Theorem ringidcl 20246

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20220	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20126	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 20164	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 18717	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  Mndcmnd 18702  mulGrpcmgp 20121  1_rcur 20162  Ringcrg 20214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216

This theorem is referenced by:  ringidcld  20247  ringid  20255  ringo2times  20256  ringadd2  20257  ringcomlem  20260  ringnegl  20283  ringnegr  20284  ringmneg1  20285  ringmneg2  20286  pwspjmhmmgpd  20307  imasring  20310  xpsring1d  20313  opprring  20327  dvdsrid  20347  dvdsrneg  20350  1unit  20354  ringinvdv  20394  rngisomfv1  20445  rngisom1  20446  rngisomring1  20448  elrhmunit  20487  isnzr2  20495  isnzr2hash  20496  0ring01eq  20506  subrgid  20550  rrgnz  20681  isdomn3  20692  isdrng2  20720  isdrngd  20742  isdrngdOLD  20744  fidomndrnglem  20749  abv1z  20801  abvneg  20803  srng1  20830  issrngd  20832  orng0le1  20851  suborng  20853  lmod1cl  20884  lmodvsneg  20901  lmodsubvs  20913  lmodsubdi  20914  lmodsubdir  20915  lmodprop2d  20919  rmodislmod  20925  lssvnegcl  20951  prdslmodd  20964  lmodvsinv  21031  islmhm2  21033  lbsind2  21076  lspsneq  21120  lspexch  21127  lidl1el  21224  rsp1  21235  rhmqusnsg  21283  rngqiprng1elbas  21284  rngqiprngghmlem1  21285  rngqiprngimf  21295  rngqiprngimf1  21298  rng2idl1cntr  21303  rngqiprngfulem1  21309  rngqiprngfulem4  21312  rngqiprngfulem5  21313  rngqiprngu  21316  lpi1  21325  mulgrhm  21457  chrcl  21504  chrid  21505  chrdvds  21506  chrcong  21507  dvdschrmulg  21508  zncyg  21528  frobrhm  21555  ofldchr  21556  zrhpsgnelbas  21574  uvcvvcl2  21768  uvcff  21771  lindfind2  21798  sraassab  21848  asclf  21861  asclghm  21862  ascl0  21864  ascl1  21865  asclmul1  21866  asclmul2  21867  ascldimul  21868  rnascl  21871  assamulgscmlem1  21879  asclmulg  21882  psrlmod  21938  psr1cl  21939  psrascl  21957  mvrf  21963  mplsubrg  21983  mplmon  22013  mplmonmul  22014  mplcoe1  22015  mplind  22048  evlslem1  22060  mhppwdeg  22116  psd1  22133  psdascl  22134  coe1pwmul  22244  coe1id  22258  ply1idvr1OLD  22260  ply1chr  22271  lply1binomsc  22276  evls1maprhm  22341  rhmmpl  22348  rhmply1vr1  22352  mamumat1cl  22404  mat1bas  22414  matsc  22415  mat0dimid  22433  mat1mhm  22449  dmatid  22460  scmatscmide  22472  scmatscmiddistr  22473  scmatmats  22476  scmatscm  22478  scmatid  22479  scmataddcl  22481  scmatsubcl  22482  scmatmulcl  22483  smatvscl  22489  scmatrhmcl  22493  scmatf1  22496  scmatmhm  22499  mat0scmat  22503  mat1scmat  22504  mdet0pr  22557  mdet1  22566  mdetunilem8  22584  mdetunilem9  22585  mdetuni0  22586  mdetmul  22588  m2detleiblem5  22590  m2detleiblem6  22591  maducoeval2  22605  maduf  22606  madutpos  22607  madugsum  22608  madulid  22610  minmar1marrep  22615  minmar1cl  22616  marep01ma  22625  smadiadetglem1  22636  smadiadetglem2  22637  matinv  22642  1pmatscmul  22667  1elcpmat  22680  mat2pmat1  22697  decpmatid  22735  idpm2idmp  22766  chmatcl  22793  chmatval  22794  chpmat1dlem  22800  chpmat1d  22801  chpdmatlem0  22802  chpdmatlem2  22804  chpdmatlem3  22805  chpidmat  22812  chmaidscmat  22813  cpmidgsumm2pm  22834  cpmidpmatlem2  22836  cpmidpmatlem3  22837  cpmadugsumlemB  22839  cpmadugsumfi  22842  cpmidgsum2  22844  chcoeffeqlem  22850  tlmtgp  24161  nrginvrcnlem  24656  clmvsubval  25076  cvsmuleqdivd  25101  cphsubrglem  25144  deg1pwle  26085  deg1pw  26086  ply1nz  26087  mon1pid  26119  ply1remlem  26130  dchrmulcl  27212  dchrinv  27224  dchrhash  27234  lgsqrlem1  27309  lgsqrlem2  27310  lgsqrlem3  27311  lgsqrlem4  27312  isarchiofld  33260  elrgspnlem2  33304  fracerl  33367  fracfld  33369  primefldgen1  33382  imaslmod  33413  dvdsruasso  33445  rhmquskerlem  33485  elrspunidl  33488  elrspunsn  33489  drngidl  33493  drngidlhash  33494  rhmpreimaprmidl  33511  qsnzr  33515  ssdifidlprm  33518  mxidlprm  33530  mxidlirredi  33531  drnglidl1ne0  33535  drng0mxidl  33536  qsdrngilem  33554  qsdrnglem2  33556  rsprprmprmidl  33582  rprmasso2  33586  rprmirredlem  33590  rprmdvdsprod  33594  1arithufdlem4  33607  ressasclcl  33631  coe1mon  33647  deg1vr  33652  psrmon  33693  psrmonmul  33694  rlmdim  33754  drngdimgt0  33762  extdg1id  33810  ply1annnr  33847  rtelextdg2lem  33870  submatminr1  33954  madjusmdetlem1  33971  zarcmplem  34025  zrhnm  34111  zrhchr  34118  zrhcntr  34123  qqh1  34129  qqhucn  34136  lflsub  39513  eqlkr  39545  eqlkr3  39547  lduallmodlem  39598  ldualvsubcl  39602  ldualvsubval  39603  dochfl1  41922  lcfrlem2  41989  lcdvsubval  42064  mapdpglem30  42148  hgmapval1  42339  hdmapglem5  42368  rhmzrhval  42411  aks6d1c1p6  42553  deg1gprod  42579  deg1pow  42580  aks5lem2  42626  unitscyglem5  42638  rnasclg  42944  ricdrng1  42973  fidomncyc  42980  rhmpsr  42995  evlsbagval  43002  evlsmaprhm  43006  0prjspnrel  43060  mendlmod  43617  idomodle  43619  mon1psubm  43627  deg1mhm  43628  lidldomn1  48707  mgpsumn  48839  ply1sclrmsm  48860  evl1at1  48868  linc0scn0  48899  linc1  48901  islindeps2  48959  lmod1lem5  48967  asclelbasALT  49481