Theorem xrsclat 33671

Description: The extended real numbers form a complete lattice. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrsclat	⊢ ℝ*𝑠 ∈ CLat

Proof of Theorem xrsclat

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrstos 33670	. . 3 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Toset
2		tospos 18642	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset → ℝ*𝑠 ∈ Poset)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Poset
4		xrsbas 17828	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
5		xrsle 17826	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘ℝ*𝑠)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (lub‘ℝ*𝑠) = (lub‘ℝ*𝑠)
7		biid 264	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
8	4, 5, 6, 7, 2	lubdm 18573	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset → dom (lub‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))})
9	1, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom (lub‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))}
10		rabid2 3448	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ*∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
11		velpw 4565	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ↔ 𝑥 ⊆ ℝ*)
12		xrltso 13310	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ*
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
14		xrsupss 13479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑)))
15	13, 14	supeu 9483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑)))
16		xrslt 33667	. . . . . . . . 9 ⊢ < = (lt‘ℝ*𝑠)
17	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ℝ*𝑠 ∈ Toset)
18		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → 𝑥 ⊆ ℝ*)
19	4, 16, 17, 18, 5	toslublem 33629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑))))
20	19	reubidva 3383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → (∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑))))
21	15, 20	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
22	11, 21	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
23	10, 22	mprgbir 3087	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))}
24	9, 23	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*
25		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (glb‘ℝ*𝑠) = (glb‘ℝ*𝑠)
26		biid 264	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
27	4, 5, 25, 26, 2	glbdm 18586	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset → dom (glb‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))})
28	1, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom (glb‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))}
29		rabid2 3448	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ*∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
30		cnvso 6315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( < Or ℝ* ↔ ◡ < Or ℝ*)
31	12, 30	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡ < Or ℝ*
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ◡ < Or ℝ*)
33		xrinfmss2 13481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑)))
34	32, 33	supeu 9483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑)))
35	4, 16, 17, 18, 5	tosglblem 33631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑))))
36	35	reubidva 3383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → (∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑))))
37	34, 36	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
38	11, 37	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
39	29, 38	mprgbir 3087	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))}
40	28, 39	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*
41	24, 40	pm3.2i 476	. 2 ⊢ (dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ* ∧ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*)
42	4, 6, 25	isclat 18724	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ CLat ↔ (ℝ*𝑠 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ* ∧ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*)))
43	3, 41, 42	mpbir2an 724	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ CLat

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ∃!wreu 3367  {crab 3416   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5108   Or wor 5565  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℝ^*_𝑠cxrs 17722  Posetcpo 18531  lubclub 18533  glbcglb 18534  Tosetctos 18638  CLatccla 18722

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-xrs 17724  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-toset 18639  df-clat 18723

This theorem is used by: (None)