Theorem sn1dom 44143

Description: A singleton is dominated by ordinal one. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn1dom	⊢ {𝐴} ≼ 1o

Proof of Theorem sn1dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 9018	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1o)
2		1on 8465	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
3		domrefg 8983	. . . 4 ⊢ (1o ∈ On → 1o ≼ 1o)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1o ≼ 1o
5		endomtr 9008	. . 3 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
6	1, 4, 5	sylancl 597	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
7		snprc 4688	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
8		snex 5411	. . . . 5 ⊢ {𝐴} ∈ V
9		eqeng 8982	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∈ V → ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅)
11	7, 10	sylbi 220	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ ∅)
12		0domg 9091	. . . 4 ⊢ (1o ∈ On → ∅ ≼ 1o)
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ ≼ 1o
14		endomtr 9008	. . 3 ⊢ (({𝐴} ≈ ∅ ∧ ∅ ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
15	11, 13, 14	sylancl 597	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
16	6, 15	pm2.61i 184	1 ⊢ {𝐴} ≼ 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ∅c0 4294  {csn 4594   class class class wbr 5113  Oncon0 6361  1_oc1o 8445   ≈ cen 8939   ≼ cdom 8940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-1o 8452  df-en 8943  df-dom 8944

This theorem is referenced by:  pr2dom  44144  tr3dom  44145