Theorem xrsclat 31191

Description: The extended real numbers form a complete lattice. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrsclat	⊢ ℝ*𝑠 ∈ CLat

Proof of Theorem xrsclat

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrstos 31190	. . 3 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Toset
2		tospos 18053	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset → ℝ*𝑠 ∈ Poset)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Poset
4		xrsbas 20526	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
5		xrsle 20530	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘ℝ*𝑠)
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (lub‘ℝ*𝑠) = (lub‘ℝ*𝑠)
7		biid 260	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
8	4, 5, 6, 7, 2	lubdm 17984	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset → dom (lub‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))})
9	1, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom (lub‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))}
10		rabid2 3307	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ*∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
11		velpw 4535	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ↔ 𝑥 ⊆ ℝ*)
12		xrltso 12804	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ*
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
14		xrsupss 12972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑)))
15	13, 14	supeu 9143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑)))
16		xrslt 31187	. . . . . . . . 9 ⊢ < = (lt‘ℝ*𝑠)
17	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ℝ*𝑠 ∈ Toset)
18		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → 𝑥 ⊆ ℝ*)
19	4, 16, 17, 18, 5	toslublem 31152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑))))
20	19	reubidva 3314	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → (∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑))))
21	15, 20	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
22	11, 21	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
23	10, 22	mprgbir 3078	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))}
24	9, 23	eqtr4i 2769	. . 3 ⊢ dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*
25		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (glb‘ℝ*𝑠) = (glb‘ℝ*𝑠)
26		biid 260	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
27	4, 5, 25, 26, 2	glbdm 17997	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset → dom (glb‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))})
28	1, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom (glb‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))}
29		rabid2 3307	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ*∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
30		cnvso 6180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( < Or ℝ* ↔ ◡ < Or ℝ*)
31	12, 30	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡ < Or ℝ*
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ◡ < Or ℝ*)
33		xrinfmss2 12974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑)))
34	32, 33	supeu 9143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑)))
35	4, 16, 17, 18, 5	tosglblem 31154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑))))
36	35	reubidva 3314	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → (∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑))))
37	34, 36	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
38	11, 37	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
39	29, 38	mprgbir 3078	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))}
40	28, 39	eqtr4i 2769	. . 3 ⊢ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*
41	24, 40	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ* ∧ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*)
42	4, 6, 25	isclat 18133	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ CLat ↔ (ℝ*𝑠 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ* ∧ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*)))
43	3, 41, 42	mpbir2an 707	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ CLat

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3065  {crab 3067   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5070   Or wor 5493  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℝ^*_𝑠cxrs 17128  Posetcpo 17940  lubclub 17942  glbcglb 17943  Tosetctos 18049  CLatccla 18131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-xrs 17130  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-toset 18050  df-clat 18132

This theorem is referenced by: (None)