Theorem znleval 21915

Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
znleval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znleval	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))

Proof of Theorem znleval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		znle2.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
3		znle2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
4		znle2.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
5	1, 2, 3, 4	znle2 21914	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
6		relco 6122	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)
7		relssdmrn 6295	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
9		dmcoss 5969	. . . . . . . . 9 ⊢ dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ dom ◡𝐹
10		df-rn 5669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝐹 = dom ◡𝐹
11		znleval.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)
12	1, 11, 2, 3	znf1o 21912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊⟶1-1onto𝑋)
13		f1ofo 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑊⟶1-1onto𝑋 → 𝐹:𝑊⟶onto𝑋)
14		forn 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑊⟶onto𝑋 → ran 𝐹 = 𝑋)
15	12, 13, 14	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran 𝐹 = 𝑋)
16	10, 15	eqtr3id 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → dom ◡𝐹 = 𝑋)
17	9, 16	sseqtrid 3955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋)
18		rncoss 5971	. . . . . . . . 9 ⊢ ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ ≤ )
19		rncoss 5971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ ran 𝐹
20	19, 15	sseqtrid 3955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ 𝑋)
21	18, 20	sstrid 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋)
22		xpss12 5673	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋 ∧ ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋) → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
23	17, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
24	8, 23	sstrid 3924	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
25	5, 24	eqsstrd 3947	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ ⊆ (𝑋 × 𝑋))
26	25	ssbrd 5154	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵))
27		brxp 5707	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
28	26, 27	imbitrdi 254	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)))
29	28	pm4.71rd 572	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
30	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
31	30	breqd 5119	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵))
32		brcog 5855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
33	32	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
34		eqcom 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ↔ (◡𝐹‘𝐴) = 𝑥)
35	12	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑊⟶1-1onto𝑋)
36		f1ocnv 6867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑊⟶1-1onto𝑋 → ◡𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑊)
37		f1ofn 6855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹:𝑋⟶1-1onto𝑊 → ◡𝐹 Fn 𝑋)
38	35, 36, 37	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ◡𝐹 Fn 𝑋)
39		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
40		fnbrfvb 6966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴◡𝐹𝑥))
41	38, 39, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴◡𝐹𝑥))
42	34, 41	bitr2id 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥 = (◡𝐹‘𝐴)))
43	42	anbi1d 643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
44	43	exbidv 1956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (∃𝑥(𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
45	33, 44	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
46		fvex 6929	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹‘𝐴) ∈ V
47		breq1 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) → (𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵))
48	46, 47	ceqsexv 3502	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)
49		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
50		brcog 5855	. . . . . . . 8 ⊢ (((◡𝐹‘𝐴) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
51	46, 49, 50	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
52		fvex 6929	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹‘𝐵) ∈ V
53		breq2 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) → ((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
54	52, 53	ceqsexv 3502	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))
55		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ↔ (◡𝐹‘𝐵) = 𝑥)
56		fnbrfvb 6966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐵) = 𝑥 ↔ 𝐵◡𝐹𝑥))
57	38, 49, 56	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐵) = 𝑥 ↔ 𝐵◡𝐹𝑥))
58	55, 57	bitrid 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐵◡𝐹𝑥))
59		vex 3458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
60		brcnvg 5869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐵◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥𝐹𝐵))
61	49, 59, 60	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥𝐹𝐵))
62	58, 61	bitrd 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝑥𝐹𝐵))
63	62	anbi1d 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (𝑥𝐹𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥)))
64	63	biancomd 469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
65	64	exbidv 1956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
66	54, 65	bitr3id 288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵) ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
67	51, 66	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
68	48, 67	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
69	31, 45, 68	3bitrd 308	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
70	69	pm5.32da 590	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))
71		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
72	70, 71	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))
73	29, 72	bitrd 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ifcif 4485   class class class wbr 5108   × cxp 5656  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658  ran crn 5659   ↾ cres 5660   ∘ ccom 5662  Rel wrel 5663   Fn wfn 6561  ⟶ontowfo 6564  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239   ≤ cle 11383  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ..^cfzo 13828  Basecbs 17431  lecple 17479  ℤRHomczrh 21860  ℤ/nℤczn 21863

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-dvds 16467  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-0g 17662  df-imas 17730  df-qus 17731  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-nsg 19384  df-eqg 19385  df-ghm 19478  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-lidl 21537  df-rsp 21538  df-2idl 21594  df-cnfld 21730  df-zring 21807  df-zrh 21864  df-zn 21867

This theorem is used by:  znleval2  21916