Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn1dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn1dom 41171
Description: A singleton is dominated by ordinal one. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
sn1dom {𝐴} ≼ 1o

Proof of Theorem sn1dom
StepHypRef Expression
1 ensn1g 8844 . . 3 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1o)
2 1on 8340 . . . 4 1o ∈ On
3 domrefg 8808 . . . 4 (1o ∈ On → 1o ≼ 1o)
42, 3ax-mp 5 . . 3 1o ≼ 1o
5 endomtr 8833 . . 3 (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
61, 4, 5sylancl 587 . 2 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
7 snprc 4657 . . . 4 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
8 snex 5363 . . . . 5 {𝐴} ∈ V
9 eqeng 8807 . . . . 5 ({𝐴} ∈ V → ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅)
117, 10sylbi 216 . . 3 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ ∅)
12 0domg 8925 . . . 4 (1o ∈ On → ∅ ≼ 1o)
132, 12ax-mp 5 . . 3 ∅ ≼ 1o
14 endomtr 8833 . . 3 (({𝐴} ≈ ∅ ∧ ∅ ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
1511, 13, 14sylancl 587 . 2 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
166, 15pm2.61i 182 1 {𝐴} ≼ 1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1539  wcel 2104  Vcvv 3437  c0 4262  {csn 4565   class class class wbr 5081  Oncon0 6281  1oc1o 8321  cen 8761  cdom 8762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-ord 6284  df-on 6285  df-suc 6287  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-1o 8328  df-en 8765  df-dom 8766
This theorem is referenced by:  pr2dom  41172  tr3dom  41173
  Copyright terms: Public domain W3C validator