Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamudi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamudi 21011
 Description: Matrix multiplication distributes over addition on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mamudi.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamudi.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamudi.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamudi.o (𝜑𝑂 ∈ Fin)
mamudi.p + = (+g𝑅)
mamudi.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamudi.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamudi.z (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
Assertion
Ref Expression
mamudi (𝜑 → ((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamudi
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 mamudi.p . . . . . 6 + = (+g𝑅)
3 mamucl.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 19330 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
65adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ CMnd)
7 mamudi.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
87adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
93ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
10 mamudi.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
11 elmapi 8415 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
14 simplrl 776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑀)
15 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
1613, 14, 15fovrnd 7304 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
17 mamudi.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
18 elmapi 8415 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
21 simplrr 777 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑘𝑂)
2220, 15, 21fovrnd 7304 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
23 eqid 2801 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
241, 23ringcl 19310 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
259, 16, 22, 24syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
26 mamudi.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
27 elmapi 8415 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
3029, 14, 15fovrnd 7304 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
311, 23ringcl 19310 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
329, 30, 22, 31syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
33 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
34 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
351, 2, 6, 8, 25, 32, 33, 34gsummptfidmadd2 19042 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
3610ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
37 ffn 6491 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
3836, 11, 373syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
3926ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
40 ffn 6491 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
4139, 27, 403syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
42 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
43 xpfi 8777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
4442, 7, 43syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
46 opelxpi 5560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝑀𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
4746adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖𝑀𝑘𝑂) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
4847adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
49 fnfvof 7407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁) ∧ 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁)) ∧ ((𝑀 × 𝑁) ∈ Fin ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))) → ((𝑋f + 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = ((𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩) + (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)))
5038, 41, 45, 48, 49syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑋f + 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = ((𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩) + (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)))
51 df-ov 7142 . . . . . . . . . . 11 (𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗) = ((𝑋f + 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
52 df-ov 7142 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑋𝑗) = (𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
53 df-ov 7142 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑌𝑗) = (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
5452, 53oveq12i 7151 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗)) = ((𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩) + (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩))
5550, 51, 543eqtr4g 2861 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗)))
5655oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
571, 2, 23ringdir 19316 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → (((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
589, 16, 30, 22, 57syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → (((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗))(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
5956, 58eqtrd 2836 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
6059mpteq2dva 5128 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
61 eqidd 2802 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
62 eqidd 2802 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
638, 25, 32, 61, 62offval2 7410 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑗𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
6460, 63eqtr4d 2839 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
6564oveq2d 7155 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg ((𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘f + (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
66 mamudi.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
673adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
6842adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
69 mamudi.o . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 ∈ Fin)
7069adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
7110adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
7217adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑂)))
73 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑖𝑀)
74 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑘𝑂)
7566, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 71, 72, 73, 74mamufv 20997 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
7626adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
7766, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 76, 72, 73, 74mamufv 20997 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
7875, 77oveq12d 7157 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
7935, 65, 783eqtr4d 2846 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
80 ringmnd 19303 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
813, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
821, 2mndvcl 21001 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁))) → (𝑋f + 𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
8381, 10, 26, 82syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋f + 𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
8483adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋f + 𝑌) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
8566, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 84, 72, 73, 74mamufv 20997 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋f + 𝑌)𝑗)(.r𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
861, 3, 66, 42, 7, 69, 10, 17mamucl 21009 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
87 elmapi 8415 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
88 ffn 6491 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9089adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
911, 3, 66, 42, 7, 69, 26, 17mamucl 21009 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
92 elmapi 8415 . . . . . . . 8 ((𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
93 ffn 6491 . . . . . . . 8 ((𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
9594adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
96 xpfi 8777 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
9742, 69, 96syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
9897adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
99 opelxpi 5560 . . . . . . 7 ((𝑖𝑀𝑘𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
10099adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
101 fnfvof 7407 . . . . . 6 ((((𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂)) ∧ ((𝑀 × 𝑂) ∈ Fin ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
10290, 95, 98, 100, 101syl22anc 837 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
103 df-ov 7142 . . . . 5 (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = (((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
104 df-ov 7142 . . . . . 6 (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
105 df-ov 7142 . . . . . 6 (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
106104, 105oveq12i 7151 . . . . 5 ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)) = (((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩))
107102, 103, 1063eqtr4g 2861 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
10879, 85, 1073eqtr4d 2846 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑀𝑘𝑂)) → (𝑖((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
109108ralrimivva 3159 . 2 (𝜑 → ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
1101, 3, 66, 42, 7, 69, 83, 17mamucl 21009 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
111 elmapi 8415 . . . 4 (((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
112 ffn 6491 . . . 4 (((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
113110, 111, 1123syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
1141, 2mndvcl 21001 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂))) → ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
11581, 86, 91, 114syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)))
116 elmapi 8415 . . . 4 (((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
117 ffn 6491 . . . 4 (((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
118115, 116, 1173syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
119 eqfnov2 7264 . . 3 ((((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
120113, 118, 119syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖𝑀𝑘𝑂 (𝑖((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
121109, 120mpbird 260 1 (𝜑 → ((𝑋f + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ⟨cop 4534  ⟨cotp 4536   ↦ cmpt 5113   × cxp 5521   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∘f cof 7391   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561   Σg cgsu 16709  Mndcmnd 17906  CMndccmn 18901  Ringcrg 19293   maMul cmmul 20993 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-mamu 20994 This theorem is referenced by:  matring  21051  mdetmul  21231
 Copyright terms: Public domain W3C validator