Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubf 33980
Description: A substitution is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubccat.s 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
mrsubccat.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mrsubf (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹:𝑅𝑅)

Proof of Theorem mrsubf
StepHypRef Expression
1 n0i 4291 . . . . 5 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2 mrsubccat.s . . . . . 6 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
32rnfvprc 6833 . . . . 5 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
41, 3nsyl2 141 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝑇 ∈ V)
5 eqid 2736 . . . . 5 (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
6 mrsubccat.r . . . . 5 𝑅 = (mREx‘𝑇)
75, 6, 2mrsubff 33975 . . . 4 (𝑇 ∈ V → 𝑆:(𝑅pm (mVR‘𝑇))⟶(𝑅m 𝑅))
8 frn 6672 . . . 4 (𝑆:(𝑅pm (mVR‘𝑇))⟶(𝑅m 𝑅) → ran 𝑆 ⊆ (𝑅m 𝑅))
94, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ran 𝑆 ⊆ (𝑅m 𝑅))
10 id 22 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹 ∈ ran 𝑆)
119, 10sseldd 3943 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹 ∈ (𝑅m 𝑅))
12 elmapi 8783 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅m 𝑅) → 𝐹:𝑅𝑅)
1311, 12syl 17 1 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹:𝑅𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  wss 3908  c0 4280  ran crn 5632  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7353  m cmap 8761  pm cpm 8762  mVRcmvar 33924  mRExcmrex 33929  mRSubstcmrsub 33933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-hash 14223  df-word 14395  df-concat 14451  df-s1 14476  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-frmd 18651  df-mrex 33949  df-mrsub 33953
This theorem is referenced by:  elmrsubrn  33983  mrsubco  33984  mrsubvrs  33985  msubco  33994  msubvrs  34023
  Copyright terms: Public domain W3C validator