Theorem pjss1coi 32645

Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)<->(iii) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 1-Oct-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjss1coi	⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))

Proof of Theorem pjss1coi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		pjco.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
3	1, 2	pjcoi 32640	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
4	3	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
5	2	pjcli 31899	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺)
6		ssel2 3926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐺) → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻)
7	5, 6	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻)
8		pjid 32177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐻) → ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
9	1, 7, 8	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
10	4, 9	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
11	10	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥))
12	1	pjfi 32186	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
13	2	pjfi 32186	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
14	12, 13	hocofi 32248	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
15	14, 13	hoeqi 32243	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
16	11, 15	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))
17		rneq 5920	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺) → ran ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = ran (projℎ‘𝐺))
18		rncoss 5961	. . . 4 ⊢ ran ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ⊆ ran (projℎ‘𝐻)
19	17, 18	eqsstrrdi 3976	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺) → ran (projℎ‘𝐺) ⊆ ran (projℎ‘𝐻))
20	2	pjrni 32184	. . 3 ⊢ ran (projℎ‘𝐺) = 𝐺
21	1	pjrni 32184	. . 3 ⊢ ran (projℎ‘𝐻) = 𝐻
22	19, 20, 21	3sstr3g 3983	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺) → 𝐺 ⊆ 𝐻)
23	16, 22	impbii 212	1 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) = (projℎ‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  ran crn 5656   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6533   ℋchba 31401   C_ℋ cch 31411  proj_ℎcpjh 31419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cc 10438  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204  ax-mulf 11205  ax-hilex 31481  ax-hfvadd 31482  ax-hvcom 31483  ax-hvass 31484  ax-hv0cl 31485  ax-hvaddid 31486  ax-hfvmul 31487  ax-hvmulid 31488  ax-hvmulass 31489  ax-hvdistr1 31490  ax-hvdistr2 31491  ax-hvmul0 31492  ax-hfi 31561  ax-his1 31564  ax-his2 31565  ax-his3 31566  ax-his4 31567  ax-hcompl 31684

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-oadd 8460  df-omul 8461  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-acn 9948  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-ioo 13403  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576  df-rlim 15577  df-sum 15775  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-hom 17367  df-cco 17368  df-rest 17508  df-topn 17509  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-topgen 17529  df-pt 17530  df-prds 17533  df-xrs 17589  df-qtop 17594  df-imas 17595  df-xps 17597  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-lm 23455  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cfil 25484  df-cau 25485  df-cmet 25486  df-grpo 30975  df-gid 30976  df-ginv 30977  df-gdiv 30978  df-ablo 31027  df-vc 31041  df-nv 31074  df-va 31077  df-ba 31078  df-sm 31079  df-0v 31080  df-vs 31081  df-nmcv 31082  df-ims 31083  df-dip 31183  df-ssp 31204  df-ph 31295  df-cbn 31345  df-hnorm 31450  df-hba 31451  df-hvsub 31453  df-hlim 31454  df-hcau 31455  df-sh 31689  df-ch 31703  df-oc 31734  df-ch0 31735  df-shs 31790  df-pjh 31877

This theorem is used by:  pjss2coi  32646  pjin1i  32674  pjclem1  32677