Theorem ringidcl 20174

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20148	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20054	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 20092	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 18676	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  Mndcmnd 18661  mulGrpcmgp 20049  1_rcur 20090  Ringcrg 20142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144

This theorem is referenced by:  ringidcld  20175  ringid  20183  ringo2times  20184  ringadd2  20185  ringcomlem  20188  ringnegl  20211  ringnegr  20212  ringmneg1  20213  ringmneg2  20214  pwspjmhmmgpd  20237  imasring  20239  xpsring1d  20242  opprring  20256  dvdsrid  20276  dvdsrneg  20279  1unit  20283  ringinvdv  20323  rngisomfv1  20374  rngisom1  20375  rngisomring1  20377  elrhmunit  20419  isnzr2  20427  isnzr2hash  20428  0ring01eq  20438  subrgid  20482  rrgnz  20613  isdomn3  20624  isdrng2  20652  isdrngd  20674  isdrngdOLD  20676  fidomndrnglem  20681  abv1z  20733  abvneg  20735  srng1  20762  issrngd  20764  lmod1cl  20795  lmodvsneg  20812  lmodsubvs  20824  lmodsubdi  20825  lmodsubdir  20826  lmodprop2d  20830  rmodislmod  20836  lssvnegcl  20862  prdslmodd  20875  lmodvsinv  20943  islmhm2  20945  lbsind2  20988  lspsneq  21032  lspexch  21039  lidl1el  21136  rsp1  21147  rhmqusnsg  21195  rngqiprng1elbas  21196  rngqiprngghmlem1  21197  rngqiprngimf  21207  rngqiprngimf1  21210  rng2idl1cntr  21215  rngqiprngfulem1  21221  rngqiprngfulem4  21224  rngqiprngfulem5  21225  rngqiprngu  21228  lpi1  21237  mulgrhm  21387  chrcl  21434  chrid  21435  chrdvds  21436  chrcong  21437  dvdschrmulg  21438  zncyg  21458  frobrhm  21485  zrhpsgnelbas  21503  uvcvvcl2  21697  uvcff  21700  lindfind2  21727  sraassab  21777  asclf  21791  asclghm  21792  ascl0  21793  ascl1  21794  asclmul1  21795  asclmul2  21796  ascldimul  21797  rnascl  21800  assamulgscmlem1  21808  asclmulg  21811  psrlmod  21869  psr1cl  21870  psrascl  21888  mvrf  21894  mplsubrg  21914  mplmon  21942  mplmonmul  21943  mplcoe1  21944  mplind  21977  evlslem1  21989  mhppwdeg  22037  psd1  22054  psdascl  22055  coe1pwmul  22165  ply1scl0OLD  22177  ply1scl1OLD  22180  ply1idvr1OLD  22182  ply1chr  22193  lply1binomsc  22198  evls1maprhm  22263  rhmmpl  22270  rhmply1vr1  22274  mamumat1cl  22326  mat1bas  22336  matsc  22337  mat0dimid  22355  mat1mhm  22371  dmatid  22382  scmatscmide  22394  scmatscmiddistr  22395  scmatmats  22398  scmatscm  22400  scmatid  22401  scmataddcl  22403  scmatsubcl  22404  scmatmulcl  22405  smatvscl  22411  scmatrhmcl  22415  scmatf1  22418  scmatmhm  22421  mat0scmat  22425  mat1scmat  22426  mdet0pr  22479  mdet1  22488  mdetunilem8  22506  mdetunilem9  22507  mdetuni0  22508  mdetmul  22510  m2detleiblem5  22512  m2detleiblem6  22513  maducoeval2  22527  maduf  22528  madutpos  22529  madugsum  22530  madulid  22532  minmar1marrep  22537  minmar1cl  22538  marep01ma  22547  smadiadetglem1  22558  smadiadetglem2  22559  matinv  22564  1pmatscmul  22589  1elcpmat  22602  mat2pmat1  22619  decpmatid  22657  idpm2idmp  22688  chmatcl  22715  chmatval  22716  chpmat1dlem  22722  chpmat1d  22723  chpdmatlem0  22724  chpdmatlem2  22726  chpdmatlem3  22727  chpidmat  22734  chmaidscmat  22735  cpmidgsumm2pm  22756  cpmidpmatlem2  22758  cpmidpmatlem3  22759  cpmadugsumlemB  22761  cpmadugsumfi  22764  cpmidgsum2  22766  chcoeffeqlem  22772  tlmtgp  24083  nrginvrcnlem  24579  clmvsubval  25009  cvsmuleqdivd  25034  cphsubrglem  25077  deg1pwle  26025  deg1pw  26026  ply1nz  26027  mon1pid  26059  ply1remlem  26070  dchrmulcl  27160  dchrinv  27172  dchrhash  27182  lgsqrlem1  27257  lgsqrlem2  27258  lgsqrlem3  27259  lgsqrlem4  27260  elrgspnlem2  33194  fracerl  33256  fracfld  33258  primefldgen1  33271  orng0le1  33290  ofldchr  33292  suborng  33293  isarchiofld  33295  imaslmod  33324  dvdsruasso  33356  rhmquskerlem  33396  elrspunidl  33399  elrspunsn  33400  drngidl  33404  drngidlhash  33405  rhmpreimaprmidl  33422  qsnzr  33426  ssdifidlprm  33429  mxidlprm  33441  mxidlirredi  33442  drnglidl1ne0  33446  drng0mxidl  33447  qsdrngilem  33465  qsdrnglem2  33467  rsprprmprmidl  33493  rprmasso2  33497  rprmirredlem  33501  rprmdvdsprod  33505  1arithufdlem4  33518  ressasclcl  33540  coe1mon  33554  deg1vr  33558  rlmdim  33605  rgmoddimOLD  33606  drngdimgt0  33614  extdg1id  33661  ply1annnr  33693  rtelextdg2lem  33716  submatminr1  33800  madjusmdetlem1  33817  zarcmplem  33871  zrhnm  33957  zrhchr  33964  zrhcntr  33969  qqh1  33975  qqhucn  33982  lflsub  39060  eqlkr  39092  eqlkr3  39094  lduallmodlem  39145  ldualvsubcl  39149  ldualvsubval  39150  dochfl1  41470  lcfrlem2  41537  lcdvsubval  41612  mapdpglem30  41696  hgmapval1  41887  hdmapglem5  41916  rhmzrhval  41959  aks6d1c1p6  42102  deg1gprod  42128  deg1pow  42129  aks5lem2  42175  unitscyglem5  42187  rnasclg  42487  ricdrng1  42516  fidomncyc  42523  rhmpsr  42540  evlsbagval  42554  evlsmaprhm  42558  0prjspnrel  42615  mendlmod  43178  idomodle  43180  mon1psubm  43188  deg1mhm  43189  lidldomn1  48219  mgpsumn  48351  ply1sclrmsm  48372  coe1id  48373  evl1at1  48381  linc0scn0  48412  linc1  48414  islindeps2  48472  lmod1lem5  48480  asclelbasALT  48995