Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchi3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isarchi3 32912
Description: This is the usual definition of the Archimedean property for an ordered group. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
isarchi3.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
isarchi3.i < = (ltβ€˜π‘Š)
isarchi3.x Β· = (.gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
isarchi3 (π‘Š ∈ oGrp β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐡   𝑛,π‘Š,π‘₯,𝑦   < ,𝑛   Β· ,𝑛   0 ,𝑛
Allowed substitution hints:   < (π‘₯,𝑦)   Β· (π‘₯,𝑦)   0 (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem isarchi3
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isogrp 32799 . . . . 5 (π‘Š ∈ oGrp ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Š ∈ oMnd))
21simprbi 495 . . . 4 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ oMnd)
3 omndtos 32802 . . . 4 (π‘Š ∈ oMnd β†’ π‘Š ∈ Toset)
42, 3syl 17 . . 3 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Toset)
5 grpmnd 18899 . . . . 5 (π‘Š ∈ Grp β†’ π‘Š ∈ Mnd)
65adantr 479 . . . 4 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Š ∈ oMnd) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
71, 6sylbi 216 . . 3 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Mnd)
8 isarchi3.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 isarchi3.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
10 isarchi3.x . . . 4 Β· = (.gβ€˜π‘Š)
11 eqid 2725 . . . 4 (leβ€˜π‘Š) = (leβ€˜π‘Š)
12 isarchi3.i . . . 4 < = (ltβ€˜π‘Š)
138, 9, 10, 11, 12isarchi2 32910 . . 3 ((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯))))
144, 7, 13syl2anc 582 . 2 (π‘Š ∈ oGrp β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯))))
15 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1615adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1716peano2nnd 12257 . . . . . . . . 9 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
18 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
1918adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
20 ogrpgrp 32800 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
218, 9grpidcl 18924 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ 0 ∈ 𝐡)
23 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2423adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
2520ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Grp)
2615nnzd 12613 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
278, 10mulgcl 19048 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
2825, 26, 23, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
2928adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
30 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ 0 < π‘₯)
31 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
328, 12, 31ogrpaddlt 32814 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) < (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
3319, 22, 24, 29, 30, 32syl131anc 1380 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) < (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
3419, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
358, 31, 9grplid 18926 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) = (𝑛 Β· π‘₯))
3634, 29, 35syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) = (𝑛 Β· π‘₯))
37 nncn 12248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
38 ax-1cn 11194 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ β„‚
39 addcom 11428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑛 + 1) = (1 + 𝑛))
4037, 38, 39sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) = (1 + 𝑛))
4140oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘₯) = ((1 + 𝑛) Β· π‘₯))
4216, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘₯) = ((1 + 𝑛) Β· π‘₯))
43 grpsgrp 18919 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ Grp β†’ π‘Š ∈ Smgrp)
4419, 20, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ π‘Š ∈ Smgrp)
45 1nn 12251 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ 1 ∈ β„•)
478, 10, 31mulgnndir 19060 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Smgrp ∧ (1 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ ((1 + 𝑛) Β· π‘₯) = ((1 Β· π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
4844, 46, 16, 24, 47syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ ((1 + 𝑛) Β· π‘₯) = ((1 Β· π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
498, 10mulg1 19038 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
5024, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
5150oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ ((1 Β· π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) = (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
5242, 48, 513eqtrrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) = ((𝑛 + 1) Β· π‘₯))
5333, 36, 523brtr3d 5172 . . . . . . . . . 10 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯))
54 tospos 18409 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Toset β†’ π‘Š ∈ Poset)
5518, 4, 543syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Poset)
56 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
5726peano2zd 12697 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„€)
588, 10mulgcl 19048 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
5925, 57, 23, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
608, 11, 12plelttr 18333 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Poset ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑛 + 1) Β· π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯) ∧ (𝑛 Β· π‘₯) < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)) β†’ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)))
6155, 56, 28, 59, 60syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯) ∧ (𝑛 Β· π‘₯) < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)) β†’ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)))
6261impl 454 . . . . . . . . . 10 (((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) ∧ (𝑛 Β· π‘₯) < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)) β†’ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯))
6353, 62mpdan 685 . . . . . . . . 9 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯))
64 oveq1 7421 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š Β· π‘₯) = ((𝑛 + 1) Β· π‘₯))
6564breq2d 5153 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (𝑦 < (π‘š Β· π‘₯) ↔ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)))
6665rspcev 3601 . . . . . . . . 9 (((𝑛 + 1) ∈ β„• ∧ 𝑦 < ((𝑛 + 1) Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 < (π‘š Β· π‘₯))
6717, 63, 66syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 < (π‘š Β· π‘₯))
6867r19.29an 3148 . . . . . . 7 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 < (π‘š Β· π‘₯))
69 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š Β· π‘₯) = (𝑛 Β· π‘₯))
7069breq2d 5153 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑦 < (π‘š Β· π‘₯) ↔ 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯)))
7170cbvrexvw 3226 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 < (π‘š Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))
7268, 71sylib 217 . . . . . 6 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))
7311, 12pltle 18322 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯) β†’ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
7418, 56, 28, 73syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯) β†’ 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
7574reximdva 3158 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)))
7675imp 405 . . . . . 6 (((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯))
7772, 76impbida 799 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯)))
7877pm5.74da 802 . . . 4 (((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) ↔ ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))))
7978ralbidva 3166 . . 3 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))))
8079ralbidva 3166 . 2 (π‘Š ∈ oGrp β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦(leβ€˜π‘Š)(𝑛 Β· π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))))
8114, 80bitrd 278 1 (π‘Š ∈ oGrp β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 < (𝑛 Β· π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  β„‚cc 11134  1c1 11137   + caddc 11139  β„•cn 12240  β„€cz 12586  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  lecple 17237  0gc0g 17418  Posetcpo 18296  ltcplt 18297  Tosetctos 18405  Smgrpcsgrp 18675  Mndcmnd 18691  Grpcgrp 18892  .gcmg 19025  oMndcomnd 32794  oGrpcogrp 32795  Archicarchi 32902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-seq 13997  df-0g 17420  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-toset 18406  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-mulg 19026  df-omnd 32796  df-ogrp 32797  df-inftm 32903  df-archi 32904
This theorem is referenced by:  archiexdiv  32915  isarchiofld  33052
  Copyright terms: Public domain W3C validator