Theorem rncoss 5969

Description: Range of a composition. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rncoss	⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ ran 𝐴

Proof of Theorem rncoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmcoss 5967	. 2 ⊢ dom (◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ⊆ dom ◡𝐴
2		df-rn 5674	. . 3 ⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) = dom ◡(𝐴 ∘ 𝐵)
3		cnvco 5877	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 ∘ 𝐵) = (◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
4	3	dmeqi 5896	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 ∘ 𝐵) = dom (◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
5	2, 4	eqtri 2788	. 2 ⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) = dom (◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
6		df-rn 5674	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
7	1, 5, 6	3sstr4i 3989	1 ⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ ran 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3906  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664   ∘ ccom 5667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674

This theorem is used by:  cossxp  6276  fcof  6733  fin23lem29  10336  fin23lem30  10337  wunco  10729  imasless  17611  gsumzf1o  20005  znleval  21733  pi1xfrcnvlem  25244  pjss1coi  32544  pj3i  32589  smatrcl  34209  mblfinlem3  38343  mblfinlem4  38344  ismblfin  38345  relexp0a  44475  rntrclfv  44491  stoweidlem27  46774  fourierdlem42  46896  hoicvr  47295