Theorem mrsubcn 35123

Description: A substitution does not change the value of constant substrings. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubccat.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
mrsubccat.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubcn.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubcn.c	⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubcn	⊢ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉)) → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)

Proof of Theorem mrsubcn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4329	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2		mrsubccat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
3	2	rnfvprc 6885	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
4	1, 3	nsyl2 141	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝑇 ∈ V)
5		mrsubcn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
6		mrsubccat.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
7	5, 6, 2	mrsubff 35116	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))
8		ffun 6719	. . . 4 ⊢ (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅) → Fun 𝑆)
9	4, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → Fun 𝑆)
10	5, 6, 2	mrsubrn 35117	. . . . 5 ⊢ ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉))
11	10	eleq2i 2821	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉)))
12	11	biimpi 215	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉)))
13		fvelima 6958	. . 3 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉))) → ∃𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
14	9, 12, 13	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ∃𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
15		elmapi 8861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
17		ssidd 4001	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ⊆ 𝑉)
18		eldifi 4122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐶)
19		elun1 4172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉))
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉))
22		mrsubcn.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
23	22, 5, 6, 2	mrsubcv 35114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋 ∈ 𝑉, (𝑓‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
24	16, 17, 21, 23	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋 ∈ 𝑉, (𝑓‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
25		eldifn 4123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑉)
27	26	iffalsed 4535	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → if(𝑋 ∈ 𝑉, (𝑓‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
28	24, 27	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
29		fveq1 6890	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = (𝐹‘⟨“𝑋”⟩))
30	29	eqeq1d 2730	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩ ↔ (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
31	28, 30	syl5ibcom 244	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
32	31	rexlimdva 3151	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → (∃𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
33	14, 32	mpan9 506	1 ⊢ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉)) → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3066  Vcvv 3470   ∖ cdif 3942   ∪ cun 3943   ⊆ wss 3945  ∅c0 4318  ifcif 4524  ran crn 5673   “ cima 5675  Fun wfun 6536  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8838   ↑_pm cpm 8839  ⟨“cs1 14571  mCNcmcn 35064  mVRcmvar 35065  mRExcmrex 35070  mRSubstcmrsub 35074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-word 14491  df-concat 14547  df-s1 14572  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-frmd 18794  df-mrex 35090  df-mrsub 35094

This theorem is referenced by:  elmrsubrn  35124  mrsubco  35125  mrsubvrs  35126