Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchi3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isarchi3 32328
Description: This is the usual definition of the Archimedean property for an ordered group. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
isarchi3.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
isarchi3.i < = (ltβ€˜π‘Š)
isarchi3.x Β· = (.gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
isarchi3 (π‘Š ∈ oGrp β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐡   𝑛,π‘Š,π‘₯,𝑦   < ,𝑛   Β· ,𝑛   0 ,𝑛
Allowed substitution hints:   < (π‘₯,𝑦)   Β· (π‘₯,𝑦)   0 (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem isarchi3
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isogrp 32215 . . . . 5 (π‘Š ∈ oGrp ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Š ∈ oMnd))
21simprbi 497 . . . 4 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ oMnd)
3 omndtos 32218 . . . 4 (π‘Š ∈ oMnd β†’ π‘Š ∈ Toset)
42, 3syl 17 . . 3 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Toset)
5 grpmnd 18825 . . . . 5 (π‘Š ∈ Grp β†’ π‘Š ∈ Mnd)
65adantr 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Š ∈ oMnd) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
71, 6sylbi 216 . . 3 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Mnd)
8 isarchi3.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 isarchi3.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
10 isarchi3.x . . . 4 Β· = (.gβ€˜π‘Š)
11 eqid 2732 . . . 4 (leβ€˜π‘Š) = (leβ€˜π‘Š)
12 isarchi3.i . . . 4 < = (ltβ€˜π‘Š)
138, 9, 10, 11, 12isarchi2 32326 . . 3 ((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯))))
144, 7, 13syl2anc 584 . 2 (π‘Š ∈ oGrp β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯))))
15 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1615adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1716peano2nnd 12228 . . . . . . . . 9 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
18 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
20 ogrpgrp 32216 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
218, 9grpidcl 18849 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ 0 ∈ 𝐡)
23 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2520ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Grp)
2615nnzd 12584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
278, 10mulgcl 18970 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
2825, 26, 23, 27syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
30 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ 0 < π‘₯)
31 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
328, 12, 31ogrpaddlt 32230 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) < (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
3319, 22, 24, 29, 30, 32syl131anc 1383 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) < (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
3419, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
358, 31, 9grplid 18851 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) = (𝑛 Β· π‘₯))
3634, 29, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) = (𝑛 Β· π‘₯))
37 nncn 12219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
38 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ β„‚
39 addcom 11399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑛 + 1) = (1 + 𝑛))
4037, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) = (1 + 𝑛))
4140oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘₯) = ((1 + 𝑛) Β· π‘₯))
4216, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘₯) = ((1 + 𝑛) Β· π‘₯))
43 grpsgrp 18845 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ Grp β†’ π‘Š ∈ Smgrp)
4419, 20, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ π‘Š ∈ Smgrp)
45 1nn 12222 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ 1 ∈ β„•)
478, 10, 31mulgnndir 18982 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Smgrp ∧ (1 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ ((1 + 𝑛) Β· π‘₯) = ((1 Β· π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
4844, 46, 16, 24, 47syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ ((1 + 𝑛) Β· π‘₯) = ((1 Β· π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
498, 10mulg1 18960 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
5024, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
5150oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ ((1 Β· π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
5242, 48, 513eqtrrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) = ((𝑛 + 1) Β· π‘₯))
5333, 36, 523brtr3d 5179 . . . . . . . . . 10 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯))
54 tospos 18372 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Toset β†’ π‘Š ∈ Poset)
5518, 4, 543syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Poset)
56 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
5726peano2zd 12668 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„€)
588, 10mulgcl 18970 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
5925, 57, 23, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
608, 11, 12plelttr 18296 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Poset ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑛 + 1) Β· π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯) ∧ (𝑛 Β· π‘₯) < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)) β†’ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)))
6155, 56, 28, 59, 60syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯) ∧ (𝑛 Β· π‘₯) < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)) β†’ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)))
6261impl 456 . . . . . . . . . 10 (((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) ∧ (𝑛 Β· π‘₯) < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)) β†’ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯))
6353, 62mpdan 685 . . . . . . . . 9 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯))
64 oveq1 7415 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š Β· π‘₯) = ((𝑛 + 1) Β· π‘₯))
6564breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (𝑦 < (π‘š Β· π‘₯) ↔ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)))
6665rspcev 3612 . . . . . . . . 9 (((𝑛 + 1) ∈ β„• ∧ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 < (π‘š Β· π‘₯))
6717, 63, 66syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 < (π‘š Β· π‘₯))
6867r19.29an 3158 . . . . . . 7 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 < (π‘š Β· π‘₯))
69 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š Β· π‘₯) = (𝑛 Β· π‘₯))
7069breq2d 5160 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑦 < (π‘š Β· π‘₯) ↔ 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯)))
7170cbvrexvw 3235 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 < (π‘š Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))
7268, 71sylib 217 . . . . . 6 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))
7311, 12pltle 18285 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯) β†’ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
7418, 56, 28, 73syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯) β†’ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
7574reximdva 3168 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
7675imp 407 . . . . . 6 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯))
7772, 76impbida 799 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯)))
7877pm5.74da 802 . . . 4 (((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) ↔ ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))))
7978ralbidva 3175 . . 3 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))))
8079ralbidva 3175 . 2 (π‘Š ∈ oGrp β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))))
8114, 80bitrd 278 1 (π‘Š ∈ oGrp β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  1c1 11110   + caddc 11112  β„•cn 12211  β„€cz 12557  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  lecple 17203  0gc0g 17384  Posetcpo 18259  ltcplt 18260  Tosetctos 18368  Smgrpcsgrp 18608  Mndcmnd 18624  Grpcgrp 18818  .gcmg 18949  oMndcomnd 32210  oGrpcogrp 32211  Archicarchi 32318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-0g 17386  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-toset 18369  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mulg 18950  df-omnd 32212  df-ogrp 32213  df-inftm 32319  df-archi 32320
This theorem is referenced by:  archiexdiv  32331  isarchiofld  32430
  Copyright terms: Public domain W3C validator