Theorem rnfvprc 6857

Description: The range of a function value at a proper class is empty. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnfvprc.y	⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rnfvprc	⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ran 𝑌 = ∅)

Proof of Theorem rnfvprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnfvprc.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)
2		fvprc 6855	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐹‘𝑋) = ∅)
3	1, 2	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → 𝑌 = ∅)
4	3	rneqd 5912	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ran 𝑌 = ran ∅)
5		rn0 5900	. 2 ⊢ ran ∅ = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2812	1 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ran 𝑌 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ∅c0 4285  ran crn 5646  ‘cfv 6517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-cnv 5653  df-dm 5655  df-rn 5656  df-iota 6473  df-fv 6525

This theorem is referenced by:  pmtrfrn  19481  mrsubrn  35827  mrsub0  35830  mrsubf  35831  mrsubccat  35832  mrsubcn  35833  mrsubco  35835  mrsubvrs  35836  elmsubrn  35842  msubrn  35843  msubf  35846