Theorem snen1el 43955

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one if its content is an element of it. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
snen1el	⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})

Proof of Theorem snen1el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snen1g 43954	. 2 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ V)
2		snidb 4606	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})
3	1, 2	bitri 275	1 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {csn 4568   class class class wbr 5086  1_oc1o 8389   ≈ cen 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-1o 8396  df-en 8885

This theorem is referenced by: (None)