Theorem rncoss 5971

Description: Range of a composition. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rncoss	⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ ran 𝐴

Proof of Theorem rncoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmcoss 5969	. 2 ⊢ dom (◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ⊆ dom ◡𝐴
2		df-rn 5669	. . 3 ⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) = dom ◡(𝐴 ∘ 𝐵)
3		cnvco 5879	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 ∘ 𝐵) = (◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
4	3	dmeqi 5898	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 ∘ 𝐵) = dom (◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
5	2, 4	eqtri 2786	. 2 ⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) = dom (◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
6		df-rn 5669	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
7	1, 5, 6	3sstr4i 3964	1 ⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ ran 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3900  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658  ran crn 5659   ∘ ccom 5662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669

This theorem is used by:  cossxp  6298  fcof  6763  fin23lem29  10458  fin23lem30  10459  wunco  10857  imasless  17762  gsumzf1o  20177  znleval  21915  pi1xfrcnvlem  25432  pjss1coi  32822  pj3i  32867  smatrcl  34539  mblfinlem3  38845  mblfinlem4  38846  ismblfin  38847  relexp0a  44977  rntrclfv  44993  hfstructhf  46297  stoweidlem27  47310  fourierdlem42  47432  hoicvr  47831