Theorem tlt3 33354

Description: In a Toset, two elements must compare strictly, or be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
tlt3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tlt3.l	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tlt3	⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

Proof of Theorem tlt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tlt3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		tlt3.l	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4	1, 2, 3	tlt2 33353	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))
5		tospos 18496	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
6	1, 2, 3	pleval2 18413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
7		orcom 884	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌) ↔ (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌))
8	6, 7	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌)))
9	5, 8	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌)))
10	9	orbi1d 930	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋) ↔ ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌) ∨ 𝑌 < 𝑋)))
11	4, 10	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌) ∨ 𝑌 < 𝑋))
12		df-3or 1104	. 2 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋) ↔ ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌) ∨ 𝑌 < 𝑋))
13	11, 12	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  lecple 17339  Posetcpo 18385  ltcplt 18386  Tosetctos 18492

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-toset 18493

This theorem is used by:  archirngz  33573  archiabllem1b  33576  archiabllem2b  33580