Theorem znleval 20961

Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
znleval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znleval	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))

Proof of Theorem znleval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		znle2.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
3		znle2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
4		znle2.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
5	1, 2, 3, 4	znle2 20960	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
6		relco 6060	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)
7		relssdmrn 6220	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
9		dmcoss 5926	. . . . . . . . 9 ⊢ dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ dom ◡𝐹
10		df-rn 5644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝐹 = dom ◡𝐹
11		znleval.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)
12	1, 11, 2, 3	znf1o 20958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋)
13		f1ofo 6791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋 → 𝐹:𝑊–onto→𝑋)
14		forn 6759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑊–onto→𝑋 → ran 𝐹 = 𝑋)
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran 𝐹 = 𝑋)
16	10, 15	eqtr3id 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → dom ◡𝐹 = 𝑋)
17	9, 16	sseqtrid 3996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋)
18		rncoss 5927	. . . . . . . . 9 ⊢ ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ ≤ )
19		rncoss 5927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ ran 𝐹
20	19, 15	sseqtrid 3996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ 𝑋)
21	18, 20	sstrid 3955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋)
22		xpss12 5648	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋 ∧ ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋) → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
23	17, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
24	8, 23	sstrid 3955	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
25	5, 24	eqsstrd 3982	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ ⊆ (𝑋 × 𝑋))
26	25	ssbrd 5148	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵))
27		brxp 5681	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
28	26, 27	syl6ib 250	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)))
29	28	pm4.71rd 563	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
30	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
31	30	breqd 5116	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵))
32		brcog 5822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
33	32	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
34		eqcom 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ↔ (◡𝐹‘𝐴) = 𝑥)
35	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋)
36		f1ocnv 6796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊)
37		f1ofn 6785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊 → ◡𝐹 Fn 𝑋)
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ◡𝐹 Fn 𝑋)
39		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
40		fnbrfvb 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴◡𝐹𝑥))
41	38, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴◡𝐹𝑥))
42	34, 41	bitr2id 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥 = (◡𝐹‘𝐴)))
43	42	anbi1d 630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
44	43	exbidv 1924	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (∃𝑥(𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
45	33, 44	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
46		fvex 6855	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹‘𝐴) ∈ V
47		breq1 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) → (𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵))
48	46, 47	ceqsexv 3494	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)
49		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
50		brcog 5822	. . . . . . . 8 ⊢ (((◡𝐹‘𝐴) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
51	46, 49, 50	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
52		fvex 6855	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹‘𝐵) ∈ V
53		breq2 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) → ((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
54	52, 53	ceqsexv 3494	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))
55		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ↔ (◡𝐹‘𝐵) = 𝑥)
56		fnbrfvb 6895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐵) = 𝑥 ↔ 𝐵◡𝐹𝑥))
57	38, 49, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐵) = 𝑥 ↔ 𝐵◡𝐹𝑥))
58	55, 57	bitrid 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐵◡𝐹𝑥))
59		vex 3449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
60		brcnvg 5835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐵◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥𝐹𝐵))
61	49, 59, 60	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥𝐹𝐵))
62	58, 61	bitrd 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝑥𝐹𝐵))
63	62	anbi1d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (𝑥𝐹𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥)))
64	63	biancomd 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
65	64	exbidv 1924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
66	54, 65	bitr3id 284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵) ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
67	51, 66	bitr4d 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
68	48, 67	bitrid 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
69	31, 45, 68	3bitrd 304	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
70	69	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))
71		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
72	70, 71	bitr4di 288	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))
73	29, 72	bitrd 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ^◡ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634   ↾ cres 5635   ∘ ccom 5637  Rel wrel 5638   Fn wfn 6491  –onto→wfo 6494  –1-1-onto→wf1o 6495  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051   ≤ cle 11190  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ..^cfzo 13567  Basecbs 17083  lecple 17140  ℤRHomczrh 20900  ℤ/nℤczn 20903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907

This theorem is referenced by:  znleval2  20962