Theorem ringidcl 20406

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20378	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20278	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 20322	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 18852	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  Mndcmnd 18836  mulGrpcmgp 20273  1_rcur 20320  Ringcrg 20372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mgp 20274  df-ur 20321  df-ring 20374

This theorem is used by:  ringidcld  20407  ringid  20415  ringo2times  20416  ringadd2  20417  ringcomlem  20420  ringnegl  20444  ringnegr  20445  ringmneg1  20446  ringmneg2  20447  pwspjmhmmgpd  20468  imasring  20471  xpsring1d  20474  opprring  20488  dvdsrid  20508  dvdsrneg  20511  1unit  20515  ringinvdv  20555  rngisomfv1  20606  rngisom1  20607  rngisomring1  20609  elrhmunit  20670  isnzr2  20678  drnglidl1ne0  20679  isnzr2hash  20680  0ring01eq  20690  subrgid  20735  rrgnz  20866  isdomn3  20876  isdrng2  20906  isdrng3lem1  20914  isdrng3lem2  20915  isdrngd  20931  isdrngdOLD  20933  fidomndrnglem  20939  abv1z  20990  abvneg  20992  srng1  21019  issrngd  21021  orng0le1  21040  suborng  21042  lmod1cl  21073  lmodvsneg  21090  lmodsubvs  21102  lmodsubdi  21103  lmodsubdir  21104  lmodprop2d  21108  rmodislmod  21114  lssvnegcl  21140  prdslmodd  21153  lmodvsinv  21220  islmhm2  21222  lbsind2  21265  lspsneq  21309  lspexch  21316  lidl1el  21414  rsp1  21429  drngidl  21448  rhmqusnsg  21488  rngqiprng1elbas  21489  rngqiprngghmlem1  21490  rngqiprngimf  21500  rngqiprngimf1  21503  rng2idl1cntr  21508  rngqiprngfulem1  21514  rngqiprngfulem4  21517  rngqiprngfulem5  21518  rngqiprngu  21521  rhmpreimaprmidl  21542  qsnzr  21546  ssdifidlprm  21549  prmidlsubm  21550  lpi1  21558  mulgrhm  21690  chrcl  21737  chrid  21738  chrdvds  21739  chrcong  21740  dvdschrmulg  21741  zncyg  21761  frobrhm  21788  ofldchr  21789  zrhpsgnelbas  21807  uvcvvcl2  22001  uvcff  22004  lindfind2  22031  sraassab  22083  asclf  22096  asclghm  22097  ascl0  22099  ascl1  22100  asclmul1  22101  asclmul2  22102  rnascl  22106  assamulgscmlem1  22114  asclmulg  22117  psrlmod  22174  psr1cl  22175  psrascl  22193  mvrf  22199  mplsubrg  22219  mplmon  22251  mplmonmul  22252  mplcoe1  22253  mplind  22286  evlslem1  22298  evlsmaprhm  22347  mhppwdeg  22378  psd1  22395  psdascl  22396  coe1pwmul  22505  coe1id  22519  ply1chr  22531  lply1binomsc  22536  evls1maprhm  22601  rhmmpl  22605  rhmply1vr1  22609  mamumat1cl  22661  mat1bas  22671  matsc  22672  mat0dimid  22690  mat1mhm  22706  dmatid  22717  scmatscmide  22729  scmatscmiddistr  22730  scmatmats  22733  scmatscm  22735  scmatid  22736  scmataddcl  22738  scmatsubcl  22739  scmatmulcl  22740  smatvscl  22746  scmatrhmcl  22750  scmatf1  22753  scmatmhm  22756  mat0scmat  22760  mat1scmat  22761  mdet0pr  22814  mdet1  22823  mdetunilem8  22841  mdetunilem9  22842  mdetuni0  22843  mdetmul  22845  m2detleiblem5  22847  m2detleiblem6  22848  maducoeval2  22862  maduf  22863  madutpos  22864  madugsum  22865  madulid  22867  minmar1marrep  22872  minmar1cl  22873  marep01ma  22882  smadiadetglem1  22893  smadiadetglem2  22894  matinv  22899  1pmatscmul  22927  1elcpmat  22940  mat2pmat1  22957  decpmatid  22995  idpm2idmp  23026  chmatcl  23053  chmatval  23054  chpmat1dlem  23060  chpmat1d  23061  chpdmatlem0  23062  chpdmatlem2  23064  chpdmatlem3  23065  chpidmat  23072  chmaidscmat  23073  cpmidgsumm2pm  23094  cpmidpmatlem2  23096  cpmidpmatlem3  23097  cpmadugsumlemB  23099  cpmadugsumfi  23102  cpmidgsum2  23104  chcoeffeqlem  23110  tlmtgp  24422  nrginvrcnlem  24917  clmvsubval  25337  cvsmuleqdivd  25362  cphsubrglem  25405  deg1pwle  26345  deg1pw  26346  ply1nz  26347  mon1pid  26379  ply1remlem  26390  dchrmulcl  27485  dchrinv  27497  dchrhash  27507  lgsqrlem1  27582  lgsqrlem2  27583  lgsqrlem3  27584  lgsqrlem4  27585  isarchiofld  33639  elrgspnlem2  33683  fracerl  33747  fracfld  33749  primefldgen1  33762  imaslmod  33793  dvdsruasso  33818  rhmquskerlem  33853  elrspunidl  33856  elrspunsn  33857  drngidlhash  33861  mxidlprm  33873  drng0mxidl  33878  qsdrngilem  33896  qsdrnglem2  33898  rsprprmprmidl  33932  rprmasso2  33936  rprmirredlem  33940  rprmdvdsprod  33944  1arithufdlem4  33957  ressasclcl  33981  coe1mon  33997  deg1vr  34002  psrmon  34059  psrmonmul  34060  rlmdim  34120  drngdimgt0  34128  extdg1id  34176  ply1annnr  34213  rtelextdg2lem  34236  submatminr1  34320  madjusmdetlem1  34337  zarcmplem  34391  zrhnm  34477  zrhchr  34484  zrhcntr  34489  qqh1  34495  qqhucn  34502  lflsub  39940  eqlkr  39972  eqlkr3  39974  lduallmodlem  40025  ldualvsubcl  40029  ldualvsubval  40030  dochfl1  42349  lcfrlem2  42416  lcdvsubval  42491  mapdpglem30  42575  hgmapval1  42766  hdmapglem5  42795  rhmzrhval  42838  aks6d1c1p6  42980  deg1gprod  43006  deg1pow  43007  aks5lem2  43053  unitscyglem5  43065  rnasclg  43387  ricdrng1  43410  fidomncyc  43417  rhmpsr  43429  evlsbagval  43432  0prjspnrel  43473  mendlmod  44030  idomodle  44032  mon1psubm  44040  deg1mhm  44041  lidldomn1  49146  smprngprmrng  49254  isidom3  49260  mgpsumn  49293  ply1sclrmsm  49314  evl1at1  49322  linc0scn0  49353  linc1  49355  islindeps2  49413  lmod1lem5  49421  asclelbasALT  49932