Theorem sn1dom 44366

Description: A singleton is dominated by ordinal one. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn1dom	⊢ {𝐴} ≼ 1o

Proof of Theorem sn1dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 9028	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1o)
2		1on 8468	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
3		domrefg 8993	. . . 4 ⊢ (1o ∈ On → 1o ≼ 1o)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1o ≼ 1o
5		endomtr 9018	. . 3 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
6	1, 4, 5	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
7		snprc 4678	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
8		snex 5404	. . . . 5 ⊢ {𝐴} ∈ V
9		eqeng 8992	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∈ V → ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅)
11	7, 10	sylbi 220	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ ∅)
12		0domg 9102	. . . 4 ⊢ (1o ∈ On → ∅ ≼ 1o)
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ ≼ 1o
14		endomtr 9018	. . 3 ⊢ (({𝐴} ≈ ∅ ∧ ∅ ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
15	11, 13, 14	sylancl 598	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
16	6, 15	pm2.61i 184	1 ⊢ {𝐴} ≼ 1o

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  Oncon0 6357  1_oc1o 8448   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-1o 8455  df-en 8953  df-dom 8954

This theorem is used by:  pr2dom  44367  tr3dom  44368