Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoicvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoicvr 41693
Description: 𝐼 is a countable set of half-open intervals that covers the whole multidimensional reals. See Definition 1135 (b) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoicvr.2 𝐼 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩))
hoicvr.3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
hoicvr (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑋,𝑗,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem hoicvr
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10363 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
2 mapdm0 8155 . . . . . . 7 (ℝ ∈ V → (ℝ ↑𝑚 ∅) = {∅})
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 (ℝ ↑𝑚 ∅) = {∅}
43a1i 11 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑𝑚 ∅) = {∅})
5 oveq2 6930 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = (ℝ ↑𝑚 ∅))
6 ixpeq1 8205 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = X𝑖 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
76iuneq2d 4780 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = 𝑗 ∈ ℕ X𝑖 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
8 ixp0x 8222 . . . . . . . . . 10 X𝑖 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = {∅}
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → X𝑖 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = {∅})
109iuneq2i 4772 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ ℕ X𝑖 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = 𝑗 ∈ ℕ {∅}
11 1nn 11387 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
1211ne0ii 4152 . . . . . . . . 9 ℕ ≠ ∅
13 iunconst 4762 . . . . . . . . 9 (ℕ ≠ ∅ → 𝑗 ∈ ℕ {∅} = {∅})
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ ℕ {∅} = {∅}
1510, 14eqtri 2802 . . . . . . 7 𝑗 ∈ ℕ X𝑖 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = {∅}
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → 𝑗 ∈ ℕ X𝑖 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = {∅})
177, 16eqtrd 2814 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = {∅})
184, 5, 173eqtr4d 2824 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
19 eqimss 3876 . . . 4 ((ℝ ↑𝑚 𝑋) = 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
2018, 19syl 17 . . 3 (𝑋 = ∅ → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
2120adantl 475 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
22 simpll 757 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝜑)
23 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
24 simplr 759 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → ¬ 𝑋 = ∅)
25 rncoss 5632 . . . . . . . . . . 11 ran (abs ∘ 𝑓) ⊆ ran abs
26 absf 14484 . . . . . . . . . . . 12 abs:ℂ⟶ℝ
27 frn 6297 . . . . . . . . . . . 12 (abs:ℂ⟶ℝ → ran abs ⊆ ℝ)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran abs ⊆ ℝ
2925, 28sstri 3830 . . . . . . . . . 10 ran (abs ∘ 𝑓) ⊆ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ran (abs ∘ 𝑓) ⊆ ℝ)
31 ltso 10457 . . . . . . . . . . 11 < Or ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → < Or ℝ)
3326a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → abs:ℂ⟶ℝ)
34 elmapi 8162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
3534adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
36 ax-resscn 10329 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → ℝ ⊆ ℂ)
3835, 37fssd 6305 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶ℂ)
39 fco 6308 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝑓:𝑋⟶ℂ) → (abs ∘ 𝑓):𝑋⟶ℝ)
4033, 38, 39syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → (abs ∘ 𝑓):𝑋⟶ℝ)
41 hoicvr.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4241adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
43 rnffi 40284 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ 𝑓):𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ran (abs ∘ 𝑓) ∈ Fin)
4440, 42, 43syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → ran (abs ∘ 𝑓) ∈ Fin)
4544adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ran (abs ∘ 𝑓) ∈ Fin)
4634frnd 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
4726fdmi 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 dom abs = ℂ
4847eqcomi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℂ = dom abs
4936, 48sseqtri 3856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ dom abs
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → ℝ ⊆ dom abs)
5146, 50sstrd 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ dom abs)
52 dmcosseq 5633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ran 𝑓 ⊆ dom abs → dom (abs ∘ 𝑓) = dom 𝑓)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → dom (abs ∘ 𝑓) = dom 𝑓)
5434fdmd 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → dom 𝑓 = 𝑋)
5553, 54eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → dom (abs ∘ 𝑓) = 𝑋)
5655adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → dom (abs ∘ 𝑓) = 𝑋)
57 neqne 2977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
5857adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
5956, 58eqnetrd 3036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → dom (abs ∘ 𝑓) ≠ ∅)
6059neneqd 2974 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ¬ dom (abs ∘ 𝑓) = ∅)
61 dm0rn0 5587 . . . . . . . . . . . . 13 (dom (abs ∘ 𝑓) = ∅ ↔ ran (abs ∘ 𝑓) = ∅)
6260, 61sylnib 320 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ¬ ran (abs ∘ 𝑓) = ∅)
6362neqned 2976 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ran (abs ∘ 𝑓) ≠ ∅)
6463adantll 704 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ran (abs ∘ 𝑓) ≠ ∅)
65 fisupcl 8663 . . . . . . . . . 10 (( < Or ℝ ∧ (ran (abs ∘ 𝑓) ∈ Fin ∧ ran (abs ∘ 𝑓) ≠ ∅ ∧ ran (abs ∘ 𝑓) ⊆ ℝ)) → sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) ∈ ran (abs ∘ 𝑓))
6632, 45, 64, 30, 65syl13anc 1440 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) ∈ ran (abs ∘ 𝑓))
6730, 66sseldd 3822 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) ∈ ℝ)
68 arch 11639 . . . . . . . 8 (sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗)
6967, 68syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗 ∈ ℕ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗)
7035ffnd 6292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 Fn 𝑋)
7170ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → 𝑓 Fn 𝑋)
7271adantlr 705 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → 𝑓 Fn 𝑋)
73 simplll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)))
74 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
7574ad3antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑗 ∈ ℕ)
76 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗)
77 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
78 simp2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℕ)
79 zssre 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℤ ⊆ ℝ
80 ressxr 10420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℝ ⊆ ℝ*
8179, 80sstri 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℤ ⊆ ℝ*
82 nnnegz 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → -𝑗 ∈ ℤ)
8381, 82sseldi 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → -𝑗 ∈ ℝ*)
8483adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → -𝑗 ∈ ℝ*)
8578, 84sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -𝑗 ∈ ℝ*)
8674nnxrd 40138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ*)
8786adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → 𝑗 ∈ ℝ*)
8878, 87sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑗 ∈ ℝ*)
89343ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
9080a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → ℝ ⊆ ℝ*)
9189, 90fssd 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → 𝑓:𝑋⟶ℝ*)
92913adant1l 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → 𝑓:𝑋⟶ℝ*)
9392ffvelrnda 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ*)
94 nnre 11382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
9594adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → 𝑗 ∈ ℝ)
96953ad2antl2 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑗 ∈ ℝ)
9796renegcld 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -𝑗 ∈ ℝ)
9835ffvelrnda 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
99983ad2antl1 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
10099renegcld 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) ∈ ℝ)
101 simpll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝜑)
102 simplr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
103 n0i 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖𝑋 → ¬ 𝑋 = ∅)
104103adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ¬ 𝑋 = ∅)
105101, 102, 104, 67syl21anc 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) ∈ ℝ)
1061053ad2antl1 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) ∈ ℝ)
10734ffvelrnda 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℝ)
10836, 107sseldi 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℂ)
109108abscld 14583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) ∈ ℝ)
110109adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) ∈ ℝ)
1111103ad2antl1 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) ∈ ℝ)
112107renegcld 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) ∈ ℝ)
113112leabsd 14561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) ≤ (abs‘-(𝑓𝑖)))
114108absnegd 14596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘-(𝑓𝑖)) = (abs‘(𝑓𝑖)))
115113, 114breqtrd 4912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) ≤ (abs‘(𝑓𝑖)))
116115adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) ≤ (abs‘(𝑓𝑖)))
1171163ad2antl1 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) ≤ (abs‘(𝑓𝑖)))
11829a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → ran (abs ∘ 𝑓) ⊆ ℝ)
119104, 64syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ran (abs ∘ 𝑓) ≠ ∅)
1201193ad2antl1 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → ran (abs ∘ 𝑓) ≠ ∅)
121 fimaxre2 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ran (abs ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ ran (abs ∘ 𝑓) ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (abs ∘ 𝑓)𝑧𝑦)
12229, 44, 121sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (abs ∘ 𝑓)𝑧𝑦)
123122adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (abs ∘ 𝑓)𝑧𝑦)
1241233ad2antl1 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (abs ∘ 𝑓)𝑧𝑦)
125 elmapfun 8164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → Fun 𝑓)
126125adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → Fun 𝑓)
127 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
12854eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑋 = dom 𝑓)
129128adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑋 = dom 𝑓)
130127, 129eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖 ∈ dom 𝑓)
131 fvco 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((Fun 𝑓𝑖 ∈ dom 𝑓) → ((abs ∘ 𝑓)‘𝑖) = (abs‘(𝑓𝑖)))
132126, 130, 131syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → ((abs ∘ 𝑓)‘𝑖) = (abs‘(𝑓𝑖)))
133132eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) = ((abs ∘ 𝑓)‘𝑖))
134 absfun 40478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Fun abs
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → Fun abs)
136 funco 6175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((Fun abs ∧ Fun 𝑓) → Fun (abs ∘ 𝑓))
137135, 125, 136syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → Fun (abs ∘ 𝑓))
138137adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → Fun (abs ∘ 𝑓))
139108, 48syl6eleq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ dom abs)
140 dmfco 6532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((Fun 𝑓𝑖 ∈ dom 𝑓) → (𝑖 ∈ dom (abs ∘ 𝑓) ↔ (𝑓𝑖) ∈ dom abs))
141126, 130, 140syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑖 ∈ dom (abs ∘ 𝑓) ↔ (𝑓𝑖) ∈ dom abs))
142139, 141mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖 ∈ dom (abs ∘ 𝑓))
143 fvelrn 6616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((Fun (abs ∘ 𝑓) ∧ 𝑖 ∈ dom (abs ∘ 𝑓)) → ((abs ∘ 𝑓)‘𝑖) ∈ ran (abs ∘ 𝑓))
144138, 142, 143syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → ((abs ∘ 𝑓)‘𝑖) ∈ ran (abs ∘ 𝑓))
145133, 144eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) ∈ ran (abs ∘ 𝑓))
146145adantll 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) ∈ ran (abs ∘ 𝑓))
1471463ad2antl1 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) ∈ ran (abs ∘ 𝑓))
148 suprub 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((ran (abs ∘ 𝑓) ⊆ ℝ ∧ ran (abs ∘ 𝑓) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (abs ∘ 𝑓)𝑧𝑦) ∧ (abs‘(𝑓𝑖)) ∈ ran (abs ∘ 𝑓)) → (abs‘(𝑓𝑖)) ≤ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ))
149118, 120, 124, 147, 148syl31anc 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (abs‘(𝑓𝑖)) ≤ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ))
150100, 111, 106, 117, 149letrd 10533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) ≤ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ))
151 simpl3 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗)
152100, 106, 96, 150, 151lelttrd 10534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -(𝑓𝑖) < 𝑗)
153100, 96ltnegd 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (-(𝑓𝑖) < 𝑗 ↔ -𝑗 < --(𝑓𝑖)))
154152, 153mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -𝑗 < --(𝑓𝑖))
15536, 99sseldi 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ℂ)
156155negnegd 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → --(𝑓𝑖) = (𝑓𝑖))
157154, 156breqtrd 4912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -𝑗 < (𝑓𝑖))
15897, 99, 157ltled 10524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → -𝑗 ≤ (𝑓𝑖))
15999leabsd 14561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ≤ (abs‘(𝑓𝑖)))
16099, 111, 106, 159, 149letrd 10533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ≤ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ))
16199, 106, 96, 160, 151lelttrd 10534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) < 𝑗)
16285, 88, 93, 158, 161elicod 12536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (-𝑗[,)𝑗))
16373, 75, 76, 77, 162syl31anc 1441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (-𝑗[,)𝑗))
164163adantl3r 740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (-𝑗[,)𝑗))
165 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
166 mptexg 6756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋 ∈ Fin → (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩) ∈ V)
16741, 166syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩) ∈ V)
168167adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩) ∈ V)
169 hoicvr.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐼 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩))
170169fvmpt2 6552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩) ∈ V) → (𝐼𝑗) = (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩))
171165, 168, 170syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐼𝑗) = (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩))
172171fveq1d 6448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐼𝑗)‘𝑖) = ((𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩)‘𝑖))
1731723adant3 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐼𝑗)‘𝑖) = ((𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩)‘𝑖))
174 eqidd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖𝑋 → (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩) = (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩))
175 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⟨-𝑗, 𝑗⟩ = ⟨-𝑗, 𝑗
176175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑖𝑋𝑥 = 𝑖) → ⟨-𝑗, 𝑗⟩ = ⟨-𝑗, 𝑗⟩)
177 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖𝑋𝑖𝑋)
178 opex 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⟨-𝑗, 𝑗⟩ ∈ V
179178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖𝑋 → ⟨-𝑗, 𝑗⟩ ∈ V)
180174, 176, 177, 179fvmptd 6548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖𝑋 → ((𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩)‘𝑖) = ⟨-𝑗, 𝑗⟩)
1811803ad2ant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩)‘𝑖) = ⟨-𝑗, 𝑗⟩)
182173, 181eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐼𝑗)‘𝑖) = ⟨-𝑗, 𝑗⟩)
183182fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖)) = (1st ‘⟨-𝑗, 𝑗⟩))
184 negex 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -𝑗 ∈ V
185 vex 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗 ∈ V
186184, 185op1st 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1st ‘⟨-𝑗, 𝑗⟩) = -𝑗
187186a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (1st ‘⟨-𝑗, 𝑗⟩) = -𝑗)
188183, 187eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖)) = -𝑗)
189182fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖)) = (2nd ‘⟨-𝑗, 𝑗⟩))
190184, 185op2nd 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2nd ‘⟨-𝑗, 𝑗⟩) = 𝑗
191190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (2nd ‘⟨-𝑗, 𝑗⟩) = 𝑗)
192189, 191eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖)) = 𝑗)
193188, 192oveq12d 6940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))) = (-𝑗[,)𝑗))
194193eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (-𝑗[,)𝑗) = ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))))
1951943adant1r 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖𝑋) → (-𝑗[,)𝑗) = ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))))
196195ad5ant135 1434 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (-𝑗[,)𝑗) = ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))))
197164, 196eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))))
19879, 82sseldi 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → -𝑗 ∈ ℝ)
199 opelxpi 5392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ⟨-𝑗, 𝑗⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
200198, 94, 199syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → ⟨-𝑗, 𝑗⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
201200ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑋) → ⟨-𝑗, 𝑗⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
202 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩) = (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩)
203201, 202fmptd 6648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
204171feq1d 6276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐼𝑗):𝑋⟶(ℝ × ℝ) ↔ (𝑥𝑋 ↦ ⟨-𝑗, 𝑗⟩):𝑋⟶(ℝ × ℝ)))
205203, 204mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐼𝑗):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
206205ad4ant14 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐼𝑗):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
207206ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐼𝑗):𝑋⟶(ℝ × ℝ))
208 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
209207, 208fvovco 40308 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) = ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))))
210209eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → ((1st ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))[,)(2nd ‘((𝐼𝑗)‘𝑖))) = (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
211197, 210eleqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑓𝑖) ∈ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
212211ralrimiva 3148 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
21372, 212jca 507 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖)))
214 vex 3401 . . . . . . . . . . 11 𝑓 ∈ V
215214elixp 8201 . . . . . . . . . 10 (𝑓X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) ↔ (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑓𝑖) ∈ (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖)))
216213, 215sylibr 226 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗) → 𝑓X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
217216ex 403 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗𝑓X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖)))
218217reximdva 3198 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (∃𝑗 ∈ ℕ sup(ran (abs ∘ 𝑓), ℝ, < ) < 𝑗 → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑓X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖)))
21969, 218mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑓X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
22022, 23, 24, 219syl21anc 828 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑓X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
221 eliun 4757 . . . . 5 (𝑓 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑓X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
222220, 221sylibr 226 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
223222ralrimiva 3148 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∀𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)𝑓 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
224 dfss3 3810 . . 3 ((ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖) ↔ ∀𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)𝑓 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
225223, 224sylibr 226 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
22621, 225pm2.61dan 803 1 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (([,) ∘ (𝐼𝑗))‘𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  Vcvv 3398  wss 3792  c0 4141  {csn 4398  cop 4404   ciun 4753   class class class wbr 4886  cmpt 4965   Or wor 5273   × cxp 5353  dom cdm 5355  ran crn 5356  ccom 5359  Fun wfun 6129   Fn wfn 6130  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  1st c1st 7443  2nd c2nd 7444  𝑚 cmap 8140  Xcixp 8194  Fincfn 8241  supcsup 8634  cc 10270  cr 10271  1c1 10273  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412  -cneg 10607  cn 11374  cz 11728  [,)cico 12489  abscabs 14381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ico 12493  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383
This theorem is referenced by:  hoicvrrex  41701
  Copyright terms: Public domain W3C validator