Theorem rnfvprc 6855

Description: The range of a function value at a proper class is empty. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnfvprc.y	⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rnfvprc	⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ran 𝑌 = ∅)

Proof of Theorem rnfvprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnfvprc.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)
2		fvprc 6853	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐹‘𝑋) = ∅)
3	1, 2	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → 𝑌 = ∅)
4	3	rneqd 5905	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ran 𝑌 = ran ∅)
5		rn0 5892	. 2 ⊢ ran ∅ = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2781	1 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ran 𝑌 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4299  ran crn 5642  ‘cfv 6514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-cnv 5649  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fv 6522

This theorem is referenced by:  pmtrfrn  19395  mrsubrn  35507  mrsub0  35510  mrsubf  35511  mrsubccat  35512  mrsubcn  35513  mrsubco  35515  mrsubvrs  35516  elmsubrn  35522  msubrn  35523  msubf  35526