Theorem tlt3 33411

Description: In a Toset, two elements must compare strictly, or be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
tlt3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tlt3.l	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tlt3	⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

Proof of Theorem tlt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tlt3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		tlt3.l	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4	1, 2, 3	tlt2 33410	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))
5		tospos 18507	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
6	1, 2, 3	pleval2 18424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
7		orcom 884	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌) ↔ (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌))
8	6, 7	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌)))
9	5, 8	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌)))
10	9	orbi1d 930	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋) ↔ ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌) ∨ 𝑌 < 𝑋)))
11	4, 10	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌) ∨ 𝑌 < 𝑋))
12		df-3or 1104	. 2 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋) ↔ ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌) ∨ 𝑌 < 𝑋))
13	11, 12	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Basecbs 17302  lecple 17350  Posetcpo 18396  ltcplt 18397  Tosetctos 18503

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-proset 18383  df-poset 18402  df-plt 18417  df-toset 18504

This theorem is used by:  archirngz  33630  archiabllem1b  33633  archiabllem2b  33637