Theorem xrsclat 33189

Description: The extended real numbers form a complete lattice. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrsclat	⊢ ℝ*𝑠 ∈ CLat

Proof of Theorem xrsclat

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrstos 33188	. . 3 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Toset
2		tospos 18450	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset → ℝ*𝑠 ∈ Poset)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Poset
4		xrsbas 17636	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
5		xrsle 17634	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘ℝ*𝑠)
6		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (lub‘ℝ*𝑠) = (lub‘ℝ*𝑠)
7		biid 263	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
8	4, 5, 6, 7, 2	lubdm 18381	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset → dom (lub‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))})
9	1, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom (lub‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))}
10		rabid2 3447	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ*∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
11		velpw 4560	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ↔ 𝑥 ⊆ ℝ*)
12		xrltso 13143	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ*
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
14		xrsupss 13312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑)))
15	13, 14	supeu 9400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑)))
16		xrslt 33185	. . . . . . . . 9 ⊢ < = (lt‘ℝ*𝑠)
17	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ℝ*𝑠 ∈ Toset)
18		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → 𝑥 ⊆ ℝ*)
19	4, 16, 17, 18, 5	toslublem 33150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑))))
20	19	reubidva 3381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → (∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑))))
21	15, 20	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
22	11, 21	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
23	10, 22	mprgbir 3083	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))}
24	9, 23	eqtr4i 2788	. . 3 ⊢ dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*
25		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (glb‘ℝ*𝑠) = (glb‘ℝ*𝑠)
26		biid 263	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
27	4, 5, 25, 26, 2	glbdm 18394	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset → dom (glb‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))})
28	1, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom (glb‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))}
29		rabid2 3447	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ*∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
30		cnvso 6275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( < Or ℝ* ↔ ◡ < Or ℝ*)
31	12, 30	mpbi 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡ < Or ℝ*
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ◡ < Or ℝ*)
33		xrinfmss2 13314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑)))
34	32, 33	supeu 9400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑)))
35	4, 16, 17, 18, 5	tosglblem 33152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑))))
36	35	reubidva 3381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → (∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑))))
37	34, 36	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
38	11, 37	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
39	29, 38	mprgbir 3083	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))}
40	28, 39	eqtr4i 2788	. . 3 ⊢ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*
41	24, 40	pm3.2i 474	. 2 ⊢ (dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ* ∧ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*)
42	4, 6, 25	isclat 18532	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ CLat ↔ (ℝ*𝑠 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ* ∧ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*)))
43	3, 41, 42	mpbir2an 721	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ CLat

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3365  {crab 3414   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4555   class class class wbr 5100   Or wor 5554  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647  ‘cfv 6521  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217  ℝ^*_𝑠cxrs 17530  Posetcpo 18339  lubclub 18341  glbcglb 18342  Tosetctos 18446  CLatccla 18530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-xrs 17532  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-lub 18376  df-glb 18377  df-toset 18447  df-clat 18531

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