Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsub0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mrsub0 35126
Description: The value of the substituted empty string. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mrsubccat.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrsub0 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)
Proof of Theorem mrsub0
Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4334 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ Β¬ ran 𝑆 = βˆ…)
2 mrsubccat.s . . . 4 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
32rnfvprc 6891 . . 3 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 = βˆ…)
41, 3nsyl2 141 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝑇 ∈ V)
5 eqid 2728 . . . . 5 (mVRβ€˜π‘‡) = (mVRβ€˜π‘‡)
6 eqid 2728 . . . . 5 (mRExβ€˜π‘‡) = (mRExβ€˜π‘‡)
75, 6, 2mrsubff 35122 . . . 4 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑆:((mRExβ€˜π‘‡) ↑pm (mVRβ€˜π‘‡))⟢((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mRExβ€˜π‘‡)))
8 ffun 6725 . . . 4 (𝑆:((mRExβ€˜π‘‡) ↑pm (mVRβ€˜π‘‡))⟢((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mRExβ€˜π‘‡)) β†’ Fun 𝑆)
94, 7, 83syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ Fun 𝑆)
105, 6, 2mrsubrn 35123 . . . . 5 ran 𝑆 = (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡)))
1110eleq2i 2821 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))))
1211biimpi 215 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))))
13 fvelima 6964 . . 3 ((Fun 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 β€œ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡)))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹)
149, 12, 13syl2anc 583 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹)
15 elmapi 8868 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡)) β†’ 𝑓:(mVRβ€˜π‘‡)⟢(mRExβ€˜π‘‡))
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ 𝑓:(mVRβ€˜π‘‡)⟢(mRExβ€˜π‘‡))
17 ssidd 4003 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ (mVRβ€˜π‘‡) βŠ† (mVRβ€˜π‘‡))
18 wrd0 14522 . . . . . . 7 βˆ… ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))
19 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (mCNβ€˜π‘‡) = (mCNβ€˜π‘‡)
2019, 5, 6mrexval 35111 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V β†’ (mRExβ€˜π‘‡) = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)))
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ (mRExβ€˜π‘‡) = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)))
2218, 21eleqtrrid 2836 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ βˆ… ∈ (mRExβ€˜π‘‡))
23 eqid 2728 . . . . . . 7 (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) = (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)))
2419, 5, 6, 2, 23mrsubval 35119 . . . . . 6 ((𝑓:(mVRβ€˜π‘‡)⟢(mRExβ€˜π‘‡) ∧ (mVRβ€˜π‘‡) βŠ† (mVRβ€˜π‘‡) ∧ βˆ… ∈ (mRExβ€˜π‘‡)) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)))
2516, 17, 22, 24syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)))
26 co02 6264 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…) = βˆ…
2726oveq2i 7431 . . . . . 6 ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)) = ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g βˆ…)
2823frmd0 18812 . . . . . . 7 βˆ… = (0gβ€˜(freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))))
2928gsum0 18644 . . . . . 6 ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g βˆ…) = βˆ…
3027, 29eqtri 2756 . . . . 5 ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡))) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ (mVRβ€˜π‘‡)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVRβ€˜π‘‡), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ βˆ…)) = βˆ…
3125, 30eqtrdi 2784 . . . 4 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = βˆ…)
32 fveq1 6896 . . . . 5 ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ ((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = (πΉβ€˜βˆ…))
3332eqeq1d 2730 . . . 4 ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (((π‘†β€˜π‘“)β€˜βˆ…) = βˆ… ↔ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
3431, 33syl5ibcom 244 . . 3 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))) β†’ ((π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
3534rexlimdva 3152 . 2 (𝑇 ∈ V β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((mRExβ€˜π‘‡) ↑m (mVRβ€˜π‘‡))(π‘†β€˜π‘“) = 𝐹 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…))
364, 14, 35sylc 65 1 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3471   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  ifcif 4529   ↦ cmpt 5231  ran crn 5679   β€œ cima 5681   ∘ ccom 5682  Fun wfun 6542  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8845   ↑pm cpm 8846  Word cword 14497  βŸ¨β€œcs1 14578   Ξ£g cgsu 17422  freeMndcfrmd 18799  mCNcmcn 35070  mVRcmvar 35071  mRExcmrex 35076  mRSubstcmrsub 35080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-word 14498  df-concat 14554  df-s1 14579  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-frmd 18801  df-mrex 35096  df-mrsub 35100
This theorem is referenced by:  mrsubvrs  35132
  Copyright terms: Public domain W3C validator