  ascl1  22248  asclmul1  22249  asclmul2  22250  rnascl  22254  assamulgscmlem1  22262  asclmulg  22265  psrlmod  22322  psr1cl  22323  psrascl  22341  mvrf  22347  mplsubrg  22367  mplmon  22399  mplmonmul  22400  mplcoe1  22401  mplind  22434  evlslem1  22446  evlsmaprhm  22495  mhppwdeg  22526  psd1  22543  psdascl  22544  coe1pwmul  22653  coe1id  22667  ply1chr  22679  lply1binomsc  22684  evls1maprhm  22749  rhmmpl  22753  rhmply1vr1  22757  mamumat1cl  22809  mat1bas  22819  matsc  22820  mat0dimid  22838  mat1mhm  22854  dmatid  22865  scmatscmide  22877  scmatscmiddistr  22878  scmatmats  22881  scmatscm  22883  scmatid  22884  scmataddcl  22886  scmatsubcl  22887  scmatmulcl  22888  smatvscl  22894  scmatrhmcl  22898  scmatf1  22901  scmatmhm  22904  mat0scmat  22908  mat1scmat  22909  mdet0pr  22962  mdet1  22971  mdetunilem8  22989  mdetunilem9  22990  mdetuni0  22991  mdetmul  22993  m2detleiblem5  22995  m2detleiblem6  22996  maducoeval2  23010  maduf  23011  madutpos  23012  madugsum  23013  madulid  23015  minmar1marrep  23020  minmar1cl  23021  marep01ma  23030  smadiadetglem1  23041  smadiadetglem2  23042  matinv  23047  1pmatscmul  23075  1elcpmat  23088  mat2pmat1  23105  decpmatid  23143  idpm2idmp  23174  chmatcl  23201  chmatval  23202  chpmat1dlem  23208  chpmat1d  23209  chpdmatlem0  23210  chpdmatlem2  23212  chpdmatlem3  23213  chpidmat  23220  chmaidscmat  23221  cpmidgsumm2pm  23242  cpmidpmatlem2  23244  cpmidpmatlem3  23245  cpmadugsumlemB  23247  cpmadugsumfi  23250  cpmidgsum2  23252  chcoeffeqlem  23258  tlmtgp  24570  nrginvrcnlem  25065  clmvsubval  25485  cvsmuleqdivd  25510  cphsubrglem  25553  deg1pwle  26493  deg1pw  26494  ply1nz  26495  mon1pid  26527  ply1remlem  26538  dchrmulcl  27633  dchrinv  27645  dchrhash  27655  lgsqrlem1  27730  lgsqrlem2  27731  lgsqrlem3  27732  lgsqrlem4  27733  isarchiofld  33859  elrgspnlem2  33903  fracerl  33972  fracfld  33974  primefldgen1  33987  imaslmod  34018  dvdsruasso  34044  rhmquskerlem  34079  elrspunidl  34082  elrspunsn  34083  drngidlhash  34087  mxidlprm  34099  drng0mxidl  34104  qsdrngilem  34122  qsdrnglem2  34124  rsprprmprmidl  34158  rprmasso2  34162  rprmirredlem  34166  rprmdvdsprod  34170  1arithufdlem4  34183  ressasclcl  34206  coe1mon  34222  deg1vr  34227  psrmon  34292  psrmonmul  34293  rlmdim  34353  drngdimgt0  34361  extdg1id  34409  ply1annnr  34446  rtelextdg2lem  34469  submatminr1  34553  madjusmdetlem1  34570  zarcmplem  34624  zrhnm  34710  zrhchr  34717  zrhcntr  34722  qqh1  34728  qqhucn  34735  lflsub  40390  eqlkr  40422  eqlkr3  40424  lduallmodlem  40475  ldualvsubcl  40479  ldualvsubval  40480  dochfl1  42799  lcfrlem2  42866  lcdvsubval  42941  mapdpglem30  43025  hgmapval1  43216  hdmapglem5  43245  rhmzrhval  43288  aks6d1c1p6  43430  deg1gprod  43456  deg1pow  43457  aks5lem2  43503  unitscyglem5  43515  rnasclg  43829  ricdrng1  43858  fidomncyc  43865  rhmpsr  43877  evlsbagval  43880  0prjspnrel  43929  mendlmod  44452  idomodle  44454  mon1psubm  44462  deg1mhm  44463  lidldomn1  49601  smprngprmrng  49767  isidom3  49773  mgpsumn  49806  ply1sclrmsm  49827  evl1at1  49835  linc0scn0  49866  linc1  49868  islindeps2  49926  lmod1lem5  49934  asclelbasALT  50451