Theorem rn0 5875

Description: The range of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
rn0	⊢ ran ∅ = ∅

Proof of Theorem rn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5869	. 2 ⊢ dom ∅ = ∅
2		dm0rn0 5873	. 2 ⊢ (dom ∅ = ∅ ↔ ran ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbi 230	1 ⊢ ran ∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1542  ∅c0 4274  dom cdm 5624  ran crn 5625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-cnv 5632  df-dm 5634  df-rn 5635

This theorem is referenced by:  ima0  6036  0ima  6037  rnxpid  6131  xpima  6140  f0  6715  rnfvprc  6828  2ndval  7938  frxp  8069  oarec  8490  fodomr  9059  fodomfir  9231  dfac5lem3  10038  itunitc  10334  relexprnd  15001  0rest  17383  arwval  18001  psgnsn  19486  oppglsm  19608  mpfrcl  22073  ply1frcl  22293  edgval  29132  0grsubgr  29361  0uhgrsubgr  29362  0ngrp  30597  bafval  30690  tocycf  33193  tocyc01  33194  domnprodeq0  33352  unitprodclb  33464  locfinref  34001  esumrnmpt2  34228  sibf0  34494  mvtval  35698  mrsubvrs  35720  mstaval  35742  mzpmfp  43193  dmnonrel  44035  imanonrel  44038  conrel1d  44108  clsneibex  44547  neicvgbex  44557  sge00  46822  dmrnxp  49324