Theorem ringidcl 20223

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20197	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20103	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 20141	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 18725	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  Basecbs 17226  Mndcmnd 18710  mulGrpcmgp 20098  1_rcur 20139  Ringcrg 20191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mgp 20099  df-ur 20140  df-ring 20193

This theorem is referenced by:  ringidcld  20224  ringid  20232  ringo2times  20233  ringadd2  20234  ringcomlem  20237  ringnegl  20260  ringnegr  20261  ringmneg1  20262  ringmneg2  20263  pwspjmhmmgpd  20286  imasring  20288  xpsring1d  20291  opprring  20305  dvdsrid  20325  dvdsrneg  20328  1unit  20332  ringinvdv  20372  rngisomfv1  20423  rngisom1  20424  rngisomring1  20426  elrhmunit  20468  isnzr2  20476  isnzr2hash  20477  0ring01eq  20487  subrgid  20531  rrgnz  20662  isdomn3  20673  isdrng2  20701  isdrngd  20723  isdrngdOLD  20725  fidomndrnglem  20730  abv1z  20782  abvneg  20784  srng1  20811  issrngd  20813  lmod1cl  20844  lmodvsneg  20861  lmodsubvs  20873  lmodsubdi  20874  lmodsubdir  20875  lmodprop2d  20879  rmodislmod  20885  lssvnegcl  20911  prdslmodd  20924  lmodvsinv  20992  islmhm2  20994  lbsind2  21037  lspsneq  21081  lspexch  21088  lidl1el  21185  rsp1  21196  rhmqusnsg  21244  rngqiprng1elbas  21245  rngqiprngghmlem1  21246  rngqiprngimf  21256  rngqiprngimf1  21259  rng2idl1cntr  21264  rngqiprngfulem1  21270  rngqiprngfulem4  21273  rngqiprngfulem5  21274  rngqiprngu  21277  lpi1  21286  mulgrhm  21436  chrcl  21483  chrid  21484  chrdvds  21485  chrcong  21486  dvdschrmulg  21487  zncyg  21507  frobrhm  21534  zrhpsgnelbas  21552  uvcvvcl2  21746  uvcff  21749  lindfind2  21776  sraassab  21826  asclf  21840  asclghm  21841  ascl0  21842  ascl1  21843  asclmul1  21844  asclmul2  21845  ascldimul  21846  rnascl  21849  assamulgscmlem1  21857  asclmulg  21860  psrlmod  21918  psr1cl  21919  psrascl  21937  mvrf  21943  mplsubrg  21963  mplmon  21991  mplmonmul  21992  mplcoe1  21993  mplind  22026  evlslem1  22038  mhppwdeg  22086  psd1  22103  psdascl  22104  coe1pwmul  22214  ply1scl0OLD  22226  ply1scl1OLD  22229  ply1idvr1OLD  22231  ply1chr  22242  lply1binomsc  22247  evls1maprhm  22312  rhmmpl  22319  rhmply1vr1  22323  mamumat1cl  22375  mat1bas  22385  matsc  22386  mat0dimid  22404  mat1mhm  22420  dmatid  22431  scmatscmide  22443  scmatscmiddistr  22444  scmatmats  22447  scmatscm  22449  scmatid  22450  scmataddcl  22452  scmatsubcl  22453  scmatmulcl  22454  smatvscl  22460  scmatrhmcl  22464  scmatf1  22467  scmatmhm  22470  mat0scmat  22474  mat1scmat  22475  mdet0pr  22528  mdet1  22537  mdetunilem8  22555  mdetunilem9  22556  mdetuni0  22557  mdetmul  22559  m2detleiblem5  22561  m2detleiblem6  22562  maducoeval2  22576  maduf  22577  madutpos  22578  madugsum  22579  madulid  22581  minmar1marrep  22586  minmar1cl  22587  marep01ma  22596  smadiadetglem1  22607  smadiadetglem2  22608  matinv  22613  1pmatscmul  22638  1elcpmat  22651  mat2pmat1  22668  decpmatid  22706  idpm2idmp  22737  chmatcl  22764  chmatval  22765  chpmat1dlem  22771  chpmat1d  22772  chpdmatlem0  22773  chpdmatlem2  22775  chpdmatlem3  22776  chpidmat  22783  chmaidscmat  22784  cpmidgsumm2pm  22805  cpmidpmatlem2  22807  cpmidpmatlem3  22808  cpmadugsumlemB  22810  cpmadugsumfi  22813  cpmidgsum2  22815  chcoeffeqlem  22821  tlmtgp  24132  nrginvrcnlem  24628  clmvsubval  25058  cvsmuleqdivd  25083  cphsubrglem  25127  deg1pwle  26075  deg1pw  26076  ply1nz  26077  mon1pid  26109  ply1remlem  26120  dchrmulcl  27210  dchrinv  27222  dchrhash  27232  lgsqrlem1  27307  lgsqrlem2  27308  lgsqrlem3  27309  lgsqrlem4  27310  elrgspnlem2  33184  fracerl  33246  fracfld  33248  primefldgen1  33261  orng0le1  33280  ofldchr  33282  suborng  33283  isarchiofld  33285  imaslmod  33314  dvdsruasso  33346  rhmquskerlem  33386  elrspunidl  33389  elrspunsn  33390  drngidl  33394  drngidlhash  33395  rhmpreimaprmidl  33412  qsnzr  33416  ssdifidlprm  33419  mxidlprm  33431  mxidlirredi  33432  drnglidl1ne0  33436  drng0mxidl  33437  qsdrngilem  33455  qsdrnglem2  33457  rsprprmprmidl  33483  rprmasso2  33487  rprmirredlem  33491  rprmdvdsprod  33495  1arithufdlem4  33508  ressasclcl  33530  coe1mon  33544  deg1vr  33548  rlmdim  33595  rgmoddimOLD  33596  drngdimgt0  33604  extdg1id  33653  ply1annnr  33683  rtelextdg2lem  33706  submatminr1  33787  madjusmdetlem1  33804  zarcmplem  33858  zrhnm  33944  zrhchr  33951  zrhcntr  33956  qqh1  33962  qqhucn  33969  lflsub  39031  eqlkr  39063  eqlkr3  39065  lduallmodlem  39116  ldualvsubcl  39120  ldualvsubval  39121  dochfl1  41441  lcfrlem2  41508  lcdvsubval  41583  mapdpglem30  41667  hgmapval1  41858  hdmapglem5  41887  rhmzrhval  41930  aks6d1c1p6  42073  deg1gprod  42099  deg1pow  42100  aks5lem2  42146  unitscyglem5  42158  rnasclg  42469  ricdrng1  42498  fidomncyc  42505  rhmpsr  42522  evlsbagval  42536  evlsmaprhm  42540  0prjspnrel  42597  mendlmod  43160  idomodle  43162  mon1psubm  43170  deg1mhm  43171  lidldomn1  48154  mgpsumn  48286  ply1sclrmsm  48307  coe1id  48308  evl1at1  48316  linc0scn0  48347  linc1  48349  islindeps2  48407  lmod1lem5  48415  asclelbasALT  48929