Theorem imasless 17045

Description: The order relation defined on an image set is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasless.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasless.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasless.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasless.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasless.l	⊢ ≤ = (le‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasless	⊢ (𝜑 → ≤ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem imasless

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasless.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasless.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasless.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imasless.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
6		imasless.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imasle 17028	. 2 ⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹))
8		relco 6108	. . . 4 ⊢ Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)
9		relssdmrn 6132	. . . 4 ⊢ (Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹))
11		dmco 6118	. . . . 5 ⊢ dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) = (◡◡𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅)))
12		fof 6633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
13		frel 6550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉⟶𝐵 → Rel 𝐹)
14	3, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
15		dfrel2 6052	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
16	14, 15	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
17	16	imaeq1d 5928	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) = (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))))
18		imassrn 5940	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ ran 𝐹
19		forn 6636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
20	3, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
21	18, 20	sseqtrid 3953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
22	17, 21	eqsstrd 3939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
23	11, 22	eqsstrid 3949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵)
24		rncoss 5841	. . . . 5 ⊢ ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅))
25		rnco2 6117	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) = (𝐹 “ ran (le‘𝑅))
26		imassrn 5940	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ ran 𝐹
27	26, 20	sseqtrid 3953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
28	25, 27	eqsstrid 3949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
29	24, 28	sstrid 3912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵)
30		xpss12 5566	. . . 4 ⊢ ((dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵) → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
31	23, 29, 30	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
32	10, 31	sstrid 3912	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
33	7, 32	eqsstrd 3939	1 ⊢ (𝜑 → ≤ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866   × cxp 5549  ^◡ccnv 5550  dom cdm 5551  ran crn 5552   “ cima 5554   ∘ ccom 5555  Rel wrel 5556  ⟶wf 6376  –onto→wfo 6378  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  lecple 16809   “_s cimas 17009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-imas 17013

This theorem is referenced by:  xpsless  17083