Theorem rn0 5900

Description: The range of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
rn0	⊢ ran ∅ = ∅

Proof of Theorem rn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5894	. 2 ⊢ dom ∅ = ∅
2		dm0rn0 5898	. 2 ⊢ (dom ∅ = ∅ ↔ ran ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbi 232	1 ⊢ ran ∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1559  ∅c0 4285  dom cdm 5645  ran crn 5646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-cnv 5653  df-dm 5655  df-rn 5656

This theorem is referenced by:  ima0  6063  0ima  6064  rnxpid  6155  xpima  6164  f0  6741  rnfvprc  6857  2ndval  7969  frxp  8101  oarec  8526  fodomr  9096  fodomfir  9268  dfac5lem3  10078  itunitc  10375  relexprnd  15058  0rest  17441  arwval  18059  psgnsn  19543  oppglsm  19665  mpfrcl  22118  ply1frcl  22361  edgval  29196  0grsubgr  29425  0uhgrsubgr  29426  0ngrp  30660  bafval  30753  tocycf  33258  tocyc01  33259  domnprodeq0  33421  unitprodclb  33536  locfinref  34099  esumrnmpt2  34326  sibf0  34592  mvtval  35814  mrsubvrs  35836  mstaval  35858  mzpmfp  43292  dmnonrel  44130  imanonrel  44133  conrel1d  44203  clsneibex  44642  neicvgbex  44652  sge00  46914  dmrnxp  49422