Theorem imasless 17741

Description: The order relation defined on an image set is a subset of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasless.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasless.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasless.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶onto𝐵)
imasless.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasless.l	⊢ ≤ = (le‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imasless	⊢ (𝜑 → ≤ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem imasless

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasless.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasless.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasless.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶onto𝐵)
4		imasless.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
6		imasless.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	imasle 17724	. 2 ⊢ (𝜑 → ≤ = ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹))
8		relco 6116	. . . 4 ⊢ Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)
9		relssdmrn 6289	. . . 4 ⊢ (Rel ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹))
11		dmco 6269	. . . . 5 ⊢ dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) = (◡◡𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅)))
12		fof 6818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉⟶onto𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
13		frel 6737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉⟶𝐵 → Rel 𝐹)
14	3, 12, 13	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
15		dfrel2 6193	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
16	14, 15	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡◡𝐹 = 𝐹)
17	16	imaeq1d 6063	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) = (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))))
18		imassrn 6210	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ ran 𝐹
19		forn 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉⟶onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
20	3, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
21	18, 20	sseqtrid 3955	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
22	17, 21	eqsstrd 3947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡◡𝐹 “ dom (𝐹 ∘ (le‘𝑅))) ⊆ 𝐵)
23	11, 22	eqsstrid 3951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵)
24		rncoss 5966	. . . . 5 ⊢ ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅))
25		rnco2 6268	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) = (𝐹 “ ran (le‘𝑅))
26		imassrn 6210	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ ran 𝐹
27	26, 20	sseqtrid 3955	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ ran (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
28	25, 27	eqsstrid 3951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ⊆ 𝐵)
29	24, 28	sstrid 3924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵)
30		xpss12 5670	. . . 4 ⊢ ((dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵 ∧ ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝐵) → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
31	23, 29, 30	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
32	10, 31	sstrid 3924	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ (le‘𝑅)) ∘ ◡𝐹) ⊆ (𝐵 × 𝐵))
33	7, 32	eqsstrd 3947	1 ⊢ (𝜑 → ≤ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658   ∘ ccom 5659  Rel wrel 5660  ⟶wf 6554  ⟶ontowfo 6556  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  lecple 17464   “_s cimas 17705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-imas 17709

This theorem is used by:  xpsless  17779