Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchi3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isarchi3 32839
Description: This is the usual definition of the Archimedean property for an ordered group. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
isarchi3.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
isarchi3.i < = (ltβ€˜π‘Š)
isarchi3.x Β· = (.gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
isarchi3 (π‘Š ∈ oGrp β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐡   𝑛,π‘Š,π‘₯,𝑦   < ,𝑛   Β· ,𝑛   0 ,𝑛
Allowed substitution hints:   < (π‘₯,𝑦)   Β· (π‘₯,𝑦)   0 (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem isarchi3
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isogrp 32726 . . . . 5 (π‘Š ∈ oGrp ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Š ∈ oMnd))
21simprbi 496 . . . 4 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ oMnd)
3 omndtos 32729 . . . 4 (π‘Š ∈ oMnd β†’ π‘Š ∈ Toset)
42, 3syl 17 . . 3 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Toset)
5 grpmnd 18870 . . . . 5 (π‘Š ∈ Grp β†’ π‘Š ∈ Mnd)
65adantr 480 . . . 4 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Š ∈ oMnd) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
71, 6sylbi 216 . . 3 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Mnd)
8 isarchi3.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 isarchi3.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
10 isarchi3.x . . . 4 Β· = (.gβ€˜π‘Š)
11 eqid 2726 . . . 4 (leβ€˜π‘Š) = (leβ€˜π‘Š)
12 isarchi3.i . . . 4 < = (ltβ€˜π‘Š)
138, 9, 10, 11, 12isarchi2 32837 . . 3 ((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯))))
144, 7, 13syl2anc 583 . 2 (π‘Š ∈ oGrp β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯))))
15 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1615adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1716peano2nnd 12233 . . . . . . . . 9 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
18 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
20 ogrpgrp 32727 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
218, 9grpidcl 18895 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ 0 ∈ 𝐡)
23 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2520ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Grp)
2615nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
278, 10mulgcl 19018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
2825, 26, 23, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
30 simpllr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ 0 < π‘₯)
31 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
328, 12, 31ogrpaddlt 32741 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) < (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
3319, 22, 24, 29, 30, 32syl131anc 1380 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) < (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
3419, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
358, 31, 9grplid 18897 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) = (𝑛 Β· π‘₯))
3634, 29, 35syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) = (𝑛 Β· π‘₯))
37 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
38 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ β„‚
39 addcom 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑛 + 1) = (1 + 𝑛))
4037, 38, 39sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) = (1 + 𝑛))
4140oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘₯) = ((1 + 𝑛) Β· π‘₯))
4216, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘₯) = ((1 + 𝑛) Β· π‘₯))
43 grpsgrp 18890 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ Grp β†’ π‘Š ∈ Smgrp)
4419, 20, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ π‘Š ∈ Smgrp)
45 1nn 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ 1 ∈ β„•)
478, 10, 31mulgnndir 19030 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Smgrp ∧ (1 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ ((1 + 𝑛) Β· π‘₯) = ((1 Β· π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
4844, 46, 16, 24, 47syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ ((1 + 𝑛) Β· π‘₯) = ((1 Β· π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
498, 10mulg1 19008 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
5024, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
5150oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ ((1 Β· π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
5242, 48, 513eqtrrd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) = ((𝑛 + 1) Β· π‘₯))
5333, 36, 523brtr3d 5172 . . . . . . . . . 10 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯))
54 tospos 18385 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Toset β†’ π‘Š ∈ Poset)
5518, 4, 543syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Poset)
56 simpllr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
5726peano2zd 12673 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„€)
588, 10mulgcl 19018 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
5925, 57, 23, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
608, 11, 12plelttr 18309 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Poset ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑛 + 1) Β· π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯) ∧ (𝑛 Β· π‘₯) < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)) β†’ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)))
6155, 56, 28, 59, 60syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯) ∧ (𝑛 Β· π‘₯) < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)) β†’ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)))
6261impl 455 . . . . . . . . . 10 (((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) ∧ (𝑛 Β· π‘₯) < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)) β†’ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯))
6353, 62mpdan 684 . . . . . . . . 9 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯))
64 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š Β· π‘₯) = ((𝑛 + 1) Β· π‘₯))
6564breq2d 5153 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (𝑦 < (π‘š Β· π‘₯) ↔ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)))
6665rspcev 3606 . . . . . . . . 9 (((𝑛 + 1) ∈ β„• ∧ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 < (π‘š Β· π‘₯))
6717, 63, 66syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 < (π‘š Β· π‘₯))
6867r19.29an 3152 . . . . . . 7 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 < (π‘š Β· π‘₯))
69 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š Β· π‘₯) = (𝑛 Β· π‘₯))
7069breq2d 5153 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑦 < (π‘š Β· π‘₯) ↔ 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯)))
7170cbvrexvw 3229 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 < (π‘š Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))
7268, 71sylib 217 . . . . . 6 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))
7311, 12pltle 18298 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯) β†’ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
7418, 56, 28, 73syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯) β†’ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
7574reximdva 3162 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
7675imp 406 . . . . . 6 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯))
7772, 76impbida 798 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯)))
7877pm5.74da 801 . . . 4 (((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) ↔ ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))))
7978ralbidva 3169 . . 3 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))))
8079ralbidva 3169 . 2 (π‘Š ∈ oGrp β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))))
8114, 80bitrd 279 1 (π‘Š ∈ oGrp β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115  β„•cn 12216  β„€cz 12562  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  lecple 17213  0gc0g 17394  Posetcpo 18272  ltcplt 18273  Tosetctos 18381  Smgrpcsgrp 18651  Mndcmnd 18667  Grpcgrp 18863  .gcmg 18995  oMndcomnd 32721  oGrpcogrp 32722  Archicarchi 32829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-toset 18382  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-omnd 32723  df-ogrp 32724  df-inftm 32830  df-archi 32831
This theorem is referenced by:  archiexdiv  32842  isarchiofld  32938
  Copyright terms: Public domain W3C validator