| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | fourierdlem42.x |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 2 | | fourierdlem42.y |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ) |
| 3 | | fourierdlem42.j |
. . . . . 6
⊢ 𝐽 = (topGen‘ran
(,)) |
| 4 | | fourierdlem42.k |
. . . . . 6
⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (𝑋[,]𝑌)) |
| 5 | 3, 4 | icccmp 24847 |
. . . . 5
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ Comp) |
| 6 | 1, 2, 5 | syl2anc 584 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Comp) |
| 7 | 6 | adantr 480 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ Comp) |
| 8 | | fourierdlem42.h |
. . . . . 6
⊢ 𝐻 = {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} |
| 9 | | ssrab2 4080 |
. . . . . . 7
⊢ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ⊆ (𝑋[,]𝑌) |
| 10 | 9 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ⊆ (𝑋[,]𝑌)) |
| 11 | 8, 10 | eqsstrid 4022 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌)) |
| 12 | | retop 24782 |
. . . . . . . 8
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ Top |
| 13 | 3, 12 | eqeltri 2837 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐽 ∈ Top |
| 14 | 1, 2 | iccssred 13474 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ) |
| 15 | | uniretop 24783 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℝ =
∪ (topGen‘ran (,)) |
| 16 | 3 | unieqi 4919 |
. . . . . . . . 9
⊢ ∪ 𝐽 =
∪ (topGen‘ran (,)) |
| 17 | 15, 16 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . 8
⊢ ℝ =
∪ 𝐽 |
| 18 | 17 | restuni 23170 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) = ∪ (𝐽 ↾t (𝑋[,]𝑌))) |
| 19 | 13, 14, 18 | sylancr 587 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) = ∪ (𝐽 ↾t (𝑋[,]𝑌))) |
| 20 | 4 | unieqi 4919 |
. . . . . . 7
⊢ ∪ 𝐾 =
∪ (𝐽 ↾t (𝑋[,]𝑌)) |
| 21 | 20 | eqcomi 2746 |
. . . . . 6
⊢ ∪ (𝐽
↾t (𝑋[,]𝑌)) = ∪ 𝐾 |
| 22 | 19, 21 | eqtrdi 2793 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) = ∪ 𝐾) |
| 23 | 11, 22 | sseqtrd 4020 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾) |
| 24 | 23 | adantr 480 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾) |
| 25 | | simpr 484 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ¬ 𝐻 ∈ Fin) |
| 26 | | eqid 2737 |
. . . 4
⊢ ∪ 𝐾 =
∪ 𝐾 |
| 27 | 26 | bwth 23418 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐻 ⊆ ∪ 𝐾
∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin)
→ ∃𝑥 ∈
∪ 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻)) |
| 28 | 7, 24, 25, 27 | syl3anc 1373 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ∪ 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻)) |
| 29 | 11, 14 | sstrd 3994 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ ℝ) |
| 30 | 29 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → 𝐻 ⊆ ℝ) |
| 31 | | ne0i 4341 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) → ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ≠ ∅) |
| 32 | 31 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ≠ ∅) |
| 33 | | fourierdlem42.e |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐸 = inf(𝑅, ℝ, < ) |
| 34 | | fourierdlem42.r |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑅 = ran (𝐷 ↾ 𝐼) |
| 35 | | absf 15376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
abs:ℂ⟶ℝ |
| 36 | | ffn 6736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ) |
| 37 | 35, 36 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ abs Fn
ℂ |
| 38 | | subf 11510 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ −
:(ℂ × ℂ)⟶ℂ |
| 39 | | ffn 6736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ( −
:(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ ×
ℂ)) |
| 40 | 38, 39 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ −
Fn (ℂ × ℂ) |
| 41 | | frn 6743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ( −
:(ℂ × ℂ)⟶ℂ → ran − ⊆
ℂ) |
| 42 | 38, 41 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ran
− ⊆ ℂ |
| 43 | | fnco 6686 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((abs Fn
ℂ ∧ − Fn (ℂ × ℂ) ∧ ran − ⊆
ℂ) → (abs ∘ − ) Fn (ℂ ×
ℂ)) |
| 44 | 37, 40, 42, 43 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (abs
∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) |
| 45 | | fourierdlem42.d |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 𝐷 = (abs ∘ −
) |
| 46 | 45 | fneq1i 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐷 Fn (ℂ × ℂ)
↔ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)) |
| 47 | 44, 46 | mpbir 231 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝐷 Fn (ℂ ×
ℂ) |
| 48 | | fourierdlem42.i |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝐼 = ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) |
| 49 | | fourierdlem42.a |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶)) |
| 50 | | fourierdlem42.b |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 51 | | fourierdlem42.c |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 52 | 50, 51 | iccssred 13474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ) |
| 53 | | ax-resscn 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
| 54 | 52, 53 | sstrdi 3996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ) |
| 55 | 49, 54 | sstrd 3994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ) |
| 56 | | xpss12 5700 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℂ ×
ℂ)) |
| 57 | 55, 55, 56 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℂ ×
ℂ)) |
| 58 | 57 | ssdifssd 4147 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ⊆ (ℂ ×
ℂ)) |
| 59 | 48, 58 | eqsstrid 4022 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (ℂ ×
ℂ)) |
| 60 | | fnssres 6691 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐷 Fn (ℂ × ℂ)
∧ 𝐼 ⊆ (ℂ
× ℂ)) → (𝐷
↾ 𝐼) Fn 𝐼) |
| 61 | 47, 59, 60 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼) |
| 62 | | fvres 6925 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝐷‘𝑥)) |
| 63 | 62 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝐷‘𝑥)) |
| 64 | 45 | fveq1i 6907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝐷‘𝑥) = ((abs ∘ − )‘𝑥) |
| 65 | 64 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐷‘𝑥) = ((abs ∘ − )‘𝑥)) |
| 66 | | ffun 6739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ( −
:(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − ) |
| 67 | 38, 66 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ Fun
− |
| 68 | 59 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ (ℂ ×
ℂ)) |
| 69 | 38 | fdmi 6747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ dom
− = (ℂ × ℂ) |
| 70 | 68, 69 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ dom − ) |
| 71 | | fvco 7007 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((Fun
− ∧ 𝑥 ∈ dom
− ) → ((abs ∘ − )‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥))) |
| 72 | 67, 70, 71 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((abs ∘ − )‘𝑥) = (abs‘( −
‘𝑥))) |
| 73 | 63, 65, 72 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥))) |
| 74 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → − :(ℂ ×
ℂ)⟶ℂ) |
| 75 | 74, 68 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( − ‘𝑥) ∈ ℂ) |
| 76 | 75 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘( − ‘𝑥)) ∈
ℝ) |
| 77 | 73, 76 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ) |
| 78 | | elxp2 5709 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ×
ℂ) ↔ ∃𝑦
∈ ℂ ∃𝑧
∈ ℂ 𝑥 =
〈𝑦, 𝑧〉) |
| 79 | 68, 78 | sylib 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) |
| 80 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉 → ( − ‘𝑥) = ( − ‘〈𝑦, 𝑧〉)) |
| 81 | 80 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → ( − ‘𝑥) = ( − ‘〈𝑦, 𝑧〉)) |
| 82 | | df-ov 7434 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑦 − 𝑧) = ( − ‘〈𝑦, 𝑧〉) |
| 83 | | simp1l 1198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → 𝜑) |
| 84 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) |
| 85 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → 𝑥 ∈ 𝐼) |
| 86 | 84, 85 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) |
| 87 | 86 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) |
| 88 | 87 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) |
| 89 | 55 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → 𝐴 ⊆ ℂ) |
| 90 | 48 | eleq2i 2833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 ↔ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )) |
| 91 | | eldif 3961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ↔ (〈𝑦, 𝑧〉 ∈ (𝐴 × 𝐴) ∧ ¬ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ I )) |
| 92 | 90, 91 | sylbb 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 → (〈𝑦, 𝑧〉 ∈ (𝐴 × 𝐴) ∧ ¬ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ I )) |
| 93 | 92 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 → 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ (𝐴 × 𝐴)) |
| 94 | | opelxp 5721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) |
| 95 | 93, 94 | sylib 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) |
| 96 | 95 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) |
| 97 | 96 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐴) |
| 98 | 89, 97 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ ℂ) |
| 99 | 96 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ 𝐴) |
| 100 | 89, 99 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ ℂ) |
| 101 | 92 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 → ¬ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ I ) |
| 102 | | df-br 5144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑦 I 𝑧 ↔ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ I ) |
| 103 | 101, 102 | sylnibr 329 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 I 𝑧) |
| 104 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ 𝑧 ∈ V |
| 105 | 104 | ideq 5863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑦 I 𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧) |
| 106 | 103, 105 | sylnib 328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 = 𝑧) |
| 107 | 106 | neqned 2947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼 → 𝑦 ≠ 𝑧) |
| 108 | 107 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → 𝑦 ≠ 𝑧) |
| 109 | 98, 100, 108 | subne0d 11629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝑦, 𝑧〉 ∈ 𝐼) → (𝑦 − 𝑧) ≠ 0) |
| 110 | 83, 88, 109 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → (𝑦 − 𝑧) ≠ 0) |
| 111 | 82, 110 | eqnetrrid 3016 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → ( − ‘〈𝑦, 𝑧〉) ≠ 0) |
| 112 | 81, 111 | eqnetrd 3008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉) → ( − ‘𝑥) ≠ 0) |
| 113 | 112 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉 → ( − ‘𝑥) ≠ 0))) |
| 114 | 113 | rexlimdvv 3212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = 〈𝑦, 𝑧〉 → ( − ‘𝑥) ≠ 0)) |
| 115 | 79, 114 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( − ‘𝑥) ≠ 0) |
| 116 | | absgt0 15363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((
− ‘𝑥) ∈
ℂ → (( − ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘( −
‘𝑥)))) |
| 117 | 75, 116 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (( − ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 <
(abs‘( − ‘𝑥)))) |
| 118 | 115, 117 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 < (abs‘( −
‘𝑥))) |
| 119 | 73 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (abs‘( − ‘𝑥)) = ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥)) |
| 120 | 118, 119 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 < ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥)) |
| 121 | 77, 120 | elrpd 13074 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) ∈
ℝ+) |
| 122 | 121 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) ∈
ℝ+) |
| 123 | | fnfvrnss 7141 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+) → ran
(𝐷 ↾ 𝐼) ⊆
ℝ+) |
| 124 | 61, 122, 123 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ⊆
ℝ+) |
| 125 | 34, 124 | eqsstrid 4022 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆
ℝ+) |
| 126 | | ltso 11341 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ < Or
ℝ |
| 127 | 126 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → < Or
ℝ) |
| 128 | | fourierdlem42.af |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin) |
| 129 | | xpfi 9358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ∈ Fin) |
| 130 | 128, 128,
129 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐴) ∈ Fin) |
| 131 | | diffi 9215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 × 𝐴) ∈ Fin → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ∈ Fin) |
| 132 | 130, 131 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ∈ Fin) |
| 133 | 48, 132 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin) |
| 134 | | fnfi 9218 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐷 ↾ 𝐼) ∈ Fin) |
| 135 | 61, 133, 134 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ 𝐼) ∈ Fin) |
| 136 | | rnfi 9380 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐷 ↾ 𝐼) ∈ Fin → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ∈ Fin) |
| 137 | 135, 136 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ∈ Fin) |
| 138 | 34, 137 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin) |
| 139 | 34 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑅 = ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
| 140 | 45 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐷 = (abs ∘ − )) |
| 141 | 140 | reseq1d 5996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ 𝐼) = ((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)) |
| 142 | 141 | fveq1d 6908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝐵, 𝐶〉) = (((abs ∘ − ) ↾
𝐼)‘〈𝐵, 𝐶〉)) |
| 143 | | fourierdlem42.ba |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴) |
| 144 | | fourierdlem42.ca |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴) |
| 145 | | opelxp 5721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(〈𝐵, 𝐶〉 ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) |
| 146 | 143, 144,
145 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ (𝐴 × 𝐴)) |
| 147 | | fourierdlem42.bc |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶) |
| 148 | 50, 147 | ltned 11397 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶) |
| 149 | 148 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶) |
| 150 | | ideqg 5862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶)) |
| 151 | 144, 150 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (𝐵 I 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶)) |
| 152 | 149, 151 | mtbird 325 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 I 𝐶) |
| 153 | | df-br 5144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝐵 I 𝐶 ↔ 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ I ) |
| 154 | 152, 153 | sylnib 328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ¬ 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ I ) |
| 155 | 146, 154 | eldifd 3962 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )) |
| 156 | 155, 48 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ 𝐼) |
| 157 | | fvres 6925 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(〈𝐵, 𝐶〉 ∈ 𝐼 → (((abs ∘ − ) ↾
𝐼)‘〈𝐵, 𝐶〉) = ((abs ∘ −
)‘〈𝐵, 𝐶〉)) |
| 158 | 156, 157 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (((abs ∘ − )
↾ 𝐼)‘〈𝐵, 𝐶〉) = ((abs ∘ −
)‘〈𝐵, 𝐶〉)) |
| 159 | 50 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 160 | 51 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 161 | | opelxp 5721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(〈𝐵, 𝐶〉 ∈ (ℂ ×
ℂ) ↔ (𝐵 ∈
ℂ ∧ 𝐶 ∈
ℂ)) |
| 162 | 159, 160,
161 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ (ℂ ×
ℂ)) |
| 163 | 162, 69 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ dom − ) |
| 164 | | fvco 7007 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((Fun
− ∧ 〈𝐵,
𝐶〉 ∈ dom −
) → ((abs ∘ − )‘〈𝐵, 𝐶〉) = (abs‘( −
‘〈𝐵, 𝐶〉))) |
| 165 | 67, 163, 164 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((abs ∘ −
)‘〈𝐵, 𝐶〉) = (abs‘( −
‘〈𝐵, 𝐶〉))) |
| 166 | | df-ov 7434 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝐵 − 𝐶) = ( − ‘〈𝐵, 𝐶〉) |
| 167 | 166 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ( −
‘〈𝐵, 𝐶〉) = (𝐵 − 𝐶) |
| 168 | 167 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ( −
‘〈𝐵, 𝐶〉) = (𝐵 − 𝐶)) |
| 169 | 168 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (abs‘( −
‘〈𝐵, 𝐶〉)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶))) |
| 170 | 165, 169 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((abs ∘ −
)‘〈𝐵, 𝐶〉) = (abs‘(𝐵 − 𝐶))) |
| 171 | 142, 158,
170 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝐵, 𝐶〉)) |
| 172 | | fnfvelrn 7100 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼 ∧ 〈𝐵, 𝐶〉 ∈ 𝐼) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝐵, 𝐶〉) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
| 173 | 61, 156, 172 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝐵, 𝐶〉) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
| 174 | 171, 173 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
| 175 | | ne0i 4341 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((abs‘(𝐵
− 𝐶)) ∈ ran
(𝐷 ↾ 𝐼) → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ≠ ∅) |
| 176 | 174, 175 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ≠ ∅) |
| 177 | 139, 176 | eqnetrd 3008 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅) |
| 178 | | resss 6019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐷 ↾ 𝐼) ⊆ 𝐷 |
| 179 | | rnss 5950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐷 ↾ 𝐼) ⊆ 𝐷 → ran (𝐷 ↾ 𝐼) ⊆ ran 𝐷) |
| 180 | 178, 179 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ran
(𝐷 ↾ 𝐼) ⊆ ran 𝐷 |
| 181 | 45 | rneqi 5948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ran 𝐷 = ran (abs ∘ −
) |
| 182 | | rncoss 5986 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ran (abs
∘ − ) ⊆ ran abs |
| 183 | | frn 6743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(abs:ℂ⟶ℝ → ran abs ⊆
ℝ) |
| 184 | 35, 183 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ran abs
⊆ ℝ |
| 185 | 182, 184 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ran (abs
∘ − ) ⊆ ℝ |
| 186 | 181, 185 | eqsstri 4030 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ran 𝐷 ⊆
ℝ |
| 187 | 180, 186 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ran
(𝐷 ↾ 𝐼) ⊆
ℝ |
| 188 | 34, 187 | eqsstri 4030 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑅 ⊆
ℝ |
| 189 | 188 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ) |
| 190 | | fiinfcl 9541 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (( <
Or ℝ ∧ (𝑅 ∈
Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅
∧ 𝑅 ⊆ ℝ))
→ inf(𝑅, ℝ, <
) ∈ 𝑅) |
| 191 | 127, 138,
177, 189, 190 | syl13anc 1374 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅) |
| 192 | 125, 191 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈
ℝ+) |
| 193 | 33, 192 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈
ℝ+) |
| 194 | 193 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → 𝐸 ∈
ℝ+) |
| 195 | 3, 30, 32, 194 | lptre2pt 45655 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ 𝐻 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
| 196 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝜑) |
| 197 | 29 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 198 | 197 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 199 | 198 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 200 | 29 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → 𝑧 ∈ ℝ) |
| 201 | 200 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → 𝑧 ∈ ℝ) |
| 202 | 201 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ) |
| 203 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑦 ≠ 𝑧) |
| 204 | 199, 202,
203 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) |
| 205 | 8 | eleq2i 2833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴}) |
| 206 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇))) |
| 207 | 206 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 208 | 207 | rexbidv 3179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 209 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇)) |
| 210 | 209 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 211 | 210 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 212 | 211 | cbvrexvw 3238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(∃𝑘 ∈
ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 213 | 208, 212 | bitrdi 287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 214 | 213 | elrab 3692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 215 | 205, 214 | sylbb 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 216 | 215 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 217 | 216 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 218 | 8 | eleq2i 2833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 ↔ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴}) |
| 219 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑇))) |
| 220 | 219 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 221 | 220 | rexbidv 3179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 222 | 221 | elrab 3692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 223 | 218, 222 | sylbb 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 224 | 223 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 225 | 224 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 226 | | reeanv 3229 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(∃𝑗 ∈
ℤ ∃𝑘 ∈
ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 227 | 217, 225,
226 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 228 | 227 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 229 | | simplll 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝜑) |
| 230 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 231 | | simpl2 1193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ) |
| 232 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 < 𝑧) |
| 233 | 230, 231,
232 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) |
| 234 | 233 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) |
| 235 | 234 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) |
| 236 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 237 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ)) |
| 238 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑧)) |
| 239 | 237, 238 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))) |
| 240 | 239 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)))) |
| 241 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑇))) |
| 242 | 241 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑏 = 𝑧 → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 243 | 242 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 244 | 243 | 2rexbidv 3222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 245 | 240, 244 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))) |
| 246 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (𝑦 − 𝑏) = (𝑦 − 𝑧)) |
| 247 | 246 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (abs‘(𝑦 − 𝑏)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
| 248 | 247 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑏 = 𝑧 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧)))) |
| 249 | 245, 248 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧))))) |
| 250 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ)) |
| 251 | | breq1 5146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑏)) |
| 252 | 250, 251 | 3anbi13d 1440 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏))) |
| 253 | 252 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)))) |
| 254 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 255 | 254 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 256 | 255 | anbi1d 631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 257 | 256 | 2rexbidv 3222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 258 | 253, 257 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))) |
| 259 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 − 𝑏) = (𝑦 − 𝑏)) |
| 260 | 259 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (abs‘(𝑎 − 𝑏)) = (abs‘(𝑦 − 𝑏))) |
| 261 | 260 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑏)))) |
| 262 | 258, 261 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑏))))) |
| 263 | | fourierdlem42.15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜓 ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 264 | 263 | simprbi 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜓 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 265 | 263 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 266 | 265 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜓 → (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏))) |
| 267 | 266 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜓 → 𝜑) |
| 268 | 267, 50 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜓 → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 269 | 268 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 270 | 267, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜓 → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 271 | 270 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 272 | 267, 49 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜓 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶)) |
| 273 | 272 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
| 274 | 273 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
| 275 | 272 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
| 276 | 275 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
| 277 | 269, 271,
274, 276 | iccsuble 45532 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (𝐶 − 𝐵)) |
| 278 | | fourierdlem42.t |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ 𝑇 = (𝐶 − 𝐵) |
| 279 | 277, 278 | breqtrrdi 5185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
| 280 | 279 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
| 281 | 280 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
| 282 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) |
| 283 | | zre 12617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈
ℝ) |
| 284 | 283 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈
ℝ) |
| 285 | 284 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 286 | | zre 12617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈
ℝ) |
| 287 | 286 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈
ℝ) |
| 288 | 287 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 289 | 285, 288 | ltnled 11408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑗 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗)) |
| 290 | 282, 289 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 < 𝑘) |
| 291 | 51, 50 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ) |
| 292 | 278, 291 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 293 | 267, 292 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜓 → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 294 | 293 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 295 | 287 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 296 | 284 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 297 | 295, 296 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 − 𝑗) ∈ ℝ) |
| 298 | 293 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 299 | 297, 298 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 300 | 299 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 301 | 266 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜓 → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) |
| 302 | 301 | simp2d 1144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → 𝑏 ∈ ℝ) |
| 303 | 302 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℝ) |
| 304 | 286 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 305 | 293 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 306 | 304, 305 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 307 | 306 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 308 | 303, 307 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 309 | 301 | simp1d 1143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → 𝑎 ∈ ℝ) |
| 310 | 309 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℝ) |
| 311 | 283 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 312 | 293 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 313 | 311, 312 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 314 | 313 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 315 | 310, 314 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 316 | 308, 315 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
| 317 | 316 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
| 318 | 293 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → 𝑇 ∈ ℂ) |
| 319 | 318 | mullidd 11279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜓 → (1 · 𝑇) = 𝑇) |
| 320 | 319 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜓 → 𝑇 = (1 · 𝑇)) |
| 321 | 320 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 = (1 · 𝑇)) |
| 322 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑗 < 𝑘) |
| 323 | | zltlem1 12670 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1))) |
| 324 | 323 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑗 < 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1))) |
| 325 | 322, 324 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) |
| 326 | 284 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 327 | | peano2rem 11576 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 − 1) ∈
ℝ) |
| 328 | 295, 327 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ) |
| 329 | 328 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ) |
| 330 | | 1re 11261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ 1 ∈
ℝ |
| 331 | | resubcl 11573 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 𝑗
∈ ℝ) → (1 − 𝑗) ∈ ℝ) |
| 332 | 330, 326,
331 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (1 − 𝑗) ∈
ℝ) |
| 333 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) |
| 334 | 326, 329,
332, 333 | leadd1dd 11877 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) ≤ ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗))) |
| 335 | | zcn 12618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈
ℂ) |
| 336 | 335 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈
ℂ) |
| 337 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 1 ∈
ℂ) |
| 338 | 336, 337 | pncan3d 11623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) = 1) |
| 339 | 338 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) = 1) |
| 340 | | zcn 12618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈
ℂ) |
| 341 | 340 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈
ℂ) |
| 342 | 341, 337,
336 | npncand 11644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)) = (𝑘 − 𝑗)) |
| 343 | 342 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)) = (𝑘 − 𝑗)) |
| 344 | 334, 339,
343 | 3brtr3d 5174 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 1 ≤ (𝑘 − 𝑗)) |
| 345 | 325, 344 | syldan 591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 1 ≤ (𝑘 − 𝑗)) |
| 346 | 330 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 1 ∈ ℝ) |
| 347 | 297 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑘 − 𝑗) ∈ ℝ) |
| 348 | 50, 51 | posdifd 11850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ 0 < (𝐶 − 𝐵))) |
| 349 | 147, 348 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝜑 → 0 < (𝐶 − 𝐵)) |
| 350 | 349, 278 | breqtrrdi 5185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇) |
| 351 | 292, 350 | elrpd 13074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 352 | 267, 351 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 353 | 352 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 354 | 346, 347,
353 | lemul1d 13120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (1 ≤ (𝑘 − 𝑗) ↔ (1 · 𝑇) ≤ ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇))) |
| 355 | 345, 354 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (1 · 𝑇) ≤ ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)) |
| 356 | 321, 355 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ≤ ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)) |
| 357 | 302, 309 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜓 → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℝ) |
| 358 | 301 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝜓 → 𝑎 < 𝑏) |
| 359 | 309, 302 | posdifd 11850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝜓 → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏 − 𝑎))) |
| 360 | 358, 359 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜓 → 0 < (𝑏 − 𝑎)) |
| 361 | 357, 360 | elrpd 13074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → (𝑏 − 𝑎) ∈
ℝ+) |
| 362 | 361 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏 − 𝑎) ∈
ℝ+) |
| 363 | 299, 362 | ltaddrp2d 13111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇))) |
| 364 | 302 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜓 → 𝑏 ∈ ℂ) |
| 365 | 364 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ) |
| 366 | 306 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
| 367 | 366 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ) |
| 368 | 309 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜓 → 𝑎 ∈ ℂ) |
| 369 | 368 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ) |
| 370 | 313 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℂ) |
| 371 | 370 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℂ) |
| 372 | 365, 367,
369, 371 | addsub4d 11667 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))) |
| 373 | 340 | ad2antll 729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ) |
| 374 | 335 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℂ) |
| 375 | 318 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℂ) |
| 376 | 373, 374,
375 | subdird 11720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) = ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))) |
| 377 | 376 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)) |
| 378 | 377 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇))) |
| 379 | 372, 378 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 380 | 363, 379 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 381 | 380 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 382 | 294, 300,
317, 356, 381 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 383 | 294, 317 | ltnled 11408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑇 < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ↔ ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)) |
| 384 | 382, 383 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
| 385 | 290, 384 | syldan 591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
| 386 | 385 | 3adantl3 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑗) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
| 387 | 281, 386 | condan 818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 ≤ 𝑗) |
| 388 | 188, 191 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
| 389 | 33, 388 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 390 | 267, 389 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜓 → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 391 | 390 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 392 | 391 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 393 | 293 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 394 | 393 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 395 | 284, 287 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 − 𝑘) ∈ ℝ) |
| 396 | 395 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 − 𝑘) ∈ ℝ) |
| 397 | 396, 298 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 398 | 397 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 399 | 398 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 400 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝜑 → 𝜑) |
| 401 | 143, 144 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) |
| 402 | 400, 401,
147 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶)) |
| 403 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝑑 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴)) |
| 404 | 403 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))) |
| 405 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐵 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝐶)) |
| 406 | 404, 405 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶))) |
| 407 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝑑 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵)) |
| 408 | 407 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝐵))) |
| 409 | 406, 408 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝐵)))) |
| 410 | | simp2l 1200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐵 ∈ 𝐴) |
| 411 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴)) |
| 412 | 411 | anbi1d 631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴))) |
| 413 | | breq1 5146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑐 < 𝑑 ↔ 𝐵 < 𝑑)) |
| 414 | 412, 413 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑))) |
| 415 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑑 − 𝑐) = (𝑑 − 𝐵)) |
| 416 | 415 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵))) |
| 417 | 414, 416 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑐 = 𝐵 → (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵)))) |
| 418 | 188 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑅 ⊆ ℝ) |
| 419 | | 0re 11263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ 0 ∈
ℝ |
| 420 | 34 | eleq2i 2833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 ↔ 𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
| 421 | 420 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
| 422 | 421 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
| 423 | 61 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼) |
| 424 | | fvelrnb 6969 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝐷 ↾ 𝐼) Fn 𝐼 → (𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦)) |
| 425 | 423, 424 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦)) |
| 426 | 422, 425 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) |
| 427 | 121 | rpge0d 13081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥)) |
| 428 | 427 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → 0 ≤ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥)) |
| 429 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) |
| 430 | 428, 429 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → 0 ≤ 𝑦) |
| 431 | 430 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 → (((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦))) |
| 432 | 431 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐼 → (((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦))) |
| 433 | 432 | rexlimdv 3153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦)) |
| 434 | 426, 433 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → 0 ≤ 𝑦) |
| 435 | 434 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦) |
| 436 | | breq1 5146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦)) |
| 437 | 436 | ralbidv 3178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦)) |
| 438 | 437 | rspcev 3622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦) |
| 439 | 419, 435,
438 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦) |
| 440 | 439 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦) |
| 441 | | pm3.22 459 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) |
| 442 | | opelxp 5721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢
(〈𝑑, 𝑐〉 ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) |
| 443 | 441, 442 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ (𝐴 × 𝐴)) |
| 444 | 443 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ (𝐴 × 𝐴)) |
| 445 | 49, 52 | sstrd 3994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ) |
| 446 | 445 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ ℝ) |
| 447 | 446 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → 𝑐 ∈ ℝ) |
| 448 | 447 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 ∈ ℝ) |
| 449 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 < 𝑑) |
| 450 | 448, 449 | gtned 11396 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑑 ≠ 𝑐) |
| 451 | 450 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ¬ 𝑑 = 𝑐) |
| 452 | | df-br 5144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ (𝑑 I 𝑐 ↔ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ I ) |
| 453 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ 𝑐 ∈ V |
| 454 | 453 | ideq 5863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ (𝑑 I 𝑐 ↔ 𝑑 = 𝑐) |
| 455 | 452, 454 | bitr3i 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢
(〈𝑑, 𝑐〉 ∈ I ↔ 𝑑 = 𝑐) |
| 456 | 451, 455 | sylnibr 329 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ¬ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ I ) |
| 457 | 444, 456 | eldifd 3962 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )) |
| 458 | 457, 48 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼) |
| 459 | 448, 449 | ltned 11397 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 ≠ 𝑑) |
| 460 | 141 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝐷 ↾ 𝐼) = ((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)) |
| 461 | 460 | fveq1d 6908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (((abs ∘ − ) ↾
𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉)) |
| 462 | 443 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ (𝐴 × 𝐴)) |
| 463 | | necom 2994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
⊢ (𝑐 ≠ 𝑑 ↔ 𝑑 ≠ 𝑐) |
| 464 | 463 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
⊢ (𝑐 ≠ 𝑑 → 𝑑 ≠ 𝑐) |
| 465 | 464 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
⊢ (𝑐 ≠ 𝑑 → ¬ 𝑑 = 𝑐) |
| 466 | 465 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ¬ 𝑑 = 𝑐) |
| 467 | 466, 455 | sylnibr 329 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ¬ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ I ) |
| 468 | 462, 467 | eldifd 3962 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )) |
| 469 | 468, 48 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼) |
| 470 | | fvres 6925 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢
(〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼 → (((abs ∘ − ) ↾
𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = ((abs ∘ −
)‘〈𝑑, 𝑐〉)) |
| 471 | 469, 470 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (((abs ∘ − ) ↾
𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = ((abs ∘ −
)‘〈𝑑, 𝑐〉)) |
| 472 | | simp1 1137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 𝜑) |
| 473 | 472, 469 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → (𝜑 ∧ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼)) |
| 474 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
⊢ (𝑥 = 〈𝑑, 𝑐〉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼)) |
| 475 | 474 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
⊢ (𝑥 = 〈𝑑, 𝑐〉 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ↔ (𝜑 ∧ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼))) |
| 476 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
⊢ (𝑥 = 〈𝑑, 𝑐〉 → (𝑥 ∈ dom − ↔ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ dom − )) |
| 477 | 475, 476 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
⊢ (𝑥 = 〈𝑑, 𝑐〉 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ dom − ) ↔ ((𝜑 ∧ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ dom −
))) |
| 478 | 477, 70 | vtoclg 3554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢
(〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼 → ((𝜑 ∧ 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ dom − )) |
| 479 | 469, 473,
478 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → 〈𝑑, 𝑐〉 ∈ dom − ) |
| 480 | | fvco 7007 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ((Fun
− ∧ 〈𝑑,
𝑐〉 ∈ dom −
) → ((abs ∘ − )‘〈𝑑, 𝑐〉) = (abs‘( −
‘〈𝑑, 𝑐〉))) |
| 481 | 67, 479, 480 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ((abs ∘ −
)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (abs‘( −
‘〈𝑑, 𝑐〉))) |
| 482 | | df-ov 7434 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
⊢ (𝑑 − 𝑐) = ( − ‘〈𝑑, 𝑐〉) |
| 483 | 482 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
⊢ ( −
‘〈𝑑, 𝑐〉) = (𝑑 − 𝑐) |
| 484 | 483 | fveq2i 6909 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢
(abs‘( − ‘〈𝑑, 𝑐〉)) = (abs‘(𝑑 − 𝑐)) |
| 485 | 481, 484 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ((abs ∘ −
)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (abs‘(𝑑 − 𝑐))) |
| 486 | 461, 471,
485 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑑) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (abs‘(𝑑 − 𝑐))) |
| 487 | 459, 486 | syld3an3 1411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (abs‘(𝑑 − 𝑐))) |
| 488 | 445 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → 𝑑 ∈ ℝ) |
| 489 | 488 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ) |
| 490 | 489 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ) |
| 491 | 448, 490,
449 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 ≤ 𝑑) |
| 492 | 448, 490,
491 | abssubge0d 15470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (abs‘(𝑑 − 𝑐)) = (𝑑 − 𝑐)) |
| 493 | 487, 492 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (𝑑 − 𝑐)) |
| 494 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ (𝑥 = 〈𝑑, 𝑐〉 → ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉)) |
| 495 | 494 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ (𝑥 = 〈𝑑, 𝑐〉 → (((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐) ↔ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (𝑑 − 𝑐))) |
| 496 | 495 | rspcev 3622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢
((〈𝑑, 𝑐〉 ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘〈𝑑, 𝑐〉) = (𝑑 − 𝑐)) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐)) |
| 497 | 458, 493,
496 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐)) |
| 498 | 489, 447 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → (𝑑 − 𝑐) ∈ ℝ) |
| 499 | | elex 3501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝑑 − 𝑐) ∈ ℝ → (𝑑 − 𝑐) ∈ V) |
| 500 | 498, 499 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) → (𝑑 − 𝑐) ∈ V) |
| 501 | 500 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑 − 𝑐) ∈ V) |
| 502 | | simp1 1137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝜑) |
| 503 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ (𝑦 = (𝑑 − 𝑐) → (𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ (𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼))) |
| 504 | | eqeq2 2749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ (𝑦 = (𝑑 − 𝑐) → (((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦 ↔ ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐))) |
| 505 | 504 | rexbidv 3179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ (𝑦 = (𝑑 − 𝑐) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐))) |
| 506 | 503, 505 | bibi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ (𝑦 = (𝑑 − 𝑐) → ((𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐)))) |
| 507 | 506 | imbi2d 340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ (𝑦 = (𝑑 − 𝑐) → ((𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝜑 → ((𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐))))) |
| 508 | 61, 424 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = 𝑦)) |
| 509 | 507, 508 | vtoclg 3554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝑑 − 𝑐) ∈ V → (𝜑 → ((𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐)))) |
| 510 | 501, 502,
509 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐷 ↾ 𝐼)‘𝑥) = (𝑑 − 𝑐))) |
| 511 | 497, 510 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑 − 𝑐) ∈ ran (𝐷 ↾ 𝐼)) |
| 512 | 511, 34 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑 − 𝑐) ∈ 𝑅) |
| 513 | | infrelb 12253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧
∃𝑥 ∈ ℝ
∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝑑 − 𝑐) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑑 − 𝑐)) |
| 514 | 418, 440,
512, 513 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑑 − 𝑐)) |
| 515 | 33, 514 | eqbrtrid 5178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐)) |
| 516 | 417, 515 | vtoclg 3554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵))) |
| 517 | 410, 516 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵)) |
| 518 | 409, 517 | vtoclg 3554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝐵))) |
| 519 | 144, 402,
518 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝐵)) |
| 520 | 519, 278 | breqtrrdi 5185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ 𝑇) |
| 521 | 267, 520 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜓 → 𝐸 ≤ 𝑇) |
| 522 | 521 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ 𝑇) |
| 523 | 522 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ 𝑇) |
| 524 | 364 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ) |
| 525 | 524, 366 | pncan2d 11622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) = (𝑘 · 𝑇)) |
| 526 | 525 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = ((𝑘 · 𝑇) / 𝑇)) |
| 527 | 340 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ) |
| 528 | 318 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ) |
| 529 | 419 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
| 530 | 529, 350 | gtned 11396 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0) |
| 531 | 267, 530 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝜓 → 𝑇 ≠ 0) |
| 532 | 531 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ≠ 0) |
| 533 | 527, 528,
532 | divcan4d 12049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑇) / 𝑇) = 𝑘) |
| 534 | 526, 533 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
| 535 | 534 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
| 536 | 535 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
| 537 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏)) |
| 538 | 537 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
| 539 | 538 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
| 540 | 368 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ) |
| 541 | 364 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ) |
| 542 | 540, 370,
541 | addsubd 11641 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑎 − 𝑏) + (𝑗 · 𝑇))) |
| 543 | 540, 541 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑎 − 𝑏) ∈ ℂ) |
| 544 | 543, 370 | addcomd 11463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑏) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑗 · 𝑇) + (𝑎 − 𝑏))) |
| 545 | 542, 544 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑗 · 𝑇) + (𝑎 − 𝑏))) |
| 546 | 545 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑗 · 𝑇) + (𝑎 − 𝑏)) / 𝑇)) |
| 547 | 318 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ) |
| 548 | 531 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ≠ 0) |
| 549 | 370, 543,
547, 548 | divdird 12081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 · 𝑇) + (𝑎 − 𝑏)) / 𝑇) = (((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇))) |
| 550 | 335 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ) |
| 551 | 550, 547,
548 | divcan4d 12049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) = 𝑗) |
| 552 | 551 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)) = (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇))) |
| 553 | 546, 549,
552 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇))) |
| 554 | 553 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇))) |
| 555 | 554 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇))) |
| 556 | 536, 539,
555 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 = (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇))) |
| 557 | 309, 302 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝜓 → (𝑎 − 𝑏) ∈ ℝ) |
| 558 | 309, 302 | sublt0d 11889 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝜓 → ((𝑎 − 𝑏) < 0 ↔ 𝑎 < 𝑏)) |
| 559 | 358, 558 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝜓 → (𝑎 − 𝑏) < 0) |
| 560 | 557, 352,
559 | divlt0gt0d 45298 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝜓 → ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) < 0) |
| 561 | 560 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) < 0) |
| 562 | 335 | subidd 11608 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 𝑗) = 0) |
| 563 | 562 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 0 =
(𝑗 − 𝑗)) |
| 564 | 563 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 0 = (𝑗 − 𝑗)) |
| 565 | 561, 564 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) < (𝑗 − 𝑗)) |
| 566 | 557, 293,
531 | redivcld 12095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝜓 → ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
| 567 | 566 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
| 568 | 311, 567,
311 | ltaddsub2d 11864 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗 ↔ ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇) < (𝑗 − 𝑗))) |
| 569 | 565, 568 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗) |
| 570 | 569 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗) |
| 571 | 570 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑗 + ((𝑎 − 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗) |
| 572 | 556, 571 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗) |
| 573 | 320 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 = (1 · 𝑇)) |
| 574 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 < 𝑗) |
| 575 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 576 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ) |
| 577 | | zltp1le 12667 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑗 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑗)) |
| 578 | 575, 576,
577 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑘 < 𝑗 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑗)) |
| 579 | 574, 578 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑗) |
| 580 | 286 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 581 | 330 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ∈ ℝ) |
| 582 | 283 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 583 | 580, 581,
582 | leaddsub2d 11865 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → ((𝑘 + 1) ≤ 𝑗 ↔ 1 ≤ (𝑗 − 𝑘))) |
| 584 | 579, 583 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ≤ (𝑗 − 𝑘)) |
| 585 | 584 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ≤ (𝑗 − 𝑘)) |
| 586 | 330 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ∈ ℝ) |
| 587 | 395 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑗 − 𝑘) ∈ ℝ) |
| 588 | 352 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 589 | 586, 587,
588 | lemul1d 13120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (1 ≤ (𝑗 − 𝑘) ↔ (1 · 𝑇) ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 590 | 585, 589 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (1 · 𝑇) ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
| 591 | 573, 590 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
| 592 | 572, 591 | syldan 591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
| 593 | 592 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
| 594 | 593 | 3adantll3 45047 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
| 595 | 392, 394,
399, 523, 594 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
| 596 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) |
| 597 | 596 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 598 | 597 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 599 | 267, 445 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝜓 → 𝐴 ⊆ ℝ) |
| 600 | 599 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 601 | 600 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 602 | 601 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
| 603 | 602 | subidd 11608 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) = 0) |
| 604 | 603 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 605 | 604 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 606 | 598, 605 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 607 | 606 | 3adantl2 1168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 608 | 607 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 609 | 374, 373 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 − 𝑘) ∈ ℂ) |
| 610 | 609, 375 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℂ) |
| 611 | 610 | addlidd 11462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
| 612 | 611 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
| 613 | 612 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (0 + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
| 614 | 608, 613 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 615 | 595, 614 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 616 | 615 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 617 | 391 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 618 | 599 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 619 | 618 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 620 | 601, 619 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
| 621 | 620 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
| 622 | 621 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
| 623 | 621, 398 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 624 | 623 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 625 | 267 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝜑) |
| 626 | 625 | 3ad2antl1 1186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝜑) |
| 627 | 626 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝜑) |
| 628 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 629 | 628 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 630 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) |
| 631 | 619 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 632 | 601 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 633 | 631, 632 | lenltd 11407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 634 | 630, 633 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 635 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 636 | 635 | notbii 320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (¬
(𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 637 | 636 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (¬
(𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 638 | 637 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 639 | | ioran 986 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (¬
((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ↔ (¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 640 | 634, 638,
639 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 641 | 632, 631 | leloed 11404 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))) |
| 642 | 640, 641 | mtbird 325 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 643 | 642 | 3adantll2 45046 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 644 | 643 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 645 | 619 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 646 | 645 | 3adantl2 1168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 647 | 646 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 648 | 601 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 649 | 648 | 3adantl2 1168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 650 | 649 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 651 | 647, 650 | ltnled 11408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 652 | 644, 651 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) |
| 653 | | simp2l 1200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 654 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 655 | 654 | anbi1d 631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 656 | | breq1 5146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) |
| 657 | 655, 656 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))) |
| 658 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 659 | 658 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))) |
| 660 | 657, 659 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))) |
| 661 | | simp2r 1201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 662 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑑 ∈ 𝐴 ↔ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 663 | 662 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 664 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) |
| 665 | 663, 664 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))) |
| 666 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑑 − 𝑐) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)) |
| 667 | 666 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))) |
| 668 | 665, 667 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)))) |
| 669 | 668, 515 | vtoclg 3554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))) |
| 670 | 661, 669 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)) |
| 671 | 660, 670 | vtoclg 3554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))) |
| 672 | 653, 671 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 673 | 627, 629,
652, 672 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 674 | 395 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (𝑗 − 𝑘) ∈ ℝ) |
| 675 | 293 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 676 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ≤ 𝑗) |
| 677 | 283 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 678 | 286 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 679 | 677, 678 | subge0d 11853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (0 ≤ (𝑗 − 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ 𝑗)) |
| 680 | 676, 679 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 0 ≤ (𝑗 − 𝑘)) |
| 681 | 680 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 0 ≤ (𝑗 − 𝑘)) |
| 682 | 352 | rpge0d 13081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → 0 ≤ 𝑇) |
| 683 | 682 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 0 ≤ 𝑇) |
| 684 | 674, 675,
681, 683 | mulge0d 11840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 0 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
| 685 | 684 | 3adantl3 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 0 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) |
| 686 | 621 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
| 687 | 398 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 688 | 686, 687 | addge01d 11851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → (0 ≤ ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ↔ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))) |
| 689 | 685, 688 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 690 | 689 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 691 | 617, 622,
624, 673, 690 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 692 | 616, 691 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 693 | 372, 378 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇))) |
| 694 | 693 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 695 | 365, 369 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ) |
| 696 | 373, 374 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 − 𝑗) ∈ ℂ) |
| 697 | 696, 375 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) ∈ ℂ) |
| 698 | 695, 697,
610 | addassd 11283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 − 𝑎) + ((𝑘 − 𝑗) · 𝑇)) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = ((𝑏 − 𝑎) + (((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)))) |
| 699 | 341, 336,
336, 341 | subadd4b 45294 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑗) + (𝑗 − 𝑘)) = ((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗))) |
| 700 | 699 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 𝑗) + (𝑗 − 𝑘)) = ((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗))) |
| 701 | 700 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘 − 𝑗) + (𝑗 − 𝑘)) · 𝑇) = (((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)) · 𝑇)) |
| 702 | 696, 609,
375 | adddird 11286 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘 − 𝑗) + (𝑗 − 𝑘)) · 𝑇) = (((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 703 | 340 | subidd 11608 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 𝑘) = 0) |
| 704 | 703 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 − 𝑘) = 0) |
| 705 | 562 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 − 𝑗) = 0) |
| 706 | 704, 705 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)) = (0 + 0)) |
| 707 | | 00id 11436 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (0 + 0) =
0 |
| 708 | 706, 707 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)) = 0) |
| 709 | 708 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)) · 𝑇) = (0 · 𝑇)) |
| 710 | 709 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘 − 𝑘) + (𝑗 − 𝑗)) · 𝑇) = (0 · 𝑇)) |
| 711 | 701, 702,
710 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (0 · 𝑇)) |
| 712 | 711 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 − 𝑎) + (((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) = ((𝑏 − 𝑎) + (0 · 𝑇))) |
| 713 | 318 | mul02d 11459 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → (0 · 𝑇) = 0) |
| 714 | 713 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜓 → ((𝑏 − 𝑎) + (0 · 𝑇)) = ((𝑏 − 𝑎) + 0)) |
| 715 | 364, 368 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝜓 → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ) |
| 716 | 715 | addridd 11461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝜓 → ((𝑏 − 𝑎) + 0) = (𝑏 − 𝑎)) |
| 717 | 714, 716 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜓 → ((𝑏 − 𝑎) + (0 · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎)) |
| 718 | 717 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 − 𝑎) + (0 · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎)) |
| 719 | 712, 718 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 − 𝑎) + (((𝑘 − 𝑗) · 𝑇) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) = (𝑏 − 𝑎)) |
| 720 | 694, 698,
719 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎)) |
| 721 | 720 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎)) |
| 722 | 721 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎)) |
| 723 | 692, 722 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
| 724 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 725 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) |
| 726 | 601 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 727 | 726 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 728 | 619 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 729 | 728 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 730 | 727, 729 | ltnled 11408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) |
| 731 | 725, 730 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 732 | 731 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 733 | 535 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
| 734 | 733 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
| 735 | 600 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 736 | 302 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ) |
| 737 | 735, 736 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ) |
| 738 | 293 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 739 | 531 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ≠ 0) |
| 740 | 737, 738,
739 | redivcld 12095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
| 741 | 740 | 3adant3l 1181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
| 742 | 741 | 3adant2l 1179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
| 743 | 742 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
| 744 | 618 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 745 | 302 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ) |
| 746 | 744, 745 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ) |
| 747 | 293 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 748 | 531 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ≠ 0) |
| 749 | 746, 747,
748 | redivcld 12095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
| 750 | 749 | 3adant3r 1182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
| 751 | 750 | 3adant2r 1180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
| 752 | 751 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ) |
| 753 | 284 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 754 | 753 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 755 | 726 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 756 | 302 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ) |
| 757 | 756 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑏 ∈ ℝ) |
| 758 | 755, 757 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ) |
| 759 | 728 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 760 | 759, 757 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ) |
| 761 | 352 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 762 | 761 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 763 | 601 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 764 | 619 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 765 | 302 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑏 ∈ ℝ) |
| 766 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 767 | 763, 764,
765, 766 | ltsub1dd 11875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) < ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏)) |
| 768 | 767 | 3adantl2 1168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) < ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏)) |
| 769 | 758, 760,
762, 768 | ltdiv1dd 13134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇)) |
| 770 | 554, 570 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗) |
| 771 | 770 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗) |
| 772 | 771 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗) |
| 773 | 743, 752,
754, 769, 772 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗) |
| 774 | 734, 773 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗) |
| 775 | 774 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗) |
| 776 | 732, 775 | syldan 591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗) |
| 777 | 391 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 778 | 393 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 779 | 623 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 780 | 522 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ 𝑇) |
| 781 | | peano2rem 11576 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) ∈
ℝ) |
| 782 | 753, 781 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) |
| 783 | 287 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 784 | 782, 783 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) ∈ ℝ) |
| 785 | 784, 393 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 786 | 785 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ) |
| 787 | 753 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 788 | 330 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈
ℝ) |
| 789 | 787, 788 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) |
| 790 | 286 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 791 | 790 | 3ad2antl2 1187 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 792 | 789, 791 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) ∈ ℝ) |
| 793 | 682 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 0 ≤ 𝑇) |
| 794 | 793 | 3ad2antl1 1186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 0 ≤ 𝑇) |
| 795 | 283 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ) |
| 796 | 330 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈
ℝ) |
| 797 | 795, 796 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) |
| 798 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 < (𝑗 − 1)) |
| 799 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ) |
| 800 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ) |
| 801 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈
ℤ) |
| 802 | 800, 801 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ) |
| 803 | | zltlem1 12670 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
→ (𝑘 < (𝑗 − 1) ↔ 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1))) |
| 804 | 799, 802,
803 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑘 < (𝑗 − 1) ↔ 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1))) |
| 805 | 798, 804 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1)) |
| 806 | 790, 797,
796, 805 | lesubd 11867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ≤ ((𝑗 − 1) − 𝑘)) |
| 807 | 806 | 3ad2antl2 1187 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ≤ ((𝑗 − 1) − 𝑘)) |
| 808 | 778, 792,
794, 807 | lemulge12d 12206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ≤ (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇)) |
| 809 | 336, 337,
341 | sub32d 11652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) = ((𝑗 − 𝑘) − 1)) |
| 810 | 809 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗 − 𝑘) − 1) · 𝑇)) |
| 811 | 810 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗 − 𝑘) − 1) · 𝑇)) |
| 812 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 1 ∈
ℂ) |
| 813 | 609, 812,
375 | subdird 11720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 𝑘) − 1) · 𝑇) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇))) |
| 814 | 319 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝜓 → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − 𝑇)) |
| 815 | 814 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − 𝑇)) |
| 816 | 811, 813,
815 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − 𝑇)) |
| 817 | 816 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − 𝑇)) |
| 818 | 728, 726 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
| 819 | 269, 271,
276, 274 | iccsuble 45532 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ (𝐶 − 𝐵)) |
| 820 | 819, 278 | breqtrrdi 5185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
| 821 | 820 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ 𝑇) |
| 822 | 818, 393,
398, 821 | lesub2dd 11880 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − 𝑇) ≤ (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))) |
| 823 | 817, 822 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))) |
| 824 | 610 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℂ) |
| 825 | 728 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
| 826 | 602 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
| 827 | 824, 825,
826 | subsub2d 11649 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) = (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) + ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))) |
| 828 | 621 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℂ) |
| 829 | 824, 828 | addcomd 11463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) + ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 830 | 827, 829 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 831 | 823, 830 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 832 | 831 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 833 | 778, 786,
779, 808, 832 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 834 | 777, 778,
779, 780, 833 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 835 | 721 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (𝑏 − 𝑎)) |
| 836 | 834, 835 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
| 837 | 836 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
| 838 | 837 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
| 839 | | simplll 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 840 | | simpll2 1214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) |
| 841 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 < 𝑗) |
| 842 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) |
| 843 | 581, 582,
580, 584 | lesubd 11867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ≤ (𝑗 − 1)) |
| 844 | 843 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝑗 − 1)) |
| 845 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬
𝑘 < (𝑗 − 1)) → ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) |
| 846 | 284, 781 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 − 1) ∈
ℝ) |
| 847 | 846 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬
𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) |
| 848 | 286 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬
𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 849 | 847, 848 | lenltd 11407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬
𝑘 < (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 1) ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1))) |
| 850 | 845, 849 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬
𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑘) |
| 851 | 850 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑘) |
| 852 | 580 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 853 | 846 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ) |
| 854 | 852, 853 | letri3d 11403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑘 = (𝑗 − 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑘))) |
| 855 | 844, 851,
854 | mpbir2and 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1)) |
| 856 | 840, 841,
842, 855 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1)) |
| 857 | 856 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1)) |
| 858 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝜓) |
| 859 | | simpl2l 1227 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ) |
| 860 | | simpl3l 1229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 861 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 · 𝑇) = ((𝑗 − 1) · 𝑇)) |
| 862 | 861 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 863 | 862 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) |
| 864 | 863 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) |
| 865 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 866 | 864, 865 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 867 | 866 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 868 | 867 | 3ad2antl3 1188 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 869 | 860, 868 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 870 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 871 | 870 | 3adant3r 1182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 872 | 744 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 873 | 270 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 874 | 873 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 875 | 268 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 876 | 270 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 877 | | elicc2 13452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶))) |
| 878 | 875, 876,
877 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶))) |
| 879 | 275, 878 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)) |
| 880 | 879 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶) |
| 881 | 880 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶) |
| 882 | 881 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶) |
| 883 | | nne 2944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (¬
𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 884 | 540, 370 | pncand 11621 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = 𝑎) |
| 885 | 884 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑎 = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇))) |
| 886 | 885 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇))) |
| 887 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇))) |
| 888 | 887 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐶 − (𝑗 · 𝑇))) |
| 889 | 888 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐶 − (𝑗 · 𝑇))) |
| 890 | 278 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ (𝐵 + 𝑇) = (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) |
| 891 | 267, 159 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ (𝜓 → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 892 | 267, 160 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ (𝜓 → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 893 | 891, 892 | pncan3d 11623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ (𝜓 → (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐶) |
| 894 | 890, 893 | eqtr2id 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ (𝜓 → 𝐶 = (𝐵 + 𝑇)) |
| 895 | 894 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝜓 → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))) |
| 896 | 895 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))) |
| 897 | 891 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 898 | 897, 370,
547 | subsub3d 11650 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 − ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))) |
| 899 | 550, 547 | mulsubfacd 11724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇) = ((𝑗 − 1) · 𝑇)) |
| 900 | 899 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 − ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 901 | 896, 898,
900 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 902 | 901 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 903 | 886, 889,
902 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 904 | 903 | 3adantl3 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 905 | 904 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 906 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 907 | 906 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 908 | 907 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 909 | 364 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ) |
| 910 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 1 ∈
ℂ) |
| 911 | 550, 910 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ) |
| 912 | 911, 547 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 1) · 𝑇) ∈ ℂ) |
| 913 | 912 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑗 − 1) · 𝑇) ∈ ℂ) |
| 914 | 909, 913 | pncand 11621 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏) |
| 915 | 914 | 3adantl3 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏) |
| 916 | 915 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏) |
| 917 | 905, 908,
916 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = 𝑏) |
| 918 | 883, 917 | sylan2b 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = 𝑏) |
| 919 | 309, 358 | ltned 11397 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝜓 → 𝑎 ≠ 𝑏) |
| 920 | 919 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝜓 → ¬ 𝑎 = 𝑏) |
| 921 | 920 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ¬ 𝑎 = 𝑏) |
| 922 | 921 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ¬ 𝑎 = 𝑏) |
| 923 | 918, 922 | condan 818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 924 | 872, 874,
882, 923 | leneltd 11415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) |
| 925 | 871, 924 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) |
| 926 | 267 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝜑) |
| 927 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 928 | 926, 144 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝐴) |
| 929 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) |
| 930 | | simp2l 1200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 931 | 654 | anbi1d 631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))) |
| 932 | | breq1 5146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)) |
| 933 | 931, 932 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶))) |
| 934 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐶 − 𝑐) = (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 935 | 934 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))) |
| 936 | 933, 935 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))) |
| 937 | | simp2r 1201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝐴) |
| 938 | 403 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))) |
| 939 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < 𝐶)) |
| 940 | 938, 939 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝑑 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶))) |
| 941 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝑑 − 𝑐) = (𝐶 − 𝑐)) |
| 942 | 941 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐))) |
| 943 | 940, 942 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑑 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐)))) |
| 944 | 943, 515 | vtoclg 3554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐))) |
| 945 | 937, 944 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − 𝑐)) |
| 946 | 936, 945 | vtoclg 3554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))) |
| 947 | 930, 946 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 948 | 926, 927,
928, 929, 947 | syl121anc 1377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 949 | 948 | adantlrr 721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 950 | 949 | 3adantl2 1168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 951 | 950 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 952 | 892 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 953 | 599 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 954 | 953 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ) |
| 955 | 952, 954 | npcand 11624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = 𝐶) |
| 956 | 955 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 = ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))) |
| 957 | 956 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 958 | 957 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 959 | 958 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 960 | 959 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 961 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝐶 − 𝐵)) |
| 962 | 961 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))) |
| 963 | 962 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 964 | 963 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 965 | 278 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝐶 − 𝐵) = 𝑇 |
| 966 | 965 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 967 | 966 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))) |
| 968 | 318 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ) |
| 969 | 968, 954 | addcomd 11463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇)) |
| 970 | 967, 969 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇)) |
| 971 | 970 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 972 | 971 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 973 | 972 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 974 | 973 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 975 | 954 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ) |
| 976 | 975 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ) |
| 977 | 976 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ) |
| 978 | 318 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℂ) |
| 979 | 978 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ) |
| 980 | 618 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 981 | 980 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
| 982 | 981 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
| 983 | 982 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
| 984 | 977, 979,
983 | addsubd 11641 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
| 985 | 974, 984 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶 − 𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
| 986 | 960, 964,
985 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
| 987 | 986 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
| 988 | 951, 987 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
| 989 | 925, 988 | mpdan 687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
| 990 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝜓) |
| 991 | | simpl3r 1230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 992 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) |
| 993 | 268 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 994 | 953 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 995 | 272 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶)) |
| 996 | 268 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 997 | 270 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 998 | | elicc2 13452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶))) |
| 999 | 996, 997,
998 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶))) |
| 1000 | 995, 999 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶)) |
| 1001 | 1000 | simp2d 1144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 1002 | 1001 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 1003 | | neqne 2948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (¬
(𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≠ 𝐵) |
| 1004 | 1003 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≠ 𝐵) |
| 1005 | 993, 994,
1002, 1004 | leneltd 11415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 1006 | 990, 991,
992, 1005 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 1007 | 390 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 1008 | 1007 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 1009 | 953 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 1010 | 1009 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 1011 | 268 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 1012 | 1010, 1011 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ) |
| 1013 | 1012 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ) |
| 1014 | 1009, 980 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ) |
| 1015 | 293 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 1016 | 1014, 1015 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ) |
| 1017 | 1016 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ) |
| 1018 | 1017 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ) |
| 1019 | 267 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝜑) |
| 1020 | 1019 | 3ad2antl1 1186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝜑) |
| 1021 | 1020, 143 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐵 ∈ 𝐴) |
| 1022 | | simpl3r 1230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 1023 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 1024 | | simp2r 1201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) |
| 1025 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝑑 ∈ 𝐴 ↔ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 1026 | 1025 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 1027 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝐵 < 𝑑 ↔ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))) |
| 1028 | 1026, 1027 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))) |
| 1029 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝑑 − 𝐵) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)) |
| 1030 | 1029 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))) |
| 1031 | 1028, 1030 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑 − 𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)))) |
| 1032 | 1031, 517 | vtoclg 3554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))) |
| 1033 | 1024, 1032 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)) |
| 1034 | 1020, 1021, 1022, 1023, 1033 | syl121anc 1377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)) |
| 1035 | 268 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 1036 | 980, 1035 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ) |
| 1037 | 965, 1015 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ) |
| 1038 | 270 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 1039 | 880 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶) |
| 1040 | 980, 1038, 1035, 1039 | lesub1dd 11879 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐵)) |
| 1041 | 1036, 1037, 1014, 1040 | leadd2dd 11878 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵)) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶 − 𝐵))) |
| 1042 | 975, 981 | npcand 11624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) |
| 1043 | 1042 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 1044 | 1043 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) = ((((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) − 𝐵)) |
| 1045 | 1014 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℂ) |
| 1046 | 891 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 1047 | 1045, 981, 1046 | addsubassd 11640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) − 𝐵) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵))) |
| 1048 | 1044, 1047 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵))) |
| 1049 | 278 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶 − 𝐵)) |
| 1050 | 1049 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶 − 𝐵))) |
| 1051 | 1041, 1048, 1050 | 3brtr4d 5175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
| 1052 | 1051 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
| 1053 | 1052 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
| 1054 | 1008, 1013, 1018, 1034, 1053 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
| 1055 | 1006, 1054 | syldan 591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
| 1056 | 989, 1055 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
| 1057 | 858, 859,
869, 1056 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
| 1058 | 720 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏 − 𝑎) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 1059 | 1058 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 − 𝑎) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇))) |
| 1060 | 862 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 1061 | 1060 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) |
| 1062 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑗 − 𝑘) = (𝑗 − (𝑗 − 1))) |
| 1063 | 1062 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇)) |
| 1064 | 1063 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇)) |
| 1065 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 1 ∈
ℂ) |
| 1066 | 335, 1065 | nncand 11625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − (𝑗 − 1)) = 1) |
| 1067 | 1066 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇) = (1 · 𝑇)) |
| 1068 | 1067 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇) = (1 · 𝑇)) |
| 1069 | 319 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (1 · 𝑇) = 𝑇) |
| 1070 | 1064, 1068, 1069 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇) = 𝑇) |
| 1071 | 1061, 1070 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝜓 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
| 1072 | 1071 | adantlrr 721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗 − 𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇)) |
| 1073 | 1059, 1072 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (𝑏 − 𝑎)) |
| 1074 | 1073 | 3adantl3 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (𝑏 − 𝑎)) |
| 1075 | 1057, 1074 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
| 1076 | 839, 857,
1075 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
| 1077 | 838, 1076 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
| 1078 | 724, 776,
732, 1077 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
| 1079 | 723, 1078 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 ≤ 𝑗) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
| 1080 | 387, 1079 | mpdan 687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (𝑏 − 𝑎)) |
| 1081 | 309, 302,
358 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜓 → 𝑎 ≤ 𝑏) |
| 1082 | 309, 302,
1081 | abssuble0d 15471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜓 → (abs‘(𝑎 − 𝑏)) = (𝑏 − 𝑎)) |
| 1083 | 1082 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜓 → (𝑏 − 𝑎) = (abs‘(𝑎 − 𝑏))) |
| 1084 | 1083 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 − 𝑎) = (abs‘(𝑎 − 𝑏))) |
| 1085 | 1080, 1084 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏))) |
| 1086 | 1085 | 3exp 1120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜓 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏))))) |
| 1087 | 1086 | rexlimdvv 3212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜓 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏)))) |
| 1088 | 264, 1087 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜓 → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏))) |
| 1089 | 263, 1088 | sylbir 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏))) |
| 1090 | 262, 1089 | chvarvv 1998 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑏))) |
| 1091 | 249, 1090 | chvarvv 1998 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
| 1092 | 229, 235,
236, 1091 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
| 1093 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → ¬ 𝑦 < 𝑧) |
| 1094 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 ≠ 𝑧) |
| 1095 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 1096 | | simpl2 1193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ) |
| 1097 | 1095, 1096 | lttri2d 11400 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ (𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦))) |
| 1098 | 1094, 1097 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦)) |
| 1099 | 1098 | ord 865 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (¬ 𝑦 < 𝑧 → 𝑧 < 𝑦)) |
| 1100 | 1093, 1099 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦) |
| 1101 | 1100 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦) |
| 1102 | 1101 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦) |
| 1103 | | simplll 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝜑) |
| 1104 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑧 ∈ ℝ) |
| 1105 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 1106 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑧 < 𝑦) |
| 1107 | 1104, 1105, 1106 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) |
| 1108 | 1107 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) |
| 1109 | 1108 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) |
| 1110 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 𝑇) = (𝑖 · 𝑇)) |
| 1111 | 1110 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑖 · 𝑇))) |
| 1112 | 1111 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 1113 | 1112 | anbi1d 631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 1114 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑙 · 𝑇)) |
| 1115 | 1114 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑇))) |
| 1116 | 1115 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 1117 | 1116 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑘 = 𝑙 → (((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 1118 | 1113, 1117 | cbvrex2vw 3242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(∃𝑗 ∈
ℤ ∃𝑘 ∈
ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 1119 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇)) |
| 1120 | 1119 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇))) |
| 1121 | 1120 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 1122 | 1121 | anbi1d 631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 1123 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇)) |
| 1124 | 1123 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 1125 | 1124 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 1126 | 1125 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑙 = 𝑗 → (((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 1127 | 1122, 1126 | cbvrex2vw 3242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(∃𝑖 ∈
ℤ ∃𝑙 ∈
ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑗 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 1128 | | rexcom 3290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(∃𝑘 ∈
ℤ ∃𝑗 ∈
ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 1129 | | ancom 460 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 1130 | 1129 | 2rexbii 3129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(∃𝑗 ∈
ℤ ∃𝑘 ∈
ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 1131 | 1127, 1128, 1130 | 3bitri 297 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(∃𝑖 ∈
ℤ ∃𝑙 ∈
ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 1132 | 1118, 1131 | sylbb 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(∃𝑗 ∈
ℤ ∃𝑘 ∈
ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 1133 | 1132 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 1134 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ)) |
| 1135 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑦)) |
| 1136 | 1134, 1135 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))) |
| 1137 | 1136 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)))) |
| 1138 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇))) |
| 1139 | 1138 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 1140 | 1139 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 1141 | 1140 | 2rexbidv 3222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 1142 | 1137, 1141 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))) |
| 1143 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 − 𝑏) = (𝑧 − 𝑦)) |
| 1144 | 1143 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (abs‘(𝑧 − 𝑏)) = (abs‘(𝑧 − 𝑦))) |
| 1145 | 1144 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦)))) |
| 1146 | 1142, 1145 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦))))) |
| 1147 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ)) |
| 1148 | | breq1 5146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑏)) |
| 1149 | 1147, 1148 | 3anbi13d 1440 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑎 = 𝑧 → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏))) |
| 1150 | 1149 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑎 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)))) |
| 1151 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑗 · 𝑇))) |
| 1152 | 1151 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑎 = 𝑧 → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) |
| 1153 | 1152 | anbi1d 631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 1154 | 1153 | 2rexbidv 3222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))) |
| 1155 | 1150, 1154 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))) |
| 1156 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 − 𝑏) = (𝑧 − 𝑏)) |
| 1157 | 1156 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (abs‘(𝑎 − 𝑏)) = (abs‘(𝑧 − 𝑏))) |
| 1158 | 1157 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑏)))) |
| 1159 | 1155, 1158 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑎 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎 − 𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑏))))) |
| 1160 | 1159, 1089 | chvarvv 1998 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑏))) |
| 1161 | 1146, 1160 | chvarvv 1998 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦))) |
| 1162 | 1103, 1109, 1133, 1161 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧 − 𝑦))) |
| 1163 | | recn 11245 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈
ℂ) |
| 1164 | 1163 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈
ℂ) |
| 1165 | | recn 11245 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈
ℂ) |
| 1166 | 1165 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈
ℂ) |
| 1167 | 1164, 1166 | abssubd 15492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) →
(abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
| 1168 | 1167 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
| 1169 | 1168 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (abs‘(𝑧 − 𝑦)) = (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
| 1170 | 1162, 1169 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
| 1171 | 1170 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧)))) |
| 1172 | 1171 | 3adantlr3 45045 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧)))) |
| 1173 | 1172 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑧 < 𝑦 → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧)))) |
| 1174 | 1102, 1173 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
| 1175 | 1092, 1174 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
| 1176 | 196, 204,
228, 1175 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧))) |
| 1177 | 389 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐸 ∈ ℝ) |
| 1178 | 198, 201 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℝ) |
| 1179 | 1178 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℂ) |
| 1180 | 1179 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℝ) |
| 1181 | 1180 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ∈ ℝ) |
| 1182 | 1177, 1181 | lenltd 11407 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) ↔ ¬ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
| 1183 | 1176, 1182 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸) |
| 1184 | | nan 830 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → ¬ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
| 1185 | 1183, 1184 | mpbir 231 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) → ¬ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
| 1186 | 1185 | ralrimivva 3202 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐻 ∀𝑧 ∈ 𝐻 ¬ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
| 1187 | | ralnex2 3133 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐻 ∀𝑧 ∈ 𝐻 ¬ (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ 𝐻 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
| 1188 | 1186, 1187 | sylib 218 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ 𝐻 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
| 1189 | 1188 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑧 ∈ 𝐻 (𝑦 ≠ 𝑧 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝐸)) |
| 1190 | 195, 1189 | pm2.65da 817 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) |
| 1191 | 1190 | intnanrd 489 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → ¬ (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌))) |
| 1192 | | elin 3967 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌))) |
| 1193 | 1191, 1192 | sylnibr 329 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌))) |
| 1194 | 13 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → 𝐽 ∈ Top) |
| 1195 | 14 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ) |
| 1196 | 11 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → 𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌)) |
| 1197 | 17, 4 | restlp 23191 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ 𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌)) → ((limPt‘𝐾)‘𝐻) = (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌))) |
| 1198 | 1194, 1195, 1196, 1197 | syl3anc 1373 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → ((limPt‘𝐾)‘𝐻) = (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌))) |
| 1199 | 1193, 1198 | neleqtrrd 2864 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻)) |
| 1200 | 1199 | nrexdv 3149 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ ∪ 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻)) |
| 1201 | 1200 | adantr 480 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑥 ∈ ∪ 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻)) |
| 1202 | 28, 1201 | condan 818 |
1
⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Fin) |