Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsub0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mrsub0 35025
Description: The value of the substituted empty string. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mrsubccat.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrsub0 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)
Proof of Theorem mrsub0
Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4326 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ Β¬ ran 𝑆 = βˆ…)
2 mrsubccat.s . . . 4 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
32rnfvprc 6876 . . 3 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 = βˆ…)
41, 3nsyl2 141 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝑇 ∈ V)
5 eqid 2724 . . . . 5 (mVRβ€˜π‘‡) = (mVRβ€˜π‘‡)
6 eqid 2724 . . . . 5 (mRExβ€˜π‘‡) = (mRExβ€˜π‘‡)
75, 6, 2mrsubff 35021 . . . 4 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑆:((mRExβ€˜π‘‡) ↑pm (mVRβ€˜π‘‡))⟢((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mRExβ€˜π‘‡)))
8 ffun 6711 . . . 4 (𝑆:((mRExβ€˜π‘‡) ↑pm (mVRβ€˜π‘‡))⟢((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mRExβ€˜π‘‡)) β†’ Fun 𝑆)
94, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ Fun 𝑆)
105, 6, 2mrsubrn 35022 . . . . 5 ran 𝑆 = (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡)))
1110eleq2i 2817 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))))
1211biimpi 215 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))))
13 fvelima 6948 . . 3 ((Fun 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡)))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹)
149, 12, 13syl2anc 583 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹)
15 elmapi 8840 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡)) β†’ 𝑓:(mVRβ€˜π‘‡)⟢(mRExβ€˜π‘‡))
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ 𝑓:(mVRβ€˜π‘‡)⟢(mRExβ€˜π‘‡))
17 ssidd 3998 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ (mVRβ€˜π‘‡) βŠ† (mVRβ€˜π‘‡))
18 wrd0 14491 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))
19 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (mCNβ€˜π‘‡) = (mCNβ€˜π‘‡)
2019, 5, 6mrexval 35010 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V β†’ (mRExβ€˜π‘‡) = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)))
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ (mRExβ€˜π‘‡) = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)))
2218, 21eleqtrrid 2832 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ βˆ… ∈ (mRExβ€˜π‘‡))
23 eqid 2724 . . . . . . 7 (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) = (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)))
2419, 5, 6, 2, 23mrsubval 35018 . . . . . 6 ((𝑓:(mVRβ€˜π‘‡)⟢(mRExβ€˜π‘‡) ∧ (mVRβ€˜π‘‡) βŠ† (mVRβ€˜π‘‡) ∧ βˆ… ∈ (mRExβ€˜π‘‡)) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)))
2516, 17, 22, 24syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)))
26 co02 6250 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…) = βˆ…
2726oveq2i 7413 . . . . . 6 ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)) = ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g βˆ…)
2823frmd0 18781 . . . . . . 7 βˆ… = (0gβ€˜(freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))))
2928gsum0 18613 . . . . . 6 ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g βˆ…) = βˆ…
3027, 29eqtri 2752 . . . . 5 ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)) = βˆ…
3125, 30eqtrdi 2780 . . . 4 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = βˆ…)
32 fveq1 6881 . . . . 5 ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = (πΉβ€˜βˆ…))
3332eqeq1d 2726 . . . 4 ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = βˆ… ↔ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
3431, 33syl5ibcom 244 . . 3 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
3534rexlimdva 3147 . 2 (𝑇 ∈ V β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
364, 14, 35sylc 65 1 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   βˆͺ cun 3939   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  ifcif 4521   ↦ cmpt 5222  ran crn 5668   β€œ cima 5670   ∘ ccom 5671  Fun wfun 6528  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑m cmap 8817   ↑pm cpm 8818  Word cword 14466  βŸ¨β€œcs1 14547   Ξ£g cgsu 17391  freeMndcfrmd 18768  mCNcmcn 34969  mVRcmvar 34970  mRExcmrex 34975  mRSubstcmrsub 34979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-frmd 18770  df-mrex 34995  df-mrsub 34999
This theorem is referenced by:  mrsubvrs  35031
  Copyright terms: Public domain W3C validator