Theorem rncoss 5972

Description: Range of a composition. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rncoss	⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ ran 𝐴

Proof of Theorem rncoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmcoss 5971	. 2 ⊢ dom (◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ⊆ dom ◡𝐴
2		df-rn 5688	. . 3 ⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) = dom ◡(𝐴 ∘ 𝐵)
3		cnvco 5886	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 ∘ 𝐵) = (◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
4	3	dmeqi 5905	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 ∘ 𝐵) = dom (◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
5	2, 4	eqtri 2761	. 2 ⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) = dom (◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
6		df-rn 5688	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
7	1, 5, 6	3sstr4i 4026	1 ⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ ran 𝐴

Syntax hints:   ⊆ wss 3949  ^◡ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   ∘ ccom 5681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688

This theorem is referenced by:  cossxp  6272  fcof  6741  fcoOLD  6743  fco3OLD  6752  fin23lem29  10336  fin23lem30  10337  wunco  10728  imasless  17486  gsumzf1o  19780  znleval  21110  pi1xfrcnvlem  24572  pjss1coi  31416  pj3i  31461  smatrcl  32776  mblfinlem3  36527  mblfinlem4  36528  ismblfin  36529  relexp0a  42467  rntrclfv  42483  stoweidlem27  44743  fourierdlem42  44865  hoicvr  45264