Theorem rn0 5760

Description: The range of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
rn0	⊢ ran ∅ = ∅

Proof of Theorem rn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5754	. 2 ⊢ dom ∅ = ∅
2		dm0rn0 5759	. 2 ⊢ (dom ∅ = ∅ ↔ ran ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbi 233	1 ⊢ ran ∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1538  ∅c0 4243  dom cdm 5519  ran crn 5520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530

This theorem is referenced by:  ima0  5912  0ima  5913  rnxpid  5997  xpima  6006  f0  6534  rnfvprc  6639  2ndval  7674  frxp  7803  oarec  8171  fodomr  8652  dfac5lem3  9536  itunitc  9832  relexprnd  14399  0rest  16695  arwval  17295  psgnsn  18640  oppglsm  18759  mpfrcl  20757  ply1frcl  20942  edgval  26842  0grsubgr  27068  0uhgrsubgr  27069  0ngrp  28294  bafval  28387  tocycf  30809  tocyc01  30810  locfinref  31194  esumrnmpt2  31437  sibf0  31702  mvtval  32860  mrsubvrs  32882  mstaval  32904  mzpmfp  39688  dmnonrel  40290  imanonrel  40293  conrel1d  40364  clsneibex  40805  neicvgbex  40815  sge00  43015