Theorem rncoss 5961

Description: Range of a composition. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rncoss	⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ ran 𝐴

Proof of Theorem rncoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmcoss 5959	. 2 ⊢ dom (◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ⊆ dom ◡𝐴
2		df-rn 5666	. . 3 ⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) = dom ◡(𝐴 ∘ 𝐵)
3		cnvco 5869	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 ∘ 𝐵) = (◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
4	3	dmeqi 5888	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 ∘ 𝐵) = dom (◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
5	2, 4	eqtri 2783	. 2 ⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) = dom (◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
6		df-rn 5666	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
7	1, 5, 6	3sstr4i 3982	1 ⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ ran 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   ∘ ccom 5659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666

This theorem is used by:  cossxp  6269  fcof  6726  fin23lem29  10343  fin23lem30  10344  wunco  10742  imasless  17626  gsumzf1o  20039  znleval  21767  pi1xfrcnvlem  25284  pjss1coi  32644  pj3i  32689  smatrcl  34306  mblfinlem3  38408  mblfinlem4  38409  ismblfin  38410  relexp0a  44556  rntrclfv  44572  stoweidlem27  46855  fourierdlem42  46977  hoicvr  47376