Theorem tlt3 31248

Description: In a Toset, two elements must compare strictly, or be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
tlt3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tlt3.l	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tlt3	⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

Proof of Theorem tlt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tlt3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		tlt3.l	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4	1, 2, 3	tlt2 31247	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))
5		tospos 18138	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
6	1, 2, 3	pleval2 18055	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
7		orcom 867	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌) ↔ (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌))
8	6, 7	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌)))
9	5, 8	syl3an1 1162	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌)))
10	9	orbi1d 914	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋) ↔ ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌) ∨ 𝑌 < 𝑋)))
11	4, 10	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌) ∨ 𝑌 < 𝑋))
12		df-3or 1087	. 2 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋) ↔ ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌) ∨ 𝑌 < 𝑋))
13	11, 12	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 844   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  Posetcpo 18025  ltcplt 18026  Tosetctos 18134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-toset 18135

This theorem is referenced by:  archirngz  31443  archiabllem1b  31446  archiabllem2b  31450