Theorem rn0 5883

Description: The range of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
rn0	⊢ ran ∅ = ∅

Proof of Theorem rn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5877	. 2 ⊢ dom ∅ = ∅
2		dm0rn0 5881	. 2 ⊢ (dom ∅ = ∅ ↔ ran ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbi 230	1 ⊢ ran ∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1542  ∅c0 4287  dom cdm 5632  ran crn 5633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643

This theorem is referenced by:  ima0  6044  0ima  6045  rnxpid  6139  xpima  6148  f0  6723  rnfvprc  6836  2ndval  7946  frxp  8078  oarec  8499  fodomr  9068  fodomfir  9240  dfac5lem3  10047  itunitc  10343  relexprnd  14983  0rest  17361  arwval  17979  psgnsn  19461  oppglsm  19583  mpfrcl  22052  ply1frcl  22274  edgval  29134  0grsubgr  29363  0uhgrsubgr  29364  0ngrp  30598  bafval  30691  tocycf  33210  tocyc01  33211  domnprodeq0  33369  unitprodclb  33481  locfinref  34018  esumrnmpt2  34245  sibf0  34511  mvtval  35713  mrsubvrs  35735  mstaval  35757  mzpmfp  43098  dmnonrel  43940  imanonrel  43943  conrel1d  44013  clsneibex  44452  neicvgbex  44462  sge00  46728  dmrnxp  49190