MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncolrot1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncolrot1 27678
Description: Rotating non-colinear points. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
ncolrot (𝜑 → ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
ncolrot1 (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem ncolrot1
StepHypRef Expression
1 ncolrot . 2 (𝜑 → ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
2 tglngval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 tglngval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglngval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 tglngval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglngval.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
87adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) → 𝑌𝑃)
9 tgcolg.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑃)
109adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) → 𝑍𝑃)
11 tglngval.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
1211adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) → 𝑋𝑃)
13 simpr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
142, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 13colrot2 27676 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
151, 14mtand 814 1 (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  TarskiGcstrkg 27543  Itvcitv 27549  LineGclng 27550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-trkgc 27564  df-trkgb 27565  df-trkgcb 27566  df-trkg 27569
This theorem is referenced by:  outpasch  27871  acopy  27949  cgrg3col4  27969  isoas  27980
  Copyright terms: Public domain W3C validator