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Theorem fourierdlem42 46104
Description: The set of points in a moved partition are finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem42.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem42.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem42.bc (𝜑𝐵 < 𝐶)
fourierdlem42.t 𝑇 = (𝐶𝐵)
fourierdlem42.a (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
fourierdlem42.af (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem42.ba (𝜑𝐵𝐴)
fourierdlem42.ca (𝜑𝐶𝐴)
fourierdlem42.d 𝐷 = (abs ∘ − )
fourierdlem42.i 𝐼 = ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )
fourierdlem42.r 𝑅 = ran (𝐷𝐼)
fourierdlem42.e 𝐸 = inf(𝑅, ℝ, < )
fourierdlem42.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem42.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem42.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
fourierdlem42.k 𝐾 = (𝐽t (𝑋[,]𝑌))
fourierdlem42.h 𝐻 = {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴}
fourierdlem42.15 (𝜓 ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem42 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝐸,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘   𝐻,𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐼   𝐽,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝑅   𝑇,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑎,𝑏,𝑥   𝜓,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝜓(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑗,𝑘)   𝐼(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐽(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐾(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑗,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem42
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑖 𝑙 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem42.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2 fourierdlem42.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 fourierdlem42.j . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
4 fourierdlem42.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽t (𝑋[,]𝑌))
53, 4icccmp 24860 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ Comp)
61, 2, 5syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Comp)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ Comp)
8 fourierdlem42.h . . . . . 6 𝐻 = {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴}
9 ssrab2 4089 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ⊆ (𝑋[,]𝑌)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ⊆ (𝑋[,]𝑌))
118, 10eqsstrid 4043 . . . . 5 (𝜑𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌))
12 retop 24797 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
133, 12eqeltri 2834 . . . . . . 7 𝐽 ∈ Top
141, 2iccssred 13470 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
15 uniretop 24798 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
163unieqi 4923 . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1715, 16eqtr4i 2765 . . . . . . . 8 ℝ = 𝐽
1817restuni 23185 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) = (𝐽t (𝑋[,]𝑌)))
1913, 14, 18sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) = (𝐽t (𝑋[,]𝑌)))
204unieqi 4923 . . . . . . 7 𝐾 = (𝐽t (𝑋[,]𝑌))
2120eqcomi 2743 . . . . . 6 (𝐽t (𝑋[,]𝑌)) = 𝐾
2219, 21eqtrdi 2790 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) = 𝐾)
2311, 22sseqtrd 4035 . . . 4 (𝜑𝐻 𝐾)
2423adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → 𝐻 𝐾)
25 simpr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ¬ 𝐻 ∈ Fin)
26 eqid 2734 . . . 4 𝐾 = 𝐾
2726bwth 23433 . . 3 ((𝐾 ∈ Comp ∧ 𝐻 𝐾 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
287, 24, 25, 27syl3anc 1370 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
2911, 14sstrd 4005 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ⊆ ℝ)
3029ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → 𝐻 ⊆ ℝ)
31 ne0i 4346 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) → ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ≠ ∅)
3231adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ≠ ∅)
33 fourierdlem42.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = inf(𝑅, ℝ, < )
34 fourierdlem42.r . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = ran (𝐷𝐼)
35 absf 15372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 abs:ℂ⟶ℝ
36 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs Fn ℂ
38 subf 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
39 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 − Fn (ℂ × ℂ)
41 frn 6743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → ran − ⊆ ℂ)
4238, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran − ⊆ ℂ
43 fnco 6686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs Fn ℂ ∧ − Fn (ℂ × ℂ) ∧ ran − ⊆ ℂ) → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
4437, 40, 42, 43mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
45 fourierdlem42.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = (abs ∘ − )
4645fneq1i 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 Fn (ℂ × ℂ) ↔ (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
4744, 46mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 Fn (ℂ × ℂ)
48 fourierdlem42.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 = ((𝐴 × 𝐴) ∖ I )
49 fourierdlem42.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
50 fourierdlem42.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
51 fourierdlem42.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5250, 51iccssred 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
53 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ ℂ
5452, 53sstrdi 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℂ)
5549, 54sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
56 xpss12 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℂ × ℂ))
5755, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℂ × ℂ))
5857ssdifssd 4156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ⊆ (ℂ × ℂ))
5948, 58eqsstrid 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼 ⊆ (ℂ × ℂ))
60 fnssres 6691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 Fn (ℂ × ℂ) ∧ 𝐼 ⊆ (ℂ × ℂ)) → (𝐷𝐼) Fn 𝐼)
6147, 59, 60sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷𝐼) Fn 𝐼)
62 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐼 → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝐷𝑥))
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝐷𝑥))
6445fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷𝑥) = ((abs ∘ − )‘𝑥)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐷𝑥) = ((abs ∘ − )‘𝑥))
66 ffun 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − )
6738, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Fun −
6859sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ (ℂ × ℂ))
6938fdmi 6747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom − = (ℂ × ℂ)
7068, 69eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ dom − )
71 fvco 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun − ∧ 𝑥 ∈ dom − ) → ((abs ∘ − )‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥)))
7267, 70, 71sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ((abs ∘ − )‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥)))
7363, 65, 723eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (abs‘( − ‘𝑥)))
7438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
7574, 68ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ( − ‘𝑥) ∈ ℂ)
7675abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → (abs‘( − ‘𝑥)) ∈ ℝ)
7773, 76eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ)
78 elxp2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℂ × ℂ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩)
7968, 78sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → ∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩)
80 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( − ‘𝑥) = ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩))
81803ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ( − ‘𝑥) = ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩))
82 df-ov 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝑧) = ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩)
83 simp1l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → 𝜑)
84 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥𝐼𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩)
85 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥𝐼𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → 𝑥𝐼)
8684, 85eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥𝐼𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼)
8786adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼)
88873adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼)
8955adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝐴 ⊆ ℂ)
9048eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
91 eldif 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ↔ (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ∧ ¬ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I ))
9290, 91sylbb 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ∧ ¬ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I ))
9392simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
94 opelxp 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑦𝐴𝑧𝐴))
9593, 94sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
9796simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑦𝐴)
9889, 97sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ ℂ)
9996simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑧𝐴)
10089, 99sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ ℂ)
10192simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ¬ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I )
102 df-br 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 I 𝑧 ↔ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ I )
103101, 102sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 I 𝑧)
104 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑧 ∈ V
105104ideq 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 I 𝑧𝑦 = 𝑧)
106103, 105sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼 → ¬ 𝑦 = 𝑧)
107106neqned 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼𝑦𝑧)
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → 𝑦𝑧)
10998, 100, 108subne0d 11626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∈ 𝐼) → (𝑦𝑧) ≠ 0)
11083, 88, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → (𝑦𝑧) ≠ 0)
11182, 110eqnetrrid 3013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ( − ‘⟨𝑦, 𝑧⟩) ≠ 0)
11281, 111eqnetrd 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩) → ( − ‘𝑥) ≠ 0)
1131123exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( − ‘𝑥) ≠ 0)))
114113rexlimdvv 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐼) → (∃𝑦 ∈ ℂ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( − ‘𝑥) ≠ 0))
11579, 114mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → ( − ‘𝑥) ≠ 0)
116 absgt0 15359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (( − ‘𝑥) ∈ ℂ → (( − ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘( − ‘𝑥))))
11775, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → (( − ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘( − ‘𝑥))))
118115, 117mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 < (abs‘( − ‘𝑥)))
11973eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐼) → (abs‘( − ‘𝑥)) = ((𝐷𝐼)‘𝑥))
120118, 119breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 < ((𝐷𝐼)‘𝑥))
12177, 120elrpd 13071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+)
122121ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+)
123 fnfvrnss 7140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐼) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) ∈ ℝ+) → ran (𝐷𝐼) ⊆ ℝ+)
12461, 122, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran (𝐷𝐼) ⊆ ℝ+)
12534, 124eqsstrid 4043 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ+)
126 ltso 11338 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → < Or ℝ)
128 fourierdlem42.af . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
129 xpfi 9355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 × 𝐴) ∈ Fin)
130128, 128, 129syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 × 𝐴) ∈ Fin)
131 diffi 9213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 × 𝐴) ∈ Fin → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ∈ Fin)
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ) ∈ Fin)
13348, 132eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
134 fnfi 9215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷𝐼) Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (𝐷𝐼) ∈ Fin)
13561, 133, 134syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ Fin)
136 rnfi 9377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷𝐼) ∈ Fin → ran (𝐷𝐼) ∈ Fin)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ran (𝐷𝐼) ∈ Fin)
13834, 137eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
13934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 = ran (𝐷𝐼))
14045a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 = (abs ∘ − ))
141140reseq1d 5998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷𝐼) = ((abs ∘ − ) ↾ 𝐼))
142141fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
143 fourierdlem42.ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵𝐴)
144 fourierdlem42.ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶𝐴)
145 opelxp 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐶𝐴))
146143, 144, 145sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
147 fourierdlem42.bc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐵 < 𝐶)
14850, 147ltned 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵𝐶)
149148neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶)
150 ideqg 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐶𝐴 → (𝐵 I 𝐶𝐵 = 𝐶))
151144, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐵 I 𝐶𝐵 = 𝐶))
152149, 151mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ¬ 𝐵 I 𝐶)
153 df-br 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 I 𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ I )
154152, 153sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ I )
155146, 154eldifd 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
156155, 48eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐼)
157 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐼 → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
15950recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
16051recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
161 opelxp 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (ℂ × ℂ) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
162159, 160, 161sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
163162, 69eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ dom − )
164 fvco 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun − ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ dom − ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)))
16567, 163, 164sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)))
166 df-ov 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵𝐶) = ( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)
167166eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (𝐵𝐶)
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (𝐵𝐶))
169168fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘( − ‘⟨𝐵, 𝐶⟩)) = (abs‘(𝐵𝐶)))
170165, 169eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((abs ∘ − )‘⟨𝐵, 𝐶⟩) = (abs‘(𝐵𝐶)))
171142, 158, 1703eqtrrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) = ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩))
172 fnfvelrn 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷𝐼) Fn 𝐼 ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ 𝐼) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) ∈ ran (𝐷𝐼))
17361, 156, 172syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐷𝐼)‘⟨𝐵, 𝐶⟩) ∈ ran (𝐷𝐼))
174171, 173eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ran (𝐷𝐼))
175 ne0i 4346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ran (𝐷𝐼) → ran (𝐷𝐼) ≠ ∅)
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ran (𝐷𝐼) ≠ ∅)
177139, 176eqnetrd 3005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
178 resss 6021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷𝐼) ⊆ 𝐷
179 rnss 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷𝐼) ⊆ 𝐷 → ran (𝐷𝐼) ⊆ ran 𝐷)
180178, 179ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝐷𝐼) ⊆ ran 𝐷
18145rneqi 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran 𝐷 = ran (abs ∘ − )
182 rncoss 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran (abs ∘ − ) ⊆ ran abs
183 frn 6743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs:ℂ⟶ℝ → ran abs ⊆ ℝ)
18435, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran abs ⊆ ℝ
185182, 184sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran (abs ∘ − ) ⊆ ℝ
186181, 185eqsstri 4029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran 𝐷 ⊆ ℝ
187180, 186sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝐷𝐼) ⊆ ℝ
18834, 187eqsstri 4029 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 ⊆ ℝ
189188a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
190 fiinfcl 9538 . . . . . . . . . . . . 13 (( < Or ℝ ∧ (𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ⊆ ℝ)) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
191127, 138, 177, 189, 190syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
192125, 191sseldd 3995 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
19333, 192eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
194193ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
1953, 30, 32, 194lptre2pt 45595 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
196 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝜑)
19729sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐻) → 𝑦 ∈ ℝ)
198197adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → 𝑦 ∈ ℝ)
199198adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
20029sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐻) → 𝑧 ∈ ℝ)
201200adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → 𝑧 ∈ ℝ)
202201adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
203 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑧)
204199, 202, 2033jca 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧))
2058eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐻𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴})
206 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
207206eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
208207rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
209 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
210209oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑗 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)))
211210eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
212211cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
213208, 212bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
214213elrab 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
215205, 214sylbb 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐻 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
216215simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐻 → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
217216adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
2188eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐻𝑧 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴})
219 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)))
220219eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
221220rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
222221elrab 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴} ↔ (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
223218, 222sylbb 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝐻 → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
224223simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐻 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
225224adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
226 reeanv 3226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
227217, 225, 226sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐻𝑧𝐻) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
228227ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
229 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝜑)
230 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
231 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
232 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 < 𝑧)
233230, 231, 2323jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
234233adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
235234adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))
236 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
237 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑧 → (𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ))
238 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑧 → (𝑦 < 𝑏𝑦 < 𝑧))
239237, 2383anbi23d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)))
240239anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧))))
241 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑧 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)))
242241eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑧 → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
243242anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑧 → (((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
2442432rexbidv 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
245240, 244anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
246 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑧 → (𝑦𝑏) = (𝑦𝑧))
247246fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑧 → (abs‘(𝑦𝑏)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
248247breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑧 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
249245, 248imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))))
250 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
251 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 < 𝑏𝑦 < 𝑏))
252250, 2513anbi13d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)))
253252anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏))))
254 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)))
255254eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
256255anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
2572562rexbidv 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
258253, 257anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
259 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑏) = (𝑦𝑏))
260259fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑦 → (abs‘(𝑎𝑏)) = (abs‘(𝑦𝑏)))
261260breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑦 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏))))
262258, 261imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑦 → ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏)))))
263 fourierdlem42.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜓 ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
264263simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜓 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
265263biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
266265simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)))
267266simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓𝜑)
268267, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜓𝐵 ∈ ℝ)
269268adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
270267, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜓𝐶 ∈ ℝ)
271270adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
272267, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
273272sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
274273adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
275272sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
276275adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
277269, 271, 274, 276iccsuble 45471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (𝐶𝐵))
278 fourierdlem42.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑇 = (𝐶𝐵)
279277, 278breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
2802793adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
281280adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
282 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ¬ 𝑘𝑗)
283 zre 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
284283adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
285284ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
286 zre 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
287286adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
288287ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
289285, 288ltnled 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → (𝑗 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑗))
290282, 289mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → 𝑗 < 𝑘)
29151, 50resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
292278, 291eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
293267, 292syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜓𝑇 ∈ ℝ)
294293ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ∈ ℝ)
295287adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℝ)
296284adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℝ)
297295, 296resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘𝑗) ∈ ℝ)
298293adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℝ)
299297, 298remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) ∈ ℝ)
300299adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) ∈ ℝ)
301266simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓 → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏))
302301simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑏 ∈ ℝ)
303302adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
304286adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
305293adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
306304, 305remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
307306adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
308303, 307readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
309301simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑎 ∈ ℝ)
310309adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
311283adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℝ)
312293adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
313311, 312remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ)
314313adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℝ)
315310, 314readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
316308, 315resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
317316adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
318293recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑇 ∈ ℂ)
319318mullidd 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → (1 · 𝑇) = 𝑇)
320319eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓𝑇 = (1 · 𝑇))
321320ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 = (1 · 𝑇))
322 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑗 < 𝑘)
323 zltlem1 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 < 𝑘𝑗 ≤ (𝑘 − 1)))
324323ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑗 < 𝑘𝑗 ≤ (𝑘 − 1)))
325322, 324mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑗 ≤ (𝑘 − 1))
326284ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
327 peano2rem 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
328295, 327syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
329328adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
330 1re 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 ∈ ℝ
331 resubcl 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (1 − 𝑗) ∈ ℝ)
332330, 326, 331sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (1 − 𝑗) ∈ ℝ)
333 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 𝑗 ≤ (𝑘 − 1))
334326, 329, 332, 333leadd1dd 11874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) ≤ ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)))
335 zcn 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
336335adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ)
337 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
338336, 337pncan3d 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) = 1)
339338ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → (𝑗 + (1 − 𝑗)) = 1)
340 zcn 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
341340adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
342341, 337, 336npncand 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)) = (𝑘𝑗))
343342ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → ((𝑘 − 1) + (1 − 𝑗)) = (𝑘𝑗))
344334, 339, 3433brtr3d 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 ≤ (𝑘 − 1)) → 1 ≤ (𝑘𝑗))
345325, 344syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 1 ≤ (𝑘𝑗))
346330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 1 ∈ ℝ)
347297adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑘𝑗) ∈ ℝ)
34850, 51posdifd 11847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (𝐵 < 𝐶 ↔ 0 < (𝐶𝐵)))
349147, 348mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → 0 < (𝐶𝐵))
350349, 278breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → 0 < 𝑇)
351292, 350elrpd 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
352267, 351syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓𝑇 ∈ ℝ+)
353352ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ∈ ℝ+)
354346, 347, 353lemul1d 13117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (1 ≤ (𝑘𝑗) ↔ (1 · 𝑇) ≤ ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
355345, 354mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (1 · 𝑇) ≤ ((𝑘𝑗) · 𝑇))
356321, 355eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 ≤ ((𝑘𝑗) · 𝑇))
357302, 309resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓 → (𝑏𝑎) ∈ ℝ)
358301simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜓𝑎 < 𝑏)
359309, 302posdifd 11847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜓 → (𝑎 < 𝑏 ↔ 0 < (𝑏𝑎)))
360358, 359mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓 → 0 < (𝑏𝑎))
361357, 360elrpd 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → (𝑏𝑎) ∈ ℝ+)
362361adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏𝑎) ∈ ℝ+)
363299, 362ltaddrp2d 13108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) < ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
364302recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓𝑏 ∈ ℂ)
365364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
366306recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
367366adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
368309recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜓𝑎 ∈ ℂ)
369368adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
370313recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℂ)
371370adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 · 𝑇) ∈ ℂ)
372365, 367, 369, 371addsub4d 11664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))))
373340ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
374335ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑗 ∈ ℂ)
375318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℂ)
376373, 374, 375subdird 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) = ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
377376eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑘𝑗) · 𝑇))
378377oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + ((𝑘 · 𝑇) − (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
379372, 378eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
380363, 379breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
381380adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
382294, 300, 317, 356, 381lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → 𝑇 < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
383294, 317ltnled 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → (𝑇 < ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ↔ ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇))
384382, 383mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑗 < 𝑘) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
385290, 384syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
3863853adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑘𝑗) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
387281, 386condan 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘𝑗)
388188, 191sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
38933, 388eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
390267, 389syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓𝐸 ∈ ℝ)
3913903ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ)
392391ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ)
3932933ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ)
394393ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
395284, 287resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
396395adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
397396, 298remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
3983973adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
399398ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
400 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑𝜑)
401143, 144jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐶𝐴))
402400, 401, 1473jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶))
403 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑑 = 𝐶 → (𝑑𝐴𝐶𝐴))
404403anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = 𝐶 → ((𝐵𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐶𝐴)))
405 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = 𝐶 → (𝐵 < 𝑑𝐵 < 𝐶))
406404, 4053anbi23d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶)))
407 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = 𝐶 → (𝑑𝐵) = (𝐶𝐵))
408407breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = 𝐶 → (𝐸 ≤ (𝑑𝐵) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶𝐵)))
409406, 408imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑑 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝐵))))
410 simp2l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐵𝐴)
411 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = 𝐵 → (𝑐𝐴𝐵𝐴))
412411anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = 𝐵 → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝑑𝐴)))
413 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = 𝐵 → (𝑐 < 𝑑𝐵 < 𝑑))
414412, 4133anbi23d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑐 = 𝐵 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑)))
415 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = 𝐵 → (𝑑𝑐) = (𝑑𝐵))
416415breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑐 = 𝐵 → (𝐸 ≤ (𝑑𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)))
417414, 416imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑐 = 𝐵 → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵))))
418188a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑅 ⊆ ℝ)
419 0re 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 0 ∈ ℝ
42034eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑦𝑅𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼))
421420biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑦𝑅𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼))
422421adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑦𝑅) → 𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼))
42361adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑𝑦𝑅) → (𝐷𝐼) Fn 𝐼)
424 fvelrnb 6968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝐷𝐼) Fn 𝐼 → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦))
425423, 424syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑦𝑅) → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦))
426422, 425mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑𝑦𝑅) → ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦)
427121rpge0d 13078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ≤ ((𝐷𝐼)‘𝑥))
4284273adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑𝑥𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → 0 ≤ ((𝐷𝐼)‘𝑥))
429 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑𝑥𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦)
430428, 429breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑𝑥𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) → 0 ≤ 𝑦)
4314303exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝜑 → (𝑥𝐼 → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦)))
432431adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑦𝑅) → (𝑥𝐼 → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦)))
433432rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑𝑦𝑅) → (∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 → 0 ≤ 𝑦))
434426, 433mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑦𝑅) → 0 ≤ 𝑦)
435434ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝜑 → ∀𝑦𝑅 0 ≤ 𝑦)
436 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
437436ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑥 = 0 → (∀𝑦𝑅 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝑅 0 ≤ 𝑦))
438437rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑅 0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦)
439419, 435, 438sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦)
4404393ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦)
441 pm3.22 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑐𝐴𝑑𝐴) → (𝑑𝐴𝑐𝐴))
442 opelxp 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) ↔ (𝑑𝐴𝑐𝐴))
443441, 442sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑐𝐴𝑑𝐴) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
4444433ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
44549, 52sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
446445sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑐 ∈ ℝ)
447446adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → 𝑐 ∈ ℝ)
4484473adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 ∈ ℝ)
449 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐 < 𝑑)
450448, 449gtned 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑑𝑐)
451450neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ¬ 𝑑 = 𝑐)
452 df-br 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑑 I 𝑐 ↔ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I )
453 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 𝑐 ∈ V
454453ideq 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑑 I 𝑐𝑑 = 𝑐)
455452, 454bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I ↔ 𝑑 = 𝑐)
456451, 455sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ¬ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I )
457444, 456eldifd 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
458457, 48eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼)
459448, 449ltned 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐𝑑)
4601413ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → (𝐷𝐼) = ((abs ∘ − ) ↾ 𝐼))
461460fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
4624433ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
463 necom 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (𝑐𝑑𝑑𝑐)
464463biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝑐𝑑𝑑𝑐)
465464neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑐𝑑 → ¬ 𝑑 = 𝑐)
4664653ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ¬ 𝑑 = 𝑐)
467466, 455sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ¬ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ I )
468462, 467eldifd 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐴) ∖ I ))
469468, 48eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼)
470 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼 → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
471469, 470syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → (((abs ∘ − ) ↾ 𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
472 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → 𝜑)
473472, 469jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → (𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼))
474 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (𝑥𝐼 ↔ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼))
475474anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → ((𝜑𝑥𝐼) ↔ (𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼)))
476 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (𝑥 ∈ dom − ↔ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − ))
477475, 476imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ dom − ) ↔ ((𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − )))
478477, 70vtoclg 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼 → ((𝜑 ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − ))
479469, 473, 478sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − )
480 fvco 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((Fun − ∧ ⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ dom − ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)))
48167, 479, 480sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)))
482 df-ov 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (𝑑𝑐) = ( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)
483482eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐)
484483fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (abs‘( − ‘⟨𝑑, 𝑐⟩)) = (abs‘(𝑑𝑐))
485481, 484eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((abs ∘ − )‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘(𝑑𝑐)))
486461, 471, 4853eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘(𝑑𝑐)))
487459, 486syld3an3 1408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (abs‘(𝑑𝑐)))
488445sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ∈ ℝ)
489488adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ)
4904893adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
491448, 490, 449ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝑐𝑑)
492448, 490, 491abssubge0d 15466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (abs‘(𝑑𝑐)) = (𝑑𝑐))
493487, 492eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐))
494 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → ((𝐷𝐼)‘𝑥) = ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩))
495494eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑥 = ⟨𝑑, 𝑐⟩ → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐) ↔ ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐)))
496495rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((⟨𝑑, 𝑐⟩ ∈ 𝐼 ∧ ((𝐷𝐼)‘⟨𝑑, 𝑐⟩) = (𝑑𝑐)) → ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))
497458, 493, 496syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))
498489, 447resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → (𝑑𝑐) ∈ ℝ)
499 elex 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑑𝑐) ∈ ℝ → (𝑑𝑐) ∈ V)
500498, 499syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴)) → (𝑑𝑐) ∈ V)
5015003adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑𝑐) ∈ V)
502 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝜑)
503 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑦 = (𝑑𝑐) → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ (𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼)))
504 eqeq2 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑦 = (𝑑𝑐) → (((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 ↔ ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))
505504rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑦 = (𝑑𝑐) → (∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))
506503, 505bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑦 = (𝑑𝑐) → ((𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))))
507506imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑦 = (𝑑𝑐) → ((𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝜑 → ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))))
50861, 424syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = 𝑦))
509507, 508vtoclg 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑑𝑐) ∈ V → (𝜑 → ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐))))
510501, 502, 509sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → ((𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼) ↔ ∃𝑥𝐼 ((𝐷𝐼)‘𝑥) = (𝑑𝑐)))
511497, 510mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑𝑐) ∈ ran (𝐷𝐼))
512511, 34eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → (𝑑𝑐) ∈ 𝑅)
513 infrelb 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑅 𝑥𝑦 ∧ (𝑑𝑐) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑑𝑐))
514418, 440, 512, 513syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑑𝑐))
51533, 514eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐))
516417, 515vtoclg 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐵𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)))
517410, 516mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵))
518409, 517vtoclg 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐶𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝐵)))
519144, 402, 518sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑𝐸 ≤ (𝐶𝐵))
520519, 278breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑𝐸𝑇)
521267, 520syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓𝐸𝑇)
5225213ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸𝑇)
523522ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸𝑇)
524364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
525524, 366pncan2d 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) = (𝑘 · 𝑇))
526525oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = ((𝑘 · 𝑇) / 𝑇))
527340adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
528318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ)
529419a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
530529, 350gtned 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝜑𝑇 ≠ 0)
531267, 530syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝜓𝑇 ≠ 0)
532531adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ≠ 0)
533527, 528, 532divcan4d 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑇) / 𝑇) = 𝑘)
534526, 533eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
535534adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
536535adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
537 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏))
538537oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
539538adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
540368adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
541364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
542540, 370, 541addsubd 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑎𝑏) + (𝑗 · 𝑇)))
543540, 541subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑎𝑏) ∈ ℂ)
544543, 370addcomd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) + (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)))
545542, 544eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) = ((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)))
546545oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)) / 𝑇))
547318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℂ)
548531adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑇 ≠ 0)
549370, 543, 547, 548divdird 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 · 𝑇) + (𝑎𝑏)) / 𝑇) = (((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
550335adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ ℂ)
551550, 547, 548divcan4d 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) = 𝑗)
552551oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑗 · 𝑇) / 𝑇) + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
553546, 549, 5523eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
554553adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
555554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
556536, 539, 5553eqtr2d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 = (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)))
557309, 302resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝜓 → (𝑎𝑏) ∈ ℝ)
558309, 302sublt0d 11886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝜓 → ((𝑎𝑏) < 0 ↔ 𝑎 < 𝑏))
559358, 558mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝜓 → (𝑎𝑏) < 0)
560557, 352, 559divlt0gt0d 45236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝜓 → ((𝑎𝑏) / 𝑇) < 0)
561560adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) / 𝑇) < 0)
562335subidd 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗𝑗) = 0)
563562eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑗 ∈ ℤ → 0 = (𝑗𝑗))
564563adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 0 = (𝑗𝑗))
565561, 564breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) / 𝑇) < (𝑗𝑗))
566557, 293, 531redivcld 12092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝜓 → ((𝑎𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
567566adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
568311, 567, 311ltaddsub2d 11861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗 ↔ ((𝑎𝑏) / 𝑇) < (𝑗𝑗)))
569565, 568mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
570569adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
571570adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑗 + ((𝑎𝑏) / 𝑇)) < 𝑗)
572556, 571eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
573320ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 = (1 · 𝑇))
574 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 < 𝑗)
575 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
576 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
577 zltp1le 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑗 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑗))
578575, 576, 577syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑘 < 𝑗 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑗))
579574, 578mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑗)
580286ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
581330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ∈ ℝ)
582283ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
583580, 581, 582leaddsub2d 11862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → ((𝑘 + 1) ≤ 𝑗 ↔ 1 ≤ (𝑗𝑘)))
584579, 583mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ≤ (𝑗𝑘))
585584adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ≤ (𝑗𝑘))
586330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 1 ∈ ℝ)
587395ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
588352ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 ∈ ℝ+)
589586, 587, 588lemul1d 13117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (1 ≤ (𝑗𝑘) ↔ (1 · 𝑇) ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
590585, 589mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → (1 · 𝑇) ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
591573, 590eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
592572, 591syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
593592adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
5945933adantll3 44979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑇 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
595392, 394, 399, 523, 594letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
596 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
597596oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
598597adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
599267, 445syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝜓𝐴 ⊆ ℝ)
600599sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
601600adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
602601recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
603602subidd 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) = 0)
604603oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
605604adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
606598, 605eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
6076063adantl2 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
608607adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
609374, 373subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑗𝑘) ∈ ℂ)
610609, 375mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℂ)
611610addlidd 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗𝑘) · 𝑇))
6126113adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗𝑘) · 𝑇))
613612ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (0 + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑗𝑘) · 𝑇))
614608, 613eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
615595, 614breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
616615adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
617391ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ)
618599sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
619618adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
620601, 619resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
6216203adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
622621ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
623621, 398readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ)
624623ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ)
625267adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓𝑘𝑗) → 𝜑)
6266253ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → 𝜑)
627626ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝜑)
628 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
629628ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
630 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
631619ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
632601ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
633631, 632lenltd 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
634630, 633mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
635 eqcom 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
636635notbii 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
637636biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
638637adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
639 ioran 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ↔ (¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
640634, 638, 639sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
641632, 631leloed 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∨ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
642640, 641mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
6436423adantll2 44978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
644643adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
645619adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
6466453adantl2 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
647646ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
648601adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
6496483adantl2 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
650649ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
651647, 650ltnled 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
652644, 651mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
653 simp2l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
654 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐𝐴 ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
655654anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
656 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
657655, 6563anbi23d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
658 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
659658breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
660657, 659imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))))
661 simp2r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
662 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑑𝐴 ↔ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
663662anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
664 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑐 < 𝑑𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
665663, 6643anbi23d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
666 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝑑𝑐) = ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))
667666breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝑑𝑐) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)))
668665, 667imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑑 = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))))
669668, 515vtoclg 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐)))
670661, 669mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑐))
671660, 670vtoclg 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
672653, 671mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
673627, 629, 652, 672syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
674395ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → (𝑗𝑘) ∈ ℝ)
675293ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑇 ∈ ℝ)
676 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
677283ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
678286ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ)
679677, 678subge0d 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → (0 ≤ (𝑗𝑘) ↔ 𝑘𝑗))
680676, 679mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ (𝑗𝑘))
681680adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ (𝑗𝑘))
682352rpge0d 13078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → 0 ≤ 𝑇)
683682ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ 𝑇)
684674, 675, 681, 683mulge0d 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
6856843adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → 0 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇))
686621adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
687398adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
688686, 687addge01d 11848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → (0 ≤ ((𝑗𝑘) · 𝑇) ↔ ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))))
689685, 688mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
690689ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
691617, 622, 624, 673, 690letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
692616, 691pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
693372, 378eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)))
694693oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
695365, 369subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏𝑎) ∈ ℂ)
696373, 374subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘𝑗) ∈ ℂ)
697696, 375mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) · 𝑇) ∈ ℂ)
698695, 697, 610addassd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏𝑎) + ((𝑘𝑗) · 𝑇)) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = ((𝑏𝑎) + (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))))
699341, 336, 336, 341subadd4b 45232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) = ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)))
700699adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) = ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)))
701700oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) · 𝑇) = (((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) · 𝑇))
702696, 609, 375adddird 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑗) + (𝑗𝑘)) · 𝑇) = (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
703340subidd 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘𝑘) = 0)
704703adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘𝑘) = 0)
705562adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗𝑗) = 0)
706704, 705oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) = (0 + 0))
707 00id 11433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0 + 0) = 0
708706, 707eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) = 0)
709708oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) · 𝑇) = (0 · 𝑇))
710709adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑘) + (𝑗𝑗)) · 𝑇) = (0 · 𝑇))
711701, 702, 7103eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (0 · 𝑇))
712711oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))) = ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)))
713318mul02d 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → (0 · 𝑇) = 0)
714713oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)) = ((𝑏𝑎) + 0))
715364, 368subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜓 → (𝑏𝑎) ∈ ℂ)
716715addridd 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜓 → ((𝑏𝑎) + 0) = (𝑏𝑎))
717714, 716eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜓 → ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
718717adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + (0 · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
719712, 718eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑏𝑎) + (((𝑘𝑗) · 𝑇) + ((𝑗𝑘) · 𝑇))) = (𝑏𝑎))
720694, 698, 7193eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
7217203adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
722721ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
723692, 722breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
724 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
725 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
7266013adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
727726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7286193adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
729728adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
730727, 729ltnled 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))))
731725, 730mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
732731adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
7335353adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
734733adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
7356003adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7363023ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
737735, 736resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
7382933ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℝ)
7395313ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ≠ 0)
740737, 738, 739redivcld 12092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7417403adant3l 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7427413adant2l 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
743742adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7446183adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7453023ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
746744, 745resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
7472933ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℝ)
7485313ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ≠ 0)
749746, 747, 748redivcld 12092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7507493adant3r 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7517503adant2r 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
752751adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) ∈ ℝ)
7532843ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑗 ∈ ℝ)
754753adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑗 ∈ ℝ)
755726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
7563023ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ)
757756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑏 ∈ ℝ)
758755, 757resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
759728adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
760759, 757resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) ∈ ℝ)
7613523ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
762761adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
763601adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
764619adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
765302ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑏 ∈ ℝ)
766 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
767763, 764, 765, 766ltsub1dd 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) < ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏))
7687673adantl2 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) < ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏))
769758, 760, 762, 768ltdiv1dd 13131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇))
770554, 570eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
7717703adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
772771adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
773743, 752, 754, 769, 772lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − 𝑏) / 𝑇) < 𝑗)
774734, 773eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
775774adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
776732, 775syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝑘 < 𝑗)
777391adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ∈ ℝ)
778393adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
779623adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) ∈ ℝ)
780522adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸𝑇)
781 peano2rem 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
782753, 781syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
7832873ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ)
784782, 783resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) ∈ ℝ)
785784, 393remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
786785adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ∈ ℝ)
787753adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
788330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
789787, 788resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
790286ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
7917903ad2antl2 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
792789, 791resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) ∈ ℝ)
793682adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑘 < (𝑗 − 1)) → 0 ≤ 𝑇)
7947933ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 0 ≤ 𝑇)
795283ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
796330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
797795, 796resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
798 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 < (𝑗 − 1))
799 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
800 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
801 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ∈ ℤ)
802800, 801zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
803 zltlem1 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑗 − 1) ↔ 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1)))
804799, 802, 803syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑘 < (𝑗 − 1) ↔ 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1)))
805798, 804mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ≤ ((𝑗 − 1) − 1))
806790, 797, 796, 805lesubd 11864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ≤ ((𝑗 − 1) − 𝑘))
8078063ad2antl2 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 1 ≤ ((𝑗 − 1) − 𝑘))
808778, 792, 794, 807lemulge12d 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ≤ (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇))
809336, 337, 341sub32d 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 1) − 𝑘) = ((𝑗𝑘) − 1))
810809oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) − 1) · 𝑇))
811810adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) − 1) · 𝑇))
812 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 1 ∈ ℂ)
813609, 812, 375subdird 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗𝑘) − 1) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)))
814319oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝜓 → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
815814adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − (1 · 𝑇)) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
816811, 813, 8153eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
8178163adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇))
818728, 726resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ∈ ℝ)
819269, 271, 276, 274iccsuble 45471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ (𝐶𝐵))
820819, 278breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
8218203adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) ≤ 𝑇)
822818, 393, 398, 821lesub2dd 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − 𝑇) ≤ (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
823817, 822eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))))
8246103adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) ∈ ℂ)
825728recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
8266023adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℂ)
827824, 825, 826subsub2d 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) = (((𝑗𝑘) · 𝑇) + ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
828621recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℂ)
829824, 828addcomd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) + ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
830827, 829eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗𝑘) · 𝑇) − ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
831823, 830breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
832831adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑗 − 1) − 𝑘) · 𝑇) ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
833778, 786, 779, 808, 832letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑇 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
834777, 778, 779, 780, 833letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
835721adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (𝑏𝑎))
836834, 835breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
837836adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
838837adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
839 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
840 simpll2 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
841 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 < 𝑗)
842 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1))
843581, 582, 580, 584lesubd 11864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗) → 𝑘 ≤ (𝑗 − 1))
8448433adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝑗 − 1))
845 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1))
846284, 781syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
847846adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
848286ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
849847, 848lenltd 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − 1) ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)))
850845, 849mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑘)
8518503adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ≤ 𝑘)
8525803adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
8538463ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
854852, 853letri3d 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → (𝑘 = (𝑗 − 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑗 − 1) ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑘)))
855844, 851, 854mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 < 𝑗 ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1))
856840, 841, 842, 855syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1))
857856adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝑘 = (𝑗 − 1))
858 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝜓)
859 simpl2l 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
860 simpl3l 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
861 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 · 𝑇) = ((𝑗 − 1) · 𝑇))
862861oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
863862eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
864863adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)))
865 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
866864, 865eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
867866adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
8688673ad2antl3 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
869860, 868jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴))
870 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
8718703adant3r 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
872744adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
8732703ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
874873adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
875268adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
876270adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
877 elicc2 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
878875, 876, 877syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
879275, 878mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶))
880879simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
8818803adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
882881adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
883 nne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ↔ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
884540, 370pncand 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = 𝑎)
885884eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝑎 = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)))
886885adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)))
887 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)))
888887eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)))
889888adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)))
890278oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝐵 + 𝑇) = (𝐵 + (𝐶𝐵))
891267, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝜓𝐵 ∈ ℂ)
892267, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝜓𝐶 ∈ ℂ)
893891, 892pncan3d 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝜓 → (𝐵 + (𝐶𝐵)) = 𝐶)
894890, 893eqtr2id 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝜓𝐶 = (𝐵 + 𝑇))
895894oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝜓 → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
896895adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
897891adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
898897, 370, 547subsub3d 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 − ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇)) = ((𝐵 + 𝑇) − (𝑗 · 𝑇)))
899550, 547mulsubfacd 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇) = ((𝑗 − 1) · 𝑇))
900899oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐵 − ((𝑗 · 𝑇) − 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
901896, 898, 9003eqtr2d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
902901adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝐶 − (𝑗 · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
903886, 889, 9023eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
9049033adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
905904adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
906 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
907906eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
908907ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → (𝐵 − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
909364ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ)
910 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
911550, 910subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
912911, 547mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 1) · 𝑇) ∈ ℂ)
913912adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑗 − 1) · 𝑇) ∈ ℂ)
914909, 913pncand 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏)
9159143adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏)
916915adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝑏)
917905, 908, 9163eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = 𝑏)
918883, 917sylan2b 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝑎 = 𝑏)
919309, 358ltned 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝜓𝑎𝑏)
920919neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜓 → ¬ 𝑎 = 𝑏)
9219203ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
922921ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → ¬ 𝑎 = 𝑏)
923918, 922condan 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐶 ≠ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))
924872, 874, 882, 923leneltd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)
925871, 924sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)
926267ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝜑)
927 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
928926, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐶𝐴)
929 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)
930 simp2l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)
931654anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝑐𝐴𝐶𝐴) ↔ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴)))
932 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶))
933931, 9323anbi23d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶)))
934 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐶𝑐) = (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
935934breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝐶𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
936933, 935imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑐 = (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))))
937 simp2r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐶𝐴)
938403anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑑 = 𝐶 → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝑐𝐴𝐶𝐴)))
939 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑑 = 𝐶 → (𝑐 < 𝑑𝑐 < 𝐶))
940938, 9393anbi23d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑑 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶)))
941 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑑 = 𝐶 → (𝑑𝑐) = (𝐶𝑐))
942941breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑑 = 𝐶 → (𝐸 ≤ (𝑑𝑐) ↔ 𝐸 ≤ (𝐶𝑐)))
943940, 942imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑑 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝑐 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝑐)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐))))
944943, 515vtoclg 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐶𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐)))
945937, 944mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝐶𝐴) ∧ 𝑐 < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶𝑐))
946936, 945vtoclg 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)))))
947930, 946mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴𝐶𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
948926, 927, 928, 929, 947syl121anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓 ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
949948adantlrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
9509493adantl2 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
951950adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
952892adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
953599sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
954953recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
955952, 954npcand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = 𝐶)
956955eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 = ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
957956oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
958957adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
9599583adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
960959adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
961 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝐶𝐵))
962961oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → ((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
963962oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
964963adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶 − (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
965278eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐶𝐵) = 𝑇
966965oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
967966a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
968318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
969968, 954addcomd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑇 + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇))
970967, 969eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇))
971970oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
972971adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
9739723adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
974973adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
975954adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
9769753adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
977976adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℂ)
9783183ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℂ)
979978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
980618adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℝ)
981980recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
9829813adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
983982adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ ℂ)
984977, 979, 983addsubd 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) + 𝑇) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
985974, 984eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (((𝐶𝐵) + (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
986960, 964, 9853eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
987986adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → (𝐶 − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
988951, 987breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) ∧ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) < 𝐶) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
989925, 988mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
990 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝜓)
991 simpl3r 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
992 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵)
9932683ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
9949533adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
995272sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶))
996268adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
997270adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
998 elicc2 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
999996, 997, 998syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶)))
1000995, 999mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≤ 𝐶))
10011000simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
100210013adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 ≤ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
1003 neqne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵 → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≠ 𝐵)
100410033ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ≠ 𝐵)
1005993, 994, 1002, 1004leneltd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜓 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
1006990, 991, 992, 1005syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
10073903ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ∈ ℝ)
10081007adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ∈ ℝ)
1009953adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
101010093adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ ℝ)
10112683ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10121010, 1011resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ)
10131012adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ)
10141009, 980resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℝ)
1015293adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝑇 ∈ ℝ)
10161014, 1015readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ)
101710163adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ)
10181017adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) ∈ ℝ)
1019267adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝜑)
102010193ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝜑)
10211020, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐵𝐴)
1022 simpl3r 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
1023 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
1024 simp2r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)
1025 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝑑𝐴 ↔ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴))
10261025anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → ((𝐵𝐴𝑑𝐴) ↔ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
1027 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝐵 < 𝑑𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))))
10281026, 10273anbi23d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))))
1029 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝑑𝐵) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))
10301029breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (𝐸 ≤ (𝑑𝐵) ↔ 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)))
10311028, 1030imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑑 = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) → (((𝜑 ∧ (𝐵𝐴𝑑𝐴) ∧ 𝐵 < 𝑑) → 𝐸 ≤ (𝑑𝐵)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))))
10321031, 517vtoclg 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵)))
10331024, 1032mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ (𝐵𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))
10341020, 1021, 1022, 1023, 1033syl121anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵))
1035268adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1036980, 1035resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵) ∈ ℝ)
1037965, 1015eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
1038270adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
1039880adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ 𝐶)
1040980, 1038, 1035, 1039lesub1dd 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (𝐶𝐵))
10411036, 1037, 1014, 1040leadd2dd 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵)) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶𝐵)))
1042975, 981npcand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)))
10431042eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
10441043oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) = ((((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) − 𝐵))
10451014recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∈ ℂ)
1046891adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
10471045, 981, 1046addsubassd 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) − 𝐵) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵)))
10481044, 1047eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) − 𝐵)))
1049278oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶𝐵))
10501049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + (𝐶𝐵)))
10511041, 1048, 10503brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜓 ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
105210513adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10531052adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − 𝐵) ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10541008, 1013, 1018, 1034, 1053letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝐵 < (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10551006, 1054syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) = 𝐵) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
1056989, 1055pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜓𝑗 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
1057858, 859, 869, 1056syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
1058720eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑏𝑎) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
10591058adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (𝑏𝑎) = (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)))
1060862oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
10611060adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) = ((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))))
1062 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑗𝑘) = (𝑗 − (𝑗 − 1)))
10631062oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇))
10641063adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇))
1065 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑗 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
1066335, 1065nncand 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − (𝑗 − 1)) = 1)
10671066oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇) = (1 · 𝑇))
10681067ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗 − (𝑗 − 1)) · 𝑇) = (1 · 𝑇))
1069319ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (1 · 𝑇) = 𝑇)
10701064, 1068, 10693eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → ((𝑗𝑘) · 𝑇) = 𝑇)
10711061, 1070oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜓𝑗 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10721071adantlrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + ((𝑗𝑘) · 𝑇)) = (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇))
10731059, 1072eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (𝑏𝑎))
107410733adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → (((𝑏 + ((𝑗 − 1) · 𝑇)) − (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) + 𝑇) = (𝑏𝑎))
10751057, 1074breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1076839, 857, 1075syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) ∧ ¬ 𝑘 < (𝑗 − 1)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1077838, 1076pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘 < 𝑗) ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) < (𝑎 + (𝑗 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1078724, 776, 732, 1077syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) ∧ ¬ (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ≤ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇))) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1079723, 1078pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑘𝑗) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1080387, 1079mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (𝑏𝑎))
1081309, 302, 358ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜓𝑎𝑏)
1082309, 302, 1081abssuble0d 15467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜓 → (abs‘(𝑎𝑏)) = (𝑏𝑎))
10831082eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜓 → (𝑏𝑎) = (abs‘(𝑎𝑏)))
108410833ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑏𝑎) = (abs‘(𝑎𝑏)))
10851080, 1084breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜓 ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))
108610853exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜓 → ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))))
10871086rexlimdvv 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜓 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏))))
1088264, 1087mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜓𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))
1089263, 1088sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)))
1090262, 1089chvarvv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑏)))
1091249, 1090chvarvv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1092229, 235, 236, 1091syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1093 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → ¬ 𝑦 < 𝑧)
1094 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦𝑧)
1095 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
1096 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
10971095, 1096lttri2d 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦𝑧 ↔ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦)))
10981094, 1097mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦))
10991098ord 864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (¬ 𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦))
11001093, 1099mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦)
11011100adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦)
11021101adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝑧 < 𝑦)
1103 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝜑)
1104 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑧 ∈ ℝ)
1105 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
1106 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝑧 < 𝑦)
11071104, 1105, 11063jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))
11081107adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))
11091108adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))
1110 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 𝑇) = (𝑖 · 𝑇))
11111110oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑖 → (𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)))
11121111eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11131112anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
1114 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑙 · 𝑇))
11151114oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 = 𝑙 → (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)))
11161115eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11171116anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑙 → (((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11181113, 1117cbvrex2vw 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1119 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · 𝑇) = (𝑘 · 𝑇))
11201119oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = 𝑘 → (𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
11211120eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11221121anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
1123 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 · 𝑇) = (𝑗 · 𝑇))
11241123oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑙 = 𝑗 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)))
11251124eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11261125anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑙 = 𝑗 → (((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11271122, 1126cbvrex2vw 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑖 ∈ ℤ ∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑗 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1128 rexcom 3287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑗 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1129 ancom 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
113011292rexbii 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11311127, 1128, 11303bitri 297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑖 ∈ ℤ ∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑖 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11321118, 1131sylbb 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11331132ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
1134 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
1135 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑦))
11361134, 11353anbi23d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)))
11371136anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦))))
1138 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)))
11391138eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11401139anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑦 → (((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
114111402rexbidv 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11421137, 1141anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
1143 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑦 → (𝑧𝑏) = (𝑧𝑦))
11441143fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑦 → (abs‘(𝑧𝑏)) = (abs‘(𝑧𝑦)))
11451144breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑦 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦))))
11461142, 1145imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑦 → ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))))
1147 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑧 ∈ ℝ))
1148 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 < 𝑏𝑧 < 𝑏))
11491147, 11483anbi13d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = 𝑧 → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)))
11501149anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏))))
1151 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) = (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)))
11521151eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 = 𝑧 → ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴))
11531152anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = 𝑧 → (((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
115411532rexbidv 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = 𝑧 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)))
11551150, 1154anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴))))
1156 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = 𝑧 → (𝑎𝑏) = (𝑧𝑏))
11571156fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 = 𝑧 → (abs‘(𝑎𝑏)) = (abs‘(𝑧𝑏)))
11581157breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 = 𝑧 → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏)) ↔ 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏))))
11591155, 1158imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 = 𝑧 → ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑎 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑎𝑏))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏)))))
11601159, 1089chvarvv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑏 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑏)))
11611146, 1160chvarvv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑦)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑧 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
11621103, 1109, 1133, 1161syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑧𝑦)))
1163 recn 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
11641163adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
1165 recn 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
11661165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
11671164, 1166abssubd 15488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
11681167adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
11691168ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
11701162, 1169breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 < 𝑦) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
11711170ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑦𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
117211713adantlr3 44977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑦𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
11731172adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → (𝑧 < 𝑦𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧))))
11741102, 1173mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
11751092, 1174pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑦 + (𝑗 · 𝑇)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ 𝐴)) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1176196, 204, 228, 1175syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)))
1177389ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐸 ∈ ℝ)
1178198, 201resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → (𝑦𝑧) ∈ ℝ)
11791178recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → (𝑦𝑧) ∈ ℂ)
11801179abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℝ)
11811180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → (abs‘(𝑦𝑧)) ∈ ℝ)
11821177, 1181lenltd 11404 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝐸 ≤ (abs‘(𝑦𝑧)) ↔ ¬ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11831176, 1182mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → ¬ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸)
1184 nan 830 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸)) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) ∧ 𝑦𝑧) → ¬ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11851183, 1184mpbir 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐻𝑧𝐻)) → ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11861185ralrimivva 3199 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑦𝐻𝑧𝐻 ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
1187 ralnex2 3130 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝐻𝑧𝐻 ¬ (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸) ↔ ¬ ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11881186, 1187sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
11891188ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻)) → ¬ ∃𝑦𝐻𝑧𝐻 (𝑦𝑧 ∧ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝐸))
1190195, 1189pm2.65da 817 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻))
11911190intnanrd 489 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
1192 elin 3978 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)) ↔ (𝑥 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
11931191, 1192sylnibr 329 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)))
119413a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
119514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
119611adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝐾) → 𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌))
119717, 4restlp 23206 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ 𝐻 ⊆ (𝑋[,]𝑌)) → ((limPt‘𝐾)‘𝐻) = (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)))
11981194, 1195, 1196, 1197syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝐾) → ((limPt‘𝐾)‘𝐻) = (((limPt‘𝐽)‘𝐻) ∩ (𝑋[,]𝑌)))
11991193, 1198neleqtrrd 2861 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝐾) → ¬ 𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
12001199nrexdv 3146 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
12011200adantr 480 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑥 𝐾𝑥 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐻))
120228, 1201condan 818 1 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  c0 4338  cop 4636   cuni 4911   class class class wbr 5147   I cid 5581   Or wor 5595   × cxp 5686  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  ccom 5692  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  infcinf 9478  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cz 12610  +crp 13031  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  abscabs 15269  t crest 17466  topGenctg 17483  Topctop 22914  limPtclp 23157  Compccmp 23409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-icc 13390  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-cmp 23410
This theorem is referenced by:  fourierdlem54  46115
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