Theorem imasless 17584

Description: The order relation defined on an image set is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasless.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasless.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasless.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasless.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasless.l	⊢ ≤ = (le‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasless	⊢ (𝜑 → ≤ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem imasless

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasless.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasless.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasless.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imasless.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
6		imasless.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imasle 17567	. 2 ⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹))
8		relco 6101	. . . 4 ⊢ Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)
9		relssdmrn 6260	. . . 4 ⊢ (Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹))
11		dmco 6246	. . . . 5 ⊢ dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) = (◡◡𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅)))
12		fof 6782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
13		frel 6701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉⟶𝐵 → Rel 𝐹)
14	3, 12, 13	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
15		dfrel2 6179	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
16	14, 15	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
17	16	imaeq1d 6052	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) = (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))))
18		imassrn 6064	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ ran 𝐹
19		forn 6785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
20	3, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
21	18, 20	sseqtrid 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
22	17, 21	eqsstrd 3973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
23	11, 22	eqsstrid 3977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵)
24		rncoss 5958	. . . . 5 ⊢ ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅))
25		rnco2 6245	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) = (𝐹 “ ran (le‘𝑅))
26		imassrn 6064	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ ran 𝐹
27	26, 20	sseqtrid 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
28	25, 27	eqsstrid 3977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
29	24, 28	sstrid 3950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵)
30		xpss12 5667	. . . 4 ⊢ ((dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵) → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
31	23, 29, 30	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
32	10, 31	sstrid 3950	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
33	7, 32	eqsstrd 3973	1 ⊢ (𝜑 → ≤ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   × cxp 5650  ^◡ccnv 5651  dom cdm 5652  ran crn 5653   “ cima 5655   ∘ ccom 5656  Rel wrel 5657  ⟶wf 6521  –onto→wfo 6523  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  lecple 17307   “_s cimas 17548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-imas 17552

This theorem is referenced by:  xpsless  17622