Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsub0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsub0 32012
 Description: The value of the substituted empty string. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mrsubccat.s 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mrsub0 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → (𝐹‘∅) = ∅)

Proof of Theorem mrsub0
Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4148 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2 mrsubccat.s . . . 4 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
32rnfvprc 6440 . . 3 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
41, 3nsyl2 145 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝑇 ∈ V)
5 eqid 2778 . . . . 5 (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
6 eqid 2778 . . . . 5 (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
75, 6, 2mrsubff 32008 . . . 4 (𝑇 ∈ V → 𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mREx‘𝑇)))
8 ffun 6294 . . . 4 (𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mREx‘𝑇)) → Fun 𝑆)
94, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → Fun 𝑆)
105, 6, 2mrsubrn 32009 . . . . 5 ran 𝑆 = (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇)))
1110eleq2i 2851 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))))
1211biimpi 208 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))))
13 fvelima 6508 . . 3 ((Fun 𝑆𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇)))) → ∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))(𝑆𝑓) = 𝐹)
149, 12, 13syl2anc 579 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))(𝑆𝑓) = 𝐹)
15 elmapi 8162 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇)) → 𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇))
1615adantl 475 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))) → 𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇))
17 ssidd 3843 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))) → (mVR‘𝑇) ⊆ (mVR‘𝑇))
18 wrd0 13627 . . . . . . 7 ∅ ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))
19 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (mCN‘𝑇) = (mCN‘𝑇)
2019, 5, 6mrexval 31997 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
2120adantr 474 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))) → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
2218, 21syl5eleqr 2866 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))) → ∅ ∈ (mREx‘𝑇))
23 eqid 2778 . . . . . . 7 (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) = (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
2419, 5, 6, 2, 23mrsubval 32005 . . . . . 6 ((𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇) ∧ (mVR‘𝑇) ⊆ (mVR‘𝑇) ∧ ∅ ∈ (mREx‘𝑇)) → ((𝑆𝑓)‘∅) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)))
2516, 17, 22, 24syl3anc 1439 . . . . 5 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))) → ((𝑆𝑓)‘∅) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)))
26 co02 5903 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅) = ∅
2726oveq2i 6933 . . . . . 6 ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ∅)
2823frmd0 17784 . . . . . . 7 ∅ = (0g‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))))
2928gsum0 17664 . . . . . 6 ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ∅) = ∅
3027, 29eqtri 2802 . . . . 5 ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)) = ∅
3125, 30syl6eq 2830 . . . 4 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))) → ((𝑆𝑓)‘∅) = ∅)
32 fveq1 6445 . . . . 5 ((𝑆𝑓) = 𝐹 → ((𝑆𝑓)‘∅) = (𝐹‘∅))
3332eqeq1d 2780 . . . 4 ((𝑆𝑓) = 𝐹 → (((𝑆𝑓)‘∅) = ∅ ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
3431, 33syl5ibcom 237 . . 3 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))) → ((𝑆𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘∅) = ∅))
3534rexlimdva 3213 . 2 (𝑇 ∈ V → (∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))(𝑆𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘∅) = ∅))
364, 14, 35sylc 65 1 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → (𝐹‘∅) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3091  Vcvv 3398   ∪ cun 3790   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  ifcif 4307   ↦ cmpt 4965  ran crn 5356   “ cima 5358   ∘ ccom 5359  Fun wfun 6129  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↑𝑚 cmap 8140   ↑pm cpm 8141  Word cword 13599  ⟨“cs1 13685   Σg cgsu 16487  freeMndcfrmd 17771  mCNcmcn 31956  mVRcmvar 31957  mRExcmrex 31962  mRSubstcmrsub 31966 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-word 13600  df-concat 13661  df-s1 13686  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-frmd 17773  df-mrex 31982  df-mrsub 31986 This theorem is referenced by:  mrsubvrs  32018
 Copyright terms: Public domain W3C validator