Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resstos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resstos 30169
Description: The restriction of a Toset is a Toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
resstos ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) ∈ Toset)

Proof of Theorem resstos
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tospos 30167 . . 3 (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)
2 resspos 30168 . . 3 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) ∈ Poset)
31, 2sylan 576 . 2 ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) ∈ Poset)
4 eqid 2798 . . . . . . 7 (𝐹s 𝐴) = (𝐹s 𝐴)
5 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
64, 5ressbas 16252 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐹)) = (Base‘(𝐹s 𝐴)))
7 inss2 4028 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (Base‘𝐹)) ⊆ (Base‘𝐹)
86, 7syl6eqssr 3851 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (Base‘(𝐹s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹))
98adantl 474 . . . 4 ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘(𝐹s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹))
10 eqid 2798 . . . . . . 7 (le‘𝐹) = (le‘𝐹)
115, 10istos 17347 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Toset ↔ (𝐹 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
1211simprbi 491 . . . . 5 (𝐹 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥))
1312adantr 473 . . . 4 ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥))
14 ssralv 3861 . . . . 5 ((Base‘(𝐹s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
15 ssralv 3861 . . . . . 6 ((Base‘(𝐹s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
1615ralimdv 3143 . . . . 5 ((Base‘(𝐹s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
1714, 16syld 47 . . . 4 ((Base‘(𝐹s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
189, 13, 17sylc 65 . . 3 ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥))
194, 10ressle 16371 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (le‘𝐹) = (le‘(𝐹s 𝐴)))
2019breqd 4853 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑥(le‘(𝐹s 𝐴))𝑦))
2119breqd 4853 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑦(le‘𝐹)𝑥𝑦(le‘(𝐹s 𝐴))𝑥))
2220, 21orbi12d 943 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ((𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ (𝑥(le‘(𝐹s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐹s 𝐴))𝑥)))
23222ralbidv 3169 . . . 4 (𝐴𝑉 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐹s 𝐴))𝑥)))
2423adantl 474 . . 3 ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐹s 𝐴))𝑥)))
2518, 24mpbid 224 . 2 ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐹s 𝐴))𝑥))
26 eqid 2798 . . 3 (Base‘(𝐹s 𝐴)) = (Base‘(𝐹s 𝐴))
27 eqid 2798 . . 3 (le‘(𝐹s 𝐴)) = (le‘(𝐹s 𝐴))
2826, 27istos 17347 . 2 ((𝐹s 𝐴) ∈ Toset ↔ ((𝐹s 𝐴) ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐹s 𝐴))𝑥)))
293, 25, 28sylanbrc 579 1 ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874  wcel 2157  wral 3088  cin 3767  wss 3768   class class class wbr 4842  cfv 6100  (class class class)co 6877  Basecbs 16181  s cress 16182  lecple 16271  Posetcpo 17252  Tosetctos 17345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-er 7981  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-4 11375  df-5 11376  df-6 11377  df-7 11378  df-8 11379  df-9 11380  df-dec 11781  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-ple 16284  df-poset 17258  df-toset 17346
This theorem is referenced by:  submomnd  30219  submarchi  30249
  Copyright terms: Public domain W3C validator