Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tlt3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tlt3 31879
Description: In a Toset, two elements must compare strictly, or be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tlt3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tlt3.l < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
tlt3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))

Proof of Theorem tlt3
StepHypRef Expression
1 tlt3.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 tlt3.l . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
41, 2, 3tlt2 31878 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))
5 tospos 18314 . . . . 5 (𝐾 ∈ Toset β†’ 𝐾 ∈ Poset)
61, 2, 3pleval2 18231 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
7 orcom 869 . . . . . 6 ((𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ) ↔ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ))
86, 7bitrdi 287 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ)))
95, 8syl3an1 1164 . . . 4 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ)))
109orbi1d 916 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋) ↔ ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ) ∨ π‘Œ < 𝑋)))
114, 10mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ) ∨ π‘Œ < 𝑋))
12 df-3or 1089 . 2 ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋) ↔ ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ) ∨ π‘Œ < 𝑋))
1311, 12sylibr 233 1 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  Posetcpo 18201  ltcplt 18202  Tosetctos 18310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-toset 18311
This theorem is referenced by:  archirngz  32074  archiabllem1b  32077  archiabllem2b  32081
  Copyright terms: Public domain W3C validator