MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringidcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringidcl 19321
Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringidcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringidcl (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)

Proof of Theorem ringidcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 19303 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3 ringidcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
41, 3mgpbas 19245 . . 3 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5 ringidcl.u . . . 4 1 = (1r𝑅)
61, 5ringidval 19253 . . 3 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
74, 6mndidcl 17926 . 2 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1𝐵)
82, 7syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6343  Basecbs 16483  Mndcmnd 17911  mulGrpcmgp 19239  1rcur 19251  Ringcrg 19297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299
This theorem is referenced by:  ringid  19327  rngo2times  19329  ringcom  19332  ringnegl  19347  rngnegr  19348  ringmneg1  19349  ringmneg2  19350  imasring  19372  opprring  19384  dvdsrid  19404  dvdsrneg  19407  1unit  19411  ringinvdv  19447  isdrng2  19512  isdrngd  19527  subrgid  19537  abv1z  19603  abvneg  19605  srng1  19630  issrngd  19632  lmod1cl  19661  lmodvsneg  19678  lmodsubvs  19690  lmodsubdi  19691  lmodsubdir  19692  lmodprop2d  19696  rmodislmod  19702  lssvnegcl  19728  prdslmodd  19741  lmodvsinv  19808  islmhm2  19810  lbsind2  19853  lspsneq  19894  lspexch  19901  lidl1el  19991  rsp1  19997  lpi1  20021  isnzr2  20036  isnzr2hash  20037  0ring01eq  20044  fidomndrnglem  20079  mulgrhm  20198  chrcl  20225  chrid  20226  chrdvds  20227  chrcong  20228  zncyg  20247  zrhpsgnelbas  20290  uvcvvcl2  20484  uvcff  20487  lindfind2  20514  asclf  20575  asclghm  20576  ascl0  20577  asclmul1  20578  asclmul2  20579  ascldimul  20580  ascldimulOLD  20581  asclrhm  20583  rnascl  20584  assamulgscmlem1  20592  psrlmod  20646  psr1cl  20647  mvrf  20669  mplsubrg  20685  mplmon  20710  mplmonmul  20711  mplcoe1  20712  mplind  20748  evlslem1  20761  coe1pwmul  20915  ply1scl0  20926  ply1scl1  20928  ply1idvr1  20929  lply1binomsc  20943  mamumat1cl  21051  mat1bas  21061  matsc  21062  mat0dimid  21080  mat1mhm  21096  dmatid  21107  scmatscmide  21119  scmatscmiddistr  21120  scmatmats  21123  scmatscm  21125  scmatid  21126  scmataddcl  21128  scmatsubcl  21129  scmatmulcl  21130  smatvscl  21136  scmatrhmcl  21140  scmatf1  21143  scmatmhm  21146  mat0scmat  21150  mat1scmat  21151  mdet0pr  21204  mdet1  21213  mdetunilem8  21231  mdetunilem9  21232  mdetuni0  21233  mdetmul  21235  m2detleiblem5  21237  m2detleiblem6  21238  maducoeval2  21252  maduf  21253  madutpos  21254  madugsum  21255  madulid  21257  minmar1marrep  21262  minmar1cl  21263  marep01ma  21272  smadiadetglem1  21283  smadiadetglem2  21284  matinv  21289  1pmatscmul  21313  1elcpmat  21326  mat2pmat1  21343  decpmatid  21381  idpm2idmp  21412  chmatcl  21439  chmatval  21440  chpmat1dlem  21446  chpmat1d  21447  chpdmatlem0  21448  chpdmatlem2  21450  chpdmatlem3  21451  chpidmat  21458  chmaidscmat  21459  cpmidgsumm2pm  21480  cpmidpmatlem2  21482  cpmidpmatlem3  21483  cpmadugsumlemB  21485  cpmadugsumfi  21488  cpmidgsum2  21490  chcoeffeqlem  21496  tlmtgp  22807  nrginvrcnlem  23303  clmvsubval  23720  cvsmuleqdivd  23745  cphsubrglem  23788  deg1pwle  24726  deg1pw  24727  ply1nz  24728  ply1remlem  24769  dchrmulcl  25839  dchrinv  25851  dchrhash  25861  lgsqrlem1  25936  lgsqrlem2  25937  lgsqrlem3  25938  lgsqrlem4  25939  dvdschrmulg  30893  frobrhm  30895  orng0le1  30921  ofldchr  30923  suborng  30924  isarchiofld  30926  elrhmunit  30929  imaslmod  30958  mxidlprm  31021  rgmoddim  31071  drngdimgt0  31079  extdg1id  31116  submatminr1  31138  madjusmdetlem1  31155  zrhnm  31270  zrhchr  31277  qqh1  31286  qqhucn  31293  lflsub  36311  eqlkr  36343  eqlkr3  36345  lduallmodlem  36396  ldualvsubcl  36400  ldualvsubval  36401  dochfl1  38720  lcfrlem2  38787  lcdvsubval  38862  mapdpglem30  38946  hgmapval1  39137  hdmapglem5  39166  rnasclg  39362  0prjspnrel  39533  mendlmod  40057  idomodle  40060  isdomn3  40068  mon1pid  40069  mon1psubm  40070  deg1mhm  40071  lidldomn1  44475  mgpsumn  44695  ascl1  44716  ply1sclrmsm  44721  coe1id  44722  evl1at1  44730  linc0scn0  44762  linc1  44764  islindeps2  44822  lmod1lem5  44830
  Copyright terms: Public domain W3C validator