Theorem sn1dom 44310

Description: A singleton is dominated by ordinal one. (Contributed by RP, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn1dom	⊢ {𝐴} ≼ 1o

Proof of Theorem sn1dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 9025	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1o)
2		1on 8472	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
3		domrefg 8990	. . . 4 ⊢ (1o ∈ On → 1o ≼ 1o)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1o ≼ 1o
5		endomtr 9015	. . 3 ⊢ (({𝐴} ≈ 1o ∧ 1o ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
6	1, 4, 5	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
7		snprc 4685	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
8		snex 5412	. . . . 5 ⊢ {𝐴} ∈ V
9		eqeng 8989	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∈ V → ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({𝐴} = ∅ → {𝐴} ≈ ∅)
11	7, 10	sylbi 220	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ ∅)
12		0domg 9099	. . . 4 ⊢ (1o ∈ On → ∅ ≼ 1o)
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ ≼ 1o
14		endomtr 9015	. . 3 ⊢ (({𝐴} ≈ ∅ ∧ ∅ ≼ 1o) → {𝐴} ≼ 1o)
15	11, 13, 14	sylancl 598	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ≼ 1o)
16	6, 15	pm2.61i 184	1 ⊢ {𝐴} ≼ 1o

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ∅c0 4286  {csn 4591   class class class wbr 5111  Oncon0 6364  1_oc1o 8452   ≈ cen 8946   ≼ cdom 8947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-1o 8459  df-en 8950  df-dom 8951

This theorem is used by:  pr2dom  44311  tr3dom  44312