Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsub0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mrsub0 34502
Description: The value of the substituted empty string. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mrsubccat.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrsub0 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)
Proof of Theorem mrsub0
Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4333 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ Β¬ ran 𝑆 = βˆ…)
2 mrsubccat.s . . . 4 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
32rnfvprc 6885 . . 3 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 = βˆ…)
41, 3nsyl2 141 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝑇 ∈ V)
5 eqid 2732 . . . . 5 (mVRβ€˜π‘‡) = (mVRβ€˜π‘‡)
6 eqid 2732 . . . . 5 (mRExβ€˜π‘‡) = (mRExβ€˜π‘‡)
75, 6, 2mrsubff 34498 . . . 4 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑆:((mRExβ€˜π‘‡) ↑pm (mVRβ€˜π‘‡))⟢((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mRExβ€˜π‘‡)))
8 ffun 6720 . . . 4 (𝑆:((mRExβ€˜π‘‡) ↑pm (mVRβ€˜π‘‡))⟢((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mRExβ€˜π‘‡)) β†’ Fun 𝑆)
94, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ Fun 𝑆)
105, 6, 2mrsubrn 34499 . . . . 5 ran 𝑆 = (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡)))
1110eleq2i 2825 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))))
1211biimpi 215 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))))
13 fvelima 6957 . . 3 ((Fun 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡)))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹)
149, 12, 13syl2anc 584 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹)
15 elmapi 8842 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡)) β†’ 𝑓:(mVRβ€˜π‘‡)⟢(mRExβ€˜π‘‡))
1615adantl 482 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ 𝑓:(mVRβ€˜π‘‡)⟢(mRExβ€˜π‘‡))
17 ssidd 4005 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ (mVRβ€˜π‘‡) βŠ† (mVRβ€˜π‘‡))
18 wrd0 14488 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))
19 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (mCNβ€˜π‘‡) = (mCNβ€˜π‘‡)
2019, 5, 6mrexval 34487 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V β†’ (mRExβ€˜π‘‡) = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)))
2120adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ (mRExβ€˜π‘‡) = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)))
2218, 21eleqtrrid 2840 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ βˆ… ∈ (mRExβ€˜π‘‡))
23 eqid 2732 . . . . . . 7 (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) = (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)))
2419, 5, 6, 2, 23mrsubval 34495 . . . . . 6 ((𝑓:(mVRβ€˜π‘‡)⟢(mRExβ€˜π‘‡) ∧ (mVRβ€˜π‘‡) βŠ† (mVRβ€˜π‘‡) ∧ βˆ… ∈ (mRExβ€˜π‘‡)) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)))
2516, 17, 22, 24syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)))
26 co02 6259 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…) = βˆ…
2726oveq2i 7419 . . . . . 6 ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)) = ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g βˆ…)
2823frmd0 18740 . . . . . . 7 βˆ… = (0gβ€˜(freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))))
2928gsum0 18602 . . . . . 6 ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g βˆ…) = βˆ…
3027, 29eqtri 2760 . . . . 5 ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)) = βˆ…
3125, 30eqtrdi 2788 . . . 4 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = βˆ…)
32 fveq1 6890 . . . . 5 ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = (πΉβ€˜βˆ…))
3332eqeq1d 2734 . . . 4 ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = βˆ… ↔ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
3431, 33syl5ibcom 244 . . 3 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
3534rexlimdva 3155 . 2 (𝑇 ∈ V β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
364, 14, 35sylc 65 1 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819   ↑pm cpm 8820  Word cword 14463  βŸ¨β€œcs1 14544   Ξ£g cgsu 17385  freeMndcfrmd 18727  mCNcmcn 34446  mVRcmvar 34447  mRExcmrex 34452  mRSubstcmrsub 34456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-s1 14545  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-frmd 18729  df-mrex 34472  df-mrsub 34476
This theorem is referenced by:  mrsubvrs  34508
  Copyright terms: Public domain W3C validator