Theorem resstos 18387

Description: The restriction of a Toset is a Toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
resstos	⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Toset)

Proof of Theorem resstos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tospos 18375	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)
2		resspos 18386	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Poset)
3	1, 2	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Poset)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s 𝐴)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6	4, 5	ressbas 17197	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐹)) = (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)))
7		inss2 4179	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝐹)) ⊆ (Base‘𝐹)
8	6, 7	eqsstrrdi 3968	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹))
10		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐹) = (le‘𝐹)
11	5, 10	istos 18373	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Toset ↔ (𝐹 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
12	11	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥))
14		ssralv 3991	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
15		ssralv 3991	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
16	15	ralimdv 3152	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
17	14, 16	syld 47	. . . 4 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
18	9, 13, 17	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥))
19	4, 10	ressle 17334	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (le‘𝐹) = (le‘(𝐹 ↾s 𝐴)))
20	19	breqd 5097	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥(le‘𝐹)𝑦 ↔ 𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦))
21	19	breqd 5097	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦(le‘𝐹)𝑥 ↔ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥))
22	20, 21	orbi12d 919	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ (𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
23	22	2ralbidv 3202	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
24	23	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
25	18, 24	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥))
26		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))
27		eqid 2737	. . 3 ⊢ (le‘(𝐹 ↾s 𝐴)) = (le‘(𝐹 ↾s 𝐴))
28	26, 27	istos 18373	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Toset ↔ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
29	3, 25, 28	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  lecple 17218  Posetcpo 18264  Tosetctos 18371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-dec 12636  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-ple 17231  df-poset 18270  df-toset 18372

This theorem is referenced by:  submomnd  20098  submarchi  33262