Theorem resstos 18518

Description: The restriction of a Toset is a Toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
resstos	⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Toset)

Proof of Theorem resstos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tospos 18506	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)
2		resspos 18517	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Poset)
3	1, 2	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Poset)
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s 𝐴)
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6	4, 5	ressbas 17328	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐹)) = (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)))
7		inss2 4183	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝐹)) ⊆ (Base‘𝐹)
8	6, 7	eqsstrrdi 3976	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹))
9	8	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹))
10		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐹) = (le‘𝐹)
11	5, 10	istos 18504	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Toset ↔ (𝐹 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
12	11	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥))
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥))
14		ssralv 4000	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
15		ssralv 4000	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
16	15	ralimdv 3176	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
17	14, 16	syld 48	. . . 4 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
18	9, 13, 17	sylc 66	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥))
19	4, 10	ressle 17465	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (le‘𝐹) = (le‘(𝐹 ↾s 𝐴)))
20	19	breqd 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥(le‘𝐹)𝑦 ↔ 𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦))
21	19	breqd 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦(le‘𝐹)𝑥 ↔ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥))
22	20, 21	orbi12d 932	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ (𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
23	22	2ralbidv 3226	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
24	23	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
25	18, 24	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥))
26		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))
27		eqid 2760	. . 3 ⊢ (le‘(𝐹 ↾s 𝐴)) = (le‘(𝐹 ↾s 𝐴))
28	26, 27	istos 18504	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Toset ↔ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
29	3, 25, 28	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Toset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301   ↾_s cress 17322  lecple 17349  Posetcpo 18395  Tosetctos 18502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-ple 17362  df-poset 18401  df-toset 18503

This theorem is used by:  submomnd  20259  submarchi  33626