Theorem mrsubcn 36099

Description: A substitution does not change the value of constant substrings. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubccat.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
mrsubccat.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubcn.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubcn.c	⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubcn	⊢ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉)) → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)

Proof of Theorem mrsubcn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4286	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2		mrsubccat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
3	2	rnfvprc 6873	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
4	1, 3	nsyl2 142	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝑇 ∈ V)
5		mrsubcn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
6		mrsubccat.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
7	5, 6, 2	mrsubff 36092	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))
8		ffun 6706	. . . 4 ⊢ (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅) → Fun 𝑆)
9	4, 7, 8	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → Fun 𝑆)
10	5, 6, 2	mrsubrn 36093	. . . . 5 ⊢ ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉))
11	10	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉)))
12	11	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉)))
13		fvelima 6944	. . 3 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉))) → ∃𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
14	9, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ∃𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
15		elmapi 8849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
17		ssidd 3954	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ⊆ 𝑉)
18		eldifi 4078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐶)
19		elun1 4128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉))
20	18, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉))
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉))
22		mrsubcn.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
23	22, 5, 6, 2	mrsubcv 36090	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋 ∈ 𝑉, (𝑓‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
24	16, 17, 21, 23	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋 ∈ 𝑉, (𝑓‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
25		eldifn 4079	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑉)
27	26	iffalsed 4493	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → if(𝑋 ∈ 𝑉, (𝑓‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
28	24, 27	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
29		fveq1 6878	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = (𝐹‘⟨“𝑋”⟩))
30	29	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩ ↔ (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
31	28, 30	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
32	31	rexlimdva 3163	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → (∃𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
33	14, 32	mpan9 516	1 ⊢ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉)) → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482  ran crn 5656   “ cima 5658  Fun wfun 6527  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8827   ↑_pm cpm 8828  ⟨“cs1 14663  mCNcmcn 36040  mVRcmvar 36041  mRExcmrex 36046  mRSubstcmrsub 36050

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-word 14580  df-concat 14637  df-s1 14664  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-frmd 18959  df-mrex 36066  df-mrsub 36070

This theorem is used by:  elmrsubrn  36100  mrsubco  36101  mrsubvrs  36102