Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tlt3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tlt3 32610
Description: In a Toset, two elements must compare strictly, or be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tlt3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tlt3.l < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
tlt3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))
Proof of Theorem tlt3
StepHypRef Expression
1 tlt3.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2724 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 tlt3.l . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
41, 2, 3tlt2 32609 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))
5 tospos 18377 . . . . 5 (𝐾 ∈ Toset β†’ 𝐾 ∈ Poset)
61, 2, 3pleval2 18294 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
7 orcom 867 . . . . . 6 ((𝑋 < π‘Œ ∨ 𝑋 = π‘Œ) ↔ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ))
86, 7bitrdi 287 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ)))
95, 8syl3an1 1160 . . . 4 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ)))
109orbi1d 913 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋) ↔ ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ) ∨ π‘Œ < 𝑋)))
114, 10mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ) ∨ π‘Œ < 𝑋))
12 df-3or 1085 . 2 ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋) ↔ ((𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ) ∨ π‘Œ < 𝑋))
1311, 12sylibr 233 1 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ ∨ 𝑋 < π‘Œ ∨ π‘Œ < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  Basecbs 17145  lecple 17205  Posetcpo 18264  ltcplt 18265  Tosetctos 18373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-toset 18374
This theorem is referenced by:  archirngz  32806  archiabllem1b  32809  archiabllem2b  32813
  Copyright terms: Public domain W3C validator