Theorem sn1dom 42740

Description: A singleton is dominated by ordinal one. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn1dom	⊢ {𝐴} ≼ 1o

Proof of Theorem sn1dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 9025	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1o)
2		1on 8484	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
3		domrefg 8989	. . . 4 ⊢ (1o ∈ On → 1o ≼ 1o)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1o ≼ 1o
5		endomtr 9014	. . 3 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
6	1, 4, 5	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
7		snprc 4721	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
8		snex 5431	. . . . 5 ⊢ {𝐴} ∈ V
9		eqeng 8988	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∈ V → ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅)
11	7, 10	sylbi 216	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ ∅)
12		0domg 9106	. . . 4 ⊢ (1o ∈ On → ∅ ≼ 1o)
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ ≼ 1o
14		endomtr 9014	. . 3 ⊢ (({𝐴} ≈ ∅ ∧ ∅ ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
15	11, 13, 14	sylancl 585	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
16	6, 15	pm2.61i 182	1 ⊢ {𝐴} ≼ 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  ∅c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  Oncon0 6364  1_oc1o 8465   ≈ cen 8942   ≼ cdom 8943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-1o 8472  df-en 8946  df-dom 8947

This theorem is referenced by:  pr2dom  42741  tr3dom  42742