Theorem snen1el 43094

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one if its content is an element of it. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
snen1el	⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})

Proof of Theorem snen1el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snen1g 43093	. 2 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ V)
2		snidb 4665	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})
3	1, 2	bitri 274	1 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461  {csn 4630   class class class wbr 5149  1_oc1o 8480   ≈ cen 8961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-1o 8487  df-en 8965

This theorem is referenced by: (None)