Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fourierdlem42.x |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ) |
2 | | fourierdlem42.y |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ) |
3 | | fourierdlem42.j |
. . . . . 6
⊢ 𝐽 = (topGen‘ran
(,)) |
4 | | fourierdlem42.k |
. . . . . 6
⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (𝑋[,]𝑌)) |
5 | 3, 4 | icccmp 23722 |
. . . . 5
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ Comp) |
6 | 1, 2, 5 | syl2anc 587 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Comp) |
7 | 6 | adantr 484 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ Comp) |
8 | | fourierdlem42.h |
. . . . . 6
⊢ 𝐻 = {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} |
9 | | ssrab2 3993 |
. . . . . . 7
⊢ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ⊆ (𝑋[,]𝑌) |
10 | 9 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ⊆ (𝑋[,]𝑌)) |
11 | 8, 10 | eqsstrid 3949 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌)) |
12 | | retop 23659 |
. . . . . . . 8
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ Top |
13 | 3, 12 | eqeltri 2834 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐽 ∈ Top |
14 | 1, 2 | iccssred 13022 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ) |
15 | | uniretop 23660 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℝ =
∪ (topGen‘ran (,)) |
16 | 3 | unieqi 4832 |
. . . . . . . . 9
⊢ ∪ 𝐽 =
∪ (topGen‘ran (,)) |
17 | 15, 16 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . 8
⊢ ℝ =
∪ 𝐽 |
18 | 17 | restuni 22059 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) = ∪ (𝐽 ↾t (𝑋[,]𝑌))) |
19 | 13, 14, 18 | sylancr 590 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) = ∪ (𝐽 ↾t (𝑋[,]𝑌))) |
20 | 4 | unieqi 4832 |
. . . . . . 7
⊢ ∪ 𝐾 =
∪ (𝐽 ↾t (𝑋[,]𝑌)) |
21 | 20 | eqcomi 2746 |
. . . . . 6
⊢ ∪ (𝐽
↾t (𝑋[,]𝑌)) = ∪ 𝐾 |
22 | 19, 21 | eqtrdi 2794 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) = ∪ 𝐾) |
23 | 11, 22 | sseqtrd 3941 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾) |
24 | 23 | adantr 484 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾) |
25 | | simpr 488 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ¬ 𝐻 ∈ Fin) |
26 | | eqid 2737 |
. . . 4
⊢ ∪ 𝐾 =
∪ 𝐾 |
27 | 26 | bwth 22307 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾
∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin)
→ ∃𝑥 ∈
∪ 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻)) |
28 | 7, 24, 25, 27 | syl3anc 1373 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ∪ 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻)) |
29 | 11, 14 | sstrd 3911 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ ℝ) |
30 | 29 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → 𝐻 ⊆ ℝ) |
31 | | ne0i 4249 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) → ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ≠ ∅) |
32 | 31 | adantl 485 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ≠ ∅) |
33 | | fourierdlem42.e |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐸 = inf(𝑅, ℝ, < ) |
34 | | fourierdlem42.r |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑅 = ran (𝐷 ↾ 𝐼) |
35 | | absf 14901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
abs:ℂ⟶ℝ |
36 | | ffn 6545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ) |
37 | 35, 36 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ abs Fn
ℂ |
38 | | subf 11080 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ −
:(ℂ × ℂ)⟶ℂ |
39 | | ffn 6545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ( −
:(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ ×
ℂ)) |
40 | 38, 39 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ −
Fn (ℂ × ℂ) |
41 | | frn 6552 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ( −
:(ℂ × ℂ)⟶ℂ → ran − ⊆
ℂ) |
42 | 38, 41 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ran
− ⊆ ℂ |
43 | | fnco 6494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((abs Fn
ℂ ∧ − Fn (ℂ × ℂ) ∧ ran − ⊆
ℂ) → (abs ∘ − ) Fn (ℂ ×
ℂ)) |
44 | 37, 40, 42, 43 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (abs
∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) |
45 | | fourierdlem42.d |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 𝐷 = (abs ∘ −
) |
46 | 45 | fneq1i 6476 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐷 Fn (ℂ × ℂ)
↔ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)) |
47 | 44, 46 | mpbir 234 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝐷 Fn (ℂ ×
ℂ) |
48 | | fourierdlem42.i |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝐼 = ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) |
49 | | fourierdlem42.a |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶)) |
50 | | fourierdlem42.b |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
51 | | fourierdlem42.c |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) |
52 | 50, 51 | iccssred 13022 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ) |
53 | | ax-resscn 10786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
54 | 52, 53 | sstrdi 3913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ) |
55 | 49, 54 | sstrd 3911 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ) |
56 | | xpss12 5566 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℂ ×
ℂ)) |
57 | 55, 55, 56 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℂ ×
ℂ)) |
58 | 57 | ssdifssd 4057 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ⊆ (ℂ ×
ℂ)) |
59 | 48, 58 | eqsstrid 3949 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (ℂ ×
ℂ)) |
60 | | fnssres 6500 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐷 Fn (ℂ × ℂ)
∧ 𝐼 ⊆ (ℂ
× ℂ)) → (𝐷
↾ 𝐼) Fn 𝐼) |
61 | 47, 59, 60 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼) |
62 | | fvres 6736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝐷‘𝑥)) |
63 | 62 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝐷‘𝑥)) |
64 | 45 | fveq1i 6718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝐷‘𝑥) = ((abs ∘ − )‘𝑥) |
65 | 64 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐷‘𝑥) = ((abs ∘ − )‘𝑥)) |
66 | | ffun 6548 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ( −
:(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − ) |
67 | 38, 66 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ Fun
− |
68 | 59 | sselda 3901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ (ℂ ×
ℂ)) |
69 | 38 | fdmi 6557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ dom
− = (ℂ × ℂ) |
70 | 68, 69 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ dom − ) |
71 | | fvco 6809 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((Fun
− ∧ 𝑥 ∈ dom
− ) → ((abs ∘ − )‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥))) |
72 | 67, 70, 71 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((abs ∘ − )‘𝑥) = (abs‘( −
‘𝑥))) |
73 | 63, 65, 72 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥))) |
74 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → − :(ℂ ×
ℂ)⟶ℂ) |
75 | 74, 68 | ffvelrnd 6905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( − ‘𝑥) ∈ ℂ) |
76 | 75 | abscld 15000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘( − ‘𝑥)) ∈
ℝ) |
77 | 73, 76 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ) |
78 | | elxp2 5575 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ×
ℂ) ↔ ∃𝑦
∈ ℂ ∃𝑧
∈ ℂ 𝑥 =
〈𝑦, 𝑧〉) |
79 | 68, 78 | sylib 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) |
80 | | fveq2 6717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉 → ( − ‘𝑥) = ( − ‘〈𝑦, 𝑧〉)) |
81 | 80 | 3ad2ant3 1137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → ( − ‘𝑥) = ( − ‘〈𝑦, 𝑧〉)) |
82 | | df-ov 7216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑦 − 𝑧) = ( − ‘〈𝑦, 𝑧〉) |
83 | | simp1l 1199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → 𝜑) |
84 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) |
85 | | simpl 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → 𝑥 ∈ 𝐼) |
86 | 84, 85 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) |
87 | 86 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) |
88 | 87 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) |
89 | 55 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → 𝐴 ⊆ ℂ) |
90 | 48 | eleq2i 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 ↔ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )) |
91 | | eldif 3876 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ↔ (〈𝑦, 𝑧〉 ∈ (𝐴 × 𝐴) ∧ ¬ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ I )) |
92 | 90, 91 | sylbb 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 → (〈𝑦, 𝑧〉 ∈ (𝐴 × 𝐴) ∧ ¬ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ I )) |
93 | 92 | simpld 498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 → 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ (𝐴 × 𝐴)) |
94 | | opelxp 5587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) |
95 | 93, 94 | sylib 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) |
96 | 95 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) |
97 | 96 | simpld 498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐴) |
98 | 89, 97 | sseldd 3902 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ ℂ) |
99 | 96 | simprd 499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ 𝐴) |
100 | 89, 99 | sseldd 3902 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ ℂ) |
101 | 92 | simprd 499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 → ¬ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ I ) |
102 | | df-br 5054 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑦 I 𝑧 ↔ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ I ) |
103 | 101, 102 | sylnibr 332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 I 𝑧) |
104 | | vex 3412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ 𝑧 ∈ V |
105 | 104 | ideq 5721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑦 I 𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧) |
106 | 103, 105 | sylnib 331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 = 𝑧) |
107 | 106 | neqned 2947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 → 𝑦 ≠ 𝑧) |
108 | 107 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → 𝑦 ≠ 𝑧) |
109 | 98, 100, 108 | subne0d 11198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → (𝑦 − 𝑧) ≠ 0) |
110 | 83, 88, 109 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → (𝑦 − 𝑧) ≠ 0) |
111 | 82, 110 | eqnetrrid 3016 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → ( − ‘〈𝑦, 𝑧〉) ≠ 0) |
112 | 81, 111 | eqnetrd 3008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → ( − ‘𝑥) ≠ 0) |
113 | 112 | 3exp 1121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉 → ( − ‘𝑥) ≠ 0))) |
114 | 113 | rexlimdvv 3212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉 → ( − ‘𝑥) ≠ 0)) |
115 | 79, 114 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( − ‘𝑥) ≠ 0) |
116 | | absgt0 14888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((
− ‘𝑥) ∈
ℂ → (( − ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘( −
‘𝑥)))) |
117 | 75, 116 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (( − ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 <
(abs‘( − ‘𝑥)))) |
118 | 115, 117 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 < (abs‘( −
‘𝑥))) |
119 | 73 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘( − ‘𝑥)) = ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥)) |
120 | 118, 119 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 < ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥)) |
121 | 77, 120 | elrpd 12625 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) ∈
ℝ+) |
122 | 121 | ralrimiva 3105 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) ∈
ℝ+) |
123 | | fnfvrnss 6937 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+) → ran
(𝐷 ↾ 𝐼) ⊆
ℝ+) |
124 | 61, 122, 123 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ⊆
ℝ+) |
125 | 34, 124 | eqsstrid 3949 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆
ℝ+) |
126 | | ltso 10913 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ < Or
ℝ |
127 | 126 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → < Or
ℝ) |
128 | | fourierdlem42.af |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin) |
129 | | xpfi 8942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ∈ Fin) |
130 | 128, 128,
129 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐴) ∈ Fin) |
131 | | diffi 8906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 × 𝐴) ∈ Fin → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ∈ Fin) |
132 | 130, 131 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ∈ Fin) |
133 | 48, 132 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin) |
134 | | fnfi 8858 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐷 ↾ 𝐼) ∈ Fin) |
135 | 61, 133, 134 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ 𝐼) ∈ Fin) |
136 | | rnfi 8959 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐷 ↾ 𝐼) ∈ Fin → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ∈ Fin) |
137 | 135, 136 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ∈ Fin) |
138 | 34, 137 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin) |
139 | 34 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑅 = ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
140 | 45 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐷 = (abs ∘ − )) |
141 | 140 | reseq1d 5850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ 𝐼) = ((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)) |
142 | 141 | fveq1d 6719 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝐵, 𝐶〉) = (((abs ∘ − ) ↾
𝐼)‘〈𝐵, 𝐶〉)) |
143 | | fourierdlem42.ba |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴) |
144 | | fourierdlem42.ca |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴) |
145 | | opelxp 5587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(〈𝐵, 𝐶〉 ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) |
146 | 143, 144,
145 | sylanbrc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ (𝐴 × 𝐴)) |
147 | | fourierdlem42.bc |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶) |
148 | 50, 147 | ltned 10968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶) |
149 | 148 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶) |
150 | | ideqg 5720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶)) |
151 | 144, 150 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶)) |
152 | 149, 151 | mtbird 328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 I 𝐶) |
153 | | df-br 5054 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝐵 I 𝐶 ↔ 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ I ) |
154 | 152, 153 | sylnib 331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ¬ 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ I ) |
155 | 146, 154 | eldifd 3877 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )) |
156 | 155, 48 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ 𝐼) |
157 | | fvres 6736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(〈𝐵, 𝐶〉 ∈ 𝐼 → (((abs ∘ − ) ↾
𝐼)‘〈𝐵, 𝐶〉) = ((abs ∘ −
)‘〈𝐵, 𝐶〉)) |
158 | 156, 157 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (((abs ∘ − )
↾ 𝐼)‘〈𝐵, 𝐶〉) = ((abs ∘ −
)‘〈𝐵, 𝐶〉)) |
159 | 50 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
160 | 51 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
161 | | opelxp 5587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(〈𝐵, 𝐶〉 ∈ (ℂ ×
ℂ) ↔ (𝐵 ∈
ℂ ∧ 𝐶 ∈
ℂ)) |
162 | 159, 160,
161 | sylanbrc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ (ℂ ×
ℂ)) |
163 | 162, 69 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ dom − ) |
164 | | fvco 6809 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((Fun
− ∧ 〈𝐵,
𝐶〉 ∈ dom −
) → ((abs ∘ − )‘〈𝐵, 𝐶〉) = (abs‘( −
‘〈𝐵, 𝐶〉))) |
165 | 67, 163, 164 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((abs ∘ −
)‘〈𝐵, 𝐶〉) = (abs‘( −
‘〈𝐵, 𝐶〉))) |
166 | | df-ov 7216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝐵 − 𝐶) = ( − ‘〈𝐵, 𝐶〉) |
167 | 166 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ( −
‘〈𝐵, 𝐶〉) = (𝐵 − 𝐶) |
168 | 167 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ( −
‘〈𝐵, 𝐶〉) = (𝐵 − 𝐶)) |
169 | 168 | fveq2d 6721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (abs‘( −
‘〈𝐵, 𝐶〉)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶))) |
170 | 165, 169 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((abs ∘ −
)‘〈𝐵, 𝐶〉) = (abs‘(𝐵 − 𝐶))) |
171 | 142, 158,
170 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝐵, 𝐶〉)) |
172 | | fnfvelrn 6901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ 𝐼) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝐵, 𝐶〉) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
173 | 61, 156, 172 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝐵, 𝐶〉) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
174 | 171, 173 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
175 | | ne0i 4249 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((abs‘(𝐵
− 𝐶)) ∈ ran
(𝐷 ↾ 𝐼) → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ≠ ∅) |
176 | 174, 175 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ≠ ∅) |
177 | 139, 176 | eqnetrd 3008 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅) |
178 | | resss 5876 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐷 ↾ 𝐼) ⊆ 𝐷 |
179 | | rnss 5808 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐷 ↾ 𝐼) ⊆ 𝐷 → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ⊆ ran 𝐷) |
180 | 178, 179 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ran
(𝐷 ↾ 𝐼) ⊆ ran 𝐷 |
181 | 45 | rneqi 5806 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ran 𝐷 = ran (abs ∘ −
) |
182 | | rncoss 5841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ran (abs
∘ − ) ⊆ ran abs |
183 | | frn 6552 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(abs:ℂ⟶ℝ → ran abs ⊆
ℝ) |
184 | 35, 183 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ran abs
⊆ ℝ |
185 | 182, 184 | sstri 3910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ran (abs
∘ − ) ⊆ ℝ |
186 | 181, 185 | eqsstri 3935 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ran 𝐷 ⊆
ℝ |
187 | 180, 186 | sstri 3910 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ran
(𝐷 ↾ 𝐼) ⊆
ℝ |
188 | 34, 187 | eqsstri 3935 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑅 ⊆
ℝ |
189 | 188 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ) |
190 | | fiinfcl 9117 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (( <
Or ℝ ∧ (𝑅 ∈
Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅
∧ 𝑅 ⊆ ℝ))
→ inf(𝑅, ℝ, <
) ∈ 𝑅) |
191 | 127, 138,
177, 189, 190 | syl13anc 1374 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅) |
192 | 125, 191 | sseldd 3902 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈
ℝ+) |
193 | 33, 192 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈
ℝ+) |
194 | 193 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → 𝐸 ∈
ℝ+) |
195 | 3, 30, 32, 194 | lptre2pt 42856 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ 𝐻 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
196 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝜑) |
197 | 29 | sselda 3901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℝ) |
198 | 197 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℝ) |
199 | 198 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ) |
200 | 29 | sselda 3901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → 𝑧 ∈ ℝ) |
201 | 200 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → 𝑧 ∈ ℝ) |
202 | 201 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ) |
203 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑦 ≠ 𝑧) |
204 | 199, 202,
203 | 3jca 1130 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) |
205 | 8 | eleq2i 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴}) |
206 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇))) |
207 | 206 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
208 | 207 | rexbidv 3216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
209 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇)) |
210 | 209 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇))) |
211 | 210 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
212 | 211 | cbvrexvw 3359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(∃𝑘 ∈
ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
213 | 208, 212 | bitrdi 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
214 | 213 | elrab 3602 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
215 | 205, 214 | sylbb 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
216 | 215 | simprd 499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
217 | 216 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
218 | 8 | eleq2i 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 ↔ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴}) |
219 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑇))) |
220 | 219 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
221 | 220 | rexbidv 3216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
222 | 221 | elrab 3602 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
223 | 218, 222 | sylbb 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
224 | 223 | simprd 499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
225 | 224 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
226 | | reeanv 3279 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(∃𝑗 ∈
ℤ ∃𝑘 ∈
ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
227 | 217, 225,
226 | sylanbrc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
228 | 227 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
229 | | simplll 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝜑) |
230 | | simpl1 1193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ) |
231 | | simpl2 1194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ) |
232 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 < 𝑧) |
233 | 230, 231,
232 | 3jca 1130 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) |
234 | 233 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) |
235 | 234 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) |
236 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
237 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ)) |
238 | | breq2 5057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑧)) |
239 | 237, 238 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))) |
240 | 239 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)))) |
241 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑇))) |
242 | 241 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑏 = 𝑧 → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
243 | 242 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
244 | 243 | 2rexbidv 3219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
245 | 240, 244 | anbi12d 634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))) |
246 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (𝑦 − 𝑏) = (𝑦 − 𝑧)) |
247 | 246 | fveq2d 6721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (abs‘(𝑦 − 𝑏)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
248 | 247 | breq2d 5065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧)))) |
249 | 245, 248 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧))))) |
250 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ)) |
251 | | breq1 5056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑏)) |
252 | 250, 251 | 3anbi13d 1440 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏))) |
253 | 252 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)))) |
254 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇))) |
255 | 254 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
256 | 255 | anbi1d 633 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
257 | 256 | 2rexbidv 3219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
258 | 253, 257 | anbi12d 634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))) |
259 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 − 𝑏) = (𝑦 − 𝑏)) |
260 | 259 | fveq2d 6721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (abs‘(𝑎 − 𝑏)) = (abs‘(𝑦 − 𝑏))) |
261 | 260 | breq2d 5065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑏)))) |
262 | 258, 261 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑏))))) |
263 | | fourierdlem42.15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜓 ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
264 | 263 | simprbi 500 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜓 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
265 | 263 | biimpi 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
266 | 265 | simpld 498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜓 → (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏))) |
267 | 266 | simpld 498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜓 → 𝜑) |
268 | 267, 50 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜓 → 𝐵 ∈ ℝ) |
269 | 268 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
270 | 267, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜓 → 𝐶 ∈ ℝ) |
271 | 270 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ) |
272 | 267, 49 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜓 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶)) |
273 | 272 | sselda 3901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
274 | 273 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
275 | 272 | sselda 3901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
276 | 275 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
277 | 269, 271,
274, 276 | iccsuble 42732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (𝐶 − 𝐵)) |
278 | | fourierdlem42.t |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ 𝑇 = (𝐶 − 𝐵) |
279 | 277, 278 | breqtrrdi 5095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
280 | 279 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
281 | 280 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
282 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) |
283 | | zre 12180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈
ℝ) |
284 | 283 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈
ℝ) |
285 | 284 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ) |
286 | | zre 12180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈
ℝ) |
287 | 286 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈
ℝ) |
288 | 287 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ) |
289 | 285, 288 | ltnled 10979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑗 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗)) |
290 | 282, 289 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 < 𝑘) |
291 | 51, 50 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ) |
292 | 278, 291 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ) |
293 | 267, 292 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜓 → 𝑇 ∈ ℝ) |
294 | 293 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ∈ ℝ) |
295 | 287 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
296 | 284 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
297 | 295, 296 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 − 𝑗) ∈ ℝ) |
298 | 293 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℝ) |
299 | 297, 298 | remulcld 10863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) ∈ ℝ) |
300 | 299 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) ∈ ℝ) |
301 | 266 | simprd 499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) |
302 | 301 | simp2d 1145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → 𝑏 ∈ ℝ) |
303 | 302 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℝ) |
304 | 286 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ) |
305 | 293 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ) |
306 | 304, 305 | remulcld 10863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) |
307 | 306 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) |
308 | 303, 307 | readdcld 10862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
309 | 301 | simp1d 1144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → 𝑎 ∈ ℝ) |
310 | 309 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℝ) |
311 | 283 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ) |
312 | 293 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ) |
313 | 311, 312 | remulcld 10863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ) |
314 | 313 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ) |
315 | 310, 314 | readdcld 10862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
316 | 308, 315 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
317 | 316 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
318 | 293 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → 𝑇 ∈ ℂ) |
319 | 318 | mulid2d 10851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜓 → (1 · 𝑇) = 𝑇) |
320 | 319 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜓 → 𝑇 = (1 · 𝑇)) |
321 | 320 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 = (1 · 𝑇)) |
322 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑗 < 𝑘) |
323 | | zltlem1 12230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1))) |
324 | 323 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1))) |
325 | 322, 324 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) |
326 | 284 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
327 | | peano2rem 11145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 − 1) ∈
ℝ) |
328 | 295, 327 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ) |
329 | 328 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ) |
330 | | 1re 10833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ 1 ∈
ℝ |
331 | | resubcl 11142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 𝑗
∈ ℝ) → (1 − 𝑗) ∈ ℝ) |
332 | 330, 326,
331 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (1 − 𝑗) ∈
ℝ) |
333 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) |
334 | 326, 329,
332, 333 | leadd1dd 11446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) ≤ ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗))) |
335 | | zcn 12181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈
ℂ) |
336 | 335 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈
ℂ) |
337 | | 1cnd 10828 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 1 ∈
ℂ) |
338 | 336, 337 | pncan3d 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) = 1) |
339 | 338 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) = 1) |
340 | | zcn 12181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈
ℂ) |
341 | 340 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈
ℂ) |
342 | 341, 337,
336 | npncand 11213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)) = (𝑘 − 𝑗)) |
343 | 342 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)) = (𝑘 − 𝑗)) |
344 | 334, 339,
343 | 3brtr3d 5084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 1 ≤ (𝑘 − 𝑗)) |
345 | 325, 344 | syldan 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 1 ≤ (𝑘 − 𝑗)) |
346 | 330 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 1 ∈ ℝ) |
347 | 297 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑘 − 𝑗) ∈ ℝ) |
348 | 50, 51 | posdifd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ 0 < (𝐶 − 𝐵))) |
349 | 147, 348 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝜑 → 0 < (𝐶 − 𝐵)) |
350 | 349, 278 | breqtrrdi 5095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇) |
351 | 292, 350 | elrpd 12625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈
ℝ+) |
352 | 267, 351 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → 𝑇 ∈
ℝ+) |
353 | 352 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
354 | 346, 347,
353 | lemul1d 12671 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (1 ≤ (𝑘 − 𝑗) ↔ (1 · 𝑇) ≤ ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇))) |
355 | 345, 354 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (1 · 𝑇) ≤ ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)) |
356 | 321, 355 | eqbrtrd 5075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ≤ ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)) |
357 | 302, 309 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜓 → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ) |
358 | 301 | simp3d 1146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝜓 → 𝑎 < 𝑏) |
359 | 309, 302 | posdifd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝜓 → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏 − 𝑎))) |
360 | 358, 359 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜓 → 0 < (𝑏 − 𝑎)) |
361 | 357, 360 | elrpd 12625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → (𝑏 − 𝑎) ∈
ℝ+) |
362 | 361 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏 − 𝑎) ∈
ℝ+) |
363 | 299, 362 | ltaddrp2d 12662 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇))) |
364 | 302 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜓 → 𝑏 ∈ ℂ) |
365 | 364 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ) |
366 | 306 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
367 | 366 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
368 | 309 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜓 → 𝑎 ∈ ℂ) |
369 | 368 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ) |
370 | 313 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℂ) |
371 | 370 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℂ) |
372 | 365, 367,
369, 371 | addsub4d 11236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))) |
373 | 340 | ad2antll 729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ) |
374 | 335 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℂ) |
375 | 318 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℂ) |
376 | 373, 374,
375 | subdird 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) = ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))) |
377 | 376 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)) |
378 | 377 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇))) |
379 | 372, 378 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
380 | 363, 379 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
381 | 380 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
382 | 294, 300,
317, 356, 381 | lelttrd 10990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
383 | 294, 317 | ltnled 10979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑇 < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ↔ ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)) |
384 | 382, 383 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
385 | 290, 384 | syldan 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
386 | 385 | 3adantl3 1170 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
387 | 281, 386 | condan 818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 ≤ 𝑗) |
388 | 188, 191 | sseldi 3899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
389 | 33, 388 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ) |
390 | 267, 389 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜓 → 𝐸 ∈ ℝ) |
391 | 390 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ) |
392 | 391 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ) |
393 | 293 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ) |
394 | 393 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ) |
395 | 284, 287 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 − 𝑘) ∈ ℝ) |
396 | 395 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 − 𝑘) ∈ ℝ) |
397 | 396, 298 | remulcld 10863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ) |
398 | 397 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ) |
399 | 398 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ) |
400 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝜑 → 𝜑) |
401 | 143, 144 | jca 515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) |
402 | 400, 401,
147 | 3jca 1130 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶)) |
403 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝑑 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴)) |
404 | 403 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))) |
405 | | breq2 5057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐵 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝐶)) |
406 | 404, 405 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶))) |
407 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝑑 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵)) |
408 | 407 | breq2d 5065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝐵))) |
409 | 406, 408 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝐵)))) |
410 | | simp2l 1201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐵 ∈ 𝐴) |
411 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴)) |
412 | 411 | anbi1d 633 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴))) |
413 | | breq1 5056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑐 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝑑)) |
414 | 412, 413 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑))) |
415 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑑 − 𝑐) = (𝑑 − 𝐵)) |
416 | 415 | breq2d 5065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵))) |
417 | 414, 416 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑐 = 𝐵 → (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵)))) |
418 | 188 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑅 ⊆ ℝ) |
419 | | 0re 10835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ 0 ∈
ℝ |
420 | 34 | eleq2i 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 ↔ 𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
421 | 420 | biimpi 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
422 | 421 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
423 | 61 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼) |
424 | | fvelrnb 6773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼 → (𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦)) |
425 | 423, 424 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦)) |
426 | 422, 425 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) |
427 | 121 | rpge0d 12632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥)) |
428 | 427 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → 0 ≤ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥)) |
429 | | simp3 1140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) |
430 | 428, 429 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → 0 ≤ 𝑦) |
431 | 430 | 3exp 1121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 → (((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦))) |
432 | 431 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐼 → (((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦))) |
433 | 432 | rexlimdv 3202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦)) |
434 | 426, 433 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → 0 ≤ 𝑦) |
435 | 434 | ralrimiva 3105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦) |
436 | | breq1 5056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦)) |
437 | 436 | ralbidv 3118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦)) |
438 | 437 | rspcev 3537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦) |
439 | 419, 435,
438 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦) |
440 | 439 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦) |
441 | | pm3.22 463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) |
442 | | opelxp 5587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢
(〈𝑑, 𝑐〉 ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) |
443 | 441, 442 | sylibr 237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ (𝐴 × 𝐴)) |
444 | 443 | 3ad2ant2 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ (𝐴 × 𝐴)) |
445 | 49, 52 | sstrd 3911 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ) |
446 | 445 | sselda 3901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ ℝ) |
447 | 446 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → 𝑐 ∈ ℝ) |
448 | 447 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 ∈ ℝ) |
449 | | simp3 1140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 < 𝑑) |
450 | 448, 449 | gtned 10967 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑑 ≠ 𝑐) |
451 | 450 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ¬ 𝑑 = 𝑐) |
452 | | df-br 5054 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ (𝑑 I 𝑐 ↔ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ I ) |
453 | | vex 3412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ 𝑐 ∈ V |
454 | 453 | ideq 5721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ (𝑑 I 𝑐 ↔ 𝑑 = 𝑐) |
455 | 452, 454 | bitr3i 280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢
(〈𝑑, 𝑐〉 ∈ I ↔ 𝑑 = 𝑐) |
456 | 451, 455 | sylnibr 332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ¬ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ I ) |
457 | 444, 456 | eldifd 3877 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )) |
458 | 457, 48 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼) |
459 | 448, 449 | ltned 10968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 ≠ 𝑑) |
460 | 141 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝐷 ↾ 𝐼) = ((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)) |
461 | 460 | fveq1d 6719 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (((abs ∘ − ) ↾
𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉)) |
462 | 443 | 3ad2ant2 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ (𝐴 × 𝐴)) |
463 | | necom 2994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
⊢ (𝑐 ≠ 𝑑 ↔ 𝑑 ≠ 𝑐) |
464 | 463 | biimpi 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
⊢ (𝑐 ≠ 𝑑 → 𝑑 ≠ 𝑐) |
465 | 464 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
⊢ (𝑐 ≠ 𝑑 → ¬ 𝑑 = 𝑐) |
466 | 465 | 3ad2ant3 1137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ¬ 𝑑 = 𝑐) |
467 | 466, 455 | sylnibr 332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ¬ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ I ) |
468 | 462, 467 | eldifd 3877 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )) |
469 | 468, 48 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼) |
470 | | fvres 6736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢
(〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼 → (((abs ∘ − ) ↾
𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = ((abs ∘ −
)‘〈𝑑, 𝑐〉)) |
471 | 469, 470 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (((abs ∘ − ) ↾
𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = ((abs ∘ −
)‘〈𝑑, 𝑐〉)) |
472 | | simp1 1138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝜑) |
473 | 472, 469 | jca 515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝜑 ∧ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼)) |
474 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
⊢ (𝑥 = 〈𝑑, 𝑐〉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼)) |
475 | 474 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
⊢ (𝑥 = 〈𝑑, 𝑐〉 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ↔ (𝜑 ∧ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼))) |
476 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
⊢ (𝑥 = 〈𝑑, 𝑐〉 → (𝑥 ∈ dom − ↔ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ dom − )) |
477 | 475, 476 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
⊢ (𝑥 = 〈𝑑, 𝑐〉 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ dom − ) ↔ ((𝜑 ∧ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ dom −
))) |
478 | 477, 70 | vtoclg 3481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢
(〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼 → ((𝜑 ∧ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ dom − )) |
479 | 469, 473,
478 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ dom − ) |
480 | | fvco 6809 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ((Fun
− ∧ 〈𝑑,
𝑐〉 ∈ dom −
) → ((abs ∘ − )‘〈𝑑, 𝑐〉) = (abs‘( −
‘〈𝑑, 𝑐〉))) |
481 | 67, 479, 480 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ((abs ∘ −
)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (abs‘( −
‘〈𝑑, 𝑐〉))) |
482 | | df-ov 7216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢ (𝑑 − 𝑐) = ( − ‘〈𝑑, 𝑐〉) |
483 | 482 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ( −
‘〈𝑑, 𝑐〉) = (𝑑 − 𝑐) |
484 | 483 | fveq2i 6720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢
(abs‘( − ‘〈𝑑, 𝑐〉)) = (abs‘(𝑑 − 𝑐)) |
485 | 481, 484 | eqtrdi 2794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ((abs ∘ −
)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (abs‘(𝑑 − 𝑐))) |
486 | 461, 471,
485 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (abs‘(𝑑 − 𝑐))) |
487 | 459, 486 | syld3an3 1411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (abs‘(𝑑 − 𝑐))) |
488 | 445 | sselda 3901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → 𝑑 ∈ ℝ) |
489 | 488 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ) |
490 | 489 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ) |
491 | 448, 490,
449 | ltled 10980 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 ≤ 𝑑) |
492 | 448, 490,
491 | abssubge0d 14995 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (abs‘(𝑑 − 𝑐)) = (𝑑 − 𝑐)) |
493 | 487, 492 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (𝑑 − 𝑐)) |
494 | | fveq2 6717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ (𝑥 = 〈𝑑, 𝑐〉 → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉)) |
495 | 494 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ (𝑥 = 〈𝑑, 𝑐〉 → (((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐) ↔ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (𝑑 − 𝑐))) |
496 | 495 | rspcev 3537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢
((〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (𝑑 − 𝑐)) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐)) |
497 | 458, 493,
496 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐)) |
498 | 489, 447 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → (𝑑 − 𝑐) ∈ ℝ) |
499 | | elex 3426 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝑑 − 𝑐) ∈ ℝ → (𝑑 − 𝑐) ∈ V) |
500 | 498, 499 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → (𝑑 − 𝑐) ∈ V) |
501 | 500 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑 − 𝑐) ∈ V) |
502 | | simp1 1138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝜑) |
503 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ (𝑦 = (𝑑 − 𝑐) → (𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ (𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼))) |
504 | | eqeq2 2749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ (𝑦 = (𝑑 − 𝑐) → (((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦 ↔ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐))) |
505 | 504 | rexbidv 3216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ (𝑦 = (𝑑 − 𝑐) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐))) |
506 | 503, 505 | bibi12d 349 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ (𝑦 = (𝑑 − 𝑐) → ((𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐)))) |
507 | 506 | imbi2d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ (𝑦 = (𝑑 − 𝑐) → ((𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝜑 → ((𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐))))) |
508 | 61, 424 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦)) |
509 | 507, 508 | vtoclg 3481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝑑 − 𝑐) ∈ V → (𝜑 → ((𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐)))) |
510 | 501, 502,
509 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐))) |
511 | 497, 510 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
512 | 511, 34 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑 − 𝑐) ∈ 𝑅) |
513 | | infrelb 11817 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧
∃𝑥 ∈ ℝ
∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝑑 − 𝑐) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑑 − 𝑐)) |
514 | 418, 440,
512, 513 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑑 − 𝑐)) |
515 | 33, 514 | eqbrtrid 5088 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐)) |
516 | 417, 515 | vtoclg 3481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵))) |
517 | 410, 516 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵)) |
518 | 409, 517 | vtoclg 3481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝐵))) |
519 | 144, 402,
518 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝐵)) |
520 | 519, 278 | breqtrrdi 5095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ 𝑇) |
521 | 267, 520 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜓 → 𝐸 ≤ 𝑇) |
522 | 521 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ 𝑇) |
523 | 522 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ 𝑇) |
524 | 364 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ) |
525 | 524, 366 | pncan2d 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) = (𝑘 · 𝑇)) |
526 | 525 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = ((𝑘 · 𝑇) / 𝑇)) |
527 | 340 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ) |
528 | 318 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ) |
529 | 419 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
530 | 529, 350 | gtned 10967 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0) |
531 | 267, 530 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝜓 → 𝑇 ≠ 0) |
532 | 531 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ≠ 0) |
533 | 527, 528,
532 | divcan4d 11614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑇) / 𝑇) = 𝑘) |
534 | 526, 533 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
535 | 534 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
536 | 535 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
537 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏)) |
538 | 537 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
539 | 538 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
540 | 368 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ) |
541 | 364 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ) |
542 | 540, 370,
541 | addsubd 11210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑎 − 𝑏) + (𝑗 · 𝑇))) |
543 | 540, 541 | subcld 11189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑎 − 𝑏) ∈ ℂ) |
544 | 543, 370 | addcomd 11034 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑏) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑗 · 𝑇) + (𝑎 − 𝑏))) |
545 | 542, 544 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑗 · 𝑇) + (𝑎 − 𝑏))) |
546 | 545 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑗 · 𝑇) + (𝑎 − 𝑏)) / 𝑇)) |
547 | 318 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ) |
548 | 531 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ≠ 0) |
549 | 370, 543,
547, 548 | divdird 11646 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 · 𝑇) + (𝑎 − 𝑏)) / 𝑇) = (((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇))) |
550 | 335 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ) |
551 | 550, 547,
548 | divcan4d 11614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) = 𝑗) |
552 | 551 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)) = (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇))) |
553 | 546, 549,
552 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇))) |
554 | 553 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇))) |
555 | 554 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇))) |
556 | 536, 539,
555 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 = (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇))) |
557 | 309, 302 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝜓 → (𝑎 − 𝑏) ∈ ℝ) |
558 | 309, 302 | sublt0d 11458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝜓 → ((𝑎 − 𝑏) < 0 ↔ 𝑎 < 𝑏)) |
559 | 358, 558 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝜓 → (𝑎 − 𝑏) < 0) |
560 | 557, 352,
559 | divlt0gt0d 42497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝜓 → ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) < 0) |
561 | 560 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) < 0) |
562 | 335 | subidd 11177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 𝑗) = 0) |
563 | 562 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 0 =
(𝑗 − 𝑗)) |
564 | 563 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 0 = (𝑗 − 𝑗)) |
565 | 561, 564 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) < (𝑗 − 𝑗)) |
566 | 557, 293,
531 | redivcld 11660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝜓 → ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
567 | 566 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
568 | 311, 567,
311 | ltaddsub2d 11433 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗 ↔ ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) < (𝑗 − 𝑗))) |
569 | 565, 568 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗) |
570 | 569 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗) |
571 | 570 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗) |
572 | 556, 571 | eqbrtrd 5075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗) |
573 | 320 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 = (1 · 𝑇)) |
574 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 < 𝑗) |
575 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ) |
576 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ) |
577 | | zltp1le 12227 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑗 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑗)) |
578 | 575, 576,
577 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑘 < 𝑗 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑗)) |
579 | 574, 578 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑗) |
580 | 286 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ) |
581 | 330 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ∈ ℝ) |
582 | 283 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ) |
583 | 580, 581,
582 | leaddsub2d 11434 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → ((𝑘 + 1) ≤ 𝑗 ↔ 1 ≤ (𝑗 − 𝑘))) |
584 | 579, 583 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ≤ (𝑗 − 𝑘)) |
585 | 584 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ≤ (𝑗 − 𝑘)) |
586 | 330 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ∈ ℝ) |
587 | 395 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑗 − 𝑘) ∈ ℝ) |
588 | 352 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
589 | 586, 587,
588 | lemul1d 12671 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (1 ≤ (𝑗 − 𝑘) ↔ (1 · 𝑇) ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
590 | 585, 589 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (1 · 𝑇) ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
591 | 573, 590 | eqbrtrd 5075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
592 | 572, 591 | syldan 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
593 | 592 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
594 | 593 | 3adantll3 42260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
595 | 392, 394,
399, 523, 594 | letrd 10989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
596 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) |
597 | 596 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
598 | 597 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
599 | 267, 445 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝜓 → 𝐴 ⊆ ℝ) |
600 | 599 | sselda 3901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
601 | 600 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
602 | 601 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
603 | 602 | subidd 11177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) = 0) |
604 | 603 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
605 | 604 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
606 | 598, 605 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
607 | 606 | 3adantl2 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
608 | 607 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
609 | 374, 373 | subcld 11189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 − 𝑘) ∈ ℂ) |
610 | 609, 375 | mulcld 10853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℂ) |
611 | 610 | addid2d 11033 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
612 | 611 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
613 | 612 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
614 | 608, 613 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
615 | 595, 614 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
616 | 615 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
617 | 391 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ) |
618 | 599 | sselda 3901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
619 | 618 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
620 | 601, 619 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
621 | 620 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
622 | 621 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
623 | 621, 398 | readdcld 10862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
624 | 623 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
625 | 267 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝜑) |
626 | 625 | 3ad2antl1 1187 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝜑) |
627 | 626 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝜑) |
628 | | simpl3 1195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
629 | 628 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
630 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) |
631 | 619 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
632 | 601 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
633 | 631, 632 | lenltd 10978 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
634 | 630, 633 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
635 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
636 | 635 | notbii 323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (¬
(𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
637 | 636 | biimpi 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (¬
(𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
638 | 637 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
639 | | ioran 984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (¬
((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ↔ (¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
640 | 634, 638,
639 | sylanbrc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
641 | 632, 631 | leloed 10975 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))) |
642 | 640, 641 | mtbird 328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
643 | 642 | 3adantll2 42259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
644 | 643 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
645 | 619 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
646 | 645 | 3adantl2 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
647 | 646 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
648 | 601 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
649 | 648 | 3adantl2 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
650 | 649 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
651 | 647, 650 | ltnled 10979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
652 | 644, 651 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) |
653 | | simp2l 1201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
654 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
655 | 654 | anbi1d 633 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
656 | | breq1 5056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) |
657 | 655, 656 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))) |
658 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
659 | 658 | breq2d 5065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))) |
660 | 657, 659 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))) |
661 | | simp2r 1202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
662 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑑 ∈ 𝐴 ↔ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
663 | 662 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
664 | | breq2 5057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) |
665 | 663, 664 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))) |
666 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑑 − 𝑐) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)) |
667 | 666 | breq2d 5065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))) |
668 | 665, 667 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)))) |
669 | 668, 515 | vtoclg 3481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))) |
670 | 661, 669 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)) |
671 | 660, 670 | vtoclg 3481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))) |
672 | 653, 671 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
673 | 627, 629,
652, 672 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
674 | 395 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑗 − 𝑘) ∈ ℝ) |
675 | 293 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑇 ∈ ℝ) |
676 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ≤ 𝑗) |
677 | 283 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ) |
678 | 286 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ) |
679 | 677, 678 | subge0d 11422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (0 ≤ (𝑗 − 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ 𝑗)) |
680 | 676, 679 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 0 ≤ (𝑗 − 𝑘)) |
681 | 680 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 0 ≤ (𝑗 − 𝑘)) |
682 | 352 | rpge0d 12632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → 0 ≤ 𝑇) |
683 | 682 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 0 ≤ 𝑇) |
684 | 674, 675,
681, 683 | mulge0d 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 0 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
685 | 684 | 3adantl3 1170 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 0 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
686 | 621 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
687 | 398 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ) |
688 | 686, 687 | addge01d 11420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (0 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ↔ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))) |
689 | 685, 688 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
690 | 689 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
691 | 617, 622,
624, 673, 690 | letrd 10989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
692 | 616, 691 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
693 | 372, 378 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇))) |
694 | 693 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
695 | 365, 369 | subcld 11189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ) |
696 | 373, 374 | subcld 11189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 − 𝑗) ∈ ℂ) |
697 | 696, 375 | mulcld 10853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) ∈ ℂ) |
698 | 695, 697,
610 | addassd 10855 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = ((𝑏 − 𝑎) + (((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))) |
699 | 341, 336,
336, 341 | subadd4b 42493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑗) + (𝑗 − 𝑘)) = ((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗))) |
700 | 699 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) + (𝑗 − 𝑘)) = ((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗))) |
701 | 700 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘 − 𝑗) + (𝑗 − 𝑘)) · 𝑇) = (((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)) · 𝑇)) |
702 | 696, 609,
375 | adddird 10858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘 − 𝑗) + (𝑗 − 𝑘)) · 𝑇) = (((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
703 | 340 | subidd 11177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 𝑘) = 0) |
704 | 703 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 − 𝑘) = 0) |
705 | 562 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 − 𝑗) = 0) |
706 | 704, 705 | oveq12d 7231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)) = (0 + 0)) |
707 | | 00id 11007 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (0 + 0) =
0 |
708 | 706, 707 | eqtrdi 2794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)) = 0) |
709 | 708 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)) · 𝑇) = (0 · 𝑇)) |
710 | 709 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)) · 𝑇) = (0 · 𝑇)) |
711 | 701, 702,
710 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 · 𝑇)) |
712 | 711 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 − 𝑎) + (((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) = ((𝑏 − 𝑎) + (0 · 𝑇))) |
713 | 318 | mul02d 11030 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → (0 · 𝑇) = 0) |
714 | 713 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜓 → ((𝑏 − 𝑎) + (0 · 𝑇)) = ((𝑏 − 𝑎) + 0)) |
715 | 364, 368 | subcld 11189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ) |
716 | 715 | addid1d 11032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜓 → ((𝑏 − 𝑎) + 0) = (𝑏 − 𝑎)) |
717 | 714, 716 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜓 → ((𝑏 − 𝑎) + (0 · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎)) |
718 | 717 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 − 𝑎) + (0 · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎)) |
719 | 712, 718 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 − 𝑎) + (((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) = (𝑏 − 𝑎)) |
720 | 694, 698,
719 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎)) |
721 | 720 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎)) |
722 | 721 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎)) |
723 | 692, 722 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
724 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
725 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) |
726 | 601 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
727 | 726 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
728 | 619 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
729 | 728 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
730 | 727, 729 | ltnled 10979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) |
731 | 725, 730 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
732 | 731 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
733 | 535 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
734 | 733 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
735 | 600 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
736 | 302 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ) |
737 | 735, 736 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ) |
738 | 293 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℝ) |
739 | 531 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ≠ 0) |
740 | 737, 738,
739 | redivcld 11660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
741 | 740 | 3adant3l 1182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
742 | 741 | 3adant2l 1180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
743 | 742 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
744 | 618 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
745 | 302 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ) |
746 | 744, 745 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ) |
747 | 293 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℝ) |
748 | 531 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ≠ 0) |
749 | 746, 747,
748 | redivcld 11660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
750 | 749 | 3adant3r 1183 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
751 | 750 | 3adant2r 1181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
752 | 751 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
753 | 284 | 3ad2ant2 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
754 | 753 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑗 ∈ ℝ) |
755 | 726 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
756 | 302 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ) |
757 | 756 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑏 ∈ ℝ) |
758 | 755, 757 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ) |
759 | 728 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
760 | 759, 757 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ) |
761 | 352 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
762 | 761 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
763 | 601 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
764 | 619 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
765 | 302 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑏 ∈ ℝ) |
766 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
767 | 763, 764,
765, 766 | ltsub1dd 11444 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) < ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏)) |
768 | 767 | 3adantl2 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) < ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏)) |
769 | 758, 760,
762, 768 | ltdiv1dd 12685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
770 | 554, 570 | eqbrtrd 5075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗) |
771 | 770 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗) |
772 | 771 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗) |
773 | 743, 752,
754, 769, 772 | lttrd 10993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗) |
774 | 734, 773 | eqbrtrd 5075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗) |
775 | 774 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗) |
776 | 732, 775 | syldan 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗) |
777 | 391 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ∈ ℝ) |
778 | 393 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ∈ ℝ) |
779 | 623 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
780 | 522 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ 𝑇) |
781 | | peano2rem 11145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) ∈
ℝ) |
782 | 753, 781 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) |
783 | 287 | 3ad2ant2 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
784 | 782, 783 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) ∈ ℝ) |
785 | 784, 393 | remulcld 10863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ) |
786 | 785 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ) |
787 | 753 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
788 | 330 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈
ℝ) |
789 | 787, 788 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) |
790 | 286 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
791 | 790 | 3ad2antl2 1188 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
792 | 789, 791 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) ∈ ℝ) |
793 | 682 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 0 ≤ 𝑇) |
794 | 793 | 3ad2antl1 1187 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 0 ≤ 𝑇) |
795 | 283 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
796 | 330 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈
ℝ) |
797 | 795, 796 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) |
798 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 < (𝑗 − 1)) |
799 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ) |
800 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ) |
801 | | 1zzd 12208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈
ℤ) |
802 | 800, 801 | zsubcld 12287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ) |
803 | | zltlem1 12230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
→ (𝑘 < (𝑗 − 1) ↔ 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1))) |
804 | 799, 802,
803 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑘 < (𝑗 − 1) ↔ 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1))) |
805 | 798, 804 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1)) |
806 | 790, 797,
796, 805 | lesubd 11436 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ≤ ((𝑗 − 1) − 𝑘)) |
807 | 806 | 3ad2antl2 1188 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ≤ ((𝑗 − 1) − 𝑘)) |
808 | 778, 792,
794, 807 | lemulge12d 11770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ≤ (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇)) |
809 | 336, 337,
341 | sub32d 11221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) = ((𝑗 − 𝑘) − 1)) |
810 | 809 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗 − 𝑘) − 1) · 𝑇)) |
811 | 810 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗 − 𝑘) − 1) · 𝑇)) |
812 | | 1cnd 10828 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 1 ∈
ℂ) |
813 | 609, 812,
375 | subdird 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 𝑘) − 1) · 𝑇) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇))) |
814 | 319 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝜓 → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − 𝑇)) |
815 | 814 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − 𝑇)) |
816 | 811, 813,
815 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − 𝑇)) |
817 | 816 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − 𝑇)) |
818 | 728, 726 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
819 | 269, 271,
276, 274 | iccsuble 42732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ (𝐶 − 𝐵)) |
820 | 819, 278 | breqtrrdi 5095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
821 | 820 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
822 | 818, 393,
398, 821 | lesub2dd 11449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − 𝑇) ≤ (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))) |
823 | 817, 822 | eqbrtrd 5075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))) |
824 | 610 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℂ) |
825 | 728 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
826 | 602 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
827 | 824, 825,
826 | subsub2d 11218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) + ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))) |
828 | 621 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℂ) |
829 | 824, 828 | addcomd 11034 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) + ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
830 | 827, 829 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
831 | 823, 830 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
832 | 831 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
833 | 778, 786,
779, 808, 832 | letrd 10989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
834 | 777, 778,
779, 780, 833 | letrd 10989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
835 | 721 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎)) |
836 | 834, 835 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
837 | 836 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
838 | 837 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
839 | | simplll 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
840 | | simpll2 1215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) |
841 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 < 𝑗) |
842 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) |
843 | 581, 582,
580, 584 | lesubd 11436 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ≤ (𝑗 − 1)) |
844 | 843 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝑗 − 1)) |
845 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬
𝑘 < (𝑗 − 1)) → ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) |
846 | 284, 781 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 − 1) ∈
ℝ) |
847 | 846 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬
𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) |
848 | 286 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬
𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
849 | 847, 848 | lenltd 10978 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬
𝑘 < (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 1) ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1))) |
850 | 845, 849 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬
𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑘) |
851 | 850 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑘) |
852 | 580 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
853 | 846 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) |
854 | 852, 853 | letri3d 10974 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑘 = (𝑗 − 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑘))) |
855 | 844, 851,
854 | mpbir2and 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1)) |
856 | 840, 841,
842, 855 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1)) |
857 | 856 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1)) |
858 | | simpl1 1193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝜓) |
859 | | simpl2l 1228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ) |
860 | | simpl3l 1230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
861 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 · 𝑇) = ((𝑗 − 1) · 𝑇)) |
862 | 861 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
863 | 862 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) |
864 | 863 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) |
865 | | simpl 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
866 | 864, 865 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
867 | 866 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
868 | 867 | 3ad2antl3 1189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
869 | 860, 868 | jca 515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
870 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
871 | 870 | 3adant3r 1183 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
872 | 744 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
873 | 270 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ) |
874 | 873 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ) |
875 | 268 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) |
876 | 270 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ) |
877 | | elicc2 13000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶))) |
878 | 875, 876,
877 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶))) |
879 | 275, 878 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)) |
880 | 879 | simp3d 1146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶) |
881 | 880 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶) |
882 | 881 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶) |
883 | | nne 2944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (¬
𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
884 | 540, 370 | pncand 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = 𝑎) |
885 | 884 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑎 = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇))) |
886 | 885 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇))) |
887 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇))) |
888 | 887 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐶 − (𝑗 · 𝑇))) |
889 | 888 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐶 − (𝑗 · 𝑇))) |
890 | 278 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ (𝐵 + 𝑇) = (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) |
891 | 267, 159 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ (𝜓 → 𝐵 ∈ ℂ) |
892 | 267, 160 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ (𝜓 → 𝐶 ∈ ℂ) |
893 | 891, 892 | pncan3d 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ (𝜓 → (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐶) |
894 | 890, 893 | eqtr2id 2791 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ (𝜓 → 𝐶 = (𝐵 + 𝑇)) |
895 | 894 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝜓 → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))) |
896 | 895 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))) |
897 | 891 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ) |
898 | 897, 370,
547 | subsub3d 11219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 − ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))) |
899 | 550, 547 | mulsubfacd 11293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇) = ((𝑗 − 1) · 𝑇)) |
900 | 899 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 − ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
901 | 896, 898,
900 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
902 | 901 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
903 | 886, 889,
902 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
904 | 903 | 3adantl3 1170 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
905 | 904 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
906 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
907 | 906 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
908 | 907 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
909 | 364 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ) |
910 | | 1cnd 10828 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 1 ∈
ℂ) |
911 | 550, 910 | subcld 11189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ) |
912 | 911, 547 | mulcld 10853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 1) · 𝑇) ∈ ℂ) |
913 | 912 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑗 − 1) · 𝑇) ∈ ℂ) |
914 | 909, 913 | pncand 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏) |
915 | 914 | 3adantl3 1170 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏) |
916 | 915 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏) |
917 | 905, 908,
916 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = 𝑏) |
918 | 883, 917 | sylan2b 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = 𝑏) |
919 | 309, 358 | ltned 10968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝜓 → 𝑎 ≠ 𝑏) |
920 | 919 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝜓 → ¬ 𝑎 = 𝑏) |
921 | 920 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ¬ 𝑎 = 𝑏) |
922 | 921 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ¬ 𝑎 = 𝑏) |
923 | 918, 922 | condan 818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
924 | 872, 874,
882, 923 | leneltd 10986 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) |
925 | 871, 924 | sylan 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) |
926 | 267 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝜑) |
927 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
928 | 926, 144 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝐴) |
929 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) |
930 | | simp2l 1201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
931 | 654 | anbi1d 633 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))) |
932 | | breq1 5056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)) |
933 | 931, 932 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶))) |
934 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐶 − 𝑐) = (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
935 | 934 | breq2d 5065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))) |
936 | 933, 935 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))) |
937 | | simp2r 1202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝐴) |
938 | 403 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))) |
939 | | breq2 5057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < 𝐶)) |
940 | 938, 939 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶))) |
941 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝑑 − 𝑐) = (𝐶 − 𝑐)) |
942 | 941 | breq2d 5065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐))) |
943 | 940, 942 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐)))) |
944 | 943, 515 | vtoclg 3481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐))) |
945 | 937, 944 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐)) |
946 | 936, 945 | vtoclg 3481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))) |
947 | 930, 946 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
948 | 926, 927,
928, 929, 947 | syl121anc 1377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
949 | 948 | adantlrr 721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
950 | 949 | 3adantl2 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
951 | 950 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
952 | 892 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) |
953 | 599 | sselda 3901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
954 | 953 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ) |
955 | 952, 954 | npcand 11193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = 𝐶) |
956 | 955 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 = ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))) |
957 | 956 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
958 | 957 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
959 | 958 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
960 | 959 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
961 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝐶 − 𝐵)) |
962 | 961 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))) |
963 | 962 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
964 | 963 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
965 | 278 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝐶 − 𝐵) = 𝑇 |
966 | 965 | oveq1i 7223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
967 | 966 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))) |
968 | 318 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ) |
969 | 968, 954 | addcomd 11034 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇)) |
970 | 967, 969 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇)) |
971 | 970 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
972 | 971 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
973 | 972 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
974 | 973 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
975 | 954 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ) |
976 | 975 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ) |
977 | 976 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ) |
978 | 318 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℂ) |
979 | 978 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ) |
980 | 618 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
981 | 980 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
982 | 981 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
983 | 982 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
984 | 977, 979,
983 | addsubd 11210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
985 | 974, 984 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
986 | 960, 964,
985 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
987 | 986 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
988 | 951, 987 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
989 | 925, 988 | mpdan 687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
990 | | simpl1 1193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝜓) |
991 | | simpl3r 1231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
992 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) |
993 | 268 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ) |
994 | 953 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
995 | 272 | sselda 3901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
996 | 268 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) |
997 | 270 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ) |
998 | | elicc2 13000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶))) |
999 | 996, 997,
998 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶))) |
1000 | 995, 999 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶)) |
1001 | 1000 | simp2d 1145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
1002 | 1001 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
1003 | | neqne 2948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (¬
(𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≠ 𝐵) |
1004 | 1003 | 3ad2ant3 1137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≠ 𝐵) |
1005 | 993, 994,
1002, 1004 | leneltd 10986 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
1006 | 990, 991,
992, 1005 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
1007 | 390 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ) |
1008 | 1007 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ) |
1009 | 953 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
1010 | 1009 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
1011 | 268 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
1012 | 1010, 1011 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ) |
1013 | 1012 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ) |
1014 | 1009, 980 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
1015 | 293 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ) |
1016 | 1014, 1015 | readdcld 10862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ) |
1017 | 1016 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ) |
1018 | 1017 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ) |
1019 | 267 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝜑) |
1020 | 1019 | 3ad2antl1 1187 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝜑) |
1021 | 1020, 143 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐵 ∈ 𝐴) |
1022 | | simpl3r 1231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
1023 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
1024 | | simp2r 1202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
1025 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝑑 ∈ 𝐴 ↔ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
1026 | 1025 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
1027 | | breq2 5057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝐵 < 𝑑 ↔ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))) |
1028 | 1026, 1027 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))) |
1029 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝑑 − 𝐵) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)) |
1030 | 1029 | breq2d 5065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))) |
1031 | 1028, 1030 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)))) |
1032 | 1031, 517 | vtoclg 3481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))) |
1033 | 1024, 1032 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)) |
1034 | 1020, 1021, 1022, 1023, 1033 | syl121anc 1377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)) |
1035 | 268 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
1036 | 980, 1035 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ) |
1037 | 965, 1015 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ) |
1038 | 270 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ) |
1039 | 880 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶) |
1040 | 980, 1038, 1035, 1039 | lesub1dd 11448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐵)) |
1041 | 1036, 1037, 1014, 1040 | leadd2dd 11447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵)) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶 − 𝐵))) |
1042 | 975, 981 | npcand 11193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
1043 | 1042 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
1044 | 1043 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) = ((((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) − 𝐵)) |
1045 | 1014 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℂ) |
1046 | 891 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ) |
1047 | 1045, 981, 1046 | addsubassd 11209 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) − 𝐵) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵))) |
1048 | 1044, 1047 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵))) |
1049 | 278 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶 − 𝐵)) |
1050 | 1049 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶 − 𝐵))) |
1051 | 1041, 1048, 1050 | 3brtr4d 5085 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
1052 | 1051 | 3adant2 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
1053 | 1052 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
1054 | 1008, 1013, 1018, 1034, 1053 | letrd 10989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
1055 | 1006, 1054 | syldan 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
1056 | 989, 1055 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
1057 | 858, 859,
869, 1056 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
1058 | 720 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏 − 𝑎) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
1059 | 1058 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 − 𝑎) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
1060 | 862 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
1061 | 1060 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
1062 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑗 − 𝑘) = (𝑗 − (𝑗 − 1))) |
1063 | 1062 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇)) |
1064 | 1063 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇)) |
1065 | | 1cnd 10828 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 1 ∈
ℂ) |
1066 | 335, 1065 | nncand 11194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − (𝑗 − 1)) = 1) |
1067 | 1066 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇) = (1 · 𝑇)) |
1068 | 1067 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇) = (1 · 𝑇)) |
1069 | 319 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (1 · 𝑇) = 𝑇) |
1070 | 1064, 1068, 1069 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) = 𝑇) |
1071 | 1061, 1070 | oveq12d 7231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
1072 | 1071 | adantlrr 721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
1073 | 1059, 1072 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (𝑏 − 𝑎)) |
1074 | 1073 | 3adantl3 1170 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (𝑏 − 𝑎)) |
1075 | 1057, 1074 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
1076 | 839, 857,
1075 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
1077 | 838, 1076 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
1078 | 724, 776,
732, 1077 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
1079 | 723, 1078 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
1080 | 387, 1079 | mpdan 687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
1081 | 309, 302,
358 | ltled 10980 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜓 → 𝑎 ≤ 𝑏) |
1082 | 309, 302,
1081 | abssuble0d 14996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜓 → (abs‘(𝑎 − 𝑏)) = (𝑏 − 𝑎)) |
1083 | 1082 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜓 → (𝑏 − 𝑎) = (abs‘(𝑎 − 𝑏))) |
1084 | 1083 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 − 𝑎) = (abs‘(𝑎 − 𝑏))) |
1085 | 1080, 1084 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏))) |
1086 | 1085 | 3exp 1121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜓 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏))))) |
1087 | 1086 | rexlimdvv 3212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜓 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏)))) |
1088 | 264, 1087 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜓 → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏))) |
1089 | 263, 1088 | sylbir 238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏))) |
1090 | 262, 1089 | chvarvv 2007 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑏))) |
1091 | 249, 1090 | chvarvv 2007 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
1092 | 229, 235,
236, 1091 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
1093 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → ¬ 𝑦 < 𝑧) |
1094 | | simpl3 1195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 ≠ 𝑧) |
1095 | | simpl1 1193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ) |
1096 | | simpl2 1194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ) |
1097 | 1095, 1096 | lttri2d 10971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ (𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦))) |
1098 | 1094, 1097 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦)) |
1099 | 1098 | ord 864 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (¬ 𝑦 < 𝑧 → 𝑧 < 𝑦)) |
1100 | 1093, 1099 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦) |
1101 | 1100 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦) |
1102 | 1101 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦) |
1103 | | simplll 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝜑) |
1104 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑧 ∈ ℝ) |
1105 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ) |
1106 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑧 < 𝑦) |
1107 | 1104, 1105, 1106 | 3jca 1130 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) |
1108 | 1107 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) |
1109 | 1108 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) |
1110 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 𝑇) = (𝑖 · 𝑇)) |
1111 | 1110 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑖 · 𝑇))) |
1112 | 1111 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
1113 | 1112 | anbi1d 633 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
1114 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑙 · 𝑇)) |
1115 | 1114 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑇))) |
1116 | 1115 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
1117 | 1116 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑘 = 𝑙 → (((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
1118 | 1113, 1117 | cbvrex2vw 3372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(∃𝑗 ∈
ℤ ∃𝑘 ∈
ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
1119 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇)) |
1120 | 1119 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇))) |
1121 | 1120 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
1122 | 1121 | anbi1d 633 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
1123 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇)) |
1124 | 1123 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑗 · 𝑇))) |
1125 | 1124 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
1126 | 1125 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑙 = 𝑗 → (((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
1127 | 1122, 1126 | cbvrex2vw 3372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(∃𝑖 ∈
ℤ ∃𝑙 ∈
ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑗 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
1128 | | rexcom 3268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(∃𝑘 ∈
ℤ ∃𝑗 ∈
ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
1129 | | ancom 464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
1130 | 1129 | 2rexbii 3171 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(∃𝑗 ∈
ℤ ∃𝑘 ∈
ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
1131 | 1127, 1128, 1130 | 3bitri 300 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(∃𝑖 ∈
ℤ ∃𝑙 ∈
ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
1132 | 1118, 1131 | sylbb 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(∃𝑗 ∈
ℤ ∃𝑘 ∈
ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
1133 | 1132 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
1134 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ)) |
1135 | | breq2 5057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑦)) |
1136 | 1134, 1135 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))) |
1137 | 1136 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)))) |
1138 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇))) |
1139 | 1138 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
1140 | 1139 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
1141 | 1140 | 2rexbidv 3219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
1142 | 1137, 1141 | anbi12d 634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))) |
1143 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 − 𝑏) = (𝑧 − 𝑦)) |
1144 | 1143 | fveq2d 6721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (abs‘(𝑧 − 𝑏)) = (abs‘(𝑧 − 𝑦))) |
1145 | 1144 | breq2d 5065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))) |
1146 | 1142, 1145 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦))))) |
1147 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ)) |
1148 | | breq1 5056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑏)) |
1149 | 1147, 1148 | 3anbi13d 1440 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑎 = 𝑧 → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏))) |
1150 | 1149 | anbi2d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑎 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)))) |
1151 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑗 · 𝑇))) |
1152 | 1151 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑎 = 𝑧 → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
1153 | 1152 | anbi1d 633 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
1154 | 1153 | 2rexbidv 3219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
1155 | 1150, 1154 | anbi12d 634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))) |
1156 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 − 𝑏) = (𝑧 − 𝑏)) |
1157 | 1156 | fveq2d 6721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (abs‘(𝑎 − 𝑏)) = (abs‘(𝑧 − 𝑏))) |
1158 | 1157 | breq2d 5065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑏)))) |
1159 | 1155, 1158 | imbi12d 348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑎 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑏))))) |
1160 | 1159, 1089 | chvarvv 2007 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑏))) |
1161 | 1146, 1160 | chvarvv 2007 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦))) |
1162 | 1103, 1109, 1133, 1161 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦))) |
1163 | | recn 10819 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈
ℂ) |
1164 | 1163 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈
ℂ) |
1165 | | recn 10819 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈
ℂ) |
1166 | 1165 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈
ℂ) |
1167 | 1164, 1166 | abssubd 15017 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) →
(abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
1168 | 1167 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
1169 | 1168 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
1170 | 1162, 1169 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
1171 | 1170 | ex 416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧)))) |
1172 | 1171 | 3adantlr3 42257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧)))) |
1173 | 1172 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧)))) |
1174 | 1102, 1173 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
1175 | 1092, 1174 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
1176 | 196, 204,
228, 1175 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
1177 | 389 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐸 ∈ ℝ) |
1178 | 198, 201 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℝ) |
1179 | 1178 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℂ) |
1180 | 1179 | abscld 15000 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℝ) |
1181 | 1180 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℝ) |
1182 | 1177, 1181 | lenltd 10978 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ↔ ¬ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
1183 | 1176, 1182 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸) |
1184 | | nan 830 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → ¬ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
1185 | 1183, 1184 | mpbir 234 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → ¬ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
1186 | 1185 | ralrimivva 3112 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐻 ∀𝑧 ∈ 𝐻 ¬ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
1187 | | ralnex2 3181 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐻 ∀𝑧 ∈ 𝐻 ¬ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ 𝐻 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
1188 | 1186, 1187 | sylib 221 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ 𝐻 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
1189 | 1188 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ 𝐻 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
1190 | 195, 1189 | pm2.65da 817 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) |
1191 | 1190 | intnanrd 493 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → ¬ (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌))) |
1192 | | elin 3882 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌))) |
1193 | 1191, 1192 | sylnibr 332 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌))) |
1194 | 13 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → 𝐽 ∈ Top) |
1195 | 14 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ) |
1196 | 11 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → 𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌)) |
1197 | 17, 4 | restlp 22080 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ 𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌)) → ((limPt‘𝐾)‘𝐻) = (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌))) |
1198 | 1194, 1195, 1196, 1197 | syl3anc 1373 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → ((limPt‘𝐾)‘𝐻) = (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌))) |
1199 | 1193, 1198 | neleqtrrd 2860 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻)) |
1200 | 1199 | nrexdv 3189 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ∪ 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻)) |
1201 | 1200 | adantr 484 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑥 ∈ ∪ 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻)) |
1202 | 28, 1201 | condan 818 |
1
⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Fin) |