Theorem ncolcom 28830

Description: Swapping non-colinear points. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
ncolrot	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
ncolcom	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∨ 𝑌 = 𝑋))

Proof of Theorem ncolcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncolrot	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
2		tglngval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		tglngval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglngval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tglngval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∨ 𝑌 = 𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglngval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∨ 𝑌 = 𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
9		tglngval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∨ 𝑌 = 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		tgcolg.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∨ 𝑌 = 𝑋)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
13		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∨ 𝑌 = 𝑋)) → (𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∨ 𝑌 = 𝑋))
14	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 13	colcom 28827	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∨ 𝑌 = 𝑋)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
15	1, 14	mtand 827	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∨ 𝑌 = 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  TarskiGcstrkg 28696  Itvcitv 28702  LineGclng 28703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-trkgc 28717  df-trkgb 28718  df-trkgcb 28719  df-trkg 28722

This theorem is referenced by:  ncolne2  28899  symquadlem  28966  midexlem  28969  outpasch  29037  symquadmid  29108  acopyeu  29145  cgrg3col4  29170  tgasa1  29175  prlngsymquadlem  29213  prlngsymquadopp  29215  quadcgrprlng  29216  tgaltai  29217