Theorem ringidcl 19722

Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 19704	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 19641	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 19654	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 18315	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  Mndcmnd 18300  mulGrpcmgp 19635  1_rcur 19652  Ringcrg 19698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700

This theorem is referenced by:  ringid  19728  rngo2times  19730  ringcom  19733  ringnegl  19748  rngnegr  19749  ringmneg1  19750  ringmneg2  19751  imasring  19773  opprring  19788  dvdsrid  19808  dvdsrneg  19811  1unit  19815  ringinvdv  19851  isdrng2  19916  isdrngd  19931  subrgid  19941  abv1z  20007  abvneg  20009  srng1  20034  issrngd  20036  lmod1cl  20065  lmodvsneg  20082  lmodsubvs  20094  lmodsubdi  20095  lmodsubdir  20096  lmodprop2d  20100  rmodislmod  20106  rmodislmodOLD  20107  lssvnegcl  20133  prdslmodd  20146  lmodvsinv  20213  islmhm2  20215  lbsind2  20258  lspsneq  20299  lspexch  20306  lidl1el  20402  rsp1  20408  lpi1  20432  isnzr2  20447  isnzr2hash  20448  0ring01eq  20455  fidomndrnglem  20491  mulgrhm  20611  chrcl  20642  chrid  20643  chrdvds  20644  chrcong  20645  zncyg  20668  zrhpsgnelbas  20711  uvcvvcl2  20905  uvcff  20908  lindfind2  20935  asclf  20996  asclghm  20997  ascl0  20998  ascl1  20999  asclmul1  21000  asclmul2  21001  ascldimul  21002  rnascl  21005  assamulgscmlem1  21013  psrlmod  21080  psr1cl  21081  mvrf  21103  mplsubrg  21121  mplmon  21146  mplmonmul  21147  mplcoe1  21148  mplind  21188  evlslem1  21202  mhppwdeg  21250  coe1pwmul  21360  ply1scl0  21371  ply1scl1  21373  ply1idvr1  21374  lply1binomsc  21388  mamumat1cl  21496  mat1bas  21506  matsc  21507  mat0dimid  21525  mat1mhm  21541  dmatid  21552  scmatscmide  21564  scmatscmiddistr  21565  scmatmats  21568  scmatscm  21570  scmatid  21571  scmataddcl  21573  scmatsubcl  21574  scmatmulcl  21575  smatvscl  21581  scmatrhmcl  21585  scmatf1  21588  scmatmhm  21591  mat0scmat  21595  mat1scmat  21596  mdet0pr  21649  mdet1  21658  mdetunilem8  21676  mdetunilem9  21677  mdetuni0  21678  mdetmul  21680  m2detleiblem5  21682  m2detleiblem6  21683  maducoeval2  21697  maduf  21698  madutpos  21699  madugsum  21700  madulid  21702  minmar1marrep  21707  minmar1cl  21708  marep01ma  21717  smadiadetglem1  21728  smadiadetglem2  21729  matinv  21734  1pmatscmul  21759  1elcpmat  21772  mat2pmat1  21789  decpmatid  21827  idpm2idmp  21858  chmatcl  21885  chmatval  21886  chpmat1dlem  21892  chpmat1d  21893  chpdmatlem0  21894  chpdmatlem2  21896  chpdmatlem3  21897  chpidmat  21904  chmaidscmat  21905  cpmidgsumm2pm  21926  cpmidpmatlem2  21928  cpmidpmatlem3  21929  cpmadugsumlemB  21931  cpmadugsumfi  21934  cpmidgsum2  21936  chcoeffeqlem  21942  tlmtgp  23255  nrginvrcnlem  23761  clmvsubval  24178  cvsmuleqdivd  24203  cphsubrglem  24246  deg1pwle  25189  deg1pw  25190  ply1nz  25191  ply1remlem  25232  dchrmulcl  26302  dchrinv  26314  dchrhash  26324  lgsqrlem1  26399  lgsqrlem2  26400  lgsqrlem3  26401  lgsqrlem4  26402  dvdschrmulg  31385  frobrhm  31387  orng0le1  31413  ofldchr  31415  suborng  31416  isarchiofld  31418  elrhmunit  31421  imaslmod  31455  elrspunidl  31508  rhmpreimaprmidl  31529  mxidlprm  31542  asclmulg  31568  ply1chr  31571  rgmoddim  31595  drngdimgt0  31603  extdg1id  31640  submatminr1  31662  madjusmdetlem1  31679  zarcmplem  31733  zrhnm  31819  zrhchr  31826  qqh1  31835  qqhucn  31842  lflsub  37008  eqlkr  37040  eqlkr3  37042  lduallmodlem  37093  ldualvsubcl  37097  ldualvsubval  37098  dochfl1  39417  lcfrlem2  39484  lcdvsubval  39559  mapdpglem30  39643  hgmapval1  39834  hdmapglem5  39863  rnasclg  40149  pwspjmhmmgpd  40192  evlsbagval  40198  mhphf  40208  0prjspnrel  40385  mendlmod  40934  idomodle  40937  isdomn3  40945  mon1pid  40946  mon1psubm  40947  deg1mhm  40948  lidldomn1  45367  mgpsumn  45587  ply1sclrmsm  45612  coe1id  45613  evl1at1  45621  linc0scn0  45652  linc1  45654  islindeps2  45712  lmod1lem5  45720