Theorem znleval 21461

Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
znleval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znleval	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))

Proof of Theorem znleval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		znle2.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
3		znle2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
4		znle2.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
5	1, 2, 3, 4	znle2 21460	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
6		relco 6059	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)
7		relssdmrn 6217	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
9		dmcoss 5916	. . . . . . . . 9 ⊢ dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ dom ◡𝐹
10		df-rn 5630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran 𝐹 = dom ◡𝐹
11		znleval.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)
12	1, 11, 2, 3	znf1o 21458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋)
13		f1ofo 6771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋 → 𝐹:𝑊–onto→𝑋)
14		forn 6739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑊–onto→𝑋 → ran 𝐹 = 𝑋)
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran 𝐹 = 𝑋)
16	10, 15	eqtr3id 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → dom ◡𝐹 = 𝑋)
17	9, 16	sseqtrid 3978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋)
18		rncoss 5918	. . . . . . . . 9 ⊢ ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ ran (𝐹 ∘ ≤ )
19		rncoss 5918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ ran 𝐹
20	19, 15	sseqtrid 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (𝐹 ∘ ≤ ) ⊆ 𝑋)
21	18, 20	sstrid 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋)
22		xpss12 5634	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋 ∧ ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ 𝑋) → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
23	17, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (dom ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) × ran ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
24	8, 23	sstrid 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
25	5, 24	eqsstrd 3970	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ ⊆ (𝑋 × 𝑋))
26	25	ssbrd 5135	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵))
27		brxp 5668	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝑋 × 𝑋)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
28	26, 27	imbitrdi 251	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)))
29	28	pm4.71rd 562	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
30	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))
31	30	breqd 5103	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵))
32		brcog 5809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
34		eqcom 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ↔ (◡𝐹‘𝐴) = 𝑥)
35	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋)
36		f1ocnv 6776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊)
37		f1ofn 6765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊 → ◡𝐹 Fn 𝑋)
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ◡𝐹 Fn 𝑋)
39		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
40		fnbrfvb 6873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴◡𝐹𝑥))
41	38, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴) = 𝑥 ↔ 𝐴◡𝐹𝑥))
42	34, 41	bitr2id 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥 = (◡𝐹‘𝐴)))
43	42	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
44	43	exbidv 1921	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (∃𝑥(𝐴◡𝐹𝑥 ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
45	33, 44	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)))
46		fvex 6835	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐹‘𝐴) ∈ V
47		breq1 5095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) → (𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵))
48	46, 47	ceqsexv 3487	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵)
49		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
50		brcog 5809	. . . . . . . 8 ⊢ (((◡𝐹‘𝐴) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
51	46, 49, 50	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
52		fvex 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐹‘𝐵) ∈ V
53		breq2 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) → ((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
54	52, 53	ceqsexv 3487	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))
55		eqcom 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ↔ (◡𝐹‘𝐵) = 𝑥)
56		fnbrfvb 6873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝐵) = 𝑥 ↔ 𝐵◡𝐹𝑥))
57	38, 49, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐵) = 𝑥 ↔ 𝐵◡𝐹𝑥))
58	55, 57	bitrid 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐵◡𝐹𝑥))
59		vex 3440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
60		brcnvg 5822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐵◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥𝐹𝐵))
61	49, 59, 60	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥𝐹𝐵))
62	58, 61	bitrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝑥𝐹𝐵))
63	62	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ (𝑥𝐹𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥)))
64	63	biancomd 463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
65	64	exbidv 1921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐵) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
66	54, 65	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵) ↔ ∃𝑥((◡𝐹‘𝐴) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥𝐹𝐵)))
67	51, 66	bitr4d 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝐴)(𝐹 ∘ ≤ )𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
68	48, 67	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (∃𝑥(𝑥 = (◡𝐹‘𝐴) ∧ 𝑥(𝐹 ∘ ≤ )𝐵) ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
69	31, 45, 68	3bitrd 305	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
70	69	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))
71		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵)))
72	70, 71	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))
73	29, 72	bitrd 279	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (◡𝐹‘𝐴) ≤ (◡𝐹‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ifcif 4476   class class class wbr 5092   × cxp 5617  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619  ran crn 5620   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  Rel wrel 5624   Fn wfn 6477  –onto→wfo 6480  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009   ≤ cle 11150  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ..^cfzo 13557  Basecbs 17120  lecple 17168  ℤRHomczrh 21406  ℤ/nℤczn 21409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-dvds 16164  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19092  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-rsp 21116  df-2idl 21157  df-cnfld 21262  df-zring 21354  df-zrh 21410  df-zn 21413

This theorem is referenced by:  znleval2  21462