Theorem snen1g 44278

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one iff its content is a set. (Contributed by RP, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
snen1g	⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem snen1g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2769	. . . 4 ⊢ ({𝐴} = {𝑥} ↔ {𝑥} = {𝐴})
2		vex 3458	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	sneqr 4804	. . . . 5 ⊢ ({𝑥} = {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
4		sneq 4598	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
5	3, 4	impbii 212	. . . 4 ⊢ ({𝑥} = {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
6	1, 5	bitri 278	. . 3 ⊢ ({𝐴} = {𝑥} ↔ 𝑥 = 𝐴)
7	6	exbii 1877	. 2 ⊢ (∃𝑥{𝐴} = {𝑥} ↔ ∃𝑥 𝑥 = 𝐴)
8		en1 9019	. 2 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ ∃𝑥{𝐴} = {𝑥})
9		isset 3468	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ ∃𝑥 𝑥 = 𝐴)
10	7, 8, 9	3bitr4i 306	1 ⊢ ({𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  {csn 4588   class class class wbr 5108  1_oc1o 8444   ≈ cen 8938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-1o 8451  df-en 8942

This theorem is used by:  snen1el  44279