Theorem imasless 17495

Description: The order relation defined on an image set is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasless.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasless.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasless.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasless.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasless.l	⊢ ≤ = (le‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasless	⊢ (𝜑 → ≤ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem imasless

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasless.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasless.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasless.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imasless.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
6		imasless.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imasle 17478	. 2 ⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹))
8		relco 6067	. . . 4 ⊢ Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)
9		relssdmrn 6227	. . . 4 ⊢ (Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹))
11		dmco 6213	. . . . 5 ⊢ dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) = (◡◡𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅)))
12		fof 6746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
13		frel 6667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉⟶𝐵 → Rel 𝐹)
14	3, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
15		dfrel2 6147	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
16	14, 15	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
17	16	imaeq1d 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) = (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))))
18		imassrn 6030	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ ran 𝐹
19		forn 6749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
20	3, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
21	18, 20	sseqtrid 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
22	17, 21	eqsstrd 3957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
23	11, 22	eqsstrid 3961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵)
24		rncoss 5926	. . . . 5 ⊢ ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅))
25		rnco2 6212	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) = (𝐹 “ ran (le‘𝑅))
26		imassrn 6030	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ ran 𝐹
27	26, 20	sseqtrid 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
28	25, 27	eqsstrid 3961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
29	24, 28	sstrid 3934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵)
30		xpss12 5639	. . . 4 ⊢ ((dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵) → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
31	23, 29, 30	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
32	10, 31	sstrid 3934	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
33	7, 32	eqsstrd 3957	1 ⊢ (𝜑 → ≤ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625   “ cima 5627   ∘ ccom 5628  Rel wrel 5629  ⟶wf 6488  –onto→wfo 6490  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  lecple 17218   “_s cimas 17459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-imas 17463

This theorem is referenced by:  xpsless  17533