Theorem znleval 21596

Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
znleval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znleval	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))

Proof of Theorem znleval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		znle2.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
3		znle2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
4		znle2.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
5	1, 2, 3, 4	znle2 21595	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
6		relco 6138	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)
7		relssdmrn 6299	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
9		dmcoss 5997	. . . . . . . . 9 ⊢ dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ dom ◡𝐹
10		df-rn 5711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝐹 = dom ◡𝐹
11		znleval.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)
12	1, 11, 2, 3	znf1o 21593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋)
13		f1ofo 6869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋 → 𝐹:𝑊–onto→𝑋)
14		forn 6837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑊–onto→𝑋 → ran 𝐹 = 𝑋)
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran 𝐹 = 𝑋)
16	10, 15	eqtr3id 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → dom ◡𝐹 = 𝑋)
17	9, 16	sseqtrid 4061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋)
18		rncoss 5998	. . . . . . . . 9 ⊢ ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ ≤ )
19		rncoss 5998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ ran 𝐹
20	19, 15	sseqtrid 4061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ 𝑋)
21	18, 20	sstrid 4020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋)
22		xpss12 5715	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋 ∧ ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋) → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
23	17, 21, 22	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
24	8, 23	sstrid 4020	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
25	5, 24	eqsstrd 4047	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ ⊆ (𝑋 × 𝑋))
26	25	ssbrd 5209	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵))
27		brxp 5749	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
28	26, 27	imbitrdi 251	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)))
29	28	pm4.71rd 562	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
30	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
31	30	breqd 5177	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵))
32		brcog 5891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
34		eqcom 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ↔ (◡𝐹‘𝐴) = 𝑥)
35	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋)
36		f1ocnv 6874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊)
37		f1ofn 6863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊 → ◡𝐹 Fn 𝑋)
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ◡𝐹 Fn 𝑋)
39		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
40		fnbrfvb 6973	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴◡𝐹𝑥))
41	38, 39, 40	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴◡𝐹𝑥))
42	34, 41	bitr2id 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥 = (◡𝐹‘𝐴)))
43	42	anbi1d 630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
44	43	exbidv 1920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (∃𝑥(𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
45	33, 44	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
46		fvex 6933	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹‘𝐴) ∈ V
47		breq1 5169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) → (𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵))
48	46, 47	ceqsexv 3542	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)
49		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
50		brcog 5891	. . . . . . . 8 ⊢ (((◡𝐹‘𝐴) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
51	46, 49, 50	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
52		fvex 6933	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹‘𝐵) ∈ V
53		breq2 5170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) → ((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
54	52, 53	ceqsexv 3542	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))
55		eqcom 2747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ↔ (◡𝐹‘𝐵) = 𝑥)
56		fnbrfvb 6973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐵) = 𝑥 ↔ 𝐵◡𝐹𝑥))
57	38, 49, 56	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐵) = 𝑥 ↔ 𝐵◡𝐹𝑥))
58	55, 57	bitrid 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐵◡𝐹𝑥))
59		vex 3492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
60		brcnvg 5904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐵◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥𝐹𝐵))
61	49, 59, 60	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥𝐹𝐵))
62	58, 61	bitrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝑥𝐹𝐵))
63	62	anbi1d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (𝑥𝐹𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥)))
64	63	biancomd 463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
65	64	exbidv 1920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
66	54, 65	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵) ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
67	51, 66	bitr4d 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
68	48, 67	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
69	31, 45, 68	3bitrd 305	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
70	69	pm5.32da 578	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))
71		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
72	70, 71	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))
73	29, 72	bitrd 279	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ifcif 4548   class class class wbr 5166   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  Rel wrel 5705   Fn wfn 6568  –onto→wfo 6571  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184   ≤ cle 11325  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ..^cfzo 13711  Basecbs 17258  lecple 17318  ℤRHomczrh 21533  ℤ/nℤczn 21536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-dvds 16303  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17501  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-2idl 21283  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-zn 21540

This theorem is referenced by:  znleval2  21597