Theorem ringidcl 18923

Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2826	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 18908	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 18850	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 18858	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 17662	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6124  Basecbs 16223  Mndcmnd 17648  mulGrpcmgp 18844  1_rcur 18856  Ringcrg 18902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-plusg 16319  df-0g 16456  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904

This theorem is referenced by:  ringid  18929  rngo2times  18931  ringcom  18934  ringnegl  18949  rngnegr  18950  ringmneg1  18951  ringmneg2  18952  imasring  18974  opprring  18986  dvdsrid  19006  dvdsrneg  19009  1unit  19013  ringinvdv  19049  isdrng2  19114  isdrngd  19129  subrgid  19139  abv1z  19189  abvneg  19191  srng1  19216  issrngd  19218  lmod1cl  19247  lmodvsneg  19264  lmodsubvs  19276  lmodsubdi  19277  lmodsubdir  19278  lmodprop2d  19282  rmodislmod  19288  lssvnegcl  19316  prdslmodd  19329  lmodvsinv  19396  islmhm2  19398  lbsind2  19441  lspsneq  19482  lspexch  19490  lidl1el  19580  rsp1  19586  lpi1  19610  isnzr2  19625  isnzr2hash  19626  0ring01eq  19633  fidomndrnglem  19668  asclf  19699  asclghm  19700  asclmul1  19701  asclmul2  19702  asclrhm  19704  rnascl  19705  assamulgscmlem1  19710  psrlmod  19763  psr1cl  19764  mvrf  19786  mplsubrg  19802  mplmon  19825  mplmonmul  19826  mplcoe1  19827  mplind  19863  evlslem1  19876  coe1pwmul  20010  ply1scl0  20021  ply1scl1  20023  ply1idvr1  20024  lply1binomsc  20038  mulgrhm  20207  chrcl  20235  chrid  20236  chrdvds  20237  chrcong  20238  zncyg  20257  zrhpsgnelbas  20301  uvcvvcl2  20495  uvcff  20498  lindfind2  20525  mamumat1cl  20613  mat1bas  20624  matsc  20625  mat0dimid  20643  mat1mhm  20659  dmatid  20670  scmatscmide  20682  scmatscmiddistr  20683  scmatmats  20686  scmatscm  20688  scmatid  20689  scmataddcl  20691  scmatsubcl  20692  scmatmulcl  20693  smatvscl  20699  scmatrhmcl  20703  scmatf1  20706  scmatmhm  20709  mat0scmat  20713  mat1scmat  20714  mdet0pr  20767  mdet1  20776  mdetunilem8  20794  mdetunilem9  20795  mdetuni0  20796  mdetmul  20798  m2detleiblem5  20800  m2detleiblem6  20801  maducoeval2  20815  maduf  20816  madutpos  20817  madugsum  20818  madulid  20820  minmar1marrep  20825  minmar1marrepOLD  20826  minmar1cl  20827  marep01ma  20836  smadiadetglem1  20847  smadiadetglem2  20848  matinv  20853  1pmatscmul  20878  1elcpmat  20891  mat2pmat1  20908  decpmatid  20946  idpm2idmp  20977  chmatcl  21004  chmatval  21005  chpmat1dlem  21011  chpmat1d  21012  chpdmatlem0  21013  chpdmatlem2  21015  chpdmatlem3  21016  chpidmat  21023  chmaidscmat  21024  cpmidgsumm2pm  21045  cpmidpmatlem2  21047  cpmidpmatlem3  21048  cpmadugsumlemB  21050  cpmadugsumfi  21053  cpmidgsum2  21055  chcoeffeqlem  21061  tlmtgp  22370  nrginvrcnlem  22866  clmvsubval  23279  cvsmuleqdivd  23304  cphsubrglem  23347  deg1pwle  24279  deg1pw  24280  ply1nz  24281  ply1remlem  24322  dchrmulcl  25388  dchrinv  25400  dchrhash  25410  lgsqrlem1  25485  lgsqrlem2  25486  lgsqrlem3  25487  lgsqrlem4  25488  orng0le1  30358  ofldchr  30360  suborng  30361  isarchiofld  30363  elrhmunit  30366  submatminr1  30422  madjusmdetlem1  30439  zrhnm  30559  zrhchr  30566  qqh1  30575  qqhucn  30582  lflsub  35143  eqlkr  35175  eqlkr3  35177  lduallmodlem  35228  ldualvsubcl  35232  ldualvsubval  35233  dochfl1  37552  lcfrlem2  37619  lcdvsubval  37694  mapdpglem30  37778  hgmapval1  37969  hdmapglem5  37998  mendlmod  38607  idomodle  38618  isdomn3  38626  mon1pid  38627  mon1psubm  38628  deg1mhm  38629  lidldomn1  42769  mgpsumn  42990  ascl0  43013  ascl1  43014  ply1sclrmsm  43019  coe1id  43020  evl1at1  43028  linc0scn0  43060  linc1  43062  islindeps2  43120  lmod1lem5  43128