Theorem ringidcl 19312

Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 19297	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 19239	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 19247	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 17920	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  Basecbs 16477  Mndcmnd 17905  mulGrpcmgp 19233  1_rcur 19245  Ringcrg 19291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293

This theorem is referenced by:  ringid  19318  rngo2times  19320  ringcom  19323  ringnegl  19338  rngnegr  19339  ringmneg1  19340  ringmneg2  19341  imasring  19363  opprring  19375  dvdsrid  19395  dvdsrneg  19398  1unit  19402  ringinvdv  19438  isdrng2  19506  isdrngd  19521  subrgid  19531  abv1z  19597  abvneg  19599  srng1  19624  issrngd  19626  lmod1cl  19655  lmodvsneg  19672  lmodsubvs  19684  lmodsubdi  19685  lmodsubdir  19686  lmodprop2d  19690  rmodislmod  19696  lssvnegcl  19722  prdslmodd  19735  lmodvsinv  19802  islmhm2  19804  lbsind2  19847  lspsneq  19888  lspexch  19895  lidl1el  19985  rsp1  19991  lpi1  20015  isnzr2  20030  isnzr2hash  20031  0ring01eq  20038  fidomndrnglem  20073  asclf  20105  asclghm  20106  ascl0  20107  asclmul1  20108  asclmul2  20109  ascldimul  20110  ascldimulOLD  20111  asclrhm  20113  rnascl  20114  assamulgscmlem1  20122  psrlmod  20175  psr1cl  20176  mvrf  20198  mplsubrg  20214  mplmon  20238  mplmonmul  20239  mplcoe1  20240  mplind  20276  evlslem1  20289  coe1pwmul  20441  ply1scl0  20452  ply1scl1  20454  ply1idvr1  20455  lply1binomsc  20469  mulgrhm  20639  chrcl  20667  chrid  20668  chrdvds  20669  chrcong  20670  zncyg  20689  zrhpsgnelbas  20732  uvcvvcl2  20926  uvcff  20929  lindfind2  20956  mamumat1cl  21042  mat1bas  21052  matsc  21053  mat0dimid  21071  mat1mhm  21087  dmatid  21098  scmatscmide  21110  scmatscmiddistr  21111  scmatmats  21114  scmatscm  21116  scmatid  21117  scmataddcl  21119  scmatsubcl  21120  scmatmulcl  21121  smatvscl  21127  scmatrhmcl  21131  scmatf1  21134  scmatmhm  21137  mat0scmat  21141  mat1scmat  21142  mdet0pr  21195  mdet1  21204  mdetunilem8  21222  mdetunilem9  21223  mdetuni0  21224  mdetmul  21226  m2detleiblem5  21228  m2detleiblem6  21229  maducoeval2  21243  maduf  21244  madutpos  21245  madugsum  21246  madulid  21248  minmar1marrep  21253  minmar1cl  21254  marep01ma  21263  smadiadetglem1  21274  smadiadetglem2  21275  matinv  21280  1pmatscmul  21304  1elcpmat  21317  mat2pmat1  21334  decpmatid  21372  idpm2idmp  21403  chmatcl  21430  chmatval  21431  chpmat1dlem  21437  chpmat1d  21438  chpdmatlem0  21439  chpdmatlem2  21441  chpdmatlem3  21442  chpidmat  21449  chmaidscmat  21450  cpmidgsumm2pm  21471  cpmidpmatlem2  21473  cpmidpmatlem3  21474  cpmadugsumlemB  21476  cpmadugsumfi  21479  cpmidgsum2  21481  chcoeffeqlem  21487  tlmtgp  22798  nrginvrcnlem  23294  clmvsubval  23707  cvsmuleqdivd  23732  cphsubrglem  23775  deg1pwle  24707  deg1pw  24708  ply1nz  24709  ply1remlem  24750  dchrmulcl  25819  dchrinv  25831  dchrhash  25841  lgsqrlem1  25916  lgsqrlem2  25917  lgsqrlem3  25918  lgsqrlem4  25919  dvdschrmulg  30853  orng0le1  30880  ofldchr  30882  suborng  30883  isarchiofld  30885  elrhmunit  30888  imaslmod  30917  mxidlprm  30972  rgmoddim  31003  drngdimgt0  31011  extdg1id  31048  submatminr1  31070  madjusmdetlem1  31087  zrhnm  31205  zrhchr  31212  qqh1  31221  qqhucn  31228  lflsub  36197  eqlkr  36229  eqlkr3  36231  lduallmodlem  36282  ldualvsubcl  36286  ldualvsubval  36287  dochfl1  38606  lcfrlem2  38673  lcdvsubval  38748  mapdpglem30  38832  hgmapval1  39023  hdmapglem5  39052  rnasclg  39124  0prjspnrel  39262  mendlmod  39786  idomodle  39789  isdomn3  39797  mon1pid  39798  mon1psubm  39799  deg1mhm  39800  lidldomn1  44186  mgpsumn  44405  ascl1  44426  ply1sclrmsm  44431  coe1id  44432  evl1at1  44440  linc0scn0  44472  linc1  44474  islindeps2  44532  lmod1lem5  44540