Theorem msubf 35519

Description: A substitution is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msubco.s	⊢ 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
msubf.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
msubf	⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹:𝐸⟶𝐸)

Proof of Theorem msubf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4305	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2		msubco.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
3	2	rnfvprc 6854	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
4	1, 3	nsyl2 141	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝑇 ∈ V)
5		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
6		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
7		msubf.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
8	5, 6, 2, 7	msubff 35517	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶(𝐸 ↑m 𝐸))
9		frn 6697	. . . 4 ⊢ (𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶(𝐸 ↑m 𝐸) → ran 𝑆 ⊆ (𝐸 ↑m 𝐸))
10	4, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ran 𝑆 ⊆ (𝐸 ↑m 𝐸))
11		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ ran 𝑆)
12	10, 11	sseldd 3949	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝐸))
13		elmapi 8824	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝐸) → 𝐹:𝐸⟶𝐸)
14	12, 13	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹:𝐸⟶𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298  ran crn 5641  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ↑_m cmap 8801   ↑_pm cpm 8802  mVRcmvar 35448  mRExcmrex 35453  mExcmex 35454  mSubstcmsub 35458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-hash 14302  df-word 14485  df-concat 14542  df-s1 14567  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-frmd 18782  df-mrex 35473  df-mex 35474  df-mrsub 35477  df-msub 35478

This theorem is referenced by:  mclsssvlem  35549  mclsax  35556  mclsppslem  35570  mclspps  35571