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Theorem fourierdlem42 45566
Description: The set of points in a moved partition are finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem42.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem42.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem42.bc (𝜑𝐵 < 𝐶)
fourierdlem42.t 𝑇 = (𝐶𝐵)
fourierdlem42.a (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
fourierdlem42.af (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem42.ba (𝜑𝐵𝐴)
fourierdlem42.ca (𝜑𝐶𝐴)
fourierdlem42.d 𝐷 = (abs ∘ − )
fourierdlem42.i 𝐼 = ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )
fourierdlem42.r 𝑅 = ran (𝐷𝐼)
fourierdlem42.e 𝐸 = inf(𝑅, ℝ, < )
fourierdlem42.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem42.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem42.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
fourierdlem42.k 𝐾 = (𝐽t (𝑋[,]𝑌))
fourierdlem42.h 𝐻 = {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴}
fourierdlem42.15 (𝜓 ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem42 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝐸,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘   𝐻,𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐼   𝐽,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝑅   𝑇,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑎,𝑏,𝑥   𝜓,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝜓(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑗,𝑘)   𝐼(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐽(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐾(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem42
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑖 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem42.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2 fourierdlem42.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 fourierdlem42.j . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
4 fourierdlem42.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽t (𝑋[,]𝑌))
53, 4icccmp 24761 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ Comp)
61, 2, 5syl2anc 582 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Comp)
76adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ Comp)
8 fourierdlem42.h . . . . . 6 𝐻 = {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴}
9 ssrab2 4077 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ⊆ (𝑋[,]𝑌)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ⊆ (𝑋[,]𝑌))
118, 10eqsstrid 4030 . . . . 5 (𝜑𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌))
12 retop 24698 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
133, 12eqeltri 2825 . . . . . . 7 𝐽 ∈ Top
141, 2iccssred 13451 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
15 uniretop 24699 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
163unieqi 4924 . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1715, 16eqtr4i 2759 . . . . . . . 8 ℝ = 𝐽
1817restuni 23086 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) = (𝐽t (𝑋[,]𝑌)))
1913, 14, 18sylancr 585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) = (𝐽t (𝑋[,]𝑌)))
204unieqi 4924 . . . . . . 7 𝐾 = (𝐽t (𝑋[,]𝑌))
2120eqcomi 2737 . . . . . 6 (𝐽t (𝑋[,]𝑌)) = 𝐾
2219, 21eqtrdi 2784 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) = 𝐾)
2311, 22sseqtrd 4022 . . . 4 (𝜑𝐻 𝐾)
2423adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → 𝐻 𝐾)
25 simpr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ¬ 𝐻 ∈ Fin)
26 eqid 2728 . . . 4 𝐾 = 𝐾
2726bwth 23334 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐻 𝐾 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
287, 24, 25, 27syl3anc 1368 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
2911, 14sstrd 3992 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
3029ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → 𝐻 ⊆ ℝ)
31 ne0i 4338 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) → ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ≠ ∅)
3231adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ≠ ∅)
33 fourierdlem42.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = inf(𝑅, ℝ, < )
34 fourierdlem42.r . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = ran (𝐷𝐼)
35 absf 15324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 abs:ℂ⟶ℝ
36 ffn 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs Fn ℂ
38 subf 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
39 ffn 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 − Fn (ℂ × ℂ)
41 frn 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → ran − ⊆ ℂ)
4238, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran − ⊆ ℂ
43 fnco 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs Fn ℂ ∧ − Fn (ℂ × ℂ) ∧ ran − ⊆ ℂ) → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
4437, 40, 42, 43mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
45 fourierdlem42.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = (abs ∘ − )
4645fneq1i 6656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 Fn (ℂ × ℂ) ↔ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
4744, 46mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 Fn (ℂ × ℂ)
48 fourierdlem42.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 = ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )
49 fourierdlem42.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
50 fourierdlem42.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
51 fourierdlem42.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5250, 51iccssred 13451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
53 ax-resscn 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ ℂ
5452, 53sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
5549, 54sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
56 xpss12 5697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℂ × ℂ))
5755, 55, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℂ × ℂ))
5857ssdifssd 4143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ⊆ (ℂ × ℂ))
5948, 58eqsstrid 4030 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼 ⊆ (ℂ × ℂ))
60 fnssres 6683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 Fn (ℂ × ℂ) ∧ 𝐼 ⊆ (ℂ × ℂ)) → (𝐷𝐼) Fn 𝐼)
6147, 59, 60sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷𝐼) Fn 𝐼)
62 fvres 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐼 → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝐷𝑥))
6362adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝐷𝑥))
6445fveq1i 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷𝑥) = ((abs ∘ − )‘𝑥)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐷𝑥) = ((abs ∘ − )‘𝑥))
66 ffun 6730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − )
6738, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Fun −
6859sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ (ℂ × ℂ))
6938fdmi 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom − = (ℂ × ℂ)
7068, 69eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ dom − )
71 fvco 7001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun − ∧ 𝑥 ∈ dom − ) → ((abs ∘ − )‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥)))
7267, 70, 71sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ((abs ∘ − )‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥)))
7363, 65, 723eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥)))
7438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
7574, 68ffvelcdmd 7100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ( − ‘𝑥) ∈ ℂ)
7675abscld 15423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → (abs‘( − ‘𝑥)) ∈ ℝ)
7773, 76eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ)
78 elxp2 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℂ × ℂ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩)
7968, 78sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → ∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩)
80 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( − ‘𝑥) = ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩))
81803ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ( − ‘𝑥) = ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩))
82 df-ov 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝑧) = ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩)
83 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → 𝜑)
84 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥𝐼𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩)
85 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥𝐼𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → 𝑥𝐼)
8684, 85eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥𝐼𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼)
8786adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼)
88873adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼)
8955adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝐴 ⊆ ℂ)
9048eleq2i 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
91 eldif 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ↔ (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ∧ ¬ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I ))
9290, 91sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ∧ ¬ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I ))
9392simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
94 opelxp 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑦𝐴𝑧𝐴))
9593, 94sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
9695adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
9796simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑦𝐴)
9889, 97sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ ℂ)
9996simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑧𝐴)
10089, 99sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ ℂ)
10192simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ¬ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I )
102 df-br 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 I 𝑧 ↔ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I )
103101, 102sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 I 𝑧)
104 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑧 ∈ V
105104ideq 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 I 𝑧𝑦 = 𝑧)
106103, 105sylnib 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 = 𝑧)
107106neqned 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼𝑦𝑧)
108107adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑦𝑧)
10998, 100, 108subne0d 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → (𝑦𝑧) ≠ 0)
11083, 88, 109syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → (𝑦𝑧) ≠ 0)
11182, 110eqnetrrid 3013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩) ≠ 0)
11281, 111eqnetrd 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ( − ‘𝑥) ≠ 0)
1131123exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( − ‘𝑥) ≠ 0)))
114113rexlimdvv 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → (∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( − ‘𝑥) ≠ 0))
11579, 114mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ( − ‘𝑥) ≠ 0)
116 absgt0 15311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (( − ‘𝑥) ∈ ℂ → (( − ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘( − ‘𝑥))))
11775, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → (( − ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘( − ‘𝑥))))
118115, 117mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 < (abs‘( − ‘𝑥)))
11973eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → (abs‘( − ‘𝑥)) = ((𝐷𝐼)‘𝑥))
120118, 119breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 < ((𝐷𝐼)‘𝑥))
12177, 120elrpd 13053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+)
122121ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+)
123 fnfvrnss 7136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐼) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+) → ran (𝐷𝐼) ⊆ ℝ+)
12461, 122, 123syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran (𝐷𝐼) ⊆ ℝ+)
12534, 124eqsstrid 4030 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ+)
126 ltso 11332 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → < Or ℝ)
128 fourierdlem42.af . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
129 xpfi 9349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ∈ Fin)
130128, 128, 129syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 × 𝐴) ∈ Fin)
131 diffi 9210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 × 𝐴) ∈ Fin → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ∈ Fin)
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ∈ Fin)
13348, 132eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
134 fnfi 9212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷𝐼) Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (𝐷𝐼) ∈ Fin)
13561, 133, 134syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ Fin)
136 rnfi 9367 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷𝐼) ∈ Fin → ran (𝐷𝐼) ∈ Fin)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ran (𝐷𝐼) ∈ Fin)
13834, 137eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
13934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 = ran (𝐷𝐼))
14045a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 = (abs ∘ − ))
141140reseq1d 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷𝐼) = ((abs ∘ − ) ↾ 𝐼))
142141fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
143 fourierdlem42.ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵𝐴)
144 fourierdlem42.ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶𝐴)
145 opelxp 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐶𝐴))
146143, 144, 145sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
147 fourierdlem42.bc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐵 < 𝐶)
14850, 147ltned 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵𝐶)
149148neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶)
150 ideqg 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐶𝐴 → (𝐵 I 𝐶𝐵 = 𝐶))
151144, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐵 I 𝐶𝐵 = 𝐶))
152149, 151mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ¬ 𝐵 I 𝐶)
153 df-br 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 I 𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ I )
154152, 153sylnib 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ I )
155146, 154eldifd 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
156155, 48eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐼)
157 fvres 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐼 → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
15950recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
16051recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
161 opelxp 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (ℂ × ℂ) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
162159, 160, 161sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
163162, 69eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ dom − )
164 fvco 7001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun − ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ dom − ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)))
16567, 163, 164sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)))
166 df-ov 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵𝐶) = ( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)
167166eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (𝐵𝐶)
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (𝐵𝐶))
169168fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)) = (abs‘(𝐵𝐶)))
170165, 169eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (abs‘(𝐵𝐶)))
171142, 158, 1703eqtrrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) = ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
172 fnfvelrn 7095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷𝐼) Fn 𝐼 ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐼) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) ∈ ran (𝐷𝐼))
17361, 156, 172syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) ∈ ran (𝐷𝐼))
174171, 173eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ran (𝐷𝐼))
175 ne0i 4338 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ran (𝐷𝐼) → ran (𝐷𝐼) ≠ ∅)
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ran (𝐷𝐼) ≠ ∅)
177139, 176eqnetrd 3005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
178 resss 6011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷𝐼) ⊆ 𝐷
179 rnss 5945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷𝐼) ⊆ 𝐷 → ran (𝐷𝐼) ⊆ ran 𝐷)
180178, 179ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝐷𝐼) ⊆ ran 𝐷
18145rneqi 5943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran 𝐷 = ran (abs ∘ − )
182 rncoss 5979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran (abs ∘ − ) ⊆ ran abs
183 frn 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs:ℂ⟶ℝ → ran abs ⊆ ℝ)
18435, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran abs ⊆ ℝ
185182, 184sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran (abs ∘ − ) ⊆ ℝ
186181, 185eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran 𝐷 ⊆ ℝ
187180, 186sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝐷𝐼) ⊆ ℝ
18834, 187eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 ⊆ ℝ
189188a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
190 fiinfcl 9532 . . . . . . . . . . . . 13 (( < Or ℝ ∧ (𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ⊆ ℝ)) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
191127, 138, 177, 189, 190syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
192125, 191sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
19333, 192eqeltrid 2833 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
194193ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
1953, 30, 32, 194lptre2pt 45057 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
196 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝜑)
19729sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐻) → 𝑦 ∈ ℝ)
198197adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → 𝑦 ∈ ℝ)
199198adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
20029sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐻) → 𝑧 ∈ ℝ)
201200adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → 𝑧 ∈ ℝ)
202201adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
203 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑧)
204199, 202, 2033jca 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧))
2058eleq2i 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐻𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴})
206 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
207206eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
208207rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
209 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
210209oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)))
211210eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
212211cbvrexvw 3233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
213208, 212bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
214213elrab 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
215205, 214sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐻 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
216215simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐻 → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
217216adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
2188eleq2i 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐻𝑧 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴})
219 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)))
220219eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
221220rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
222221elrab 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
223218, 222sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝐻 → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
224223simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐻 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
225224adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
226 reeanv 3224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
227217, 225, 226sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
228227ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
229 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝜑)
230 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
231 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
232 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 < 𝑧)
233230, 231, 2323jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
234233adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
235234adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
236 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
237 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑧 → (𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ))
238 breq2 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑏𝑦 < 𝑧))
239237, 2383anbi23d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)))
240239anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))))
241 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑧 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)))
242241eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑧 → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
243242anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑧 → (((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
2442432rexbidv 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
245240, 244anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
246 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑧 → (𝑦𝑏) = (𝑦𝑧))
247246fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑧 → (abs‘(𝑦𝑏)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
248247breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑧 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
249245, 248imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))))
250 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
251 breq1 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 < 𝑏𝑦 < 𝑏))
252250, 2513anbi13d 1434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)))
253252anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏))))
254 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)))
255254eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
256255anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
2572562rexbidv 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
258253, 257anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
259 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑏) = (𝑦𝑏))
260259fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑦 → (abs‘(𝑎𝑏)) = (abs‘(𝑦𝑏)))
261260breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑦 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏))))
262258, 261imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑦 → ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏)))))
263 fourierdlem42.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜓 ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
264263simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜓 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
265263biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
266265simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)))
267266simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓𝜑)
268267, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜓𝐵 ∈ ℝ)
269268adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
270267, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜓𝐶 ∈ ℝ)
271270adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
272267, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
273272sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
274273adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
275272sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
276275adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
277269, 271, 274, 276iccsuble 44933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (𝐶𝐵))
278 fourierdlem42.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑇 = (𝐶𝐵)
279277, 278breqtrrdi 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
2802793adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
281280adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
282 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ¬ 𝑘𝑗)
283 zre 12600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
284283adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
285284ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
286 zre 12600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
287286adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
288287ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
289285, 288ltnled 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → (𝑗 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑗))
290282, 289mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → 𝑗 < 𝑘)
29151, 50resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
292278, 291eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
293267, 292syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜓𝑇 ∈ ℝ)
294293ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ∈ ℝ)
295287adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℝ)
296284adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℝ)
297295, 296resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘𝑗) ∈ ℝ)
298293adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℝ)
299297, 298remulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) ∈ ℝ)
300299adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) ∈ ℝ)
301266simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓 → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏))
302301simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑏 ∈ ℝ)
303302adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
304286adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
305293adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
306304, 305remulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
307306adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
308303, 307readdcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
309301simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑎 ∈ ℝ)
310309adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
311283adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
312293adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
313311, 312remulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ)
314313adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ)
315310, 314readdcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
316308, 315resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
317316adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
318293recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑇 ∈ ℂ)
319318mullidd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → (1 · 𝑇) = 𝑇)
320319eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓𝑇 = (1 · 𝑇))
321320ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 = (1 · 𝑇))
322 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑗 < 𝑘)
323 zltlem1 12653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 < 𝑘𝑗 ≤ (𝑘 − 1)))
324323ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑗 < 𝑘𝑗 ≤ (𝑘 − 1)))
325322, 324mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑗 ≤ (𝑘 − 1))
326284ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
327 peano2rem 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
328295, 327syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
329328adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
330 1re 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 ∈ ℝ
331 resubcl 11562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (1 − 𝑗) ∈ ℝ)
332330, 326, 331sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (1 − 𝑗) ∈ ℝ)
333 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 𝑗 ≤ (𝑘 − 1))
334326, 329, 332, 333leadd1dd 11866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) ≤ ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)))
335 zcn 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
336335adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ)
337 1cnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
338336, 337pncan3d 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) = 1)
339338ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) = 1)
340 zcn 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
341340adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
342341, 337, 336npncand 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)) = (𝑘𝑗))
343342ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)) = (𝑘𝑗))
344334, 339, 3433brtr3d 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 1 ≤ (𝑘𝑗))
345325, 344syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 1 ≤ (𝑘𝑗))
346330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 1 ∈ ℝ)
347297adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑘𝑗) ∈ ℝ)
34850, 51posdifd 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ 0 < (𝐶𝐵)))
349147, 348mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → 0 < (𝐶𝐵))
350349, 278breqtrrdi 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → 0 < 𝑇)
351292, 350elrpd 13053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
352267, 351syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑇 ∈ ℝ+)
353352ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ∈ ℝ+)
354346, 347, 353lemul1d 13099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (1 ≤ (𝑘𝑗) ↔ (1 · 𝑇) ≤ ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
355345, 354mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (1 · 𝑇) ≤ ((𝑘𝑗) · 𝑇))
356321, 355eqbrtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ≤ ((𝑘𝑗) · 𝑇))
357302, 309resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓 → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
358301simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜓𝑎 < 𝑏)
359309, 302posdifd 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜓 → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏𝑎)))
360358, 359mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓 → 0 < (𝑏𝑎))
361357, 360elrpd 13053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → (𝑏𝑎) ∈ ℝ+)
362361adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ+)
363299, 362ltaddrp2d 13090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) < ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
364302recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓𝑏 ∈ ℂ)
365364adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
366306recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
367366adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
368309recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓𝑎 ∈ ℂ)
369368adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
370313recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℂ)
371370adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℂ)
372365, 367, 369, 371addsub4d 11656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))))
373340ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
374335ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℂ)
375318adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℂ)
376373, 374, 375subdird 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) = ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
377376eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑘𝑗) · 𝑇))
378377oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
379372, 378eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
380363, 379breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
381380adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
382294, 300, 317, 356, 381lelttrd 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
383294, 317ltnled 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑇 < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ↔ ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇))
384382, 383mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
385290, 384syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
3863853adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
387281, 386condan 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘𝑗)
388188, 191sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
38933, 388eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
390267, 389syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓𝐸 ∈ ℝ)
3913903ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ)
392391ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ)
3932933ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ)
394393ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
395284, 287resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
396395adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
397396, 298remulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
3983973adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
399398ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
400 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑𝜑)
401143, 144jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐶𝐴))
402400, 401, 1473jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶))
403 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑑 = 𝐶 → (𝑑𝐴𝐶𝐴))
404403anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = 𝐶 → ((𝐵𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐶𝐴)))
405 breq2 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = 𝐶 → (𝐵 < 𝑑𝐵 < 𝐶))
406404, 4053anbi23d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶)))
407 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = 𝐶 → (𝑑𝐵) = (𝐶𝐵))
408407breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = 𝐶 → (𝐸 ≤ (𝑑𝐵) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶𝐵)))
409406, 408imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑑 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝐵))))
410 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐵𝐴)
411 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = 𝐵 → (𝑐𝐴𝐵𝐴))
412411anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = 𝐵 → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝑑𝐴)))
413 breq1 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = 𝐵 → (𝑐 < 𝑑𝐵 < 𝑑))
414412, 4133anbi23d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑐 = 𝐵 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑)))
415 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = 𝐵 → (𝑑𝑐) = (𝑑𝐵))
416415breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑐 = 𝐵 → (𝐸 ≤ (𝑑𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)))
417414, 416imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑐 = 𝐵 → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵))))
418188a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑅 ⊆ ℝ)
419 0re 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 0 ∈ ℝ
42034eleq2i 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑦𝑅𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼))
421420biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑦𝑅𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼))
422421adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑦𝑅) → 𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼))
42361adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑𝑦𝑅) → (𝐷𝐼) Fn 𝐼)
424 fvelrnb 6964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝐷𝐼) Fn 𝐼 → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦))
425423, 424syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑦𝑅) → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦))
426422, 425mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑𝑦𝑅) → ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦)
427121rpge0d 13060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ≤ ((𝐷𝐼)‘𝑥))
4284273adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑𝑥𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → 0 ≤ ((𝐷𝐼)‘𝑥))
429 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑𝑥𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦)
430428, 429breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑𝑥𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → 0 ≤ 𝑦)
4314303exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝜑 → (𝑥𝐼 → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦)))
432431adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑦𝑅) → (𝑥𝐼 → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦)))
433432rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑𝑦𝑅) → (∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦))
434426, 433mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑦𝑅) → 0 ≤ 𝑦)
435434ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝜑 → ∀𝑦𝑅 0 ≤ 𝑦)
436 breq1 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
437436ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑥 = 0 → (∀𝑦𝑅 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝑅 0 ≤ 𝑦))
438437rspcev 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑅 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦)
439419, 435, 438sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦)
4404393ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦)
441 pm3.22 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑐𝐴𝑑𝐴) → (𝑑𝐴𝑐𝐴))
442 opelxp 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑑𝐴𝑐𝐴))
443441, 442sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑐𝐴𝑑𝐴) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
4444433ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
44549, 52sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
446445sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑐 ∈ ℝ)
447446adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → 𝑐 ∈ ℝ)
4484473adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 ∈ ℝ)
449 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 < 𝑑)
450448, 449gtned 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑑𝑐)
451450neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ¬ 𝑑 = 𝑐)
452 df-br 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑑 I 𝑐 ↔ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I )
453 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 𝑐 ∈ V
454453ideq 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑑 I 𝑐𝑑 = 𝑐)
455452, 454bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I ↔ 𝑑 = 𝑐)
456451, 455sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ¬ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I )
457444, 456eldifd 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
458457, 48eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼)
459448, 449ltned 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐𝑑)
4601413ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → (𝐷𝐼) = ((abs ∘ − ) ↾ 𝐼))
461460fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
4624433ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
463 necom 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (𝑐𝑑𝑑𝑐)
464463biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝑐𝑑𝑑𝑐)
465464neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑐𝑑 → ¬ 𝑑 = 𝑐)
4664653ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ¬ 𝑑 = 𝑐)
467466, 455sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ¬ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I )
468462, 467eldifd 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
469468, 48eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼)
470 fvres 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼 → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
471469, 470syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
472 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → 𝜑)
473472, 469jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → (𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼))
474 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (𝑥𝐼 ↔ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼))
475474anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → ((𝜑𝑥𝐼) ↔ (𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼)))
476 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (𝑥 ∈ dom − ↔ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − ))
477475, 476imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ dom − ) ↔ ((𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − )))
478477, 70vtoclg 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼 → ((𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − ))
479469, 473, 478sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − )
480 fvco 7001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((Fun − ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)))
48167, 479, 480sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)))
482 df-ov 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑑𝑐) = ( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)
483482eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐)
484483fveq2i 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (abs‘( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)) = (abs‘(𝑑𝑐))
485481, 484eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘(𝑑𝑐)))
486461, 471, 4853eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘(𝑑𝑐)))
487459, 486syld3an3 1406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘(𝑑𝑐)))
488445sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ∈ ℝ)
489488adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ)
4904893adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
491448, 490, 449ltled 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐𝑑)
492448, 490, 491abssubge0d 15418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (abs‘(𝑑𝑐)) = (𝑑𝑐))
493487, 492eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐))
494 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
495494eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐) ↔ ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐)))
496495rspcev 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐)) → ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))
497458, 493, 496syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))
498489, 447resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → (𝑑𝑐) ∈ ℝ)
499 elex 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑑𝑐) ∈ ℝ → (𝑑𝑐) ∈ V)
500498, 499syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → (𝑑𝑐) ∈ V)
5015003adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑𝑐) ∈ V)
502 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝜑)
503 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑦 = (𝑑𝑐) → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ (𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼)))
504 eqeq2 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑦 = (𝑑𝑐) → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 ↔ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))
505504rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑦 = (𝑑𝑐) → (∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))
506503, 505bibi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑦 = (𝑑𝑐) → ((𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))))
507506imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑦 = (𝑑𝑐) → ((𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝜑 → ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))))
50861, 424syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦))
509507, 508vtoclg 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑑𝑐) ∈ V → (𝜑 → ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))))
510501, 502, 509sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))
511497, 510mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼))
512511, 34eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑𝑐) ∈ 𝑅)
513 infrelb 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦 ∧ (𝑑𝑐) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑑𝑐))
514418, 440, 512, 513syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑑𝑐))
51533, 514eqbrtrid 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐))
516417, 515vtoclg 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐵𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)))
517410, 516mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵))
518409, 517vtoclg 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐶𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝐵)))
519144, 402, 518sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑𝐸 ≤ (𝐶𝐵))
520519, 278breqtrrdi 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑𝐸𝑇)
521267, 520syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓𝐸𝑇)
5225213ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸𝑇)
523522ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸𝑇)
524364adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
525524, 366pncan2d 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) = (𝑘 · 𝑇))
526525oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = ((𝑘 · 𝑇) / 𝑇))
527340adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
528318adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ)
529419a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
530529, 350gtned 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝜑𝑇 ≠ 0)
531267, 530syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝜓𝑇 ≠ 0)
532531adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ≠ 0)
533527, 528, 532divcan4d 12034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑇) / 𝑇) = 𝑘)
534526, 533eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
535534adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
536535adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
537 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏))
538537oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
539538adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
540368adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
541364adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
542540, 370, 541addsubd 11630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑎𝑏) + (𝑗 · 𝑇)))
543540, 541subcld 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑎𝑏) ∈ ℂ)
544543, 370addcomd 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)))
545542, 544eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)))
546545oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)) / 𝑇))
547318adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ)
548531adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ≠ 0)
549370, 543, 547, 548divdird 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)) / 𝑇) = (((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
550335adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ)
551550, 547, 548divcan4d 12034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) = 𝑗)
552551oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
553546, 549, 5523eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
554553adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
555554adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
556536, 539, 5553eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
557309, 302resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝜓 → (𝑎𝑏) ∈ ℝ)
558309, 302sublt0d 11878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝜓 → ((𝑎𝑏) < 0 ↔ 𝑎 < 𝑏))
559358, 558mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝜓 → (𝑎𝑏) < 0)
560557, 352, 559divlt0gt0d 44697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝜓 → ((𝑎𝑏) / 𝑇) < 0)
561560adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) / 𝑇) < 0)
562335subidd 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗𝑗) = 0)
563562eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑗 ∈ ℤ → 0 = (𝑗𝑗))
564563adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 0 = (𝑗𝑗))
565561, 564breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) / 𝑇) < (𝑗𝑗))
566557, 293, 531redivcld 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝜓 → ((𝑎𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
567566adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
568311, 567, 311ltaddsub2d 11853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗 ↔ ((𝑎𝑏) / 𝑇) < (𝑗𝑗)))
569565, 568mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
570569adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
571570adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
572556, 571eqbrtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
573320ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 = (1 · 𝑇))
574 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 < 𝑗)
575 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
576 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
577 zltp1le 12650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑗 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑗))
578575, 576, 577syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑘 < 𝑗 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑗))
579574, 578mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑗)
580286ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
581330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ∈ ℝ)
582283ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
583580, 581, 582leaddsub2d 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → ((𝑘 + 1) ≤ 𝑗 ↔ 1 ≤ (𝑗𝑘)))
584579, 583mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ≤ (𝑗𝑘))
585584adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ≤ (𝑗𝑘))
586330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ∈ ℝ)
587395ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
588352ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 ∈ ℝ+)
589586, 587, 588lemul1d 13099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (1 ≤ (𝑗𝑘) ↔ (1 · 𝑇) ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
590585, 589mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (1 · 𝑇) ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
591573, 590eqbrtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
592572, 591syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
593592adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
5945933adantll3 44435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
595392, 394, 399, 523, 594letrd 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
596 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
597596oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
598597adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
599267, 445syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝜓𝐴 ⊆ ℝ)
600599sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
601600adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
602601recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
603602subidd 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) = 0)
604603oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
605604adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
606598, 605eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
6076063adantl2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
608607adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
609374, 373subcld 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗𝑘) ∈ ℂ)
610609, 375mulcld 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℂ)
611610addlidd 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗𝑘) · 𝑇))
6126113adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗𝑘) · 𝑇))
613612ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗𝑘) · 𝑇))
614608, 613eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
615595, 614breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
616615adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
617391ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ)
618599sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
619618adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
620601, 619resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
6216203adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
622621ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
623621, 398readdcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ)
624623ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ)
625267adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓𝑘𝑗) → 𝜑)
6266253ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → 𝜑)
627626ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝜑)
628 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
629628ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
630 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
631619ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
632601ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
633631, 632lenltd 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
634630, 633mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
635 eqcom 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
636635notbii 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
637636biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
638637adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
639 ioran 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ↔ (¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
640634, 638, 639sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
641632, 631leloed 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
642640, 641mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
6436423adantll2 44434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
644643adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
645619adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
6466453adantl2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
647646ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
648601adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
6496483adantl2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
650649ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
651647, 650ltnled 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
652644, 651mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
653 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
654 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐𝐴 ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
655654anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
656 breq1 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
657655, 6563anbi23d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
658 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
659658breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
660657, 659imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))))
661 simp2r 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
662 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑑𝐴 ↔ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
663662anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
664 breq2 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑐 < 𝑑𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
665663, 6643anbi23d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
666 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑑𝑐) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))
667666breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝑑𝑐) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)))
668665, 667imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))))
669668, 515vtoclg 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)))
670661, 669mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))
671660, 670vtoclg 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
672653, 671mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
673627, 629, 652, 672syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
674395ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
675293ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑇 ∈ ℝ)
676 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
677283ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
678286ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
679677, 678subge0d 11842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → (0 ≤ (𝑗𝑘) ↔ 𝑘𝑗))
680676, 679mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ (𝑗𝑘))
681680adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ (𝑗𝑘))
682352rpge0d 13060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → 0 ≤ 𝑇)
683682ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ 𝑇)
684674, 675, 681, 683mulge0d 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
6856843adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
686621adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
687398adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
688686, 687addge01d 11840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (0 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇) ↔ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))))
689685, 688mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
690689ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
691617, 622, 624, 673, 690letrd 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
692616, 691pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
693372, 378eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
694693oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
695365, 369subcld 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏𝑎) ∈ ℂ)
696373, 374subcld 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘𝑗) ∈ ℂ)
697696, 375mulcld 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) ∈ ℂ)
698695, 697, 610addassd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑏𝑎) + (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))))
699341, 336, 336, 341subadd4b 44693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) = ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)))
700699adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) = ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)))
701700oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) · 𝑇) = (((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) · 𝑇))
702696, 609, 375adddird 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) · 𝑇) = (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
703340subidd 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘𝑘) = 0)
704703adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘𝑘) = 0)
705562adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗𝑗) = 0)
706704, 705oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) = (0 + 0))
707 00id 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0 + 0) = 0
708706, 707eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) = 0)
709708oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) · 𝑇) = (0 · 𝑇))
710709adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) · 𝑇) = (0 · 𝑇))
711701, 702, 7103eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 · 𝑇))
712711oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)))
713318mul02d 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → (0 · 𝑇) = 0)
714713oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)) = ((𝑏𝑎) + 0))
715364, 368subcld 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → (𝑏𝑎) ∈ ℂ)
716715addridd 11452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → ((𝑏𝑎) + 0) = (𝑏𝑎))
717714, 716eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓 → ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
718717adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
719712, 718eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))) = (𝑏𝑎))
720694, 698, 7193eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
7217203adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
722721ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
723692, 722breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
724 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
725 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
7266013adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
727726adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7286193adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
729728adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
730727, 729ltnled 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
731725, 730mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
732731adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
7335353adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
734733adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
7356003adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7363023ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
737735, 736resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
7382933ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℝ)
7395313ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ≠ 0)
740737, 738, 739redivcld 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7417403adant3l 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7427413adant2l 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
743742adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7446183adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7453023ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
746744, 745resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
7472933ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℝ)
7485313ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ≠ 0)
749746, 747, 748redivcld 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7507493adant3r 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7517503adant2r 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
752751adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7532843ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑗 ∈ ℝ)
754753adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑗 ∈ ℝ)
755726adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7563023ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ)
757756adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑏 ∈ ℝ)
758755, 757resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
759728adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
760759, 757resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
7613523ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
762761adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
763601adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
764619adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
765302ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑏 ∈ ℝ)
766 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
767763, 764, 765, 766ltsub1dd 11864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) < ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏))
7687673adantl2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) < ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏))
769758, 760, 762, 768ltdiv1dd 13113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
770554, 570eqbrtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
7717703adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
772771adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
773743, 752, 754, 769, 772lttrd 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
774734, 773eqbrtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
775774adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
776732, 775syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
777391adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ∈ ℝ)
778393adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
779623adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ)
780522adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸𝑇)
781 peano2rem 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
782753, 781syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
7832873ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ)
784782, 783resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) ∈ ℝ)
785784, 393remulcld 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
786785adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
787753adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
788330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
789787, 788resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
790286ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
7917903ad2antl2 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
792789, 791resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) ∈ ℝ)
793682adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 < (𝑗 − 1)) → 0 ≤ 𝑇)
7947933ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 0 ≤ 𝑇)
795283ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
796330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
797795, 796resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
798 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 < (𝑗 − 1))
799 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
800 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
801 1zzd 12631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈ ℤ)
802800, 801zsubcld 12709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
803 zltlem1 12653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑗 − 1) ↔ 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1)))
804799, 802, 803syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑘 < (𝑗 − 1) ↔ 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1)))
805798, 804mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1))
806790, 797, 796, 805lesubd 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ≤ ((𝑗 − 1) − 𝑘))
8078063ad2antl2 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ≤ ((𝑗 − 1) − 𝑘))
808778, 792, 794, 807lemulge12d 12190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ≤ (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇))
809336, 337, 341sub32d 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) = ((𝑗𝑘) − 1))
810809oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) − 1) · 𝑇))
811810adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) − 1) · 𝑇))
812 1cnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 1 ∈ ℂ)
813609, 812, 375subdird 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗𝑘) − 1) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)))
814319oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝜓 → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
815814adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
816811, 813, 8153eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
8178163adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
818728, 726resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∈ ℝ)
819269, 271, 276, 274iccsuble 44933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ (𝐶𝐵))
820819, 278breqtrrdi 5194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
8218203adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
822818, 393, 398, 821lesub2dd 11869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇) ≤ (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
823817, 822eqbrtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
8246103adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℂ)
825728recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
8266023adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
827824, 825, 826subsub2d 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) + ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
828621recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℂ)
829824, 828addcomd 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) + ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
830827, 829eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
831823, 830breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
832831adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
833778, 786, 779, 808, 832letrd 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
834777, 778, 779, 780, 833letrd 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
835721adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
836834, 835breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
837836adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
838837adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
839 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
840 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
841 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 < 𝑗)
842 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1))
843581, 582, 580, 584lesubd 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ≤ (𝑗 − 1))
8448433adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝑗 − 1))
845 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1))
846284, 781syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
847846adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
848286ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
849847, 848lenltd 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 1) ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)))
850845, 849mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑘)
8518503adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑘)
8525803adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
8538463ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
854852, 853letri3d 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑘 = (𝑗 − 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑘)))
855844, 851, 854mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1))
856840, 841, 842, 855syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1))
857856adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1))
858 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝜓)
859 simpl2l 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
860 simpl3l 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
861 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 · 𝑇) = ((𝑗 − 1) · 𝑇))
862861oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
863862eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
864863adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
865 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
866864, 865eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
867866adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
8688673ad2antl3 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
869860, 868jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴))
870 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
8718703adant3r 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
872744adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
8732703ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
874873adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
875268adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
876270adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
877 elicc2 13429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
878875, 876, 877syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
879275, 878mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶))
880879simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
8818803adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
882881adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
883 nne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
884540, 370pncand 11610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = 𝑎)
885884eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑎 = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)))
886885adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)))
887 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)))
888887eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)))
889888adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)))
890278oveq2i 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝐵 + 𝑇) = (𝐵 + (𝐶𝐵))
891267, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝜓𝐵 ∈ ℂ)
892267, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝜓𝐶 ∈ ℂ)
893891, 892pncan3d 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝜓 → (𝐵 + (𝐶𝐵)) = 𝐶)
894890, 893eqtr2id 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝜓𝐶 = (𝐵 + 𝑇))
895894oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝜓 → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
896895adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
897891adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
898897, 370, 547subsub3d 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 − ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
899550, 547mulsubfacd 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇) = ((𝑗 − 1) · 𝑇))
900899oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 − ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
901896, 898, 9003eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
902901adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
903886, 889, 9023eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
9049033adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
905904adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
906 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
907906eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
908907ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
909364ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ)
910 1cnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
911550, 910subcld 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
912911, 547mulcld 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 1) · 𝑇) ∈ ℂ)
913912adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑗 − 1) · 𝑇) ∈ ℂ)
914909, 913pncand 11610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏)
9159143adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏)
916915adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏)
917905, 908, 9163eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = 𝑏)
918883, 917sylan2b 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = 𝑏)
919309, 358ltned 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝜓𝑎𝑏)
920919neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜓 → ¬ 𝑎 = 𝑏)
9219203ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
922921ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
923918, 922condan 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
924872, 874, 882, 923leneltd 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)
925871, 924sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)
926267ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝜑)
927 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
928926, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐶𝐴)
929 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)
930 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
931654anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑐𝐴𝐶𝐴) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴)))
932 breq1 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶))
933931, 9323anbi23d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)))
934 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐶𝑐) = (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
935934breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝐶𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
936933, 935imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))))
937 simp2r 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐶𝐴)
938403anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑑 = 𝐶 → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝑐𝐴𝐶𝐴)))
939 breq2 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑑 = 𝐶 → (𝑐 < 𝑑𝑐 < 𝐶))
940938, 9393anbi23d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑑 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶)))
941 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑑 = 𝐶 → (𝑑𝑐) = (𝐶𝑐))
942941breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑑 = 𝐶 → (𝐸 ≤ (𝑑𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶𝑐)))
943940, 942imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑑 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐))))
944943, 515vtoclg 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐶𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐)))
945937, 944mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐))
946936, 945vtoclg 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
947930, 946mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
948926, 927, 928, 929, 947syl121anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
949948adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
9509493adantl2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
951950adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
952892adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
953599sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
954953recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
955952, 954npcand 11613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = 𝐶)
956955eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 = ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
957956oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
958957adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
9599583adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
960959adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
961 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝐶𝐵))
962961oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
963962oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
964963adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
965278eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐶𝐵) = 𝑇
966965oveq1i 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
967966a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
968318adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
969968, 954addcomd 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇))
970967, 969eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇))
971970oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
972971adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
9739723adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
974973adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
975954adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
9769753adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
977976adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
9783183ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℂ)
979978adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
980618adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
981980recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
9829813adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
983982adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
984977, 979, 983addsubd 11630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
985974, 984eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
986960, 964, 9853eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
987986adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
988951, 987breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
989925, 988mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
990 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝜓)
991 simpl3r 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
992 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵)
9932683ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
9949533adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
995272sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
996268adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
997270adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
998 elicc2 13429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
999996, 997, 998syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
1000995, 999mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶))
10011000simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
100210013adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
1003 neqne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≠ 𝐵)
100410033ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≠ 𝐵)
1005993, 994, 1002, 1004leneltd 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
1006990, 991, 992, 1005syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
10073903ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ)
10081007adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ)
1009953adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
101010093adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
10112683ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10121010, 1011resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ)
10131012adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ)
10141009, 980resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
1015293adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ)
10161014, 1015readdcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ)
101710163adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ)
10181017adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ)
1019267adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝜑)
102010193ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝜑)
10211020, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐵𝐴)
1022 simpl3r 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
1023 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
1024 simp2r 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
1025 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝑑𝐴 ↔ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴))
10261025anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → ((𝐵𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
1027 breq2 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝐵 < 𝑑𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
10281026, 10273anbi23d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))))
1029 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝑑𝐵) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))
10301029breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝑑𝐵) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)))
10311028, 1030imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))))
10321031, 517vtoclg 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)))
10331024, 1032mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))
10341020, 1021, 1022, 1023, 1033syl121anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))
1035268adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1036980, 1035resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ)
1037965, 1015eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
1038270adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
1039880adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
1040980, 1038, 1035, 1039lesub1dd 11868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (𝐶𝐵))
10411036, 1037, 1014, 1040leadd2dd 11867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵)) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶𝐵)))
1042975, 981npcand 11613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
10431042eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
10441043oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) = ((((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) − 𝐵))
10451014recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℂ)
1046891adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10471045, 981, 1046addsubassd 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) − 𝐵) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵)))
10481044, 1047eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵)))
1049278oveq2i 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶𝐵))
10501049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶𝐵)))
10511041, 1048, 10503brtr4d 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
105210513adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10531052adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10541008, 1013, 1018, 1034, 1053letrd 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10551006, 1054syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
1056989, 1055pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
1057858, 859, 869, 1056syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
1058720eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏𝑎) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
10591058adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏𝑎) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
1060862oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
10611060adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
1062 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑗𝑘) = (𝑗 − (𝑗 − 1)))
10631062oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇))
10641063adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇))
1065 1cnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑗 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
1066335, 1065nncand 11614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − (𝑗 − 1)) = 1)
10671066oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇) = (1 · 𝑇))
10681067ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇) = (1 · 𝑇))
1069319ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (1 · 𝑇) = 𝑇)
10701064, 1068, 10693eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = 𝑇)
10711061, 1070oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10721071adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10731059, 1072eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (𝑏𝑎))
107410733adantl3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (𝑏𝑎))
10751057, 1074breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1076839, 857, 1075syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1077838, 1076pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1078724, 776, 732, 1077syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1079723, 1078pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1080387, 1079mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1081309, 302, 358ltled 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜓𝑎𝑏)
1082309, 302, 1081abssuble0d 15419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜓 → (abs‘(𝑎𝑏)) = (𝑏𝑎))
10831082eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜓 → (𝑏𝑎) = (abs‘(𝑎𝑏)))
108410833ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏𝑎) = (abs‘(𝑎𝑏)))
10851080, 1084breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))
108610853exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜓 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))))
10871086rexlimdvv 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜓 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏))))
1088264, 1087mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜓𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))
1089263, 1088sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))
1090262, 1089chvarvv 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏)))
1091249, 1090chvarvv 1994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1092229, 235, 236, 1091syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1093 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → ¬ 𝑦 < 𝑧)
1094 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦𝑧)
1095 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
1096 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
10971095, 1096lttri2d 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦𝑧 ↔ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦)))
10981094, 1097mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦))
10991098ord 862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (¬ 𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦))
11001093, 1099mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦)
11011100adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦)
11021101adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦)
1103 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝜑)
1104 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑧 ∈ ℝ)
1105 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
1106 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑧 < 𝑦)
11071104, 1105, 11063jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))
11081107adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))
11091108adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))
1110 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 𝑇) = (𝑖 · 𝑇))
11111110oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑖 → (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)))
11121111eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11131112anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
1114 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑙 · 𝑇))
11151114oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 = 𝑙 → (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)))
11161115eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11171116anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑙 → (((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11181113, 1117cbvrex2vw 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1119 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
11201119oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = 𝑘 → (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
11211120eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11221121anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
1123 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
11241123oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑙 = 𝑗 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)))
11251124eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11261125anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑙 = 𝑗 → (((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11271122, 1126cbvrex2vw 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑖 ∈ ℤ ∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑗 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1128 rexcom 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑗 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1129 ancom 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
113011292rexbii 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11311127, 1128, 11303bitri 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑖 ∈ ℤ ∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11321118, 1131sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11331132ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1134 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
1135 breq2 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑦))
11361134, 11353anbi23d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)))
11371136anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))))
1138 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
11391138eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11401139anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
114111402rexbidv 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11421137, 1141anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
1143 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑦 → (𝑧𝑏) = (𝑧𝑦))
11441143fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 → (abs‘(𝑧𝑏)) = (abs‘(𝑧𝑦)))
11451144breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦))))
11461142, 1145imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑦 → ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))))
1147 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ))
1148 breq1 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 < 𝑏𝑧 < 𝑏))
11491147, 11483anbi13d 1434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = 𝑧 → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)))
11501149anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏))))
1151 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)))
11521151eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 = 𝑧 → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11531152anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = 𝑧 → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
115411532rexbidv 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11551150, 1154anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
1156 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎𝑏) = (𝑧𝑏))
11571156fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = 𝑧 → (abs‘(𝑎𝑏)) = (abs‘(𝑧𝑏)))
11581157breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 = 𝑧 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏))))
11591155, 1158imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏)))))
11601159, 1089chvarvv 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏)))
11611146, 1160chvarvv 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
11621103, 1109, 1133, 1161syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
1163 recn 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
11641163adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
1165 recn 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
11661165adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
11671164, 1166abssubd 15440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
11681167adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
11691168ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
11701162, 1169breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
11711170ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑦𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
117211713adantlr3 44433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑦𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
11731172adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑧 < 𝑦𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
11741102, 1173mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
11751092, 1174pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1176196, 204, 228, 1175syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1177389ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐸 ∈ ℝ)
1178198, 201resubcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → (𝑦𝑧) ∈ ℝ)
11791178recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → (𝑦𝑧) ∈ ℂ)
11801179abscld 15423 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℝ)
11811180adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℝ)
11821177, 1181lenltd 11398 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)) ↔ ¬ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11831176, 1182mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → ¬ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸)
1184 nan 828 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸)) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → ¬ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11851183, 1184mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11861185ralrimivva 3198 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦𝐻𝑧𝐻 ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
1187 ralnex2 3130 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝐻𝑧𝐻 ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸) ↔ ¬ ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11881186, 1187sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11891188ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ¬ ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
1190195, 1189pm2.65da 815 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻))
11911190intnanrd 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
1192 elin 3965 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
11931191, 1192sylnibr 328 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)))
119413a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
119514adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
119611adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → 𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌))
119717, 4restlp 23107 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ 𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌)) → ((limPt‘𝐾)‘𝐻) = (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)))
11981194, 1195, 1196, 1197syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐾) → ((limPt‘𝐾)‘𝐻) = (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)))
11991193, 1198neleqtrrd 2852 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
12001199nrexdv 3146 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
12011200adantr 479 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
120228, 1201condan 816 1 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3430  Vcvv 3473  cdif 3946  cin 3948  wss 3949  c0 4326  cop 4638   cuni 4912   class class class wbr 5152   I cid 5579   Or wor 5593   × cxp 5680  dom cdm 5682  ran crn 5683  cres 5684  ccom 5686  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  infcinf 9472  cc 11144  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151   < clt 11286  cle 11287  cmin 11482   / cdiv 11909  cz 12596  +crp 13014  (,)cioo 13364  [,]cicc 13367  abscabs 15221  t crest 17409  topGenctg 17426  Topctop 22815  limPtclp 23058  Compccmp 23310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-icc 13371  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-rest 17411  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-cmp 23311
This theorem is referenced by:  fourierdlem54  45577
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