Theorem archiabllem2c 33826

Description: Lemma for archiabl 33829. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
archiabllem2.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
archiabllem2b.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem2b.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem2c	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ≤ ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   · (𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2c

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
2		simpl1l 1243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝜑)
3		archiabllem.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ oGrp)
5		simpl1r 1244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
6	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑊 ∈ oGrp)
7		ogrpgrp 20369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑊 ∈ Grp)
9		archiabllem2b.5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		archiabllem2b.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		archiabllem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
14		archiabllem2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ + = (+g‘𝑊)
15	13, 14	grpcl 19181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
16	8, 10, 12, 15	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
17	2, 5, 16	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
18	2, 3, 7	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ Grp)
19		simpr2 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑚 ∈ ℤ)
20	19	peano2zd 12833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
21		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐵)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑡 ∈ 𝐵)
23		archiabllem.m	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ · = (.g‘𝑊)
24	13, 23	mulgcl 19330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → ((𝑚 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
25	18, 20, 22, 24	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
26		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑛 ∈ ℤ)
27	26	peano2zd 12833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
28	13, 23	mulgcl 19330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
29	18, 27, 22, 28	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
30	13, 14	grpcl 19181	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑛 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵) → (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
31	18, 25, 29, 30	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
32	12	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
34	10	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑌 ∈ 𝐵)
35	34	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
36	13, 14	grpcl 19181	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
37	18, 33, 35, 36	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
38		archiabllem.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
39		isogrp 20368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
40	39	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
41	2, 3, 40	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ oMnd)
42		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))
43	42	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡)))
44	43	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))
45	42	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
46	45	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡))
47		archiabllem2.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
48		isogrp 20368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((oppg‘𝑊) ∈ oGrp ↔ ((oppg‘𝑊) ∈ Grp ∧ (oppg‘𝑊) ∈ oMnd))
49	48	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((oppg‘𝑊) ∈ oGrp → (oppg‘𝑊) ∈ oMnd)
50	2, 47, 49	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (oppg‘𝑊) ∈ oMnd)
51	13, 38, 14, 41, 29, 35, 33, 25, 44, 46, 50	omndadd2rd 20375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑌 + 𝑋) ≤ (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
52		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
53	13, 38, 52	ogrpsub 20381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 + 𝑋) ≤ (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ ((((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
54	4, 17, 31, 37, 51, 53	syl131anc 1411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ ((((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
55	19	zcnd 12831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑚 ∈ ℂ)
56	26	zcnd 12831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑛 ∈ ℂ)
57		1cnd 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 1 ∈ ℂ)
58	55, 56, 57, 57	add4d 11566	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)))
59		1p1e2 12493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 + 1) = 2
60	59	oveq2i 7454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑚 + 𝑛) + 2)
61		addcom 11523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑚 + 𝑛) = (𝑛 + 𝑚))
62	61	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) + 2) = ((𝑛 + 𝑚) + 2))
63	60, 62	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑛 + 𝑚) + 2))
64		2cnd 12448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
65		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → 𝑛 ∈ ℂ)
66		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → 𝑚 ∈ ℂ)
67	65, 66	addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℂ)
68	64, 67	addcomd 11539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 + (𝑛 + 𝑚)) = ((𝑛 + 𝑚) + 2))
69	63, 68	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = (2 + (𝑛 + 𝑚)))
70	55, 56, 69	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = (2 + (𝑛 + 𝑚)))
71	58, 70	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) = (2 + (𝑛 + 𝑚)))
72	71	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = ((2 + (𝑛 + 𝑚)) · 𝑡))
73		2z 12755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 2 ∈ ℤ)
75	26, 19	zaddcld 12834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ)
76	13, 23, 14	mulgdir 19345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → ((2 + (𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
77	18, 74, 75, 22, 76	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((2 + (𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
78	72, 77	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
79	13, 23, 14	mulgdir 19345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
80	18, 20, 27, 22, 79	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
81	13, 23, 14	mulg2 19322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐵 → (2 · 𝑡) = (𝑡 + 𝑡))
82	22, 81	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (2 · 𝑡) = (𝑡 + 𝑡))
83	82	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
84	78, 80, 83	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
85	84	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
86	54, 85	breqtrd 5134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
87	84, 31	eqeltrrd 2865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
88		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
89	13, 14, 88, 52	grpsubval 19225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))))
90	87, 37, 89	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))))
91	86, 90	breqtrd 5134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))))
92		archiabllem.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ < = (lt‘𝑊)
93	2, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
94	13, 88	grpinvcl 19227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
95	18, 37, 94	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
96	75	znegcld 12832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → -(𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ)
97	13, 23	mulgcl 19330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ -(𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)
98	18, 96, 22, 97	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)
99	13, 23, 14	mulgdir 19345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)))
100	18, 26, 19, 22, 99	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)))
101	13, 23	mulgcl 19330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵)
102	18, 26, 22, 101	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵)
103	13, 23	mulgcl 19330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵)
104	18, 19, 22, 103	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵)
105	45	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 · 𝑡) < 𝑋)
106	13, 92, 14	ogrpaddlt 20382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 · 𝑡) < 𝑋) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)))
107	4, 102, 33, 104, 105, 106	syl131anc 1411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)))
108	43	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑚 · 𝑡) < 𝑌)
109	13, 92, 14, 4, 93, 104, 35, 33, 108	ogrpaddltrd 20384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌))
110		omndtos 20371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
111		tospos 18621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ Toset → 𝑊 ∈ Poset)
112	41, 110, 111	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ Poset)
113	13, 14	grpcl 19181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
114	18, 102, 104, 113	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
115	13, 14	grpcl 19181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
116	18, 33, 104, 115	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
117	13, 92	plttr 18543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Poset ∧ (((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)))
118	112, 114, 116, 37, 117	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)))
119	107, 109, 118	mp2and 712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌))
120	100, 119	eqbrtrd 5130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) < (𝑋 + 𝑌))
121	100, 114	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)
122	13, 92, 88	ogrpinvlt 20388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝑊) ∈ oGrp) ∧ ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) < (𝑋 + 𝑌) ↔ ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ((invg‘𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
123	4, 93, 121, 37, 122	syl211anc 1404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) < (𝑋 + 𝑌) ↔ ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ((invg‘𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
124	120, 123	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ((invg‘𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
125	13, 23, 88	mulgneg 19331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((invg‘𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
126	18, 75, 22, 125	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((invg‘𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
127	124, 126	breqtrrd 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))
128	13, 92, 14, 4, 93, 95, 98, 87, 127	ogrpaddltrd 20384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
129	13, 52	grpsubcl 19259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
130	18, 17, 37, 129	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
131	13, 14	grpcl 19181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐵)
132	18, 87, 95, 131	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐵)
133	13, 14	grpcl 19181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
134	18, 87, 98, 133	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
135	13, 38, 92	plelttr 18545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Poset ∧ (((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)) → ((((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
136	112, 130, 132, 134, 135	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
137	91, 128, 136	mp2and 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
138	13, 14	grpcl 19181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵)
139	18, 22, 22, 138	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵)
140	13, 14	grpass 19182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
141	18, 139, 121, 98, 140	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
142	56, 55	addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℂ)
143	142	negidd 11686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) = 0)
144	143	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = (0 · 𝑡))
145	13, 23, 14	mulgdir 19345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ -(𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → (((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
146	18, 75, 96, 22, 145	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
147		archiabllem.0	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
148	13, 147, 23	mulg0 19313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑡) = 0 )
149	22, 148	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (0 · 𝑡) = 0 )
150	144, 146, 149	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = 0 )
151	150	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑡 + 𝑡) + (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))) = ((𝑡 + 𝑡) + 0 ))
152	13, 14, 147	grprid 19208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵) → ((𝑡 + 𝑡) + 0 ) = (𝑡 + 𝑡))
153	18, 139, 152	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑡 + 𝑡) + 0 ) = (𝑡 + 𝑡))
154	141, 151, 153	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ( -(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = (𝑡 + 𝑡))
155	137, 154	breqtrd 5134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡))
156	155	3anassrs 1382	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡)))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡))
157	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ oGrp)
158		archiabllem.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
159	158	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑊 ∈ Archi)
160	159	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ Archi)
161		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 0 < 𝑡)
162	47	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
163	162	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
164	13, 147, 92, 38, 23, 157, 160, 21, 32, 161, 163	archirngz 33820	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
165	13, 147, 92, 38, 23, 157, 160, 21, 34, 161, 163	archirngz 33820	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡)))
166		reeanv 3238	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))
167	164, 165, 166	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))
168	156, 167	r19.29vva 3226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡))
169	157, 40, 110	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ Toset)
170	8, 12, 10, 36	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
171	8, 16, 170, 129	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
172	171	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
173	157, 7	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ Grp)
174	173, 21, 21, 138	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵)
175	13, 38, 92	tltnle 18623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵) → (((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡) ↔ ¬ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
176	169, 172, 174, 175	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → (((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡) ↔ ¬ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
177	168, 176	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ¬ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
178	177	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑡) → ¬ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
179	178	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))) → ¬ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
180	1, 179	pm2.21fal 1592	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))) → ⊥)
181		archiabllem2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
182	181	3adant1r 1196	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
183	13, 147, 52	grpsubid 19263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = 0 )
184	8, 170, 183	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = 0 )
185		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
186	13, 92, 52	ogrpsublt 20386	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
187	6, 170, 16, 170, 185, 186	syl131anc 1411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
188	184, 187	eqbrtrrd 5132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 0 < ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
189	13, 147, 38, 92, 23, 6, 159, 14, 162, 182, 171, 188	archiabllem2a 33825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ∃𝑡 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
190	180, 189	r19.29a 3174	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ⊥)
191	190	inegd 1590	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊥wfal 1582   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   -cneg 11569  2c2 12424  ℤcz 12720  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  lecple 17464  0_gc0g 17639  Posetcpo 18510  ltcplt 18511  Tosetctos 18617  Grpcgrp 19173  inv_gcminusg 19174  -_gcsg 19175  ._gcmg 19306  opp_gcoppg 19589  oMndcomnd 20363  oGrpcogrp 20364  Archicarchi 33808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-seq 14172  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-ple 17477  df-0g 17641  df-proset 18497  df-poset 18516  df-plt 18531  df-toset 18618  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-oppg 19590  df-omnd 20365  df-ogrp 20366  df-inftm 33809  df-archi 33810

This theorem is used by:  archiabllem2b  33827