Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubrn 34499
Description: Although it is defined for partial mappings of variables, every partial substitution is a substitution on some complete mapping of the variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubvr.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mrsubvr.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
mrsubvr.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrsubrn ran 𝑆 = (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))

Proof of Theorem mrsubrn
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubvr.v . . . . . . 7 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
2 mrsubvr.r . . . . . . 7 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
3 mrsubvr.s . . . . . . 7 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
41, 2, 3mrsubff 34498 . . . . . 6 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
54ffnd 6718 . . . . 5 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉))
6 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝑓 ↔ 𝑣 ∈ dom 𝑓))
7 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘£))
8 s1eq 14549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
96, 7, 8ifbieq12d 4556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑣 β†’ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) = if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
10 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))
11 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘“β€˜π‘£) ∈ V
12 s1cli 14554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ© ∈ Word V
1312elexi 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ© ∈ V
1411, 13ifex 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) ∈ V
159, 10, 14fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£) = if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
1615adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£) = if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
1716ifeq1da 4559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = if(𝑣 ∈ 𝑉, if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
18 ifan 4581 . . . . . . . . . . . . . 14 if((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = if(𝑣 ∈ 𝑉, if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
1917, 18eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = if((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
20 elpmi 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) β†’ (𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘… ∧ dom 𝑓 βŠ† 𝑉))
2120adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘… ∧ dom 𝑓 βŠ† 𝑉))
2221simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ dom 𝑓 βŠ† 𝑉)
2322sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ dom 𝑓 β†’ 𝑣 ∈ 𝑉))
2423pm4.71rd 563 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ dom 𝑓 ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓)))
2524bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓) ↔ 𝑣 ∈ dom 𝑓))
2625ifbid 4551 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ if((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
2719, 26eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
2827mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) = (𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)))
2928coeq1d 5861 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒) = ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))
3029oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒)) = ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒)))
3130mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))) = (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))))
32 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (mCNβ€˜π‘‡) = (mCNβ€˜π‘‡)
33 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) = (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
3432, 1, 2, 3, 33mrsubfval 34494 . . . . . . . . 9 ((𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘… ∧ dom 𝑓 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘†β€˜π‘“) = (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))))
3521, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜π‘“) = (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))))
3621simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ 𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘…)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘…)
3837ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑓) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
39 elun2 4177 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ π‘₯ ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
4039ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ dom 𝑓) β†’ π‘₯ ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
4140s1cld 14552 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ dom 𝑓) β†’ βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ© ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
4232, 1, 2mrexval 34487 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑅 = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
4342ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ dom 𝑓) β†’ 𝑅 = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
4441, 43eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ dom 𝑓) β†’ βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ© ∈ 𝑅)
4538, 44ifclda 4563 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∈ 𝑅)
4645fmpttd 7114 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘…)
47 ssid 4004 . . . . . . . . 9 𝑉 βŠ† 𝑉
4832, 1, 2, 3, 33mrsubfval 34494 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘†β€˜(π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))) = (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))))
4946, 47, 48sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜(π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))) = (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))))
5031, 35, 493eqtr4d 2782 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜(π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))))
515adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ 𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉))
52 mapsspm 8869 . . . . . . . . 9 (𝑅 ↑m 𝑉) βŠ† (𝑅 ↑pm 𝑉)
5352a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑅 ↑m 𝑉) βŠ† (𝑅 ↑pm 𝑉))
542fvexi 6905 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ V
551fvexi 6905 . . . . . . . . . 10 𝑉 ∈ V
5654, 55elmap 8864 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘…)
5746, 56sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
58 fnfvima 7234 . . . . . . . 8 ((𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉) ∧ (𝑅 ↑m 𝑉) βŠ† (𝑅 ↑pm 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜(π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))) ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
5951, 53, 57, 58syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜(π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))) ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
6050, 59eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜π‘“) ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
6160ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝑇 ∈ V β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)(π‘†β€˜π‘“) ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
62 ffnfv 7117 . . . . 5 (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)) ↔ (𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)(π‘†β€˜π‘“) ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))))
635, 61, 62sylanbrc 583 . . . 4 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
6463frnd 6725 . . 3 (𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 βŠ† (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
653rnfvprc 6885 . . . 4 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 = βˆ…)
66 0ss 4396 . . . 4 βˆ… βŠ† (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))
6765, 66eqsstrdi 4036 . . 3 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 βŠ† (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
6864, 67pm2.61i 182 . 2 ran 𝑆 βŠ† (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))
69 imassrn 6070 . 2 (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)) βŠ† ran 𝑆
7068, 69eqssi 3998 1 ran 𝑆 = (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819   ↑pm cpm 8820  Word cword 14463  βŸ¨β€œcs1 14544   Ξ£g cgsu 17385  freeMndcfrmd 18727  mCNcmcn 34446  mVRcmvar 34447  mRExcmrex 34452  mRSubstcmrsub 34456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-s1 14545  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-frmd 18729  df-mrex 34472  df-mrsub 34476
This theorem is referenced by:  mrsubff1o  34501  mrsub0  34502  mrsubccat  34504  mrsubcn  34505  msubrn  34515
  Copyright terms: Public domain W3C validator