Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsub0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsub0 34174
Description: The value of the substituted empty string. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mrsubccat.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrsub0 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)

Proof of Theorem mrsub0
Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4297 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ Β¬ ran 𝑆 = βˆ…)
2 mrsubccat.s . . . 4 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
32rnfvprc 6840 . . 3 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 = βˆ…)
41, 3nsyl2 141 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝑇 ∈ V)
5 eqid 2733 . . . . 5 (mVRβ€˜π‘‡) = (mVRβ€˜π‘‡)
6 eqid 2733 . . . . 5 (mRExβ€˜π‘‡) = (mRExβ€˜π‘‡)
75, 6, 2mrsubff 34170 . . . 4 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑆:((mRExβ€˜π‘‡) ↑pm (mVRβ€˜π‘‡))⟢((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mRExβ€˜π‘‡)))
8 ffun 6675 . . . 4 (𝑆:((mRExβ€˜π‘‡) ↑pm (mVRβ€˜π‘‡))⟢((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mRExβ€˜π‘‡)) β†’ Fun 𝑆)
94, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ Fun 𝑆)
105, 6, 2mrsubrn 34171 . . . . 5 ran 𝑆 = (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡)))
1110eleq2i 2826 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))))
1211biimpi 215 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))))
13 fvelima 6912 . . 3 ((Fun 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡)))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹)
149, 12, 13syl2anc 585 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹)
15 elmapi 8793 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡)) β†’ 𝑓:(mVRβ€˜π‘‡)⟢(mRExβ€˜π‘‡))
1615adantl 483 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ 𝑓:(mVRβ€˜π‘‡)⟢(mRExβ€˜π‘‡))
17 ssidd 3971 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ (mVRβ€˜π‘‡) βŠ† (mVRβ€˜π‘‡))
18 wrd0 14436 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))
19 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (mCNβ€˜π‘‡) = (mCNβ€˜π‘‡)
2019, 5, 6mrexval 34159 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V β†’ (mRExβ€˜π‘‡) = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)))
2120adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ (mRExβ€˜π‘‡) = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)))
2218, 21eleqtrrid 2841 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ βˆ… ∈ (mRExβ€˜π‘‡))
23 eqid 2733 . . . . . . 7 (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) = (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)))
2419, 5, 6, 2, 23mrsubval 34167 . . . . . 6 ((𝑓:(mVRβ€˜π‘‡)⟢(mRExβ€˜π‘‡) ∧ (mVRβ€˜π‘‡) βŠ† (mVRβ€˜π‘‡) ∧ βˆ… ∈ (mRExβ€˜π‘‡)) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)))
2516, 17, 22, 24syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)))
26 co02 6216 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…) = βˆ…
2726oveq2i 7372 . . . . . 6 ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)) = ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g βˆ…)
2823frmd0 18678 . . . . . . 7 βˆ… = (0gβ€˜(freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))))
2928gsum0 18547 . . . . . 6 ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g βˆ…) = βˆ…
3027, 29eqtri 2761 . . . . 5 ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)) = βˆ…
3125, 30eqtrdi 2789 . . . 4 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = βˆ…)
32 fveq1 6845 . . . . 5 ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = (πΉβ€˜βˆ…))
3332eqeq1d 2735 . . . 4 ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = βˆ… ↔ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
3431, 33syl5ibcom 244 . . 3 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
3534rexlimdva 3149 . 2 (𝑇 ∈ V β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
364, 14, 35sylc 65 1 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  ifcif 4490   ↦ cmpt 5192  ran crn 5638   β€œ cima 5640   ∘ ccom 5641  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771   ↑pm cpm 8772  Word cword 14411  βŸ¨β€œcs1 14492   Ξ£g cgsu 17330  freeMndcfrmd 18665  mCNcmcn 34118  mVRcmvar 34119  mRExcmrex 34124  mRSubstcmrsub 34128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468  df-s1 14493  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-frmd 18667  df-mrex 34144  df-mrsub 34148
This theorem is referenced by:  mrsubvrs  34180
  Copyright terms: Public domain W3C validator