Theorem mrsub0 35538

Description: The value of the substituted empty string. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrsubccat.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsub0	⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → (𝐹‘∅) = ∅)

Proof of Theorem mrsub0

Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4315	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2		mrsubccat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
3	2	rnfvprc 6870	. . 3 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
4	1, 3	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝑇 ∈ V)
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
7	5, 6, 2	mrsubff 35534	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶((mREx‘𝑇) ↑m (mREx‘𝑇)))
8		ffun 6709	. . . 4 ⊢ (𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶((mREx‘𝑇) ↑m (mREx‘𝑇)) → Fun 𝑆)
9	4, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → Fun 𝑆)
10	5, 6, 2	mrsubrn 35535	. . . . 5 ⊢ ran 𝑆 = (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇)))
11	10	eleq2i 2826	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))))
12	11	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))))
13		fvelima 6944	. . 3 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇)))) → ∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
14	9, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
15		elmapi 8863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇)) → 𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇))
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → 𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇))
17		ssidd 3982	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → (mVR‘𝑇) ⊆ (mVR‘𝑇))
18		wrd0 14557	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))
19		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (mCN‘𝑇) = (mCN‘𝑇)
20	19, 5, 6	mrexval 35523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ V → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
22	18, 21	eleqtrrid 2841	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ∅ ∈ (mREx‘𝑇))
23		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) = (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
24	19, 5, 6, 2, 23	mrsubval 35531	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇) ∧ (mVR‘𝑇) ⊆ (mVR‘𝑇) ∧ ∅ ∈ (mREx‘𝑇)) → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)))
25	16, 17, 22, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)))
26		co02 6249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅) = ∅
27	26	oveq2i 7416	. . . . . 6 ⊢ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ∅)
28	23	frmd0 18838	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (0g‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))))
29	28	gsum0 18662	. . . . . 6 ⊢ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ∅) = ∅
30	27, 29	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)) = ∅
31	25, 30	eqtrdi 2786	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = ∅)
32		fveq1 6875	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = (𝐹‘∅))
33	32	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (((𝑆‘𝑓)‘∅) = ∅ ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
34	31, 33	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘∅) = ∅))
35	34	rexlimdva 3141	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ V → (∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))(𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘∅) = ∅))
36	4, 14, 35	sylc 65	1 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → (𝐹‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ∪ cun 3924   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ifcif 4500   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655   “ cima 5657   ∘ ccom 5658  Fun wfun 6525  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840   ↑_pm cpm 8841  Word cword 14531  ⟨“cs1 14613   Σ_g cgsu 17454  freeMndcfrmd 18825  mCNcmcn 35482  mVRcmvar 35483  mRExcmrex 35488  mRSubstcmrsub 35492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-word 14532  df-concat 14589  df-s1 14614  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-frmd 18827  df-mrex 35508  df-mrsub 35512

This theorem is referenced by:  mrsubvrs  35544