Theorem mrsubcn 35747

Description: A substitution does not change the value of constant substrings. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubccat.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
mrsubccat.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubcn.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubcn.c	⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubcn	⊢ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉)) → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)

Proof of Theorem mrsubcn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4268	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2		mrsubccat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
3	2	rnfvprc 6821	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
4	1, 3	nsyl2 141	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝑇 ∈ V)
5		mrsubcn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
6		mrsubccat.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
7	5, 6, 2	mrsubff 35740	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))
8		ffun 6658	. . . 4 ⊢ (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅) → Fun 𝑆)
9	4, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → Fun 𝑆)
10	5, 6, 2	mrsubrn 35741	. . . . 5 ⊢ ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉))
11	10	eleq2i 2831	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉)))
12	11	biimpi 217	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉)))
13		fvelima 6892	. . 3 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉))) → ∃𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
14	9, 12, 13	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ∃𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
15		elmapi 8786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
16	15	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
17		ssidd 3938	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ⊆ 𝑉)
18		eldifi 4061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐶)
19		elun1 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉))
21	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉))
22		mrsubcn.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
23	22, 5, 6, 2	mrsubcv 35738	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋 ∈ 𝑉, (𝑓‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
24	16, 17, 21, 23	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋 ∈ 𝑉, (𝑓‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
25		eldifn 4062	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑉)
27	26	iffalsed 4465	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → if(𝑋 ∈ 𝑉, (𝑓‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
28	24, 27	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
29		fveq1 6826	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = (𝐹‘⟨“𝑋”⟩))
30	29	eqeq1d 2741	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩ ↔ (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
31	28, 30	syl5ibcom 246	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
32	31	rexlimdva 3140	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → (∃𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
33	14, 32	mpan9 511	1 ⊢ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉)) → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  ifcif 4454  ran crn 5619   “ cima 5621  Fun wfun 6479  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763   ↑_pm cpm 8764  ⟨“cs1 14549  mCNcmcn 35688  mVRcmvar 35689  mRExcmrex 35694  mRSubstcmrsub 35698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-frmd 18808  df-mrex 35714  df-mrsub 35718

This theorem is referenced by:  elmrsubrn  35748  mrsubco  35749  mrsubvrs  35750