Theorem ringidcl 20184

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20158	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20064	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 20102	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 18657	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  Mndcmnd 18642  mulGrpcmgp 20059  1_rcur 20100  Ringcrg 20152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mgp 20060  df-ur 20101  df-ring 20154

This theorem is referenced by:  ringidcld  20185  ringid  20193  ringo2times  20194  ringadd2  20195  ringcomlem  20198  ringnegl  20221  ringnegr  20222  ringmneg1  20223  ringmneg2  20224  pwspjmhmmgpd  20247  imasring  20249  xpsring1d  20252  opprring  20266  dvdsrid  20286  dvdsrneg  20289  1unit  20293  ringinvdv  20333  rngisomfv1  20384  rngisom1  20385  rngisomring1  20387  elrhmunit  20426  isnzr2  20434  isnzr2hash  20435  0ring01eq  20445  subrgid  20489  rrgnz  20620  isdomn3  20631  isdrng2  20659  isdrngd  20681  isdrngdOLD  20683  fidomndrnglem  20688  abv1z  20740  abvneg  20742  srng1  20769  issrngd  20771  orng0le1  20790  suborng  20792  lmod1cl  20823  lmodvsneg  20840  lmodsubvs  20852  lmodsubdi  20853  lmodsubdir  20854  lmodprop2d  20858  rmodislmod  20864  lssvnegcl  20890  prdslmodd  20903  lmodvsinv  20971  islmhm2  20973  lbsind2  21016  lspsneq  21060  lspexch  21067  lidl1el  21164  rsp1  21175  rhmqusnsg  21223  rngqiprng1elbas  21224  rngqiprngghmlem1  21225  rngqiprngimf  21235  rngqiprngimf1  21238  rng2idl1cntr  21243  rngqiprngfulem1  21249  rngqiprngfulem4  21252  rngqiprngfulem5  21253  rngqiprngu  21256  lpi1  21265  mulgrhm  21415  chrcl  21462  chrid  21463  chrdvds  21464  chrcong  21465  dvdschrmulg  21466  zncyg  21486  frobrhm  21513  ofldchr  21514  zrhpsgnelbas  21532  uvcvvcl2  21726  uvcff  21729  lindfind2  21756  sraassab  21806  asclf  21820  asclghm  21821  ascl0  21822  ascl1  21823  asclmul1  21824  asclmul2  21825  ascldimul  21826  rnascl  21829  assamulgscmlem1  21837  asclmulg  21840  psrlmod  21898  psr1cl  21899  psrascl  21917  mvrf  21923  mplsubrg  21943  mplmon  21971  mplmonmul  21972  mplcoe1  21973  mplind  22006  evlslem1  22018  mhppwdeg  22066  psd1  22083  psdascl  22084  coe1pwmul  22194  ply1scl0OLD  22206  ply1scl1OLD  22209  ply1idvr1OLD  22211  ply1chr  22222  lply1binomsc  22227  evls1maprhm  22292  rhmmpl  22299  rhmply1vr1  22303  mamumat1cl  22355  mat1bas  22365  matsc  22366  mat0dimid  22384  mat1mhm  22400  dmatid  22411  scmatscmide  22423  scmatscmiddistr  22424  scmatmats  22427  scmatscm  22429  scmatid  22430  scmataddcl  22432  scmatsubcl  22433  scmatmulcl  22434  smatvscl  22440  scmatrhmcl  22444  scmatf1  22447  scmatmhm  22450  mat0scmat  22454  mat1scmat  22455  mdet0pr  22508  mdet1  22517  mdetunilem8  22535  mdetunilem9  22536  mdetuni0  22537  mdetmul  22539  m2detleiblem5  22541  m2detleiblem6  22542  maducoeval2  22556  maduf  22557  madutpos  22558  madugsum  22559  madulid  22561  minmar1marrep  22566  minmar1cl  22567  marep01ma  22576  smadiadetglem1  22587  smadiadetglem2  22588  matinv  22593  1pmatscmul  22618  1elcpmat  22631  mat2pmat1  22648  decpmatid  22686  idpm2idmp  22717  chmatcl  22744  chmatval  22745  chpmat1dlem  22751  chpmat1d  22752  chpdmatlem0  22753  chpdmatlem2  22755  chpdmatlem3  22756  chpidmat  22763  chmaidscmat  22764  cpmidgsumm2pm  22785  cpmidpmatlem2  22787  cpmidpmatlem3  22788  cpmadugsumlemB  22790  cpmadugsumfi  22793  cpmidgsum2  22795  chcoeffeqlem  22801  tlmtgp  24112  nrginvrcnlem  24607  clmvsubval  25037  cvsmuleqdivd  25062  cphsubrglem  25105  deg1pwle  26053  deg1pw  26054  ply1nz  26055  mon1pid  26087  ply1remlem  26098  dchrmulcl  27188  dchrinv  27200  dchrhash  27210  lgsqrlem1  27285  lgsqrlem2  27286  lgsqrlem3  27287  lgsqrlem4  27288  isarchiofld  33166  elrgspnlem2  33208  fracerl  33270  fracfld  33272  primefldgen1  33285  imaslmod  33316  dvdsruasso  33348  rhmquskerlem  33388  elrspunidl  33391  elrspunsn  33392  drngidl  33396  drngidlhash  33397  rhmpreimaprmidl  33414  qsnzr  33418  ssdifidlprm  33421  mxidlprm  33433  mxidlirredi  33434  drnglidl1ne0  33438  drng0mxidl  33439  qsdrngilem  33457  qsdrnglem2  33459  rsprprmprmidl  33485  rprmasso2  33489  rprmirredlem  33493  rprmdvdsprod  33497  1arithufdlem4  33510  ressasclcl  33532  coe1mon  33547  deg1vr  33551  rlmdim  33620  rgmoddimOLD  33621  drngdimgt0  33629  extdg1id  33677  ply1annnr  33714  rtelextdg2lem  33737  submatminr1  33821  madjusmdetlem1  33838  zarcmplem  33892  zrhnm  33978  zrhchr  33985  zrhcntr  33990  qqh1  33996  qqhucn  34003  lflsub  39112  eqlkr  39144  eqlkr3  39146  lduallmodlem  39197  ldualvsubcl  39201  ldualvsubval  39202  dochfl1  41521  lcfrlem2  41588  lcdvsubval  41663  mapdpglem30  41747  hgmapval1  41938  hdmapglem5  41967  rhmzrhval  42010  aks6d1c1p6  42153  deg1gprod  42179  deg1pow  42180  aks5lem2  42226  unitscyglem5  42238  rnasclg  42538  ricdrng1  42567  fidomncyc  42574  rhmpsr  42591  evlsbagval  42605  evlsmaprhm  42609  0prjspnrel  42666  mendlmod  43228  idomodle  43230  mon1psubm  43238  deg1mhm  43239  lidldomn1  48268  mgpsumn  48400  ply1sclrmsm  48421  coe1id  48422  evl1at1  48430  linc0scn0  48461  linc1  48463  islindeps2  48521  lmod1lem5  48529  asclelbasALT  49044