Theorem xrsclat 33003

Description: The extended real numbers form a complete lattice. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrsclat	⊢ ℝ*𝑠 ∈ CLat

Proof of Theorem xrsclat

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrstos 33002	. . 3 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Toset
2		tospos 18430	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset → ℝ*𝑠 ∈ Poset)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ Poset
4		xrsbas 21346	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
5		xrsle 21350	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘ℝ*𝑠)
6		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (lub‘ℝ*𝑠) = (lub‘ℝ*𝑠)
7		biid 261	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
8	4, 5, 6, 7, 2	lubdm 18361	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset → dom (lub‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))})
9	1, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom (lub‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))}
10		rabid2 3449	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ*∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
11		velpw 4580	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ↔ 𝑥 ⊆ ℝ*)
12		xrltso 13157	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ*
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
14		xrsupss 13325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑)))
15	13, 14	supeu 9466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑)))
16		xrslt 32999	. . . . . . . . 9 ⊢ < = (lt‘ℝ*𝑠)
17	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ℝ*𝑠 ∈ Toset)
18		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → 𝑥 ⊆ ℝ*)
19	4, 16, 17, 18, 5	toslublem 32952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑))))
20	19	reubidva 3375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → (∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏 < 𝑑))))
21	15, 20	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
22	11, 21	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)))
23	10, 22	mprgbir 3058	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐))}
24	9, 23	eqtr4i 2761	. . 3 ⊢ dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*
25		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (glb‘ℝ*𝑠) = (glb‘ℝ*𝑠)
26		biid 261	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
27	4, 5, 25, 26, 2	glbdm 18374	. . . . 5 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ Toset → dom (glb‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))})
28	1, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom (glb‘ℝ*𝑠) = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))}
29		rabid2 3449	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ*∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
30		cnvso 6277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( < Or ℝ* ↔ ◡ < Or ℝ*)
31	12, 30	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡ < Or ℝ*
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ◡ < Or ℝ*)
33		xrinfmss2 13327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑)))
34	32, 33	supeu 9466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑)))
35	4, 16, 17, 18, 5	tosglblem 32954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ* ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → ((∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑))))
36	35	reubidva 3375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → (∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)) ↔ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 ¬ 𝑎◡ < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝑏◡ < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝑥 𝑏◡ < 𝑑))))
37	34, 36	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
38	11, 37	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* → ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎)))
39	29, 38	mprgbir 3058	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ* = {𝑥 ∈ 𝒫 ℝ* ∣ ∃!𝑎 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ* (∀𝑏 ∈ 𝑥 𝑐 ≤ 𝑏 → 𝑐 ≤ 𝑎))}
40	28, 39	eqtr4i 2761	. . 3 ⊢ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*
41	24, 40	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ* ∧ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*)
42	4, 6, 25	isclat 18510	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ∈ CLat ↔ (ℝ*𝑠 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ* ∧ dom (glb‘ℝ*𝑠) = 𝒫 ℝ*)))
43	3, 41, 42	mpbir2an 711	1 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ CLat

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3357  {crab 3415   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575   class class class wbr 5119   Or wor 5560  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  ‘cfv 6531  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  ℝ^*_𝑠cxrs 17514  Posetcpo 18319  lubclub 18321  glbcglb 18322  Tosetctos 18426  CLatccla 18508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-xrs 17516  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-toset 18427  df-clat 18509

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