Theorem rn0 5914

Description: The range of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
rn0	⊢ ran ∅ = ∅

Proof of Theorem rn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5908	. 2 ⊢ dom ∅ = ∅
2		dm0rn0 5912	. 2 ⊢ (dom ∅ = ∅ ↔ ran ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbi 233	1 ⊢ ran ∅ = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ∅c0 4282  dom cdm 5659  ran crn 5660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670

This theorem is used by:  ima0  6077  0ima  6078  rnxpid  6170  xpima  6179  f0  6760  rnfvprc  6876  2ndval  7993  frxp  8128  oarec  8553  fodomr  9130  fodomfir  9301  dfac5lem3  10132  itunitc  10427  relexprnd  15125  0rest  17520  arwval  18138  psgnsn  19653  oppglsm  19775  mpfrcl  22307  ply1frcl  22549  edgval  29514  0grsubgr  29746  0uhgrsubgr  29747  0ngrp  31000  bafval  31093  tocycf  33565  tocyc01  33566  domnprodeq0  33727  unitprodclb  33830  locfinref  34359  esumrnmpt2  34586  sibf0  34853  mvtval  36087  mrsubvrs  36109  mstaval  36131  mzpmfp  43600  dmnonrel  44438  imanonrel  44441  conrel1d  44511  clsneibex  44950  neicvgbex  44960  sge00  47212  dmrnxp  49773