Theorem mrsub0 35989

Description: The value of the substituted empty string. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrsubccat.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsub0	⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → (𝐹‘∅) = ∅)

Proof of Theorem mrsub0

Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4294	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2		mrsubccat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
3	2	rnfvprc 6877	. . 3 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
4	1, 3	nsyl2 142	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝑇 ∈ V)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
7	5, 6, 2	mrsubff 35985	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶((mREx‘𝑇) ↑m (mREx‘𝑇)))
8		ffun 6710	. . . 4 ⊢ (𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶((mREx‘𝑇) ↑m (mREx‘𝑇)) → Fun 𝑆)
9	4, 7, 8	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → Fun 𝑆)
10	5, 6, 2	mrsubrn 35986	. . . . 5 ⊢ ran 𝑆 = (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇)))
11	10	eleq2i 2855	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))))
12	11	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))))
13		fvelima 6948	. . 3 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇)))) → ∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
14	9, 12, 13	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
15		elmapi 8847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇)) → 𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇))
16	15	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → 𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇))
17		ssidd 3961	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → (mVR‘𝑇) ⊆ (mVR‘𝑇))
18		wrd0 14578	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))
19		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (mCN‘𝑇) = (mCN‘𝑇)
20	19, 5, 6	mrexval 35974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ V → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
21	20	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
22	18, 21	eleqtrrid 2870	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ∅ ∈ (mREx‘𝑇))
23		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) = (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
24	19, 5, 6, 2, 23	mrsubval 35982	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇) ∧ (mVR‘𝑇) ⊆ (mVR‘𝑇) ∧ ∅ ∈ (mREx‘𝑇)) → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)))
25	16, 17, 22, 24	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)))
26		co02 6264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅) = ∅
27	26	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ∅)
28	23	frmd0 18920	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (0g‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))))
29	28	gsum0 18743	. . . . . 6 ⊢ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ∅) = ∅
30	27, 29	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)) = ∅
31	25, 30	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = ∅)
32		fveq1 6882	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = (𝐹‘∅))
33	32	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (((𝑆‘𝑓)‘∅) = ∅ ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
34	31, 33	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘∅) = ∅))
35	34	rexlimdva 3166	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ V → (∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))(𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘∅) = ∅))
36	4, 14, 35	sylc 66	1 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → (𝐹‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  ifcif 4488   ↦ cmpt 5193  ran crn 5664   “ cima 5666   ∘ ccom 5667  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825   ↑_pm cpm 8826  Word cword 14552  ⟨“cs1 14635   Σ_g cgsu 17494  freeMndcfrmd 18907  mCNcmcn 35933  mVRcmvar 35934  mRExcmrex 35939  mRSubstcmrsub 35943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-frmd 18909  df-mrex 35959  df-mrsub 35963

This theorem is referenced by:  mrsubvrs  35995