Theorem mrsubcn 36402

Description: A substitution does not change the value of constant substrings. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubccat.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
mrsubccat.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubcn.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubcn.c	⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubcn	⊢ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉)) → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)

Proof of Theorem mrsubcn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4285	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2		mrsubccat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
3	2	rnfvprc 6884	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
4	1, 3	nsyl2 142	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝑇 ∈ V)
5		mrsubcn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
6		mrsubccat.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
7	5, 6, 2	mrsubff 36395	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))
8		ffun 6717	. . . 4 ⊢ (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅) → Fun 𝑆)
9	4, 7, 8	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → Fun 𝑆)
10	5, 6, 2	mrsubrn 36396	. . . . 5 ⊢ ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉))
11	10	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉)))
12	11	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉)))
13		fvelima 6955	. . 3 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅 ↑m 𝑉))) → ∃𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
14	9, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ∃𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
15		elmapi 8877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑓:𝑉⟶𝑅)
17		ssidd 3932	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑉 ⊆ 𝑉)
18		eldifi 4066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐶)
19		elun1 4179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉))
20	18, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉))
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉))
22		mrsubcn.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (mCN‘𝑇)
23	22, 5, 6, 2	mrsubcv 36393	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝑉⟶𝑅 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 ∪ 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋 ∈ 𝑉, (𝑓‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
24	16, 17, 21, 23	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋 ∈ 𝑉, (𝑓‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
25		eldifn 4067	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑉)
27	26	iffalsed 4492	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → if(𝑋 ∈ 𝑉, (𝑓‘𝑋), ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
28	24, 27	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
29		fveq1 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → ((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = (𝐹‘⟨“𝑋”⟩))
30	29	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (((𝑆‘𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩ ↔ (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
31	28, 30	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) → ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
32	31	rexlimdva 3163	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉) → (∃𝑓 ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)(𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
33	14, 32	mpan9 516	1 ⊢ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ (𝐶 ∖ 𝑉)) → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∪ cun 4148  ∅c0 4277  ifcif 4481  ran crn 5652   “ cima 5654  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8855   ↑_pm cpm 8856  ⟨“cs1 14749  mCNcmcn 36343  mVRcmvar 36344  mRExcmrex 36349  mRSubstcmrsub 36353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-word 14666  df-concat 14723  df-s1 14750  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-frmd 19054  df-mrex 36369  df-mrsub 36373

This theorem is used by:  elmrsubrn  36403  mrsubco  36404  mrsubvrs  36405