MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringidcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringidcl 19913
Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringidcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringidcl (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)

Proof of Theorem ringidcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 19894 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3 ringidcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
41, 3mgpbas 19831 . . 3 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5 ringidcl.u . . . 4 1 = (1r𝑅)
61, 5ringidval 19844 . . 3 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
74, 6mndidcl 18506 . 2 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1𝐵)
82, 7syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6492  Basecbs 17018  Mndcmnd 18491  mulGrpcmgp 19825  1rcur 19842  Ringcrg 19888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-plusg 17081  df-0g 17258  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890
This theorem is referenced by:  ringid  19919  rngo2times  19921  ringcom  19924  ringnegl  19941  rngnegr  19942  ringmneg1  19943  ringmneg2  19944  pwspjmhmmgpd  19966  imasring  19968  opprring  19983  dvdsrid  20003  dvdsrneg  20006  1unit  20010  ringinvdv  20046  elrhmunit  20106  isdrng2  20121  isdrngd  20137  subrgid  20147  abv1z  20214  abvneg  20216  srng1  20241  issrngd  20243  lmod1cl  20272  lmodvsneg  20289  lmodsubvs  20301  lmodsubdi  20302  lmodsubdir  20303  lmodprop2d  20307  rmodislmod  20313  rmodislmodOLD  20314  lssvnegcl  20340  prdslmodd  20353  lmodvsinv  20420  islmhm2  20422  lbsind2  20465  lspsneq  20506  lspexch  20513  lidl1el  20611  rsp1  20617  lpi1  20641  isnzr2  20656  isnzr2hash  20657  0ring01eq  20664  fidomndrnglem  20700  mulgrhm  20821  chrcl  20852  chrid  20853  chrdvds  20854  chrcong  20855  zncyg  20878  zrhpsgnelbas  20921  uvcvvcl2  21117  uvcff  21120  lindfind2  21147  asclf  21208  asclghm  21209  ascl0  21210  ascl1  21211  asclmul1  21212  asclmul2  21213  ascldimul  21214  rnascl  21217  assamulgscmlem1  21225  psrlmod  21292  psr1cl  21293  mvrf  21315  mplsubrg  21333  mplmon  21358  mplmonmul  21359  mplcoe1  21360  mplind  21400  evlslem1  21414  mhppwdeg  21462  coe1pwmul  21572  ply1scl0  21583  ply1scl1  21585  ply1idvr1  21586  lply1binomsc  21600  mamumat1cl  21710  mat1bas  21720  matsc  21721  mat0dimid  21739  mat1mhm  21755  dmatid  21766  scmatscmide  21778  scmatscmiddistr  21779  scmatmats  21782  scmatscm  21784  scmatid  21785  scmataddcl  21787  scmatsubcl  21788  scmatmulcl  21789  smatvscl  21795  scmatrhmcl  21799  scmatf1  21802  scmatmhm  21805  mat0scmat  21809  mat1scmat  21810  mdet0pr  21863  mdet1  21872  mdetunilem8  21890  mdetunilem9  21891  mdetuni0  21892  mdetmul  21894  m2detleiblem5  21896  m2detleiblem6  21897  maducoeval2  21911  maduf  21912  madutpos  21913  madugsum  21914  madulid  21916  minmar1marrep  21921  minmar1cl  21922  marep01ma  21931  smadiadetglem1  21942  smadiadetglem2  21943  matinv  21948  1pmatscmul  21973  1elcpmat  21986  mat2pmat1  22003  decpmatid  22041  idpm2idmp  22072  chmatcl  22099  chmatval  22100  chpmat1dlem  22106  chpmat1d  22107  chpdmatlem0  22108  chpdmatlem2  22110  chpdmatlem3  22111  chpidmat  22118  chmaidscmat  22119  cpmidgsumm2pm  22140  cpmidpmatlem2  22142  cpmidpmatlem3  22143  cpmadugsumlemB  22145  cpmadugsumfi  22148  cpmidgsum2  22150  chcoeffeqlem  22156  tlmtgp  23469  nrginvrcnlem  23977  clmvsubval  24394  cvsmuleqdivd  24419  cphsubrglem  24463  deg1pwle  25406  deg1pw  25407  ply1nz  25408  ply1remlem  25449  dchrmulcl  26519  dchrinv  26531  dchrhash  26541  lgsqrlem1  26616  lgsqrlem2  26617  lgsqrlem3  26618  lgsqrlem4  26619  dvdschrmulg  31847  frobrhm  31849  primefldgen1  31869  orng0le1  31888  ofldchr  31890  suborng  31891  isarchiofld  31893  imaslmod  31926  elrspunidl  31980  rhmpreimaprmidl  32001  mxidlprm  32014  asclmulg  32040  ply1chr  32053  rgmoddim  32078  drngdimgt0  32086  extdg1id  32123  submatminr1  32152  madjusmdetlem1  32169  zarcmplem  32223  zrhnm  32311  zrhchr  32318  qqh1  32327  qqhucn  32334  lflsub  37415  eqlkr  37447  eqlkr3  37449  lduallmodlem  37500  ldualvsubcl  37504  ldualvsubval  37505  dochfl1  39825  lcfrlem2  39892  lcdvsubval  39967  mapdpglem30  40051  hgmapval1  40242  hdmapglem5  40271  rnasclg  40558  evlsbagval  40608  mhphf  40618  0prjspnrel  40799  mendlmod  41354  idomodle  41357  isdomn3  41365  mon1pid  41366  mon1psubm  41367  deg1mhm  41368  lidldomn1  45937  mgpsumn  46157  ply1sclrmsm  46182  coe1id  46183  evl1at1  46191  linc0scn0  46222  linc1  46224  islindeps2  46282  lmod1lem5  46290
  Copyright terms: Public domain W3C validator