Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubcn 32880
Description: A substitution does not change the value of constant substrings. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubccat.s 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
mrsubccat.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubcn.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubcn.c 𝐶 = (mCN‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mrsubcn ((𝐹 ∈ ran 𝑆𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)

Proof of Theorem mrsubcn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4252 . . . . 5 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2 mrsubccat.s . . . . . 6 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
32rnfvprc 6643 . . . . 5 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
41, 3nsyl2 143 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝑇 ∈ V)
5 mrsubcn.v . . . . 5 𝑉 = (mVR‘𝑇)
6 mrsubccat.r . . . . 5 𝑅 = (mREx‘𝑇)
75, 6, 2mrsubff 32873 . . . 4 (𝑇 ∈ V → 𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝑅m 𝑅))
8 ffun 6494 . . . 4 (𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝑅m 𝑅) → Fun 𝑆)
94, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → Fun 𝑆)
105, 6, 2mrsubrn 32874 . . . . 5 ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝑅m 𝑉))
1110eleq2i 2884 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅m 𝑉)))
1211biimpi 219 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅m 𝑉)))
13 fvelima 6710 . . 3 ((Fun 𝑆𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅m 𝑉))) → ∃𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉)(𝑆𝑓) = 𝐹)
149, 12, 13syl2anc 587 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ∃𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉)(𝑆𝑓) = 𝐹)
15 elmapi 8415 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉) → 𝑓:𝑉𝑅)
1615adantl 485 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑓:𝑉𝑅)
17 ssidd 3941 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑉𝑉)
18 eldifi 4057 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → 𝑋𝐶)
19 elun1 4106 . . . . . . . 8 (𝑋𝐶𝑋 ∈ (𝐶𝑉))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → 𝑋 ∈ (𝐶𝑉))
2120adantr 484 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉)) → 𝑋 ∈ (𝐶𝑉))
22 mrsubcn.c . . . . . . 7 𝐶 = (mCN‘𝑇)
2322, 5, 6, 2mrsubcv 32871 . . . . . 6 ((𝑓:𝑉𝑅𝑉𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋𝑉, (𝑓𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
2416, 17, 21, 23syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋𝑉, (𝑓𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
25 eldifn 4058 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → ¬ 𝑋𝑉)
2625adantr 484 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ¬ 𝑋𝑉)
2726iffalsed 4439 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉)) → if(𝑋𝑉, (𝑓𝑋), ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
2824, 27eqtrd 2836 . . . 4 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
29 fveq1 6648 . . . . 5 ((𝑆𝑓) = 𝐹 → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = (𝐹‘⟨“𝑋”⟩))
3029eqeq1d 2803 . . . 4 ((𝑆𝑓) = 𝐹 → (((𝑆𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩ ↔ (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
3128, 30syl5ibcom 248 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉)) → ((𝑆𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
3231rexlimdva 3246 . 2 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → (∃𝑓 ∈ (𝑅m 𝑉)(𝑆𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
3314, 32mpan9 510 1 ((𝐹 ∈ ran 𝑆𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wrex 3110  Vcvv 3444  cdif 3881  cun 3882  wss 3884  c0 4246  ifcif 4428  ran crn 5524  cima 5526  Fun wfun 6322  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  m cmap 8393  pm cpm 8394  ⟨“cs1 13944  mCNcmcn 32821  mVRcmvar 32822  mRExcmrex 32827  mRSubstcmrsub 32831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-frmd 18010  df-mrex 32847  df-mrsub 32851
This theorem is referenced by:  elmrsubrn  32881  mrsubco  32882  mrsubvrs  32883
  Copyright terms: Public domain W3C validator