Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn1dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn1dom 42148
Description: A singleton is dominated by ordinal one. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
sn1dom {𝐴} ≼ 1o

Proof of Theorem sn1dom
StepHypRef Expression
1 ensn1g 9007 . . 3 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1o)
2 1on 8465 . . . 4 1o ∈ On
3 domrefg 8971 . . . 4 (1o ∈ On → 1o ≼ 1o)
42, 3ax-mp 5 . . 3 1o ≼ 1o
5 endomtr 8996 . . 3 (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
61, 4, 5sylancl 587 . 2 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
7 snprc 4717 . . . 4 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
8 snex 5427 . . . . 5 {𝐴} ∈ V
9 eqeng 8970 . . . . 5 ({𝐴} ∈ V → ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅)
117, 10sylbi 216 . . 3 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ ∅)
12 0domg 9088 . . . 4 (1o ∈ On → ∅ ≼ 1o)
132, 12ax-mp 5 . . 3 ∅ ≼ 1o
14 endomtr 8996 . . 3 (({𝐴} ≈ ∅ ∧ ∅ ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
1511, 13, 14sylancl 587 . 2 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
166, 15pm2.61i 182 1 {𝐴} ≼ 1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  c0 4320  {csn 4624   class class class wbr 5144  Oncon0 6356  1oc1o 8446  cen 8924  cdom 8925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6359  df-on 6360  df-suc 6362  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-1o 8453  df-en 8928  df-dom 8929
This theorem is referenced by:  pr2dom  42149  tr3dom  42150
  Copyright terms: Public domain W3C validator