Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem42 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem42 44291
Description: The set of points in a moved partition are finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem42.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem42.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
fourierdlem42.bc (πœ‘ β†’ 𝐡 < 𝐢)
fourierdlem42.t 𝑇 = (𝐢 βˆ’ 𝐡)
fourierdlem42.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐡[,]𝐢))
fourierdlem42.af (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem42.ba (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
fourierdlem42.ca (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐴)
fourierdlem42.d 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
fourierdlem42.i 𝐼 = ((𝐴 Γ— 𝐴) βˆ– I )
fourierdlem42.r 𝑅 = ran (𝐷 β†Ύ 𝐼)
fourierdlem42.e 𝐸 = inf(𝑅, ℝ, < )
fourierdlem42.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem42.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
fourierdlem42.j 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
fourierdlem42.k 𝐾 = (𝐽 β†Ύt (𝑋[,]π‘Œ))
fourierdlem42.h 𝐻 = {π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴}
fourierdlem42.15 (πœ“ ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem42 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   𝐸,π‘Ž,𝑏,𝑗,π‘˜   𝐻,π‘Ž,𝑏,π‘₯   π‘₯,𝐼   𝐽,π‘Ž,𝑏   𝐾,π‘Ž,𝑏,π‘₯   π‘₯,𝑅   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ   πœ‘,π‘Ž,𝑏,π‘₯   πœ“,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗,π‘˜)   πœ“(π‘₯,π‘Ž,𝑏)   𝐡(𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝐢(𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝐷(𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝑅(𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝐸(π‘₯)   𝐻(𝑗,π‘˜)   𝐼(𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝐽(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐾(𝑗,π‘˜)   𝑋(𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   π‘Œ(𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem42
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑖 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem42.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2 fourierdlem42.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
3 fourierdlem42.j . . . . . 6 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
4 fourierdlem42.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽 β†Ύt (𝑋[,]π‘Œ))
53, 4icccmp 24140 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ 𝐾 ∈ Comp)
61, 2, 5syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Comp)
76adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐻 ∈ Fin) β†’ 𝐾 ∈ Comp)
8 fourierdlem42.h . . . . . 6 𝐻 = {π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴}
9 ssrab2 4035 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴} βŠ† (𝑋[,]π‘Œ)
109a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴} βŠ† (𝑋[,]π‘Œ))
118, 10eqsstrid 3990 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ† (𝑋[,]π‘Œ))
12 retop 24077 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
133, 12eqeltri 2834 . . . . . . 7 𝐽 ∈ Top
141, 2iccssred 13305 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
15 uniretop 24078 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
163unieqi 4876 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1715, 16eqtr4i 2768 . . . . . . . 8 ℝ = βˆͺ 𝐽
1817restuni 22465 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝑋[,]π‘Œ)))
1913, 14, 18sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋[,]π‘Œ) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝑋[,]π‘Œ)))
204unieqi 4876 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝑋[,]π‘Œ))
2120eqcomi 2746 . . . . . 6 βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝑋[,]π‘Œ)) = βˆͺ 𝐾
2219, 21eqtrdi 2793 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋[,]π‘Œ) = βˆͺ 𝐾)
2311, 22sseqtrd 3982 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ† βˆͺ 𝐾)
2423adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐻 ∈ Fin) β†’ 𝐻 βŠ† βˆͺ 𝐾)
25 simpr 485 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐻 ∈ Fin) β†’ Β¬ 𝐻 ∈ Fin)
26 eqid 2737 . . . 4 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
2726bwth 22713 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐻 βŠ† βˆͺ 𝐾 ∧ Β¬ 𝐻 ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾π‘₯ ∈ ((limPtβ€˜πΎ)β€˜π»))
287, 24, 25, 27syl3anc 1371 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐻 ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾π‘₯ ∈ ((limPtβ€˜πΎ)β€˜π»))
2911, 14sstrd 3952 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐻 βŠ† ℝ)
3029ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π»)) β†’ 𝐻 βŠ† ℝ)
31 ne0i 4292 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π») β†’ ((limPtβ€˜π½)β€˜π») β‰  βˆ…)
3231adantl 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π»)) β†’ ((limPtβ€˜π½)β€˜π») β‰  βˆ…)
33 fourierdlem42.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = inf(𝑅, ℝ, < )
34 fourierdlem42.r . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = ran (𝐷 β†Ύ 𝐼)
35 absf 15182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 abs:β„‚βŸΆβ„
36 ffn 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs Fn β„‚
38 subf 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
39 ffn 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ β†’ βˆ’ Fn (β„‚ Γ— β„‚))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆ’ Fn (β„‚ Γ— β„‚)
41 frn 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ β†’ ran βˆ’ βŠ† β„‚)
4238, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran βˆ’ βŠ† β„‚
43 fnco 6615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs Fn β„‚ ∧ βˆ’ Fn (β„‚ Γ— β„‚) ∧ ran βˆ’ βŠ† β„‚) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚))
4437, 40, 42, 43mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚)
45 fourierdlem42.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
4645fneq1i 6596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 Fn (β„‚ Γ— β„‚) ↔ (abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚))
4744, 46mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 Fn (β„‚ Γ— β„‚)
48 fourierdlem42.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 = ((𝐴 Γ— 𝐴) βˆ– I )
49 fourierdlem42.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐡[,]𝐢))
50 fourierdlem42.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
51 fourierdlem42.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5250, 51iccssred 13305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐡[,]𝐢) βŠ† ℝ)
53 ax-resscn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ βŠ† β„‚
5452, 53sstrdi 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐡[,]𝐢) βŠ† β„‚)
5549, 54sstrd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
56 xpss12 5646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
5755, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
5857ssdifssd 4100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— 𝐴) βˆ– I ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
5948, 58eqsstrid 3990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
60 fnssres 6621 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 Fn (β„‚ Γ— β„‚) ∧ 𝐼 βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ (𝐷 β†Ύ 𝐼) Fn 𝐼)
6147, 59, 60sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ 𝐼) Fn 𝐼)
62 fvres 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = (π·β€˜π‘₯))
6362adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = (π·β€˜π‘₯))
6445fveq1i 6840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π·β€˜π‘₯) = ((abs ∘ βˆ’ )β€˜π‘₯)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π·β€˜π‘₯) = ((abs ∘ βˆ’ )β€˜π‘₯))
66 ffun 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ β†’ Fun βˆ’ )
6738, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Fun βˆ’
6859sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
6938fdmi 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom βˆ’ = (β„‚ Γ— β„‚)
7068, 69eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ dom βˆ’ )
71 fvco 6936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun βˆ’ ∧ π‘₯ ∈ dom βˆ’ ) β†’ ((abs ∘ βˆ’ )β€˜π‘₯) = (absβ€˜( βˆ’ β€˜π‘₯)))
7267, 70, 71sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((abs ∘ βˆ’ )β€˜π‘₯) = (absβ€˜( βˆ’ β€˜π‘₯)))
7363, 65, 723eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = (absβ€˜( βˆ’ β€˜π‘₯)))
7438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚)
7574, 68ffvelcdmd 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ( βˆ’ β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7675abscld 15281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜( βˆ’ β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
7773, 76eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
78 elxp2 5655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (β„‚ Γ— β„‚) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©)
7968, 78sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©)
80 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© β†’ ( βˆ’ β€˜π‘₯) = ( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©))
81803ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©) β†’ ( βˆ’ β€˜π‘₯) = ( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©))
82 df-ov 7354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 βˆ’ 𝑧) = ( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©)
83 simp1l 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©) β†’ πœ‘)
84 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©) β†’ π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©)
85 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
8684, 85eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼)
8786adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼)
88873adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼)
8955adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
9048eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼 ↔ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ ((𝐴 Γ— 𝐴) βˆ– I ))
91 eldif 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ ((𝐴 Γ— 𝐴) βˆ– I ) ↔ (βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐴) ∧ Β¬ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ I ))
9290, 91sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼 β†’ (βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐴) ∧ Β¬ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ I ))
9392simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼 β†’ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐴))
94 opelxp 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
9593, 94sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
9695adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
9796simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
9889, 97sseldd 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
9996simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
10089, 99sseldd 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
10192simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼 β†’ Β¬ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ I )
102 df-br 5104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 I 𝑧 ↔ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ I )
103101, 102sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼 β†’ Β¬ 𝑦 I 𝑧)
104 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑧 ∈ V
105104ideq 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 I 𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑧)
106103, 105sylnib 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼 β†’ Β¬ 𝑦 = 𝑧)
107106neqned 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼 β†’ 𝑦 β‰  𝑧)
108107adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 β‰  𝑧)
10998, 100, 108subne0d 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∈ 𝐼) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) β‰  0)
11083, 88, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) β‰  0)
11182, 110eqnetrrid 3017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©) β†’ ( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©) β‰  0)
11281, 111eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©) β†’ ( βˆ’ β€˜π‘₯) β‰  0)
1131123exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© β†’ ( βˆ’ β€˜π‘₯) β‰  0)))
114113rexlimdvv 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„‚ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© β†’ ( βˆ’ β€˜π‘₯) β‰  0))
11579, 114mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ( βˆ’ β€˜π‘₯) β‰  0)
116 absgt0 15169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (( βˆ’ β€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (( βˆ’ β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ 0 < (absβ€˜( βˆ’ β€˜π‘₯))))
11775, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (( βˆ’ β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ 0 < (absβ€˜( βˆ’ β€˜π‘₯))))
118115, 117mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 < (absβ€˜( βˆ’ β€˜π‘₯)))
11973eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜( βˆ’ β€˜π‘₯)) = ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯))
120118, 119breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 < ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯))
12177, 120elrpd 12908 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
122121ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
123 fnfvrnss 7064 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 β†Ύ 𝐼) Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+) β†’ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) βŠ† ℝ+)
12461, 122, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) βŠ† ℝ+)
12534, 124eqsstrid 3990 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ℝ+)
126 ltso 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ < Or ℝ)
128 fourierdlem42.af . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
129 xpfi 9219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) ∈ Fin)
130128, 128, 129syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) ∈ Fin)
131 diffi 9081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 Γ— 𝐴) ∈ Fin β†’ ((𝐴 Γ— 𝐴) βˆ– I ) ∈ Fin)
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— 𝐴) βˆ– I ) ∈ Fin)
13348, 132eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
134 fnfi 9083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 β†Ύ 𝐼) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝐷 β†Ύ 𝐼) ∈ Fin)
13561, 133, 134syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ 𝐼) ∈ Fin)
136 rnfi 9237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 β†Ύ 𝐼) ∈ Fin β†’ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) ∈ Fin)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) ∈ Fin)
13834, 137eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
13934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 = ran (𝐷 β†Ύ 𝐼))
14045a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ ))
141140reseq1d 5934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ 𝐼) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ 𝐼))
142141fveq1d 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩) = (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩))
143 fourierdlem42.ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
144 fourierdlem42.ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐴)
145 opelxp 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ (𝐴 Γ— 𝐴) ↔ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴))
146143, 144, 145sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ (𝐴 Γ— 𝐴))
147 fourierdlem42.bc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐡 < 𝐢)
14850, 147ltned 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
149148neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 = 𝐢)
150 ideqg 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐢 ∈ 𝐴 β†’ (𝐡 I 𝐢 ↔ 𝐡 = 𝐢))
151144, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝐡 I 𝐢 ↔ 𝐡 = 𝐢))
152149, 151mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 I 𝐢)
153 df-br 5104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐡 I 𝐢 ↔ ⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ I )
154152, 153sylnib 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ Β¬ ⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ I )
155146, 154eldifd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ ((𝐴 Γ— 𝐴) βˆ– I ))
156155, 48eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ 𝐼)
157 fvres 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ 𝐼 β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩) = ((abs ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩))
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩) = ((abs ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩))
15950recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
16051recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
161 opelxp 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚) ↔ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚))
162159, 160, 161sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ (β„‚ Γ— β„‚))
163162, 69eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ dom βˆ’ )
164 fvco 6936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun βˆ’ ∧ ⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ dom βˆ’ ) β†’ ((abs ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩) = (absβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩)))
16567, 163, 164sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩) = (absβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩)))
166 df-ov 7354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐡 βˆ’ 𝐢) = ( βˆ’ β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩)
167166eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( βˆ’ β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ( βˆ’ β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
169168fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (absβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩)) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)))
170165, 169eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)))
171142, 158, 1703eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) = ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩))
172 fnfvelrn 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 β†Ύ 𝐼) Fn 𝐼 ∧ ⟨𝐡, 𝐢⟩ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩) ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼))
17361, 156, 172syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π΅, 𝐢⟩) ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼))
174171, 173eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼))
175 ne0i 4292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) β†’ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) β‰  βˆ…)
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) β‰  βˆ…)
177139, 176eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
178 resss 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 β†Ύ 𝐼) βŠ† 𝐷
179 rnss 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 β†Ύ 𝐼) βŠ† 𝐷 β†’ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) βŠ† ran 𝐷)
180178, 179ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) βŠ† ran 𝐷
18145rneqi 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran 𝐷 = ran (abs ∘ βˆ’ )
182 rncoss 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran (abs ∘ βˆ’ ) βŠ† ran abs
183 frn 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ ran abs βŠ† ℝ)
18435, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran abs βŠ† ℝ
185182, 184sstri 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran (abs ∘ βˆ’ ) βŠ† ℝ
186181, 185eqsstri 3976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran 𝐷 βŠ† ℝ
187180, 186sstri 3951 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) βŠ† ℝ
18834, 187eqsstri 3976 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 βŠ† ℝ
189188a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
190 fiinfcl 9395 . . . . . . . . . . . . 13 (( < Or ℝ ∧ (𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 βŠ† ℝ)) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
191127, 138, 177, 189, 190syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
192125, 191sseldd 3943 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
19333, 192eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
194193ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π»)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
1953, 30, 32, 194lptre2pt 43782 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐻 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐻 (𝑦 β‰  𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 𝐸))
196 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 β‰  𝑧) β†’ πœ‘)
19729sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
198197adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
199198adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 β‰  𝑧) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
20029sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
201200adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
202201adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 β‰  𝑧) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
203 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 β‰  𝑧) β†’ 𝑦 β‰  𝑧)
204199, 202, 2033jca 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 β‰  𝑧) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧))
2058eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ 𝐻 ↔ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴})
206 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)))
207206eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
208207rexbidv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
209 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ Β· 𝑇) = (𝑗 Β· 𝑇))
210209oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)))
211210eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
212211cbvrexvw 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
213208, 212bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
214213elrab 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
215205, 214sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ 𝐻 β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
216215simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ 𝐻 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
217216adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
2188eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ 𝐻 ↔ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴})
219 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)))
220219eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
221220rexbidv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
222221elrab 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
223218, 222sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ 𝐻 β†’ (𝑧 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
224223simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ 𝐻 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
225224adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
226 reeanv 3215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
227217, 225, 226sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
228227ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 β‰  𝑧) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
229 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) β†’ πœ‘)
230 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
231 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
232 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) β†’ 𝑦 < 𝑧)
233230, 231, 2323jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
234233adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) ∧ 𝑦 < 𝑧) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
235234adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
236 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
237 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑧 β†’ (𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ))
238 breq2 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑧 β†’ (𝑦 < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑧))
239237, 2383anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑧 β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)))
240239anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑧 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))))
241 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑧 β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)))
242241eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑧 β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
243242anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑧 β†’ (((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
2442432rexbidv 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
245240, 244anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑧 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))))
246 oveq2 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑧 β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑏) = (𝑦 βˆ’ 𝑧))
247246fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑧 β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑏)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
248247breq2d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑧 β†’ (𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑏)) ↔ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))))
249245, 248imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑧 β†’ ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑏))) ↔ (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))))
250 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (π‘Ž ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
251 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (π‘Ž < 𝑏 ↔ 𝑦 < 𝑏))
252250, 2513anbi13d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = 𝑦 β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)))
253252anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž = 𝑦 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑏)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏))))
254 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)))
255254eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = 𝑦 β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
256255anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
2572562rexbidv 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
258253, 257anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))))
259 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) = (𝑦 βˆ’ 𝑏))
260259fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑏)))
261260breq2d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (𝐸 ≀ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) ↔ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑏))))
262258, 261imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = 𝑦 β†’ ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏))) ↔ (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑏)))))
263 fourierdlem42.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ“ ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
264263simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ“ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
265263biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ“ β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
266265simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ“ β†’ (πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑏)))
267266simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ“ β†’ πœ‘)
268267, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ“ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
269268adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
270267, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ“ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
271270adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
272267, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ“ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐡[,]𝐢))
273272sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ“ ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ (𝐡[,]𝐢))
274273adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ (𝐡[,]𝐢))
275272sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ“ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ (𝐡[,]𝐢))
276275adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ (𝐡[,]𝐢))
277269, 271, 274, 276iccsuble 43658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐡))
278 fourierdlem42.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑇 = (𝐢 βˆ’ 𝐡)
279277, 278breqtrrdi 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ≀ 𝑇)
2802793adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ≀ 𝑇)
281280adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ≀ 𝑇)
282 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑗)
283 zre 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
284283adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
285284ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
286 zre 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
287286adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
288287ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
289285, 288ltnled 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (𝑗 < π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑗))
290282, 289mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝑗 < π‘˜)
29151, 50resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
292278, 291eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
293267, 292syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ“ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
294293ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
295287adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
296284adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
297295, 296resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑗) ∈ ℝ)
298293adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
299297, 298remulcld 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
300299adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
301266simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ“ β†’ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑏))
302301simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ“ β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
303302adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
304286adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
305293adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
306304, 305remulcld 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ Β· 𝑇) ∈ ℝ)
307306adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑇) ∈ ℝ)
308303, 307readdcld 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
309301simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ“ β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
310309adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
311283adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
312293adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
313311, 312remulcld 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑗 Β· 𝑇) ∈ ℝ)
314313adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (𝑗 Β· 𝑇) ∈ ℝ)
315310, 314readdcld 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
316308, 315resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ∈ ℝ)
317316adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ∈ ℝ)
318293recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ“ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
319318mulid2d 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ“ β†’ (1 Β· 𝑇) = 𝑇)
320319eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ“ β†’ 𝑇 = (1 Β· 𝑇))
321320ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ 𝑇 = (1 Β· 𝑇))
322 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ 𝑗 < π‘˜)
323 zltlem1 12514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑗 < π‘˜ ↔ 𝑗 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1)))
324323ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ (𝑗 < π‘˜ ↔ 𝑗 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1)))
325322, 324mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ 𝑗 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1))
326284ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
327 peano2rem 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
328295, 327syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
329328adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
330 1re 11113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 ∈ ℝ
331 resubcl 11423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ 𝑗) ∈ ℝ)
332330, 326, 331sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑗) ∈ ℝ)
333 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ 𝑗 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1))
334326, 329, 332, 333leadd1dd 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (𝑗 + (1 βˆ’ 𝑗)) ≀ ((π‘˜ βˆ’ 1) + (1 βˆ’ 𝑗)))
335 zcn 12462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
336335adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
337 1cnd 11108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 1 ∈ β„‚)
338336, 337pncan3d 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑗 + (1 βˆ’ 𝑗)) = 1)
339338ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ (𝑗 + (1 βˆ’ 𝑗)) = 1)
340 zcn 12462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
341340adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
342341, 337, 336npncand 11494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) + (1 βˆ’ 𝑗)) = (π‘˜ βˆ’ 𝑗))
343342ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) + (1 βˆ’ 𝑗)) = (π‘˜ βˆ’ 𝑗))
344334, 339, 3433brtr3d 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 ≀ (π‘˜ βˆ’ 1)) β†’ 1 ≀ (π‘˜ βˆ’ 𝑗))
345325, 344syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ 1 ≀ (π‘˜ βˆ’ 𝑗))
346330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ 1 ∈ ℝ)
347297adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑗) ∈ ℝ)
34850, 51posdifd 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (πœ‘ β†’ (𝐡 < 𝐢 ↔ 0 < (𝐢 βˆ’ 𝐡)))
349147, 348mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐢 βˆ’ 𝐡))
350349, 278breqtrrdi 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑇)
351292, 350elrpd 12908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
352267, 351syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ“ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
353352ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
354346, 347, 353lemul1d 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ (1 ≀ (π‘˜ βˆ’ 𝑗) ↔ (1 Β· 𝑇) ≀ ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇)))
355345, 354mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ (1 Β· 𝑇) ≀ ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇))
356321, 355eqbrtrd 5125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ 𝑇 ≀ ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇))
357302, 309resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ“ β†’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) ∈ ℝ)
358301simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (πœ“ β†’ π‘Ž < 𝑏)
359309, 302posdifd 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (πœ“ β†’ (π‘Ž < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏 βˆ’ π‘Ž)))
360358, 359mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ“ β†’ 0 < (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
361357, 360elrpd 12908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ“ β†’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) ∈ ℝ+)
362361adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) ∈ ℝ+)
363299, 362ltaddrp2d 12945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇) < ((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇)))
364302recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ“ β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
365364adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
366306recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ Β· 𝑇) ∈ β„‚)
367366adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑇) ∈ β„‚)
368309recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ“ β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
369368adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
370313recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑗 Β· 𝑇) ∈ β„‚)
371370adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (𝑗 Β· 𝑇) ∈ β„‚)
372365, 367, 369, 371addsub4d 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = ((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + ((π‘˜ Β· 𝑇) βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇))))
373340ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
374335ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
375318adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
376373, 374, 375subdird 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇) = ((π‘˜ Β· 𝑇) βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)))
377376eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((π‘˜ Β· 𝑇) βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)) = ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇))
378377oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + ((π‘˜ Β· 𝑇) βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇))) = ((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇)))
379372, 378eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇)) = ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
380363, 379breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇) < ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
381380adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇) < ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
382294, 300, 317, 356, 381lelttrd 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ 𝑇 < ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
383294, 317ltnled 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ (𝑇 < ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ↔ Β¬ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ≀ 𝑇))
384382, 383mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ 𝑗 < π‘˜) β†’ Β¬ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ≀ 𝑇)
385290, 384syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ Β¬ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ≀ 𝑇)
3863853adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ Β¬ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ≀ 𝑇)
387281, 386condan 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ π‘˜ ≀ 𝑗)
388188, 191sselid 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ‘ β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
38933, 388eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
390267, 389syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ“ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
3913903ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
392391ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
3932933ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
394393ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
395284, 287resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑗 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ)
396395adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (𝑗 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ)
397396, 298remulcld 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
3983973adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
399398ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
400 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (πœ‘ β†’ πœ‘)
401143, 144jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴))
402400, 401, 1473jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (πœ‘ β†’ (πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < 𝐢))
403 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑑 = 𝐢 β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↔ 𝐢 ∈ 𝐴))
404403anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = 𝐢 β†’ ((𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴)))
405 breq2 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = 𝐢 β†’ (𝐡 < 𝑑 ↔ 𝐡 < 𝐢))
406404, 4053anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = 𝐢 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < 𝑑) ↔ (πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < 𝐢)))
407 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = 𝐢 β†’ (𝑑 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ 𝐡))
408407breq2d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = 𝐢 β†’ (𝐸 ≀ (𝑑 βˆ’ 𝐡) ↔ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐡)))
409406, 408imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑑 = 𝐢 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < 𝑑) β†’ 𝐸 ≀ (𝑑 βˆ’ 𝐡)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < 𝐢) β†’ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐡))))
410 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < 𝑑) β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
411 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = 𝐡 β†’ (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ 𝐡 ∈ 𝐴))
412411anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = 𝐡 β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)))
413 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = 𝐡 β†’ (𝑐 < 𝑑 ↔ 𝐡 < 𝑑))
414412, 4133anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑐 = 𝐡 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < 𝑑)))
415 oveq2 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = 𝐡 β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑐) = (𝑑 βˆ’ 𝐡))
416415breq2d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑐 = 𝐡 β†’ (𝐸 ≀ (𝑑 βˆ’ 𝑐) ↔ 𝐸 ≀ (𝑑 βˆ’ 𝐡)))
417414, 416imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑐 = 𝐡 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ 𝐸 ≀ (𝑑 βˆ’ 𝑐)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < 𝑑) β†’ 𝐸 ≀ (𝑑 βˆ’ 𝐡))))
418188a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
419 0re 11115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 0 ∈ ℝ
42034eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑦 ∈ 𝑅 ↔ 𝑦 ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼))
421420biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑦 ∈ 𝑅 β†’ 𝑦 ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼))
422421adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ 𝑦 ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼))
42361adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ (𝐷 β†Ύ 𝐼) Fn 𝐼)
424 fvelrnb 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝐷 β†Ύ 𝐼) Fn 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = 𝑦))
425423, 424syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ (𝑦 ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = 𝑦))
426422, 425mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = 𝑦)
427121rpge0d 12915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯))
4284273adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ 0 ≀ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯))
429 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = 𝑦)
430428, 429breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = 𝑦) β†’ 0 ≀ 𝑦)
4314303exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ 0 ≀ 𝑦)))
432431adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ 0 ≀ 𝑦)))
433432rexlimdv 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = 𝑦 β†’ 0 ≀ 𝑦))
434426, 433mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ 0 ≀ 𝑦)
435434ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑦)
436 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ 0 ≀ 𝑦))
437436ralbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑦))
438437rspcev 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑦)
439419, 435, 438sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑦)
4404393ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑦)
441 pm3.22 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴))
442 opelxp 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐴) ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴))
443441, 442sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐴))
4444433ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐴))
44549, 52sstrd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
446445sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
447446adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
4484473adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
449 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ 𝑐 < 𝑑)
450448, 449gtned 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ 𝑑 β‰  𝑐)
451450neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ Β¬ 𝑑 = 𝑐)
452 df-br 5104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑑 I 𝑐 ↔ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ I )
453 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 𝑐 ∈ V
454453ideq 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑑 I 𝑐 ↔ 𝑑 = 𝑐)
455452, 454bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ I ↔ 𝑑 = 𝑐)
456451, 455sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ Β¬ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ I )
457444, 456eldifd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ ((𝐴 Γ— 𝐴) βˆ– I ))
458457, 48eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ 𝐼)
459448, 449ltned 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ 𝑐 β‰  𝑑)
4601413ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ (𝐷 β†Ύ 𝐼) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ 𝐼))
461460fveq1d 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©) = (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©))
4624433ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ (𝐴 Γ— 𝐴))
463 necom 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (𝑐 β‰  𝑑 ↔ 𝑑 β‰  𝑐)
464463biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝑐 β‰  𝑑 β†’ 𝑑 β‰  𝑐)
465464neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑐 β‰  𝑑 β†’ Β¬ 𝑑 = 𝑐)
4664653ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ Β¬ 𝑑 = 𝑐)
467466, 455sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ Β¬ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ I )
468462, 467eldifd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ ((𝐴 Γ— 𝐴) βˆ– I ))
469468, 48eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ 𝐼)
470 fvres 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ 𝐼 β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©) = ((abs ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©))
471469, 470syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©) = ((abs ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©))
472 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ πœ‘)
473472, 469jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ (πœ‘ ∧ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ 𝐼))
474 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (π‘₯ = βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↔ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ 𝐼))
475474anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (π‘₯ = βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ↔ (πœ‘ ∧ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ 𝐼)))
476 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (π‘₯ = βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© β†’ (π‘₯ ∈ dom βˆ’ ↔ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ dom βˆ’ ))
477475, 476imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (π‘₯ = βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ dom βˆ’ ) ↔ ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ 𝐼) β†’ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ dom βˆ’ )))
478477, 70vtoclg 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ 𝐼 β†’ ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ 𝐼) β†’ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ dom βˆ’ ))
479469, 473, 478sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ dom βˆ’ )
480 fvco 6936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((Fun βˆ’ ∧ βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ dom βˆ’ ) β†’ ((abs ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©) = (absβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©)))
48167, 479, 480sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((abs ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©) = (absβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©)))
482 df-ov 7354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑑 βˆ’ 𝑐) = ( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©)
483482eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©) = (𝑑 βˆ’ 𝑐)
484483fveq2i 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (absβ€˜( βˆ’ β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©)) = (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑐))
485481, 484eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((abs ∘ βˆ’ )β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©) = (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑐)))
486461, 471, 4853eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 β‰  𝑑) β†’ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©) = (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑐)))
487459, 486syld3an3 1409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©) = (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑐)))
488445sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
489488adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
4904893adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
491448, 490, 449ltled 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ 𝑐 ≀ 𝑑)
492448, 490, 491abssubge0d 15276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑐)) = (𝑑 βˆ’ 𝑐))
493487, 492eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©) = (𝑑 βˆ’ 𝑐))
494 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (π‘₯ = βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© β†’ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©))
495494eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (π‘₯ = βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© β†’ (((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = (𝑑 βˆ’ 𝑐) ↔ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©) = (𝑑 βˆ’ 𝑐)))
496495rspcev 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((βŸ¨π‘‘, π‘βŸ© ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜βŸ¨π‘‘, π‘βŸ©) = (𝑑 βˆ’ 𝑐)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = (𝑑 βˆ’ 𝑐))
497458, 493, 496syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = (𝑑 βˆ’ 𝑐))
498489, 447resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑐) ∈ ℝ)
499 elex 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑑 βˆ’ 𝑐) ∈ ℝ β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑐) ∈ V)
500498, 499syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑐) ∈ V)
5015003adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑐) ∈ V)
502 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ πœ‘)
503 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑦 = (𝑑 βˆ’ 𝑐) β†’ (𝑦 ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) ↔ (𝑑 βˆ’ 𝑐) ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼)))
504 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑦 = (𝑑 βˆ’ 𝑐) β†’ (((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = 𝑦 ↔ ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = (𝑑 βˆ’ 𝑐)))
505504rexbidv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑦 = (𝑑 βˆ’ 𝑐) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = 𝑦 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = (𝑑 βˆ’ 𝑐)))
506503, 505bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑦 = (𝑑 βˆ’ 𝑐) β†’ ((𝑦 ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = 𝑦) ↔ ((𝑑 βˆ’ 𝑐) ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = (𝑑 βˆ’ 𝑐))))
507506imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑦 = (𝑑 βˆ’ 𝑐) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = 𝑦)) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑑 βˆ’ 𝑐) ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = (𝑑 βˆ’ 𝑐)))))
50861, 424syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = 𝑦))
509507, 508vtoclg 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑑 βˆ’ 𝑐) ∈ V β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑑 βˆ’ 𝑐) ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = (𝑑 βˆ’ 𝑐))))
510501, 502, 509sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ ((𝑑 βˆ’ 𝑐) ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 ((𝐷 β†Ύ 𝐼)β€˜π‘₯) = (𝑑 βˆ’ 𝑐)))
511497, 510mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑐) ∈ ran (𝐷 β†Ύ 𝐼))
512511, 34eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑐) ∈ 𝑅)
513 infrelb 12098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ (𝑑 βˆ’ 𝑐) ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ≀ (𝑑 βˆ’ 𝑐))
514418, 440, 512, 513syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ≀ (𝑑 βˆ’ 𝑐))
51533, 514eqbrtrid 5138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ 𝐸 ≀ (𝑑 βˆ’ 𝑐))
516417, 515vtoclg 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐡 ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < 𝑑) β†’ 𝐸 ≀ (𝑑 βˆ’ 𝐡)))
517410, 516mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < 𝑑) β†’ 𝐸 ≀ (𝑑 βˆ’ 𝐡))
518409, 517vtoclg 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐢 ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < 𝐢) β†’ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐡)))
519144, 402, 518sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ‘ β†’ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐡))
520519, 278breqtrrdi 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ 𝐸 ≀ 𝑇)
521267, 520syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ“ β†’ 𝐸 ≀ 𝑇)
5225213ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ 𝑇)
523522ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ 𝑇)
524364adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
525524, 366pncan2d 11472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) = (π‘˜ Β· 𝑇))
526525oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) = ((π‘˜ Β· 𝑇) / 𝑇))
527340adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
528318adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
529419a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
530529, 350gtned 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  0)
531267, 530syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (πœ“ β†’ 𝑇 β‰  0)
532531adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 𝑇 β‰  0)
533527, 528, 532divcan4d 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ Β· 𝑇) / 𝑇) = π‘˜)
534526, 533eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ π‘˜ = (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇))
535534adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ π‘˜ = (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇))
536535adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ π‘˜ = (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇))
537 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) = ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏))
538537oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇))
539538adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇))
540368adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
541364adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
542540, 370, 541addsubd 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) = ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) + (𝑗 Β· 𝑇)))
543540, 541subcld 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∈ β„‚)
544543, 370addcomd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) + (𝑗 Β· 𝑇)) = ((𝑗 Β· 𝑇) + (π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
545542, 544eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) = ((𝑗 Β· 𝑇) + (π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
546545oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) = (((𝑗 Β· 𝑇) + (π‘Ž βˆ’ 𝑏)) / 𝑇))
547318adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
548531adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ 𝑇 β‰  0)
549370, 543, 547, 548divdird 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (((𝑗 Β· 𝑇) + (π‘Ž βˆ’ 𝑏)) / 𝑇) = (((𝑗 Β· 𝑇) / 𝑇) + ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇)))
550335adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
551550, 547, 548divcan4d 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ ((𝑗 Β· 𝑇) / 𝑇) = 𝑗)
552551oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (((𝑗 Β· 𝑇) / 𝑇) + ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇)) = (𝑗 + ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇)))
553546, 549, 5523eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇)))
554553adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇)))
555554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇)))
556536, 539, 5553eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ π‘˜ = (𝑗 + ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇)))
557309, 302resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (πœ“ β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) ∈ ℝ)
558309, 302sublt0d 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (πœ“ β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) < 0 ↔ π‘Ž < 𝑏))
559358, 558mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (πœ“ β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) < 0)
560557, 352, 559divlt0gt0d 43425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (πœ“ β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇) < 0)
561560adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇) < 0)
562335subidd 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ β„€ β†’ (𝑗 βˆ’ 𝑗) = 0)
563562eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 0 = (𝑗 βˆ’ 𝑗))
564563adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ 0 = (𝑗 βˆ’ 𝑗))
565561, 564breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇) < (𝑗 βˆ’ 𝑗))
566557, 293, 531redivcld 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (πœ“ β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
567566adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
568311, 567, 311ltaddsub2d 11714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ ((𝑗 + ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗 ↔ ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇) < (𝑗 βˆ’ 𝑗)))
569565, 568mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑗 + ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
570569adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (𝑗 + ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
571570adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (𝑗 + ((π‘Ž βˆ’ 𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
572556, 571eqbrtrd 5125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ π‘˜ < 𝑗)
573320ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ 𝑇 = (1 Β· 𝑇))
574 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ π‘˜ < 𝑗)
575 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
576 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
577 zltp1le 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ < 𝑗 ↔ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑗))
578575, 576, 577syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ (π‘˜ < 𝑗 ↔ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑗))
579574, 578mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑗)
580286ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
581330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ 1 ∈ ℝ)
582283ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
583580, 581, 582leaddsub2d 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ ((π‘˜ + 1) ≀ 𝑗 ↔ 1 ≀ (𝑗 βˆ’ π‘˜)))
584579, 583mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ 1 ≀ (𝑗 βˆ’ π‘˜))
585584adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ 1 ≀ (𝑗 βˆ’ π‘˜))
586330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ 1 ∈ ℝ)
587395ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ (𝑗 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ)
588352ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
589586, 587, 588lemul1d 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ (1 ≀ (𝑗 βˆ’ π‘˜) ↔ (1 Β· 𝑇) ≀ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
590585, 589mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ (1 Β· 𝑇) ≀ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))
591573, 590eqbrtrd 5125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ 𝑇 ≀ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))
592572, 591syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝑇 ≀ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))
593592adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝑇 ≀ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))
5945933adantll3 43158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝑇 ≀ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))
595392, 394, 399, 523, 594letrd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))
596 oveq2 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))))
597596oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
598597adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
599267, 445syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (πœ“ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
600599sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
601600adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
602601recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ β„‚)
603602subidd 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) = 0)
604603oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = (0 + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
605604adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = (0 + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
606598, 605eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = (0 + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
6076063adantl2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = (0 + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
608607adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = (0 + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
609374, 373subcld 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (𝑗 βˆ’ π‘˜) ∈ β„‚)
610609, 375mulcld 11133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) ∈ β„‚)
611610addid2d 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (0 + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))
6126113adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (0 + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))
613612ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (0 + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))
614608, 613eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) = (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
615595, 614breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
616615adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
617391ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
618599sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
619618adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
620601, 619resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ∈ ℝ)
6216203adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ∈ ℝ)
622621ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ∈ ℝ)
623621, 398readdcld 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
624623ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
625267adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ πœ‘)
6266253ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ πœ‘)
627626ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ πœ‘)
628 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
629628ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
630 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)))
631619ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
632601ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
633631, 632lenltd 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ↔ Β¬ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
634630, 633mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ Β¬ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))
635 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ↔ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))
636635notbii 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ↔ Β¬ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))
637636biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) β†’ Β¬ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))
638637adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ Β¬ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))
639 ioran 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (Β¬ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∨ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ↔ (Β¬ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∧ Β¬ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
640634, 638, 639sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ Β¬ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∨ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
641632, 631leloed 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ≀ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ↔ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∨ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))))
642640, 641mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ Β¬ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ≀ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))
6436423adantll2 43157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ Β¬ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ≀ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))
644643adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ Β¬ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ≀ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))
645619adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
6466453adantl2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
647646ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
648601adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
6496483adantl2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
650649ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
651647, 650ltnled 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ↔ Β¬ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ≀ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
652644, 651mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)))
653 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
654 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑐 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) β†’ (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
655654anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
656 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) β†’ (𝑐 < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ↔ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))))
657655, 6563anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑐 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ↔ (πœ‘ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)))))
658 oveq2 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑐) = ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
659658breq2d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑐 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) β†’ (𝐸 ≀ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑐) ↔ 𝐸 ≀ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))))
660657, 659imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑐)) ↔ ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))))
661 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
662 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑑 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↔ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
663662anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
664 breq2 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) β†’ (𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))))
665663, 6643anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑑 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)))))
666 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑐) = ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑐))
667666breq2d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑑 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) β†’ (𝐸 ≀ (𝑑 βˆ’ 𝑐) ↔ 𝐸 ≀ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑐)))
668665, 667imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑑 = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ 𝐸 ≀ (𝑑 βˆ’ 𝑐)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑐))))
669668, 515vtoclg 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑐)))
670661, 669mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑐))
671660, 670vtoclg 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))))
672653, 671mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
673627, 629, 652, 672syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
674395ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (𝑗 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ)
675293ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
676 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ π‘˜ ≀ 𝑗)
677283ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
678286ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
679677, 678subge0d 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (0 ≀ (𝑗 βˆ’ π‘˜) ↔ π‘˜ ≀ 𝑗))
680676, 679mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 0 ≀ (𝑗 βˆ’ π‘˜))
681680adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 0 ≀ (𝑗 βˆ’ π‘˜))
682352rpge0d 12915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ“ β†’ 0 ≀ 𝑇)
683682ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 0 ≀ 𝑇)
684674, 675, 681, 683mulge0d 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 0 ≀ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))
6856843adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 0 ≀ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))
686621adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ∈ ℝ)
687398adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
688686, 687addge01d 11701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (0 ≀ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) ↔ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ≀ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))))
689685, 688mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ≀ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
690689ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ≀ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
691617, 622, 624, 673, 690letrd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
692616, 691pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
693372, 378eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = ((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇)))
694693oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = (((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇)) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
695365, 369subcld 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) ∈ β„‚)
696373, 374subcld 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑗) ∈ β„‚)
697696, 375mulcld 11133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇) ∈ β„‚)
698695, 697, 610addassd 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇)) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = ((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + (((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))))
699341, 336, 336, 341subadd4b 43421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) + (𝑗 βˆ’ π‘˜)) = ((π‘˜ βˆ’ π‘˜) + (𝑗 βˆ’ 𝑗)))
700699adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 𝑗) + (𝑗 βˆ’ π‘˜)) = ((π‘˜ βˆ’ π‘˜) + (𝑗 βˆ’ 𝑗)))
701700oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 𝑗) + (𝑗 βˆ’ π‘˜)) Β· 𝑇) = (((π‘˜ βˆ’ π‘˜) + (𝑗 βˆ’ 𝑗)) Β· 𝑇))
702696, 609, 375adddird 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 𝑗) + (𝑗 βˆ’ π‘˜)) Β· 𝑇) = (((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
703340subidd 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (π‘˜ βˆ’ π‘˜) = 0)
704703adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π‘˜ βˆ’ π‘˜) = 0)
705562adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑗 βˆ’ 𝑗) = 0)
706704, 705oveq12d 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ βˆ’ π‘˜) + (𝑗 βˆ’ 𝑗)) = (0 + 0))
707 00id 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0 + 0) = 0
708706, 707eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ βˆ’ π‘˜) + (𝑗 βˆ’ 𝑗)) = 0)
709708oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (((π‘˜ βˆ’ π‘˜) + (𝑗 βˆ’ 𝑗)) Β· 𝑇) = (0 Β· 𝑇))
710709adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (((π‘˜ βˆ’ π‘˜) + (𝑗 βˆ’ 𝑗)) Β· 𝑇) = (0 Β· 𝑇))
711701, 702, 7103eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = (0 Β· 𝑇))
712711oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + (((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))) = ((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + (0 Β· 𝑇)))
713318mul02d 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ“ β†’ (0 Β· 𝑇) = 0)
714713oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ“ β†’ ((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + (0 Β· 𝑇)) = ((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + 0))
715364, 368subcld 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ“ β†’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) ∈ β„‚)
716715addid1d 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ“ β†’ ((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + 0) = (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
717714, 716eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ“ β†’ ((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + (0 Β· 𝑇)) = (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
718717adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + (0 Β· 𝑇)) = (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
719712, 718eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ ((𝑏 βˆ’ π‘Ž) + (((π‘˜ βˆ’ 𝑗) Β· 𝑇) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))) = (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
720694, 698, 7193eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
7217203adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
722721ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
723692, 722breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
724 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
725 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)))
7266013adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
727726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
7286193adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
729728adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
730727, 729ltnled 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ↔ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))))
731725, 730mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))
732731adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))
7335353adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ π‘˜ = (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇))
734733adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ π‘˜ = (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇))
7356003adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
7363023ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
737735, 736resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) ∈ ℝ)
7382933ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
7395313ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 β‰  0)
740737, 738, 739redivcld 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7417403adant3l 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7427413adant2l 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
743742adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7446183adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
7453023ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
746744, 745resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) ∈ ℝ)
7472933ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
7485313ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 β‰  0)
749746, 747, 748redivcld 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7507493adant3r 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7517503adant2r 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
752751adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7532843ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
754753adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
755726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
7563023ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
757756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
758755, 757resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) ∈ ℝ)
759728adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
760759, 757resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) ∈ ℝ)
7613523ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
762761adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
763601adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
764619adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
765302ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
766 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))
767763, 764, 765, 766ltsub1dd 11725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) < ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏))
7687673adantl2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) < ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏))
769758, 760, 762, 768ltdiv1dd 12968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) < (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇))
770554, 570eqbrtrd 5125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
7717703adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
772771adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
773743, 752, 754, 769, 772lttrd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
774734, 773eqbrtrd 5125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ π‘˜ < 𝑗)
775774adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ π‘˜ < 𝑗)
776732, 775syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ π‘˜ < 𝑗)
777391adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
778393adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
779623adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
780522adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝐸 ≀ 𝑇)
781 peano2rem 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ ℝ β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
782753, 781syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
7832873ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
784782, 783resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ)
785784, 393remulcld 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
786785adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
787753adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
788330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
789787, 788resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
790286ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
7917903ad2antl2 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
792789, 791resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ)
793682adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 0 ≀ 𝑇)
7947933ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 0 ≀ 𝑇)
795283ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
796330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
797795, 796resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
798 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1))
799 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
800 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
801 1zzd 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 1 ∈ β„€)
802800, 801zsubcld 12570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ β„€)
803 zltlem1 12514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1) ↔ π‘˜ ≀ ((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
804799, 802, 803syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1) ↔ π‘˜ ≀ ((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
805798, 804mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ≀ ((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ 1))
806790, 797, 796, 805lesubd 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 1 ≀ ((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜))
8078063ad2antl2 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 1 ≀ ((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜))
808778, 792, 794, 807lemulge12d 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝑇 ≀ (((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇))
809336, 337, 341sub32d 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ ((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜) = ((𝑗 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1))
810809oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) = (((𝑗 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑇))
811810adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) = (((𝑗 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑇))
812 1cnd 11108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ 1 ∈ β„‚)
813609, 812, 375subdird 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (((𝑗 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑇) = (((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) βˆ’ (1 Β· 𝑇)))
814319oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (πœ“ β†’ (((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) βˆ’ (1 Β· 𝑇)) = (((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) βˆ’ 𝑇))
815814adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) βˆ’ (1 Β· 𝑇)) = (((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) βˆ’ 𝑇))
816811, 813, 8153eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) = (((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) βˆ’ 𝑇))
8178163adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) = (((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) βˆ’ 𝑇))
818728, 726resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ∈ ℝ)
819269, 271, 276, 274iccsuble 43658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐡))
820819, 278breqtrrdi 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ≀ 𝑇)
8218203adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) ≀ 𝑇)
822818, 393, 398, 821lesub2dd 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) βˆ’ 𝑇) ≀ (((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) βˆ’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)))))
823817, 822eqbrtrd 5125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) ≀ (((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) βˆ’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)))))
8246103adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) ∈ β„‚)
825728recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ β„‚)
8266023adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ β„‚)
827824, 825, 826subsub2d 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) βˆ’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)))) = (((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) + ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))))
828621recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ∈ β„‚)
829824, 828addcomd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) + ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))) = (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
830827, 829eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) βˆ’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)))) = (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
831823, 830breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) ≀ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
832831adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (((𝑗 βˆ’ 1) βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) ≀ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
833778, 786, 779, 808, 832letrd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝑇 ≀ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
834777, 778, 779, 780, 833letrd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝐸 ≀ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
835721adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
836834, 835breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝐸 ≀ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
837836adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < 𝑗) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝐸 ≀ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
838837adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < 𝑗) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ∧ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝐸 ≀ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
839 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < 𝑗) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
840 simpll2 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < 𝑗) ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€))
841 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < 𝑗) ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ < 𝑗)
842 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < 𝑗) ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1))
843581, 582, 580, 584lesubd 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗) β†’ π‘˜ ≀ (𝑗 βˆ’ 1))
8448433adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗 ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ≀ (𝑗 βˆ’ 1))
845 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1))
846284, 781syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
847846adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
848286ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
849847, 848lenltd 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑗 βˆ’ 1) ≀ π‘˜ ↔ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)))
850845, 849mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ≀ π‘˜)
8518503adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗 ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ≀ π‘˜)
8525803adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗 ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
8538463ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗 ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
854852, 853letri3d 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗 ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1) ↔ (π‘˜ ≀ (𝑗 βˆ’ 1) ∧ (𝑗 βˆ’ 1) ≀ π‘˜)))
855844, 851, 854mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ π‘˜ < 𝑗 ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1))
856840, 841, 842, 855syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < 𝑗) ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1))
857856adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < 𝑗) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1))
858 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ πœ“)
859 simpl2l 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
860 simpl3l 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
861 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1) β†’ (π‘˜ Β· 𝑇) = ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))
862861oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
863862eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)))
864863adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)))
865 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
866864, 865eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
867866adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
8688673ad2antl3 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
869860, 868jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
870 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
8718703adant3r 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
872744adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
8732703ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
874873adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
875268adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ“ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
876270adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ“ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
877 elicc2 13283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ (𝐡[,]𝐢) ↔ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ≀ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ 𝐢)))
878875, 876, 877syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ (𝐡[,]𝐢) ↔ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ≀ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ 𝐢)))
879275, 878mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ≀ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ 𝐢))
880879simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ 𝐢)
8818803adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ 𝐢)
882881adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ 𝐢)
883 nne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (Β¬ 𝐢 β‰  (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ↔ 𝐢 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))
884540, 370pncand 11471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)) = π‘Ž)
885884eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ π‘Ž = ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)))
886885adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ 𝐢 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ π‘Ž = ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)))
887 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐢 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) β†’ (𝐢 βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)) = ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)))
888887eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐢 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝐢 βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)))
889888adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ 𝐢 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝐢 βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)))
890278oveq2i 7362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝐡 + 𝑇) = (𝐡 + (𝐢 βˆ’ 𝐡))
891267, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (πœ“ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
892267, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (πœ“ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
893891, 892pncan3d 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (πœ“ β†’ (𝐡 + (𝐢 βˆ’ 𝐡)) = 𝐢)
894890, 893eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (πœ“ β†’ 𝐢 = (𝐡 + 𝑇))
895894oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (πœ“ β†’ (𝐢 βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)) = ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)))
896895adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝐢 βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)) = ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)))
897891adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
898897, 370, 547subsub3d 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝐡 βˆ’ ((𝑗 Β· 𝑇) βˆ’ 𝑇)) = ((𝐡 + 𝑇) βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)))
899550, 547mulsubfacd 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ ((𝑗 Β· 𝑇) βˆ’ 𝑇) = ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))
900899oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝐡 βˆ’ ((𝑗 Β· 𝑇) βˆ’ 𝑇)) = (𝐡 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
901896, 898, 9003eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝐢 βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝐡 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
902901adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ 𝐢 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ (𝐢 βˆ’ (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝐡 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
903886, 889, 9023eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ 𝐢 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ π‘Ž = (𝐡 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
9049033adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐢 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ π‘Ž = (𝐡 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
905904adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) ∧ 𝐢 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ π‘Ž = (𝐡 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
906 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡 β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = (𝐡 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
907906eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
908907ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) ∧ 𝐢 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ (𝐡 βˆ’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
909364ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
910 1cnd 11108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ 1 ∈ β„‚)
911550, 910subcld 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
912911, 547mulcld 11133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇) ∈ β„‚)
913912adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇) ∈ β„‚)
914909, 913pncand 11471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝑏)
9159143adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝑏)
916915adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) ∧ 𝐢 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝑏)
917905, 908, 9163eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) ∧ 𝐢 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ π‘Ž = 𝑏)
918883, 917sylan2b 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) ∧ Β¬ 𝐢 β‰  (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ π‘Ž = 𝑏)
919309, 358ltned 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (πœ“ β†’ π‘Ž β‰  𝑏)
920919neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (πœ“ β†’ Β¬ π‘Ž = 𝑏)
9219203ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘Ž = 𝑏)
922921ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) ∧ Β¬ 𝐢 β‰  (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ Β¬ π‘Ž = 𝑏)
923918, 922condan 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ 𝐢 β‰  (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))
924872, 874, 882, 923leneltd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢)
925871, 924sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢)
926267ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ“ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢) β†’ πœ‘)
927 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ“ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
928926, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ“ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ 𝐴)
929 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ“ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢)
930 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
931654anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ↔ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴)))
932 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) β†’ (𝑐 < 𝐢 ↔ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢))
933931, 9323anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐢) ↔ (πœ‘ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢)))
934 oveq2 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑐) = (𝐢 βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
935934breq2d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) β†’ (𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ 𝑐) ↔ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))))
936933, 935imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑐 = (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐢) β†’ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ 𝑐)) ↔ ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢) β†’ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))))
937 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ 𝐴)
938403anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑑 = 𝐢 β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴)))
939 breq2 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑑 = 𝐢 β†’ (𝑐 < 𝑑 ↔ 𝑐 < 𝐢))
940938, 9393anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑑 = 𝐢 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐢)))
941 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑑 = 𝐢 β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑐) = (𝐢 βˆ’ 𝑐))
942941breq2d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑑 = 𝐢 β†’ (𝐸 ≀ (𝑑 βˆ’ 𝑐) ↔ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ 𝑐)))
943940, 942imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑑 = 𝐢 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) β†’ 𝐸 ≀ (𝑑 βˆ’ 𝑐)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐢) β†’ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ 𝑐))))
944943, 515vtoclg 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐢 ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐢) β†’ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ 𝑐)))
945937, 944mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐢) β†’ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ 𝑐))
946936, 945vtoclg 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢) β†’ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)))))
947930, 946mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢) β†’ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
948926, 927, 928, 929, 947syl121anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((πœ“ ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢) β†’ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
949948adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢) β†’ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
9509493adantl2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢) β†’ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
951950adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢) β†’ 𝐸 ≀ (𝐢 βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
952892adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
953599sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
954953recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ β„‚)
955952, 954npcand 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ ((𝐢 βˆ’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) = 𝐢)
956955eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 = ((𝐢 βˆ’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))))
957956oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = (((𝐢 βˆ’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
958957adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝐢 βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = (((𝐢 βˆ’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
9599583adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝐢 βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = (((𝐢 βˆ’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
960959adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ (𝐢 βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = (((𝐢 βˆ’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
961 oveq2 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡 β†’ (𝐢 βˆ’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) = (𝐢 βˆ’ 𝐡))
962961oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡 β†’ ((𝐢 βˆ’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) = ((𝐢 βˆ’ 𝐡) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))))
963962oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡 β†’ (((𝐢 βˆ’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = (((𝐢 βˆ’ 𝐡) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
964963adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ (((𝐢 βˆ’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = (((𝐢 βˆ’ 𝐡) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
965278eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐢 βˆ’ 𝐡) = 𝑇
966965oveq1i 7361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐢 βˆ’ 𝐡) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) = (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
967966a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝐡) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) = (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))))
968318adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
969968, 954addcomd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) + 𝑇))
970967, 969eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝐡) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) + 𝑇))
971970oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (((𝐢 βˆ’ 𝐡) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) + 𝑇) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
972971adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝐢 βˆ’ 𝐡) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) + 𝑇) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
9739723adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝐢 βˆ’ 𝐡) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) + 𝑇) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
974973adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ (((𝐢 βˆ’ 𝐡) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) + 𝑇) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
975954adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ β„‚)
9769753adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ β„‚)
977976adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ β„‚)
9783183ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
979978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
980618adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
981980recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ β„‚)
9829813adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ β„‚)
983982adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ β„‚)
984977, 979, 983addsubd 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) + 𝑇) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇))
985974, 984eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ (((𝐢 βˆ’ 𝐡) + (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇))
986960, 964, 9853eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ (𝐢 βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇))
987986adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢) β†’ (𝐢 βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇))
988951, 987breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) ∧ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) < 𝐢) β†’ 𝐸 ≀ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇))
989925, 988mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ 𝐸 ≀ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇))
990 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ Β¬ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ πœ“)
991 simpl3r 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ Β¬ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
992 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ Β¬ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ Β¬ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡)
9932683ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
9949533adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
995272sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ (𝐡[,]𝐢))
996268adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
997270adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
998 elicc2 13283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ (𝐡[,]𝐢) ↔ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ≀ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ≀ 𝐢)))
999996, 997, 998syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ (𝐡[,]𝐢) ↔ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ≀ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ≀ 𝐢)))
1000995, 999mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ≀ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ≀ 𝐢))
10011000simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ≀ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
100210013adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ 𝐡 ≀ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
1003 neqne 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (Β¬ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡 β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) β‰  𝐡)
100410033ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) β‰  𝐡)
1005993, 994, 1002, 1004leneltd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ“ ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
1006990, 991, 992, 1005syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ Β¬ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
10073903ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
10081007adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
1009953adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
101010093adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
10112683ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
10121010, 1011resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
10131012adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
10141009, 980resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ∈ ℝ)
1015293adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
10161014, 1015readdcld 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ)
101710163adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ)
10181017adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) β†’ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ)
1019267adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) β†’ πœ‘)
102010193ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) β†’ πœ‘)
10211020, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
1022 simpl3r 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
1023 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) β†’ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
1024 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)
1025 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↔ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
10261025anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) β†’ ((𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ↔ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
1027 breq2 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) β†’ (𝐡 < 𝑑 ↔ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))))
10281026, 10273anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < 𝑑) ↔ (πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))))
1029 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝐡) = ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡))
10301029breq2d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) β†’ (𝐸 ≀ (𝑑 βˆ’ 𝐡) ↔ 𝐸 ≀ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡)))
10311028, 1030imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < 𝑑) β†’ 𝐸 ≀ (𝑑 βˆ’ 𝐡)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡))))
10321031, 517vtoclg 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡)))
10331024, 1032mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡))
10341020, 1021, 1022, 1023, 1033syl121anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡))
1035268adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1036980, 1035resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
1037965, 1015eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
1038270adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
1039880adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ 𝐢)
1040980, 1038, 1035, 1039lesub1dd 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐡))
10411036, 1037, 1014, 1040leadd2dd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡)) ≀ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + (𝐢 βˆ’ 𝐡)))
1042975, 981npcand 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)))
10431042eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
10441043oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡) = ((((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) βˆ’ 𝐡))
10451014recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ∈ β„‚)
1046891adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
10471045, 981, 1046addsubassd 11490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) βˆ’ 𝐡) = (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡)))
10481044, 1047eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡) = (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡)))
1049278oveq2i 7362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇) = (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + (𝐢 βˆ’ 𝐡))
10501049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇) = (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + (𝐢 βˆ’ 𝐡)))
10511041, 1048, 10503brtr4d 5135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ“ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡) ≀ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇))
105210513adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡) ≀ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇))
10531052adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) β†’ ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ 𝐡) ≀ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇))
10541008, 1013, 1018, 1034, 1053letrd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐡 < (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇))
10551006, 1054syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ Β¬ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) = 𝐡) β†’ 𝐸 ≀ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇))
1056989, 1055pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€ ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇))
1057858, 859, 869, 1056syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝐸 ≀ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇))
1058720eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) β†’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) = (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
10591058adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) = (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)))
1060862oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
10611060adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))))
1062 oveq2 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1) β†’ (𝑗 βˆ’ π‘˜) = (𝑗 βˆ’ (𝑗 βˆ’ 1)))
10631062oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1) β†’ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) = ((𝑗 βˆ’ (𝑗 βˆ’ 1)) Β· 𝑇))
10641063adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) = ((𝑗 βˆ’ (𝑗 βˆ’ 1)) Β· 𝑇))
1065 1cnd 11108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 1 ∈ β„‚)
1066335, 1065nncand 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ β„€ β†’ (𝑗 βˆ’ (𝑗 βˆ’ 1)) = 1)
10671066oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 ∈ β„€ β†’ ((𝑗 βˆ’ (𝑗 βˆ’ 1)) Β· 𝑇) = (1 Β· 𝑇))
10681067ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑗 βˆ’ (𝑗 βˆ’ 1)) Β· 𝑇) = (1 Β· 𝑇))
1069319ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (1 Β· 𝑇) = 𝑇)
10701064, 1068, 10693eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇) = 𝑇)
10711061, 1070oveq12d 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ“ ∧ 𝑗 ∈ β„€) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇))
10721071adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + ((𝑗 βˆ’ π‘˜) Β· 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇))
10731059, 1072eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€)) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇) = (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
107410733adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (((𝑏 + ((𝑗 βˆ’ 1) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) + 𝑇) = (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
10751057, 1074breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ = (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝐸 ≀ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
1076839, 857, 1075syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < 𝑗) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) ∧ Β¬ π‘˜ < (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ 𝐸 ≀ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
1077838, 1076pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ < 𝑗) ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) < (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
1078724, 776, 732, 1077syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) ∧ Β¬ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ≀ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇))) β†’ 𝐸 ≀ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
1079723, 1078pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝐸 ≀ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
1080387, 1079mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
1081309, 302, 358ltled 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ“ β†’ π‘Ž ≀ 𝑏)
1082309, 302, 1081abssuble0d 15277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ“ β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = (𝑏 βˆ’ π‘Ž))
10831082eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ“ β†’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) = (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
108410833ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑏 βˆ’ π‘Ž) = (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
10851080, 1084breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ“ ∧ (𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) ∧ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
108610853exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ“ β†’ ((𝑗 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))))
10871086rexlimdvv 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ“ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏))))
1088264, 1087mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ“ β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
1089263, 1088sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)))
1090262, 1089chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑏)))
1091249, 1090chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
1092229, 235, 236, 1091syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
1093 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧) ∧ Β¬ 𝑦 < 𝑧) β†’ Β¬ 𝑦 < 𝑧)
1094 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧) ∧ Β¬ 𝑦 < 𝑧) β†’ 𝑦 β‰  𝑧)
1095 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧) ∧ Β¬ 𝑦 < 𝑧) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
1096 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧) ∧ Β¬ 𝑦 < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
10971095, 1096lttri2d 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧) ∧ Β¬ 𝑦 < 𝑧) β†’ (𝑦 β‰  𝑧 ↔ (𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦)))
10981094, 1097mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧) ∧ Β¬ 𝑦 < 𝑧) β†’ (𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦))
10991098ord 862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧) ∧ Β¬ 𝑦 < 𝑧) β†’ (Β¬ 𝑦 < 𝑧 β†’ 𝑧 < 𝑦))
11001093, 1099mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧) ∧ Β¬ 𝑦 < 𝑧) β†’ 𝑧 < 𝑦)
11011100adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) ∧ Β¬ 𝑦 < 𝑧) β†’ 𝑧 < 𝑦)
11021101adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ Β¬ 𝑦 < 𝑧) β†’ 𝑧 < 𝑦)
1103 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) β†’ πœ‘)
1104 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
1105 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
1106 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) β†’ 𝑧 < 𝑦)
11071104, 1105, 11063jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))
11081107adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 < 𝑦) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))
11091108adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))
1110 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 Β· 𝑇) = (𝑖 Β· 𝑇))
11111110oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑦 + (𝑖 Β· 𝑇)))
11121111eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑖 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
11131112anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 𝑖 β†’ (((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑖 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
1114 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘˜ Β· 𝑇) = (𝑙 Β· 𝑇))
11151114oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)))
11161115eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
11171116anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (((𝑦 + (𝑖 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑖 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11181113, 1117cbvrex2vw 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑖 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
1119 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖 Β· 𝑇) = (π‘˜ Β· 𝑇))
11201119oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑦 + (𝑖 Β· 𝑇)) = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)))
11211120eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((𝑦 + (𝑖 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
11221121anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = π‘˜ β†’ (((𝑦 + (𝑖 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
1123 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑙 = 𝑗 β†’ (𝑙 Β· 𝑇) = (𝑗 Β· 𝑇))
11241123oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑙 = 𝑗 β†’ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) = (𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)))
11251124eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑙 = 𝑗 β†’ ((𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
11261125anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑙 = 𝑗 β†’ (((𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11271122, 1126cbvrex2vw 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑖 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘— ∈ β„€ ((𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
1128 rexcom 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ βˆƒπ‘— ∈ β„€ ((𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
1129 ancom 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
113011292rexbii 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
11311127, 1128, 11303bitri 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βˆƒπ‘– ∈ β„€ βˆƒπ‘™ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑖 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
11321118, 1131sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
11331132ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
1134 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑦 β†’ (𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
1135 breq2 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑦 β†’ (𝑧 < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑦))
11361134, 11353anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑦 β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)))
11371136anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))))
1138 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 = 𝑦 β†’ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)))
11391138eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑦 β†’ ((𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
11401139anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑦 β†’ (((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
114111402rexbidv 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11421137, 1141anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))))
1143 oveq2 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑦 β†’ (𝑧 βˆ’ 𝑏) = (𝑧 βˆ’ 𝑦))
11441143fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑏)) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)))
11451144breq2d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 β†’ (𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑏)) ↔ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦))))
11461142, 1145imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑦 β†’ ((((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑏))) ↔ (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)))))
1147 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘Ž = 𝑧 β†’ (π‘Ž ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ))
1148 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘Ž = 𝑧 β†’ (π‘Ž < 𝑏 ↔ 𝑧 < 𝑏))
11491147, 11483anbi13d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘Ž = 𝑧 β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑏) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)))
11501149anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘Ž = 𝑧 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑏)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏))))
1151 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘Ž = 𝑧 β†’ (π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) = (𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)))
11521151eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘Ž = 𝑧 β†’ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))
11531152anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘Ž = 𝑧 β†’ (((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
115411532rexbidv 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘Ž = 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11551150, 1154anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘Ž = 𝑧 β†’ (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴))))
1156 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘Ž = 𝑧 β†’ (π‘Ž βˆ’ 𝑏) = (𝑧 βˆ’ 𝑏))
11571156fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘Ž = 𝑧 β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑏)))
11581157breq2d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘Ž = 𝑧 β†’ (𝐸 ≀ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏)) ↔ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑏))))
11591155, 1158imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž = 𝑧 β†’ ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((π‘Ž + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑏))) ↔ (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑏)))))
11601159, 1089chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑏)))
11611146, 1160chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑧 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)))
11621103, 1109, 1133, 1161syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)))
1163 recn 11099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ℝ β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
11641163adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
1165 recn 11099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
11661165adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
11671164, 1166abssubd 15298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
11681167adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
11691168ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝑦)) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
11701162, 1169breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
11711170ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑧 < 𝑦 β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))))
117211713adantlr3 43156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ (𝑧 < 𝑦 β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))))
11731172adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ Β¬ 𝑦 < 𝑧) β†’ (𝑧 < 𝑦 β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧))))
11741102, 1173mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ Β¬ 𝑦 < 𝑧) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
11751092, 1174pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((𝑦 + (𝑗 Β· 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ 𝐴)) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
1176196, 204, 228, 1175syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 β‰  𝑧) β†’ 𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)))
1177389ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 β‰  𝑧) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
1178198, 201resubcld 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ)
11791178recnd 11141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚)
11801179abscld 15281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) ∈ ℝ)
11811180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 β‰  𝑧) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) ∈ ℝ)
11821177, 1181lenltd 11259 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 β‰  𝑧) β†’ (𝐸 ≀ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) ↔ Β¬ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 𝐸))
11831176, 1182mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 β‰  𝑧) β†’ Β¬ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 𝐸)
1184 nan 828 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) β†’ Β¬ (𝑦 β‰  𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 𝐸)) ↔ (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑦 β‰  𝑧) β†’ Β¬ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 𝐸))
11851183, 1184mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ∈ 𝐻)) β†’ Β¬ (𝑦 β‰  𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 𝐸))
11861185ralrimivva 3195 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 Β¬ (𝑦 β‰  𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 𝐸))
1187 ralnex2 3128 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 Β¬ (𝑦 β‰  𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 𝐸) ↔ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐻 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐻 (𝑦 β‰  𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 𝐸))
11881186, 1187sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐻 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐻 (𝑦 β‰  𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 𝐸))
11891188ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π»)) β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐻 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐻 (𝑦 β‰  𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑧)) < 𝐸))
1190195, 1189pm2.65da 815 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π»))
11911190intnanrd 490 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾) β†’ Β¬ (π‘₯ ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π») ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)))
1192 elin 3924 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (((limPtβ€˜π½)β€˜π») ∩ (𝑋[,]π‘Œ)) ↔ (π‘₯ ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π») ∧ π‘₯ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)))
11931191, 1192sylnibr 328 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (((limPtβ€˜π½)β€˜π») ∩ (𝑋[,]π‘Œ)))
119413a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
119514adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
119611adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾) β†’ 𝐻 βŠ† (𝑋[,]π‘Œ))
119717, 4restlp 22486 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ ∧ 𝐻 βŠ† (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ ((limPtβ€˜πΎ)β€˜π») = (((limPtβ€˜π½)β€˜π») ∩ (𝑋[,]π‘Œ)))
11981194, 1195, 1196, 1197syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾) β†’ ((limPtβ€˜πΎ)β€˜π») = (((limPtβ€˜π½)β€˜π») ∩ (𝑋[,]π‘Œ)))
11991193, 1198neleqtrrd 2860 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((limPtβ€˜πΎ)β€˜π»))
12001199nrexdv 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾π‘₯ ∈ ((limPtβ€˜πΎ)β€˜π»))
12011200adantr 481 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐻 ∈ Fin) β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ βˆͺ 𝐾π‘₯ ∈ ((limPtβ€˜πΎ)β€˜π»))
120228, 1201condan 816 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3405  Vcvv 3443   βˆ– cdif 3905   ∩ cin 3907   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280  βŸ¨cop 4590  βˆͺ cuni 4863   class class class wbr 5103   I cid 5528   Or wor 5542   Γ— cxp 5629  dom cdm 5631  ran crn 5632   β†Ύ cres 5633   ∘ ccom 5635  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  βŸΆwf 6489  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7351  Fincfn 8841  infcinf 9335  β„‚cc 11007  β„cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   Β· cmul 11014   < clt 11147   ≀ cle 11148   βˆ’ cmin 11343   / cdiv 11770  β„€cz 12457  β„+crp 12869  (,)cioo 13218  [,]cicc 13221  abscabs 15079   β†Ύt crest 17262  topGenctg 17279  Topctop 22194  limPtclp 22437  Compccmp 22689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-icc 13225  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-rest 17264  df-topgen 17285  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-top 22195  df-topon 22212  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-nei 22401  df-lp 22439  df-cmp 22690
This theorem is referenced by:  fourierdlem54  44302
  Copyright terms: Public domain W3C validator