Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubrn 34504
Description: Although it is defined for partial mappings of variables, every partial substitution is a substitution on some complete mapping of the variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubvr.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mrsubvr.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
mrsubvr.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrsubrn ran 𝑆 = (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))

Proof of Theorem mrsubrn
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubvr.v . . . . . . 7 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
2 mrsubvr.r . . . . . . 7 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
3 mrsubvr.s . . . . . . 7 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
41, 2, 3mrsubff 34503 . . . . . 6 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
54ffnd 6719 . . . . 5 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉))
6 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝑓 ↔ 𝑣 ∈ dom 𝑓))
7 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘£))
8 s1eq 14550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑣 β†’ βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
96, 7, 8ifbieq12d 4557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑣 β†’ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) = if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))
11 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘“β€˜π‘£) ∈ V
12 s1cli 14555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ© ∈ Word V
1312elexi 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ© ∈ V
1411, 13ifex 4579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) ∈ V
159, 10, 14fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£) = if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
1615adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£) = if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
1716ifeq1da 4560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = if(𝑣 ∈ 𝑉, if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
18 ifan 4582 . . . . . . . . . . . . . 14 if((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = if(𝑣 ∈ 𝑉, if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)
1917, 18eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = if((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
20 elpmi 8840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) β†’ (𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘… ∧ dom 𝑓 βŠ† 𝑉))
2120adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘… ∧ dom 𝑓 βŠ† 𝑉))
2221simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ dom 𝑓 βŠ† 𝑉)
2322sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ dom 𝑓 β†’ 𝑣 ∈ 𝑉))
2423pm4.71rd 564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ dom 𝑓 ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓)))
2524bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓) ↔ 𝑣 ∈ dom 𝑓))
2625ifbid 4552 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ if((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓), (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
2719, 26eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) = if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©))
2827mpteq2dv 5251 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) = (𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)))
2928coeq1d 5862 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒) = ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))
3029oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒)) = ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒)))
3130mpteq2dv 5251 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))) = (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))))
32 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (mCNβ€˜π‘‡) = (mCNβ€˜π‘‡)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) = (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
3432, 1, 2, 3, 33mrsubfval 34499 . . . . . . . . 9 ((𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘… ∧ dom 𝑓 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘†β€˜π‘“) = (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))))
3521, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜π‘“) = (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))))
3621simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ 𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘…)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘…)
3837ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑓) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
39 elun2 4178 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ π‘₯ ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
4039ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ dom 𝑓) β†’ π‘₯ ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
4140s1cld 14553 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ dom 𝑓) β†’ βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ© ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
4232, 1, 2mrexval 34492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑅 = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
4342ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ dom 𝑓) β†’ 𝑅 = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
4441, 43eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ dom 𝑓) β†’ βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ© ∈ 𝑅)
4538, 44ifclda 4564 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∈ 𝑅)
4645fmpttd 7115 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘…)
47 ssid 4005 . . . . . . . . 9 𝑉 βŠ† 𝑉
4832, 1, 2, 3, 33mrsubfval 34499 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘… ∧ 𝑉 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘†β€˜(π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))) = (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))))
4946, 47, 48sylancl 587 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜(π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))) = (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ 𝑉, ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))))
5031, 35, 493eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜π‘“) = (π‘†β€˜(π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))))
515adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ 𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉))
52 mapsspm 8870 . . . . . . . . 9 (𝑅 ↑m 𝑉) βŠ† (𝑅 ↑pm 𝑉)
5352a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑅 ↑m 𝑉) βŠ† (𝑅 ↑pm 𝑉))
542fvexi 6906 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ V
551fvexi 6906 . . . . . . . . . 10 𝑉 ∈ V
5654, 55elmap 8865 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑m 𝑉) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)):π‘‰βŸΆπ‘…)
5746, 56sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑m 𝑉))
58 fnfvima 7235 . . . . . . . 8 ((𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉) ∧ (𝑅 ↑m 𝑉) βŠ† (𝑅 ↑pm 𝑉) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©)) ∈ (𝑅 ↑m 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜(π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))) ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
5951, 53, 57, 58syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜(π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘₯), βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©))) ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
6050, 59eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (π‘†β€˜π‘“) ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
6160ralrimiva 3147 . . . . 5 (𝑇 ∈ V β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)(π‘†β€˜π‘“) ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
62 ffnfv 7118 . . . . 5 (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)) ↔ (𝑆 Fn (𝑅 ↑pm 𝑉) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)(π‘†β€˜π‘“) ∈ (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))))
635, 61, 62sylanbrc 584 . . . 4 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
6463frnd 6726 . . 3 (𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 βŠ† (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
653rnfvprc 6886 . . . 4 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 = βˆ…)
66 0ss 4397 . . . 4 βˆ… βŠ† (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))
6765, 66eqsstrdi 4037 . . 3 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 βŠ† (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)))
6864, 67pm2.61i 182 . 2 ran 𝑆 βŠ† (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))
69 imassrn 6071 . 2 (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉)) βŠ† ran 𝑆
7068, 69eqssi 3999 1 ran 𝑆 = (𝑆 β€œ (𝑅 ↑m 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820   ↑pm cpm 8821  Word cword 14464  βŸ¨β€œcs1 14545   Ξ£g cgsu 17386  freeMndcfrmd 18728  mCNcmcn 34451  mVRcmvar 34452  mRExcmrex 34457  mRSubstcmrsub 34461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-frmd 18730  df-mrex 34477  df-mrsub 34481
This theorem is referenced by:  mrsubff1o  34506  mrsub0  34507  mrsubccat  34509  mrsubcn  34510  msubrn  34520
  Copyright terms: Public domain W3C validator