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Theorem isarchi3 30915
 Description: This is the usual definition of the Archimedean property for an ordered group. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi3.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchi3.0 0 = (0g𝑊)
isarchi3.i < = (lt‘𝑊)
isarchi3.x · = (.g𝑊)
Assertion
Ref Expression
isarchi3 (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦   < ,𝑛   · ,𝑛   0 ,𝑛
Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦)   · (𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isarchi3
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isogrp 30802 . . . . 5 (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
21simprbi 500 . . . 4 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
3 omndtos 30805 . . . 4 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Toset)
5 grpmnd 18122 . . . . 5 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
65adantr 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd) → 𝑊 ∈ Mnd)
71, 6sylbi 220 . . 3 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Mnd)
8 isarchi3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
9 isarchi3.0 . . . 4 0 = (0g𝑊)
10 isarchi3.x . . . 4 · = (.g𝑊)
11 eqid 2798 . . . 4 (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
12 isarchi3.i . . . 4 < = (lt‘𝑊)
138, 9, 10, 11, 12isarchi2 30913 . . 3 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥))))
144, 7, 13syl2anc 587 . 2 (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥))))
15 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1615adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
1716peano2nnd 11660 . . . . . . . . 9 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
18 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ oGrp)
1918adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 𝑊 ∈ oGrp)
20 ogrpgrp 30803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
218, 9grpidcl 18144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Grp → 0𝐵)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 0𝐵)
23 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝐵)
2423adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 𝑥𝐵)
2520ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Grp)
2615nnzd 12094 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
278, 10mulgcl 18258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝐵) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
2825, 26, 23, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
2928adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
30 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 0 < 𝑥)
31 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑊) = (+g𝑊)
328, 12, 31ogrpaddlt 30817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ( 0𝐵𝑥𝐵 ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑥) → ( 0 (+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)) < (𝑥(+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
3319, 22, 24, 29, 30, 32syl131anc 1380 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ( 0 (+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)) < (𝑥(+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
3419, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 𝑊 ∈ Grp)
358, 31, 9grplid 18146 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)) = (𝑛 · 𝑥))
3634, 29, 35syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ( 0 (+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)) = (𝑛 · 𝑥))
37 nncn 11651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
38 ax-1cn 10602 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
39 addcom 10833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 + 1) = (1 + 𝑛))
4037, 38, 39sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) = (1 + 𝑛))
4140oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 + 1) · 𝑥) = ((1 + 𝑛) · 𝑥))
4216, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ((𝑛 + 1) · 𝑥) = ((1 + 𝑛) · 𝑥))
43 grpsgrp 18140 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Smgrp)
4419, 20, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 𝑊 ∈ Smgrp)
45 1nn 11654 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 1 ∈ ℕ)
478, 10, 31mulgnndir 18269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Smgrp ∧ (1 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐵)) → ((1 + 𝑛) · 𝑥) = ((1 · 𝑥)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
4844, 46, 16, 24, 47syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ((1 + 𝑛) · 𝑥) = ((1 · 𝑥)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
498, 10mulg1 18248 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵 → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5024, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5150oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ((1 · 𝑥)(+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)) = (𝑥(+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
5242, 48, 513eqtrrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → (𝑥(+g𝑊)(𝑛 · 𝑥)) = ((𝑛 + 1) · 𝑥))
5333, 36, 523brtr3d 5065 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → (𝑛 · 𝑥) < ((𝑛 + 1) · 𝑥))
54 tospos 30715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Toset → 𝑊 ∈ Poset)
5518, 4, 543syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Poset)
56 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦𝐵)
5726peano2zd 12098 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
588, 10mulgcl 18258 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑥) ∈ 𝐵)
5925, 57, 23, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) · 𝑥) ∈ 𝐵)
608, 11, 12plelttr 17594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Poset ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑛 + 1) · 𝑥) ∈ 𝐵)) → ((𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥) ∧ (𝑛 · 𝑥) < ((𝑛 + 1) · 𝑥)) → 𝑦 < ((𝑛 + 1) · 𝑥)))
6155, 56, 28, 59, 60syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥) ∧ (𝑛 · 𝑥) < ((𝑛 + 1) · 𝑥)) → 𝑦 < ((𝑛 + 1) · 𝑥)))
6261impl 459 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) ∧ (𝑛 · 𝑥) < ((𝑛 + 1) · 𝑥)) → 𝑦 < ((𝑛 + 1) · 𝑥))
6353, 62mpdan 686 . . . . . . . . 9 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → 𝑦 < ((𝑛 + 1) · 𝑥))
64 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑥) = ((𝑛 + 1) · 𝑥))
6564breq2d 5046 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑦 < (𝑚 · 𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝑛 + 1) · 𝑥)))
6665rspcev 3572 . . . . . . . . 9 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < ((𝑛 + 1) · 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑚 · 𝑥))
6717, 63, 66syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑚 · 𝑥))
6867r19.29an 3248 . . . . . . 7 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑚 · 𝑥))
69 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑥))
7069breq2d 5046 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑦 < (𝑚 · 𝑥) ↔ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)))
7170cbvrexvw 3398 . . . . . . 7 (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑚 · 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))
7268, 71sylib 221 . . . . . 6 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))
7311, 12pltle 17583 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑦𝐵 ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 < (𝑛 · 𝑥) → 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
7418, 56, 28, 73syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑛 · 𝑥) → 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
7574reximdva 3234 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)))
7675imp 410 . . . . . 6 (((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥))
7772, 76impbida 800 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑥) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥)))
7877pm5.74da 803 . . . 4 (((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))))
7978ralbidva 3161 . . 3 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))))
8079ralbidva 3161 . 2 (𝑊 ∈ oGrp → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦(le‘𝑊)(𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))))
8114, 80bitrd 282 1 (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < (𝑛 · 𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   class class class wbr 5034  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  1c1 10545   + caddc 10547  ℕcn 11643  ℤcz 11989  Basecbs 16495  +gcplusg 16577  lecple 16584  0gc0g 16725  Posetcpo 17562  ltcplt 17563  Tosetctos 17655  Smgrpcsgrp 17912  Mndcmnd 17923  Grpcgrp 18115  .gcmg 18237  oMndcomnd 30797  oGrpcogrp 30798  Archicarchi 30905 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-seq 13385  df-0g 16727  df-proset 17550  df-poset 17568  df-plt 17580  df-toset 17656  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-mulg 18238  df-omnd 30799  df-ogrp 30800  df-inftm 30906  df-archi 30907 This theorem is referenced by:  archiexdiv  30918  isarchiofld  30990
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