Theorem resstos 32404

Description: The restriction of a Toset is a Toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
resstos	⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Toset)

Proof of Theorem resstos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tospos 18377	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)
2		resspos 32403	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Poset)
3	1, 2	sylan 578	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Poset)
4		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s 𝐴)
5		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6	4, 5	ressbas 17183	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐹)) = (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)))
7		inss2 4228	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝐹)) ⊆ (Base‘𝐹)
8	6, 7	eqsstrrdi 4036	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹))
9	8	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹))
10		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐹) = (le‘𝐹)
11	5, 10	istos 18375	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Toset ↔ (𝐹 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
12	11	simprbi 495	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥))
13	12	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥))
14		ssralv 4049	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
15		ssralv 4049	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
16	15	ralimdv 3167	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
17	14, 16	syld 47	. . . 4 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
18	9, 13, 17	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥))
19	4, 10	ressle 17329	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (le‘𝐹) = (le‘(𝐹 ↾s 𝐴)))
20	19	breqd 5158	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥(le‘𝐹)𝑦 ↔ 𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦))
21	19	breqd 5158	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦(le‘𝐹)𝑥 ↔ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥))
22	20, 21	orbi12d 915	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ (𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
23	22	2ralbidv 3216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
24	23	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
25	18, 24	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥))
26		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))
27		eqid 2730	. . 3 ⊢ (le‘(𝐹 ↾s 𝐴)) = (le‘(𝐹 ↾s 𝐴))
28	26, 27	istos 18375	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Toset ↔ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
29	3, 25, 28	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177  lecple 17208  Posetcpo 18264  Tosetctos 18373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-dec 12682  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-ple 17221  df-poset 18270  df-toset 18374

This theorem is referenced by:  submomnd  32498  submarchi  32602