Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfvneq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfvneq0 33583
Description: In case the first letter is not zero, the zero skipping sign is never zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstfvneq0 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘) β‰  0)
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,π‘Š,𝑖,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛   𝑛,π‘Ž,𝑇,𝑏
Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem signstfvneq0
Dummy variables 𝑒 π‘˜ π‘š 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
21eldifad 3961 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ Word ℝ)
3 eldifsni 4794 . . . 4 (𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) β†’ 𝐹 β‰  βˆ…)
43ad2antrr 725 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 β‰  βˆ…)
5 simplr 768 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (πΉβ€˜0) β‰  0)
64, 5jca 513 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 β‰  βˆ… ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0))
7 simpr 486 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
8 fveq2 6892 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘š) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘))
98neeq1d 3001 . . 3 (π‘š = 𝑁 β†’ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘š) β‰  0 ↔ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘) β‰  0))
10 neeq1 3004 . . . . . . . 8 (𝑔 = βˆ… β†’ (𝑔 β‰  βˆ… ↔ βˆ… β‰  βˆ…))
11 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑔 = βˆ… β†’ (π‘”β€˜0) = (βˆ…β€˜0))
1211neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (𝑔 = βˆ… β†’ ((π‘”β€˜0) β‰  0 ↔ (βˆ…β€˜0) β‰  0))
1310, 12anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑔 = βˆ… β†’ ((𝑔 β‰  βˆ… ∧ (π‘”β€˜0) β‰  0) ↔ (βˆ… β‰  βˆ… ∧ (βˆ…β€˜0) β‰  0)))
14 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑔 = βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘”) = (β™―β€˜βˆ…))
1514oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (𝑔 = βˆ… β†’ (0..^(β™―β€˜π‘”)) = (0..^(β™―β€˜βˆ…)))
16 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = βˆ… β†’ (π‘‡β€˜π‘”) = (π‘‡β€˜βˆ…))
1716fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑔 = βˆ… β†’ ((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) = ((π‘‡β€˜βˆ…)β€˜π‘š))
1817neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (𝑔 = βˆ… β†’ (((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) β‰  0 ↔ ((π‘‡β€˜βˆ…)β€˜π‘š) β‰  0))
1915, 18raleqbidv 3343 . . . . . . 7 (𝑔 = βˆ… β†’ (βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘”))((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) β‰  0 ↔ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜βˆ…))((π‘‡β€˜βˆ…)β€˜π‘š) β‰  0))
2013, 19imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑔 = βˆ… β†’ (((𝑔 β‰  βˆ… ∧ (π‘”β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘”))((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) β‰  0) ↔ ((βˆ… β‰  βˆ… ∧ (βˆ…β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜βˆ…))((π‘‡β€˜βˆ…)β€˜π‘š) β‰  0)))
21 neeq1 3004 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑒 β†’ (𝑔 β‰  βˆ… ↔ 𝑒 β‰  βˆ…))
22 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑒 β†’ (π‘”β€˜0) = (π‘’β€˜0))
2322neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑒 β†’ ((π‘”β€˜0) β‰  0 ↔ (π‘’β€˜0) β‰  0))
2421, 23anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑒 β†’ ((𝑔 β‰  βˆ… ∧ (π‘”β€˜0) β‰  0) ↔ (𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0)))
25 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑒 β†’ (β™―β€˜π‘”) = (β™―β€˜π‘’))
2625oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑒 β†’ (0..^(β™―β€˜π‘”)) = (0..^(β™―β€˜π‘’)))
27 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑒 β†’ (π‘‡β€˜π‘”) = (π‘‡β€˜π‘’))
2827fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑒 β†’ ((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) = ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘š))
2928neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑒 β†’ (((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) β‰  0 ↔ ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘š) β‰  0))
3026, 29raleqbidv 3343 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘”))((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) β‰  0 ↔ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘š) β‰  0))
3124, 30imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑔 = 𝑒 β†’ (((𝑔 β‰  βˆ… ∧ (π‘”β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘”))((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) β‰  0) ↔ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘š) β‰  0)))
32 neeq1 3004 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β†’ (𝑔 β‰  βˆ… ↔ (𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ…))
33 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β†’ (π‘”β€˜0) = ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0))
3433neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β†’ ((π‘”β€˜0) β‰  0 ↔ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0))
3532, 34anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β†’ ((𝑔 β‰  βˆ… ∧ (π‘”β€˜0) β‰  0) ↔ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)))
36 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β†’ (β™―β€˜π‘”) = (β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))
3736oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘”)) = (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))
38 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β†’ (π‘‡β€˜π‘”) = (π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))
3938fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β†’ ((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) = ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜π‘š))
4039neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β†’ (((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) β‰  0 ↔ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜π‘š) β‰  0))
4137, 40raleqbidv 3343 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘”))((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) β‰  0 ↔ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜π‘š) β‰  0))
4235, 41imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β†’ (((𝑔 β‰  βˆ… ∧ (π‘”β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘”))((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) β‰  0) ↔ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜π‘š) β‰  0)))
43 neeq1 3004 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐹 β†’ (𝑔 β‰  βˆ… ↔ 𝐹 β‰  βˆ…))
44 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐹 β†’ (π‘”β€˜0) = (πΉβ€˜0))
4544neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐹 β†’ ((π‘”β€˜0) β‰  0 ↔ (πΉβ€˜0) β‰  0))
4643, 45anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐹 β†’ ((𝑔 β‰  βˆ… ∧ (π‘”β€˜0) β‰  0) ↔ (𝐹 β‰  βˆ… ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0)))
47 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐹 β†’ (β™―β€˜π‘”) = (β™―β€˜πΉ))
4847oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐹 β†’ (0..^(β™―β€˜π‘”)) = (0..^(β™―β€˜πΉ)))
49 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐹 β†’ (π‘‡β€˜π‘”) = (π‘‡β€˜πΉ))
5049fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐹 β†’ ((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘š))
5150neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐹 β†’ (((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) β‰  0 ↔ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘š) β‰  0))
5248, 51raleqbidv 3343 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘”))((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) β‰  0 ↔ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘š) β‰  0))
5346, 52imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐹 β†’ (((𝑔 β‰  βˆ… ∧ (π‘”β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘”))((π‘‡β€˜π‘”)β€˜π‘š) β‰  0) ↔ ((𝐹 β‰  βˆ… ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘š) β‰  0)))
54 neirr 2950 . . . . . . . 8 Β¬ βˆ… β‰  βˆ…
5554intnanr 489 . . . . . . 7 Β¬ (βˆ… β‰  βˆ… ∧ (βˆ…β€˜0) β‰  0)
5655pm2.21i 119 . . . . . 6 ((βˆ… β‰  βˆ… ∧ (βˆ…β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜βˆ…))((π‘‡β€˜βˆ…)β€˜π‘š) β‰  0)
57 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) = ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘š))
5857neeq1d 3001 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ (((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0 ↔ ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘š) β‰  0))
5958cbvralvw 3235 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0 ↔ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘š) β‰  0)
6059imbi2i 336 . . . . . . . . 9 (((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0) ↔ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘š) β‰  0))
6160anbi2i 624 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ↔ ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘š) β‰  0)))
62 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)))
63 noel 4331 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ π‘š ∈ βˆ…
64 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘’) = (β™―β€˜βˆ…))
65 hash0 14327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β™―β€˜βˆ…) = 0
6664, 65eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘’) = 0)
6766oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = βˆ… β†’ (0..^(β™―β€˜π‘’)) = (0..^0))
68 fzo0 13656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^0) = βˆ…
6967, 68eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = βˆ… β†’ (0..^(β™―β€˜π‘’)) = βˆ…)
7069eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = βˆ… β†’ (π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)) ↔ π‘š ∈ βˆ…))
7163, 70mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = βˆ… β†’ Β¬ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)))
7271adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ Β¬ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)))
7362, 72pm2.21dd 194 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜π‘š) β‰  0)
74 simp-6l 786 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ 𝑒 ∈ Word ℝ)
75 simp-6r 787 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
76 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)))
77 signsv.p . . . . . . . . . . . . . 14 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
78 signsv.w . . . . . . . . . . . . . 14 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
79 signsv.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
80 signsv.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
8177, 78, 79, 80signstfvp 33582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜π‘š) = ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘š))
8274, 75, 76, 81syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜π‘š) = ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘š))
83 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ 𝑒 β‰  βˆ…)
84 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ))
85 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ (π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…)) β†’ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)
86853anassrs 1361 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)
87 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ 𝑒 ∈ Word ℝ)
88 s1cl 14552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ© ∈ Word ℝ)
8988ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ© ∈ Word ℝ)
90 lennncl 14484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘’) ∈ β„•)
9190adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘’) ∈ β„•)
92 fzo0end 13724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β™―β€˜π‘’) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)))
93 elfzolt3b 13644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)))
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)))
95 ccatval1 14527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ© ∈ Word ℝ ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) β†’ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) = (π‘’β€˜0))
9687, 89, 94, 95syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) = (π‘’β€˜0))
9796neeq1d 3001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0 ↔ (π‘’β€˜0) β‰  0))
9897biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) β†’ (π‘’β€˜0) β‰  0)
9984, 83, 86, 98syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (π‘’β€˜0) β‰  0)
100 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0))
10183, 99, 100mp2and 698 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)
10258, 101, 76rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘š) β‰  0)
10382, 102eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜π‘š) β‰  0)
10473, 103pm2.61dane 3030 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜π‘š) β‰  0)
105 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š = (β™―β€˜π‘’)) β†’ π‘š = (β™―β€˜π‘’))
106105fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š = (β™―β€˜π‘’)) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜π‘š) = ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜(β™―β€˜π‘’)))
107 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ 𝑒 = βˆ…)
108 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
109 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0))
110109simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)
111 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 = βˆ… β†’ (𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) = (βˆ… ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))
112 ccatlid 14536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ© ∈ Word ℝ β†’ (βˆ… ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)
11388, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (βˆ… ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)
114111, 113sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)
115114fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)) = (π‘‡β€˜βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))
116115adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) β†’ (π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)) = (π‘‡β€˜βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))
11777, 78, 79, 80signstf0 33579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (π‘‡β€˜βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(sgnβ€˜π‘˜)β€βŸ©)
118117ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) β†’ (π‘‡β€˜βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(sgnβ€˜π‘˜)β€βŸ©)
119116, 118eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) β†’ (π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)) = βŸ¨β€œ(sgnβ€˜π‘˜)β€βŸ©)
12066ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) β†’ (β™―β€˜π‘’) = 0)
121119, 120fveq12d 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜(β™―β€˜π‘’)) = (βŸ¨β€œ(sgnβ€˜π‘˜)β€βŸ©β€˜0))
122 sgnclre 33538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (sgnβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
123 s1fv 14560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((sgnβ€˜π‘˜) ∈ ℝ β†’ (βŸ¨β€œ(sgnβ€˜π‘˜)β€βŸ©β€˜0) = (sgnβ€˜π‘˜))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (βŸ¨β€œ(sgnβ€˜π‘˜)β€βŸ©β€˜0) = (sgnβ€˜π‘˜))
125124ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) β†’ (βŸ¨β€œ(sgnβ€˜π‘˜)β€βŸ©β€˜0) = (sgnβ€˜π‘˜))
126121, 125eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜(β™―β€˜π‘’)) = (sgnβ€˜π‘˜))
127 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
128114fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) = (βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©β€˜0))
129 s1fv 14560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©β€˜0) = π‘˜)
130129adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©β€˜0) = π‘˜)
131128, 130eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) = π‘˜)
132131neeq1d 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0 ↔ π‘˜ β‰  0))
133132biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) β†’ π‘˜ β‰  0)
134 rexr 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
135 sgn0bi 33546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ ℝ* β†’ ((sgnβ€˜π‘˜) = 0 ↔ π‘˜ = 0))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ ((sgnβ€˜π‘˜) = 0 ↔ π‘˜ = 0))
137136necon3bid 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ ((sgnβ€˜π‘˜) β‰  0 ↔ π‘˜ β‰  0))
138137biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ π‘˜ β‰  0) β†’ (sgnβ€˜π‘˜) β‰  0)
139127, 133, 138syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) β†’ (sgnβ€˜π‘˜) β‰  0)
140126, 139eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜(β™―β€˜π‘’)) β‰  0)
141107, 108, 110, 140syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 = βˆ…) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜(β™―β€˜π‘’)) β‰  0)
142 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 β‰  βˆ…))
143142biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ 𝑒 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
144143adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ 𝑒 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
145 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
14677, 78, 79, 80signstfvn 33580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜(β™―β€˜π‘’)) = (((π‘‡β€˜π‘’)β€˜((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜π‘˜)))
147144, 145, 146syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜(β™―β€˜π‘’)) = (((π‘‡β€˜π‘’)β€˜((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜π‘˜)))
148147ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜(β™―β€˜π‘’)) = (((π‘‡β€˜π‘’)β€˜((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜π‘˜)))
14990, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)))
15077, 78, 79, 80signstcl 33576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ ((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1)) ∈ {-1, 0, 1})
151149, 150syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1)) ∈ {-1, 0, 1})
152151ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1)) ∈ {-1, 0, 1})
153 sgncl 33537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ ℝ* β†’ (sgnβ€˜π‘˜) ∈ {-1, 0, 1})
154134, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (sgnβ€˜π‘˜) ∈ {-1, 0, 1})
155154ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (sgnβ€˜π‘˜) ∈ {-1, 0, 1})
156 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = ((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) = ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1)))
157156neeq1d 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = ((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0 ↔ ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1)) β‰  0))
158 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ 𝑒 β‰  βˆ…)
159 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ))
160 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0))
161160simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)
162159, 158, 161, 98syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (π‘’β€˜0) β‰  0)
163 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0))
164158, 162, 163mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)
16590ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘’) ∈ β„•)
166165, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)))
167166adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)))
168157, 164, 167rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1)) β‰  0)
16977, 78signswn0 33571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘‡β€˜π‘’)β€˜((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1)) ∈ {-1, 0, 1} ∧ (sgnβ€˜π‘˜) ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ((π‘‡β€˜π‘’)β€˜((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1)) β‰  0) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’)β€˜((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜π‘˜)) β‰  0)
170152, 155, 168, 169syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ (((π‘‡β€˜π‘’)β€˜((β™―β€˜π‘’) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜π‘˜)) β‰  0)
171148, 170eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) ∧ 𝑒 β‰  βˆ…) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜(β™―β€˜π‘’)) β‰  0)
172141, 171pm2.61dane 3030 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜(β™―β€˜π‘’)) β‰  0)
173172anassrs 469 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜(β™―β€˜π‘’)) β‰  0)
174173adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š = (β™―β€˜π‘’)) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜(β™―β€˜π‘’)) β‰  0)
175106, 174eqnetrd 3009 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) ∧ π‘š = (β™―β€˜π‘’)) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜π‘š) β‰  0)
176 lencl 14483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ Word ℝ β†’ (β™―β€˜π‘’) ∈ β„•0)
177 nn0uz 12864 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
178176, 177eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ Word ℝ β†’ (β™―β€˜π‘’) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
179178ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) β†’ (β™―β€˜π‘’) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
180 ccatws1len 14570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ Word ℝ β†’ (β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘’) + 1))
181180adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘’) + 1))
182181oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))) = (0..^((β™―β€˜π‘’) + 1)))
183182eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))) ↔ π‘š ∈ (0..^((β™―β€˜π‘’) + 1))))
184183biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) β†’ π‘š ∈ (0..^((β™―β€˜π‘’) + 1)))
185184ad4ant14 751 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) β†’ π‘š ∈ (0..^((β™―β€˜π‘’) + 1)))
186 fzosplitsni 13743 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘’) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (π‘š ∈ (0..^((β™―β€˜π‘’) + 1)) ↔ (π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)) ∨ π‘š = (β™―β€˜π‘’))))
187186biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜π‘’) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ π‘š ∈ (0..^((β™―β€˜π‘’) + 1))) β†’ (π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)) ∨ π‘š = (β™―β€˜π‘’)))
188179, 185, 187syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) β†’ (π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)) ∨ π‘š = (β™―β€˜π‘’)))
189104, 175, 188mpjaodan 958 . . . . . . . . 9 (((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) ∧ π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜π‘š) β‰  0)
190189ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 ((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘›) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜π‘š) β‰  0)
19161, 190sylanbr 583 . . . . . . 7 ((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ ((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘š) β‰  0)) ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0)) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜π‘š) β‰  0)
192191exp31 421 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (((𝑒 β‰  βˆ… ∧ (π‘’β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))((π‘‡β€˜π‘’)β€˜π‘š) β‰  0) β†’ (((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ ((𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)β€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©)))((π‘‡β€˜(𝑒 ++ βŸ¨β€œπ‘˜β€βŸ©))β€˜π‘š) β‰  0)))
19320, 31, 42, 53, 56, 192wrdind 14672 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ ((𝐹 β‰  βˆ… ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘š) β‰  0))
194193imp 408 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 β‰  βˆ… ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0)) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘š) β‰  0)
195194adantr 482 . . 3 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 β‰  βˆ… ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ βˆ€π‘š ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘š) β‰  0)
196 simpr 486 . . 3 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 β‰  βˆ… ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
1979, 195, 196rspcdva 3614 . 2 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 β‰  βˆ… ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘) β‰  0)
1982, 6, 7, 197syl21anc 837 1 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘) β‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3946  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631  {ctp 4633  βŸ¨cop 4635   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„*cxr 11247   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464   ++ cconcat 14520  βŸ¨β€œcs1 14545  sgncsgn 15033  Ξ£csu 15632  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  +gcplusg 17197   Ξ£g cgsu 17386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-sgn 15034  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mulg 18951  df-cntz 19181
This theorem is referenced by:  signstfvcl  33584
  Copyright terms: Public domain W3C validator