Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tlt3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tlt3 32691
Description: In a Toset, two elements must compare strictly, or be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tlt3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tlt3.l < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
tlt3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))
Proof of Theorem tlt3
StepHypRef Expression
1 tlt3.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 tlt3.l . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
41, 2, 3tlt2 32690 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))
5 tospos 18405 . . . . 5 (𝐾 ∈ Toset β†’ 𝐾 ∈ Poset)
61, 2, 3pleval2 18322 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
7 orcom 869 . . . . . 6 ((𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ) ↔ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ))
86, 7bitrdi 287 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ)))
95, 8syl3an1 1161 . . . 4 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ)))
109orbi1d 915 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋) ↔ ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ) ∨ π‘Œ < 𝑋)))
114, 10mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ) ∨ π‘Œ < 𝑋))
12 df-3or 1086 . 2 ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋) ↔ ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ) ∨ π‘Œ < 𝑋))
1311, 12sylibr 233 1 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   ∨ w3o 1084   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  Basecbs 17173  lecple 17233  Posetcpo 18292  ltcplt 18293  Tosetctos 18401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-toset 18402
This theorem is referenced by:  archirngz  32891  archiabllem1b  32894  archiabllem2b  32898
  Copyright terms: Public domain W3C validator