Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resstos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resstos 30657
 Description: The restriction of a Toset is a Toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
resstos ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) ∈ Toset)

Proof of Theorem resstos
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tospos 30655 . . 3 (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)
2 resspos 30656 . . 3 ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) ∈ Poset)
31, 2sylan 583 . 2 ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) ∈ Poset)
4 eqid 2822 . . . . . . 7 (𝐹s 𝐴) = (𝐹s 𝐴)
5 eqid 2822 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
64, 5ressbas 16545 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐹)) = (Base‘(𝐹s 𝐴)))
7 inss2 4180 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (Base‘𝐹)) ⊆ (Base‘𝐹)
86, 7eqsstrrdi 3997 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (Base‘(𝐹s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹))
98adantl 485 . . . 4 ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → (Base‘(𝐹s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹))
10 eqid 2822 . . . . . . 7 (le‘𝐹) = (le‘𝐹)
115, 10istos 17636 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Toset ↔ (𝐹 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
1211simprbi 500 . . . . 5 (𝐹 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥))
1312adantr 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥))
14 ssralv 4008 . . . . 5 ((Base‘(𝐹s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
15 ssralv 4008 . . . . . 6 ((Base‘(𝐹s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
1615ralimdv 3170 . . . . 5 ((Base‘(𝐹s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
1714, 16syld 47 . . . 4 ((Base‘(𝐹s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
189, 13, 17sylc 65 . . 3 ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥))
194, 10ressle 16663 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (le‘𝐹) = (le‘(𝐹s 𝐴)))
2019breqd 5053 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑥(le‘(𝐹s 𝐴))𝑦))
2119breqd 5053 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑦(le‘𝐹)𝑥𝑦(le‘(𝐹s 𝐴))𝑥))
2220, 21orbi12d 916 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ((𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ (𝑥(le‘(𝐹s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐹s 𝐴))𝑥)))
23222ralbidv 3189 . . . 4 (𝐴𝑉 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐹s 𝐴))𝑥)))
2423adantl 485 . . 3 ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐹s 𝐴))𝑥)))
2518, 24mpbid 235 . 2 ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐹s 𝐴))𝑥))
26 eqid 2822 . . 3 (Base‘(𝐹s 𝐴)) = (Base‘(𝐹s 𝐴))
27 eqid 2822 . . 3 (le‘(𝐹s 𝐴)) = (le‘(𝐹s 𝐴))
2826, 27istos 17636 . 2 ((𝐹s 𝐴) ∈ Toset ↔ ((𝐹s 𝐴) ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐹s 𝐴))𝑥)))
293, 25, 28sylanbrc 586 1 ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) ∈ Toset)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474   ↾s cress 16475  lecple 16563  Posetcpo 17541  Tosetctos 17634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-dec 12087  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-ple 16576  df-poset 17547  df-toset 17635 This theorem is referenced by:  submomnd  30742  submarchi  30846
 Copyright terms: Public domain W3C validator