Theorem archiabllem2c 30096

Description: Lemma for archiabl 30099. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
archiabllem2.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
archiabllem2b.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem2b.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem2c	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ≤ ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2c

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 780	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
2		simpl1l 1286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝜑)
3		archiabllem.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ oGrp)
5		simpl1r 1288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
6	3	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑊 ∈ oGrp)
7		ogrpgrp 30050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑊 ∈ Grp)
9		archiabllem2b.5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		archiabllem2b.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	11	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		archiabllem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
14		archiabllem2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ + = (+g‘𝑊)
15	13, 14	grpcl 17654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
16	8, 10, 12, 15	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
17	2, 5, 16	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
18	2, 3, 7	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ Grp)
19		simpr2 1243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑚 ∈ ℤ)
20	19	peano2zd 11770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
21		simp2 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐵)
22	21	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑡 ∈ 𝐵)
23		archiabllem.m	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ · = (.g‘𝑊)
24	13, 23	mulgcl 17782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → ((𝑚 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
25	18, 20, 22, 24	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
26		simpr1 1241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑛 ∈ ℤ)
27	26	peano2zd 11770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
28	13, 23	mulgcl 17782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
29	18, 27, 22, 28	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
30	13, 14	grpcl 17654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑛 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵) → (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
31	18, 25, 29, 30	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
32	12	3ad2ant1 1156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	32	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
34	10	3ad2ant1 1156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑌 ∈ 𝐵)
35	34	adantr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
36	13, 14	grpcl 17654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
37	18, 33, 35, 36	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
38		archiabllem.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
39		isogrp 30049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
40	39	simprbi 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
41	2, 3, 40	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ oMnd)
42		simpr3 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))
43	42	simprd 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡)))
44	43	simprd 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))
45	42	simpld 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
46	45	simprd 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡))
47		archiabllem2.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
48		isogrp 30049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((oppg‘𝑊) ∈ oGrp ↔ ((oppg‘𝑊) ∈ Grp ∧ (oppg‘𝑊) ∈ oMnd))
49	48	simprbi 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((oppg‘𝑊) ∈ oGrp → (oppg‘𝑊) ∈ oMnd)
50	2, 47, 49	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (oppg‘𝑊) ∈ oMnd)
51	13, 38, 14, 41, 29, 35, 33, 25, 44, 46, 50	omndadd2rd 30056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑌 + 𝑋) ≤ (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
52		eqid 2817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
53	13, 38, 52	ogrpsub 30064	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 + 𝑋) ≤ (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ ((((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
54	4, 17, 31, 37, 51, 53	syl131anc 1495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ ((((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
55	19	zcnd 11768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑚 ∈ ℂ)
56	26	zcnd 11768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑛 ∈ ℂ)
57		1cnd 10329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 1 ∈ ℂ)
58	55, 56, 57, 57	add4d 10558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)))
59		1p1e2 11444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 + 1) = 2
60	59	oveq2i 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑚 + 𝑛) + 2)
61		addcom 10516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑚 + 𝑛) = (𝑛 + 𝑚))
62	61	oveq1d 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) + 2) = ((𝑛 + 𝑚) + 2))
63	60, 62	syl5eq 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑛 + 𝑚) + 2))
64		2cnd 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
65		simpr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → 𝑛 ∈ ℂ)
66		simpl 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → 𝑚 ∈ ℂ)
67	65, 66	addcld 10353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℂ)
68	64, 67	addcomd 10532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 + (𝑛 + 𝑚)) = ((𝑛 + 𝑚) + 2))
69	63, 68	eqtr4d 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = (2 + (𝑛 + 𝑚)))
70	55, 56, 69	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = (2 + (𝑛 + 𝑚)))
71	58, 70	eqtr3d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) = (2 + (𝑛 + 𝑚)))
72	71	oveq1d 6898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = ((2 + (𝑛 + 𝑚)) · 𝑡))
73		2z 11694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 2 ∈ ℤ)
75	26, 19	zaddcld 11771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ)
76	13, 23, 14	mulgdir 17795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → ((2 + (𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
77	18, 74, 75, 22, 76	syl13anc 1484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((2 + (𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
78	72, 77	eqtrd 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
79	13, 23, 14	mulgdir 17795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
80	18, 20, 27, 22, 79	syl13anc 1484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
81	13, 23, 14	mulg2 17774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐵 → (2 · 𝑡) = (𝑡 + 𝑡))
82	22, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (2 · 𝑡) = (𝑡 + 𝑡))
83	82	oveq1d 6898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
84	78, 80, 83	3eqtr3d 2859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
85	84	oveq1d 6898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
86	54, 85	breqtrd 4881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
87	84, 31	eqeltrrd 2897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
88		eqid 2817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
89	13, 14, 88, 52	grpsubval 17689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))))
90	87, 37, 89	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))))
91	86, 90	breqtrd 4881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))))
92		archiabllem.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ < = (lt‘𝑊)
93	2, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
94	13, 88	grpinvcl 17691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
95	18, 37, 94	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
96	75	znegcld 11769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → -(𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ)
97	13, 23	mulgcl 17782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ -(𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)
98	18, 96, 22, 97	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)
99	13, 23, 14	mulgdir 17795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)))
100	18, 26, 19, 22, 99	syl13anc 1484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)))
101	13, 23	mulgcl 17782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵)
102	18, 26, 22, 101	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵)
103	13, 23	mulgcl 17782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵)
104	18, 19, 22, 103	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵)
105	45	simpld 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 · 𝑡) < 𝑋)
106	13, 92, 14	ogrpaddlt 30065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 · 𝑡) < 𝑋) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)))
107	4, 102, 33, 104, 105, 106	syl131anc 1495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)))
108	43	simpld 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑚 · 𝑡) < 𝑌)
109	13, 92, 14, 4, 93, 104, 35, 33, 108	ogrpaddltrd 30067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌))
110		omndtos 30052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
111		tospos 30005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ Toset → 𝑊 ∈ Poset)
112	41, 110, 111	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ Poset)
113	13, 14	grpcl 17654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
114	18, 102, 104, 113	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
115	13, 14	grpcl 17654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
116	18, 33, 104, 115	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
117	13, 92	plttr 17194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Poset ∧ (((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)))
118	112, 114, 116, 37, 117	syl13anc 1484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)))
119	107, 109, 118	mp2and 682	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌))
120	100, 119	eqbrtrd 4877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) < (𝑋 + 𝑌))
121	100, 114	eqeltrd 2896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)
122	13, 92, 88	ogrpinvlt 30071	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝑊) ∈ oGrp) ∧ ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) < (𝑋 + 𝑌) ↔ ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ((invg‘𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
123	4, 93, 121, 37, 122	syl211anc 1488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) < (𝑋 + 𝑌) ↔ ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ((invg‘𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
124	120, 123	mpbid 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ((invg‘𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
125	13, 23, 88	mulgneg 17783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((invg‘𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
126	18, 75, 22, 125	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((invg‘𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
127	124, 126	breqtrrd 4883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))
128	13, 92, 14, 4, 93, 95, 98, 87, 127	ogrpaddltrd 30067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
129	13, 52	grpsubcl 17719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
130	18, 17, 37, 129	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
131	13, 14	grpcl 17654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐵)
132	18, 87, 95, 131	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐵)
133	13, 14	grpcl 17654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
134	18, 87, 98, 133	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
135	13, 38, 92	plelttr 17196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Poset ∧ (((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)) → ((((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
136	112, 130, 132, 134, 135	syl13anc 1484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
137	91, 128, 136	mp2and 682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
138	13, 14	grpcl 17654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵)
139	18, 22, 22, 138	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵)
140	13, 14	grpass 17655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
141	18, 139, 121, 98, 140	syl13anc 1484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
142	56, 55	addcld 10353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℂ)
143	142	negidd 10676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) = 0)
144	143	oveq1d 6898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = (0 · 𝑡))
145	13, 23, 14	mulgdir 17795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ -(𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → (((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
146	18, 75, 96, 22, 145	syl13anc 1484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
147		archiabllem.0	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
148	13, 147, 23	mulg0 17770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑡) = 0 )
149	22, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (0 · 𝑡) = 0 )
150	144, 146, 149	3eqtr3d 2859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = 0 )
151	150	oveq2d 6899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑡 + 𝑡) + (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))) = ((𝑡 + 𝑡) + 0 ))
152	13, 14, 147	grprid 17677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵) → ((𝑡 + 𝑡) + 0 ) = (𝑡 + 𝑡))
153	18, 139, 152	syl2anc 575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑡 + 𝑡) + 0 ) = (𝑡 + 𝑡))
154	141, 151, 153	3eqtrd 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = (𝑡 + 𝑡))
155	137, 154	breqtrd 4881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡))
156	155	3anassrs 1462	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡)))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡))
157	6	3ad2ant1 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ oGrp)
158		archiabllem.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
159	158	adantr 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑊 ∈ Archi)
160	159	3ad2ant1 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ Archi)
161		simp3 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 0 < 𝑡)
162	47	adantr 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
163	162	3ad2ant1 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
164	13, 147, 92, 38, 23, 157, 160, 21, 32, 161, 163	archirngz 30090	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
165	13, 147, 92, 38, 23, 157, 160, 21, 34, 161, 163	archirngz 30090	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡)))
166		reeanv 3306	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))
167	164, 165, 166	sylanbrc 574	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))
168	156, 167	r19.29vva 3280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡))
169	157, 40, 110	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ Toset)
170	8, 12, 10, 36	syl3anc 1483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
171	8, 16, 170, 129	syl3anc 1483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
172	171	3ad2ant1 1156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
173	157, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ Grp)
174	173, 21, 21, 138	syl3anc 1483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵)
175	13, 38, 92	tltnle 30009	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵) → (((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡) ↔ ¬ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
176	169, 172, 174, 175	syl3anc 1483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → (((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡) ↔ ¬ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
177	168, 176	mpbid 223	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ¬ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
178	177	3expa 1140	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑡) → ¬ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
179	178	adantrr 699	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))) → ¬ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
180	1, 179	pm2.21fal 1660	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))) → ⊥)
181		archiabllem2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
182	181	3adant1r 1216	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
183	13, 147, 52	grpsubid 17723	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = 0 )
184	8, 170, 183	syl2anc 575	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = 0 )
185		simpr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
186	13, 92, 52	ogrpsublt 30069	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
187	6, 170, 16, 170, 185, 186	syl131anc 1495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
188	184, 187	eqbrtrrd 4879	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 0 < ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
189	13, 147, 38, 92, 23, 6, 159, 14, 162, 182, 171, 188	archiabllem2a 30095	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ∃𝑡 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
190	180, 189	r19.29a 3277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ⊥)
191	190	inegd 1658	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∧ w3a 1100   = wceq 1637  ⊥wfal 1650   ∈ wcel 2157  ∃wrex 3108   class class class wbr 4855  ‘cfv 6110  (class class class)co 6883  ℂcc 10228  0cc0 10230  1c1 10231   + caddc 10233  -cneg 10561  2c2 11367  ℤcz 11662  Basecbs 16087  +_gcplusg 16172  lecple 16179  0_gc0g 16324  Posetcpo 17164  ltcplt 17165  Tosetctos 17257  Grpcgrp 17646  inv_gcminusg 17647  -_gcsg 17648  ._gcmg 17764  opp_gcoppg 17995  oMndcomnd 30044  oGrpcogrp 30045  Archicarchi 30078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-inf2 8794  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-tpos 7596  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-er 7988  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11579  df-z 11663  df-dec 11779  df-uz 11924  df-fz 12569  df-seq 13044  df-ndx 16090  df-slot 16091  df-base 16093  df-sets 16094  df-plusg 16185  df-ple 16192  df-0g 16326  df-proset 17152  df-poset 17170  df-plt 17182  df-toset 17258  df-mgm 17466  df-sgrp 17508  df-mnd 17519  df-grp 17649  df-minusg 17650  df-sbg 17651  df-mulg 17765  df-oppg 17996  df-omnd 30046  df-ogrp 30047  df-inftm 30079  df-archi 30080

This theorem is referenced by:  archiabllem2b  30097