Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasless Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasless 16807
 Description: The order relation defined on an image set is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasless.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasless.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasless.r (𝜑𝑅𝑍)
imasless.l = (le‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
imasless (𝜑 ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem imasless
StepHypRef Expression
1 imasless.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasless.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasless.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imasless.r . . 3 (𝜑𝑅𝑍)
5 eqid 2798 . . 3 (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
6 imasless.l . . 3 = (le‘𝑈)
71, 2, 3, 4, 5, 6imasle 16790 . 2 (𝜑 = ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹))
8 relco 6064 . . . 4 Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)
9 relssdmrn 6088 . . . 4 (Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)))
108, 9ax-mp 5 . . 3 ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹))
11 dmco 6074 . . . . 5 dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) = (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅)))
12 fof 6565 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
13 frel 6492 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉𝐵 → Rel 𝐹)
143, 12, 133syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → Rel 𝐹)
15 dfrel2 6013 . . . . . . . 8 (Rel 𝐹𝐹 = 𝐹)
1614, 15sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = 𝐹)
1716imaeq1d 5895 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) = (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))))
18 imassrn 5907 . . . . . . 7 (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ ran 𝐹
19 forn 6568 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
203, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
2118, 20sseqtrid 3967 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
2217, 21eqsstrd 3953 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
2311, 22eqsstrid 3963 . . . 4 (𝜑 → dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ 𝐵)
24 rncoss 5808 . . . . 5 ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅))
25 rnco2 6073 . . . . . 6 ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) = (𝐹 “ ran (le‘𝑅))
26 imassrn 5907 . . . . . . 7 (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ ran 𝐹
2726, 20sseqtrid 3967 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
2825, 27eqsstrid 3963 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
2924, 28sstrid 3926 . . . 4 (𝜑 → ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ 𝐵)
30 xpss12 5534 . . . 4 ((dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ 𝐵) → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
3123, 29, 30syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
3210, 31sstrid 3926 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ 𝐹) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
337, 32eqsstrd 3953 1 (𝜑 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   × cxp 5517  ◡ccnv 5518  dom cdm 5519  ran crn 5520   “ cima 5522   ∘ ccom 5523  Rel wrel 5524  ⟶wf 6320  –onto→wfo 6322  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16477  lecple 16566   “s cimas 16771 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-fz 12888  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-imas 16775 This theorem is referenced by:  xpsless  16845
 Copyright terms: Public domain W3C validator