Theorem mrsub0 35710

Description: The value of the substituted empty string. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrsubccat.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsub0	⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → (𝐹‘∅) = ∅)

Proof of Theorem mrsub0

Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4292	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2		mrsubccat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
3	2	rnfvprc 6828	. . 3 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
4	1, 3	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝑇 ∈ V)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
7	5, 6, 2	mrsubff 35706	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶((mREx‘𝑇) ↑m (mREx‘𝑇)))
8		ffun 6665	. . . 4 ⊢ (𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶((mREx‘𝑇) ↑m (mREx‘𝑇)) → Fun 𝑆)
9	4, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → Fun 𝑆)
10	5, 6, 2	mrsubrn 35707	. . . . 5 ⊢ ran 𝑆 = (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇)))
11	10	eleq2i 2828	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))))
12	11	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))))
13		fvelima 6899	. . 3 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇)))) → ∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
14	9, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
15		elmapi 8786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇)) → 𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇))
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → 𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇))
17		ssidd 3957	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → (mVR‘𝑇) ⊆ (mVR‘𝑇))
18		wrd0 14462	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))
19		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (mCN‘𝑇) = (mCN‘𝑇)
20	19, 5, 6	mrexval 35695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ V → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
22	18, 21	eleqtrrid 2843	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ∅ ∈ (mREx‘𝑇))
23		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) = (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
24	19, 5, 6, 2, 23	mrsubval 35703	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇) ∧ (mVR‘𝑇) ⊆ (mVR‘𝑇) ∧ ∅ ∈ (mREx‘𝑇)) → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)))
25	16, 17, 22, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)))
26		co02 6219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅) = ∅
27	26	oveq2i 7369	. . . . . 6 ⊢ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ∅)
28	23	frmd0 18785	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (0g‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))))
29	28	gsum0 18609	. . . . . 6 ⊢ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ∅) = ∅
30	27, 29	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)) = ∅
31	25, 30	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = ∅)
32		fveq1 6833	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = (𝐹‘∅))
33	32	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (((𝑆‘𝑓)‘∅) = ∅ ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
34	31, 33	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘∅) = ∅))
35	34	rexlimdva 3137	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ V → (∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))(𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘∅) = ∅))
36	4, 14, 35	sylc 65	1 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → (𝐹‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  ifcif 4479   ↦ cmpt 5179  ran crn 5625   “ cima 5627   ∘ ccom 5628  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763   ↑_pm cpm 8764  Word cword 14436  ⟨“cs1 14519   Σ_g cgsu 17360  freeMndcfrmd 18772  mCNcmcn 35654  mVRcmvar 35655  mRExcmrex 35660  mRSubstcmrsub 35664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-s1 14520  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-frmd 18774  df-mrex 35680  df-mrsub 35684

This theorem is referenced by:  mrsubvrs  35716