Theorem xrsclat 33104

Description: The extended real numbers form a complete lattice. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrsclat	⊢ ℝ*𝑠 ∈ CLat

Proof of Theorem xrsclat

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrstos 33103	. . 3 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Toset
2		tospos 18353	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset → ℝ*𝑠 ∈ Poset)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Poset
4		xrsbas 17539	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
5		xrsle 17537	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘ℝ*𝑠)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (lub‘ℝ*𝑠) = (lub‘ℝ*𝑠)
7		biid 261	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
8	4, 5, 6, 7, 2	lubdm 18284	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset → dom (lub‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))})
9	1, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom (lub‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))}
10		rabid2 3434	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ*∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
11		velpw 4561	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ↔ 𝑥 ⊆ ℝ*)
12		xrltso 13067	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ*
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
14		xrsupss 13236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑)))
15	13, 14	supeu 9369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑)))
16		xrslt 33100	. . . . . . . . 9 ⊢ < = (lt‘ℝ*𝑠)
17	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ℝ*𝑠 ∈ Toset)
18		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → 𝑥 ⊆ ℝ*)
19	4, 16, 17, 18, 5	toslublem 33065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑))))
20	19	reubidva 3366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → (∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑))))
21	15, 20	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
22	11, 21	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
23	10, 22	mprgbir 3059	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))}
24	9, 23	eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*
25		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (glb‘ℝ*𝑠) = (glb‘ℝ*𝑠)
26		biid 261	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
27	4, 5, 25, 26, 2	glbdm 18297	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset → dom (glb‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))})
28	1, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom (glb‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))}
29		rabid2 3434	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ*∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
30		cnvso 6254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( < Or ℝ* ↔ ◡ < Or ℝ*)
31	12, 30	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡ < Or ℝ*
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ◡ < Or ℝ*)
33		xrinfmss2 13238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑)))
34	32, 33	supeu 9369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑)))
35	4, 16, 17, 18, 5	tosglblem 33067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑))))
36	35	reubidva 3366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → (∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑))))
37	34, 36	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
38	11, 37	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
39	29, 38	mprgbir 3059	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))}
40	28, 39	eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*
41	24, 40	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ* ∧ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*)
42	4, 6, 25	isclat 18435	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ CLat ↔ (ℝ*𝑠 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ* ∧ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*)))
43	3, 41, 42	mpbir2an 712	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ CLat

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3350  {crab 3401   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100   Or wor 5539  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℝ^*_𝑠cxrs 17433  Posetcpo 18242  lubclub 18244  glbcglb 18245  Tosetctos 18349  CLatccla 18433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-xrs 17435  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-toset 18350  df-clat 18434

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