Theorem mamudi 22323

Description: Matrix multiplication distributes over addition on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamucl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamucl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamudi.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
mamudi.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamudi.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamudi.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
mamudi.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
mamudi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamudi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamudi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))

Assertion

Ref	Expression
mamudi	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)))

Proof of Theorem mamudi

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamucl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mamudi.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		mamucl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringcmn 20225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6	5	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑅 ∈ CMnd)
7		mamudi.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
8	7	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑁 ∈ Fin)
9	3	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
10		mamudi.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
11		elmapi 8874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
13	12	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
14		simplrl 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑀)
15		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
16	13, 14, 15	fovcdmd 7599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵)
17		mamudi.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
18		elmapi 8874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
20	19	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑂)⟶𝐵)
21		simplrr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑂)
22	20, 15, 21	fovcdmd 7599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)
23		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
24	1, 23	ringcl 20197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
25	9, 16, 22, 24	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
26		mamudi.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
27		elmapi 8874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
29	28	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
30	29, 14, 15	fovcdmd 7599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵)
31	1, 23	ringcl 20197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
32	9, 30, 22, 31	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) ∈ 𝐵)
33		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
34		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
35	1, 2, 6, 8, 25, 32, 33, 34	gsummptfidmadd2 19888	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘f + (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
36	10	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
37		ffn 6727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵 → 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
38	36, 11, 37	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
39	26	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
40		ffn 6727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵 → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
41	39, 27, 40	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁))
42		mamudi.m	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
43		xpfi 9349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
44	42, 7, 43	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
45	44	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑀 × 𝑁) ∈ Fin)
46		opelxpi 5719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
47	46	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
48	47	adantll 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))
49		fnfvof 7708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁) ∧ 𝑌 Fn (𝑀 × 𝑁)) ∧ ((𝑀 × 𝑁) ∈ Fin ∧ ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑀 × 𝑁))) → ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = ((𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩) + (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)))
50	38, 41, 45, 48, 49	syl22anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩) = ((𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩) + (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)))
51		df-ov 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖(𝑋 ∘f + 𝑌)𝑗) = ((𝑋 ∘f + 𝑌)‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
52		df-ov 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖𝑋𝑗) = (𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
53		df-ov 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖𝑌𝑗) = (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
54	52, 53	oveq12i 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗)) = ((𝑋‘⟨𝑖, 𝑗⟩) + (𝑌‘⟨𝑖, 𝑗⟩))
55	50, 51, 54	3eqtr4g 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑋 ∘f + 𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗)))
56	55	oveq1d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑋 ∘f + 𝑌)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗))(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))
57	1, 2, 23	ringdir 20208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑖𝑋𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖𝑌𝑗) ∈ 𝐵 ∧ (𝑗𝑍𝑘) ∈ 𝐵)) → (((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗))(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
58	9, 16, 30, 22, 57	syl13anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (((𝑖𝑋𝑗) + (𝑖𝑌𝑗))(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
59	56, 58	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑋 ∘f + 𝑌)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) = (((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
60	59	mpteq2dva 5252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ∘f + 𝑌)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
61		eqidd 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
62		eqidd 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))
63	8, 25, 32, 61, 62	offval2 7711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ((𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘f + (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)) + ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
64	60, 63	eqtr4d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ∘f + 𝑌)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) = ((𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘f + (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
65	64	oveq2d 7442	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ∘f + 𝑌)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))) ∘f + (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
66		mamudi.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑂⟩)
67	3	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑅 ∈ Ring)
68	42	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑀 ∈ Fin)
69		mamudi.o	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Fin)
70	69	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑂 ∈ Fin)
71	10	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
72	17	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑂)))
73		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑖 ∈ 𝑀)
74		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑘 ∈ 𝑂)
75	66, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 71, 72, 73, 74	mamufv 22309	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
76	26	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
77	66, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 76, 72, 73, 74	mamufv 22309	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
78	75, 77	oveq12d 7444	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) + (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑌𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘))))))
79	35, 65, 78	3eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ∘f + 𝑌)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
80		ringmnd 20190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
81	3, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
82	1, 2	mndvcl 22313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁))) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
83	81, 10, 26, 82	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
84	83	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑋 ∘f + 𝑌) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
85	66, 1, 23, 67, 68, 8, 70, 84, 72, 73, 74	mamufv 22309	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ∘f + 𝑌)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑗𝑍𝑘)))))
86	1, 3, 66, 42, 7, 69, 10, 17	mamucl 22321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
87		elmapi 8874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
88		ffn 6727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
89	86, 87, 88	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
90	89	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
91	1, 3, 66, 42, 7, 69, 26, 17	mamucl 22321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
92		elmapi 8874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
93		ffn 6727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
94	91, 92, 93	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
95	94	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
96		xpfi 9349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑂 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
97	42, 69, 96	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
98	97	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑀 × 𝑂) ∈ Fin)
99		opelxpi 5719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
100	99	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))
101		fnfvof 7708	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ (𝑌𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂)) ∧ ((𝑀 × 𝑂) ∈ Fin ∧ ⟨𝑖, 𝑘⟩ ∈ (𝑀 × 𝑂))) → (((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
102	90, 95, 98, 100, 101	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩) = (((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)))
103		df-ov 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = (((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
104		df-ov 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
105		df-ov 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘) = ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩)
106	104, 105	oveq12i 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)) = (((𝑋𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩) + ((𝑌𝐹𝑍)‘⟨𝑖, 𝑘⟩))
107	102, 103, 106	3eqtr4g 2793	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘) = ((𝑖(𝑋𝐹𝑍)𝑘) + (𝑖(𝑌𝐹𝑍)𝑘)))
108	79, 85, 107	3eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑂)) → (𝑖((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
109	108	ralrimivva 3198	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘))
110	1, 3, 66, 42, 7, 69, 83, 17	mamucl 22321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
111		elmapi 8874	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
112		ffn 6727	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
113	110, 111, 112	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂))
114	1, 2	mndvcl 22313	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) ∧ (𝑌𝐹𝑍) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂))) → ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
115	81, 86, 91, 114	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)))
116		elmapi 8874	. . . 4 ⊢ (((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑂)) → ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵)
117		ffn 6727	. . . 4 ⊢ (((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)):(𝑀 × 𝑂)⟶𝐵 → ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
118	115, 116, 117	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂))
119		eqfnov2 7557	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍) Fn (𝑀 × 𝑂) ∧ ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) Fn (𝑀 × 𝑂)) → (((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
120	113, 118, 119	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑂 (𝑖((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍)𝑘) = (𝑖((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍))𝑘)))
121	109, 120	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘f + 𝑌)𝐹𝑍) = ((𝑋𝐹𝑍) ∘f + (𝑌𝐹𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058  ⟨cop 4638  ⟨cotp 4640   ↦ cmpt 5235   × cxp 5680   Fn wfn 6548  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘_f cof 7689   ↑_m cmap 8851  Fincfn 8970  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  ._rcmulr 17241   Σ_g cgsu 17429  Mndcmnd 18701  CMndccmn 19742  Ringcrg 20180   maMul cmmul 22305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-mamu 22306

This theorem is referenced by:  matring  22365  mdetmul  22545