Theorem rn0 5881

Description: The range of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
rn0	⊢ ran ∅ = ∅

Proof of Theorem rn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5875	. 2 ⊢ dom ∅ = ∅
2		dm0rn0 5879	. 2 ⊢ (dom ∅ = ∅ ↔ ran ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbi 230	1 ⊢ ran ∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1542  ∅c0 4273  dom cdm 5631  ran crn 5632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642

This theorem is referenced by:  ima0  6042  0ima  6043  rnxpid  6137  xpima  6146  f0  6721  rnfvprc  6834  2ndval  7945  frxp  8076  oarec  8497  fodomr  9066  fodomfir  9238  dfac5lem3  10047  itunitc  10343  relexprnd  15010  0rest  17392  arwval  18010  psgnsn  19495  oppglsm  19617  mpfrcl  22063  ply1frcl  22283  edgval  29118  0grsubgr  29347  0uhgrsubgr  29348  0ngrp  30582  bafval  30675  tocycf  33178  tocyc01  33179  domnprodeq0  33337  unitprodclb  33449  locfinref  33985  esumrnmpt2  34212  sibf0  34478  mvtval  35682  mrsubvrs  35704  mstaval  35726  mzpmfp  43179  dmnonrel  44017  imanonrel  44020  conrel1d  44090  clsneibex  44529  neicvgbex  44539  sge00  46804  dmrnxp  49312