Theorem rnfvprc 6885

Description: The range of a function value at a proper class is empty. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnfvprc.y	⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rnfvprc	⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ran 𝑌 = ∅)

Proof of Theorem rnfvprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnfvprc.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)
2		fvprc 6883	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐹‘𝑋) = ∅)
3	1, 2	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → 𝑌 = ∅)
4	3	rneqd 5937	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ran 𝑌 = ran ∅)
5		rn0 5925	. 2 ⊢ ran ∅ = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2787	1 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ran 𝑌 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  ∅c0 4322  ran crn 5677  ‘cfv 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-cnv 5684  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fv 6551

This theorem is referenced by:  pmtrfrn  19374  mrsubrn  34969  mrsub0  34972  mrsubf  34973  mrsubccat  34974  mrsubcn  34975  mrsubco  34977  mrsubvrs  34978  elmsubrn  34984  msubrn  34985  msubf  34988