Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubcn 35123
Description: A substitution does not change the value of constant substrings. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubccat.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
mrsubccat.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
mrsubcn.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mrsubcn.c 𝐢 = (mCNβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrsubcn ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)

Proof of Theorem mrsubcn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4329 . . . . 5 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ Β¬ ran 𝑆 = βˆ…)
2 mrsubccat.s . . . . . 6 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
32rnfvprc 6885 . . . . 5 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 = βˆ…)
41, 3nsyl2 141 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝑇 ∈ V)
5 mrsubcn.v . . . . 5 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
6 mrsubccat.r . . . . 5 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
75, 6, 2mrsubff 35116 . . . 4 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
8 ffun 6719 . . . 4 (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅) β†’ Fun 𝑆)
94, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ Fun 𝑆)
105, 6, 2mrsubrn 35117 . . . . 5 ran 𝑆 = (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))
1110eleq2i 2821 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
1211biimpi 215 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
13 fvelima 6958 . . 3 ((Fun 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹)
149, 12, 13syl2anc 583 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹)
15 elmapi 8861 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) β†’ 𝑓:π‘‰βŸΆπ‘…)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑓:π‘‰βŸΆπ‘…)
17 ssidd 4001 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑉 βŠ† 𝑉)
18 eldifi 4122 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
19 elun1 4172 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ 𝑋 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉))
2120adantr 480 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉))
22 mrsubcn.c . . . . . . 7 𝐢 = (mCNβ€˜π‘‡)
2322, 5, 6, 2mrsubcv 35114 . . . . . 6 ((𝑓:π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (𝐢 βˆͺ 𝑉)) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = if(𝑋 ∈ 𝑉, (π‘“β€˜π‘‹), βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©))
2416, 17, 21, 23syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = if(𝑋 ∈ 𝑉, (π‘“β€˜π‘‹), βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©))
25 eldifn 4123 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑉)
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑉)
2726iffalsed 4535 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ if(𝑋 ∈ 𝑉, (π‘“β€˜π‘‹), βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)
2824, 27eqtrd 2768 . . . 4 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)
29 fveq1 6890 . . . . 5 ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©))
3029eqeq1d 2730 . . . 4 ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (((π‘†β€˜π‘“)β€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ© ↔ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©))
3128, 30syl5ibcom 244 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©))
3231rexlimdva 3151 . 2 (𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©))
3314, 32mpan9 506 1 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ (𝐢 βˆ– 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3066  Vcvv 3470   βˆ– cdif 3942   βˆͺ cun 3943   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  ran crn 5673   β€œ cima 5675  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8838   ↑pm cpm 8839  βŸ¨β€œcs1 14571  mCNcmcn 35064  mVRcmvar 35065  mRExcmrex 35070  mRSubstcmrsub 35074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-word 14491  df-concat 14547  df-s1 14572  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-frmd 18794  df-mrex 35090  df-mrsub 35094
This theorem is referenced by:  elmrsubrn  35124  mrsubco  35125  mrsubvrs  35126
  Copyright terms: Public domain W3C validator