Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fourierdlem42.x |
. . . . 5
β’ (π β π β β) |
2 | | fourierdlem42.y |
. . . . 5
β’ (π β π β β) |
3 | | fourierdlem42.j |
. . . . . 6
β’ π½ = (topGenβran
(,)) |
4 | | fourierdlem42.k |
. . . . . 6
β’ πΎ = (π½ βΎt (π[,]π)) |
5 | 3, 4 | icccmp 24140 |
. . . . 5
β’ ((π β β β§ π β β) β πΎ β Comp) |
6 | 1, 2, 5 | syl2anc 584 |
. . . 4
β’ (π β πΎ β Comp) |
7 | 6 | adantr 481 |
. . 3
β’ ((π β§ Β¬ π» β Fin) β πΎ β Comp) |
8 | | fourierdlem42.h |
. . . . . 6
β’ π» = {π₯ β (π[,]π) β£ βπ β β€ (π₯ + (π Β· π)) β π΄} |
9 | | ssrab2 4035 |
. . . . . . 7
β’ {π₯ β (π[,]π) β£ βπ β β€ (π₯ + (π Β· π)) β π΄} β (π[,]π) |
10 | 9 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (π β {π₯ β (π[,]π) β£ βπ β β€ (π₯ + (π Β· π)) β π΄} β (π[,]π)) |
11 | 8, 10 | eqsstrid 3990 |
. . . . 5
β’ (π β π» β (π[,]π)) |
12 | | retop 24077 |
. . . . . . . 8
β’
(topGenβran (,)) β Top |
13 | 3, 12 | eqeltri 2834 |
. . . . . . 7
β’ π½ β Top |
14 | 1, 2 | iccssred 13305 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π[,]π) β β) |
15 | | uniretop 24078 |
. . . . . . . . 9
β’ β =
βͺ (topGenβran (,)) |
16 | 3 | unieqi 4876 |
. . . . . . . . 9
β’ βͺ π½ =
βͺ (topGenβran (,)) |
17 | 15, 16 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . 8
β’ β =
βͺ π½ |
18 | 17 | restuni 22465 |
. . . . . . 7
β’ ((π½ β Top β§ (π[,]π) β β) β (π[,]π) = βͺ (π½ βΎt (π[,]π))) |
19 | 13, 14, 18 | sylancr 587 |
. . . . . 6
β’ (π β (π[,]π) = βͺ (π½ βΎt (π[,]π))) |
20 | 4 | unieqi 4876 |
. . . . . . 7
β’ βͺ πΎ =
βͺ (π½ βΎt (π[,]π)) |
21 | 20 | eqcomi 2746 |
. . . . . 6
β’ βͺ (π½
βΎt (π[,]π)) = βͺ πΎ |
22 | 19, 21 | eqtrdi 2793 |
. . . . 5
β’ (π β (π[,]π) = βͺ πΎ) |
23 | 11, 22 | sseqtrd 3982 |
. . . 4
β’ (π β π» β βͺ πΎ) |
24 | 23 | adantr 481 |
. . 3
β’ ((π β§ Β¬ π» β Fin) β π» β βͺ πΎ) |
25 | | simpr 485 |
. . 3
β’ ((π β§ Β¬ π» β Fin) β Β¬ π» β Fin) |
26 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’ βͺ πΎ =
βͺ πΎ |
27 | 26 | bwth 22713 |
. . 3
β’ ((πΎ β Comp β§ π» β βͺ πΎ
β§ Β¬ π» β Fin)
β βπ₯ β
βͺ πΎπ₯ β ((limPtβπΎ)βπ»)) |
28 | 7, 24, 25, 27 | syl3anc 1371 |
. 2
β’ ((π β§ Β¬ π» β Fin) β βπ₯ β βͺ πΎπ₯ β ((limPtβπΎ)βπ»)) |
29 | 11, 14 | sstrd 3952 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π» β β) |
30 | 29 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π₯ β βͺ πΎ) β§ π₯ β ((limPtβπ½)βπ»)) β π» β β) |
31 | | ne0i 4292 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π₯ β ((limPtβπ½)βπ») β ((limPtβπ½)βπ») β β
) |
32 | 31 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π₯ β βͺ πΎ) β§ π₯ β ((limPtβπ½)βπ»)) β ((limPtβπ½)βπ») β β
) |
33 | | fourierdlem42.e |
. . . . . . . . . . 11
β’ πΈ = inf(π
, β, < ) |
34 | | fourierdlem42.r |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ π
= ran (π· βΎ πΌ) |
35 | | absf 15182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
abs:ββΆβ |
36 | | ffn 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(abs:ββΆβ β abs Fn β) |
37 | 35, 36 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ abs Fn
β |
38 | | subf 11361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ β
:(β Γ β)βΆβ |
39 | | ffn 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ( β
:(β Γ β)βΆβ β β Fn (β Γ
β)) |
40 | 38, 39 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ β
Fn (β Γ β) |
41 | | frn 6672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ( β
:(β Γ β)βΆβ β ran β β
β) |
42 | 38, 41 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ran
β β β |
43 | | fnco 6615 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((abs Fn
β β§ β Fn (β Γ β) β§ ran β β
β) β (abs β β ) Fn (β Γ
β)) |
44 | 37, 40, 42, 43 | mp3an 1461 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (abs
β β ) Fn (β Γ β) |
45 | | fourierdlem42.d |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ π· = (abs β β
) |
46 | 45 | fneq1i 6596 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π· Fn (β Γ β)
β (abs β β ) Fn (β Γ β)) |
47 | 44, 46 | mpbir 230 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ π· Fn (β Γ
β) |
48 | | fourierdlem42.i |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ πΌ = ((π΄ Γ π΄) β I ) |
49 | | fourierdlem42.a |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β π΄ β (π΅[,]πΆ)) |
50 | | fourierdlem42.b |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π΅ β β) |
51 | | fourierdlem42.c |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β πΆ β β) |
52 | 50, 51 | iccssred 13305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (π΅[,]πΆ) β β) |
53 | | ax-resscn 11066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ β
β β |
54 | 52, 53 | sstrdi 3954 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β (π΅[,]πΆ) β β) |
55 | 49, 54 | sstrd 3952 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π΄ β β) |
56 | | xpss12 5646 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π΄ β β β§ π΄ β β) β (π΄ Γ π΄) β (β Γ
β)) |
57 | 55, 55, 56 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (π΄ Γ π΄) β (β Γ
β)) |
58 | 57 | ssdifssd 4100 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β ((π΄ Γ π΄) β I ) β (β Γ
β)) |
59 | 48, 58 | eqsstrid 3990 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β πΌ β (β Γ
β)) |
60 | | fnssres 6621 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π· Fn (β Γ β)
β§ πΌ β (β
Γ β)) β (π·
βΎ πΌ) Fn πΌ) |
61 | 47, 59, 60 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (π· βΎ πΌ) Fn πΌ) |
62 | | fvres 6858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ β πΌ β ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = (π·βπ₯)) |
63 | 62 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = (π·βπ₯)) |
64 | 45 | fveq1i 6840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π·βπ₯) = ((abs β β )βπ₯) |
65 | 64 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β (π·βπ₯) = ((abs β β )βπ₯)) |
66 | | ffun 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ( β
:(β Γ β)βΆβ β Fun β ) |
67 | 38, 66 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ Fun
β |
68 | 59 | sselda 3942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β π₯ β (β Γ
β)) |
69 | 38 | fdmi 6677 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ dom
β = (β Γ β) |
70 | 68, 69 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β π₯ β dom β ) |
71 | | fvco 6936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((Fun
β β§ π₯ β dom
β ) β ((abs β β )βπ₯) = (absβ( β βπ₯))) |
72 | 67, 70, 71 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β ((abs β β )βπ₯) = (absβ( β
βπ₯))) |
73 | 63, 65, 72 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = (absβ( β βπ₯))) |
74 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β β :(β Γ
β)βΆβ) |
75 | 74, 68 | ffvelcdmd 7032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β ( β βπ₯) β β) |
76 | 75 | abscld 15281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β (absβ( β βπ₯)) β
β) |
77 | 73, 76 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β ((π· βΎ πΌ)βπ₯) β β) |
78 | | elxp2 5655 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ β (β Γ
β) β βπ¦
β β βπ§
β β π₯ =
β¨π¦, π§β©) |
79 | 68, 78 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β βπ¦ β β βπ§ β β π₯ = β¨π¦, π§β©) |
80 | | fveq2 6839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ = β¨π¦, π§β© β ( β βπ₯) = ( β ββ¨π¦, π§β©)) |
81 | 80 | 3ad2ant3 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π₯ β πΌ) β§ (π¦ β β β§ π§ β β) β§ π₯ = β¨π¦, π§β©) β ( β βπ₯) = ( β ββ¨π¦, π§β©)) |
82 | | df-ov 7354 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π¦ β π§) = ( β ββ¨π¦, π§β©) |
83 | | simp1l 1197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π₯ β πΌ) β§ (π¦ β β β§ π§ β β) β§ π₯ = β¨π¦, π§β©) β π) |
84 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π₯ β πΌ β§ π₯ = β¨π¦, π§β©) β π₯ = β¨π¦, π§β©) |
85 | | simpl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π₯ β πΌ β§ π₯ = β¨π¦, π§β©) β π₯ β πΌ) |
86 | 84, 85 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π₯ β πΌ β§ π₯ = β¨π¦, π§β©) β β¨π¦, π§β© β πΌ) |
87 | 86 | adantll 712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ π₯ β πΌ) β§ π₯ = β¨π¦, π§β©) β β¨π¦, π§β© β πΌ) |
88 | 87 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π₯ β πΌ) β§ (π¦ β β β§ π§ β β) β§ π₯ = β¨π¦, π§β©) β β¨π¦, π§β© β πΌ) |
89 | 55 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β§ β¨π¦, π§β© β πΌ) β π΄ β β) |
90 | 48 | eleq2i 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’
(β¨π¦, π§β© β πΌ β β¨π¦, π§β© β ((π΄ Γ π΄) β I )) |
91 | | eldif 3918 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’
(β¨π¦, π§β© β ((π΄ Γ π΄) β I ) β (β¨π¦, π§β© β (π΄ Γ π΄) β§ Β¬ β¨π¦, π§β© β I )) |
92 | 90, 91 | sylbb 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
(β¨π¦, π§β© β πΌ β (β¨π¦, π§β© β (π΄ Γ π΄) β§ Β¬ β¨π¦, π§β© β I )) |
93 | 92 | simpld 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’
(β¨π¦, π§β© β πΌ β β¨π¦, π§β© β (π΄ Γ π΄)) |
94 | | opelxp 5667 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’
(β¨π¦, π§β© β (π΄ Γ π΄) β (π¦ β π΄ β§ π§ β π΄)) |
95 | 93, 94 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’
(β¨π¦, π§β© β πΌ β (π¦ β π΄ β§ π§ β π΄)) |
96 | 95 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β§ β¨π¦, π§β© β πΌ) β (π¦ β π΄ β§ π§ β π΄)) |
97 | 96 | simpld 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β§ β¨π¦, π§β© β πΌ) β π¦ β π΄) |
98 | 89, 97 | sseldd 3943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β§ β¨π¦, π§β© β πΌ) β π¦ β β) |
99 | 96 | simprd 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β§ β¨π¦, π§β© β πΌ) β π§ β π΄) |
100 | 89, 99 | sseldd 3943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β§ β¨π¦, π§β© β πΌ) β π§ β β) |
101 | 92 | simprd 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’
(β¨π¦, π§β© β πΌ β Β¬ β¨π¦, π§β© β I ) |
102 | | df-br 5104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π¦ I π§ β β¨π¦, π§β© β I ) |
103 | 101, 102 | sylnibr 328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’
(β¨π¦, π§β© β πΌ β Β¬ π¦ I π§) |
104 | | vex 3447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ π§ β V |
105 | 104 | ideq 5806 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π¦ I π§ β π¦ = π§) |
106 | 103, 105 | sylnib 327 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
(β¨π¦, π§β© β πΌ β Β¬ π¦ = π§) |
107 | 106 | neqned 2948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
(β¨π¦, π§β© β πΌ β π¦ β π§) |
108 | 107 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β§ β¨π¦, π§β© β πΌ) β π¦ β π§) |
109 | 98, 100, 108 | subne0d 11479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ β¨π¦, π§β© β πΌ) β (π¦ β π§) β 0) |
110 | 83, 88, 109 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π₯ β πΌ) β§ (π¦ β β β§ π§ β β) β§ π₯ = β¨π¦, π§β©) β (π¦ β π§) β 0) |
111 | 82, 110 | eqnetrrid 3017 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π₯ β πΌ) β§ (π¦ β β β§ π§ β β) β§ π₯ = β¨π¦, π§β©) β ( β ββ¨π¦, π§β©) β 0) |
112 | 81, 111 | eqnetrd 3009 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π₯ β πΌ) β§ (π¦ β β β§ π§ β β) β§ π₯ = β¨π¦, π§β©) β ( β βπ₯) β 0) |
113 | 112 | 3exp 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β ((π¦ β β β§ π§ β β) β (π₯ = β¨π¦, π§β© β ( β βπ₯) β 0))) |
114 | 113 | rexlimdvv 3202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β (βπ¦ β β βπ§ β β π₯ = β¨π¦, π§β© β ( β βπ₯) β 0)) |
115 | 79, 114 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β ( β βπ₯) β 0) |
116 | | absgt0 15169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((
β βπ₯) β
β β (( β βπ₯) β 0 β 0 < (absβ( β
βπ₯)))) |
117 | 75, 116 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β (( β βπ₯) β 0 β 0 <
(absβ( β βπ₯)))) |
118 | 115, 117 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β 0 < (absβ( β
βπ₯))) |
119 | 73 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β (absβ( β βπ₯)) = ((π· βΎ πΌ)βπ₯)) |
120 | 118, 119 | breqtrd 5129 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β 0 < ((π· βΎ πΌ)βπ₯)) |
121 | 77, 120 | elrpd 12908 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β ((π· βΎ πΌ)βπ₯) β
β+) |
122 | 121 | ralrimiva 3141 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) β
β+) |
123 | | fnfvrnss 7064 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π· βΎ πΌ) Fn πΌ β§ βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) β β+) β ran
(π· βΎ πΌ) β
β+) |
124 | 61, 122, 123 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β ran (π· βΎ πΌ) β
β+) |
125 | 34, 124 | eqsstrid 3990 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π
β
β+) |
126 | | ltso 11193 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ < Or
β |
127 | 126 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β < Or
β) |
128 | | fourierdlem42.af |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β π΄ β Fin) |
129 | | xpfi 9219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π΄ β Fin β§ π΄ β Fin) β (π΄ Γ π΄) β Fin) |
130 | 128, 128,
129 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (π΄ Γ π΄) β Fin) |
131 | | diffi 9081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π΄ Γ π΄) β Fin β ((π΄ Γ π΄) β I ) β Fin) |
132 | 130, 131 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β ((π΄ Γ π΄) β I ) β Fin) |
133 | 48, 132 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β πΌ β Fin) |
134 | | fnfi 9083 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π· βΎ πΌ) Fn πΌ β§ πΌ β Fin) β (π· βΎ πΌ) β Fin) |
135 | 61, 133, 134 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (π· βΎ πΌ) β Fin) |
136 | | rnfi 9237 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π· βΎ πΌ) β Fin β ran (π· βΎ πΌ) β Fin) |
137 | 135, 136 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β ran (π· βΎ πΌ) β Fin) |
138 | 34, 137 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π
β Fin) |
139 | 34 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π
= ran (π· βΎ πΌ)) |
140 | 45 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β π· = (abs β β )) |
141 | 140 | reseq1d 5934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (π· βΎ πΌ) = ((abs β β ) βΎ πΌ)) |
142 | 141 | fveq1d 6841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β ((π· βΎ πΌ)ββ¨π΅, πΆβ©) = (((abs β β ) βΎ
πΌ)ββ¨π΅, πΆβ©)) |
143 | | fourierdlem42.ba |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π΅ β π΄) |
144 | | fourierdlem42.ca |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β πΆ β π΄) |
145 | | opelxp 5667 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(β¨π΅, πΆβ© β (π΄ Γ π΄) β (π΅ β π΄ β§ πΆ β π΄)) |
146 | 143, 144,
145 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β¨π΅, πΆβ© β (π΄ Γ π΄)) |
147 | | fourierdlem42.bc |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β π΅ < πΆ) |
148 | 50, 147 | ltned 11249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β π΅ β πΆ) |
149 | 148 | neneqd 2946 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β Β¬ π΅ = πΆ) |
150 | | ideqg 5805 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (πΆ β π΄ β (π΅ I πΆ β π΅ = πΆ)) |
151 | 144, 150 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (π΅ I πΆ β π΅ = πΆ)) |
152 | 149, 151 | mtbird 324 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β Β¬ π΅ I πΆ) |
153 | | df-br 5104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π΅ I πΆ β β¨π΅, πΆβ© β I ) |
154 | 152, 153 | sylnib 327 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β Β¬ β¨π΅, πΆβ© β I ) |
155 | 146, 154 | eldifd 3919 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β¨π΅, πΆβ© β ((π΄ Γ π΄) β I )) |
156 | 155, 48 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β¨π΅, πΆβ© β πΌ) |
157 | | fvres 6858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(β¨π΅, πΆβ© β πΌ β (((abs β β ) βΎ
πΌ)ββ¨π΅, πΆβ©) = ((abs β β
)ββ¨π΅, πΆβ©)) |
158 | 156, 157 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (((abs β β )
βΎ πΌ)ββ¨π΅, πΆβ©) = ((abs β β
)ββ¨π΅, πΆβ©)) |
159 | 50 | recnd 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π΅ β β) |
160 | 51 | recnd 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β πΆ β β) |
161 | | opelxp 5667 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(β¨π΅, πΆβ© β (β Γ
β) β (π΅ β
β β§ πΆ β
β)) |
162 | 159, 160,
161 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β¨π΅, πΆβ© β (β Γ
β)) |
163 | 162, 69 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β¨π΅, πΆβ© β dom β ) |
164 | | fvco 6936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((Fun
β β§ β¨π΅,
πΆβ© β dom β
) β ((abs β β )ββ¨π΅, πΆβ©) = (absβ( β
ββ¨π΅, πΆβ©))) |
165 | 67, 163, 164 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β ((abs β β
)ββ¨π΅, πΆβ©) = (absβ( β
ββ¨π΅, πΆβ©))) |
166 | | df-ov 7354 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π΅ β πΆ) = ( β ββ¨π΅, πΆβ©) |
167 | 166 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ( β
ββ¨π΅, πΆβ©) = (π΅ β πΆ) |
168 | 167 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β ( β
ββ¨π΅, πΆβ©) = (π΅ β πΆ)) |
169 | 168 | fveq2d 6843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (absβ( β
ββ¨π΅, πΆβ©)) = (absβ(π΅ β πΆ))) |
170 | 165, 169 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β ((abs β β
)ββ¨π΅, πΆβ©) = (absβ(π΅ β πΆ))) |
171 | 142, 158,
170 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (absβ(π΅ β πΆ)) = ((π· βΎ πΌ)ββ¨π΅, πΆβ©)) |
172 | | fnfvelrn 7028 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π· βΎ πΌ) Fn πΌ β§ β¨π΅, πΆβ© β πΌ) β ((π· βΎ πΌ)ββ¨π΅, πΆβ©) β ran (π· βΎ πΌ)) |
173 | 61, 156, 172 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β ((π· βΎ πΌ)ββ¨π΅, πΆβ©) β ran (π· βΎ πΌ)) |
174 | 171, 173 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (absβ(π΅ β πΆ)) β ran (π· βΎ πΌ)) |
175 | | ne0i 4292 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((absβ(π΅
β πΆ)) β ran
(π· βΎ πΌ) β ran (π· βΎ πΌ) β β
) |
176 | 174, 175 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β ran (π· βΎ πΌ) β β
) |
177 | 139, 176 | eqnetrd 3009 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π
β β
) |
178 | | resss 5960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π· βΎ πΌ) β π· |
179 | | rnss 5892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π· βΎ πΌ) β π· β ran (π· βΎ πΌ) β ran π·) |
180 | 178, 179 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ran
(π· βΎ πΌ) β ran π· |
181 | 45 | rneqi 5890 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ran π· = ran (abs β β
) |
182 | | rncoss 5925 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ran (abs
β β ) β ran abs |
183 | | frn 6672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(abs:ββΆβ β ran abs β
β) |
184 | 35, 183 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ran abs
β β |
185 | 182, 184 | sstri 3951 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ran (abs
β β ) β β |
186 | 181, 185 | eqsstri 3976 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ran π· β
β |
187 | 180, 186 | sstri 3951 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ran
(π· βΎ πΌ) β
β |
188 | 34, 187 | eqsstri 3976 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ π
β
β |
189 | 188 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π
β β) |
190 | | fiinfcl 9395 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (( <
Or β β§ (π
β
Fin β§ π
β β
β§ π
β β))
β inf(π
, β, <
) β π
) |
191 | 127, 138,
177, 189, 190 | syl13anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β inf(π
, β, < ) β π
) |
192 | 125, 191 | sseldd 3943 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β inf(π
, β, < ) β
β+) |
193 | 33, 192 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΈ β
β+) |
194 | 193 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π₯ β βͺ πΎ) β§ π₯ β ((limPtβπ½)βπ»)) β πΈ β
β+) |
195 | 3, 30, 32, 194 | lptre2pt 43782 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π₯ β βͺ πΎ) β§ π₯ β ((limPtβπ½)βπ»)) β βπ¦ β π» βπ§ β π» (π¦ β π§ β§ (absβ(π¦ β π§)) < πΈ)) |
196 | | simpll 765 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β§ π¦ β π§) β π) |
197 | 29 | sselda 3942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π¦ β π») β π¦ β β) |
198 | 197 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β π¦ β β) |
199 | 198 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β§ π¦ β π§) β π¦ β β) |
200 | 29 | sselda 3942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π§ β π») β π§ β β) |
201 | 200 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β π§ β β) |
202 | 201 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β§ π¦ β π§) β π§ β β) |
203 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β§ π¦ β π§) β π¦ β π§) |
204 | 199, 202,
203 | 3jca 1128 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β§ π¦ β π§) β (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§)) |
205 | 8 | eleq2i 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π¦ β π» β π¦ β {π₯ β (π[,]π) β£ βπ β β€ (π₯ + (π Β· π)) β π΄}) |
206 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ = π¦ β (π₯ + (π Β· π)) = (π¦ + (π Β· π))) |
207 | 206 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ = π¦ β ((π₯ + (π Β· π)) β π΄ β (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) |
208 | 207 | rexbidv 3173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π₯ = π¦ β (βπ β β€ (π₯ + (π Β· π)) β π΄ β βπ β β€ (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) |
209 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = π β (π Β· π) = (π Β· π)) |
210 | 209 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π = π β (π¦ + (π Β· π)) = (π¦ + (π Β· π))) |
211 | 210 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π β ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) |
212 | 211 | cbvrexvw 3224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(βπ β
β€ (π¦ + (π Β· π)) β π΄ β βπ β β€ (π¦ + (π Β· π)) β π΄) |
213 | 208, 212 | bitrdi 286 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ = π¦ β (βπ β β€ (π₯ + (π Β· π)) β π΄ β βπ β β€ (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) |
214 | 213 | elrab 3643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π¦ β {π₯ β (π[,]π) β£ βπ β β€ (π₯ + (π Β· π)) β π΄} β (π¦ β (π[,]π) β§ βπ β β€ (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) |
215 | 205, 214 | sylbb 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π¦ β π» β (π¦ β (π[,]π) β§ βπ β β€ (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) |
216 | 215 | simprd 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π¦ β π» β βπ β β€ (π¦ + (π Β· π)) β π΄) |
217 | 216 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π¦ β π» β§ π§ β π») β βπ β β€ (π¦ + (π Β· π)) β π΄) |
218 | 8 | eleq2i 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π§ β π» β π§ β {π₯ β (π[,]π) β£ βπ β β€ (π₯ + (π Β· π)) β π΄}) |
219 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ = π§ β (π₯ + (π Β· π)) = (π§ + (π Β· π))) |
220 | 219 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π₯ = π§ β ((π₯ + (π Β· π)) β π΄ β (π§ + (π Β· π)) β π΄)) |
221 | 220 | rexbidv 3173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ = π§ β (βπ β β€ (π₯ + (π Β· π)) β π΄ β βπ β β€ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) |
222 | 221 | elrab 3643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π§ β {π₯ β (π[,]π) β£ βπ β β€ (π₯ + (π Β· π)) β π΄} β (π§ β (π[,]π) β§ βπ β β€ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) |
223 | 218, 222 | sylbb 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π§ β π» β (π§ β (π[,]π) β§ βπ β β€ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) |
224 | 223 | simprd 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π§ β π» β βπ β β€ (π§ + (π Β· π)) β π΄) |
225 | 224 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π¦ β π» β§ π§ β π») β βπ β β€ (π§ + (π Β· π)) β π΄) |
226 | | reeanv 3215 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(βπ β
β€ βπ β
β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄) β (βπ β β€ (π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ βπ β β€ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) |
227 | 217, 225,
226 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π¦ β π» β§ π§ β π») β βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) |
228 | 227 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β§ π¦ β π§) β βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) |
229 | | simplll 773 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β§ π¦ < π§) β π) |
230 | | simpl1 1191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§) β§ π¦ < π§) β π¦ β β) |
231 | | simpl2 1192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§) β§ π¦ < π§) β π§ β β) |
232 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§) β§ π¦ < π§) β π¦ < π§) |
233 | 230, 231,
232 | 3jca 1128 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§) β§ π¦ < π§) β (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ < π§)) |
234 | 233 | adantll 712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§)) β§ π¦ < π§) β (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ < π§)) |
235 | 234 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β§ π¦ < π§) β (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ < π§)) |
236 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β§ π¦ < π§) β βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) |
237 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π§ β (π β β β π§ β β)) |
238 | | breq2 5107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π§ β (π¦ < π β π¦ < π§)) |
239 | 237, 238 | 3anbi23d 1439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π§ β ((π¦ β β β§ π β β β§ π¦ < π) β (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ < π§))) |
240 | 239 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π§ β ((π β§ (π¦ β β β§ π β β β§ π¦ < π)) β (π β§ (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ < π§)))) |
241 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π§ β (π + (π Β· π)) = (π§ + (π Β· π))) |
242 | 241 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π§ β ((π + (π Β· π)) β π΄ β (π§ + (π Β· π)) β π΄)) |
243 | 242 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π§ β (((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄))) |
244 | 243 | 2rexbidv 3211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π§ β (βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄))) |
245 | 240, 244 | anbi12d 631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = π§ β (((π β§ (π¦ β β β§ π β β β§ π¦ < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ < π§)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)))) |
246 | | oveq2 7359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π§ β (π¦ β π) = (π¦ β π§)) |
247 | 246 | fveq2d 6843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π§ β (absβ(π¦ β π)) = (absβ(π¦ β π§))) |
248 | 247 | breq2d 5115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = π§ β (πΈ β€ (absβ(π¦ β π)) β πΈ β€ (absβ(π¦ β π§)))) |
249 | 245, 248 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π = π§ β ((((π β§ (π¦ β β β§ π β β β§ π¦ < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (absβ(π¦ β π))) β (((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ < π§)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (absβ(π¦ β π§))))) |
250 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π¦ β (π β β β π¦ β β)) |
251 | | breq1 5106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π¦ β (π < π β π¦ < π)) |
252 | 250, 251 | 3anbi13d 1438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π¦ β ((π β β β§ π β β β§ π < π) β (π¦ β β β§ π β β β§ π¦ < π))) |
253 | 252 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π¦ β ((π β§ (π β β β§ π β β β§ π < π)) β (π β§ (π¦ β β β§ π β β β§ π¦ < π)))) |
254 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π = π¦ β (π + (π Β· π)) = (π¦ + (π Β· π))) |
255 | 254 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π¦ β ((π + (π Β· π)) β π΄ β (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) |
256 | 255 | anbi1d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π¦ β (((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄))) |
257 | 256 | 2rexbidv 3211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π¦ β (βπ β β€ βπ β β€ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄))) |
258 | 253, 257 | anbi12d 631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π¦ β (((π β§ (π β β β§ π β β β§ π < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π β§ (π¦ β β β§ π β β β§ π¦ < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)))) |
259 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π¦ β (π β π) = (π¦ β π)) |
260 | 259 | fveq2d 6843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π¦ β (absβ(π β π)) = (absβ(π¦ β π))) |
261 | 260 | breq2d 5115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π¦ β (πΈ β€ (absβ(π β π)) β πΈ β€ (absβ(π¦ β π)))) |
262 | 258, 261 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = π¦ β ((((π β§ (π β β β§ π β β β§ π < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (absβ(π β π))) β (((π β§ (π¦ β β β§ π β β β§ π¦ < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (absβ(π¦ β π))))) |
263 | | fourierdlem42.15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β ((π β§ (π β β β§ π β β β§ π < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄))) |
264 | 263 | simprbi 497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β βπ β β€ βπ β β€ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) |
265 | 263 | biimpi 215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π β ((π β§ (π β β β§ π β β β§ π < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄))) |
266 | 265 | simpld 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π β (π β§ (π β β β§ π β β β§ π < π))) |
267 | 266 | simpld 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π β π) |
268 | 267, 50 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π β π΅ β β) |
269 | 268 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β π΅ β β) |
270 | 267, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π β πΆ β β) |
271 | 270 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β πΆ β β) |
272 | 267, 49 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π β π΄ β (π΅[,]πΆ)) |
273 | 272 | sselda 3942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β (π + (π Β· π)) β (π΅[,]πΆ)) |
274 | 273 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (π + (π Β· π)) β (π΅[,]πΆ)) |
275 | 272 | sselda 3942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β (π + (π Β· π)) β (π΅[,]πΆ)) |
276 | 275 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (π + (π Β· π)) β (π΅[,]πΆ)) |
277 | 269, 271,
274, 276 | iccsuble 43658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β€ (πΆ β π΅)) |
278 | | fourierdlem42.t |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ π = (πΆ β π΅) |
279 | 277, 278 | breqtrrdi 5145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β€ π) |
280 | 279 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β€ π) |
281 | 280 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ Β¬ π β€ π) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β€ π) |
282 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ Β¬ π β€ π) β Β¬ π β€ π) |
283 | | zre 12461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π β β€ β π β
β) |
284 | 283 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β π β
β) |
285 | 284 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ Β¬ π β€ π) β π β β) |
286 | | zre 12461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π β β€ β π β
β) |
287 | 286 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β π β
β) |
288 | 287 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ Β¬ π β€ π) β π β β) |
289 | 285, 288 | ltnled 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ Β¬ π β€ π) β (π < π β Β¬ π β€ π)) |
290 | 282, 289 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ Β¬ π β€ π) β π < π) |
291 | 51, 50 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π β (πΆ β π΅) β β) |
292 | 278, 291 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π β π β β) |
293 | 267, 292 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π β π β β) |
294 | 293 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β π β β) |
295 | 287 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β π β β) |
296 | 284 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β π β β) |
297 | 295, 296 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (π β π) β β) |
298 | 293 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β π β β) |
299 | 297, 298 | remulcld 11143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π β π) Β· π) β β) |
300 | 299 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β ((π β π) Β· π) β β) |
301 | 266 | simprd 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π β (π β β β§ π β β β§ π < π)) |
302 | 301 | simp2d 1143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π β π β β) |
303 | 302 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β π β β) |
304 | 286 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€) β π β β) |
305 | 293 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€) β π β β) |
306 | 304, 305 | remulcld 11143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ π β β€) β (π Β· π) β β) |
307 | 306 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (π Β· π) β β) |
308 | 303, 307 | readdcld 11142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (π + (π Β· π)) β β) |
309 | 301 | simp1d 1142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π β π β β) |
310 | 309 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β π β β) |
311 | 283 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€) β π β β) |
312 | 293 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€) β π β β) |
313 | 311, 312 | remulcld 11143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ π β β€) β (π Β· π) β β) |
314 | 313 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (π Β· π) β β) |
315 | 310, 314 | readdcld 11142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (π + (π Β· π)) β β) |
316 | 308, 315 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β β) |
317 | 316 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β β) |
318 | 293 | recnd 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π β π β β) |
319 | 318 | mulid2d 11131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π β (1 Β· π) = π) |
320 | 319 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π β π = (1 Β· π)) |
321 | 320 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β π = (1 Β· π)) |
322 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β π < π) |
323 | | zltlem1 12514 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β (π < π β π β€ (π β 1))) |
324 | 323 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β (π < π β π β€ (π β 1))) |
325 | 322, 324 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β π β€ (π β 1)) |
326 | 284 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π β€ (π β 1)) β π β β) |
327 | | peano2rem 11426 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π β β β (π β 1) β
β) |
328 | 295, 327 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (π β 1) β β) |
329 | 328 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π β€ (π β 1)) β (π β 1) β β) |
330 | | 1re 11113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ 1 β
β |
331 | | resubcl 11423 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((1
β β β§ π
β β) β (1 β π) β β) |
332 | 330, 326,
331 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π β€ (π β 1)) β (1 β π) β
β) |
333 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π β€ (π β 1)) β π β€ (π β 1)) |
334 | 326, 329,
332, 333 | leadd1dd 11727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π β€ (π β 1)) β (π + (1 β π)) β€ ((π β 1) + (1 β π))) |
335 | | zcn 12462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π β β€ β π β
β) |
336 | 335 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β π β
β) |
337 | | 1cnd 11108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β 1 β
β) |
338 | 336, 337 | pncan3d 11473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β (π + (1 β π)) = 1) |
339 | 338 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π β€ (π β 1)) β (π + (1 β π)) = 1) |
340 | | zcn 12462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π β β€ β π β
β) |
341 | 340 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β π β
β) |
342 | 341, 337,
336 | npncand 11494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β ((π β 1) + (1 β π)) = (π β π)) |
343 | 342 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π β€ (π β 1)) β ((π β 1) + (1 β π)) = (π β π)) |
344 | 334, 339,
343 | 3brtr3d 5134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π β€ (π β 1)) β 1 β€ (π β π)) |
345 | 325, 344 | syldan 591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β 1 β€ (π β π)) |
346 | 330 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β 1 β β) |
347 | 297 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β (π β π) β β) |
348 | 50, 51 | posdifd 11700 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π β (π΅ < πΆ β 0 < (πΆ β π΅))) |
349 | 147, 348 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π β 0 < (πΆ β π΅)) |
350 | 349, 278 | breqtrrdi 5145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π β 0 < π) |
351 | 292, 350 | elrpd 12908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π β π β
β+) |
352 | 267, 351 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π β π β
β+) |
353 | 352 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β π β
β+) |
354 | 346, 347,
353 | lemul1d 12954 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β (1 β€ (π β π) β (1 Β· π) β€ ((π β π) Β· π))) |
355 | 345, 354 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β (1 Β· π) β€ ((π β π) Β· π)) |
356 | 321, 355 | eqbrtrd 5125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β π β€ ((π β π) Β· π)) |
357 | 302, 309 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π β (π β π) β β) |
358 | 301 | simp3d 1144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π β π < π) |
359 | 309, 302 | posdifd 11700 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π β (π < π β 0 < (π β π))) |
360 | 358, 359 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π β 0 < (π β π)) |
361 | 357, 360 | elrpd 12908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π β (π β π) β
β+) |
362 | 361 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (π β π) β
β+) |
363 | 299, 362 | ltaddrp2d 12945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π β π) Β· π) < ((π β π) + ((π β π) Β· π))) |
364 | 302 | recnd 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π β π β β) |
365 | 364 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β π β β) |
366 | 306 | recnd 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€) β (π Β· π) β β) |
367 | 366 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (π Β· π) β β) |
368 | 309 | recnd 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π β π β β) |
369 | 368 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β π β β) |
370 | 313 | recnd 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€) β (π Β· π) β β) |
371 | 370 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (π Β· π) β β) |
372 | 365, 367,
369, 371 | addsub4d 11517 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) = ((π β π) + ((π Β· π) β (π Β· π)))) |
373 | 340 | ad2antll 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β π β β) |
374 | 335 | ad2antrl 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β π β β) |
375 | 318 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β π β β) |
376 | 373, 374,
375 | subdird 11570 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π β π) Β· π) = ((π Β· π) β (π Β· π))) |
377 | 376 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π Β· π) β (π Β· π)) = ((π β π) Β· π)) |
378 | 377 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π β π) + ((π Β· π) β (π Β· π))) = ((π β π) + ((π β π) Β· π))) |
379 | 372, 378 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π β π) + ((π β π) Β· π)) = ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π)))) |
380 | 363, 379 | breqtrd 5129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π β π) Β· π) < ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π)))) |
381 | 380 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β ((π β π) Β· π) < ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π)))) |
382 | 294, 300,
317, 356, 381 | lelttrd 11271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β π < ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π)))) |
383 | 294, 317 | ltnled 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β (π < ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β Β¬ ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β€ π)) |
384 | 382, 383 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β Β¬ ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β€ π) |
385 | 290, 384 | syldan 591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ Β¬ π β€ π) β Β¬ ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β€ π) |
386 | 385 | 3adantl3 1168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ Β¬ π β€ π) β Β¬ ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β€ π) |
387 | 281, 386 | condan 816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β π β€ π) |
388 | 188, 191 | sselid 3940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π β inf(π
, β, < ) β
β) |
389 | 33, 388 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π β πΈ β β) |
390 | 267, 389 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π β πΈ β β) |
391 | 390 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β β) |
392 | 391 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β πΈ β β) |
393 | 293 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β π β β) |
394 | 393 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β π β β) |
395 | 284, 287 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β (π β π) β β) |
396 | 395 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (π β π) β β) |
397 | 396, 298 | remulcld 11143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π β π) Β· π) β β) |
398 | 397 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π β π) Β· π) β β) |
399 | 398 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β ((π β π) Β· π) β β) |
400 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π β π) |
401 | 143, 144 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π β (π΅ β π΄ β§ πΆ β π΄)) |
402 | 400, 401,
147 | 3jca 1128 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π β (π β§ (π΅ β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ π΅ < πΆ)) |
403 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π = πΆ β (π β π΄ β πΆ β π΄)) |
404 | 403 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π = πΆ β ((π΅ β π΄ β§ π β π΄) β (π΅ β π΄ β§ πΆ β π΄))) |
405 | | breq2 5107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π = πΆ β (π΅ < π β π΅ < πΆ)) |
406 | 404, 405 | 3anbi23d 1439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π = πΆ β ((π β§ (π΅ β π΄ β§ π β π΄) β§ π΅ < π) β (π β§ (π΅ β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ π΅ < πΆ))) |
407 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π = πΆ β (π β π΅) = (πΆ β π΅)) |
408 | 407 | breq2d 5115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π = πΆ β (πΈ β€ (π β π΅) β πΈ β€ (πΆ β π΅))) |
409 | 406, 408 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π = πΆ β (((π β§ (π΅ β π΄ β§ π β π΄) β§ π΅ < π) β πΈ β€ (π β π΅)) β ((π β§ (π΅ β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ π΅ < πΆ) β πΈ β€ (πΆ β π΅)))) |
410 | | simp2l 1199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ (π΅ β π΄ β§ π β π΄) β§ π΅ < π) β π΅ β π΄) |
411 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π = π΅ β (π β π΄ β π΅ β π΄)) |
412 | 411 | anbi1d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π = π΅ β ((π β π΄ β§ π β π΄) β (π΅ β π΄ β§ π β π΄))) |
413 | | breq1 5106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π = π΅ β (π < π β π΅ < π)) |
414 | 412, 413 | 3anbi23d 1439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π = π΅ β ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β (π β§ (π΅ β π΄ β§ π β π΄) β§ π΅ < π))) |
415 | | oveq2 7359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π = π΅ β (π β π) = (π β π΅)) |
416 | 415 | breq2d 5115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π = π΅ β (πΈ β€ (π β π) β πΈ β€ (π β π΅))) |
417 | 414, 416 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π = π΅ β (((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β πΈ β€ (π β π)) β ((π β§ (π΅ β π΄ β§ π β π΄) β§ π΅ < π) β πΈ β€ (π β π΅)))) |
418 | 188 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β π
β β) |
419 | | 0re 11115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ 0 β
β |
420 | 34 | eleq2i 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
β’ (π¦ β π
β π¦ β ran (π· βΎ πΌ)) |
421 | 420 | biimpi 215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
β’ (π¦ β π
β π¦ β ran (π· βΎ πΌ)) |
422 | 421 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
β’ ((π β§ π¦ β π
) β π¦ β ran (π· βΎ πΌ)) |
423 | 61 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
β’ ((π β§ π¦ β π
) β (π· βΎ πΌ) Fn πΌ) |
424 | | fvelrnb 6900 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
β’ ((π· βΎ πΌ) Fn πΌ β (π¦ β ran (π· βΎ πΌ) β βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = π¦)) |
425 | 423, 424 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
β’ ((π β§ π¦ β π
) β (π¦ β ran (π· βΎ πΌ) β βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = π¦)) |
426 | 422, 425 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ ((π β§ π¦ β π
) β βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = π¦) |
427 | 121 | rpge0d 12915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
β’ ((π β§ π₯ β πΌ) β 0 β€ ((π· βΎ πΌ)βπ₯)) |
428 | 427 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
β’ ((π β§ π₯ β πΌ β§ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = π¦) β 0 β€ ((π· βΎ πΌ)βπ₯)) |
429 | | simp3 1138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
β’ ((π β§ π₯ β πΌ β§ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = π¦) β ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = π¦) |
430 | 428, 429 | breqtrd 5129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
β’ ((π β§ π₯ β πΌ β§ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = π¦) β 0 β€ π¦) |
431 | 430 | 3exp 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
β’ (π β (π₯ β πΌ β (((π· βΎ πΌ)βπ₯) = π¦ β 0 β€ π¦))) |
432 | 431 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
β’ ((π β§ π¦ β π
) β (π₯ β πΌ β (((π· βΎ πΌ)βπ₯) = π¦ β 0 β€ π¦))) |
433 | 432 | rexlimdv 3148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ ((π β§ π¦ β π
) β (βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = π¦ β 0 β€ π¦)) |
434 | 426, 433 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ ((π β§ π¦ β π
) β 0 β€ π¦) |
435 | 434 | ralrimiva 3141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (π β βπ¦ β π
0 β€ π¦) |
436 | | breq1 5106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ (π₯ = 0 β (π₯ β€ π¦ β 0 β€ π¦)) |
437 | 436 | ralbidv 3172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ (π₯ = 0 β (βπ¦ β π
π₯ β€ π¦ β βπ¦ β π
0 β€ π¦)) |
438 | 437 | rspcev 3579 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((0
β β β§ βπ¦ β π
0 β€ π¦) β βπ₯ β β βπ¦ β π
π₯ β€ π¦) |
439 | 419, 435,
438 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π β βπ₯ β β βπ¦ β π
π₯ β€ π¦) |
440 | 439 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β βπ₯ β β βπ¦ β π
π₯ β€ π¦) |
441 | | pm3.22 460 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
β’ ((π β π΄ β§ π β π΄) β (π β π΄ β§ π β π΄)) |
442 | | opelxp 5667 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
β’
(β¨π, πβ© β (π΄ Γ π΄) β (π β π΄ β§ π β π΄)) |
443 | 441, 442 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
β’ ((π β π΄ β§ π β π΄) β β¨π, πβ© β (π΄ Γ π΄)) |
444 | 443 | 3ad2ant2 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β β¨π, πβ© β (π΄ Γ π΄)) |
445 | 49, 52 | sstrd 3952 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
β’ (π β π΄ β β) |
446 | 445 | sselda 3942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
β’ ((π β§ π β π΄) β π β β) |
447 | 446 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β β) |
448 | 447 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β π β β) |
449 | | simp3 1138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β π < π) |
450 | 448, 449 | gtned 11248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β π β π) |
451 | 450 | neneqd 2946 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β Β¬ π = π) |
452 | | df-br 5104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
β’ (π I π β β¨π, πβ© β I ) |
453 | | vex 3447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
β’ π β V |
454 | 453 | ideq 5806 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
β’ (π I π β π = π) |
455 | 452, 454 | bitr3i 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
β’
(β¨π, πβ© β I β π = π) |
456 | 451, 455 | sylnibr 328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β Β¬ β¨π, πβ© β I ) |
457 | 444, 456 | eldifd 3919 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β β¨π, πβ© β ((π΄ Γ π΄) β I )) |
458 | 457, 48 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β β¨π, πβ© β πΌ) |
459 | 448, 449 | ltned 11249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β π β π) |
460 | 141 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π· βΎ πΌ) = ((abs β β ) βΎ πΌ)) |
461 | 460 | fveq1d 6841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β ((π· βΎ πΌ)ββ¨π, πβ©) = (((abs β β ) βΎ
πΌ)ββ¨π, πβ©)) |
462 | 443 | 3ad2ant2 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β β¨π, πβ© β (π΄ Γ π΄)) |
463 | | necom 2995 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
β’ (π β π β π β π) |
464 | 463 | biimpi 215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
β’ (π β π β π β π) |
465 | 464 | neneqd 2946 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
β’ (π β π β Β¬ π = π) |
466 | 465 | 3ad2ant3 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β Β¬ π = π) |
467 | 466, 455 | sylnibr 328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β Β¬ β¨π, πβ© β I ) |
468 | 462, 467 | eldifd 3919 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β β¨π, πβ© β ((π΄ Γ π΄) β I )) |
469 | 468, 48 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β β¨π, πβ© β πΌ) |
470 | | fvres 6858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
β’
(β¨π, πβ© β πΌ β (((abs β β ) βΎ
πΌ)ββ¨π, πβ©) = ((abs β β
)ββ¨π, πβ©)) |
471 | 469, 470 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (((abs β β ) βΎ
πΌ)ββ¨π, πβ©) = ((abs β β
)ββ¨π, πβ©)) |
472 | | simp1 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β π) |
473 | 472, 469 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β§ β¨π, πβ© β πΌ)) |
474 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
β’ (π₯ = β¨π, πβ© β (π₯ β πΌ β β¨π, πβ© β πΌ)) |
475 | 474 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
β’ (π₯ = β¨π, πβ© β ((π β§ π₯ β πΌ) β (π β§ β¨π, πβ© β πΌ))) |
476 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
β’ (π₯ = β¨π, πβ© β (π₯ β dom β β β¨π, πβ© β dom β )) |
477 | 475, 476 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
β’ (π₯ = β¨π, πβ© β (((π β§ π₯ β πΌ) β π₯ β dom β ) β ((π β§ β¨π, πβ© β πΌ) β β¨π, πβ© β dom β
))) |
478 | 477, 70 | vtoclg 3523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
β’
(β¨π, πβ© β πΌ β ((π β§ β¨π, πβ© β πΌ) β β¨π, πβ© β dom β )) |
479 | 469, 473,
478 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β β¨π, πβ© β dom β ) |
480 | | fvco 6936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
β’ ((Fun
β β§ β¨π,
πβ© β dom β
) β ((abs β β )ββ¨π, πβ©) = (absβ( β
ββ¨π, πβ©))) |
481 | 67, 479, 480 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β ((abs β β
)ββ¨π, πβ©) = (absβ( β
ββ¨π, πβ©))) |
482 | | df-ov 7354 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 49
β’ (π β π) = ( β ββ¨π, πβ©) |
483 | 482 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
β’ ( β
ββ¨π, πβ©) = (π β π) |
484 | 483 | fveq2i 6842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
β’
(absβ( β ββ¨π, πβ©)) = (absβ(π β π)) |
485 | 481, 484 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β ((abs β β
)ββ¨π, πβ©) = (absβ(π β π))) |
486 | 461, 471,
485 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β ((π· βΎ πΌ)ββ¨π, πβ©) = (absβ(π β π))) |
487 | 459, 486 | syld3an3 1409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β ((π· βΎ πΌ)ββ¨π, πβ©) = (absβ(π β π))) |
488 | 445 | sselda 3942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
β’ ((π β§ π β π΄) β π β β) |
489 | 488 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β β) |
490 | 489 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β π β β) |
491 | 448, 490,
449 | ltled 11261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β π β€ π) |
492 | 448, 490,
491 | abssubge0d 15276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β (absβ(π β π)) = (π β π)) |
493 | 487, 492 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β ((π· βΎ πΌ)ββ¨π, πβ©) = (π β π)) |
494 | | fveq2 6839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
β’ (π₯ = β¨π, πβ© β ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = ((π· βΎ πΌ)ββ¨π, πβ©)) |
495 | 494 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ (π₯ = β¨π, πβ© β (((π· βΎ πΌ)βπ₯) = (π β π) β ((π· βΎ πΌ)ββ¨π, πβ©) = (π β π))) |
496 | 495 | rspcev 3579 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’
((β¨π, πβ© β πΌ β§ ((π· βΎ πΌ)ββ¨π, πβ©) = (π β π)) β βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = (π β π)) |
497 | 458, 493,
496 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = (π β π)) |
498 | 489, 447 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β π) β β) |
499 | | elex 3461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
β’ ((π β π) β β β (π β π) β V) |
500 | 498, 499 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β π) β V) |
501 | 500 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β (π β π) β V) |
502 | | simp1 1136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β π) |
503 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
β’ (π¦ = (π β π) β (π¦ β ran (π· βΎ πΌ) β (π β π) β ran (π· βΎ πΌ))) |
504 | | eqeq2 2749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
β’ (π¦ = (π β π) β (((π· βΎ πΌ)βπ₯) = π¦ β ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = (π β π))) |
505 | 504 | rexbidv 3173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
β’ (π¦ = (π β π) β (βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = π¦ β βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = (π β π))) |
506 | 503, 505 | bibi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
β’ (π¦ = (π β π) β ((π¦ β ran (π· βΎ πΌ) β βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = π¦) β ((π β π) β ran (π· βΎ πΌ) β βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = (π β π)))) |
507 | 506 | imbi2d 340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ (π¦ = (π β π) β ((π β (π¦ β ran (π· βΎ πΌ) β βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = π¦)) β (π β ((π β π) β ran (π· βΎ πΌ) β βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = (π β π))))) |
508 | 61, 424 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ (π β (π¦ β ran (π· βΎ πΌ) β βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = π¦)) |
509 | 507, 508 | vtoclg 3523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ ((π β π) β V β (π β ((π β π) β ran (π· βΎ πΌ) β βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = (π β π)))) |
510 | 501, 502,
509 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β ((π β π) β ran (π· βΎ πΌ) β βπ₯ β πΌ ((π· βΎ πΌ)βπ₯) = (π β π))) |
511 | 497, 510 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β (π β π) β ran (π· βΎ πΌ)) |
512 | 511, 34 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β (π β π) β π
) |
513 | | infrelb 12098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((π
β β β§
βπ₯ β β
βπ¦ β π
π₯ β€ π¦ β§ (π β π) β π
) β inf(π
, β, < ) β€ (π β π)) |
514 | 418, 440,
512, 513 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β inf(π
, β, < ) β€ (π β π)) |
515 | 33, 514 | eqbrtrid 5138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β πΈ β€ (π β π)) |
516 | 417, 515 | vtoclg 3523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π΅ β π΄ β ((π β§ (π΅ β π΄ β§ π β π΄) β§ π΅ < π) β πΈ β€ (π β π΅))) |
517 | 410, 516 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ (π΅ β π΄ β§ π β π΄) β§ π΅ < π) β πΈ β€ (π β π΅)) |
518 | 409, 517 | vtoclg 3523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (πΆ β π΄ β ((π β§ (π΅ β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ π΅ < πΆ) β πΈ β€ (πΆ β π΅))) |
519 | 144, 402,
518 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π β πΈ β€ (πΆ β π΅)) |
520 | 519, 278 | breqtrrdi 5145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π β πΈ β€ π) |
521 | 267, 520 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π β πΈ β€ π) |
522 | 521 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ π) |
523 | 522 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β πΈ β€ π) |
524 | 364 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((π β§ π β β€) β π β β) |
525 | 524, 366 | pncan2d 11472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ π β β€) β ((π + (π Β· π)) β π) = (π Β· π)) |
526 | 525 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ π β β€) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) = ((π Β· π) / π)) |
527 | 340 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ π β β€) β π β β) |
528 | 318 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ π β β€) β π β β) |
529 | 419 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (π β 0 β
β) |
530 | 529, 350 | gtned 11248 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π β π β 0) |
531 | 267, 530 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π β π β 0) |
532 | 531 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ π β β€) β π β 0) |
533 | 527, 528,
532 | divcan4d 11895 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ π β β€) β ((π Β· π) / π) = π) |
534 | 526, 533 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ π β β€) β π = (((π + (π Β· π)) β π) / π)) |
535 | 534 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β π = (((π + (π Β· π)) β π) / π)) |
536 | 535 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β π = (((π + (π Β· π)) β π) / π)) |
537 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π)) β ((π + (π Β· π)) β π) = ((π + (π Β· π)) β π)) |
538 | 537 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π)) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) = (((π + (π Β· π)) β π) / π)) |
539 | 538 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) = (((π + (π Β· π)) β π) / π)) |
540 | 368 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ ((π β§ π β β€) β π β β) |
541 | 364 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ ((π β§ π β β€) β π β β) |
542 | 540, 370,
541 | addsubd 11491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((π β§ π β β€) β ((π + (π Β· π)) β π) = ((π β π) + (π Β· π))) |
543 | 540, 541 | subcld 11470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ ((π β§ π β β€) β (π β π) β β) |
544 | 543, 370 | addcomd 11315 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((π β§ π β β€) β ((π β π) + (π Β· π)) = ((π Β· π) + (π β π))) |
545 | 542, 544 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ π β β€) β ((π + (π Β· π)) β π) = ((π Β· π) + (π β π))) |
546 | 545 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ π β β€) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) = (((π Β· π) + (π β π)) / π)) |
547 | 318 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ π β β€) β π β β) |
548 | 531 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ π β β€) β π β 0) |
549 | 370, 543,
547, 548 | divdird 11927 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ π β β€) β (((π Β· π) + (π β π)) / π) = (((π Β· π) / π) + ((π β π) / π))) |
550 | 335 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((π β§ π β β€) β π β β) |
551 | 550, 547,
548 | divcan4d 11895 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ π β β€) β ((π Β· π) / π) = π) |
552 | 551 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ π β β€) β (((π Β· π) / π) + ((π β π) / π)) = (π + ((π β π) / π))) |
553 | 546, 549,
552 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ π β β€) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) = (π + ((π β π) / π))) |
554 | 553 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) = (π + ((π β π) / π))) |
555 | 554 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) = (π + ((π β π) / π))) |
556 | 536, 539,
555 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β π = (π + ((π β π) / π))) |
557 | 309, 302 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π β (π β π) β β) |
558 | 309, 302 | sublt0d 11739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π β ((π β π) < 0 β π < π)) |
559 | 358, 558 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π β (π β π) < 0) |
560 | 557, 352,
559 | divlt0gt0d 43425 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π β ((π β π) / π) < 0) |
561 | 560 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ π β β€) β ((π β π) / π) < 0) |
562 | 335 | subidd 11458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π β β€ β (π β π) = 0) |
563 | 562 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π β β€ β 0 =
(π β π)) |
564 | 563 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ π β β€) β 0 = (π β π)) |
565 | 561, 564 | breqtrd 5129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ π β β€) β ((π β π) / π) < (π β π)) |
566 | 557, 293,
531 | redivcld 11941 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π β ((π β π) / π) β β) |
567 | 566 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ π β β€) β ((π β π) / π) β β) |
568 | 311, 567,
311 | ltaddsub2d 11714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ π β β€) β ((π + ((π β π) / π)) < π β ((π β π) / π) < (π β π))) |
569 | 565, 568 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ π β β€) β (π + ((π β π) / π)) < π) |
570 | 569 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (π + ((π β π) / π)) < π) |
571 | 570 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (π + ((π β π) / π)) < π) |
572 | 556, 571 | eqbrtrd 5125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β π < π) |
573 | 320 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β π = (1 Β· π)) |
574 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π) β π < π) |
575 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π) β π β β€) |
576 | | simpll 765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π) β π β β€) |
577 | | zltp1le 12511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β (π < π β (π + 1) β€ π)) |
578 | 575, 576,
577 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π) β (π < π β (π + 1) β€ π)) |
579 | 574, 578 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π) β (π + 1) β€ π) |
580 | 286 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π) β π β β) |
581 | 330 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π) β 1 β β) |
582 | 283 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π) β π β β) |
583 | 580, 581,
582 | leaddsub2d 11715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π) β ((π + 1) β€ π β 1 β€ (π β π))) |
584 | 579, 583 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π) β 1 β€ (π β π)) |
585 | 584 | adantll 712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β 1 β€ (π β π)) |
586 | 330 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β 1 β β) |
587 | 395 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β (π β π) β β) |
588 | 352 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β π β
β+) |
589 | 586, 587,
588 | lemul1d 12954 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β (1 β€ (π β π) β (1 Β· π) β€ ((π β π) Β· π))) |
590 | 585, 589 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β (1 Β· π) β€ ((π β π) Β· π)) |
591 | 573, 590 | eqbrtrd 5125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π < π) β π β€ ((π β π) Β· π)) |
592 | 572, 591 | syldan 591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β π β€ ((π β π) Β· π)) |
593 | 592 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β π β€ ((π β π) Β· π)) |
594 | 593 | 3adantll3 43158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β π β€ ((π β π) Β· π)) |
595 | 392, 394,
399, 523, 594 | letrd 11270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β πΈ β€ ((π β π) Β· π)) |
596 | | oveq2 7359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) = ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π)))) |
597 | 596 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π)) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) = (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
598 | 597 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) = (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
599 | 267, 445 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π β π΄ β β) |
600 | 599 | sselda 3942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β (π + (π Β· π)) β β) |
601 | 600 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (π + (π Β· π)) β β) |
602 | 601 | recnd 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (π + (π Β· π)) β β) |
603 | 602 | subidd 11458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) = 0) |
604 | 603 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) = (0 + ((π β π) Β· π))) |
605 | 604 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) = (0 + ((π β π) Β· π))) |
606 | 598, 605 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) = (0 + ((π β π) Β· π))) |
607 | 606 | 3adantl2 1167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) = (0 + ((π β π) Β· π))) |
608 | 607 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) = (0 + ((π β π) Β· π))) |
609 | 374, 373 | subcld 11470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (π β π) β β) |
610 | 609, 375 | mulcld 11133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π β π) Β· π) β β) |
611 | 610 | addid2d 11314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (0 + ((π β π) Β· π)) = ((π β π) Β· π)) |
612 | 611 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (0 + ((π β π) Β· π)) = ((π β π) Β· π)) |
613 | 612 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (0 + ((π β π) Β· π)) = ((π β π) Β· π)) |
614 | 608, 613 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β ((π β π) Β· π) = (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
615 | 595, 614 | breqtrd 5129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β πΈ β€ (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
616 | 615 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β πΈ β€ (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
617 | 391 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β πΈ β β) |
618 | 599 | sselda 3942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β (π + (π Β· π)) β β) |
619 | 618 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (π + (π Β· π)) β β) |
620 | 601, 619 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β β) |
621 | 620 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β β) |
622 | 621 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β β) |
623 | 621, 398 | readdcld 11142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) β β) |
624 | 623 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) β β) |
625 | 267 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ π β€ π) β π) |
626 | 625 | 3ad2antl1 1185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β π) |
627 | 626 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β π) |
628 | | simpl3 1193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) |
629 | 628 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) |
630 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) |
631 | 619 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) β β) |
632 | 601 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) β β) |
633 | 631, 632 | lenltd 11259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β ((π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π)) β Β¬ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π)))) |
634 | 630, 633 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β Β¬ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) |
635 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) |
636 | 635 | notbii 319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (Β¬
(π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π)) β Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) |
637 | 636 | biimpi 215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (Β¬
(π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π)) β Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) |
638 | 637 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) |
639 | | ioran 982 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (Β¬
((π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π)) β¨ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (Β¬ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π)) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π)))) |
640 | 634, 638,
639 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β Β¬ ((π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π)) β¨ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π)))) |
641 | 632, 631 | leloed 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β ((π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π)) β ((π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π)) β¨ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))))) |
642 | 640, 641 | mtbird 324 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β Β¬ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) |
643 | 642 | 3adantll2 43157 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β Β¬ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) |
644 | 643 | adantllr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β Β¬ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) |
645 | 619 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β (π + (π Β· π)) β β) |
646 | 645 | 3adantl2 1167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β (π + (π Β· π)) β β) |
647 | 646 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) β β) |
648 | 601 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β (π + (π Β· π)) β β) |
649 | 648 | 3adantl2 1167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β (π + (π Β· π)) β β) |
650 | 649 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) β β) |
651 | 647, 650 | ltnled 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β ((π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π)) β Β¬ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π)))) |
652 | 644, 651 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) |
653 | | simp2l 1199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) β π΄) |
654 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π = (π + (π Β· π)) β (π β π΄ β (π + (π Β· π)) β π΄)) |
655 | 654 | anbi1d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π = (π + (π Β· π)) β ((π β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄))) |
656 | | breq1 5106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π = (π + (π Β· π)) β (π < (π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π)))) |
657 | 655, 656 | 3anbi23d 1439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π = (π + (π Β· π)) β ((π β§ (π β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ π < (π + (π Β· π))) β (π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))))) |
658 | | oveq2 7359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π = (π + (π Β· π)) β ((π + (π Β· π)) β π) = ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π)))) |
659 | 658 | breq2d 5115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π = (π + (π Β· π)) β (πΈ β€ ((π + (π Β· π)) β π) β πΈ β€ ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))))) |
660 | 657, 659 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π = (π + (π Β· π)) β (((π β§ (π β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ π < (π + (π Β· π))) β πΈ β€ ((π + (π Β· π)) β π)) β ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β πΈ β€ ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π)))))) |
661 | | simp2r 1200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ π < (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) β π΄) |
662 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π = (π + (π Β· π)) β (π β π΄ β (π + (π Β· π)) β π΄)) |
663 | 662 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π = (π + (π Β· π)) β ((π β π΄ β§ π β π΄) β (π β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄))) |
664 | | breq2 5107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π = (π + (π Β· π)) β (π < π β π < (π + (π Β· π)))) |
665 | 663, 664 | 3anbi23d 1439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π = (π + (π Β· π)) β ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β (π β§ (π β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ π < (π + (π Β· π))))) |
666 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π = (π + (π Β· π)) β (π β π) = ((π + (π Β· π)) β π)) |
667 | 666 | breq2d 5115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π = (π + (π Β· π)) β (πΈ β€ (π β π) β πΈ β€ ((π + (π Β· π)) β π))) |
668 | 665, 667 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π = (π + (π Β· π)) β (((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β πΈ β€ (π β π)) β ((π β§ (π β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ π < (π + (π Β· π))) β πΈ β€ ((π + (π Β· π)) β π)))) |
669 | 668, 515 | vtoclg 3523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π + (π Β· π)) β π΄ β ((π β§ (π β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ π < (π + (π Β· π))) β πΈ β€ ((π + (π Β· π)) β π))) |
670 | 661, 669 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ π < (π + (π Β· π))) β πΈ β€ ((π + (π Β· π)) β π)) |
671 | 660, 670 | vtoclg 3523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π + (π Β· π)) β π΄ β ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β πΈ β€ ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))))) |
672 | 653, 671 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β πΈ β€ ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π)))) |
673 | 627, 629,
652, 672 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β πΈ β€ ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π)))) |
674 | 395 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π β€ π) β (π β π) β β) |
675 | 293 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π β€ π) β π β β) |
676 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π β€ π) β π β€ π) |
677 | 283 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π β€ π) β π β β) |
678 | 286 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π β€ π) β π β β) |
679 | 677, 678 | subge0d 11703 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π β€ π) β (0 β€ (π β π) β π β€ π)) |
680 | 676, 679 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π β€ π) β 0 β€ (π β π)) |
681 | 680 | adantll 712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π β€ π) β 0 β€ (π β π)) |
682 | 352 | rpge0d 12915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π β 0 β€ π) |
683 | 682 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π β€ π) β 0 β€ π) |
684 | 674, 675,
681, 683 | mulge0d 11690 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π β€ π) β 0 β€ ((π β π) Β· π)) |
685 | 684 | 3adantl3 1168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β 0 β€ ((π β π) Β· π)) |
686 | 621 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β β) |
687 | 398 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β ((π β π) Β· π) β β) |
688 | 686, 687 | addge01d 11701 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β (0 β€ ((π β π) Β· π) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β€ (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)))) |
689 | 685, 688 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β€ (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
690 | 689 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β€ (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
691 | 617, 622,
624, 673, 690 | letrd 11270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) = (π + (π Β· π))) β πΈ β€ (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
692 | 616, 691 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β πΈ β€ (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
693 | 372, 378 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) = ((π β π) + ((π β π) Β· π))) |
694 | 693 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) = (((π β π) + ((π β π) Β· π)) + ((π β π) Β· π))) |
695 | 365, 369 | subcld 11470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (π β π) β β) |
696 | 373, 374 | subcld 11470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (π β π) β β) |
697 | 696, 375 | mulcld 11133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π β π) Β· π) β β) |
698 | 695, 697,
610 | addassd 11135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (((π β π) + ((π β π) Β· π)) + ((π β π) Β· π)) = ((π β π) + (((π β π) Β· π) + ((π β π) Β· π)))) |
699 | 341, 336,
336, 341 | subadd4b 43421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β ((π β π) + (π β π)) = ((π β π) + (π β π))) |
700 | 699 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π β π) + (π β π)) = ((π β π) + (π β π))) |
701 | 700 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (((π β π) + (π β π)) Β· π) = (((π β π) + (π β π)) Β· π)) |
702 | 696, 609,
375 | adddird 11138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (((π β π) + (π β π)) Β· π) = (((π β π) Β· π) + ((π β π) Β· π))) |
703 | 340 | subidd 11458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π β β€ β (π β π) = 0) |
704 | 703 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β (π β π) = 0) |
705 | 562 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β (π β π) = 0) |
706 | 704, 705 | oveq12d 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β ((π β π) + (π β π)) = (0 + 0)) |
707 | | 00id 11288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (0 + 0) =
0 |
708 | 706, 707 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β ((π β π) + (π β π)) = 0) |
709 | 708 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β (((π β π) + (π β π)) Β· π) = (0 Β· π)) |
710 | 709 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (((π β π) + (π β π)) Β· π) = (0 Β· π)) |
711 | 701, 702,
710 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (((π β π) Β· π) + ((π β π) Β· π)) = (0 Β· π)) |
712 | 711 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π β π) + (((π β π) Β· π) + ((π β π) Β· π))) = ((π β π) + (0 Β· π))) |
713 | 318 | mul02d 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π β (0 Β· π) = 0) |
714 | 713 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π β ((π β π) + (0 Β· π)) = ((π β π) + 0)) |
715 | 364, 368 | subcld 11470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π β (π β π) β β) |
716 | 715 | addid1d 11313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π β ((π β π) + 0) = (π β π)) |
717 | 714, 716 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π β ((π β π) + (0 Β· π)) = (π β π)) |
718 | 717 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π β π) + (0 Β· π)) = (π β π)) |
719 | 712, 718 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β ((π β π) + (((π β π) Β· π) + ((π β π) Β· π))) = (π β π)) |
720 | 694, 698,
719 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) = (π β π)) |
721 | 720 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) = (π β π)) |
722 | 721 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) = (π β π)) |
723 | 692, 722 | breqtrd 5129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β πΈ β€ (π β π)) |
724 | | simpll 765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β (π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄))) |
725 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β Β¬ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) |
726 | 601 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (π + (π Β· π)) β β) |
727 | 726 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) β β) |
728 | 619 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (π + (π Β· π)) β β) |
729 | 728 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) β β) |
730 | 727, 729 | ltnled 11260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β ((π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π)) β Β¬ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π)))) |
731 | 725, 730 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) |
732 | 731 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) |
733 | 535 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β π = (((π + (π Β· π)) β π) / π)) |
734 | 733 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β π = (((π + (π Β· π)) β π) / π)) |
735 | 600 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β (π + (π Β· π)) β β) |
736 | 302 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β π β β) |
737 | 735, 736 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β ((π + (π Β· π)) β π) β β) |
738 | 293 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β π β β) |
739 | 531 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β π β 0) |
740 | 737, 738,
739 | redivcld 11941 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) β β) |
741 | 740 | 3adant3l 1180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) β β) |
742 | 741 | 3adant2l 1178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) β β) |
743 | 742 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) β β) |
744 | 618 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β (π + (π Β· π)) β β) |
745 | 302 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β π β β) |
746 | 744, 745 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β ((π + (π Β· π)) β π) β β) |
747 | 293 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β π β β) |
748 | 531 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β π β 0) |
749 | 746, 747,
748 | redivcld 11941 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) β β) |
750 | 749 | 3adant3r 1181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) β β) |
751 | 750 | 3adant2r 1179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) β β) |
752 | 751 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) β β) |
753 | 284 | 3ad2ant2 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β π β β) |
754 | 753 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β π β β) |
755 | 726 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) β β) |
756 | 302 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β π β β) |
757 | 756 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β π β β) |
758 | 755, 757 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β ((π + (π Β· π)) β π) β β) |
759 | 728 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) β β) |
760 | 759, 757 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β ((π + (π Β· π)) β π) β β) |
761 | 352 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β π β
β+) |
762 | 761 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β π β
β+) |
763 | 601 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) β β) |
764 | 619 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) β β) |
765 | 302 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β π β β) |
766 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) |
767 | 763, 764,
765, 766 | ltsub1dd 11725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β ((π + (π Β· π)) β π) < ((π + (π Β· π)) β π)) |
768 | 767 | 3adantl2 1167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β ((π + (π Β· π)) β π) < ((π + (π Β· π)) β π)) |
769 | 758, 760,
762, 768 | ltdiv1dd 12968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) < (((π + (π Β· π)) β π) / π)) |
770 | 554, 570 | eqbrtrd 5125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) < π) |
771 | 770 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) < π) |
772 | 771 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) < π) |
773 | 743, 752,
754, 769, 772 | lttrd 11274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β (((π + (π Β· π)) β π) / π) < π) |
774 | 734, 773 | eqbrtrd 5125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β π < π) |
775 | 774 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β π < π) |
776 | 732, 775 | syldan 591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β π < π) |
777 | 391 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β πΈ β β) |
778 | 393 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β π β β) |
779 | 623 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) β β) |
780 | 522 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β πΈ β€ π) |
781 | | peano2rem 11426 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π β β β (π β 1) β
β) |
782 | 753, 781 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (π β 1) β β) |
783 | 287 | 3ad2ant2 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β π β β) |
784 | 782, 783 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π β 1) β π) β β) |
785 | 784, 393 | remulcld 11143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π β 1) β π) Β· π) β β) |
786 | 785 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β (((π β 1) β π) Β· π) β β) |
787 | 753 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β π β β) |
788 | 330 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β 1 β
β) |
789 | 787, 788 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β (π β 1) β β) |
790 | 286 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < (π β 1)) β π β β) |
791 | 790 | 3ad2antl2 1186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β π β β) |
792 | 789, 791 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β ((π β 1) β π) β β) |
793 | 682 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π < (π β 1)) β 0 β€ π) |
794 | 793 | 3ad2antl1 1185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β 0 β€ π) |
795 | 283 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < (π β 1)) β π β β) |
796 | 330 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < (π β 1)) β 1 β
β) |
797 | 795, 796 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < (π β 1)) β (π β 1) β β) |
798 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < (π β 1)) β π < (π β 1)) |
799 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < (π β 1)) β π β β€) |
800 | | simpll 765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < (π β 1)) β π β β€) |
801 | | 1zzd 12492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < (π β 1)) β 1 β
β€) |
802 | 800, 801 | zsubcld 12570 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < (π β 1)) β (π β 1) β β€) |
803 | | zltlem1 12514 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β β€ β§ (π β 1) β β€)
β (π < (π β 1) β π β€ ((π β 1) β 1))) |
804 | 799, 802,
803 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < (π β 1)) β (π < (π β 1) β π β€ ((π β 1) β 1))) |
805 | 798, 804 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < (π β 1)) β π β€ ((π β 1) β 1)) |
806 | 790, 797,
796, 805 | lesubd 11717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < (π β 1)) β 1 β€ ((π β 1) β π)) |
807 | 806 | 3ad2antl2 1186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β 1 β€ ((π β 1) β π)) |
808 | 778, 792,
794, 807 | lemulge12d 12051 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β π β€ (((π β 1) β π) Β· π)) |
809 | 336, 337,
341 | sub32d 11502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β ((π β 1) β π) = ((π β π) β 1)) |
810 | 809 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β (((π β 1) β π) Β· π) = (((π β π) β 1) Β· π)) |
811 | 810 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (((π β 1) β π) Β· π) = (((π β π) β 1) Β· π)) |
812 | | 1cnd 11108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β 1 β
β) |
813 | 609, 812,
375 | subdird 11570 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (((π β π) β 1) Β· π) = (((π β π) Β· π) β (1 Β· π))) |
814 | 319 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π β (((π β π) Β· π) β (1 Β· π)) = (((π β π) Β· π) β π)) |
815 | 814 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (((π β π) Β· π) β (1 Β· π)) = (((π β π) Β· π) β π)) |
816 | 811, 813,
815 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (((π β 1) β π) Β· π) = (((π β π) Β· π) β π)) |
817 | 816 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π β 1) β π) Β· π) = (((π β π) Β· π) β π)) |
818 | 728, 726 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β β) |
819 | 269, 271,
276, 274 | iccsuble 43658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β€ (πΆ β π΅)) |
820 | 819, 278 | breqtrrdi 5145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β€ π) |
821 | 820 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β€ π) |
822 | 818, 393,
398, 821 | lesub2dd 11730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π β π) Β· π) β π) β€ (((π β π) Β· π) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))))) |
823 | 817, 822 | eqbrtrd 5125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π β 1) β π) Β· π) β€ (((π β π) Β· π) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))))) |
824 | 610 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π β π) Β· π) β β) |
825 | 728 | recnd 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (π + (π Β· π)) β β) |
826 | 602 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (π + (π Β· π)) β β) |
827 | 824, 825,
826 | subsub2d 11499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π β π) Β· π) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π)))) = (((π β π) Β· π) + ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))))) |
828 | 621 | recnd 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) β β) |
829 | 824, 828 | addcomd 11315 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π β π) Β· π) + ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π)))) = (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
830 | 827, 829 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π β π) Β· π) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π)))) = (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
831 | 823, 830 | breqtrd 5129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (((π β 1) β π) Β· π) β€ (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
832 | 831 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β (((π β 1) β π) Β· π) β€ (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
833 | 778, 786,
779, 808, 832 | letrd 11270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β π β€ (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
834 | 777, 778,
779, 780, 833 | letrd 11270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β πΈ β€ (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
835 | 721 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) = (π β π)) |
836 | 834, 835 | breqtrd 5129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < (π β 1)) β πΈ β€ (π β π)) |
837 | 836 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < π) β§ π < (π β 1)) β πΈ β€ (π β π)) |
838 | 837 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < π) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β§ π < (π β 1)) β πΈ β€ (π β π)) |
839 | | simplll 773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < π) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β§ Β¬ π < (π β 1)) β (π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄))) |
840 | | simpll2 1213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < π) β§ Β¬ π < (π β 1)) β (π β β€ β§ π β β€)) |
841 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < π) β§ Β¬ π < (π β 1)) β π < π) |
842 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < π) β§ Β¬ π < (π β 1)) β Β¬ π < (π β 1)) |
843 | 581, 582,
580, 584 | lesubd 11717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π) β π β€ (π β 1)) |
844 | 843 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π β§ Β¬ π < (π β 1)) β π β€ (π β 1)) |
845 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ Β¬
π < (π β 1)) β Β¬ π < (π β 1)) |
846 | 284, 781 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β β€ β§ π β β€) β (π β 1) β
β) |
847 | 846 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ Β¬
π < (π β 1)) β (π β 1) β β) |
848 | 286 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ Β¬
π < (π β 1)) β π β β) |
849 | 847, 848 | lenltd 11259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ Β¬
π < (π β 1)) β ((π β 1) β€ π β Β¬ π < (π β 1))) |
850 | 845, 849 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ Β¬
π < (π β 1)) β (π β 1) β€ π) |
851 | 850 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π β§ Β¬ π < (π β 1)) β (π β 1) β€ π) |
852 | 580 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π β§ Β¬ π < (π β 1)) β π β β) |
853 | 846 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π β§ Β¬ π < (π β 1)) β (π β 1) β β) |
854 | 852, 853 | letri3d 11255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π β§ Β¬ π < (π β 1)) β (π = (π β 1) β (π β€ (π β 1) β§ (π β 1) β€ π))) |
855 | 844, 851,
854 | mpbir2and 711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β β€ β§ π β β€) β§ π < π β§ Β¬ π < (π β 1)) β π = (π β 1)) |
856 | 840, 841,
842, 855 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < π) β§ Β¬ π < (π β 1)) β π = (π β 1)) |
857 | 856 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < π) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β§ Β¬ π < (π β 1)) β π = (π β 1)) |
858 | | simpl1 1191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π = (π β 1)) β π) |
859 | | simpl2l 1226 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π = (π β 1)) β π β β€) |
860 | | simpl3l 1228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π = (π β 1)) β (π + (π Β· π)) β π΄) |
861 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π = (π β 1) β (π Β· π) = ((π β 1) Β· π)) |
862 | 861 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π = (π β 1) β (π + (π Β· π)) = (π + ((π β 1) Β· π))) |
863 | 862 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π = (π β 1) β (π + ((π β 1) Β· π)) = (π + (π Β· π))) |
864 | 863 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π + (π Β· π)) β π΄ β§ π = (π β 1)) β (π + ((π β 1) Β· π)) = (π + (π Β· π))) |
865 | | simpl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π + (π Β· π)) β π΄ β§ π = (π β 1)) β (π + (π Β· π)) β π΄) |
866 | 864, 865 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π + (π Β· π)) β π΄ β§ π = (π β 1)) β (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) |
867 | 866 | adantll 712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ π = (π β 1)) β (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) |
868 | 867 | 3ad2antl3 1187 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π = (π β 1)) β (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) |
869 | 860, 868 | jca 512 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π = (π β 1)) β ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) |
870 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β (π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) |
871 | 870 | 3adant3r 1181 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) |
872 | 744 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β (π + (π Β· π)) β β) |
873 | 270 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β πΆ β β) |
874 | 873 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β πΆ β β) |
875 | 268 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β π΅ β β) |
876 | 270 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β πΆ β β) |
877 | | elicc2 13283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π΅ β β β§ πΆ β β) β ((π + (π Β· π)) β (π΅[,]πΆ) β ((π + (π Β· π)) β β β§ π΅ β€ (π + (π Β· π)) β§ (π + (π Β· π)) β€ πΆ))) |
878 | 875, 876,
877 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β ((π + (π Β· π)) β (π΅[,]πΆ) β ((π + (π Β· π)) β β β§ π΅ β€ (π + (π Β· π)) β§ (π + (π Β· π)) β€ πΆ))) |
879 | 275, 878 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β ((π + (π Β· π)) β β β§ π΅ β€ (π + (π Β· π)) β§ (π + (π Β· π)) β€ πΆ)) |
880 | 879 | simp3d 1144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β (π + (π Β· π)) β€ πΆ) |
881 | 880 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β (π + (π Β· π)) β€ πΆ) |
882 | 881 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β (π + (π Β· π)) β€ πΆ) |
883 | | nne 2945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (Β¬
πΆ β (π + (π Β· π)) β πΆ = (π + (π Β· π))) |
884 | 540, 370 | pncand 11471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((π β§ π β β€) β ((π + (π Β· π)) β (π Β· π)) = π) |
885 | 884 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ ((π β§ π β β€) β π = ((π + (π Β· π)) β (π Β· π))) |
886 | 885 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (((π β§ π β β€) β§ πΆ = (π + (π Β· π))) β π = ((π + (π Β· π)) β (π Β· π))) |
887 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (πΆ = (π + (π Β· π)) β (πΆ β (π Β· π)) = ((π + (π Β· π)) β (π Β· π))) |
888 | 887 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (πΆ = (π + (π Β· π)) β ((π + (π Β· π)) β (π Β· π)) = (πΆ β (π Β· π))) |
889 | 888 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (((π β§ π β β€) β§ πΆ = (π + (π Β· π))) β ((π + (π Β· π)) β (π Β· π)) = (πΆ β (π Β· π))) |
890 | 278 | oveq2i 7362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
β’ (π΅ + π) = (π΅ + (πΆ β π΅)) |
891 | 267, 159 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
β’ (π β π΅ β β) |
892 | 267, 160 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
β’ (π β πΆ β β) |
893 | 891, 892 | pncan3d 11473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
β’ (π β (π΅ + (πΆ β π΅)) = πΆ) |
894 | 890, 893 | eqtr2id 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ (π β πΆ = (π΅ + π)) |
895 | 894 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ (π β (πΆ β (π Β· π)) = ((π΅ + π) β (π Β· π))) |
896 | 895 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((π β§ π β β€) β (πΆ β (π Β· π)) = ((π΅ + π) β (π Β· π))) |
897 | 891 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ ((π β§ π β β€) β π΅ β β) |
898 | 897, 370,
547 | subsub3d 11500 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((π β§ π β β€) β (π΅ β ((π Β· π) β π)) = ((π΅ + π) β (π Β· π))) |
899 | 550, 547 | mulsubfacd 11574 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ ((π β§ π β β€) β ((π Β· π) β π) = ((π β 1) Β· π)) |
900 | 899 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((π β§ π β β€) β (π΅ β ((π Β· π) β π)) = (π΅ β ((π β 1) Β· π))) |
901 | 896, 898,
900 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ ((π β§ π β β€) β (πΆ β (π Β· π)) = (π΅ β ((π β 1) Β· π))) |
902 | 901 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (((π β§ π β β€) β§ πΆ = (π + (π Β· π))) β (πΆ β (π Β· π)) = (π΅ β ((π β 1) Β· π))) |
903 | 886, 889,
902 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (((π β§ π β β€) β§ πΆ = (π + (π Β· π))) β π = (π΅ β ((π β 1) Β· π))) |
904 | 903 | 3adantl3 1168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ πΆ = (π + (π Β· π))) β π = (π΅ β ((π β 1) Β· π))) |
905 | 904 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β§ πΆ = (π + (π Β· π))) β π = (π΅ β ((π β 1) Β· π))) |
906 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π + ((π β 1) Β· π)) = π΅ β ((π + ((π β 1) Β· π)) β ((π β 1) Β· π)) = (π΅ β ((π β 1) Β· π))) |
907 | 906 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π + ((π β 1) Β· π)) = π΅ β (π΅ β ((π β 1) Β· π)) = ((π + ((π β 1) Β· π)) β ((π β 1) Β· π))) |
908 | 907 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β§ πΆ = (π + (π Β· π))) β (π΅ β ((π β 1) Β· π)) = ((π + ((π β 1) Β· π)) β ((π β 1) Β· π))) |
909 | 364 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (((π β§ π β β€) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β π β β) |
910 | | 1cnd 11108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ ((π β§ π β β€) β 1 β
β) |
911 | 550, 910 | subcld 11470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((π β§ π β β€) β (π β 1) β β) |
912 | 911, 547 | mulcld 11133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ ((π β§ π β β€) β ((π β 1) Β· π) β β) |
913 | 912 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (((π β§ π β β€) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β ((π β 1) Β· π) β β) |
914 | 909, 913 | pncand 11471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (((π β§ π β β€) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β ((π β 1) Β· π)) = π) |
915 | 914 | 3adantl3 1168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β ((π β 1) Β· π)) = π) |
916 | 915 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β§ πΆ = (π + (π Β· π))) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β ((π β 1) Β· π)) = π) |
917 | 905, 908,
916 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β§ πΆ = (π + (π Β· π))) β π = π) |
918 | 883, 917 | sylan2b 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β§ Β¬ πΆ β (π + (π Β· π))) β π = π) |
919 | 309, 358 | ltned 11249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π β π β π) |
920 | 919 | neneqd 2946 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π β Β¬ π = π) |
921 | 920 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β Β¬ π = π) |
922 | 921 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β§ Β¬ πΆ β (π + (π Β· π))) β Β¬ π = π) |
923 | 918, 922 | condan 816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β πΆ β (π + (π Β· π))) |
924 | 872, 874,
882, 923 | leneltd 11267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ π β β€ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β (π + (π Β· π)) < πΆ) |
925 | 871, 924 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β (π + (π Β· π)) < πΆ) |
926 | 267 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (((π β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + (π Β· π)) < πΆ) β π) |
927 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (((π β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + (π Β· π)) < πΆ) β (π + (π Β· π)) β π΄) |
928 | 926, 144 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (((π β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + (π Β· π)) < πΆ) β πΆ β π΄) |
929 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (((π β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + (π Β· π)) < πΆ) β (π + (π Β· π)) < πΆ) |
930 | | simp2l 1199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ (π + (π Β· π)) < πΆ) β (π + (π Β· π)) β π΄) |
931 | 654 | anbi1d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π = (π + (π Β· π)) β ((π β π΄ β§ πΆ β π΄) β ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ πΆ β π΄))) |
932 | | breq1 5106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π = (π + (π Β· π)) β (π < πΆ β (π + (π Β· π)) < πΆ)) |
933 | 931, 932 | 3anbi23d 1439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π = (π + (π Β· π)) β ((π β§ (π β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ π < πΆ) β (π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ (π + (π Β· π)) < πΆ))) |
934 | | oveq2 7359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π = (π + (π Β· π)) β (πΆ β π) = (πΆ β (π + (π Β· π)))) |
935 | 934 | breq2d 5115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π = (π + (π Β· π)) β (πΈ β€ (πΆ β π) β πΈ β€ (πΆ β (π + (π Β· π))))) |
936 | 933, 935 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π = (π + (π Β· π)) β (((π β§ (π β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ π < πΆ) β πΈ β€ (πΆ β π)) β ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ (π + (π Β· π)) < πΆ) β πΈ β€ (πΆ β (π + (π Β· π)))))) |
937 | | simp2r 1200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ π < πΆ) β πΆ β π΄) |
938 | 403 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ (π = πΆ β ((π β π΄ β§ π β π΄) β (π β π΄ β§ πΆ β π΄))) |
939 | | breq2 5107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ (π = πΆ β (π < π β π < πΆ)) |
940 | 938, 939 | 3anbi23d 1439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (π = πΆ β ((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β (π β§ (π β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ π < πΆ))) |
941 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ (π = πΆ β (π β π) = (πΆ β π)) |
942 | 941 | breq2d 5115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (π = πΆ β (πΈ β€ (π β π) β πΈ β€ (πΆ β π))) |
943 | 940, 942 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π = πΆ β (((π β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π < π) β πΈ β€ (π β π)) β ((π β§ (π β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ π < πΆ) β πΈ β€ (πΆ β π)))) |
944 | 943, 515 | vtoclg 3523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (πΆ β π΄ β ((π β§ (π β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ π < πΆ) β πΈ β€ (πΆ β π))) |
945 | 937, 944 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ (π β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ π < πΆ) β πΈ β€ (πΆ β π)) |
946 | 936, 945 | vtoclg 3523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π + (π Β· π)) β π΄ β ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ (π + (π Β· π)) < πΆ) β πΈ β€ (πΆ β (π + (π Β· π))))) |
947 | 930, 946 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ πΆ β π΄) β§ (π + (π Β· π)) < πΆ) β πΈ β€ (πΆ β (π + (π Β· π)))) |
948 | 926, 927,
928, 929, 947 | syl121anc 1375 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (((π β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β§ (π + (π Β· π)) < πΆ) β πΈ β€ (πΆ β (π + (π Β· π)))) |
949 | 948 | adantlrr 719 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < πΆ) β πΈ β€ (πΆ β (π + (π Β· π)))) |
950 | 949 | 3adantl2 1167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + (π Β· π)) < πΆ) β πΈ β€ (πΆ β (π + (π Β· π)))) |
951 | 950 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β§ (π + (π Β· π)) < πΆ) β πΈ β€ (πΆ β (π + (π Β· π)))) |
952 | 892 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β πΆ β β) |
953 | 599 | sselda 3942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β (π + ((π β 1) Β· π)) β β) |
954 | 953 | recnd 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β (π + ((π β 1) Β· π)) β β) |
955 | 952, 954 | npcand 11474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β ((πΆ β (π + ((π β 1) Β· π))) + (π + ((π β 1) Β· π))) = πΆ) |
956 | 955 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β πΆ = ((πΆ β (π + ((π β 1) Β· π))) + (π + ((π β 1) Β· π)))) |
957 | 956 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β (πΆ β (π + (π Β· π))) = (((πΆ β (π + ((π β 1) Β· π))) + (π + ((π β 1) Β· π))) β (π + (π Β· π)))) |
958 | 957 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (πΆ β (π + (π Β· π))) = (((πΆ β (π + ((π β 1) Β· π))) + (π + ((π β 1) Β· π))) β (π + (π Β· π)))) |
959 | 958 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (πΆ β (π + (π Β· π))) = (((πΆ β (π + ((π β 1) Β· π))) + (π + ((π β 1) Β· π))) β (π + (π Β· π)))) |
960 | 959 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β (πΆ β (π + (π Β· π))) = (((πΆ β (π + ((π β 1) Β· π))) + (π + ((π β 1) Β· π))) β (π + (π Β· π)))) |
961 | | oveq2 7359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π + ((π β 1) Β· π)) = π΅ β (πΆ β (π + ((π β 1) Β· π))) = (πΆ β π΅)) |
962 | 961 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π + ((π β 1) Β· π)) = π΅ β ((πΆ β (π + ((π β 1) Β· π))) + (π + ((π β 1) Β· π))) = ((πΆ β π΅) + (π + ((π β 1) Β· π)))) |
963 | 962 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π + ((π β 1) Β· π)) = π΅ β (((πΆ β (π + ((π β 1) Β· π))) + (π + ((π β 1) Β· π))) β (π + (π Β· π))) = (((πΆ β π΅) + (π + ((π β 1) Β· π))) β (π + (π Β· π)))) |
964 | 963 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β (((πΆ β (π + ((π β 1) Β· π))) + (π + ((π β 1) Β· π))) β (π + (π Β· π))) = (((πΆ β π΅) + (π + ((π β 1) Β· π))) β (π + (π Β· π)))) |
965 | 278 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ (πΆ β π΅) = π |
966 | 965 | oveq1i 7361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((πΆ β π΅) + (π + ((π β 1) Β· π))) = (π + (π + ((π β 1) Β· π))) |
967 | 966 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β ((πΆ β π΅) + (π + ((π β 1) Β· π))) = (π + (π + ((π β 1) Β· π)))) |
968 | 318 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β π β β) |
969 | 968, 954 | addcomd 11315 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β (π + (π + ((π β 1) Β· π))) = ((π + ((π β 1) Β· π)) + π)) |
970 | 967, 969 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β ((πΆ β π΅) + (π + ((π β 1) Β· π))) = ((π + ((π β 1) Β· π)) + π)) |
971 | 970 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β (((πΆ β π΅) + (π + ((π β 1) Β· π))) β (π + (π Β· π))) = (((π + ((π β 1) Β· π)) + π) β (π + (π Β· π)))) |
972 | 971 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (((πΆ β π΅) + (π + ((π β 1) Β· π))) β (π + (π Β· π))) = (((π + ((π β 1) Β· π)) + π) β (π + (π Β· π)))) |
973 | 972 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (((πΆ β π΅) + (π + ((π β 1) Β· π))) β (π + (π Β· π))) = (((π + ((π β 1) Β· π)) + π) β (π + (π Β· π)))) |
974 | 973 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β (((πΆ β π΅) + (π + ((π β 1) Β· π))) β (π + (π Β· π))) = (((π + ((π β 1) Β· π)) + π) β (π + (π Β· π)))) |
975 | 954 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (π + ((π β 1) Β· π)) β β) |
976 | 975 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (π + ((π β 1) Β· π)) β β) |
977 | 976 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β (π + ((π β 1) Β· π)) β β) |
978 | 318 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β π β β) |
979 | 978 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β π β β) |
980 | 618 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (π + (π Β· π)) β β) |
981 | 980 | recnd 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (π + (π Β· π)) β β) |
982 | 981 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (π + (π Β· π)) β β) |
983 | 982 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β (π + (π Β· π)) β β) |
984 | 977, 979,
983 | addsubd 11491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β (((π + ((π β 1) Β· π)) + π) β (π + (π Β· π))) = (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π)) |
985 | 974, 984 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β (((πΆ β π΅) + (π + ((π β 1) Β· π))) β (π + (π Β· π))) = (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π)) |
986 | 960, 964,
985 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β (πΆ β (π + (π Β· π))) = (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π)) |
987 | 986 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β§ (π + (π Β· π)) < πΆ) β (πΆ β (π + (π Β· π))) = (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π)) |
988 | 951, 987 | breqtrd 5129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β§ (π + (π Β· π)) < πΆ) β πΈ β€ (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π)) |
989 | 925, 988 | mpdan 685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β πΈ β€ (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π)) |
990 | | simpl1 1191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ Β¬ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β π) |
991 | | simpl3r 1229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ Β¬ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) |
992 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ Β¬ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β Β¬ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) |
993 | 268 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄ β§ Β¬ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β π΅ β β) |
994 | 953 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄ β§ Β¬ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β (π + ((π β 1) Β· π)) β β) |
995 | 272 | sselda 3942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β (π + ((π β 1) Β· π)) β (π΅[,]πΆ)) |
996 | 268 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β π΅ β β) |
997 | 270 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β πΆ β β) |
998 | | elicc2 13283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π΅ β β β§ πΆ β β) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β (π΅[,]πΆ) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β β β§ π΅ β€ (π + ((π β 1) Β· π)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β€ πΆ))) |
999 | 996, 997,
998 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β (π΅[,]πΆ) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β β β§ π΅ β€ (π + ((π β 1) Β· π)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β€ πΆ))) |
1000 | 995, 999 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β β β§ π΅ β€ (π + ((π β 1) Β· π)) β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β€ πΆ)) |
1001 | 1000 | simp2d 1143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β π΅ β€ (π + ((π β 1) Β· π))) |
1002 | 1001 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄ β§ Β¬ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β π΅ β€ (π + ((π β 1) Β· π))) |
1003 | | neqne 2949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (Β¬
(π + ((π β 1) Β· π)) = π΅ β (π + ((π β 1) Β· π)) β π΅) |
1004 | 1003 | 3ad2ant3 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄ β§ Β¬ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β (π + ((π β 1) Β· π)) β π΅) |
1005 | 993, 994,
1002, 1004 | leneltd 11267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄ β§ Β¬ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) |
1006 | 990, 991,
992, 1005 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ Β¬ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) |
1007 | 390 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β πΈ β β) |
1008 | 1007 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) β πΈ β β) |
1009 | 953 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (π + ((π β 1) Β· π)) β β) |
1010 | 1009 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (π + ((π β 1) Β· π)) β β) |
1011 | 268 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β π΅ β β) |
1012 | 1010, 1011 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β π΅) β β) |
1013 | 1012 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β π΅) β β) |
1014 | 1009, 980 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) β β) |
1015 | 293 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β π β β) |
1016 | 1014, 1015 | readdcld 11142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π) β β) |
1017 | 1016 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π) β β) |
1018 | 1017 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) β (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π) β β) |
1019 | 267 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) β π) |
1020 | 1019 | 3ad2antl1 1185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) β π) |
1021 | 1020, 143 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) β π΅ β π΄) |
1022 | | simpl3r 1229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) β (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) |
1023 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) β π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) |
1024 | | simp2r 1200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ (π΅ β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) β (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) |
1025 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π = (π + ((π β 1) Β· π)) β (π β π΄ β (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) |
1026 | 1025 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π = (π + ((π β 1) Β· π)) β ((π΅ β π΄ β§ π β π΄) β (π΅ β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄))) |
1027 | | breq2 5107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π = (π + ((π β 1) Β· π)) β (π΅ < π β π΅ < (π + ((π β 1) Β· π)))) |
1028 | 1026, 1027 | 3anbi23d 1439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π = (π + ((π β 1) Β· π)) β ((π β§ (π΅ β π΄ β§ π β π΄) β§ π΅ < π) β (π β§ (π΅ β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))))) |
1029 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π = (π + ((π β 1) Β· π)) β (π β π΅) = ((π + ((π β 1) Β· π)) β π΅)) |
1030 | 1029 | breq2d 5115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π = (π + ((π β 1) Β· π)) β (πΈ β€ (π β π΅) β πΈ β€ ((π + ((π β 1) Β· π)) β π΅))) |
1031 | 1028, 1030 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π = (π + ((π β 1) Β· π)) β (((π β§ (π΅ β π΄ β§ π β π΄) β§ π΅ < π) β πΈ β€ (π β π΅)) β ((π β§ (π΅ β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) β πΈ β€ ((π + ((π β 1) Β· π)) β π΅)))) |
1032 | 1031, 517 | vtoclg 3523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π + ((π β 1) Β· π)) β π΄ β ((π β§ (π΅ β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) β πΈ β€ ((π + ((π β 1) Β· π)) β π΅))) |
1033 | 1024, 1032 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ (π΅ β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄) β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) β πΈ β€ ((π + ((π β 1) Β· π)) β π΅)) |
1034 | 1020, 1021, 1022, 1023, 1033 | syl121anc 1375 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) β πΈ β€ ((π + ((π β 1) Β· π)) β π΅)) |
1035 | 268 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β π΅ β β) |
1036 | 980, 1035 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β ((π + (π Β· π)) β π΅) β β) |
1037 | 965, 1015 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (πΆ β π΅) β β) |
1038 | 270 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β πΆ β β) |
1039 | 880 | adantrr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (π + (π Β· π)) β€ πΆ) |
1040 | 980, 1038, 1035, 1039 | lesub1dd 11729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β ((π + (π Β· π)) β π΅) β€ (πΆ β π΅)) |
1041 | 1036, 1037, 1014, 1040 | leadd2dd 11728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π + (π Β· π)) β π΅)) β€ (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + (πΆ β π΅))) |
1042 | 975, 981 | npcand 11474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + (π + (π Β· π))) = (π + ((π β 1) Β· π))) |
1043 | 1042 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (π + ((π β 1) Β· π)) = (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + (π + (π Β· π)))) |
1044 | 1043 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β π΅) = ((((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + (π + (π Β· π))) β π΅)) |
1045 | 1014 | recnd 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) β β) |
1046 | 891 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β π΅ β β) |
1047 | 1045, 981, 1046 | addsubassd 11490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β ((((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + (π + (π Β· π))) β π΅) = (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π + (π Β· π)) β π΅))) |
1048 | 1044, 1047 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β π΅) = (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π + (π Β· π)) β π΅))) |
1049 | 278 | oveq2i 7362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π) = (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + (πΆ β π΅)) |
1050 | 1049 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π) = (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + (πΆ β π΅))) |
1051 | 1041, 1048, 1050 | 3brtr4d 5135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β π΅) β€ (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π)) |
1052 | 1051 | 3adant2 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β π΅) β€ (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π)) |
1053 | 1052 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) β ((π + ((π β 1) Β· π)) β π΅) β€ (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π)) |
1054 | 1008, 1013, 1018, 1034, 1053 | letrd 11270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ π΅ < (π + ((π β 1) Β· π))) β πΈ β€ (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π)) |
1055 | 1006, 1054 | syldan 591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β§ Β¬ (π + ((π β 1) Β· π)) = π΅) β πΈ β€ (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π)) |
1056 | 989, 1055 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β§ π β β€ β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + ((π β 1) Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π)) |
1057 | 858, 859,
869, 1056 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π = (π β 1)) β πΈ β€ (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π)) |
1058 | 720 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β (π β π) = (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
1059 | 1058 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π = (π β 1)) β (π β π) = (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π))) |
1060 | 862 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π = (π β 1) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) = ((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π)))) |
1061 | 1060 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ π β β€) β§ π = (π β 1)) β ((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) = ((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π)))) |
1062 | | oveq2 7359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π = (π β 1) β (π β π) = (π β (π β 1))) |
1063 | 1062 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π = (π β 1) β ((π β π) Β· π) = ((π β (π β 1)) Β· π)) |
1064 | 1063 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ π β β€) β§ π = (π β 1)) β ((π β π) Β· π) = ((π β (π β 1)) Β· π)) |
1065 | | 1cnd 11108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π β β€ β 1 β
β) |
1066 | 335, 1065 | nncand 11475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π β β€ β (π β (π β 1)) = 1) |
1067 | 1066 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π β β€ β ((π β (π β 1)) Β· π) = (1 Β· π)) |
1068 | 1067 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ π β β€) β§ π = (π β 1)) β ((π β (π β 1)) Β· π) = (1 Β· π)) |
1069 | 319 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β§ π β β€) β§ π = (π β 1)) β (1 Β· π) = π) |
1070 | 1064, 1068, 1069 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π β§ π β β€) β§ π = (π β 1)) β ((π β π) Β· π) = π) |
1071 | 1061, 1070 | oveq12d 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β§ π β β€) β§ π = (π β 1)) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) = (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π)) |
1072 | 1071 | adantlrr 719 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π = (π β 1)) β (((π + (π Β· π)) β (π + (π Β· π))) + ((π β π) Β· π)) = (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π)) |
1073 | 1059, 1072 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€)) β§ π = (π β 1)) β (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π) = (π β π)) |
1074 | 1073 | 3adantl3 1168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π = (π β 1)) β (((π + ((π β 1) Β· π)) β (π + (π Β· π))) + π) = (π β π)) |
1075 | 1057, 1074 | breqtrd 5129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π = (π β 1)) β πΈ β€ (π β π)) |
1076 | 839, 857,
1075 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
(((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < π) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β§ Β¬ π < (π β 1)) β πΈ β€ (π β π)) |
1077 | 838, 1076 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π < π) β§ (π + (π Β· π)) < (π + (π Β· π))) β πΈ β€ (π β π)) |
1078 | 724, 776,
732, 1077 | syl21anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β§ Β¬ (π + (π Β· π)) β€ (π + (π Β· π))) β πΈ β€ (π β π)) |
1079 | 723, 1078 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β§ π β€ π) β πΈ β€ (π β π)) |
1080 | 387, 1079 | mpdan 685 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (π β π)) |
1081 | 309, 302,
358 | ltled 11261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π β π β€ π) |
1082 | 309, 302,
1081 | abssuble0d 15277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β (absβ(π β π)) = (π β π)) |
1083 | 1082 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (π β π) = (absβ(π β π))) |
1084 | 1083 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β (π β π) = (absβ(π β π))) |
1085 | 1080, 1084 | breqtrd 5129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ (π β β€ β§ π β β€) β§ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (absβ(π β π))) |
1086 | 1085 | 3exp 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β ((π β β€ β§ π β β€) β (((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β πΈ β€ (absβ(π β π))))) |
1087 | 1086 | rexlimdvv 3202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β (βπ β β€ βπ β β€ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β πΈ β€ (absβ(π β π)))) |
1088 | 264, 1087 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β πΈ β€ (absβ(π β π))) |
1089 | 263, 1088 | sylbir 234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ (π β β β§ π β β β§ π < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (absβ(π β π))) |
1090 | 262, 1089 | chvarvv 2002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ (π¦ β β β§ π β β β§ π¦ < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (absβ(π¦ β π))) |
1091 | 249, 1090 | chvarvv 2002 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ < π§)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (absβ(π¦ β π§))) |
1092 | 229, 235,
236, 1091 | syl21anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β§ π¦ < π§) β πΈ β€ (absβ(π¦ β π§))) |
1093 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§) β§ Β¬ π¦ < π§) β Β¬ π¦ < π§) |
1094 | | simpl3 1193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§) β§ Β¬ π¦ < π§) β π¦ β π§) |
1095 | | simpl1 1191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§) β§ Β¬ π¦ < π§) β π¦ β β) |
1096 | | simpl2 1192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§) β§ Β¬ π¦ < π§) β π§ β β) |
1097 | 1095, 1096 | lttri2d 11252 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§) β§ Β¬ π¦ < π§) β (π¦ β π§ β (π¦ < π§ β¨ π§ < π¦))) |
1098 | 1094, 1097 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§) β§ Β¬ π¦ < π§) β (π¦ < π§ β¨ π§ < π¦)) |
1099 | 1098 | ord 862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§) β§ Β¬ π¦ < π§) β (Β¬ π¦ < π§ β π§ < π¦)) |
1100 | 1093, 1099 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§) β§ Β¬ π¦ < π§) β π§ < π¦) |
1101 | 1100 | adantll 712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§)) β§ Β¬ π¦ < π§) β π§ < π¦) |
1102 | 1101 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β§ Β¬ π¦ < π§) β π§ < π¦) |
1103 | | simplll 773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β§ π§ < π¦) β π) |
1104 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β) β§ π§ < π¦) β π§ β β) |
1105 | | simpll 765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β) β§ π§ < π¦) β π¦ β β) |
1106 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β) β§ π§ < π¦) β π§ < π¦) |
1107 | 1104, 1105, 1106 | 3jca 1128 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π¦ β β β§ π§ β β) β§ π§ < π¦) β (π§ β β β§ π¦ β β β§ π§ < π¦)) |
1108 | 1107 | adantll 712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β)) β§ π§ < π¦) β (π§ β β β§ π¦ β β β§ π§ < π¦)) |
1109 | 1108 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β§ π§ < π¦) β (π§ β β β§ π¦ β β β§ π§ < π¦)) |
1110 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π = π β (π Β· π) = (π Β· π)) |
1111 | 1110 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π = π β (π¦ + (π Β· π)) = (π¦ + (π Β· π))) |
1112 | 1111 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = π β ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) |
1113 | 1112 | anbi1d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = π β (((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄) β ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄))) |
1114 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π = π β (π Β· π) = (π Β· π)) |
1115 | 1114 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π = π β (π§ + (π Β· π)) = (π§ + (π Β· π))) |
1116 | 1115 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = π β ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β (π§ + (π Β· π)) β π΄)) |
1117 | 1116 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = π β (((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄) β ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄))) |
1118 | 1113, 1117 | cbvrex2vw 3226 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(βπ β
β€ βπ β
β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄) β βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) |
1119 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π = π β (π Β· π) = (π Β· π)) |
1120 | 1119 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π = π β (π¦ + (π Β· π)) = (π¦ + (π Β· π))) |
1121 | 1120 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π = π β ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) |
1122 | 1121 | anbi1d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = π β (((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄) β ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄))) |
1123 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π = π β (π Β· π) = (π Β· π)) |
1124 | 1123 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π = π β (π§ + (π Β· π)) = (π§ + (π Β· π))) |
1125 | 1124 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π = π β ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β (π§ + (π Β· π)) β π΄)) |
1126 | 1125 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = π β (((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄) β ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄))) |
1127 | 1122, 1126 | cbvrex2vw 3226 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(βπ β
β€ βπ β
β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄) β βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) |
1128 | | rexcom 3271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(βπ β
β€ βπ β
β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄) β βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) |
1129 | | ancom 461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄) β ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) |
1130 | 1129 | 2rexbii 3126 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(βπ β
β€ βπ β
β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄) β βπ β β€ βπ β β€ ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) |
1131 | 1127, 1128, 1130 | 3bitri 296 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(βπ β
β€ βπ β
β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄) β βπ β β€ βπ β β€ ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) |
1132 | 1118, 1131 | sylbb 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(βπ β
β€ βπ β
β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄) β βπ β β€ βπ β β€ ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) |
1133 | 1132 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β§ π§ < π¦) β βπ β β€ βπ β β€ ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) |
1134 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π = π¦ β (π β β β π¦ β β)) |
1135 | | breq2 5107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π = π¦ β (π§ < π β π§ < π¦)) |
1136 | 1134, 1135 | 3anbi23d 1439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = π¦ β ((π§ β β β§ π β β β§ π§ < π) β (π§ β β β§ π¦ β β β§ π§ < π¦))) |
1137 | 1136 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = π¦ β ((π β§ (π§ β β β§ π β β β§ π§ < π)) β (π β§ (π§ β β β§ π¦ β β β§ π§ < π¦)))) |
1138 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π = π¦ β (π + (π Β· π)) = (π¦ + (π Β· π))) |
1139 | 1138 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π = π¦ β ((π + (π Β· π)) β π΄ β (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) |
1140 | 1139 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = π¦ β (((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π¦ + (π Β· π)) β π΄))) |
1141 | 1140 | 2rexbidv 3211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = π¦ β (βπ β β€ βπ β β€ ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β βπ β β€ βπ β β€ ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π¦ + (π Β· π)) β π΄))) |
1142 | 1137, 1141 | anbi12d 631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π = π¦ β (((π β§ (π§ β β β§ π β β β§ π§ < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π β§ (π§ β β β§ π¦ β β β§ π§ < π¦)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π¦ + (π Β· π)) β π΄)))) |
1143 | | oveq2 7359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = π¦ β (π§ β π) = (π§ β π¦)) |
1144 | 1143 | fveq2d 6843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = π¦ β (absβ(π§ β π)) = (absβ(π§ β π¦))) |
1145 | 1144 | breq2d 5115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π = π¦ β (πΈ β€ (absβ(π§ β π)) β πΈ β€ (absβ(π§ β π¦)))) |
1146 | 1142, 1145 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π¦ β ((((π β§ (π§ β β β§ π β β β§ π§ < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (absβ(π§ β π))) β (((π β§ (π§ β β β§ π¦ β β β§ π§ < π¦)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (absβ(π§ β π¦))))) |
1147 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π = π§ β (π β β β π§ β β)) |
1148 | | breq1 5106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π = π§ β (π < π β π§ < π)) |
1149 | 1147, 1148 | 3anbi13d 1438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π = π§ β ((π β β β§ π β β β§ π < π) β (π§ β β β§ π β β β§ π§ < π))) |
1150 | 1149 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = π§ β ((π β§ (π β β β§ π β β β§ π < π)) β (π β§ (π§ β β β§ π β β β§ π§ < π)))) |
1151 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π = π§ β (π + (π Β· π)) = (π§ + (π Β· π))) |
1152 | 1151 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π = π§ β ((π + (π Β· π)) β π΄ β (π§ + (π Β· π)) β π΄)) |
1153 | 1152 | anbi1d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π = π§ β (((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄))) |
1154 | 1153 | 2rexbidv 3211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = π§ β (βπ β β€ βπ β β€ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄) β βπ β β€ βπ β β€ ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄))) |
1155 | 1150, 1154 | anbi12d 631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = π§ β (((π β§ (π β β β§ π β β β§ π < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β ((π β§ (π§ β β β§ π β β β§ π§ < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)))) |
1156 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π = π§ β (π β π) = (π§ β π)) |
1157 | 1156 | fveq2d 6843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = π§ β (absβ(π β π)) = (absβ(π§ β π))) |
1158 | 1157 | breq2d 5115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = π§ β (πΈ β€ (absβ(π β π)) β πΈ β€ (absβ(π§ β π)))) |
1159 | 1155, 1158 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π = π§ β ((((π β§ (π β β β§ π β β β§ π < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (absβ(π β π))) β (((π β§ (π§ β β β§ π β β β§ π§ < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (absβ(π§ β π))))) |
1160 | 1159, 1089 | chvarvv 2002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ (π§ β β β§ π β β β§ π§ < π)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (absβ(π§ β π))) |
1161 | 1146, 1160 | chvarvv 2002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ (π§ β β β§ π¦ β β β§ π§ < π¦)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π§ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π¦ + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (absβ(π§ β π¦))) |
1162 | 1103, 1109, 1133, 1161 | syl21anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β§ π§ < π¦) β πΈ β€ (absβ(π§ β π¦))) |
1163 | | recn 11099 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π§ β β β π§ β
β) |
1164 | 1163 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π¦ β β β§ π§ β β) β π§ β
β) |
1165 | | recn 11099 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π¦ β β β π¦ β
β) |
1166 | 1165 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π¦ β β β§ π§ β β) β π¦ β
β) |
1167 | 1164, 1166 | abssubd 15298 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π¦ β β β§ π§ β β) β
(absβ(π§ β π¦)) = (absβ(π¦ β π§))) |
1168 | 1167 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β)) β (absβ(π§ β π¦)) = (absβ(π¦ β π§))) |
1169 | 1168 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β§ π§ < π¦) β (absβ(π§ β π¦)) = (absβ(π¦ β π§))) |
1170 | 1162, 1169 | breqtrd 5129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β§ π§ < π¦) β πΈ β€ (absβ(π¦ β π§))) |
1171 | 1170 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β (π§ < π¦ β πΈ β€ (absβ(π¦ β π§)))) |
1172 | 1171 | 3adantlr3 43156 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β (π§ < π¦ β πΈ β€ (absβ(π¦ β π§)))) |
1173 | 1172 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β§ Β¬ π¦ < π§) β (π§ < π¦ β πΈ β€ (absβ(π¦ β π§)))) |
1174 | 1102, 1173 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β§ Β¬ π¦ < π§) β πΈ β€ (absβ(π¦ β π§))) |
1175 | 1092, 1174 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ (π¦ β β β§ π§ β β β§ π¦ β π§)) β§ βπ β β€ βπ β β€ ((π¦ + (π Β· π)) β π΄ β§ (π§ + (π Β· π)) β π΄)) β πΈ β€ (absβ(π¦ β π§))) |
1176 | 196, 204,
228, 1175 | syl21anc 836 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β§ π¦ β π§) β πΈ β€ (absβ(π¦ β π§))) |
1177 | 389 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β§ π¦ β π§) β πΈ β β) |
1178 | 198, 201 | resubcld 11541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β (π¦ β π§) β β) |
1179 | 1178 | recnd 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β (π¦ β π§) β β) |
1180 | 1179 | abscld 15281 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β (absβ(π¦ β π§)) β β) |
1181 | 1180 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β§ π¦ β π§) β (absβ(π¦ β π§)) β β) |
1182 | 1177, 1181 | lenltd 11259 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β§ π¦ β π§) β (πΈ β€ (absβ(π¦ β π§)) β Β¬ (absβ(π¦ β π§)) < πΈ)) |
1183 | 1176, 1182 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β§ π¦ β π§) β Β¬ (absβ(π¦ β π§)) < πΈ) |
1184 | | nan 828 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β Β¬ (π¦ β π§ β§ (absβ(π¦ β π§)) < πΈ)) β (((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β§ π¦ β π§) β Β¬ (absβ(π¦ β π§)) < πΈ)) |
1185 | 1183, 1184 | mpbir 230 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ (π¦ β π» β§ π§ β π»)) β Β¬ (π¦ β π§ β§ (absβ(π¦ β π§)) < πΈ)) |
1186 | 1185 | ralrimivva 3195 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β βπ¦ β π» βπ§ β π» Β¬ (π¦ β π§ β§ (absβ(π¦ β π§)) < πΈ)) |
1187 | | ralnex2 3128 |
. . . . . . . . . 10
β’
(βπ¦ β
π» βπ§ β π» Β¬ (π¦ β π§ β§ (absβ(π¦ β π§)) < πΈ) β Β¬ βπ¦ β π» βπ§ β π» (π¦ β π§ β§ (absβ(π¦ β π§)) < πΈ)) |
1188 | 1186, 1187 | sylib 217 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β Β¬ βπ¦ β π» βπ§ β π» (π¦ β π§ β§ (absβ(π¦ β π§)) < πΈ)) |
1189 | 1188 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π₯ β βͺ πΎ) β§ π₯ β ((limPtβπ½)βπ»)) β Β¬ βπ¦ β π» βπ§ β π» (π¦ β π§ β§ (absβ(π¦ β π§)) < πΈ)) |
1190 | 195, 1189 | pm2.65da 815 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π₯ β βͺ πΎ) β Β¬ π₯ β ((limPtβπ½)βπ»)) |
1191 | 1190 | intnanrd 490 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β βͺ πΎ) β Β¬ (π₯ β ((limPtβπ½)βπ») β§ π₯ β (π[,]π))) |
1192 | | elin 3924 |
. . . . . 6
β’ (π₯ β (((limPtβπ½)βπ») β© (π[,]π)) β (π₯ β ((limPtβπ½)βπ») β§ π₯ β (π[,]π))) |
1193 | 1191, 1192 | sylnibr 328 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π₯ β βͺ πΎ) β Β¬ π₯ β (((limPtβπ½)βπ») β© (π[,]π))) |
1194 | 13 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β βͺ πΎ) β π½ β Top) |
1195 | 14 | adantr 481 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β βͺ πΎ) β (π[,]π) β β) |
1196 | 11 | adantr 481 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β βͺ πΎ) β π» β (π[,]π)) |
1197 | 17, 4 | restlp 22486 |
. . . . . 6
β’ ((π½ β Top β§ (π[,]π) β β β§ π» β (π[,]π)) β ((limPtβπΎ)βπ») = (((limPtβπ½)βπ») β© (π[,]π))) |
1198 | 1194, 1195, 1196, 1197 | syl3anc 1371 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π₯ β βͺ πΎ) β ((limPtβπΎ)βπ») = (((limPtβπ½)βπ») β© (π[,]π))) |
1199 | 1193, 1198 | neleqtrrd 2860 |
. . . 4
β’ ((π β§ π₯ β βͺ πΎ) β Β¬ π₯ β ((limPtβπΎ)βπ»)) |
1200 | 1199 | nrexdv 3144 |
. . 3
β’ (π β Β¬ βπ₯ β βͺ πΎπ₯ β ((limPtβπΎ)βπ»)) |
1201 | 1200 | adantr 481 |
. 2
β’ ((π β§ Β¬ π» β Fin) β Β¬ βπ₯ β βͺ πΎπ₯ β ((limPtβπΎ)βπ»)) |
1202 | 28, 1201 | condan 816 |
1
β’ (π β π» β Fin) |