Theorem tlt3 33230

Description: In a Toset, two elements must compare strictly, or be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
tlt3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tlt3.l	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tlt3	⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

Proof of Theorem tlt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tlt3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		tlt3.l	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4	1, 2, 3	tlt2 33229	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))
5		tospos 18473	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
6	1, 2, 3	pleval2 18390	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌)))
7		orcom 883	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌) ↔ (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌))
8	6, 7	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌)))
9	5, 8	syl3an1 1179	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌)))
10	9	orbi1d 929	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋) ↔ ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌) ∨ 𝑌 < 𝑋)))
11	4, 10	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌) ∨ 𝑌 < 𝑋))
12		df-3or 1102	. 2 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋) ↔ ((𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌) ∨ 𝑌 < 𝑋))
13	11, 12	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  Basecbs 17268  lecple 17316  Posetcpo 18362  ltcplt 18363  Tosetctos 18469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-toset 18470

This theorem is referenced by:  archirngz  33449  archiabllem1b  33452  archiabllem2b  33456