Theorem snen1el 41094

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one if its content is an element of it. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
snen1el	⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})

Proof of Theorem snen1el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snen1g 41093	. 2 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ V)
2		snidb 4601	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})
3	1, 2	bitri 274	1 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430  {csn 4566   class class class wbr 5078  1_oc1o 8274   ≈ cen 8704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-1o 8281  df-en 8708

This theorem is referenced by: (None)