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Theorem fourierdlem42 46164
Description: The set of points in a moved partition are finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem42.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem42.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem42.bc (𝜑𝐵 < 𝐶)
fourierdlem42.t 𝑇 = (𝐶𝐵)
fourierdlem42.a (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
fourierdlem42.af (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem42.ba (𝜑𝐵𝐴)
fourierdlem42.ca (𝜑𝐶𝐴)
fourierdlem42.d 𝐷 = (abs ∘ − )
fourierdlem42.i 𝐼 = ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )
fourierdlem42.r 𝑅 = ran (𝐷𝐼)
fourierdlem42.e 𝐸 = inf(𝑅, ℝ, < )
fourierdlem42.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem42.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem42.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
fourierdlem42.k 𝐾 = (𝐽t (𝑋[,]𝑌))
fourierdlem42.h 𝐻 = {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴}
fourierdlem42.15 (𝜓 ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem42 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝐸,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘   𝐻,𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐼   𝐽,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝑅   𝑇,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑎,𝑏,𝑥   𝜓,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝜓(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑗,𝑘)   𝐼(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐽(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐾(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem42
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑖 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem42.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2 fourierdlem42.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 fourierdlem42.j . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
4 fourierdlem42.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽t (𝑋[,]𝑌))
53, 4icccmp 24847 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ Comp)
61, 2, 5syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Comp)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ Comp)
8 fourierdlem42.h . . . . . 6 𝐻 = {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴}
9 ssrab2 4080 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ⊆ (𝑋[,]𝑌)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ⊆ (𝑋[,]𝑌))
118, 10eqsstrid 4022 . . . . 5 (𝜑𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌))
12 retop 24782 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
133, 12eqeltri 2837 . . . . . . 7 𝐽 ∈ Top
141, 2iccssred 13474 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
15 uniretop 24783 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
163unieqi 4919 . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1715, 16eqtr4i 2768 . . . . . . . 8 ℝ = 𝐽
1817restuni 23170 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) = (𝐽t (𝑋[,]𝑌)))
1913, 14, 18sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) = (𝐽t (𝑋[,]𝑌)))
204unieqi 4919 . . . . . . 7 𝐾 = (𝐽t (𝑋[,]𝑌))
2120eqcomi 2746 . . . . . 6 (𝐽t (𝑋[,]𝑌)) = 𝐾
2219, 21eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) = 𝐾)
2311, 22sseqtrd 4020 . . . 4 (𝜑𝐻 𝐾)
2423adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → 𝐻 𝐾)
25 simpr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ¬ 𝐻 ∈ Fin)
26 eqid 2737 . . . 4 𝐾 = 𝐾
2726bwth 23418 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐻 𝐾 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
287, 24, 25, 27syl3anc 1373 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
2911, 14sstrd 3994 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
3029ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → 𝐻 ⊆ ℝ)
31 ne0i 4341 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) → ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ≠ ∅)
3231adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ≠ ∅)
33 fourierdlem42.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = inf(𝑅, ℝ, < )
34 fourierdlem42.r . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = ran (𝐷𝐼)
35 absf 15376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 abs:ℂ⟶ℝ
36 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs Fn ℂ
38 subf 11510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
39 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 − Fn (ℂ × ℂ)
41 frn 6743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → ran − ⊆ ℂ)
4238, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran − ⊆ ℂ
43 fnco 6686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs Fn ℂ ∧ − Fn (ℂ × ℂ) ∧ ran − ⊆ ℂ) → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
4437, 40, 42, 43mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
45 fourierdlem42.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = (abs ∘ − )
4645fneq1i 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 Fn (ℂ × ℂ) ↔ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
4744, 46mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 Fn (ℂ × ℂ)
48 fourierdlem42.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 = ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )
49 fourierdlem42.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
50 fourierdlem42.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
51 fourierdlem42.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5250, 51iccssred 13474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
53 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ ℂ
5452, 53sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
5549, 54sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
56 xpss12 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℂ × ℂ))
5755, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℂ × ℂ))
5857ssdifssd 4147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ⊆ (ℂ × ℂ))
5948, 58eqsstrid 4022 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼 ⊆ (ℂ × ℂ))
60 fnssres 6691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 Fn (ℂ × ℂ) ∧ 𝐼 ⊆ (ℂ × ℂ)) → (𝐷𝐼) Fn 𝐼)
6147, 59, 60sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷𝐼) Fn 𝐼)
62 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐼 → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝐷𝑥))
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝐷𝑥))
6445fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷𝑥) = ((abs ∘ − )‘𝑥)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐷𝑥) = ((abs ∘ − )‘𝑥))
66 ffun 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − )
6738, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Fun −
6859sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ (ℂ × ℂ))
6938fdmi 6747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom − = (ℂ × ℂ)
7068, 69eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ dom − )
71 fvco 7007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun − ∧ 𝑥 ∈ dom − ) → ((abs ∘ − )‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥)))
7267, 70, 71sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ((abs ∘ − )‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥)))
7363, 65, 723eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥)))
7438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
7574, 68ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ( − ‘𝑥) ∈ ℂ)
7675abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → (abs‘( − ‘𝑥)) ∈ ℝ)
7773, 76eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ)
78 elxp2 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℂ × ℂ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩)
7968, 78sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → ∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩)
80 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( − ‘𝑥) = ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩))
81803ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ( − ‘𝑥) = ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩))
82 df-ov 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝑧) = ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩)
83 simp1l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → 𝜑)
84 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥𝐼𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩)
85 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥𝐼𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → 𝑥𝐼)
8684, 85eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥𝐼𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼)
8786adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼)
88873adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼)
8955adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝐴 ⊆ ℂ)
9048eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
91 eldif 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ↔ (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ∧ ¬ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I ))
9290, 91sylbb 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ∧ ¬ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I ))
9392simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
94 opelxp 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑦𝐴𝑧𝐴))
9593, 94sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
9796simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑦𝐴)
9889, 97sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ ℂ)
9996simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑧𝐴)
10089, 99sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ ℂ)
10192simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ¬ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I )
102 df-br 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 I 𝑧 ↔ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I )
103101, 102sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 I 𝑧)
104 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑧 ∈ V
105104ideq 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 I 𝑧𝑦 = 𝑧)
106103, 105sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 = 𝑧)
107106neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼𝑦𝑧)
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑦𝑧)
10998, 100, 108subne0d 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → (𝑦𝑧) ≠ 0)
11083, 88, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → (𝑦𝑧) ≠ 0)
11182, 110eqnetrrid 3016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩) ≠ 0)
11281, 111eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ( − ‘𝑥) ≠ 0)
1131123exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( − ‘𝑥) ≠ 0)))
114113rexlimdvv 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → (∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( − ‘𝑥) ≠ 0))
11579, 114mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ( − ‘𝑥) ≠ 0)
116 absgt0 15363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (( − ‘𝑥) ∈ ℂ → (( − ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘( − ‘𝑥))))
11775, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → (( − ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘( − ‘𝑥))))
118115, 117mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 < (abs‘( − ‘𝑥)))
11973eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → (abs‘( − ‘𝑥)) = ((𝐷𝐼)‘𝑥))
120118, 119breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 < ((𝐷𝐼)‘𝑥))
12177, 120elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+)
122121ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+)
123 fnfvrnss 7141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐼) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+) → ran (𝐷𝐼) ⊆ ℝ+)
12461, 122, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran (𝐷𝐼) ⊆ ℝ+)
12534, 124eqsstrid 4022 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ+)
126 ltso 11341 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → < Or ℝ)
128 fourierdlem42.af . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
129 xpfi 9358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ∈ Fin)
130128, 128, 129syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 × 𝐴) ∈ Fin)
131 diffi 9215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 × 𝐴) ∈ Fin → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ∈ Fin)
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ∈ Fin)
13348, 132eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
134 fnfi 9218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷𝐼) Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (𝐷𝐼) ∈ Fin)
13561, 133, 134syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ Fin)
136 rnfi 9380 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷𝐼) ∈ Fin → ran (𝐷𝐼) ∈ Fin)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ran (𝐷𝐼) ∈ Fin)
13834, 137eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
13934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 = ran (𝐷𝐼))
14045a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 = (abs ∘ − ))
141140reseq1d 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷𝐼) = ((abs ∘ − ) ↾ 𝐼))
142141fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
143 fourierdlem42.ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵𝐴)
144 fourierdlem42.ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶𝐴)
145 opelxp 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐶𝐴))
146143, 144, 145sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
147 fourierdlem42.bc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐵 < 𝐶)
14850, 147ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵𝐶)
149148neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶)
150 ideqg 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐶𝐴 → (𝐵 I 𝐶𝐵 = 𝐶))
151144, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐵 I 𝐶𝐵 = 𝐶))
152149, 151mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ¬ 𝐵 I 𝐶)
153 df-br 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 I 𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ I )
154152, 153sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ I )
155146, 154eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
156155, 48eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐼)
157 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐼 → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
15950recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
16051recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
161 opelxp 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (ℂ × ℂ) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
162159, 160, 161sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
163162, 69eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ dom − )
164 fvco 7007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun − ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ dom − ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)))
16567, 163, 164sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)))
166 df-ov 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵𝐶) = ( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)
167166eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (𝐵𝐶)
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (𝐵𝐶))
169168fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)) = (abs‘(𝐵𝐶)))
170165, 169eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (abs‘(𝐵𝐶)))
171142, 158, 1703eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) = ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
172 fnfvelrn 7100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷𝐼) Fn 𝐼 ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐼) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) ∈ ran (𝐷𝐼))
17361, 156, 172syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) ∈ ran (𝐷𝐼))
174171, 173eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ran (𝐷𝐼))
175 ne0i 4341 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ran (𝐷𝐼) → ran (𝐷𝐼) ≠ ∅)
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ran (𝐷𝐼) ≠ ∅)
177139, 176eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
178 resss 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷𝐼) ⊆ 𝐷
179 rnss 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷𝐼) ⊆ 𝐷 → ran (𝐷𝐼) ⊆ ran 𝐷)
180178, 179ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝐷𝐼) ⊆ ran 𝐷
18145rneqi 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran 𝐷 = ran (abs ∘ − )
182 rncoss 5986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran (abs ∘ − ) ⊆ ran abs
183 frn 6743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs:ℂ⟶ℝ → ran abs ⊆ ℝ)
18435, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran abs ⊆ ℝ
185182, 184sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran (abs ∘ − ) ⊆ ℝ
186181, 185eqsstri 4030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran 𝐷 ⊆ ℝ
187180, 186sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝐷𝐼) ⊆ ℝ
18834, 187eqsstri 4030 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 ⊆ ℝ
189188a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
190 fiinfcl 9541 . . . . . . . . . . . . 13 (( < Or ℝ ∧ (𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ⊆ ℝ)) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
191127, 138, 177, 189, 190syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
192125, 191sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
19333, 192eqeltrid 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
194193ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
1953, 30, 32, 194lptre2pt 45655 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
196 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝜑)
19729sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐻) → 𝑦 ∈ ℝ)
198197adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → 𝑦 ∈ ℝ)
199198adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
20029sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐻) → 𝑧 ∈ ℝ)
201200adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → 𝑧 ∈ ℝ)
202201adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
203 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑧)
204199, 202, 2033jca 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧))
2058eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐻𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴})
206 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
207206eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
208207rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
209 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
210209oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)))
211210eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
212211cbvrexvw 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
213208, 212bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
214213elrab 3692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
215205, 214sylbb 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐻 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
216215simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐻 → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
217216adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
2188eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐻𝑧 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴})
219 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)))
220219eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
221220rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
222221elrab 3692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
223218, 222sylbb 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝐻 → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
224223simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐻 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
225224adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
226 reeanv 3229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
227217, 225, 226sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
228227ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
229 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝜑)
230 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
231 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
232 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 < 𝑧)
233230, 231, 2323jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
234233adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
235234adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
236 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
237 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑧 → (𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ))
238 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑏𝑦 < 𝑧))
239237, 2383anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)))
240239anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))))
241 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑧 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)))
242241eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑧 → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
243242anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑧 → (((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
2442432rexbidv 3222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
245240, 244anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
246 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑧 → (𝑦𝑏) = (𝑦𝑧))
247246fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑧 → (abs‘(𝑦𝑏)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
248247breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑧 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
249245, 248imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))))
250 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
251 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 < 𝑏𝑦 < 𝑏))
252250, 2513anbi13d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)))
253252anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏))))
254 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)))
255254eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
256255anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
2572562rexbidv 3222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
258253, 257anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
259 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑏) = (𝑦𝑏))
260259fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑦 → (abs‘(𝑎𝑏)) = (abs‘(𝑦𝑏)))
261260breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑦 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏))))
262258, 261imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑦 → ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏)))))
263 fourierdlem42.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜓 ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
264263simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜓 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
265263biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
266265simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)))
267266simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓𝜑)
268267, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜓𝐵 ∈ ℝ)
269268adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
270267, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜓𝐶 ∈ ℝ)
271270adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
272267, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
273272sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
274273adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
275272sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
276275adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
277269, 271, 274, 276iccsuble 45532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (𝐶𝐵))
278 fourierdlem42.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑇 = (𝐶𝐵)
279277, 278breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
2802793adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
281280adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
282 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ¬ 𝑘𝑗)
283 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
284283adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
285284ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
286 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
287286adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
288287ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
289285, 288ltnled 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → (𝑗 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑗))
290282, 289mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → 𝑗 < 𝑘)
29151, 50resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
292278, 291eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
293267, 292syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜓𝑇 ∈ ℝ)
294293ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ∈ ℝ)
295287adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℝ)
296284adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℝ)
297295, 296resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘𝑗) ∈ ℝ)
298293adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℝ)
299297, 298remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) ∈ ℝ)
300299adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) ∈ ℝ)
301266simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓 → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏))
302301simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑏 ∈ ℝ)
303302adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
304286adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
305293adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
306304, 305remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
307306adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
308303, 307readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
309301simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑎 ∈ ℝ)
310309adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
311283adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
312293adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
313311, 312remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ)
314313adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ)
315310, 314readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
316308, 315resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
317316adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
318293recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑇 ∈ ℂ)
319318mullidd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → (1 · 𝑇) = 𝑇)
320319eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓𝑇 = (1 · 𝑇))
321320ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 = (1 · 𝑇))
322 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑗 < 𝑘)
323 zltlem1 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 < 𝑘𝑗 ≤ (𝑘 − 1)))
324323ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑗 < 𝑘𝑗 ≤ (𝑘 − 1)))
325322, 324mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑗 ≤ (𝑘 − 1))
326284ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
327 peano2rem 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
328295, 327syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
329328adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
330 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 ∈ ℝ
331 resubcl 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (1 − 𝑗) ∈ ℝ)
332330, 326, 331sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (1 − 𝑗) ∈ ℝ)
333 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 𝑗 ≤ (𝑘 − 1))
334326, 329, 332, 333leadd1dd 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) ≤ ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)))
335 zcn 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
336335adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ)
337 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
338336, 337pncan3d 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) = 1)
339338ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) = 1)
340 zcn 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
341340adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
342341, 337, 336npncand 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)) = (𝑘𝑗))
343342ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)) = (𝑘𝑗))
344334, 339, 3433brtr3d 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 1 ≤ (𝑘𝑗))
345325, 344syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 1 ≤ (𝑘𝑗))
346330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 1 ∈ ℝ)
347297adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑘𝑗) ∈ ℝ)
34850, 51posdifd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ 0 < (𝐶𝐵)))
349147, 348mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → 0 < (𝐶𝐵))
350349, 278breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → 0 < 𝑇)
351292, 350elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
352267, 351syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑇 ∈ ℝ+)
353352ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ∈ ℝ+)
354346, 347, 353lemul1d 13120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (1 ≤ (𝑘𝑗) ↔ (1 · 𝑇) ≤ ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
355345, 354mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (1 · 𝑇) ≤ ((𝑘𝑗) · 𝑇))
356321, 355eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ≤ ((𝑘𝑗) · 𝑇))
357302, 309resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓 → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
358301simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜓𝑎 < 𝑏)
359309, 302posdifd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜓 → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏𝑎)))
360358, 359mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓 → 0 < (𝑏𝑎))
361357, 360elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → (𝑏𝑎) ∈ ℝ+)
362361adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ+)
363299, 362ltaddrp2d 13111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) < ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
364302recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓𝑏 ∈ ℂ)
365364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
366306recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
367366adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
368309recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓𝑎 ∈ ℂ)
369368adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
370313recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℂ)
371370adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℂ)
372365, 367, 369, 371addsub4d 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))))
373340ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
374335ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℂ)
375318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℂ)
376373, 374, 375subdird 11720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) = ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
377376eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑘𝑗) · 𝑇))
378377oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
379372, 378eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
380363, 379breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
381380adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
382294, 300, 317, 356, 381lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
383294, 317ltnled 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑇 < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ↔ ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇))
384382, 383mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
385290, 384syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
3863853adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
387281, 386condan 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘𝑗)
388188, 191sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
38933, 388eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
390267, 389syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓𝐸 ∈ ℝ)
3913903ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ)
392391ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ)
3932933ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ)
394393ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
395284, 287resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
396395adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
397396, 298remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
3983973adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
399398ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
400 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑𝜑)
401143, 144jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐶𝐴))
402400, 401, 1473jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶))
403 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑑 = 𝐶 → (𝑑𝐴𝐶𝐴))
404403anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = 𝐶 → ((𝐵𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐶𝐴)))
405 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = 𝐶 → (𝐵 < 𝑑𝐵 < 𝐶))
406404, 4053anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶)))
407 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = 𝐶 → (𝑑𝐵) = (𝐶𝐵))
408407breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = 𝐶 → (𝐸 ≤ (𝑑𝐵) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶𝐵)))
409406, 408imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑑 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝐵))))
410 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐵𝐴)
411 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = 𝐵 → (𝑐𝐴𝐵𝐴))
412411anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = 𝐵 → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝑑𝐴)))
413 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = 𝐵 → (𝑐 < 𝑑𝐵 < 𝑑))
414412, 4133anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑐 = 𝐵 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑)))
415 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = 𝐵 → (𝑑𝑐) = (𝑑𝐵))
416415breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑐 = 𝐵 → (𝐸 ≤ (𝑑𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)))
417414, 416imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑐 = 𝐵 → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵))))
418188a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑅 ⊆ ℝ)
419 0re 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 0 ∈ ℝ
42034eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑦𝑅𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼))
421420biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑦𝑅𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼))
422421adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑦𝑅) → 𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼))
42361adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑𝑦𝑅) → (𝐷𝐼) Fn 𝐼)
424 fvelrnb 6969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝐷𝐼) Fn 𝐼 → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦))
425423, 424syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑦𝑅) → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦))
426422, 425mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑𝑦𝑅) → ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦)
427121rpge0d 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ≤ ((𝐷𝐼)‘𝑥))
4284273adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑𝑥𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → 0 ≤ ((𝐷𝐼)‘𝑥))
429 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑𝑥𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦)
430428, 429breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑𝑥𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → 0 ≤ 𝑦)
4314303exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝜑 → (𝑥𝐼 → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦)))
432431adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑦𝑅) → (𝑥𝐼 → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦)))
433432rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑𝑦𝑅) → (∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦))
434426, 433mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑦𝑅) → 0 ≤ 𝑦)
435434ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝜑 → ∀𝑦𝑅 0 ≤ 𝑦)
436 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
437436ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑥 = 0 → (∀𝑦𝑅 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝑅 0 ≤ 𝑦))
438437rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑅 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦)
439419, 435, 438sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦)
4404393ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦)
441 pm3.22 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑐𝐴𝑑𝐴) → (𝑑𝐴𝑐𝐴))
442 opelxp 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑑𝐴𝑐𝐴))
443441, 442sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑐𝐴𝑑𝐴) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
4444433ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
44549, 52sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
446445sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑐 ∈ ℝ)
447446adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → 𝑐 ∈ ℝ)
4484473adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 ∈ ℝ)
449 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 < 𝑑)
450448, 449gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑑𝑐)
451450neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ¬ 𝑑 = 𝑐)
452 df-br 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑑 I 𝑐 ↔ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I )
453 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 𝑐 ∈ V
454453ideq 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑑 I 𝑐𝑑 = 𝑐)
455452, 454bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I ↔ 𝑑 = 𝑐)
456451, 455sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ¬ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I )
457444, 456eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
458457, 48eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼)
459448, 449ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐𝑑)
4601413ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → (𝐷𝐼) = ((abs ∘ − ) ↾ 𝐼))
461460fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
4624433ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
463 necom 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (𝑐𝑑𝑑𝑐)
464463biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝑐𝑑𝑑𝑐)
465464neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑐𝑑 → ¬ 𝑑 = 𝑐)
4664653ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ¬ 𝑑 = 𝑐)
467466, 455sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ¬ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I )
468462, 467eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
469468, 48eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼)
470 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼 → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
471469, 470syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
472 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → 𝜑)
473472, 469jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → (𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼))
474 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (𝑥𝐼 ↔ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼))
475474anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → ((𝜑𝑥𝐼) ↔ (𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼)))
476 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (𝑥 ∈ dom − ↔ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − ))
477475, 476imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ dom − ) ↔ ((𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − )))
478477, 70vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼 → ((𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − ))
479469, 473, 478sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − )
480 fvco 7007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((Fun − ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)))
48167, 479, 480sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)))
482 df-ov 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑑𝑐) = ( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)
483482eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐)
484483fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (abs‘( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)) = (abs‘(𝑑𝑐))
485481, 484eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘(𝑑𝑐)))
486461, 471, 4853eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘(𝑑𝑐)))
487459, 486syld3an3 1411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘(𝑑𝑐)))
488445sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ∈ ℝ)
489488adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ)
4904893adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
491448, 490, 449ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐𝑑)
492448, 490, 491abssubge0d 15470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (abs‘(𝑑𝑐)) = (𝑑𝑐))
493487, 492eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐))
494 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
495494eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐) ↔ ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐)))
496495rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐)) → ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))
497458, 493, 496syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))
498489, 447resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → (𝑑𝑐) ∈ ℝ)
499 elex 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑑𝑐) ∈ ℝ → (𝑑𝑐) ∈ V)
500498, 499syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → (𝑑𝑐) ∈ V)
5015003adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑𝑐) ∈ V)
502 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝜑)
503 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑦 = (𝑑𝑐) → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ (𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼)))
504 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑦 = (𝑑𝑐) → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 ↔ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))
505504rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑦 = (𝑑𝑐) → (∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))
506503, 505bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑦 = (𝑑𝑐) → ((𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))))
507506imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑦 = (𝑑𝑐) → ((𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝜑 → ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))))
50861, 424syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦))
509507, 508vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑑𝑐) ∈ V → (𝜑 → ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))))
510501, 502, 509sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))
511497, 510mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼))
512511, 34eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑𝑐) ∈ 𝑅)
513 infrelb 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦 ∧ (𝑑𝑐) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑑𝑐))
514418, 440, 512, 513syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑑𝑐))
51533, 514eqbrtrid 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐))
516417, 515vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐵𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)))
517410, 516mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵))
518409, 517vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐶𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝐵)))
519144, 402, 518sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑𝐸 ≤ (𝐶𝐵))
520519, 278breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑𝐸𝑇)
521267, 520syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓𝐸𝑇)
5225213ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸𝑇)
523522ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸𝑇)
524364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
525524, 366pncan2d 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) = (𝑘 · 𝑇))
526525oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = ((𝑘 · 𝑇) / 𝑇))
527340adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
528318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ)
529419a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
530529, 350gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝜑𝑇 ≠ 0)
531267, 530syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝜓𝑇 ≠ 0)
532531adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ≠ 0)
533527, 528, 532divcan4d 12049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑇) / 𝑇) = 𝑘)
534526, 533eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
535534adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
536535adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
537 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏))
538537oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
539538adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
540368adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
541364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
542540, 370, 541addsubd 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑎𝑏) + (𝑗 · 𝑇)))
543540, 541subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑎𝑏) ∈ ℂ)
544543, 370addcomd 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)))
545542, 544eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)))
546545oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)) / 𝑇))
547318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ)
548531adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ≠ 0)
549370, 543, 547, 548divdird 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)) / 𝑇) = (((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
550335adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ)
551550, 547, 548divcan4d 12049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) = 𝑗)
552551oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
553546, 549, 5523eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
554553adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
555554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
556536, 539, 5553eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
557309, 302resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝜓 → (𝑎𝑏) ∈ ℝ)
558309, 302sublt0d 11889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝜓 → ((𝑎𝑏) < 0 ↔ 𝑎 < 𝑏))
559358, 558mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝜓 → (𝑎𝑏) < 0)
560557, 352, 559divlt0gt0d 45298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝜓 → ((𝑎𝑏) / 𝑇) < 0)
561560adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) / 𝑇) < 0)
562335subidd 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗𝑗) = 0)
563562eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑗 ∈ ℤ → 0 = (𝑗𝑗))
564563adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 0 = (𝑗𝑗))
565561, 564breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) / 𝑇) < (𝑗𝑗))
566557, 293, 531redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝜓 → ((𝑎𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
567566adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
568311, 567, 311ltaddsub2d 11864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗 ↔ ((𝑎𝑏) / 𝑇) < (𝑗𝑗)))
569565, 568mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
570569adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
571570adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
572556, 571eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
573320ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 = (1 · 𝑇))
574 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 < 𝑗)
575 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
576 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
577 zltp1le 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑗 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑗))
578575, 576, 577syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑘 < 𝑗 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑗))
579574, 578mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑗)
580286ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
581330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ∈ ℝ)
582283ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
583580, 581, 582leaddsub2d 11865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → ((𝑘 + 1) ≤ 𝑗 ↔ 1 ≤ (𝑗𝑘)))
584579, 583mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ≤ (𝑗𝑘))
585584adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ≤ (𝑗𝑘))
586330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ∈ ℝ)
587395ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
588352ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 ∈ ℝ+)
589586, 587, 588lemul1d 13120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (1 ≤ (𝑗𝑘) ↔ (1 · 𝑇) ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
590585, 589mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (1 · 𝑇) ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
591573, 590eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
592572, 591syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
593592adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
5945933adantll3 45047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
595392, 394, 399, 523, 594letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
596 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
597596oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
598597adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
599267, 445syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝜓𝐴 ⊆ ℝ)
600599sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
601600adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
602601recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
603602subidd 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) = 0)
604603oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
605604adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
606598, 605eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
6076063adantl2 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
608607adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
609374, 373subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗𝑘) ∈ ℂ)
610609, 375mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℂ)
611610addlidd 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗𝑘) · 𝑇))
6126113adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗𝑘) · 𝑇))
613612ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗𝑘) · 𝑇))
614608, 613eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
615595, 614breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
616615adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
617391ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ)
618599sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
619618adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
620601, 619resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
6216203adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
622621ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
623621, 398readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ)
624623ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ)
625267adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓𝑘𝑗) → 𝜑)
6266253ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → 𝜑)
627626ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝜑)
628 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
629628ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
630 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
631619ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
632601ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
633631, 632lenltd 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
634630, 633mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
635 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
636635notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
637636biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
638637adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
639 ioran 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ↔ (¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
640634, 638, 639sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
641632, 631leloed 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
642640, 641mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
6436423adantll2 45046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
644643adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
645619adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
6466453adantl2 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
647646ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
648601adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
6496483adantl2 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
650649ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
651647, 650ltnled 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
652644, 651mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
653 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
654 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐𝐴 ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
655654anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
656 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
657655, 6563anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
658 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
659658breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
660657, 659imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))))
661 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
662 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑑𝐴 ↔ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
663662anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
664 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑐 < 𝑑𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
665663, 6643anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
666 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑑𝑐) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))
667666breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝑑𝑐) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)))
668665, 667imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))))
669668, 515vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)))
670661, 669mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))
671660, 670vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
672653, 671mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
673627, 629, 652, 672syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
674395ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
675293ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑇 ∈ ℝ)
676 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
677283ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
678286ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
679677, 678subge0d 11853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → (0 ≤ (𝑗𝑘) ↔ 𝑘𝑗))
680676, 679mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ (𝑗𝑘))
681680adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ (𝑗𝑘))
682352rpge0d 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → 0 ≤ 𝑇)
683682ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ 𝑇)
684674, 675, 681, 683mulge0d 11840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
6856843adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
686621adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
687398adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
688686, 687addge01d 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (0 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇) ↔ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))))
689685, 688mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
690689ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
691617, 622, 624, 673, 690letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
692616, 691pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
693372, 378eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
694693oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
695365, 369subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏𝑎) ∈ ℂ)
696373, 374subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘𝑗) ∈ ℂ)
697696, 375mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) ∈ ℂ)
698695, 697, 610addassd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑏𝑎) + (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))))
699341, 336, 336, 341subadd4b 45294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) = ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)))
700699adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) = ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)))
701700oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) · 𝑇) = (((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) · 𝑇))
702696, 609, 375adddird 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) · 𝑇) = (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
703340subidd 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘𝑘) = 0)
704703adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘𝑘) = 0)
705562adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗𝑗) = 0)
706704, 705oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) = (0 + 0))
707 00id 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0 + 0) = 0
708706, 707eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) = 0)
709708oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) · 𝑇) = (0 · 𝑇))
710709adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) · 𝑇) = (0 · 𝑇))
711701, 702, 7103eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 · 𝑇))
712711oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)))
713318mul02d 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → (0 · 𝑇) = 0)
714713oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)) = ((𝑏𝑎) + 0))
715364, 368subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → (𝑏𝑎) ∈ ℂ)
716715addridd 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → ((𝑏𝑎) + 0) = (𝑏𝑎))
717714, 716eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓 → ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
718717adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
719712, 718eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))) = (𝑏𝑎))
720694, 698, 7193eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
7217203adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
722721ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
723692, 722breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
724 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
725 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
7266013adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
727726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7286193adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
729728adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
730727, 729ltnled 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
731725, 730mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
732731adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
7335353adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
734733adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
7356003adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7363023ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
737735, 736resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
7382933ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℝ)
7395313ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ≠ 0)
740737, 738, 739redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7417403adant3l 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7427413adant2l 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
743742adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7446183adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7453023ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
746744, 745resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
7472933ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℝ)
7485313ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ≠ 0)
749746, 747, 748redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7507493adant3r 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7517503adant2r 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
752751adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7532843ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑗 ∈ ℝ)
754753adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑗 ∈ ℝ)
755726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7563023ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ)
757756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑏 ∈ ℝ)
758755, 757resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
759728adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
760759, 757resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
7613523ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
762761adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
763601adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
764619adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
765302ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑏 ∈ ℝ)
766 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
767763, 764, 765, 766ltsub1dd 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) < ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏))
7687673adantl2 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) < ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏))
769758, 760, 762, 768ltdiv1dd 13134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
770554, 570eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
7717703adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
772771adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
773743, 752, 754, 769, 772lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
774734, 773eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
775774adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
776732, 775syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
777391adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ∈ ℝ)
778393adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
779623adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ)
780522adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸𝑇)
781 peano2rem 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
782753, 781syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
7832873ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ)
784782, 783resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) ∈ ℝ)
785784, 393remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
786785adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
787753adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
788330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
789787, 788resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
790286ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
7917903ad2antl2 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
792789, 791resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) ∈ ℝ)
793682adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 < (𝑗 − 1)) → 0 ≤ 𝑇)
7947933ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 0 ≤ 𝑇)
795283ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
796330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
797795, 796resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
798 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 < (𝑗 − 1))
799 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
800 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
801 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈ ℤ)
802800, 801zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
803 zltlem1 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑗 − 1) ↔ 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1)))
804799, 802, 803syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑘 < (𝑗 − 1) ↔ 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1)))
805798, 804mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1))
806790, 797, 796, 805lesubd 11867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ≤ ((𝑗 − 1) − 𝑘))
8078063ad2antl2 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ≤ ((𝑗 − 1) − 𝑘))
808778, 792, 794, 807lemulge12d 12206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ≤ (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇))
809336, 337, 341sub32d 11652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) = ((𝑗𝑘) − 1))
810809oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) − 1) · 𝑇))
811810adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) − 1) · 𝑇))
812 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 1 ∈ ℂ)
813609, 812, 375subdird 11720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗𝑘) − 1) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)))
814319oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝜓 → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
815814adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
816811, 813, 8153eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
8178163adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
818728, 726resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∈ ℝ)
819269, 271, 276, 274iccsuble 45532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ (𝐶𝐵))
820819, 278breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
8218203adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
822818, 393, 398, 821lesub2dd 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇) ≤ (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
823817, 822eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
8246103adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℂ)
825728recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
8266023adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
827824, 825, 826subsub2d 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) + ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
828621recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℂ)
829824, 828addcomd 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) + ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
830827, 829eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
831823, 830breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
832831adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
833778, 786, 779, 808, 832letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
834777, 778, 779, 780, 833letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
835721adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
836834, 835breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
837836adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
838837adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
839 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
840 simpll2 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
841 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 < 𝑗)
842 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1))
843581, 582, 580, 584lesubd 11867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ≤ (𝑗 − 1))
8448433adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝑗 − 1))
845 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1))
846284, 781syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
847846adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
848286ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
849847, 848lenltd 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 1) ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)))
850845, 849mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑘)
8518503adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑘)
8525803adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
8538463ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
854852, 853letri3d 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑘 = (𝑗 − 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑘)))
855844, 851, 854mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1))
856840, 841, 842, 855syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1))
857856adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1))
858 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝜓)
859 simpl2l 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
860 simpl3l 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
861 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 · 𝑇) = ((𝑗 − 1) · 𝑇))
862861oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
863862eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
864863adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
865 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
866864, 865eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
867866adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
8688673ad2antl3 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
869860, 868jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴))
870 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
8718703adant3r 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
872744adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
8732703ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
874873adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
875268adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
876270adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
877 elicc2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
878875, 876, 877syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
879275, 878mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶))
880879simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
8818803adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
882881adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
883 nne 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
884540, 370pncand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = 𝑎)
885884eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑎 = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)))
886885adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)))
887 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)))
888887eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)))
889888adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)))
890278oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝐵 + 𝑇) = (𝐵 + (𝐶𝐵))
891267, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝜓𝐵 ∈ ℂ)
892267, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝜓𝐶 ∈ ℂ)
893891, 892pncan3d 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝜓 → (𝐵 + (𝐶𝐵)) = 𝐶)
894890, 893eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝜓𝐶 = (𝐵 + 𝑇))
895894oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝜓 → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
896895adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
897891adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
898897, 370, 547subsub3d 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 − ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
899550, 547mulsubfacd 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇) = ((𝑗 − 1) · 𝑇))
900899oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 − ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
901896, 898, 9003eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
902901adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
903886, 889, 9023eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
9049033adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
905904adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
906 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
907906eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
908907ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
909364ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ)
910 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
911550, 910subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
912911, 547mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 1) · 𝑇) ∈ ℂ)
913912adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑗 − 1) · 𝑇) ∈ ℂ)
914909, 913pncand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏)
9159143adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏)
916915adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏)
917905, 908, 9163eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = 𝑏)
918883, 917sylan2b 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = 𝑏)
919309, 358ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝜓𝑎𝑏)
920919neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜓 → ¬ 𝑎 = 𝑏)
9219203ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
922921ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
923918, 922condan 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
924872, 874, 882, 923leneltd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)
925871, 924sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)
926267ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝜑)
927 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
928926, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐶𝐴)
929 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)
930 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
931654anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑐𝐴𝐶𝐴) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴)))
932 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶))
933931, 9323anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)))
934 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐶𝑐) = (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
935934breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝐶𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
936933, 935imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))))
937 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐶𝐴)
938403anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑑 = 𝐶 → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝑐𝐴𝐶𝐴)))
939 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑑 = 𝐶 → (𝑐 < 𝑑𝑐 < 𝐶))
940938, 9393anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑑 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶)))
941 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑑 = 𝐶 → (𝑑𝑐) = (𝐶𝑐))
942941breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑑 = 𝐶 → (𝐸 ≤ (𝑑𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶𝑐)))
943940, 942imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑑 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐))))
944943, 515vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐶𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐)))
945937, 944mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐))
946936, 945vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
947930, 946mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
948926, 927, 928, 929, 947syl121anc 1377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
949948adantlrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
9509493adantl2 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
951950adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
952892adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
953599sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
954953recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
955952, 954npcand 11624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = 𝐶)
956955eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 = ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
957956oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
958957adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
9599583adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
960959adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
961 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝐶𝐵))
962961oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
963962oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
964963adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
965278eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐶𝐵) = 𝑇
966965oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
967966a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
968318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
969968, 954addcomd 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇))
970967, 969eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇))
971970oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
972971adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
9739723adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
974973adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
975954adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
9769753adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
977976adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
9783183ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℂ)
979978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
980618adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
981980recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
9829813adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
983982adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
984977, 979, 983addsubd 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
985974, 984eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
986960, 964, 9853eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
987986adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
988951, 987breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
989925, 988mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
990 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝜓)
991 simpl3r 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
992 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵)
9932683ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
9949533adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
995272sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
996268adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
997270adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
998 elicc2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
999996, 997, 998syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
1000995, 999mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶))
10011000simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
100210013adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
1003 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≠ 𝐵)
100410033ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≠ 𝐵)
1005993, 994, 1002, 1004leneltd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
1006990, 991, 992, 1005syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
10073903ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ)
10081007adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ)
1009953adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
101010093adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
10112683ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10121010, 1011resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ)
10131012adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ)
10141009, 980resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
1015293adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ)
10161014, 1015readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ)
101710163adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ)
10181017adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ)
1019267adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝜑)
102010193ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝜑)
10211020, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐵𝐴)
1022 simpl3r 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
1023 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
1024 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
1025 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝑑𝐴 ↔ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴))
10261025anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → ((𝐵𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
1027 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝐵 < 𝑑𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
10281026, 10273anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))))
1029 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝑑𝐵) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))
10301029breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝑑𝐵) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)))
10311028, 1030imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))))
10321031, 517vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)))
10331024, 1032mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))
10341020, 1021, 1022, 1023, 1033syl121anc 1377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))
1035268adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1036980, 1035resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ)
1037965, 1015eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
1038270adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
1039880adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
1040980, 1038, 1035, 1039lesub1dd 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (𝐶𝐵))
10411036, 1037, 1014, 1040leadd2dd 11878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵)) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶𝐵)))
1042975, 981npcand 11624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
10431042eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
10441043oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) = ((((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) − 𝐵))
10451014recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℂ)
1046891adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10471045, 981, 1046addsubassd 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) − 𝐵) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵)))
10481044, 1047eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵)))
1049278oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶𝐵))
10501049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶𝐵)))
10511041, 1048, 10503brtr4d 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
105210513adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10531052adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10541008, 1013, 1018, 1034, 1053letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10551006, 1054syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
1056989, 1055pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
1057858, 859, 869, 1056syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
1058720eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏𝑎) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
10591058adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏𝑎) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
1060862oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
10611060adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
1062 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑗𝑘) = (𝑗 − (𝑗 − 1)))
10631062oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇))
10641063adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇))
1065 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑗 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
1066335, 1065nncand 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − (𝑗 − 1)) = 1)
10671066oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇) = (1 · 𝑇))
10681067ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇) = (1 · 𝑇))
1069319ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (1 · 𝑇) = 𝑇)
10701064, 1068, 10693eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = 𝑇)
10711061, 1070oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10721071adantlrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10731059, 1072eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (𝑏𝑎))
107410733adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (𝑏𝑎))
10751057, 1074breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1076839, 857, 1075syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1077838, 1076pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1078724, 776, 732, 1077syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1079723, 1078pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1080387, 1079mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1081309, 302, 358ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜓𝑎𝑏)
1082309, 302, 1081abssuble0d 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜓 → (abs‘(𝑎𝑏)) = (𝑏𝑎))
10831082eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜓 → (𝑏𝑎) = (abs‘(𝑎𝑏)))
108410833ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏𝑎) = (abs‘(𝑎𝑏)))
10851080, 1084breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))
108610853exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜓 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))))
10871086rexlimdvv 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜓 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏))))
1088264, 1087mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜓𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))
1089263, 1088sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))
1090262, 1089chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏)))
1091249, 1090chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1092229, 235, 236, 1091syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1093 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → ¬ 𝑦 < 𝑧)
1094 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦𝑧)
1095 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
1096 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
10971095, 1096lttri2d 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦𝑧 ↔ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦)))
10981094, 1097mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦))
10991098ord 865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (¬ 𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦))
11001093, 1099mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦)
11011100adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦)
11021101adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦)
1103 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝜑)
1104 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑧 ∈ ℝ)
1105 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
1106 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑧 < 𝑦)
11071104, 1105, 11063jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))
11081107adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))
11091108adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))
1110 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 𝑇) = (𝑖 · 𝑇))
11111110oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑖 → (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)))
11121111eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11131112anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
1114 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑙 · 𝑇))
11151114oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 = 𝑙 → (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)))
11161115eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11171116anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑙 → (((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11181113, 1117cbvrex2vw 3242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1119 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
11201119oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = 𝑘 → (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
11211120eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11221121anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
1123 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
11241123oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑙 = 𝑗 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)))
11251124eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11261125anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑙 = 𝑗 → (((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11271122, 1126cbvrex2vw 3242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑖 ∈ ℤ ∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑗 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1128 rexcom 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑗 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1129 ancom 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
113011292rexbii 3129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11311127, 1128, 11303bitri 297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑖 ∈ ℤ ∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11321118, 1131sylbb 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11331132ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1134 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
1135 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑦))
11361134, 11353anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)))
11371136anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))))
1138 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
11391138eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11401139anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
114111402rexbidv 3222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11421137, 1141anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
1143 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑦 → (𝑧𝑏) = (𝑧𝑦))
11441143fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 → (abs‘(𝑧𝑏)) = (abs‘(𝑧𝑦)))
11451144breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦))))
11461142, 1145imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑦 → ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))))
1147 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ))
1148 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 < 𝑏𝑧 < 𝑏))
11491147, 11483anbi13d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = 𝑧 → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)))
11501149anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏))))
1151 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)))
11521151eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 = 𝑧 → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11531152anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = 𝑧 → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
115411532rexbidv 3222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11551150, 1154anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
1156 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎𝑏) = (𝑧𝑏))
11571156fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = 𝑧 → (abs‘(𝑎𝑏)) = (abs‘(𝑧𝑏)))
11581157breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 = 𝑧 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏))))
11591155, 1158imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏)))))
11601159, 1089chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏)))
11611146, 1160chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
11621103, 1109, 1133, 1161syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
1163 recn 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
11641163adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
1165 recn 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
11661165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
11671164, 1166abssubd 15492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
11681167adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
11691168ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
11701162, 1169breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
11711170ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑦𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
117211713adantlr3 45045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑦𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
11731172adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑧 < 𝑦𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
11741102, 1173mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
11751092, 1174pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1176196, 204, 228, 1175syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1177389ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐸 ∈ ℝ)
1178198, 201resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → (𝑦𝑧) ∈ ℝ)
11791178recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → (𝑦𝑧) ∈ ℂ)
11801179abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℝ)
11811180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℝ)
11821177, 1181lenltd 11407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)) ↔ ¬ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11831176, 1182mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → ¬ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸)
1184 nan 830 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸)) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → ¬ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11851183, 1184mpbir 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11861185ralrimivva 3202 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦𝐻𝑧𝐻 ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
1187 ralnex2 3133 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝐻𝑧𝐻 ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸) ↔ ¬ ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11881186, 1187sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11891188ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ¬ ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
1190195, 1189pm2.65da 817 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻))
11911190intnanrd 489 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
1192 elin 3967 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
11931191, 1192sylnibr 329 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)))
119413a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
119514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
119611adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → 𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌))
119717, 4restlp 23191 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ 𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌)) → ((limPt‘𝐾)‘𝐻) = (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)))
11981194, 1195, 1196, 1197syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐾) → ((limPt‘𝐾)‘𝐻) = (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)))
11991193, 1198neleqtrrd 2864 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
12001199nrexdv 3149 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
12011200adantr 480 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
120228, 1201condan 818 1 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  cop 4632   cuni 4907   class class class wbr 5143   I cid 5577   Or wor 5591   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  ccom 5689  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  infcinf 9481  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cz 12613  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  abscabs 15273  t crest 17465  topGenctg 17482  Topctop 22899  limPtclp 23142  Compccmp 23394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-cmp 23395
This theorem is referenced by:  fourierdlem54  46175
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