Theorem sn1dom 41031

Description: A singleton is dominated by ordinal one. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn1dom	⊢ {𝐴} ≼ 1o

Proof of Theorem sn1dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 8763	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1o)
2		1on 8274	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
3		domrefg 8730	. . . 4 ⊢ (1o ∈ On → 1o ≼ 1o)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1o ≼ 1o
5		endomtr 8753	. . 3 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
6	1, 4, 5	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
7		snprc 4650	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
8		snex 5349	. . . . 5 ⊢ {𝐴} ∈ V
9		eqeng 8729	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∈ V → ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅)
11	7, 10	sylbi 216	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ ∅)
12		0domg 8840	. . . 4 ⊢ (1o ∈ On → ∅ ≼ 1o)
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ ≼ 1o
14		endomtr 8753	. . 3 ⊢ (({𝐴} ≈ ∅ ∧ ∅ ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
15	11, 13, 14	sylancl 585	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
16	6, 15	pm2.61i 182	1 ⊢ {𝐴} ≼ 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070  Oncon0 6251  1_oc1o 8260   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-1o 8267  df-en 8692  df-dom 8693

This theorem is referenced by:  pr2dom  41032  tr3dom  41033