Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tlt3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tlt3 32945
Description: In a Toset, two elements must compare strictly, or be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tlt3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tlt3.l < = (lt‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
tlt3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 = 𝑌𝑋 < 𝑌𝑌 < 𝑋))

Proof of Theorem tlt3
StepHypRef Expression
1 tlt3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2735 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 tlt3.l . . . 4 < = (lt‘𝐾)
41, 2, 3tlt2 32944 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑌 < 𝑋))
5 tospos 18478 . . . . 5 (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
61, 2, 3pleval2 18395 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌)))
7 orcom 870 . . . . . 6 ((𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌) ↔ (𝑋 = 𝑌𝑋 < 𝑌))
86, 7bitrdi 287 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 = 𝑌𝑋 < 𝑌)))
95, 8syl3an1 1162 . . . 4 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 = 𝑌𝑋 < 𝑌)))
109orbi1d 916 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑌 < 𝑋) ↔ ((𝑋 = 𝑌𝑋 < 𝑌) ∨ 𝑌 < 𝑋)))
114, 10mpbid 232 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 = 𝑌𝑋 < 𝑌) ∨ 𝑌 < 𝑋))
12 df-3or 1087 . 2 ((𝑋 = 𝑌𝑋 < 𝑌𝑌 < 𝑋) ↔ ((𝑋 = 𝑌𝑋 < 𝑌) ∨ 𝑌 < 𝑋))
1311, 12sylibr 234 1 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 = 𝑌𝑋 < 𝑌𝑌 < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wo 847  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Posetcpo 18365  ltcplt 18366  Tosetctos 18474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-toset 18475
This theorem is referenced by:  archirngz  33179  archiabllem1b  33182  archiabllem2b  33186
  Copyright terms: Public domain W3C validator