Theorem ringidcl 20373

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20345	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20245	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 20289	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 18829	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  Basecbs 17287  Mndcmnd 18814  mulGrpcmgp 20240  1_rcur 20287  Ringcrg 20339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-plusg 17341  df-0g 17512  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-mgp 20241  df-ur 20288  df-ring 20341

This theorem is used by:  ringidcld  20374  ringid  20382  ringo2times  20383  ringadd2  20384  ringcomlem  20387  ringnegl  20411  ringnegr  20412  ringmneg1  20413  ringmneg2  20414  pwspjmhmmgpd  20435  imasring  20438  xpsring1d  20441  opprring  20455  dvdsrid  20475  dvdsrneg  20478  1unit  20482  ringinvdv  20522  rngisomfv1  20573  rngisom1  20574  rngisomring1  20576  elrhmunit  20637  isnzr2  20645  drnglidl1ne0  20646  isnzr2hash  20647  0ring01eq  20657  subrgid  20702  rrgnz  20833  isdomn3  20843  isdrng2  20873  isdrng3lem1  20881  isdrng3lem2  20882  isdrngd  20898  isdrngdOLD  20900  fidomndrnglem  20906  abv1z  20957  abvneg  20959  srng1  20986  issrngd  20988  orng0le1  21007  suborng  21009  lmod1cl  21040  lmodvsneg  21057  lmodsubvs  21069  lmodsubdi  21070  lmodsubdir  21071  lmodprop2d  21075  rmodislmod  21081  lssvnegcl  21107  prdslmodd  21120  lmodvsinv  21187  islmhm2  21189  lbsind2  21232  lspsneq  21276  lspexch  21283  lidl1el  21381  rsp1  21396  drngidl  21415  rhmqusnsg  21455  rngqiprng1elbas  21456  rngqiprngghmlem1  21457  rngqiprngimf  21467  rngqiprngimf1  21470  rng2idl1cntr  21475  rngqiprngfulem1  21481  rngqiprngfulem4  21484  rngqiprngfulem5  21485  rngqiprngu  21488  rhmpreimaprmidl  21509  qsnzr  21513  ssdifidlprm  21516  prmidlsubm  21517  lpi1  21525  mulgrhm  21657  chrcl  21704  chrid  21705  chrdvds  21706  chrcong  21707  dvdschrmulg  21708  zncyg  21728  frobrhm  21755  ofldchr  21756  zrhpsgnelbas  21774  uvcvvcl2  21968  uvcff  21971  lindfind2  21998  sraassab  22048  asclf  22061  asclghm  22062  ascl0  22064  ascl1  22065  asclmul1  22066  asclmul2  22067  rnascl  22071  assamulgscmlem1  22079  asclmulg  22082  psrlmod  22139  psr1cl  22140  psrascl  22158  mvrf  22164  mplsubrg  22184  mplmon  22216  mplmonmul  22217  mplcoe1  22218  mplind  22251  evlslem1  22263  evlsmaprhm  22312  mhppwdeg  22343  psd1  22360  psdascl  22361  coe1pwmul  22470  coe1id  22484  ply1chr  22496  lply1binomsc  22501  evls1maprhm  22566  rhmmpl  22570  rhmply1vr1  22574  mamumat1cl  22626  mat1bas  22636  matsc  22637  mat0dimid  22655  mat1mhm  22671  dmatid  22682  scmatscmide  22694  scmatscmiddistr  22695  scmatmats  22698  scmatscm  22700  scmatid  22701  scmataddcl  22703  scmatsubcl  22704  scmatmulcl  22705  smatvscl  22711  scmatrhmcl  22715  scmatf1  22718  scmatmhm  22721  mat0scmat  22725  mat1scmat  22726  mdet0pr  22779  mdet1  22788  mdetunilem8  22806  mdetunilem9  22807  mdetuni0  22808  mdetmul  22810  m2detleiblem5  22812  m2detleiblem6  22813  maducoeval2  22827  maduf  22828  madutpos  22829  madugsum  22830  madulid  22832  minmar1marrep  22837  minmar1cl  22838  marep01ma  22847  smadiadetglem1  22858  smadiadetglem2  22859  matinv  22864  1pmatscmul  22889  1elcpmat  22902  mat2pmat1  22919  decpmatid  22957  idpm2idmp  22988  chmatcl  23015  chmatval  23016  chpmat1dlem  23022  chpmat1d  23023  chpdmatlem0  23024  chpdmatlem2  23026  chpdmatlem3  23027  chpidmat  23034  chmaidscmat  23035  cpmidgsumm2pm  23056  cpmidpmatlem2  23058  cpmidpmatlem3  23059  cpmadugsumlemB  23061  cpmadugsumfi  23064  cpmidgsum2  23066  chcoeffeqlem  23072  tlmtgp  24384  nrginvrcnlem  24879  clmvsubval  25299  cvsmuleqdivd  25324  cphsubrglem  25367  deg1pwle  26308  deg1pw  26309  ply1nz  26310  mon1pid  26342  ply1remlem  26353  dchrmulcl  27444  dchrinv  27456  dchrhash  27466  lgsqrlem1  27541  lgsqrlem2  27542  lgsqrlem3  27543  lgsqrlem4  27544  isarchiofld  33559  elrgspnlem2  33603  fracerl  33667  fracfld  33669  primefldgen1  33682  imaslmod  33713  dvdsruasso  33738  rhmquskerlem  33773  elrspunidl  33776  elrspunsn  33777  drngidlhash  33781  mxidlprm  33793  drng0mxidl  33798  qsdrngilem  33816  qsdrnglem2  33818  rsprprmprmidl  33852  rprmasso2  33856  rprmirredlem  33860  rprmdvdsprod  33864  1arithufdlem4  33877  ressasclcl  33901  coe1mon  33917  deg1vr  33922  psrmon  33979  psrmonmul  33980  rlmdim  34040  drngdimgt0  34048  extdg1id  34096  ply1annnr  34133  rtelextdg2lem  34156  submatminr1  34240  madjusmdetlem1  34257  zarcmplem  34311  zrhnm  34397  zrhchr  34404  zrhcntr  34409  qqh1  34415  qqhucn  34422  lflsub  39874  eqlkr  39906  eqlkr3  39908  lduallmodlem  39959  ldualvsubcl  39963  ldualvsubval  39964  dochfl1  42283  lcfrlem2  42350  lcdvsubval  42425  mapdpglem30  42509  hgmapval1  42700  hdmapglem5  42729  rhmzrhval  42772  aks6d1c1p6  42914  deg1gprod  42940  deg1pow  42941  aks5lem2  42987  unitscyglem5  42999  rnasclg  43306  ricdrng1  43329  fidomncyc  43336  rhmpsr  43348  evlsbagval  43351  0prjspnrel  43392  mendlmod  43949  idomodle  43951  mon1psubm  43959  deg1mhm  43960  lidldomn1  49029  smprngprmrng  49137  isidom3  49143  mgpsumn  49176  ply1sclrmsm  49197  evl1at1  49205  linc0scn0  49236  linc1  49238  islindeps2  49296  lmod1lem5  49304  asclelbasALT  49817