Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tlt3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tlt3 32127
Description: In a Toset, two elements must compare strictly, or be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tlt3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tlt3.l < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
tlt3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))
Proof of Theorem tlt3
StepHypRef Expression
1 tlt3.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 tlt3.l . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
41, 2, 3tlt2 32126 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))
5 tospos 18369 . . . . 5 (𝐾 ∈ Toset β†’ 𝐾 ∈ Poset)
61, 2, 3pleval2 18286 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
7 orcom 868 . . . . . 6 ((𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ) ↔ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ))
86, 7bitrdi 286 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ)))
95, 8syl3an1 1163 . . . 4 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ)))
109orbi1d 915 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋) ↔ ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ) ∨ π‘Œ < 𝑋)))
114, 10mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ) ∨ π‘Œ < 𝑋))
12 df-3or 1088 . 2 ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋) ↔ ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ) ∨ π‘Œ < 𝑋))
1311, 12sylibr 233 1 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 845   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  Posetcpo 18256  ltcplt 18257  Tosetctos 18365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-toset 18366
This theorem is referenced by:  archirngz  32322  archiabllem1b  32325  archiabllem2b  32329
  Copyright terms: Public domain W3C validator