Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubcn 35001
Description: A substitution does not change the value of constant substrings. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubccat.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
mrsubccat.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
mrsubcn.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mrsubcn.c 𝐢 = (mCNβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrsubcn ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)

Proof of Theorem mrsubcn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4326 . . . . 5 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ Β¬ ran 𝑆 = βˆ…)
2 mrsubccat.s . . . . . 6 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
32rnfvprc 6876 . . . . 5 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 = βˆ…)
41, 3nsyl2 141 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝑇 ∈ V)
5 mrsubcn.v . . . . 5 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
6 mrsubccat.r . . . . 5 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
75, 6, 2mrsubff 34994 . . . 4 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
8 ffun 6711 . . . 4 (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅) β†’ Fun 𝑆)
94, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ Fun 𝑆)
105, 6, 2mrsubrn 34995 . . . . 5 ran 𝑆 = (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))
1110eleq2i 2817 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
1211biimpi 215 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
13 fvelima 6948 . . 3 ((Fun 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹)
149, 12, 13syl2anc 583 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹)
15 elmapi 8840 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑓:π‘‰βŸΆπ‘…)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑓:π‘‰βŸΆπ‘…)
17 ssidd 3998 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑉 βŠ† 𝑉)
18 eldifi 4119 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
19 elun1 4169 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ 𝑋 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉))
2120adantr 480 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉))
22 mrsubcn.c . . . . . . 7 𝐢 = (mCNβ€˜π‘‡)
2322, 5, 6, 2mrsubcv 34992 . . . . . 6 ((𝑓:π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = if(𝑋 ∈ 𝑉, (π‘“β€˜π‘‹), βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©))
2416, 17, 21, 23syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = if(𝑋 ∈ 𝑉, (π‘“β€˜π‘‹), βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©))
25 eldifn 4120 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑉)
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑉)
2726iffalsed 4532 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ if(𝑋 ∈ 𝑉, (π‘“β€˜π‘‹), βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)
2824, 27eqtrd 2764 . . . 4 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)
29 fveq1 6881 . . . . 5 ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©))
3029eqeq1d 2726 . . . 4 ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ© ↔ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©))
3128, 30syl5ibcom 244 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©))
3231rexlimdva 3147 . 2 (𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©))
3314, 32mpan9 506 1 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3938   βˆͺ cun 3939   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  ifcif 4521  ran crn 5668   β€œ cima 5670  Fun wfun 6528  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑m cmap 8817   ↑pm cpm 8818  βŸ¨β€œcs1 14543  mCNcmcn 34942  mVRcmvar 34943  mRExcmrex 34948  mRSubstcmrsub 34952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-hash 14289  df-word 14463  df-concat 14519  df-s1 14544  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-frmd 18766  df-mrex 34968  df-mrsub 34972
This theorem is referenced by:  elmrsubrn  35002  mrsubco  35003  mrsubvrs  35004
  Copyright terms: Public domain W3C validator