Theorem ringidcl 19314

Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidcl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 19296	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringidcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 19238	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringidcl.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	1, 5	ringidval 19246	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndidcl 17918	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → 1 ∈ 𝐵)
8	2, 7	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  Mndcmnd 17903  mulGrpcmgp 19232  1_rcur 19244  Ringcrg 19290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292

This theorem is referenced by:  ringid  19320  rngo2times  19322  ringcom  19325  ringnegl  19340  rngnegr  19341  ringmneg1  19342  ringmneg2  19343  imasring  19365  opprring  19377  dvdsrid  19397  dvdsrneg  19400  1unit  19404  ringinvdv  19440  isdrng2  19505  isdrngd  19520  subrgid  19530  abv1z  19596  abvneg  19598  srng1  19623  issrngd  19625  lmod1cl  19654  lmodvsneg  19671  lmodsubvs  19683  lmodsubdi  19684  lmodsubdir  19685  lmodprop2d  19689  rmodislmod  19695  lssvnegcl  19721  prdslmodd  19734  lmodvsinv  19801  islmhm2  19803  lbsind2  19846  lspsneq  19887  lspexch  19894  lidl1el  19984  rsp1  19990  lpi1  20014  isnzr2  20029  isnzr2hash  20030  0ring01eq  20037  fidomndrnglem  20072  mulgrhm  20191  chrcl  20218  chrid  20219  chrdvds  20220  chrcong  20221  zncyg  20240  zrhpsgnelbas  20283  uvcvvcl2  20477  uvcff  20480  lindfind2  20507  asclf  20568  asclghm  20569  ascl0  20570  asclmul1  20571  asclmul2  20572  ascldimul  20573  ascldimulOLD  20574  asclrhm  20576  rnascl  20577  assamulgscmlem1  20585  psrlmod  20639  psr1cl  20640  mvrf  20662  mplsubrg  20678  mplmon  20703  mplmonmul  20704  mplcoe1  20705  mplind  20741  evlslem1  20754  coe1pwmul  20908  ply1scl0  20919  ply1scl1  20921  ply1idvr1  20922  lply1binomsc  20936  mamumat1cl  21044  mat1bas  21054  matsc  21055  mat0dimid  21073  mat1mhm  21089  dmatid  21100  scmatscmide  21112  scmatscmiddistr  21113  scmatmats  21116  scmatscm  21118  scmatid  21119  scmataddcl  21121  scmatsubcl  21122  scmatmulcl  21123  smatvscl  21129  scmatrhmcl  21133  scmatf1  21136  scmatmhm  21139  mat0scmat  21143  mat1scmat  21144  mdet0pr  21197  mdet1  21206  mdetunilem8  21224  mdetunilem9  21225  mdetuni0  21226  mdetmul  21228  m2detleiblem5  21230  m2detleiblem6  21231  maducoeval2  21245  maduf  21246  madutpos  21247  madugsum  21248  madulid  21250  minmar1marrep  21255  minmar1cl  21256  marep01ma  21265  smadiadetglem1  21276  smadiadetglem2  21277  matinv  21282  1pmatscmul  21307  1elcpmat  21320  mat2pmat1  21337  decpmatid  21375  idpm2idmp  21406  chmatcl  21433  chmatval  21434  chpmat1dlem  21440  chpmat1d  21441  chpdmatlem0  21442  chpdmatlem2  21444  chpdmatlem3  21445  chpidmat  21452  chmaidscmat  21453  cpmidgsumm2pm  21474  cpmidpmatlem2  21476  cpmidpmatlem3  21477  cpmadugsumlemB  21479  cpmadugsumfi  21482  cpmidgsum2  21484  chcoeffeqlem  21490  tlmtgp  22801  nrginvrcnlem  23297  clmvsubval  23714  cvsmuleqdivd  23739  cphsubrglem  23782  deg1pwle  24720  deg1pw  24721  ply1nz  24722  ply1remlem  24763  dchrmulcl  25833  dchrinv  25845  dchrhash  25855  lgsqrlem1  25930  lgsqrlem2  25931  lgsqrlem3  25932  lgsqrlem4  25933  dvdschrmulg  30908  frobrhm  30910  orng0le1  30936  ofldchr  30938  suborng  30939  isarchiofld  30941  elrhmunit  30944  imaslmod  30973  elrspunidl  31014  rhmpreimaprmidl  31035  mxidlprm  31048  rgmoddim  31096  drngdimgt0  31104  extdg1id  31141  submatminr1  31163  madjusmdetlem1  31180  zarcmplem  31234  zrhnm  31320  zrhchr  31327  qqh1  31336  qqhucn  31343  lflsub  36363  eqlkr  36395  eqlkr3  36397  lduallmodlem  36448  ldualvsubcl  36452  ldualvsubval  36453  dochfl1  38772  lcfrlem2  38839  lcdvsubval  38914  mapdpglem30  38998  hgmapval1  39189  hdmapglem5  39218  rnasclg  39426  0prjspnrel  39613  mendlmod  40137  idomodle  40140  isdomn3  40148  mon1pid  40149  mon1psubm  40150  deg1mhm  40151  lidldomn1  44545  mgpsumn  44765  ascl1  44786  ply1sclrmsm  44791  coe1id  44792  evl1at1  44800  linc0scn0  44832  linc1  44834  islindeps2  44892  lmod1lem5  44900