Theorem resstos 18336

Description: The restriction of a Toset is a Toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
resstos	⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Toset)

Proof of Theorem resstos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tospos 18324	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)
2		resspos 18335	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Poset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Poset)
3	1, 2	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Poset)
4		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s 𝐴)
5		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6	4, 5	ressbas 17147	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐹)) = (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)))
7		inss2 4188	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝐹)) ⊆ (Base‘𝐹)
8	6, 7	eqsstrrdi 3980	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹))
10		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐹) = (le‘𝐹)
11	5, 10	istos 18322	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Toset ↔ (𝐹 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
12	11	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥))
14		ssralv 4003	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
15		ssralv 4003	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
16	15	ralimdv 3146	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
17	14, 16	syld 47	. . . 4 ⊢ ((Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) ⊆ (Base‘𝐹) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥)))
18	9, 13, 17	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥))
19	4, 10	ressle 17284	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (le‘𝐹) = (le‘(𝐹 ↾s 𝐴)))
20	19	breqd 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥(le‘𝐹)𝑦 ↔ 𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦))
21	19	breqd 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦(le‘𝐹)𝑥 ↔ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥))
22	20, 21	orbi12d 918	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ (𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
23	22	2ralbidv 3196	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
24	23	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘𝐹)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐹)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
25	18, 24	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥))
26		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))
27		eqid 2731	. . 3 ⊢ (le‘(𝐹 ↾s 𝐴)) = (le‘(𝐹 ↾s 𝐴))
28	26, 27	istos 18322	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Toset ↔ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐹 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑦 ∨ 𝑦(le‘(𝐹 ↾s 𝐴))𝑥)))
29	3, 25, 28	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Toset ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  lecple 17168  Posetcpo 18213  Tosetctos 18320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-dec 12589  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-ple 17181  df-poset 18219  df-toset 18321

This theorem is referenced by:  submomnd  20045  submarchi  33153