Theorem snen1el 43623

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one if its content is an element of it. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
snen1el	⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})

Proof of Theorem snen1el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snen1g 43622	. 2 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ V)
2		snidb 4613	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})
3	1, 2	bitri 275	1 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  {csn 4575   class class class wbr 5093  1_oc1o 8384   ≈ cen 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-1o 8391  df-en 8876

This theorem is referenced by: (None)