Theorem msubf 35012

Description: A substitution is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msubco.s	⊢ 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
msubf.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
msubf	⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹:𝐸⟶𝐸)

Proof of Theorem msubf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4325	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2		msubco.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
3	2	rnfvprc 6875	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
4	1, 3	nsyl2 141	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝑇 ∈ V)
5		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
6		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
7		msubf.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
8	5, 6, 2, 7	msubff 35010	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶(𝐸 ↑m 𝐸))
9		frn 6714	. . . 4 ⊢ (𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶(𝐸 ↑m 𝐸) → ran 𝑆 ⊆ (𝐸 ↑m 𝐸))
10	4, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ran 𝑆 ⊆ (𝐸 ↑m 𝐸))
11		id 22	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ ran 𝑆)
12	10, 11	sseldd 3975	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝐸))
13		elmapi 8839	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝐸) → 𝐹:𝐸⟶𝐸)
14	12, 13	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ ran 𝑆 → 𝐹:𝐸⟶𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314  ran crn 5667  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   ↑_m cmap 8816   ↑_pm cpm 8817  mVRcmvar 34941  mRExcmrex 34946  mExcmex 34947  mSubstcmsub 34951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-word 14462  df-concat 14518  df-s1 14543  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-frmd 18764  df-mrex 34966  df-mex 34967  df-mrsub 34970  df-msub 34971

This theorem is referenced by:  mclsssvlem  35042  mclsax  35049  mclsppslem  35063  mclspps  35064