Theorem mrsub0 35509

Description: The value of the substituted empty string. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrsubccat.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsub0	⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → (𝐹‘∅) = ∅)

Proof of Theorem mrsub0

Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4291	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2		mrsubccat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
3	2	rnfvprc 6816	. . 3 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
4	1, 3	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝑇 ∈ V)
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
7	5, 6, 2	mrsubff 35505	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶((mREx‘𝑇) ↑m (mREx‘𝑇)))
8		ffun 6655	. . . 4 ⊢ (𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶((mREx‘𝑇) ↑m (mREx‘𝑇)) → Fun 𝑆)
9	4, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → Fun 𝑆)
10	5, 6, 2	mrsubrn 35506	. . . . 5 ⊢ ran 𝑆 = (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇)))
11	10	eleq2i 2820	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))))
12	11	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))))
13		fvelima 6888	. . 3 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇)))) → ∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
14	9, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))(𝑆‘𝑓) = 𝐹)
15		elmapi 8776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇)) → 𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇))
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → 𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇))
17		ssidd 3959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → (mVR‘𝑇) ⊆ (mVR‘𝑇))
18		wrd0 14446	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))
19		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (mCN‘𝑇) = (mCN‘𝑇)
20	19, 5, 6	mrexval 35494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ V → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
22	18, 21	eleqtrrid 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ∅ ∈ (mREx‘𝑇))
23		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) = (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
24	19, 5, 6, 2, 23	mrsubval 35502	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇) ∧ (mVR‘𝑇) ⊆ (mVR‘𝑇) ∧ ∅ ∈ (mREx‘𝑇)) → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)))
25	16, 17, 22, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)))
26		co02 6209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅) = ∅
27	26	oveq2i 7360	. . . . . 6 ⊢ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ∅)
28	23	frmd0 18734	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (0g‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))))
29	28	gsum0 18558	. . . . . 6 ⊢ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ∅) = ∅
30	27, 29	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)) = ∅
31	25, 30	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = ∅)
32		fveq1 6821	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → ((𝑆‘𝑓)‘∅) = (𝐹‘∅))
33	32	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (((𝑆‘𝑓)‘∅) = ∅ ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
34	31, 33	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))) → ((𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘∅) = ∅))
35	34	rexlimdva 3130	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ V → (∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑m (mVR‘𝑇))(𝑆‘𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘∅) = ∅))
36	4, 14, 35	sylc 65	1 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → (𝐹‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ifcif 4476   ↦ cmpt 5173  ran crn 5620   “ cima 5622   ∘ ccom 5623  Fun wfun 6476  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753   ↑_pm cpm 8754  Word cword 14420  ⟨“cs1 14502   Σ_g cgsu 17344  freeMndcfrmd 18721  mCNcmcn 35453  mVRcmvar 35454  mRExcmrex 35459  mRSubstcmrsub 35463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-frmd 18723  df-mrex 35479  df-mrsub 35483

This theorem is referenced by:  mrsubvrs  35515