Theorem snen1el 43802

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one if its content is an element of it. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
snen1el	⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})

Proof of Theorem snen1el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snen1g 43801	. 2 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ V)
2		snidb 4619	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})
3	1, 2	bitri 275	1 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  {csn 4581   class class class wbr 5099  1_oc1o 8392   ≈ cen 8884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-1o 8399  df-en 8888

This theorem is referenced by: (None)