Theorem imasless 16642

Description: The order relation defined on an image set is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasless.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasless.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasless.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasless.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasless.l	⊢ ≤ = (le‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasless	⊢ (𝜑 → ≤ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem imasless

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasless.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasless.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasless.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imasless.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		eqid 2794	. . 3 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
6		imasless.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imasle 16625	. 2 ⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹))
8		relco 5975	. . . 4 ⊢ Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)
9		relssdmrn 5999	. . . 4 ⊢ (Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹))
11		dmco 5985	. . . . 5 ⊢ dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) = (◡◡𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅)))
12		fof 6461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
13		frel 6390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉⟶𝐵 → Rel 𝐹)
14	3, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
15		dfrel2 5925	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
16	14, 15	sylib 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
17	16	imaeq1d 5808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) = (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))))
18		imassrn 5820	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ ran 𝐹
19		forn 6464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
20	3, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
21	18, 20	sseqtrid 3942	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
22	17, 21	eqsstrd 3928	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
23	11, 22	eqsstrid 3938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵)
24		rncoss 5727	. . . . 5 ⊢ ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅))
25		rnco2 5984	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) = (𝐹 “ ran (le‘𝑅))
26		imassrn 5820	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ ran 𝐹
27	26, 20	sseqtrid 3942	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
28	25, 27	eqsstrid 3938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
29	24, 28	sstrid 3902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵)
30		xpss12 5461	. . . 4 ⊢ ((dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵) → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
31	23, 29, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
32	10, 31	sstrid 3902	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
33	7, 32	eqsstrd 3928	1 ⊢ (𝜑 → ≤ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2080   ⊆ wss 3861   × cxp 5444  ^◡ccnv 5445  dom cdm 5446  ran crn 5447   “ cima 5449   ∘ ccom 5450  Rel wrel 5451  ⟶wf 6224  –onto→wfo 6226  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019  Basecbs 16312  lecple 16401   “_s cimas 16606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-sup 8755  df-inf 8756  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-imas 16610

This theorem is referenced by:  xpsless  16680