Theorem resstos 32137

Description: The restriction of a Toset is a Toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
resstos	⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Toset)

Proof of Theorem resstos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tospos 18373	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)
2		resspos 32136	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Poset)
3	1, 2	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Poset)
4		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s 𝐴)
5		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6	4, 5	ressbas 17179	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐹)) = (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)))
7		inss2 4230	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝐹)) ⊆ (Base‘𝐹)
8	6, 7	eqsstrrdi 4038	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹))
9	8	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹))
10		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐹) = (le‘𝐹)
11	5, 10	istos 18371	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Toset ↔ (𝐹 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
12	11	simprbi 498	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥))
13	12	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥))
14		ssralv 4051	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
15		ssralv 4051	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
16	15	ralimdv 3170	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
17	14, 16	syld 47	. . . 4 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
18	9, 13, 17	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥))
19	4, 10	ressle 17325	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (le‘𝐹) = (le‘(𝐹 ↾s 𝐴)))
20	19	breqd 5160	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥(le‘𝐹)𝑦 ↔ 𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦))
21	19	breqd 5160	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦(le‘𝐹)𝑥 ↔ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥))
22	20, 21	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ (𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
23	22	2ralbidv 3219	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
24	23	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
25	18, 24	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥))
26		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))
27		eqid 2733	. . 3 ⊢ (le‘(𝐹 ↾s 𝐴)) = (le‘(𝐹 ↾s 𝐴))
28	26, 27	istos 18371	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Toset ↔ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
29	3, 25, 28	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144   ↾_s cress 17173  lecple 17204  Posetcpo 18260  Tosetctos 18369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-dec 12678  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-ple 17217  df-poset 18266  df-toset 18370

This theorem is referenced by:  submomnd  32228  submarchi  32332