Theorem fourierdlem42 41976

Description: The set of points in a moved partition are finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem42.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem42.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem42.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
fourierdlem42.t	⊢ 𝑇 = (𝐶 − 𝐵)
fourierdlem42.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
fourierdlem42.af	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem42.ba	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
fourierdlem42.ca	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
fourierdlem42.d	⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
fourierdlem42.i	⊢ 𝐼 = ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )
fourierdlem42.r	⊢ 𝑅 = ran (𝐷 ↾ 𝐼)
fourierdlem42.e	⊢ 𝐸 = inf(𝑅, ℝ, < )
fourierdlem42.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem42.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem42.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
fourierdlem42.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (𝑋[,]𝑌))
fourierdlem42.h	⊢ 𝐻 = {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴}
fourierdlem42.15	⊢ (𝜓 ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem42	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝐸,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘   𝐻,𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐼   𝐽,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝑅   𝑇,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑎,𝑏,𝑥   𝜓,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝜓(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑗,𝑘)   𝐼(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐽(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐾(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem42

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑖 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem42.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2		fourierdlem42.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
3		fourierdlem42.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
4		fourierdlem42.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (𝑋[,]𝑌))
5	3, 4	icccmp 23116	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ Comp)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Comp)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ Comp)
8		fourierdlem42.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴}
9		ssrab2 3977	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ⊆ (𝑋[,]𝑌)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ⊆ (𝑋[,]𝑌))
11	8, 10	syl5eqss 3936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌))
12		retop 23053	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
13	3, 12	eqeltri 2879	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ Top
14	1, 2	iccssred 41322	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
15		uniretop 23054	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
16	3	unieqi 4754	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
17	15, 16	eqtr4i 2822	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
18	17	restuni 21454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) = ∪ (𝐽 ↾t (𝑋[,]𝑌)))
19	13, 14, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) = ∪ (𝐽 ↾t (𝑋[,]𝑌)))
20	4	unieqi 4754	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (𝐽 ↾t (𝑋[,]𝑌))
21	20	eqcomi 2804	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t (𝑋[,]𝑌)) = ∪ 𝐾
22	19, 21	syl6eq 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) = ∪ 𝐾)
23	11, 22	sseqtrd 3928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾)
24	23	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾)
25		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ¬ 𝐻 ∈ Fin)
26		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
27	26	bwth 21702	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ∪ 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
28	7, 24, 25, 27	syl3anc 1364	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ∪ 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
29	11, 14	sstrd 3899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ ℝ)
30	29	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → 𝐻 ⊆ ℝ)
31		ne0i 4220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) → ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ≠ ∅)
32	31	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ≠ ∅)
33		fourierdlem42.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = inf(𝑅, ℝ, < )
34		fourierdlem42.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = ran (𝐷 ↾ 𝐼)
35		absf 14531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
36		ffn 6382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ abs Fn ℂ
38		subf 10735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
39		ffn 6382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ − Fn (ℂ × ℂ)
41		frn 6388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → ran − ⊆ ℂ)
42	38, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ran − ⊆ ℂ
43		fnco 6335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((abs Fn ℂ ∧ − Fn (ℂ × ℂ) ∧ ran − ⊆ ℂ) → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
44	37, 40, 42, 43	mp3an 1453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
45		fourierdlem42.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
46	45	fneq1i 6320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 Fn (ℂ × ℂ) ↔ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
47	44, 46	mpbir 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 Fn (ℂ × ℂ)
48		fourierdlem42.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐼 = ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )
49		fourierdlem42.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
50		fourierdlem42.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
51		fourierdlem42.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
52	50, 51	iccssred 41322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
53		ax-resscn 10440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
54	52, 53	syl6ss 3901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
55	49, 54	sstrd 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
56		xpss12 5458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℂ × ℂ))
57	55, 55, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℂ × ℂ))
58	57	ssdifssd 4040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ⊆ (ℂ × ℂ))
59	48, 58	syl5eqss 3936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (ℂ × ℂ))
60		fnssres 6340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 Fn (ℂ × ℂ) ∧ 𝐼 ⊆ (ℂ × ℂ)) → (𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼)
61	47, 59, 60	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼)
62		fvres 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
64	45	fveq1i 6539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐷‘𝑥) = ((abs ∘ − )‘𝑥)
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐷‘𝑥) = ((abs ∘ − )‘𝑥))
66		ffun 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − )
67	38, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Fun −
68	59	sselda 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ (ℂ × ℂ))
69	38	fdmi 6392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ dom − = (ℂ × ℂ)
70	68, 69	syl6eleqr 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ dom − )
71		fvco 6626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Fun − ∧ 𝑥 ∈ dom − ) → ((abs ∘ − )‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥)))
72	67, 70, 71	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((abs ∘ − )‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥)))
73	63, 65, 72	3eqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥)))
74	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
75	74, 68	ffvelrnd 6717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( − ‘𝑥) ∈ ℂ)
76	75	abscld 14630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘( − ‘𝑥)) ∈ ℝ)
77	73, 76	eqeltrd 2883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ)
78		elxp2 5467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ × ℂ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩)
79	68, 78	sylib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩)
80		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( − ‘𝑥) = ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩))
81	80	3ad2ant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ( − ‘𝑥) = ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩))
82		df-ov 7019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 − 𝑧) = ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩)
83		simp1l 1190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → 𝜑)
84		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩)
85		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → 𝑥 ∈ 𝐼)
86	84, 85	eqeltrrd 2884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼)
87	86	adantll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼)
88	87	3adant2 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼)
89	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝐴 ⊆ ℂ)
90	48	eleq2i 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
91		eldif 3869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ↔ (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ∧ ¬ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I ))
92	90, 91	sylbb 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ∧ ¬ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I ))
93	92	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
94		opelxp 5479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
95	93, 94	sylib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
97	96	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐴)
98	89, 97	sseldd 3890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ ℂ)
99	96	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ 𝐴)
100	89, 99	sseldd 3890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ ℂ)
101	92	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ¬ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I )
102		df-br 4963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 I 𝑧 ↔ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I )
103	101, 102	sylnibr 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 I 𝑧)
104		vex 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 𝑧 ∈ V
105	104	ideq 5609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 I 𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧)
106	103, 105	sylnib 329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 = 𝑧)
107	106	neqned 2991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → 𝑦 ≠ 𝑧)
108	107	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑦 ≠ 𝑧)
109	98, 100, 108	subne0d 10854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → (𝑦 − 𝑧) ≠ 0)
110	83, 88, 109	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → (𝑦 − 𝑧) ≠ 0)
111	82, 110	syl5eqner 3059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩) ≠ 0)
112	81, 111	eqnetrd 3051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ( − ‘𝑥) ≠ 0)
113	112	3exp 1112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( − ‘𝑥) ≠ 0)))
114	113	rexlimdvv 3256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( − ‘𝑥) ≠ 0))
115	79, 114	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( − ‘𝑥) ≠ 0)
116		absgt0 14518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (( − ‘𝑥) ∈ ℂ → (( − ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘( − ‘𝑥))))
117	75, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (( − ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘( − ‘𝑥))))
118	115, 117	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 < (abs‘( − ‘𝑥)))
119	73	eqcomd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘( − ‘𝑥)) = ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥))
120	118, 119	breqtrd 4988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 < ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥))
121	77, 120	elrpd 12278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+)
122	121	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+)
123		fnfvrnss 6747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+) → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ⊆ ℝ+)
124	61, 122, 123	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ⊆ ℝ+)
125	34, 124	syl5eqss 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ+)
126		ltso 10568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ < Or ℝ
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
128		fourierdlem42.af	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
129		xpfi 8635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ∈ Fin)
130	128, 128, 129	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐴) ∈ Fin)
131		diffi 8596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ∈ Fin → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ∈ Fin)
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ∈ Fin)
133	48, 132	syl5eqel 2887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
134		fnfi 8642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐷 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
135	61, 133, 134	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
136		rnfi 8653	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ↾ 𝐼) ∈ Fin → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
138	34, 137	syl5eqel 2887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
139	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ran (𝐷 ↾ 𝐼))
140	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (abs ∘ − ))
141	140	reseq1d 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ 𝐼) = ((abs ∘ − ) ↾ 𝐼))
142	141	fveq1d 6540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
143		fourierdlem42.ba	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
144		fourierdlem42.ca	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
145		opelxp 5479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
146	143, 144, 145	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
147		fourierdlem42.bc	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
148	50, 147	ltned 10623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
149	148	neneqd 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶)
150		ideqg 5608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶))
151	144, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶))
152	149, 151	mtbird 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 I 𝐶)
153		df-br 4963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 I 𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ I )
154	152, 153	sylnib 329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ I )
155	146, 154	eldifd 3870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
156	155, 48	syl6eleqr 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐼)
157		fvres 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐼 → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
158	156, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
159	50	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
160	51	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
161		opelxp 5479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (ℂ × ℂ) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
162	159, 160, 161	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
163	162, 69	syl6eleqr 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ dom − )
164		fvco 6626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Fun − ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ dom − ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)))
165	67, 163, 164	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)))
166		df-ov 7019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 − 𝐶) = ( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)
167	166	eqcomi 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (𝐵 − 𝐶)
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (𝐵 − 𝐶))
169	168	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
170	165, 169	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
171	142, 158, 170	3eqtrrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐷 ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
172		fnfvelrn 6713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼 ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐼) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼))
173	61, 156, 172	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼))
174	171, 173	eqeltrd 2883	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼))
175		ne0i 4220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ≠ ∅)
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ≠ ∅)
177	139, 176	eqnetrd 3051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
178		resss 5759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐷 ↾ 𝐼) ⊆ 𝐷
179		rnss 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ↾ 𝐼) ⊆ 𝐷 → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ⊆ ran 𝐷)
180	178, 179	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ⊆ ran 𝐷
181	45	rneqi 5689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ran 𝐷 = ran (abs ∘ − )
182		rncoss 5724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ran (abs ∘ − ) ⊆ ran abs
183		frn 6388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → ran abs ⊆ ℝ)
184	35, 183	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ran abs ⊆ ℝ
185	182, 184	sstri 3898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ran (abs ∘ − ) ⊆ ℝ
186	181, 185	eqsstri 3922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ran 𝐷 ⊆ ℝ
187	180, 186	sstri 3898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ⊆ ℝ
188	34, 187	eqsstri 3922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑅 ⊆ ℝ
189	188	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ)
190		fiinfcl 8811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ⊆ ℝ)) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
191	127, 138, 177, 189, 190	syl13anc 1365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
192	125, 191	sseldd 3890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
193	33, 192	syl5eqel 2887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
194	193	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
195	3, 30, 32, 194	lptre2pt 41463	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ 𝐻 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸))
196		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝜑)
197	29	sselda 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℝ)
198	197	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℝ)
199	198	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
200	29	sselda 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → 𝑧 ∈ ℝ)
201	200	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → 𝑧 ∈ ℝ)
202	201	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
203		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑦 ≠ 𝑧)
204	199, 202, 203	3jca 1121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
205	8	eleq2i 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴})
206		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
207	206	eleq1d 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
208	207	rexbidv 3260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
209		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
210	209	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)))
211	210	eleq1d 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
212	211	cbvrexv 3404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
213	208, 212	syl6bb 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
214	213	elrab 3618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
215	205, 214	sylbb 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
216	215	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
217	216	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
218	8	eleq2i 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 ↔ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴})
219		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)))
220	219	eleq1d 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
221	220	rexbidv 3260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
222	221	elrab 3618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
223	218, 222	sylbb 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
224	223	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
225	224	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
226		reeanv 3328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
227	217, 225, 226	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
228	227	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
229		simplll 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝜑)
230		simpl1 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
231		simpl2 1185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
232		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 < 𝑧)
233	230, 231, 232	3jca 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
234	233	adantll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
235	234	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
236		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
237		eleq1 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → (𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ))
238		breq2 4966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑧))
239	237, 238	3anbi23d 1431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)))
240	239	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))))
241		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)))
242	241	eleq1d 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
243	242	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → (((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
244	243	2rexbidv 3263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
245	240, 244	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
246		oveq2 7024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → (𝑦 − 𝑏) = (𝑦 − 𝑧))
247	246	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → (abs‘(𝑦 − 𝑏)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
248	247	breq2d 4974	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧))))
249	245, 248	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧)))))
250		eleq1 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
251		breq1 4965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑏))
252	250, 251	3anbi13d 1430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)))
253	252	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏))))
254		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)))
255	254	eleq1d 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
256	255	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
257	256	2rexbidv 3263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
258	253, 257	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
259		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 − 𝑏) = (𝑦 − 𝑏))
260	259	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (abs‘(𝑎 − 𝑏)) = (abs‘(𝑦 − 𝑏)))
261	260	breq2d 4974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑏))))
262	258, 261	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑏)))))
263		fourierdlem42.15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜓 ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
264	263	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜓 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
265	263	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜓 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
266	265	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜓 → (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)))
267	266	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜓 → 𝜑)
268	267, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜓 → 𝐵 ∈ ℝ)
269	268	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
270	267, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜓 → 𝐶 ∈ ℝ)
271	270	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
272	267, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜓 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
273	272	sselda 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
274	273	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
275	272	sselda 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
276	275	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
277	269, 271, 274, 276	iccsuble 41337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (𝐶 − 𝐵))
278		fourierdlem42.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝑇 = (𝐶 − 𝐵)
279	277, 278	syl6breqr 5004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
280	279	3adant2 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
281	280	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
282		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → ¬ 𝑘 ≤ 𝑗)
283		zre 11833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
284	283	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
285	284	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
286		zre 11833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
287	286	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
288	287	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
289	285, 288	ltnled 10634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑗 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗))
290	282, 289	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 < 𝑘)
291	51, 50	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
292	278, 291	syl5eqel 2887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
293	267, 292	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜓 → 𝑇 ∈ ℝ)
294	293	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ∈ ℝ)
295	287	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℝ)
296	284	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℝ)
297	295, 296	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 − 𝑗) ∈ ℝ)
298	293	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℝ)
299	297, 298	remulcld 10517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) ∈ ℝ)
300	299	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) ∈ ℝ)
301	266	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏))
302	301	simp2d 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜓 → 𝑏 ∈ ℝ)
303	302	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
304	286	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
305	293	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
306	304, 305	remulcld 10517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
307	306	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
308	303, 307	readdcld 10516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
309	301	simp1d 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜓 → 𝑎 ∈ ℝ)
310	309	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
311	283	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
312	293	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
313	311, 312	remulcld 10517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ)
314	313	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ)
315	310, 314	readdcld 10516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
316	308, 315	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
317	316	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
318	293	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜓 → 𝑇 ∈ ℂ)
319	318	mulid2d 10505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜓 → (1 · 𝑇) = 𝑇)
320	319	eqcomd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜓 → 𝑇 = (1 · 𝑇))
321	320	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 = (1 · 𝑇))
322		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑗 < 𝑘)
323		zltlem1 11884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)))
324	323	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)))
325	322, 324	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑗 ≤ (𝑘 − 1))
326	284	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
327		peano2rem 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
328	295, 327	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
329	328	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
330		1re 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ 1 ∈ ℝ
331		resubcl 10798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (1 − 𝑗) ∈ ℝ)
332	330, 326, 331	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (1 − 𝑗) ∈ ℝ)
333		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 𝑗 ≤ (𝑘 − 1))
334	326, 329, 332, 333	leadd1dd 11102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) ≤ ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)))
335		zcn 11834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
336	335	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ)
337		1cnd 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
338	336, 337	pncan3d 10848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) = 1)
339	338	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) = 1)
340		zcn 11834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
341	340	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
342	341, 337, 336	npncand 10869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)) = (𝑘 − 𝑗))
343	342	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)) = (𝑘 − 𝑗))
344	334, 339, 343	3brtr3d 4993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 1 ≤ (𝑘 − 𝑗))
345	325, 344	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 1 ≤ (𝑘 − 𝑗))
346	330	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 1 ∈ ℝ)
347	297	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑘 − 𝑗) ∈ ℝ)
348	50, 51	posdifd 11075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ 0 < (𝐶 − 𝐵)))
349	147, 348	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐶 − 𝐵))
350	349, 278	syl6breqr 5004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
351	292, 350	elrpd 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
352	267, 351	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜓 → 𝑇 ∈ ℝ+)
353	352	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ∈ ℝ+)
354	346, 347, 353	lemul1d 12324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (1 ≤ (𝑘 − 𝑗) ↔ (1 · 𝑇) ≤ ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)))
355	345, 354	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (1 · 𝑇) ≤ ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇))
356	321, 355	eqbrtrd 4984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ≤ ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇))
357	302, 309	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜓 → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ)
358	301	simp3d 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜓 → 𝑎 < 𝑏)
359	309, 302	posdifd 11075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜓 → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏 − 𝑎)))
360	358, 359	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜓 → 0 < (𝑏 − 𝑎))
361	357, 360	elrpd 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜓 → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ+)
362	361	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ+)
363	299, 362	ltaddrp2d 12315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)))
364	302	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜓 → 𝑏 ∈ ℂ)
365	364	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
366	306	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
367	366	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
368	309	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜓 → 𝑎 ∈ ℂ)
369	368	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
370	313	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℂ)
371	370	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℂ)
372	365, 367, 369, 371	addsub4d 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))))
373	340	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
374	335	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℂ)
375	318	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℂ)
376	373, 374, 375	subdird 10945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) = ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
377	376	eqcomd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇))
378	377	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)))
379	372, 378	eqtr2d 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
380	363, 379	breqtrd 4988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
381	380	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
382	294, 300, 317, 356, 381	lelttrd 10645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
383	294, 317	ltnled 10634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑇 < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ↔ ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇))
384	382, 383	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
385	290, 384	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
386	385	3adantl3 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
387	281, 386	condan 814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 ≤ 𝑗)
388	188, 191	sseldi 3887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
389	33, 388	syl5eqel 2887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
390	267, 389	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜓 → 𝐸 ∈ ℝ)
391	390	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ)
392	391	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ)
393	293	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ)
394	393	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
395	284, 287	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 − 𝑘) ∈ ℝ)
396	395	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 − 𝑘) ∈ ℝ)
397	396, 298	remulcld 10517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
398	397	3adant3 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
399	398	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
400		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
401	143, 144	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
402	400, 401, 147	3jca 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶))
403		eleq1 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝑑 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
404	403	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)))
405		breq2 4966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐵 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝐶))
406	404, 405	3anbi23d 1431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶)))
407		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝑑 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵))
408	407	breq2d 4974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝐵)))
409	406, 408	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝐵))))
410		simp2l 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐵 ∈ 𝐴)
411		eleq1 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
412	411	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)))
413		breq1 4965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑐 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝑑))
414	412, 413	3anbi23d 1431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑)))
415		oveq2 7024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑑 − 𝑐) = (𝑑 − 𝐵))
416	415	breq2d 4974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵)))
417	414, 416	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵))))
418	188	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑅 ⊆ ℝ)
419		0re 10489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ 0 ∈ ℝ
420	34	eleq2i 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 ↔ 𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼))
421	420	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼))
422	421	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼))
423	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼)
424		fvelrnb 6594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼 → (𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦))
425	423, 424	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦))
426	422, 425	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦)
427	121	rpge0d 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥))
428	427	3adant3 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → 0 ≤ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥))
429		simp3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦)
430	428, 429	breqtrd 4988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → 0 ≤ 𝑦)
431	430	3exp 1112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 → (((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦)))
432	431	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐼 → (((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦)))
433	432	rexlimdv 3246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦))
434	426, 433	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → 0 ≤ 𝑦)
435	434	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦)
436		breq1 4965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
437	436	ralbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦))
438	437	rspcev 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦)
439	419, 435, 438	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦)
440	439	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦)
441		pm3.22 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴))
442		opelxp 5479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴))
443	441, 442	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
444	443	3ad2ant2 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
445	49, 52	sstrd 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
446	445	sselda 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ ℝ)
447	446	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → 𝑐 ∈ ℝ)
448	447	3adant3 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 ∈ ℝ)
449		simp3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 < 𝑑)
450	448, 449	gtned 10622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑑 ≠ 𝑐)
451	450	neneqd 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ¬ 𝑑 = 𝑐)
452		df-br 4963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑑 I 𝑐 ↔ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I )
453		vex 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ 𝑐 ∈ V
454	453	ideq 5609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑑 I 𝑐 ↔ 𝑑 = 𝑐)
455	452, 454	bitr3i 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I ↔ 𝑑 = 𝑐)
456	451, 455	sylnibr 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ¬ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I )
457	444, 456	eldifd 3870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
458	457, 48	syl6eleqr 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼)
459	448, 449	ltned 10623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 ≠ 𝑑)
460	141	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝐷 ↾ 𝐼) = ((abs ∘ − ) ↾ 𝐼))
461	460	fveq1d 6540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
462	443	3ad2ant2 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
463		necom 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ⊢ (𝑐 ≠ 𝑑 ↔ 𝑑 ≠ 𝑐)
464	463	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ⊢ (𝑐 ≠ 𝑑 → 𝑑 ≠ 𝑐)
465	464	neneqd 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (𝑐 ≠ 𝑑 → ¬ 𝑑 = 𝑐)
466	465	3ad2ant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ¬ 𝑑 = 𝑐)
467	466, 455	sylnibr 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ¬ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I )
468	462, 467	eldifd 3870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
469	468, 48	syl6eleqr 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼)
470		fvres 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼 → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
471	469, 470	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
472		simp1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝜑)
473	472, 469	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼))
474		eleq1 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼))
475	474	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ↔ (𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼)))
476		eleq1 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (𝑥 ∈ dom − ↔ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − ))
477	475, 476	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ dom − ) ↔ ((𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − )))
478	477, 70	vtoclg 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼 → ((𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − ))
479	469, 473, 478	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − )
480		fvco 6626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((Fun − ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)))
481	67, 479, 480	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)))
482		df-ov 7019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (𝑑 − 𝑐) = ( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)
483	482	eqcomi 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑 − 𝑐)
484	483	fveq2i 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (abs‘( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)) = (abs‘(𝑑 − 𝑐))
485	481, 484	syl6eq 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘(𝑑 − 𝑐)))
486	461, 471, 485	3eqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘(𝑑 − 𝑐)))
487	459, 486	syld3an3 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘(𝑑 − 𝑐)))
488	445	sselda 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → 𝑑 ∈ ℝ)
489	488	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ)
490	489	3adant3 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
491	448, 490, 449	ltled 10635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 ≤ 𝑑)
492	448, 490, 491	abssubge0d 14625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (abs‘(𝑑 − 𝑐)) = (𝑑 − 𝑐))
493	487, 492	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑 − 𝑐))
494		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = ((𝐷 ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
495	494	eqeq1d 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐) ↔ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑 − 𝑐)))
496	495	rspcev 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑 − 𝑐)) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐))
497	458, 493, 496	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐))
498	489, 447	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → (𝑑 − 𝑐) ∈ ℝ)
499		elex 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑑 − 𝑐) ∈ ℝ → (𝑑 − 𝑐) ∈ V)
500	498, 499	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → (𝑑 − 𝑐) ∈ V)
501	500	3adant3 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑 − 𝑐) ∈ V)
502		simp1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝜑)
503		eleq1 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑦 = (𝑑 − 𝑐) → (𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ (𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼)))
504		eqeq2 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑦 = (𝑑 − 𝑐) → (((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦 ↔ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐)))
505	504	rexbidv 3260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑦 = (𝑑 − 𝑐) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐)))
506	503, 505	bibi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑦 = (𝑑 − 𝑐) → ((𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐))))
507	506	imbi2d 342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑦 = (𝑑 − 𝑐) → ((𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝜑 → ((𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐)))))
508	61, 424	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦))
509	507, 508	vtoclg 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑑 − 𝑐) ∈ V → (𝜑 → ((𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐))))
510	501, 502, 509	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐)))
511	497, 510	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼))
512	511, 34	syl6eleqr 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑 − 𝑐) ∈ 𝑅)
513		infrelb 11474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝑑 − 𝑐) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑑 − 𝑐))
514	418, 440, 512, 513	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑑 − 𝑐))
515	33, 514	eqbrtrid 4997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐))
516	417, 515	vtoclg 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵)))
517	410, 516	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵))
518	409, 517	vtoclg 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝐵)))
519	144, 402, 518	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝐵))
520	519, 278	syl6breqr 5004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ 𝑇)
521	267, 520	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜓 → 𝐸 ≤ 𝑇)
522	521	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ 𝑇)
523	522	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ 𝑇)
524	364	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
525	524, 366	pncan2d 10847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) = (𝑘 · 𝑇))
526	525	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = ((𝑘 · 𝑇) / 𝑇))
527	340	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
528	318	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ)
529	419	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
530	529, 350	gtned 10622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
531	267, 530	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝜓 → 𝑇 ≠ 0)
532	531	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ≠ 0)
533	527, 528, 532	divcan4d 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑇) / 𝑇) = 𝑘)
534	526, 533	eqtr2d 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
535	534	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
536	535	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
537		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏))
538	537	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
539	538	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
540	368	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
541	364	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
542	540, 370, 541	addsubd 10866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑎 − 𝑏) + (𝑗 · 𝑇)))
543	540, 541	subcld 10845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑎 − 𝑏) ∈ ℂ)
544	543, 370	addcomd 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑏) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑗 · 𝑇) + (𝑎 − 𝑏)))
545	542, 544	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑗 · 𝑇) + (𝑎 − 𝑏)))
546	545	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑗 · 𝑇) + (𝑎 − 𝑏)) / 𝑇))
547	318	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ)
548	531	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ≠ 0)
549	370, 543, 547, 548	divdird 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 · 𝑇) + (𝑎 − 𝑏)) / 𝑇) = (((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)))
550	335	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ)
551	550, 547, 548	divcan4d 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) = 𝑗)
552	551	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)) = (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)))
553	546, 549, 552	3eqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)))
554	553	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)))
555	554	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)))
556	536, 539, 555	3eqtr2d 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 = (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)))
557	309, 302	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝜓 → (𝑎 − 𝑏) ∈ ℝ)
558	309, 302	sublt0d 11114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 − 𝑏) < 0 ↔ 𝑎 < 𝑏))
559	358, 558	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝜓 → (𝑎 − 𝑏) < 0)
560	557, 352, 559	divlt0gt0d 41093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) < 0)
561	560	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) < 0)
562	335	subidd 10833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 𝑗) = 0)
563	562	eqcomd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 0 = (𝑗 − 𝑗))
564	563	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 0 = (𝑗 − 𝑗))
565	561, 564	breqtrd 4988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) < (𝑗 − 𝑗))
566	557, 293, 531	redivcld 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝜓 → ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
567	566	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
568	311, 567, 311	ltaddsub2d 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗 ↔ ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) < (𝑗 − 𝑗)))
569	565, 568	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
570	569	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
571	570	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
572	556, 571	eqbrtrd 4984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
573	320	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 = (1 · 𝑇))
574		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 < 𝑗)
575		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
576		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
577		zltp1le 11881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑗 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑗))
578	575, 576, 577	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑘 < 𝑗 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑗))
579	574, 578	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑗)
580	286	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
581	330	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ∈ ℝ)
582	283	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
583	580, 581, 582	leaddsub2d 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → ((𝑘 + 1) ≤ 𝑗 ↔ 1 ≤ (𝑗 − 𝑘)))
584	579, 583	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ≤ (𝑗 − 𝑘))
585	584	adantll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ≤ (𝑗 − 𝑘))
586	330	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ∈ ℝ)
587	395	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑗 − 𝑘) ∈ ℝ)
588	352	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 ∈ ℝ+)
589	586, 587, 588	lemul1d 12324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (1 ≤ (𝑗 − 𝑘) ↔ (1 · 𝑇) ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
590	585, 589	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (1 · 𝑇) ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))
591	573, 590	eqbrtrd 4984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))
592	572, 591	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))
593	592	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))
594	593	3adantll3 40840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))
595	392, 394, 399, 523, 594	letrd 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))
596		oveq2 7024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
597	596	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
598	597	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
599	267, 445	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝜓 → 𝐴 ⊆ ℝ)
600	599	sselda 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
601	600	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
602	601	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
603	602	subidd 10833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) = 0)
604	603	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
605	604	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
606	598, 605	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
607	606	3adantl2 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
608	607	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
609	374, 373	subcld 10845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 − 𝑘) ∈ ℂ)
610	609, 375	mulcld 10507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℂ)
611	610	addid2d 10688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))
612	611	3adant3 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))
613	612	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))
614	608, 613	eqtr2d 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
615	595, 614	breqtrd 4988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
616	615	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
617	391	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ)
618	599	sselda 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
619	618	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
620	601, 619	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
621	620	3adant2 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
622	621	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
623	621, 398	readdcld 10516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ)
624	623	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ)
625	267	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝜑)
626	625	3ad2antl1 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝜑)
627	626	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝜑)
628		simpl3 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
629	628	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
630		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
631	619	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
632	601	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
633	631, 632	lenltd 10633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
634	630, 633	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
635		eqcom 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
636	635	notbii 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
637	636	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
638	637	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
639		ioran 978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ↔ (¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
640	634, 638, 639	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
641	632, 631	leloed 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
642	640, 641	mtbird 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
643	642	3adantll2 40839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
644	643	adantllr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
645	619	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
646	645	3adantl2 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
647	646	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
648	601	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
649	648	3adantl2 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
650	649	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
651	647, 650	ltnled 10634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
652	644, 651	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
653		simp2l 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
654		eleq1 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
655	654	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
656		breq1 4965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
657	655, 656	3anbi23d 1431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
658		oveq2 7024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
659	658	breq2d 4974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
660	657, 659	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))))
661		simp2r 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
662		eleq1 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑑 ∈ 𝐴 ↔ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
663	662	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
664		breq2 4966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
665	663, 664	3anbi23d 1431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
666		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑑 − 𝑐) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))
667	666	breq2d 4974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)))
668	665, 667	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))))
669	668, 515	vtoclg 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)))
670	661, 669	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))
671	660, 670	vtoclg 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
672	653, 671	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
673	627, 629, 652, 672	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
674	395	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑗 − 𝑘) ∈ ℝ)
675	293	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑇 ∈ ℝ)
676		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ≤ 𝑗)
677	283	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
678	286	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
679	677, 678	subge0d 11078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (0 ≤ (𝑗 − 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ 𝑗))
680	676, 679	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 0 ≤ (𝑗 − 𝑘))
681	680	adantll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 0 ≤ (𝑗 − 𝑘))
682	352	rpge0d 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜓 → 0 ≤ 𝑇)
683	682	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 0 ≤ 𝑇)
684	674, 675, 681, 683	mulge0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 0 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))
685	684	3adantl3 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 0 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))
686	621	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
687	398	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
688	686, 687	addge01d 11076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (0 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ↔ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))))
689	685, 688	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
690	689	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
691	617, 622, 624, 673, 690	letrd 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
692	616, 691	pm2.61dan 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
693	372, 378	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)))
694	693	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
695	365, 369	subcld 10845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ)
696	373, 374	subcld 10845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 − 𝑗) ∈ ℂ)
697	696, 375	mulcld 10507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) ∈ ℂ)
698	695, 697, 610	addassd 10509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = ((𝑏 − 𝑎) + (((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))))
699	341, 336, 336, 341	subadd4b 41089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑗) + (𝑗 − 𝑘)) = ((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)))
700	699	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) + (𝑗 − 𝑘)) = ((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)))
701	700	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘 − 𝑗) + (𝑗 − 𝑘)) · 𝑇) = (((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)) · 𝑇))
702	696, 609, 375	adddird 10512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘 − 𝑗) + (𝑗 − 𝑘)) · 𝑇) = (((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
703	340	subidd 10833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 𝑘) = 0)
704	703	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 − 𝑘) = 0)
705	562	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 − 𝑗) = 0)
706	704, 705	oveq12d 7034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)) = (0 + 0))
707		00id 10662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (0 + 0) = 0
708	706, 707	syl6eq 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)) = 0)
709	708	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)) · 𝑇) = (0 · 𝑇))
710	709	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)) · 𝑇) = (0 · 𝑇))
711	701, 702, 710	3eqtr3d 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 · 𝑇))
712	711	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 − 𝑎) + (((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) = ((𝑏 − 𝑎) + (0 · 𝑇)))
713	318	mul02d 10685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜓 → (0 · 𝑇) = 0)
714	713	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜓 → ((𝑏 − 𝑎) + (0 · 𝑇)) = ((𝑏 − 𝑎) + 0))
715	364, 368	subcld 10845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜓 → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ)
716	715	addid1d 10687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜓 → ((𝑏 − 𝑎) + 0) = (𝑏 − 𝑎))
717	714, 716	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜓 → ((𝑏 − 𝑎) + (0 · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎))
718	717	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 − 𝑎) + (0 · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎))
719	712, 718	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 − 𝑎) + (((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) = (𝑏 − 𝑎))
720	694, 698, 719	3eqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎))
721	720	3adant3 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎))
722	721	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎))
723	692, 722	breqtrd 4988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎))
724		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
725		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
726	601	3adant2 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
727	726	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
728	619	3adant2 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
729	728	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
730	727, 729	ltnled 10634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
731	725, 730	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
732	731	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
733	535	3adant3 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
734	733	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
735	600	3adant2 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
736	302	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
737	735, 736	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
738	293	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℝ)
739	531	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ≠ 0)
740	737, 738, 739	redivcld 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
741	740	3adant3l 1173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
742	741	3adant2l 1171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
743	742	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
744	618	3adant2 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
745	302	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
746	744, 745	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
747	293	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℝ)
748	531	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ≠ 0)
749	746, 747, 748	redivcld 11316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
750	749	3adant3r 1174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
751	750	3adant2r 1172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
752	751	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
753	284	3ad2ant2 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑗 ∈ ℝ)
754	753	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑗 ∈ ℝ)
755	726	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
756	302	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ)
757	756	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑏 ∈ ℝ)
758	755, 757	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
759	728	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
760	759, 757	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
761	352	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
762	761	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
763	601	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
764	619	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
765	302	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑏 ∈ ℝ)
766		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
767	763, 764, 765, 766	ltsub1dd 11100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) < ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏))
768	767	3adantl2 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) < ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏))
769	758, 760, 762, 768	ltdiv1dd 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
770	554, 570	eqbrtrd 4984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
771	770	3adant3 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
772	771	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
773	743, 752, 754, 769, 772	lttrd 10648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
774	734, 773	eqbrtrd 4984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
775	774	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
776	732, 775	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
777	391	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ∈ ℝ)
778	393	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
779	623	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ)
780	522	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ 𝑇)
781		peano2rem 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
782	753, 781	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
783	287	3ad2ant2 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ)
784	782, 783	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) ∈ ℝ)
785	784, 393	remulcld 10517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
786	785	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
787	753	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
788	330	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
789	787, 788	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
790	286	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
791	790	3ad2antl2 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
792	789, 791	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) ∈ ℝ)
793	682	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 0 ≤ 𝑇)
794	793	3ad2antl1 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 0 ≤ 𝑇)
795	283	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
796	330	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
797	795, 796	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
798		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 < (𝑗 − 1))
799		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
800		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
801		1zzd 11862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈ ℤ)
802	800, 801	zsubcld 11941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
803		zltlem1 11884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑗 − 1) ↔ 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1)))
804	799, 802, 803	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑘 < (𝑗 − 1) ↔ 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1)))
805	798, 804	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1))
806	790, 797, 796, 805	lesubd 11092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ≤ ((𝑗 − 1) − 𝑘))
807	806	3ad2antl2 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ≤ ((𝑗 − 1) − 𝑘))
808	778, 792, 794, 807	lemulge12d 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ≤ (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇))
809	336, 337, 341	sub32d 10877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) = ((𝑗 − 𝑘) − 1))
810	809	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗 − 𝑘) − 1) · 𝑇))
811	810	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗 − 𝑘) − 1) · 𝑇))
812		1cnd 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 1 ∈ ℂ)
813	609, 812, 375	subdird 10945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 𝑘) − 1) · 𝑇) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)))
814	319	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝜓 → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
815	814	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
816	811, 813, 815	3eqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
817	816	3adant3 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
818	728, 726	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∈ ℝ)
819	269, 271, 276, 274	iccsuble 41337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ (𝐶 − 𝐵))
820	819, 278	syl6breqr 5004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
821	820	3adant2 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
822	818, 393, 398, 821	lesub2dd 11105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − 𝑇) ≤ (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
823	817, 822	eqbrtrd 4984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
824	610	3adant3 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℂ)
825	728	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
826	602	3adant2 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
827	824, 825, 826	subsub2d 10874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) + ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
828	621	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℂ)
829	824, 828	addcomd 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) + ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
830	827, 829	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
831	823, 830	breqtrd 4988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
832	831	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
833	778, 786, 779, 808, 832	letrd 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
834	777, 778, 779, 780, 833	letrd 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))
835	721	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎))
836	834, 835	breqtrd 4988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎))
837	836	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎))
838	837	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎))
839		simplll 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
840		simpll2 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
841		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 < 𝑗)
842		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1))
843	581, 582, 580, 584	lesubd 11092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ≤ (𝑗 − 1))
844	843	3adant3 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝑗 − 1))
845		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1))
846	284, 781	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
847	846	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
848	286	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
849	847, 848	lenltd 10633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 1) ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)))
850	845, 849	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑘)
851	850	3adant2 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑘)
852	580	3adant3 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
853	846	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
854	852, 853	letri3d 10629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑘 = (𝑗 − 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑘)))
855	844, 851, 854	mpbir2and 709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1))
856	840, 841, 842, 855	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1))
857	856	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1))
858		simpl1 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝜓)
859		simpl2l 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
860		simpl3l 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
861		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 · 𝑇) = ((𝑗 − 1) · 𝑇))
862	861	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
863	862	eqcomd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
864	863	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
865		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
866	864, 865	eqeltrd 2883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
867	866	adantll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
868	867	3ad2antl3 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
869	860, 868	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴))
870		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
871	870	3adant3r 1174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
872	744	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
873	270	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
874	873	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
875	268	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
876	270	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
877		elicc2 12651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
878	875, 876, 877	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
879	275, 878	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶))
880	879	simp3d 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
881	880	3adant2 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
882	881	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
883		nne 2988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (¬ 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
884	540, 370	pncand 10846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = 𝑎)
885	884	eqcomd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑎 = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)))
886	885	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)))
887		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)))
888	887	eqcomd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)))
889	888	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)))
890	278	oveq2i 7027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝐵 + 𝑇) = (𝐵 + (𝐶 − 𝐵))
891	267, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝜓 → 𝐵 ∈ ℂ)
892	267, 160	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝜓 → 𝐶 ∈ ℂ)
893	891, 892	pncan3d 10848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝜓 → (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐶)
894	890, 893	syl5req 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝜓 → 𝐶 = (𝐵 + 𝑇))
895	894	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝜓 → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
896	895	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
897	891	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
898	897, 370, 547	subsub3d 10875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 − ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
899	550, 547	mulsubfacd 10949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇) = ((𝑗 − 1) · 𝑇))
900	899	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 − ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
901	896, 898, 900	3eqtr2d 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
902	901	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
903	886, 889, 902	3eqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
904	903	3adantl3 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
905	904	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
906		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
907	906	eqcomd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
908	907	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
909	364	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ)
910		1cnd 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
911	550, 910	subcld 10845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
912	911, 547	mulcld 10507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 1) · 𝑇) ∈ ℂ)
913	912	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑗 − 1) · 𝑇) ∈ ℂ)
914	909, 913	pncand 10846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏)
915	914	3adantl3 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏)
916	915	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏)
917	905, 908, 916	3eqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = 𝑏)
918	883, 917	sylan2b 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = 𝑏)
919	309, 358	ltned 10623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝜓 → 𝑎 ≠ 𝑏)
920	919	neneqd 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝜓 → ¬ 𝑎 = 𝑏)
921	920	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
922	921	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
923	918, 922	condan 814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
924	872, 874, 882, 923	leneltd 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)
925	871, 924	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)
926	267	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝜑)
927		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
928	926, 144	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝐴)
929		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)
930		simp2l 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
931	654	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)))
932		breq1 4965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶))
933	931, 932	3anbi23d 1431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)))
934		oveq2 7024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐶 − 𝑐) = (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
935	934	breq2d 4974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
936	933, 935	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))))
937		simp2r 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝐴)
938	403	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)))
939		breq2 4966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < 𝐶))
940	938, 939	3anbi23d 1431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶)))
941		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝑑 − 𝑐) = (𝐶 − 𝑐))
942	941	breq2d 4974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐)))
943	940, 942	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑑 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐))))
944	943, 515	vtoclg 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐)))
945	937, 944	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐))
946	936, 945	vtoclg 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
947	930, 946	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
948	926, 927, 928, 929, 947	syl121anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
949	948	adantlrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
950	949	3adantl2 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
951	950	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
952	892	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
953	599	sselda 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
954	953	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
955	952, 954	npcand 10849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = 𝐶)
956	955	eqcomd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 = ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
957	956	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
958	957	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (