Theorem rnfvprc 6879

Description: The range of a function value at a proper class is empty. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnfvprc.y	⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rnfvprc	⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ran 𝑌 = ∅)

Proof of Theorem rnfvprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnfvprc.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)
2		fvprc 6877	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝐹‘𝑋) = ∅)
3	1, 2	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → 𝑌 = ∅)
4	3	rneqd 5919	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ran 𝑌 = ran ∅)
5		rn0 5907	. 2 ⊢ ran ∅ = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2811	1 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ran 𝑌 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ran crn 5651  ‘cfv 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fv 6546

This theorem is used by:  pmtrfrn  19677  mrsubrn  36364  mrsub0  36367  mrsubf  36368  mrsubccat  36369  mrsubcn  36370  mrsubco  36372  mrsubvrs  36373  elmsubrn  36379  msubrn  36380  msubf  36383