MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamudi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamudi 21548
Description: Matrix multiplication distributes over addition on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamudi.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamudi.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamudi.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamudi.o (𝜑𝑂 ∈ Fin)
mamudi.p + = (+g𝑅)
mamudi.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamudi.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamudi.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
Assertion
Ref Expression
mamudi (𝜑 → ((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamudi
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 mamudi.p . . . . . 6 + = (+g𝑅)
3 mamucl.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 19818 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ CMnd)
7 mamudi.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
87adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
93ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
10 mamudi.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
11 elmapi 8635 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1312ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
14 simplrl 774 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑀)
15 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
1613, 14, 15fovrnd 7444 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
17 mamudi.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
18 elmapi 8635 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2019ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
21 simplrr 775 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑂)
2220, 15, 21fovrnd 7444 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
23 eqid 2738 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
241, 23ringcl 19798 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
259, 16, 22, 24syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
26 mamudi.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
27 elmapi 8635 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
2928ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
3029, 14, 15fovrnd 7444 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
311, 23ringcl 19798 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
329, 30, 22, 31syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
33 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
34 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
351, 2, 6, 8, 25, 32, 33, 34gsummptfidmadd2 19525 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
3610ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
37 ffn 6602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
3836, 11, 373syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
3926ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
40 ffn 6602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
4139, 27, 403syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
42 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
43 xpfi 9083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
4442, 7, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
4544ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
46 opelxpi 5628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝑀𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
4746adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖𝑀𝑘𝑂) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
4847adantll 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
49 fnfvof 7550 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁) ∧ 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁)) ∧ ((𝑀 × 𝑁) ∈ Fin ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))) → ((𝑋f + 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = ((𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩) + (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)))
5038, 41, 45, 48, 49syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑋f + 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = ((𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩) + (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)))
51 df-ov 7280 . . . . . . . . . . 11 (𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗) = ((𝑋f + 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
52 df-ov 7280 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑋𝑗) = (𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
53 df-ov 7280 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑌𝑗) = (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
5452, 53oveq12i 7289 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗)) = ((𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩) + (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩))
5550, 51, 543eqtr4g 2803 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗)))
5655oveq1d 7292 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
571, 2, 23ringdir 19804 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → (((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
589, 16, 30, 22, 57syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
5956, 58eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
6059mpteq2dva 5176 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
61 eqidd 2739 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
62 eqidd 2739 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
638, 25, 32, 61, 62offval2 7553 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑗𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
6460, 63eqtr4d 2781 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
6564oveq2d 7293 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
66 mamudi.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
673adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
6842adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
69 mamudi.o . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
7069adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
7110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
7217adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
73 simprl 768 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑖𝑀)
74 simprr 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑘𝑂)
7566, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 71, 72, 73, 74mamufv 21534 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
7626adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
7766, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 76, 72, 73, 74mamufv 21534 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
7875, 77oveq12d 7295 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
7935, 65, 783eqtr4d 2788 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
80 ringmnd 19791 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
813, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
821, 2mndvcl 21538 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁))) → (𝑋f + 𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
8381, 10, 26, 82syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋f + 𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
8483adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋f + 𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
8566, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 84, 72, 73, 74mamufv 21534 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
861, 3, 66, 42, 7, 69, 10, 17mamucl 21546 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
87 elmapi 8635 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
88 ffn 6602 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9089adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
911, 3, 66, 42, 7, 69, 26, 17mamucl 21546 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
92 elmapi 8635 . . . . . . . 8 ((𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
93 ffn 6602 . . . . . . . 8 ((𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9594adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
96 xpfi 9083 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
9742, 69, 96syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
9897adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
99 opelxpi 5628 . . . . . . 7 ((𝑖𝑀𝑘𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
10099adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
101 fnfvof 7550 . . . . . 6 ((((𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂)) ∧ ((𝑀 × 𝑂) ∈ Fin ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
10290, 95, 98, 100, 101syl22anc 836 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
103 df-ov 7280 . . . . 5 (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = (((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
104 df-ov 7280 . . . . . 6 (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
105 df-ov 7280 . . . . . 6 (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
106104, 105oveq12i 7289 . . . . 5 ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)) = (((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩))
107102, 103, 1063eqtr4g 2803 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
10879, 85, 1073eqtr4d 2788 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
109108ralrimivva 3111 . 2 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
1101, 3, 66, 42, 7, 69, 83, 17mamucl 21546 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
111 elmapi 8635 . . . 4 (((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
112 ffn 6602 . . . 4 (((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
113110, 111, 1123syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
1141, 2mndvcl 21538 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂))) → ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
11581, 86, 91, 114syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
116 elmapi 8635 . . . 4 (((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
117 ffn 6602 . . . 4 (((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
118115, 116, 1173syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
119 eqfnov2 7404 . . 3 ((((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
120113, 118, 119syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
121109, 120mpbird 256 1 (𝜑 → ((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  cop 4569  cotp 4571  cmpt 5159   × cxp 5589   Fn wfn 6430  wf 6431  cfv 6435  (class class class)co 7277  f cof 7531  m cmap 8613  Fincfn 8731  Basecbs 16910  +gcplusg 16960  .rcmulr 16961   Σg cgsu 17149  Mndcmnd 18383  CMndccmn 19384  Ringcrg 19781   maMul cmmul 21530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-ot 4572  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-isom 6444  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7976  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-er 8496  df-map 8615  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-fsupp 9127  df-oi 9267  df-card 9695  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12581  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-seq 13720  df-hash 14043  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-mamu 21531
This theorem is referenced by:  matring  21590  mdetmul  21770
  Copyright terms: Public domain W3C validator