Theorem msubf 34354

Description: A substitution is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msubco.s	⊢ 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
msubf.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
msubf	⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹:𝐸⟶𝐸)

Proof of Theorem msubf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4329	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2		msubco.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
3	2	rnfvprc 6872	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
4	1, 3	nsyl2 141	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝑇 ∈ V)
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
7		msubf.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
8	5, 6, 2, 7	msubff 34352	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶(𝐸 ↑m 𝐸))
9		frn 6711	. . . 4 ⊢ (𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶(𝐸 ↑m 𝐸) → ran 𝑆 ⊆ (𝐸 ↑m 𝐸))
10	4, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ran 𝑆 ⊆ (𝐸 ↑m 𝐸))
11		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ ran 𝑆)
12	10, 11	sseldd 3979	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝐸))
13		elmapi 8826	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝐸) → 𝐹:𝐸⟶𝐸)
14	12, 13	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹:𝐸⟶𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3473   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  ran crn 5670  ⟶wf 6528  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393   ↑_m cmap 8803   ↑_pm cpm 8804  mVRcmvar 34283  mRExcmrex 34288  mExcmex 34289  mSubstcmsub 34293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-hash 14273  df-word 14447  df-concat 14503  df-s1 14528  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-frmd 18705  df-mrex 34308  df-mex 34309  df-mrsub 34312  df-msub 34313

This theorem is referenced by:  mclsssvlem  34384  mclsax  34391  mclsppslem  34405  mclspps  34406