Theorem rnfvprc 6902

Description: The range of a function value at a proper class is empty. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnfvprc.y	⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rnfvprc	⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ran 𝑌 = ∅)

Proof of Theorem rnfvprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnfvprc.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)
2		fvprc 6900	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐹‘𝑋) = ∅)
3	1, 2	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → 𝑌 = ∅)
4	3	rneqd 5927	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ran 𝑌 = ran ∅)
5		rn0 5915	. 2 ⊢ ran ∅ = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2814	1 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ran 𝑌 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ran crn 5656  ‘cfv 6558

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6512  df-fv 6566

This theorem is used by:  pmtrfrn  19702  mrsubrn  36445  mrsub0  36448  mrsubf  36449  mrsubccat  36450  mrsubcn  36451  mrsubco  36453  mrsubvrs  36454  elmsubrn  36460  msubrn  36461  msubf  36464