MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasless Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasless 17423
Description: The order relation defined on an image set is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasless.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasless.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imasless.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasless.l ≀ = (leβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
imasless (πœ‘ β†’ ≀ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))

Proof of Theorem imasless
StepHypRef Expression
1 imasless.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imasless.v . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imasless.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
4 imasless.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
5 eqid 2737 . . 3 (leβ€˜π‘…) = (leβ€˜π‘…)
6 imasless.l . . 3 ≀ = (leβ€˜π‘ˆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6imasle 17406 . 2 (πœ‘ β†’ ≀ = ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹))
8 relco 6061 . . . 4 Rel ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹)
9 relssdmrn 6221 . . . 4 (Rel ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹) β†’ ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹) βŠ† (dom ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹) Γ— ran ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹)))
108, 9ax-mp 5 . . 3 ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹) βŠ† (dom ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹) Γ— ran ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹))
11 dmco 6207 . . . . 5 dom ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹) = (◑◑𝐹 β€œ dom (𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)))
12 fof 6757 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
13 frel 6674 . . . . . . . . 9 (𝐹:π‘‰βŸΆπ΅ β†’ Rel 𝐹)
143, 12, 133syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Rel 𝐹)
15 dfrel2 6142 . . . . . . . 8 (Rel 𝐹 ↔ ◑◑𝐹 = 𝐹)
1614, 15sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ◑◑𝐹 = 𝐹)
1716imaeq1d 6013 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (◑◑𝐹 β€œ dom (𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…))) = (𝐹 β€œ dom (𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…))))
18 imassrn 6025 . . . . . . 7 (𝐹 β€œ dom (𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…))) βŠ† ran 𝐹
19 forn 6760 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
203, 19syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
2118, 20sseqtrid 3997 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ dom (𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…))) βŠ† 𝐡)
2217, 21eqsstrd 3983 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (◑◑𝐹 β€œ dom (𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…))) βŠ† 𝐡)
2311, 22eqsstrid 3993 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹) βŠ† 𝐡)
24 rncoss 5928 . . . . 5 ran ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹) βŠ† ran (𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…))
25 rnco2 6206 . . . . . 6 ran (𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) = (𝐹 β€œ ran (leβ€˜π‘…))
26 imassrn 6025 . . . . . . 7 (𝐹 β€œ ran (leβ€˜π‘…)) βŠ† ran 𝐹
2726, 20sseqtrid 3997 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ran (leβ€˜π‘…)) βŠ† 𝐡)
2825, 27eqsstrid 3993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) βŠ† 𝐡)
2924, 28sstrid 3956 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹) βŠ† 𝐡)
30 xpss12 5649 . . . 4 ((dom ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹) βŠ† 𝐡 ∧ ran ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹) βŠ† 𝐡) β†’ (dom ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹) Γ— ran ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹)) βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
3123, 29, 30syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (dom ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹) Γ— ran ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹)) βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
3210, 31sstrid 3956 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ (leβ€˜π‘…)) ∘ ◑𝐹) βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
337, 32eqsstrd 3983 1 (πœ‘ β†’ ≀ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638  Rel wrel 5639  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141   β€œs cimas 17387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-imas 17391
This theorem is referenced by:  xpsless  17461
  Copyright terms: Public domain W3C validator