Theorem rncoss 5958

Description: Range of a composition. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rncoss	⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ ran 𝐴

Proof of Theorem rncoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmcoss 5956	. 2 ⊢ dom (◡𝐵 ∘ ◡𝐴) ⊆ dom ◡𝐴
2		df-rn 5661	. . 3 ⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) = dom ◡(𝐴 ∘ 𝐵)
3		cnvco 5866	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 ∘ 𝐵) = (◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
4	3	dmeqi 5885	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 ∘ 𝐵) = dom (◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
5	2, 4	eqtri 2783	. 2 ⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) = dom (◡𝐵 ∘ ◡𝐴)
6		df-rn 5661	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
7	1, 5, 6	3sstr4i 3959	1 ⊢ ran (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ ran 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3895  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   ∘ ccom 5654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661

This theorem is used by:  cossxp  6274  fcof  6734  fin23lem29  10423  fin23lem30  10424  wunco  10822  imasless  17718  gsumzf1o  20132  znleval  21866  pi1xfrcnvlem  25383  pjss1coi  32771  pj3i  32816  smatrcl  34475  mblfinlem3  38671  mblfinlem4  38672  ismblfin  38673  relexp0a  44810  rntrclfv  44826  hfstructhf  46124  stoweidlem27  47131  fourierdlem42  47253  hoicvr  47652