Theorem ringidcl 20200

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20174	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20080	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 20118	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 18674	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  Mndcmnd 18659  mulGrpcmgp 20075  1_rcur 20116  Ringcrg 20168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170

This theorem is referenced by:  ringidcld  20201  ringid  20209  ringo2times  20210  ringadd2  20211  ringcomlem  20214  ringnegl  20237  ringnegr  20238  ringmneg1  20239  ringmneg2  20240  pwspjmhmmgpd  20263  imasring  20266  xpsring1d  20269  opprring  20283  dvdsrid  20303  dvdsrneg  20306  1unit  20310  ringinvdv  20350  rngisomfv1  20401  rngisom1  20402  rngisomring1  20404  elrhmunit  20443  isnzr2  20451  isnzr2hash  20452  0ring01eq  20462  subrgid  20506  rrgnz  20637  isdomn3  20648  isdrng2  20676  isdrngd  20698  isdrngdOLD  20700  fidomndrnglem  20705  abv1z  20757  abvneg  20759  srng1  20786  issrngd  20788  orng0le1  20807  suborng  20809  lmod1cl  20840  lmodvsneg  20857  lmodsubvs  20869  lmodsubdi  20870  lmodsubdir  20871  lmodprop2d  20875  rmodislmod  20881  lssvnegcl  20907  prdslmodd  20920  lmodvsinv  20988  islmhm2  20990  lbsind2  21033  lspsneq  21077  lspexch  21084  lidl1el  21181  rsp1  21192  rhmqusnsg  21240  rngqiprng1elbas  21241  rngqiprngghmlem1  21242  rngqiprngimf  21252  rngqiprngimf1  21255  rng2idl1cntr  21260  rngqiprngfulem1  21266  rngqiprngfulem4  21269  rngqiprngfulem5  21270  rngqiprngu  21273  lpi1  21282  mulgrhm  21432  chrcl  21479  chrid  21480  chrdvds  21481  chrcong  21482  dvdschrmulg  21483  zncyg  21503  frobrhm  21530  ofldchr  21531  zrhpsgnelbas  21549  uvcvvcl2  21743  uvcff  21746  lindfind2  21773  sraassab  21823  asclf  21837  asclghm  21838  ascl0  21840  ascl1  21841  asclmul1  21842  asclmul2  21843  ascldimul  21844  rnascl  21847  assamulgscmlem1  21855  asclmulg  21858  psrlmod  21915  psr1cl  21916  psrascl  21934  mvrf  21940  mplsubrg  21960  mplmon  21990  mplmonmul  21991  mplcoe1  21992  mplind  22025  evlslem1  22037  mhppwdeg  22093  psd1  22110  psdascl  22111  coe1pwmul  22221  ply1scl0OLD  22233  ply1scl1OLD  22236  coe1id  22237  ply1idvr1OLD  22239  ply1chr  22250  lply1binomsc  22255  evls1maprhm  22320  rhmmpl  22327  rhmply1vr1  22331  mamumat1cl  22383  mat1bas  22393  matsc  22394  mat0dimid  22412  mat1mhm  22428  dmatid  22439  scmatscmide  22451  scmatscmiddistr  22452  scmatmats  22455  scmatscm  22457  scmatid  22458  scmataddcl  22460  scmatsubcl  22461  scmatmulcl  22462  smatvscl  22468  scmatrhmcl  22472  scmatf1  22475  scmatmhm  22478  mat0scmat  22482  mat1scmat  22483  mdet0pr  22536  mdet1  22545  mdetunilem8  22563  mdetunilem9  22564  mdetuni0  22565  mdetmul  22567  m2detleiblem5  22569  m2detleiblem6  22570  maducoeval2  22584  maduf  22585  madutpos  22586  madugsum  22587  madulid  22589  minmar1marrep  22594  minmar1cl  22595  marep01ma  22604  smadiadetglem1  22615  smadiadetglem2  22616  matinv  22621  1pmatscmul  22646  1elcpmat  22659  mat2pmat1  22676  decpmatid  22714  idpm2idmp  22745  chmatcl  22772  chmatval  22773  chpmat1dlem  22779  chpmat1d  22780  chpdmatlem0  22781  chpdmatlem2  22783  chpdmatlem3  22784  chpidmat  22791  chmaidscmat  22792  cpmidgsumm2pm  22813  cpmidpmatlem2  22815  cpmidpmatlem3  22816  cpmadugsumlemB  22818  cpmadugsumfi  22821  cpmidgsum2  22823  chcoeffeqlem  22829  tlmtgp  24140  nrginvrcnlem  24635  clmvsubval  25065  cvsmuleqdivd  25090  cphsubrglem  25133  deg1pwle  26081  deg1pw  26082  ply1nz  26083  mon1pid  26115  ply1remlem  26126  dchrmulcl  27216  dchrinv  27228  dchrhash  27238  lgsqrlem1  27313  lgsqrlem2  27314  lgsqrlem3  27315  lgsqrlem4  27316  isarchiofld  33281  elrgspnlem2  33325  fracerl  33388  fracfld  33390  primefldgen1  33403  imaslmod  33434  dvdsruasso  33466  rhmquskerlem  33506  elrspunidl  33509  elrspunsn  33510  drngidl  33514  drngidlhash  33515  rhmpreimaprmidl  33532  qsnzr  33536  ssdifidlprm  33539  mxidlprm  33551  mxidlirredi  33552  drnglidl1ne0  33556  drng0mxidl  33557  qsdrngilem  33575  qsdrnglem2  33577  rsprprmprmidl  33603  rprmasso2  33607  rprmirredlem  33611  rprmdvdsprod  33615  1arithufdlem4  33628  ressasclcl  33652  coe1mon  33668  deg1vr  33673  rlmdim  33766  rgmoddimOLD  33767  drngdimgt0  33775  extdg1id  33823  ply1annnr  33860  rtelextdg2lem  33883  submatminr1  33967  madjusmdetlem1  33984  zarcmplem  34038  zrhnm  34124  zrhchr  34131  zrhcntr  34136  qqh1  34142  qqhucn  34149  lflsub  39327  eqlkr  39359  eqlkr3  39361  lduallmodlem  39412  ldualvsubcl  39416  ldualvsubval  39417  dochfl1  41736  lcfrlem2  41803  lcdvsubval  41878  mapdpglem30  41962  hgmapval1  42153  hdmapglem5  42182  rhmzrhval  42225  aks6d1c1p6  42368  deg1gprod  42394  deg1pow  42395  aks5lem2  42441  unitscyglem5  42453  rnasclg  42754  ricdrng1  42783  fidomncyc  42790  rhmpsr  42805  evlsbagval  42812  evlsmaprhm  42816  0prjspnrel  42870  mendlmod  43431  idomodle  43433  mon1psubm  43441  deg1mhm  43442  lidldomn1  48477  mgpsumn  48609  ply1sclrmsm  48630  evl1at1  48638  linc0scn0  48669  linc1  48671  islindeps2  48729  lmod1lem5  48737  asclelbasALT  49251