Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubrn 34171
Description: Although it is defined for partial mappings of variables, every partial substitution is a substitution on some complete mapping of the variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubvr.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mrsubvr.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
mrsubvr.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrsubrn ran 𝑆 = (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))

Proof of Theorem mrsubrn
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubvr.v . . . . . . 7 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
2 mrsubvr.r . . . . . . 7 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
3 mrsubvr.s . . . . . . 7 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
41, 2, 3mrsubff 34170 . . . . . 6 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
54ffnd 6673 . . . . 5 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉))
6 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝑓 ↔ 𝑣 ∈ dom 𝑓))
7 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘£))
8 s1eq 14497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
96, 7, 8ifbieq12d 4518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑣 β†’ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) = if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))
11 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘“β€˜π‘£) ∈ V
12 s1cli 14502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ© ∈ Word V
1312elexi 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ© ∈ V
1411, 13ifex 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) ∈ V
159, 10, 14fvmpt 6952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£) = if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
1615adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£) = if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
1716ifeq1da 4521 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = if(𝑣 ∈ 𝑉, if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
18 ifan 4543 . . . . . . . . . . . . . 14 if((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = if(𝑣 ∈ 𝑉, if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
1917, 18eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = if((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
20 elpmi 8790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) β†’ (𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘… ∧ dom 𝑓 βŠ† 𝑉))
2120adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘… ∧ dom 𝑓 βŠ† 𝑉))
2221simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ dom 𝑓 βŠ† 𝑉)
2322sseld 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ dom 𝑓 β†’ 𝑣 ∈ 𝑉))
2423pm4.71rd 564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ dom 𝑓 ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓)))
2524bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓) ↔ 𝑣 ∈ dom 𝑓))
2625ifbid 4513 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ if((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
2719, 26eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
2827mpteq2dv 5211 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) = (𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)))
2928coeq1d 5821 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒) = ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))
3029oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒)) = ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒)))
3130mpteq2dv 5211 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))) = (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))))
32 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (mCNβ€˜π‘‡) = (mCNβ€˜π‘‡)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) = (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
3432, 1, 2, 3, 33mrsubfval 34166 . . . . . . . . 9 ((𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘… ∧ dom 𝑓 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘†β€˜π‘“) = (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))))
3521, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜π‘“) = (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))))
3621simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ 𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘…)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘…)
3837ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑓) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
39 elun2 4141 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ π‘₯ ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
4039ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ dom 𝑓) β†’ π‘₯ ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
4140s1cld 14500 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ dom 𝑓) β†’ βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ© ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
4232, 1, 2mrexval 34159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑅 = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
4342ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ dom 𝑓) β†’ 𝑅 = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
4441, 43eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ dom 𝑓) β†’ βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ© ∈ 𝑅)
4538, 44ifclda 4525 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∈ 𝑅)
4645fmpttd 7067 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘…)
47 ssid 3970 . . . . . . . . 9 𝑉 βŠ† 𝑉
4832, 1, 2, 3, 33mrsubfval 34166 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘†β€˜(π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))) = (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))))
4946, 47, 48sylancl 587 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜(π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))) = (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))))
5031, 35, 493eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜(π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))))
515adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ 𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉))
52 mapsspm 8820 . . . . . . . . 9 (𝑅 ↑m 𝑉) βŠ† (𝑅 ↑pm 𝑉)
5352a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑅 ↑m 𝑉) βŠ† (𝑅 ↑pm 𝑉))
542fvexi 6860 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ V
551fvexi 6860 . . . . . . . . . 10 𝑉 ∈ V
5654, 55elmap 8815 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘…)
5746, 56sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
58 fnfvima 7187 . . . . . . . 8 ((𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉) ∧ (𝑅 ↑m 𝑉) βŠ† (𝑅 ↑pm 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜(π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))) ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
5951, 53, 57, 58syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜(π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))) ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
6050, 59eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜π‘“) ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
6160ralrimiva 3140 . . . . 5 (𝑇 ∈ V β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)(π‘†β€˜π‘“) ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
62 ffnfv 7070 . . . . 5 (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)) ↔ (𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)(π‘†β€˜π‘“) ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))))
635, 61, 62sylanbrc 584 . . . 4 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
6463frnd 6680 . . 3 (𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 βŠ† (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
653rnfvprc 6840 . . . 4 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 = βˆ…)
66 0ss 4360 . . . 4 βˆ… βŠ† (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))
6765, 66eqsstrdi 4002 . . 3 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 βŠ† (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
6864, 67pm2.61i 182 . 2 ran 𝑆 βŠ† (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))
69 imassrn 6028 . 2 (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)) βŠ† ran 𝑆
7068, 69eqssi 3964 1 ran 𝑆 = (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  ifcif 4490   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  ran crn 5638   β€œ cima 5640   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771   ↑pm cpm 8772  Word cword 14411  βŸ¨β€œcs1 14492   Ξ£g cgsu 17330  freeMndcfrmd 18665  mCNcmcn 34118  mVRcmvar 34119  mRExcmrex 34124  mRSubstcmrsub 34128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468  df-s1 14493  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-frmd 18667  df-mrex 34144  df-mrsub 34148
This theorem is referenced by:  mrsubff1o  34173  mrsub0  34174  mrsubccat  34176  mrsubcn  34177  msubrn  34187
  Copyright terms: Public domain W3C validator