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Theorem fourierdlem42 44380
Description: The set of points in a moved partition are finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem42.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem42.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem42.bc (𝜑𝐵 < 𝐶)
fourierdlem42.t 𝑇 = (𝐶𝐵)
fourierdlem42.a (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
fourierdlem42.af (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem42.ba (𝜑𝐵𝐴)
fourierdlem42.ca (𝜑𝐶𝐴)
fourierdlem42.d 𝐷 = (abs ∘ − )
fourierdlem42.i 𝐼 = ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )
fourierdlem42.r 𝑅 = ran (𝐷𝐼)
fourierdlem42.e 𝐸 = inf(𝑅, ℝ, < )
fourierdlem42.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem42.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem42.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
fourierdlem42.k 𝐾 = (𝐽t (𝑋[,]𝑌))
fourierdlem42.h 𝐻 = {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴}
fourierdlem42.15 (𝜓 ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem42 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝐸,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘   𝐻,𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐼   𝐽,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝑅   𝑇,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑎,𝑏,𝑥   𝜓,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝜓(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑗,𝑘)   𝐼(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐽(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐾(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem42
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑖 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem42.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2 fourierdlem42.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 fourierdlem42.j . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
4 fourierdlem42.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽t (𝑋[,]𝑌))
53, 4icccmp 24188 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ Comp)
61, 2, 5syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Comp)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ Comp)
8 fourierdlem42.h . . . . . 6 𝐻 = {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴}
9 ssrab2 4037 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ⊆ (𝑋[,]𝑌)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ⊆ (𝑋[,]𝑌))
118, 10eqsstrid 3992 . . . . 5 (𝜑𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌))
12 retop 24125 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
133, 12eqeltri 2834 . . . . . . 7 𝐽 ∈ Top
141, 2iccssred 13351 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
15 uniretop 24126 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
163unieqi 4878 . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1715, 16eqtr4i 2767 . . . . . . . 8 ℝ = 𝐽
1817restuni 22513 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) = (𝐽t (𝑋[,]𝑌)))
1913, 14, 18sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) = (𝐽t (𝑋[,]𝑌)))
204unieqi 4878 . . . . . . 7 𝐾 = (𝐽t (𝑋[,]𝑌))
2120eqcomi 2745 . . . . . 6 (𝐽t (𝑋[,]𝑌)) = 𝐾
2219, 21eqtrdi 2792 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) = 𝐾)
2311, 22sseqtrd 3984 . . . 4 (𝜑𝐻 𝐾)
2423adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → 𝐻 𝐾)
25 simpr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ¬ 𝐻 ∈ Fin)
26 eqid 2736 . . . 4 𝐾 = 𝐾
2726bwth 22761 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐻 𝐾 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
287, 24, 25, 27syl3anc 1371 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
2911, 14sstrd 3954 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
3029ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → 𝐻 ⊆ ℝ)
31 ne0i 4294 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) → ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ≠ ∅)
3231adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ≠ ∅)
33 fourierdlem42.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = inf(𝑅, ℝ, < )
34 fourierdlem42.r . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = ran (𝐷𝐼)
35 absf 15222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 abs:ℂ⟶ℝ
36 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs Fn ℂ
38 subf 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
39 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 − Fn (ℂ × ℂ)
41 frn 6675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → ran − ⊆ ℂ)
4238, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran − ⊆ ℂ
43 fnco 6618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs Fn ℂ ∧ − Fn (ℂ × ℂ) ∧ ran − ⊆ ℂ) → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
4437, 40, 42, 43mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
45 fourierdlem42.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = (abs ∘ − )
4645fneq1i 6599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 Fn (ℂ × ℂ) ↔ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
4744, 46mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 Fn (ℂ × ℂ)
48 fourierdlem42.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 = ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )
49 fourierdlem42.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
50 fourierdlem42.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
51 fourierdlem42.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5250, 51iccssred 13351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
53 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ ℂ
5452, 53sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
5549, 54sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
56 xpss12 5648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℂ × ℂ))
5755, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℂ × ℂ))
5857ssdifssd 4102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ⊆ (ℂ × ℂ))
5948, 58eqsstrid 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼 ⊆ (ℂ × ℂ))
60 fnssres 6624 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 Fn (ℂ × ℂ) ∧ 𝐼 ⊆ (ℂ × ℂ)) → (𝐷𝐼) Fn 𝐼)
6147, 59, 60sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷𝐼) Fn 𝐼)
62 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐼 → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝐷𝑥))
6362adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝐷𝑥))
6445fveq1i 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷𝑥) = ((abs ∘ − )‘𝑥)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐷𝑥) = ((abs ∘ − )‘𝑥))
66 ffun 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − )
6738, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Fun −
6859sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ (ℂ × ℂ))
6938fdmi 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom − = (ℂ × ℂ)
7068, 69eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ dom − )
71 fvco 6939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun − ∧ 𝑥 ∈ dom − ) → ((abs ∘ − )‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥)))
7267, 70, 71sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ((abs ∘ − )‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥)))
7363, 65, 723eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥)))
7438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
7574, 68ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ( − ‘𝑥) ∈ ℂ)
7675abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → (abs‘( − ‘𝑥)) ∈ ℝ)
7773, 76eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ)
78 elxp2 5657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℂ × ℂ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩)
7968, 78sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → ∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩)
80 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( − ‘𝑥) = ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩))
81803ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ( − ‘𝑥) = ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩))
82 df-ov 7360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝑧) = ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩)
83 simp1l 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → 𝜑)
84 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥𝐼𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩)
85 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥𝐼𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → 𝑥𝐼)
8684, 85eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥𝐼𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼)
8786adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼)
88873adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼)
8955adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝐴 ⊆ ℂ)
9048eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
91 eldif 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ↔ (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ∧ ¬ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I ))
9290, 91sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ∧ ¬ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I ))
9392simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
94 opelxp 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑦𝐴𝑧𝐴))
9593, 94sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
9695adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
9796simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑦𝐴)
9889, 97sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ ℂ)
9996simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑧𝐴)
10089, 99sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ ℂ)
10192simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ¬ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I )
102 df-br 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 I 𝑧 ↔ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I )
103101, 102sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 I 𝑧)
104 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑧 ∈ V
105104ideq 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 I 𝑧𝑦 = 𝑧)
106103, 105sylnib 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 = 𝑧)
107106neqned 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼𝑦𝑧)
108107adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑦𝑧)
10998, 100, 108subne0d 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → (𝑦𝑧) ≠ 0)
11083, 88, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → (𝑦𝑧) ≠ 0)
11182, 110eqnetrrid 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩) ≠ 0)
11281, 111eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ( − ‘𝑥) ≠ 0)
1131123exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( − ‘𝑥) ≠ 0)))
114113rexlimdvv 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → (∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( − ‘𝑥) ≠ 0))
11579, 114mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ( − ‘𝑥) ≠ 0)
116 absgt0 15209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (( − ‘𝑥) ∈ ℂ → (( − ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘( − ‘𝑥))))
11775, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → (( − ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘( − ‘𝑥))))
118115, 117mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 < (abs‘( − ‘𝑥)))
11973eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → (abs‘( − ‘𝑥)) = ((𝐷𝐼)‘𝑥))
120118, 119breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 < ((𝐷𝐼)‘𝑥))
12177, 120elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+)
122121ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+)
123 fnfvrnss 7068 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐼) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+) → ran (𝐷𝐼) ⊆ ℝ+)
12461, 122, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran (𝐷𝐼) ⊆ ℝ+)
12534, 124eqsstrid 3992 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ+)
126 ltso 11235 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → < Or ℝ)
128 fourierdlem42.af . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
129 xpfi 9261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ∈ Fin)
130128, 128, 129syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 × 𝐴) ∈ Fin)
131 diffi 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 × 𝐴) ∈ Fin → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ∈ Fin)
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ∈ Fin)
13348, 132eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
134 fnfi 9125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷𝐼) Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (𝐷𝐼) ∈ Fin)
13561, 133, 134syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ Fin)
136 rnfi 9279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷𝐼) ∈ Fin → ran (𝐷𝐼) ∈ Fin)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ran (𝐷𝐼) ∈ Fin)
13834, 137eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
13934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 = ran (𝐷𝐼))
14045a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 = (abs ∘ − ))
141140reseq1d 5936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷𝐼) = ((abs ∘ − ) ↾ 𝐼))
142141fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
143 fourierdlem42.ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵𝐴)
144 fourierdlem42.ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶𝐴)
145 opelxp 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐶𝐴))
146143, 144, 145sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
147 fourierdlem42.bc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐵 < 𝐶)
14850, 147ltned 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵𝐶)
149148neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶)
150 ideqg 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐶𝐴 → (𝐵 I 𝐶𝐵 = 𝐶))
151144, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐵 I 𝐶𝐵 = 𝐶))
152149, 151mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ¬ 𝐵 I 𝐶)
153 df-br 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 I 𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ I )
154152, 153sylnib 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ I )
155146, 154eldifd 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
156155, 48eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐼)
157 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐼 → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
15950recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
16051recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
161 opelxp 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (ℂ × ℂ) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
162159, 160, 161sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
163162, 69eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ dom − )
164 fvco 6939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun − ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ dom − ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)))
16567, 163, 164sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)))
166 df-ov 7360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵𝐶) = ( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)
167166eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (𝐵𝐶)
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (𝐵𝐶))
169168fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)) = (abs‘(𝐵𝐶)))
170165, 169eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (abs‘(𝐵𝐶)))
171142, 158, 1703eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) = ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
172 fnfvelrn 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷𝐼) Fn 𝐼 ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐼) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) ∈ ran (𝐷𝐼))
17361, 156, 172syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) ∈ ran (𝐷𝐼))
174171, 173eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ran (𝐷𝐼))
175 ne0i 4294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ran (𝐷𝐼) → ran (𝐷𝐼) ≠ ∅)
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ran (𝐷𝐼) ≠ ∅)
177139, 176eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
178 resss 5962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷𝐼) ⊆ 𝐷
179 rnss 5894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷𝐼) ⊆ 𝐷 → ran (𝐷𝐼) ⊆ ran 𝐷)
180178, 179ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝐷𝐼) ⊆ ran 𝐷
18145rneqi 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran 𝐷 = ran (abs ∘ − )
182 rncoss 5927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran (abs ∘ − ) ⊆ ran abs
183 frn 6675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs:ℂ⟶ℝ → ran abs ⊆ ℝ)
18435, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran abs ⊆ ℝ
185182, 184sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran (abs ∘ − ) ⊆ ℝ
186181, 185eqsstri 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran 𝐷 ⊆ ℝ
187180, 186sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝐷𝐼) ⊆ ℝ
18834, 187eqsstri 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 ⊆ ℝ
189188a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
190 fiinfcl 9437 . . . . . . . . . . . . 13 (( < Or ℝ ∧ (𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ⊆ ℝ)) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
191127, 138, 177, 189, 190syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
192125, 191sseldd 3945 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
19333, 192eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
194193ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
1953, 30, 32, 194lptre2pt 43871 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
196 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝜑)
19729sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐻) → 𝑦 ∈ ℝ)
198197adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → 𝑦 ∈ ℝ)
199198adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
20029sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐻) → 𝑧 ∈ ℝ)
201200adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → 𝑧 ∈ ℝ)
202201adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
203 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑧)
204199, 202, 2033jca 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧))
2058eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐻𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴})
206 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
207206eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
208207rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
209 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
210209oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)))
211210eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
212211cbvrexvw 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
213208, 212bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
214213elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
215205, 214sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐻 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
216215simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐻 → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
217216adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
2188eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐻𝑧 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴})
219 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)))
220219eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
221220rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
222221elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
223218, 222sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝐻 → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
224223simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐻 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
225224adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
226 reeanv 3217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
227217, 225, 226sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
228227ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
229 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝜑)
230 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
231 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
232 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 < 𝑧)
233230, 231, 2323jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
234233adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
235234adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
236 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
237 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑧 → (𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ))
238 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑏𝑦 < 𝑧))
239237, 2383anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)))
240239anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))))
241 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑧 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)))
242241eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑧 → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
243242anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑧 → (((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
2442432rexbidv 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
245240, 244anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
246 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑧 → (𝑦𝑏) = (𝑦𝑧))
247246fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑧 → (abs‘(𝑦𝑏)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
248247breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑧 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
249245, 248imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))))
250 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
251 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 < 𝑏𝑦 < 𝑏))
252250, 2513anbi13d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)))
253252anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏))))
254 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)))
255254eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
256255anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
2572562rexbidv 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
258253, 257anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
259 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑏) = (𝑦𝑏))
260259fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑦 → (abs‘(𝑎𝑏)) = (abs‘(𝑦𝑏)))
261260breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑦 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏))))
262258, 261imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑦 → ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏)))))
263 fourierdlem42.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜓 ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
264263simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜓 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
265263biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
266265simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)))
267266simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓𝜑)
268267, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜓𝐵 ∈ ℝ)
269268adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
270267, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜓𝐶 ∈ ℝ)
271270adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
272267, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
273272sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
274273adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
275272sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
276275adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
277269, 271, 274, 276iccsuble 43747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (𝐶𝐵))
278 fourierdlem42.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑇 = (𝐶𝐵)
279277, 278breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
2802793adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
281280adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
282 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ¬ 𝑘𝑗)
283 zre 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
284283adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
285284ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
286 zre 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
287286adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
288287ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
289285, 288ltnled 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → (𝑗 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑗))
290282, 289mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → 𝑗 < 𝑘)
29151, 50resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
292278, 291eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
293267, 292syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜓𝑇 ∈ ℝ)
294293ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ∈ ℝ)
295287adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℝ)
296284adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℝ)
297295, 296resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘𝑗) ∈ ℝ)
298293adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℝ)
299297, 298remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) ∈ ℝ)
300299adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) ∈ ℝ)
301266simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓 → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏))
302301simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑏 ∈ ℝ)
303302adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
304286adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
305293adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
306304, 305remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
307306adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
308303, 307readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
309301simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑎 ∈ ℝ)
310309adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
311283adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
312293adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
313311, 312remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ)
314313adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ)
315310, 314readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
316308, 315resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
317316adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
318293recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑇 ∈ ℂ)
319318mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → (1 · 𝑇) = 𝑇)
320319eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓𝑇 = (1 · 𝑇))
321320ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 = (1 · 𝑇))
322 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑗 < 𝑘)
323 zltlem1 12556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 < 𝑘𝑗 ≤ (𝑘 − 1)))
324323ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑗 < 𝑘𝑗 ≤ (𝑘 − 1)))
325322, 324mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑗 ≤ (𝑘 − 1))
326284ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
327 peano2rem 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
328295, 327syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
329328adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
330 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 ∈ ℝ
331 resubcl 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (1 − 𝑗) ∈ ℝ)
332330, 326, 331sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (1 − 𝑗) ∈ ℝ)
333 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 𝑗 ≤ (𝑘 − 1))
334326, 329, 332, 333leadd1dd 11769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) ≤ ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)))
335 zcn 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
336335adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ)
337 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
338336, 337pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) = 1)
339338ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) = 1)
340 zcn 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
341340adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
342341, 337, 336npncand 11536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)) = (𝑘𝑗))
343342ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)) = (𝑘𝑗))
344334, 339, 3433brtr3d 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 1 ≤ (𝑘𝑗))
345325, 344syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 1 ≤ (𝑘𝑗))
346330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 1 ∈ ℝ)
347297adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑘𝑗) ∈ ℝ)
34850, 51posdifd 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ 0 < (𝐶𝐵)))
349147, 348mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → 0 < (𝐶𝐵))
350349, 278breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → 0 < 𝑇)
351292, 350elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
352267, 351syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑇 ∈ ℝ+)
353352ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ∈ ℝ+)
354346, 347, 353lemul1d 13000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (1 ≤ (𝑘𝑗) ↔ (1 · 𝑇) ≤ ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
355345, 354mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (1 · 𝑇) ≤ ((𝑘𝑗) · 𝑇))
356321, 355eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ≤ ((𝑘𝑗) · 𝑇))
357302, 309resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓 → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
358301simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜓𝑎 < 𝑏)
359309, 302posdifd 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜓 → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏𝑎)))
360358, 359mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓 → 0 < (𝑏𝑎))
361357, 360elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → (𝑏𝑎) ∈ ℝ+)
362361adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ+)
363299, 362ltaddrp2d 12991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) < ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
364302recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓𝑏 ∈ ℂ)
365364adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
366306recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
367366adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
368309recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓𝑎 ∈ ℂ)
369368adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
370313recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℂ)
371370adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℂ)
372365, 367, 369, 371addsub4d 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))))
373340ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
374335ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℂ)
375318adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℂ)
376373, 374, 375subdird 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) = ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
377376eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑘𝑗) · 𝑇))
378377oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
379372, 378eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
380363, 379breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
381380adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
382294, 300, 317, 356, 381lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
383294, 317ltnled 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑇 < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ↔ ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇))
384382, 383mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
385290, 384syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
3863853adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
387281, 386condan 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘𝑗)
388188, 191sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
38933, 388eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
390267, 389syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓𝐸 ∈ ℝ)
3913903ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ)
392391ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ)
3932933ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ)
394393ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
395284, 287resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
396395adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
397396, 298remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
3983973adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
399398ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
400 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑𝜑)
401143, 144jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐶𝐴))
402400, 401, 1473jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶))
403 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑑 = 𝐶 → (𝑑𝐴𝐶𝐴))
404403anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = 𝐶 → ((𝐵𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐶𝐴)))
405 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = 𝐶 → (𝐵 < 𝑑𝐵 < 𝐶))
406404, 4053anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶)))
407 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = 𝐶 → (𝑑𝐵) = (𝐶𝐵))
408407breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = 𝐶 → (𝐸 ≤ (𝑑𝐵) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶𝐵)))
409406, 408imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑑 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝐵))))
410 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐵𝐴)
411 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = 𝐵 → (𝑐𝐴𝐵𝐴))
412411anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = 𝐵 → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝑑𝐴)))
413 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = 𝐵 → (𝑐 < 𝑑𝐵 < 𝑑))
414412, 4133anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑐 = 𝐵 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑)))
415 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = 𝐵 → (𝑑𝑐) = (𝑑𝐵))
416415breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑐 = 𝐵 → (𝐸 ≤ (𝑑𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)))
417414, 416imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑐 = 𝐵 → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵))))
418188a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑅 ⊆ ℝ)
419 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 0 ∈ ℝ
42034eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑦𝑅𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼))
421420biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑦𝑅𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼))
422421adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑦𝑅) → 𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼))
42361adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑𝑦𝑅) → (𝐷𝐼) Fn 𝐼)
424 fvelrnb 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝐷𝐼) Fn 𝐼 → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦))
425423, 424syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑦𝑅) → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦))
426422, 425mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑𝑦𝑅) → ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦)
427121rpge0d 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ≤ ((𝐷𝐼)‘𝑥))
4284273adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑𝑥𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → 0 ≤ ((𝐷𝐼)‘𝑥))
429 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑𝑥𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦)
430428, 429breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑𝑥𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → 0 ≤ 𝑦)
4314303exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝜑 → (𝑥𝐼 → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦)))
432431adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑦𝑅) → (𝑥𝐼 → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦)))
433432rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑𝑦𝑅) → (∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦))
434426, 433mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑦𝑅) → 0 ≤ 𝑦)
435434ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝜑 → ∀𝑦𝑅 0 ≤ 𝑦)
436 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
437436ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑥 = 0 → (∀𝑦𝑅 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝑅 0 ≤ 𝑦))
438437rspcev 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑅 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦)
439419, 435, 438sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦)
4404393ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦)
441 pm3.22 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑐𝐴𝑑𝐴) → (𝑑𝐴𝑐𝐴))
442 opelxp 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑑𝐴𝑐𝐴))
443441, 442sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑐𝐴𝑑𝐴) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
4444433ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
44549, 52sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
446445sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑐 ∈ ℝ)
447446adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → 𝑐 ∈ ℝ)
4484473adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 ∈ ℝ)
449 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 < 𝑑)
450448, 449gtned 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑑𝑐)
451450neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ¬ 𝑑 = 𝑐)
452 df-br 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑑 I 𝑐 ↔ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I )
453 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 𝑐 ∈ V
454453ideq 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑑 I 𝑐𝑑 = 𝑐)
455452, 454bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I ↔ 𝑑 = 𝑐)
456451, 455sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ¬ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I )
457444, 456eldifd 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
458457, 48eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼)
459448, 449ltned 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐𝑑)
4601413ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → (𝐷𝐼) = ((abs ∘ − ) ↾ 𝐼))
461460fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
4624433ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
463 necom 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (𝑐𝑑𝑑𝑐)
464463biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝑐𝑑𝑑𝑐)
465464neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑐𝑑 → ¬ 𝑑 = 𝑐)
4664653ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ¬ 𝑑 = 𝑐)
467466, 455sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ¬ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I )
468462, 467eldifd 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
469468, 48eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼)
470 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼 → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
471469, 470syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
472 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → 𝜑)
473472, 469jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → (𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼))
474 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (𝑥𝐼 ↔ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼))
475474anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → ((𝜑𝑥𝐼) ↔ (𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼)))
476 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (𝑥 ∈ dom − ↔ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − ))
477475, 476imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ dom − ) ↔ ((𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − )))
478477, 70vtoclg 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼 → ((𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − ))
479469, 473, 478sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − )
480 fvco 6939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((Fun − ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)))
48167, 479, 480sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)))
482 df-ov 7360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑑𝑐) = ( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)
483482eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐)
484483fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (abs‘( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)) = (abs‘(𝑑𝑐))
485481, 484eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘(𝑑𝑐)))
486461, 471, 4853eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘(𝑑𝑐)))
487459, 486syld3an3 1409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘(𝑑𝑐)))
488445sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ∈ ℝ)
489488adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ)
4904893adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
491448, 490, 449ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐𝑑)
492448, 490, 491abssubge0d 15316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (abs‘(𝑑𝑐)) = (𝑑𝑐))
493487, 492eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐))
494 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
495494eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐) ↔ ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐)))
496495rspcev 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐)) → ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))
497458, 493, 496syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))
498489, 447resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → (𝑑𝑐) ∈ ℝ)
499 elex 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑑𝑐) ∈ ℝ → (𝑑𝑐) ∈ V)
500498, 499syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → (𝑑𝑐) ∈ V)
5015003adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑𝑐) ∈ V)
502 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝜑)
503 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑦 = (𝑑𝑐) → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ (𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼)))
504 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑦 = (𝑑𝑐) → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 ↔ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))
505504rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑦 = (𝑑𝑐) → (∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))
506503, 505bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑦 = (𝑑𝑐) → ((𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))))
507506imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑦 = (𝑑𝑐) → ((𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝜑 → ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))))
50861, 424syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦))
509507, 508vtoclg 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑑𝑐) ∈ V → (𝜑 → ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))))
510501, 502, 509sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))
511497, 510mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼))
512511, 34eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑𝑐) ∈ 𝑅)
513 infrelb 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦 ∧ (𝑑𝑐) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑑𝑐))
514418, 440, 512, 513syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑑𝑐))
51533, 514eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐))
516417, 515vtoclg 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐵𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)))
517410, 516mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵))
518409, 517vtoclg 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐶𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝐵)))
519144, 402, 518sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑𝐸 ≤ (𝐶𝐵))
520519, 278breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑𝐸𝑇)
521267, 520syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓𝐸𝑇)
5225213ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸𝑇)
523522ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸𝑇)
524364adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
525524, 366pncan2d 11514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) = (𝑘 · 𝑇))
526525oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = ((𝑘 · 𝑇) / 𝑇))
527340adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
528318adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ)
529419a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
530529, 350gtned 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝜑𝑇 ≠ 0)
531267, 530syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝜓𝑇 ≠ 0)
532531adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ≠ 0)
533527, 528, 532divcan4d 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑇) / 𝑇) = 𝑘)
534526, 533eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
535534adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
536535adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
537 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏))
538537oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
539538adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
540368adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
541364adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
542540, 370, 541addsubd 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑎𝑏) + (𝑗 · 𝑇)))
543540, 541subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑎𝑏) ∈ ℂ)
544543, 370addcomd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)))
545542, 544eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)))
546545oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)) / 𝑇))
547318adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ)
548531adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ≠ 0)
549370, 543, 547, 548divdird 11969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)) / 𝑇) = (((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
550335adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ)
551550, 547, 548divcan4d 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) = 𝑗)
552551oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
553546, 549, 5523eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
554553adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
555554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
556536, 539, 5553eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
557309, 302resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝜓 → (𝑎𝑏) ∈ ℝ)
558309, 302sublt0d 11781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝜓 → ((𝑎𝑏) < 0 ↔ 𝑎 < 𝑏))
559358, 558mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝜓 → (𝑎𝑏) < 0)
560557, 352, 559divlt0gt0d 43510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝜓 → ((𝑎𝑏) / 𝑇) < 0)
561560adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) / 𝑇) < 0)
562335subidd 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗𝑗) = 0)
563562eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑗 ∈ ℤ → 0 = (𝑗𝑗))
564563adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 0 = (𝑗𝑗))
565561, 564breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) / 𝑇) < (𝑗𝑗))
566557, 293, 531redivcld 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝜓 → ((𝑎𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
567566adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
568311, 567, 311ltaddsub2d 11756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗 ↔ ((𝑎𝑏) / 𝑇) < (𝑗𝑗)))
569565, 568mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
570569adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
571570adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
572556, 571eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
573320ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 = (1 · 𝑇))
574 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 < 𝑗)
575 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
576 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
577 zltp1le 12553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑗 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑗))
578575, 576, 577syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑘 < 𝑗 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑗))
579574, 578mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑗)
580286ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
581330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ∈ ℝ)
582283ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
583580, 581, 582leaddsub2d 11757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → ((𝑘 + 1) ≤ 𝑗 ↔ 1 ≤ (𝑗𝑘)))
584579, 583mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ≤ (𝑗𝑘))
585584adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ≤ (𝑗𝑘))
586330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ∈ ℝ)
587395ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
588352ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 ∈ ℝ+)
589586, 587, 588lemul1d 13000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (1 ≤ (𝑗𝑘) ↔ (1 · 𝑇) ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
590585, 589mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (1 · 𝑇) ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
591573, 590eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
592572, 591syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
593592adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
5945933adantll3 43237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
595392, 394, 399, 523, 594letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
596 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
597596oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
598597adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
599267, 445syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝜓𝐴 ⊆ ℝ)
600599sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
601600adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
602601recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
603602subidd 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) = 0)
604603oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
605604adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
606598, 605eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
6076063adantl2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
608607adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
609374, 373subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗𝑘) ∈ ℂ)
610609, 375mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℂ)
611610addid2d 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗𝑘) · 𝑇))
6126113adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗𝑘) · 𝑇))
613612ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗𝑘) · 𝑇))
614608, 613eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
615595, 614breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
616615adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
617391ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ)
618599sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
619618adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
620601, 619resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
6216203adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
622621ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
623621, 398readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ)
624623ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ)
625267adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓𝑘𝑗) → 𝜑)
6266253ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → 𝜑)
627626ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝜑)
628 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
629628ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
630 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
631619ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
632601ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
633631, 632lenltd 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
634630, 633mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
635 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
636635notbii 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
637636biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
638637adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
639 ioran 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ↔ (¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
640634, 638, 639sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
641632, 631leloed 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
642640, 641mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
6436423adantll2 43236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
644643adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
645619adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
6466453adantl2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
647646ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
648601adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
6496483adantl2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
650649ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
651647, 650ltnled 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
652644, 651mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
653 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
654 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐𝐴 ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
655654anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
656 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
657655, 6563anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
658 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
659658breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
660657, 659imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))))
661 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
662 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑑𝐴 ↔ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
663662anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
664 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑐 < 𝑑𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
665663, 6643anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
666 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑑𝑐) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))
667666breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝑑𝑐) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)))
668665, 667imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))))
669668, 515vtoclg 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)))
670661, 669mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))
671660, 670vtoclg 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
672653, 671mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
673627, 629, 652, 672syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
674395ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
675293ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑇 ∈ ℝ)
676 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
677283ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
678286ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
679677, 678subge0d 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → (0 ≤ (𝑗𝑘) ↔ 𝑘𝑗))
680676, 679mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ (𝑗𝑘))
681680adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ (𝑗𝑘))
682352rpge0d 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → 0 ≤ 𝑇)
683682ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ 𝑇)
684674, 675, 681, 683mulge0d 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
6856843adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
686621adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
687398adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
688686, 687addge01d 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (0 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇) ↔ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))))
689685, 688mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
690689ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
691617, 622, 624, 673, 690letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
692616, 691pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
693372, 378eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
694693oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
695365, 369subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏𝑎) ∈ ℂ)
696373, 374subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘𝑗) ∈ ℂ)
697696, 375mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) ∈ ℂ)
698695, 697, 610addassd 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑏𝑎) + (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))))
699341, 336, 336, 341subadd4b 43506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) = ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)))
700699adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) = ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)))
701700oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) · 𝑇) = (((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) · 𝑇))
702696, 609, 375adddird 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) · 𝑇) = (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
703340subidd 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘𝑘) = 0)
704703adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘𝑘) = 0)
705562adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗𝑗) = 0)
706704, 705oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) = (0 + 0))
707 00id 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0 + 0) = 0
708706, 707eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) = 0)
709708oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) · 𝑇) = (0 · 𝑇))
710709adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) · 𝑇) = (0 · 𝑇))
711701, 702, 7103eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 · 𝑇))
712711oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)))
713318mul02d 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → (0 · 𝑇) = 0)
714713oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)) = ((𝑏𝑎) + 0))
715364, 368subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → (𝑏𝑎) ∈ ℂ)
716715addid1d 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → ((𝑏𝑎) + 0) = (𝑏𝑎))
717714, 716eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓 → ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
718717adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
719712, 718eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))) = (𝑏𝑎))
720694, 698, 7193eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
7217203adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
722721ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
723692, 722breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
724 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
725 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
7266013adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
727726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7286193adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
729728adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
730727, 729ltnled 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
731725, 730mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
732731adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
7335353adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
734733adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
7356003adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7363023ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
737735, 736resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
7382933ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℝ)
7395313ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ≠ 0)
740737, 738, 739redivcld 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7417403adant3l 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7427413adant2l 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
743742adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7446183adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7453023ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
746744, 745resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
7472933ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℝ)
7485313ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ≠ 0)
749746, 747, 748redivcld 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7507493adant3r 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7517503adant2r 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
752751adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7532843ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑗 ∈ ℝ)
754753adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑗 ∈ ℝ)
755726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7563023ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ)
757756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑏 ∈ ℝ)
758755, 757resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
759728adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
760759, 757resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
7613523ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
762761adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
763601adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
764619adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
765302ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑏 ∈ ℝ)
766 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
767763, 764, 765, 766ltsub1dd 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) < ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏))
7687673adantl2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) < ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏))
769758, 760, 762, 768ltdiv1dd 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
770554, 570eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
7717703adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
772771adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
773743, 752, 754, 769, 772lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
774734, 773eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
775774adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
776732, 775syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
777391adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ∈ ℝ)
778393adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
779623adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ)
780522adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸𝑇)
781 peano2rem 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
782753, 781syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
7832873ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ)
784782, 783resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) ∈ ℝ)
785784, 393remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
786785adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
787753adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
788330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
789787, 788resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
790286ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
7917903ad2antl2 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
792789, 791resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) ∈ ℝ)
793682adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 < (𝑗 − 1)) → 0 ≤ 𝑇)
7947933ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 0 ≤ 𝑇)
795283ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
796330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
797795, 796resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
798 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 < (𝑗 − 1))
799 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
800 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
801 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈ ℤ)
802800, 801zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
803 zltlem1 12556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑗 − 1) ↔ 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1)))
804799, 802, 803syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑘 < (𝑗 − 1) ↔ 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1)))
805798, 804mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1))
806790, 797, 796, 805lesubd 11759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ≤ ((𝑗 − 1) − 𝑘))
8078063ad2antl2 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ≤ ((𝑗 − 1) − 𝑘))
808778, 792, 794, 807lemulge12d 12093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ≤ (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇))
809336, 337, 341sub32d 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) = ((𝑗𝑘) − 1))
810809oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) − 1) · 𝑇))
811810adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) − 1) · 𝑇))
812 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 1 ∈ ℂ)
813609, 812, 375subdird 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗𝑘) − 1) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)))
814319oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝜓 → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
815814adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
816811, 813, 8153eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
8178163adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
818728, 726resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∈ ℝ)
819269, 271, 276, 274iccsuble 43747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ (𝐶𝐵))
820819, 278breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
8218203adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
822818, 393, 398, 821lesub2dd 11772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇) ≤ (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
823817, 822eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
8246103adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℂ)
825728recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
8266023adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
827824, 825, 826subsub2d 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) + ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
828621recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℂ)
829824, 828addcomd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) + ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
830827, 829eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
831823, 830breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
832831adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
833778, 786, 779, 808, 832letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
834777, 778, 779, 780, 833letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
835721adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
836834, 835breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
837836adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
838837adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
839 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
840 simpll2 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
841 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 < 𝑗)
842 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1))
843581, 582, 580, 584lesubd 11759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ≤ (𝑗 − 1))
8448433adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝑗 − 1))
845 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1))
846284, 781syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
847846adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
848286ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
849847, 848lenltd 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 1) ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)))
850845, 849mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑘)
8518503adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑘)
8525803adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
8538463ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
854852, 853letri3d 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑘 = (𝑗 − 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑘)))
855844, 851, 854mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1))
856840, 841, 842, 855syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1))
857856adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1))
858 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝜓)
859 simpl2l 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
860 simpl3l 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
861 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 · 𝑇) = ((𝑗 − 1) · 𝑇))
862861oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
863862eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
864863adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
865 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
866864, 865eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
867866adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
8688673ad2antl3 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
869860, 868jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴))
870 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
8718703adant3r 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
872744adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
8732703ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
874873adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
875268adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
876270adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
877 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
878875, 876, 877syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
879275, 878mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶))
880879simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
8818803adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
882881adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
883 nne 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
884540, 370pncand 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = 𝑎)
885884eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑎 = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)))
886885adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)))
887 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)))
888887eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)))
889888adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)))
890278oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝐵 + 𝑇) = (𝐵 + (𝐶𝐵))
891267, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝜓𝐵 ∈ ℂ)
892267, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝜓𝐶 ∈ ℂ)
893891, 892pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝜓 → (𝐵 + (𝐶𝐵)) = 𝐶)
894890, 893eqtr2id 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝜓𝐶 = (𝐵 + 𝑇))
895894oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝜓 → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
896895adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
897891adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
898897, 370, 547subsub3d 11542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 − ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
899550, 547mulsubfacd 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇) = ((𝑗 − 1) · 𝑇))
900899oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 − ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
901896, 898, 9003eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
902901adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
903886, 889, 9023eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
9049033adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
905904adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
906 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
907906eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
908907ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
909364ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ)
910 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
911550, 910subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
912911, 547mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 1) · 𝑇) ∈ ℂ)
913912adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑗 − 1) · 𝑇) ∈ ℂ)
914909, 913pncand 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏)
9159143adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏)
916915adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏)
917905, 908, 9163eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = 𝑏)
918883, 917sylan2b 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = 𝑏)
919309, 358ltned 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝜓𝑎𝑏)
920919neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜓 → ¬ 𝑎 = 𝑏)
9219203ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
922921ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
923918, 922condan 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
924872, 874, 882, 923leneltd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)
925871, 924sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)
926267ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝜑)
927 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
928926, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐶𝐴)
929 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)
930 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
931654anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑐𝐴𝐶𝐴) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴)))
932 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶))
933931, 9323anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)))
934 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐶𝑐) = (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
935934breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝐶𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
936933, 935imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))))
937 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐶𝐴)
938403anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑑 = 𝐶 → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝑐𝐴𝐶𝐴)))
939 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑑 = 𝐶 → (𝑐 < 𝑑𝑐 < 𝐶))
940938, 9393anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑑 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶)))
941 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑑 = 𝐶 → (𝑑𝑐) = (𝐶𝑐))
942941breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑑 = 𝐶 → (𝐸 ≤ (𝑑𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶𝑐)))
943940, 942imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑑 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐))))
944943, 515vtoclg 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐶𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐)))
945937, 944mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐))
946936, 945vtoclg 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
947930, 946mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
948926, 927, 928, 929, 947syl121anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
949948adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
9509493adantl2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
951950adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
952892adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
953599sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
954953recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
955952, 954npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = 𝐶)
956955eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 = ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
957956oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
958957adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
9599583adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
960959adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
961 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝐶𝐵))
962961oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
963962oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
964963adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
965278eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐶𝐵) = 𝑇
966965oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
967966a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
968318adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
969968, 954addcomd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇))
970967, 969eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇))
971970oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
972971adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
9739723adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
974973adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
975954adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
9769753adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
977976adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
9783183ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℂ)
979978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
980618adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
981980recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
9829813adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
983982adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
984977, 979, 983addsubd 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
985974, 984eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
986960, 964, 9853eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
987986adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
988951, 987breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
989925, 988mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
990 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝜓)
991 simpl3r 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
992 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵)
9932683ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
9949533adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
995272sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
996268adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
997270adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
998 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
999996, 997, 998syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
1000995, 999mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶))
10011000simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
100210013adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
1003 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≠ 𝐵)
100410033ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≠ 𝐵)
1005993, 994, 1002, 1004leneltd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
1006990, 991, 992, 1005syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
10073903ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ)
10081007adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ)
1009953adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
101010093adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
10112683ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10121010, 1011resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ)
10131012adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ)
10141009, 980resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
1015293adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ)
10161014, 1015readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ)
101710163adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ)
10181017adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ)
1019267adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝜑)
102010193ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝜑)
10211020, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐵𝐴)
1022 simpl3r 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
1023 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
1024 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
1025 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝑑𝐴 ↔ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴))
10261025anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → ((𝐵𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
1027 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝐵 < 𝑑𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
10281026, 10273anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))))
1029 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝑑𝐵) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))
10301029breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝑑𝐵) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)))
10311028, 1030imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))))
10321031, 517vtoclg 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)))
10331024, 1032mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))
10341020, 1021, 1022, 1023, 1033syl121anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))
1035268adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1036980, 1035resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ)
1037965, 1015eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
1038270adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
1039880adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
1040980, 1038, 1035, 1039lesub1dd 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (𝐶𝐵))
10411036, 1037, 1014, 1040leadd2dd 11770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵)) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶𝐵)))
1042975, 981npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
10431042eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
10441043oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) = ((((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) − 𝐵))
10451014recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℂ)
1046891adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10471045, 981, 1046addsubassd 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) − 𝐵) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵)))
10481044, 1047eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵)))
1049278oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶𝐵))
10501049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶𝐵)))
10511041, 1048, 10503brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
105210513adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10531052adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10541008, 1013, 1018, 1034, 1053letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10551006, 1054syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
1056989, 1055pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
1057858, 859, 869, 1056syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
1058720eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏𝑎) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
10591058adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏𝑎) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
1060862oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
10611060adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
1062 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑗𝑘) = (𝑗 − (𝑗 − 1)))
10631062oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇))
10641063adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇))
1065 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑗 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
1066335, 1065nncand 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − (𝑗 − 1)) = 1)
10671066oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇) = (1 · 𝑇))
10681067ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇) = (1 · 𝑇))
1069319ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (1 · 𝑇) = 𝑇)
10701064, 1068, 10693eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = 𝑇)
10711061, 1070oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10721071adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10731059, 1072eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (𝑏𝑎))
107410733adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (𝑏𝑎))
10751057, 1074breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1076839, 857, 1075syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1077838, 1076pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1078724, 776, 732, 1077syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1079723, 1078pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1080387, 1079mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1081309, 302, 358ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜓𝑎𝑏)
1082309, 302, 1081abssuble0d 15317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜓 → (abs‘(𝑎𝑏)) = (𝑏𝑎))
10831082eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜓 → (𝑏𝑎) = (abs‘(𝑎𝑏)))
108410833ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏𝑎) = (abs‘(𝑎𝑏)))
10851080, 1084breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))
108610853exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜓 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))))
10871086rexlimdvv 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜓 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏))))
1088264, 1087mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜓𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))
1089263, 1088sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))
1090262, 1089chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏)))
1091249, 1090chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1092229, 235, 236, 1091syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1093 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → ¬ 𝑦 < 𝑧)
1094 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦𝑧)
1095 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
1096 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
10971095, 1096lttri2d 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦𝑧 ↔ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦)))
10981094, 1097mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦))
10991098ord 862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (¬ 𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦))
11001093, 1099mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦)
11011100adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦)
11021101adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦)
1103 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝜑)
1104 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑧 ∈ ℝ)
1105 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
1106 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑧 < 𝑦)
11071104, 1105, 11063jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))
11081107adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))
11091108adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))
1110 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 𝑇) = (𝑖 · 𝑇))
11111110oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑖 → (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)))
11121111eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11131112anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
1114 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑙 · 𝑇))
11151114oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 = 𝑙 → (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)))
11161115eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11171116anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑙 → (((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11181113, 1117cbvrex2vw 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1119 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
11201119oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = 𝑘 → (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
11211120eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11221121anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
1123 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
11241123oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑙 = 𝑗 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)))
11251124eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11261125anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑙 = 𝑗 → (((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11271122, 1126cbvrex2vw 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑖 ∈ ℤ ∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑗 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1128 rexcom 3273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑗 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1129 ancom 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
113011292rexbii 3128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11311127, 1128, 11303bitri 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑖 ∈ ℤ ∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11321118, 1131sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11331132ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1134 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
1135 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑦))
11361134, 11353anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)))
11371136anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))))
1138 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
11391138eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11401139anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
114111402rexbidv 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11421137, 1141anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
1143 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑦 → (𝑧𝑏) = (𝑧𝑦))
11441143fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 → (abs‘(𝑧𝑏)) = (abs‘(𝑧𝑦)))
11451144breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦))))
11461142, 1145imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑦 → ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))))
1147 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ))
1148 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 < 𝑏𝑧 < 𝑏))
11491147, 11483anbi13d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = 𝑧 → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)))
11501149anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏))))
1151 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)))
11521151eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 = 𝑧 → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11531152anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = 𝑧 → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
115411532rexbidv 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11551150, 1154anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
1156 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎𝑏) = (𝑧𝑏))
11571156fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = 𝑧 → (abs‘(𝑎𝑏)) = (abs‘(𝑧𝑏)))
11581157breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 = 𝑧 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏))))
11591155, 1158imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏)))))
11601159, 1089chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏)))
11611146, 1160chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
11621103, 1109, 1133, 1161syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
1163 recn 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
11641163adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
1165 recn 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
11661165adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
11671164, 1166abssubd 15338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
11681167adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
11691168ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
11701162, 1169breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
11711170ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑦𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
117211713adantlr3 43235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑦𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
11731172adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑧 < 𝑦𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
11741102, 1173mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
11751092, 1174pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1176196, 204, 228, 1175syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1177389ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐸 ∈ ℝ)
1178198, 201resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → (𝑦𝑧) ∈ ℝ)
11791178recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → (𝑦𝑧) ∈ ℂ)
11801179abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℝ)
11811180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℝ)
11821177, 1181lenltd 11301 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)) ↔ ¬ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11831176, 1182mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → ¬ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸)
1184 nan 828 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸)) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → ¬ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11851183, 1184mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11861185ralrimivva 3197 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦𝐻𝑧𝐻 ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
1187 ralnex2 3130 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝐻𝑧𝐻 ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸) ↔ ¬ ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11881186, 1187sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11891188ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ¬ ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
1190195, 1189pm2.65da 815 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻))
11911190intnanrd 490 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
1192 elin 3926 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
11931191, 1192sylnibr 328 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)))
119413a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
119514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
119611adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → 𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌))
119717, 4restlp 22534 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ 𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌)) → ((limPt‘𝐾)‘𝐻) = (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)))
11981194, 1195, 1196, 1197syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐾) → ((limPt‘𝐾)‘𝐻) = (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)))
11991193, 1198neleqtrrd 2860 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
12001199nrexdv 3146 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
12011200adantr 481 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
120228, 1201condan 816 1 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  c0 4282  cop 4592   cuni 4865   class class class wbr 5105   I cid 5530   Or wor 5544   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  ccom 5637  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  infcinf 9377  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cz 12499  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  abscabs 15119  t crest 17302  topGenctg 17319  Topctop 22242  limPtclp 22485  Compccmp 22737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-cmp 22738
This theorem is referenced by:  fourierdlem54  44391
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