Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn1dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn1dom 40168
Description: A singleton is dominated by ordinal one. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
sn1dom {𝐴} ≼ 1o

Proof of Theorem sn1dom
StepHypRef Expression
1 ensn1g 8561 . . 3 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1o)
2 1on 8096 . . . 4 1o ∈ On
3 domrefg 8531 . . . 4 (1o ∈ On → 1o ≼ 1o)
42, 3ax-mp 5 . . 3 1o ≼ 1o
5 endomtr 8554 . . 3 (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
61, 4, 5sylancl 589 . 2 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
7 snprc 4627 . . . 4 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
8 snex 5309 . . . . 5 {𝐴} ∈ V
9 eqeng 8530 . . . . 5 ({𝐴} ∈ V → ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅)
117, 10sylbi 220 . . 3 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ ∅)
12 0domg 8632 . . . 4 (1o ∈ On → ∅ ≼ 1o)
132, 12ax-mp 5 . . 3 ∅ ≼ 1o
14 endomtr 8554 . . 3 (({𝐴} ≈ ∅ ∧ ∅ ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
1511, 13, 14sylancl 589 . 2 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
166, 15pm2.61i 185 1 {𝐴} ≼ 1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  Vcvv 3469  c0 4265  {csn 4539   class class class wbr 5042  Oncon0 6169  1oc1o 8082  cen 8493  cdom 8494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-ord 6172  df-on 6173  df-suc 6175  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-1o 8089  df-en 8497  df-dom 8498
This theorem is referenced by:  pr2dom  40169  tr3dom  40170
  Copyright terms: Public domain W3C validator