Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiabllem2c 32881
Description: Lemma for archiabl 32884. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
archiabllem.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
archiabllem.e ≀ = (leβ€˜π‘Š)
archiabllem.t < = (ltβ€˜π‘Š)
archiabllem.m Β· = (.gβ€˜π‘Š)
archiabllem.g (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
archiabllem.a (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
archiabllem2.1 + = (+gβ€˜π‘Š)
archiabllem2.2 (πœ‘ β†’ (oppgβ€˜π‘Š) ∈ oGrp)
archiabllem2.3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < π‘Ž))
archiabllem2b.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
archiabllem2b.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
archiabllem2c (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝐡   π‘Š,π‘Ž,𝑏   𝑋,π‘Ž,𝑏   π‘Œ,π‘Ž,𝑏   πœ‘,π‘Ž,𝑏   + ,π‘Ž,𝑏   ≀ ,π‘Ž,𝑏   < ,π‘Ž,𝑏   0 ,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   Β· (π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2c
Dummy variables π‘š 𝑛 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 772 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑑 ∧ (𝑑 + 𝑑) ≀ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)))) β†’ (𝑑 + 𝑑) ≀ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)))
2 simpl1l 1222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ πœ‘)
3 archiabllem.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
5 simpl1r 1223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋))
63adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
7 ogrpgrp 32761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
9 archiabllem2b.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
11 archiabllem2b.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 archiabllem.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 archiabllem2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 + = (+gβ€˜π‘Š)
1513, 14grpcl 18889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡)
168, 10, 12, 15syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡)
172, 5, 16syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡)
182, 3, 73syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ π‘Š ∈ Grp)
19 simpr2 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ π‘š ∈ β„€)
2019peano2zd 12691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„€)
21 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
23 archiabllem.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Β· = (.gβ€˜π‘Š)
2413, 23mulgcl 19037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘š + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘š + 1) Β· 𝑑) ∈ 𝐡)
2518, 20, 22, 24syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((π‘š + 1) Β· 𝑑) ∈ 𝐡)
26 simpr1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2726peano2zd 12691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„€)
2813, 23mulgcl 19037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑) ∈ 𝐡)
2918, 27, 22, 28syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑) ∈ 𝐡)
3013, 14grpcl 18889 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Grp ∧ ((π‘š + 1) Β· 𝑑) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑) ∈ 𝐡) β†’ (((π‘š + 1) Β· 𝑑) + ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∈ 𝐡)
3118, 25, 29, 30syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((π‘š + 1) Β· 𝑑) + ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∈ 𝐡)
32123ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
34103ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3613, 14grpcl 18889 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
3718, 33, 35, 36syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
38 archiabllem.e . . . . . . . . . . . . . . 15 ≀ = (leβ€˜π‘Š)
39 isogrp 32760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ oGrp ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Š ∈ oMnd))
4039simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ oMnd)
412, 3, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ π‘Š ∈ oMnd)
42 simpr3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))
4342simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑)))
4443simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))
4542simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)))
4645simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑))
47 archiabllem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (oppgβ€˜π‘Š) ∈ oGrp)
48 isogrp 32760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((oppgβ€˜π‘Š) ∈ oGrp ↔ ((oppgβ€˜π‘Š) ∈ Grp ∧ (oppgβ€˜π‘Š) ∈ oMnd))
4948simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((oppgβ€˜π‘Š) ∈ oGrp β†’ (oppgβ€˜π‘Š) ∈ oMnd)
502, 47, 493syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (oppgβ€˜π‘Š) ∈ oMnd)
5113, 38, 14, 41, 29, 35, 33, 25, 44, 46, 50omndadd2rd 32767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (π‘Œ + 𝑋) ≀ (((π‘š + 1) Β· 𝑑) + ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)))
52 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
5313, 38, 52ogrpsub 32774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ ((π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (((π‘š + 1) Β· 𝑑) + ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡) ∧ (π‘Œ + 𝑋) ≀ (((π‘š + 1) Β· 𝑑) + ((𝑛 + 1) Β· 𝑑))) β†’ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) ≀ ((((π‘š + 1) Β· 𝑑) + ((𝑛 + 1) Β· 𝑑))(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)))
544, 17, 31, 37, 51, 53syl131anc 1381 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) ≀ ((((π‘š + 1) Β· 𝑑) + ((𝑛 + 1) Β· 𝑑))(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)))
5519zcnd 12689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
5626zcnd 12689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
57 1cnd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ 1 ∈ β„‚)
5855, 56, 57, 57add4d 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((π‘š + 𝑛) + (1 + 1)) = ((π‘š + 1) + (𝑛 + 1)))
59 1p1e2 12359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 + 1) = 2
6059oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘š + 𝑛) + (1 + 1)) = ((π‘š + 𝑛) + 2)
61 addcom 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ (π‘š + 𝑛) = (𝑛 + π‘š))
6261oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ ((π‘š + 𝑛) + 2) = ((𝑛 + π‘š) + 2))
6360, 62eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ ((π‘š + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑛 + π‘š) + 2))
64 2cnd 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ 2 ∈ β„‚)
65 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
66 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ π‘š ∈ β„‚)
6765, 66addcld 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ (𝑛 + π‘š) ∈ β„‚)
6864, 67addcomd 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ (2 + (𝑛 + π‘š)) = ((𝑛 + π‘š) + 2))
6963, 68eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ ((π‘š + 𝑛) + (1 + 1)) = (2 + (𝑛 + π‘š)))
7055, 56, 69syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((π‘š + 𝑛) + (1 + 1)) = (2 + (𝑛 + π‘š)))
7158, 70eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((π‘š + 1) + (𝑛 + 1)) = (2 + (𝑛 + π‘š)))
7271oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((π‘š + 1) + (𝑛 + 1)) Β· 𝑑) = ((2 + (𝑛 + π‘š)) Β· 𝑑))
73 2z 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ β„€
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ 2 ∈ β„€)
7526, 19zaddcld 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (𝑛 + π‘š) ∈ β„€)
7613, 23, 14mulgdir 19052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (2 ∈ β„€ ∧ (𝑛 + π‘š) ∈ β„€ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡)) β†’ ((2 + (𝑛 + π‘š)) Β· 𝑑) = ((2 Β· 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)))
7718, 74, 75, 22, 76syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((2 + (𝑛 + π‘š)) Β· 𝑑) = ((2 Β· 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)))
7872, 77eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((π‘š + 1) + (𝑛 + 1)) Β· 𝑑) = ((2 Β· 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)))
7913, 23, 14mulgdir 19052 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Grp ∧ ((π‘š + 1) ∈ β„€ ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘š + 1) + (𝑛 + 1)) Β· 𝑑) = (((π‘š + 1) Β· 𝑑) + ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)))
8018, 20, 27, 22, 79syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((π‘š + 1) + (𝑛 + 1)) Β· 𝑑) = (((π‘š + 1) Β· 𝑑) + ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)))
8113, 23, 14mulg2 19029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ 𝐡 β†’ (2 Β· 𝑑) = (𝑑 + 𝑑))
8222, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (2 Β· 𝑑) = (𝑑 + 𝑑))
8382oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((2 Β· 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) = ((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)))
8478, 80, 833eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((π‘š + 1) Β· 𝑑) + ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) = ((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)))
8584oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((((π‘š + 1) Β· 𝑑) + ((𝑛 + 1) Β· 𝑑))(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) = (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑))(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)))
8654, 85breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) ≀ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑))(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)))
8784, 31eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) ∈ 𝐡)
88 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
8913, 14, 88, 52grpsubval 18933 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑))(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) = (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ))))
9087, 37, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑))(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) = (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ))))
9186, 90breqtrd 5168 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) ≀ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ))))
92 archiabllem.t . . . . . . . . . . . 12 < = (ltβ€˜π‘Š)
932, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (oppgβ€˜π‘Š) ∈ oGrp)
9413, 88grpinvcl 18935 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ)) ∈ 𝐡)
9518, 37, 94syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ)) ∈ 𝐡)
9675znegcld 12690 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ -(𝑛 + π‘š) ∈ β„€)
9713, 23mulgcl 19037 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Grp ∧ -(𝑛 + π‘š) ∈ β„€ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) ∈ 𝐡)
9818, 96, 22, 97syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) ∈ 𝐡)
9913, 23, 14mulgdir 19052 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) = ((𝑛 Β· 𝑑) + (π‘š Β· 𝑑)))
10018, 26, 19, 22, 99syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) = ((𝑛 Β· 𝑑) + (π‘š Β· 𝑑)))
10113, 23mulgcl 19037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑛 Β· 𝑑) ∈ 𝐡)
10218, 26, 22, 101syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (𝑛 Β· 𝑑) ∈ 𝐡)
10313, 23mulgcl 19037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (π‘š Β· 𝑑) ∈ 𝐡)
10418, 19, 22, 103syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (π‘š Β· 𝑑) ∈ 𝐡)
10545simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋)
10613, 92, 14ogrpaddlt 32775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ ((𝑛 Β· 𝑑) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘š Β· 𝑑) ∈ 𝐡) ∧ (𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋) β†’ ((𝑛 Β· 𝑑) + (π‘š Β· 𝑑)) < (𝑋 + (π‘š Β· 𝑑)))
1074, 102, 33, 104, 105, 106syl131anc 1381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((𝑛 Β· 𝑑) + (π‘š Β· 𝑑)) < (𝑋 + (π‘š Β· 𝑑)))
10843simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ)
10913, 92, 14, 4, 93, 104, 35, 33, 108ogrpaddltrd 32777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑑)) < (𝑋 + π‘Œ))
110 omndtos 32763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Š ∈ oMnd β†’ π‘Š ∈ Toset)
111 tospos 18403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Š ∈ Toset β†’ π‘Š ∈ Poset)
11241, 110, 1113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ π‘Š ∈ Poset)
11313, 14grpcl 18889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑛 Β· 𝑑) ∈ 𝐡 ∧ (π‘š Β· 𝑑) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 Β· 𝑑) + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ 𝐡)
11418, 102, 104, 113syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((𝑛 Β· 𝑑) + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ 𝐡)
11513, 14grpcl 18889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘š Β· 𝑑) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ 𝐡)
11618, 33, 104, 115syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ 𝐡)
11713, 92plttr 18325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Poset ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑑)) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((((𝑛 Β· 𝑑) + (π‘š Β· 𝑑)) < (𝑋 + (π‘š Β· 𝑑)) ∧ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑑)) < (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((𝑛 Β· 𝑑) + (π‘š Β· 𝑑)) < (𝑋 + π‘Œ)))
118112, 114, 116, 37, 117syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((((𝑛 Β· 𝑑) + (π‘š Β· 𝑑)) < (𝑋 + (π‘š Β· 𝑑)) ∧ (𝑋 + (π‘š Β· 𝑑)) < (𝑋 + π‘Œ)) β†’ ((𝑛 Β· 𝑑) + (π‘š Β· 𝑑)) < (𝑋 + π‘Œ)))
119107, 109, 118mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((𝑛 Β· 𝑑) + (π‘š Β· 𝑑)) < (𝑋 + π‘Œ))
120100, 119eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) < (𝑋 + π‘Œ))
121100, 114eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) ∈ 𝐡)
12213, 92, 88ogrpinvlt 32781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ oGrp ∧ (oppgβ€˜π‘Š) ∈ oGrp) ∧ ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) < (𝑋 + π‘Œ) ↔ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ)) < ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑))))
1234, 93, 121, 37, 122syl211anc 1374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) < (𝑋 + π‘Œ) ↔ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ)) < ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑))))
124120, 123mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ)) < ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)))
12513, 23, 88mulgneg 19038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑛 + π‘š) ∈ β„€ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)))
12618, 75, 22, 125syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)))
127124, 126breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ)) < (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑))
12813, 92, 14, 4, 93, 95, 98, 87, 127ogrpaddltrd 32777 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ))) < (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)))
12913, 52grpsubcl 18967 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ 𝐡)
13018, 17, 37, 129syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ 𝐡)
13113, 14grpcl 18889 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Grp ∧ ((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ)) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ))) ∈ 𝐡)
13218, 87, 95, 131syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ))) ∈ 𝐡)
13313, 14grpcl 18889 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Grp ∧ ((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) ∈ 𝐡 ∧ (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) ∈ 𝐡)
13418, 87, 98, 133syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) ∈ 𝐡)
13513, 38, 92plelttr 18327 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Poset ∧ (((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ))) ∈ 𝐡 ∧ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) ∈ 𝐡)) β†’ ((((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) ≀ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ))) ∧ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ))) < (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑))) β†’ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) < (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑))))
136112, 130, 132, 134, 135syl13anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) ≀ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ))) ∧ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(𝑋 + π‘Œ))) < (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑))) β†’ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) < (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑))))
13791, 128, 136mp2and 698 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) < (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)))
13813, 14grpcl 18889 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑑 + 𝑑) ∈ 𝐡)
13918, 22, 22, 138syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (𝑑 + 𝑑) ∈ 𝐡)
14013, 14grpass 18890 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Grp ∧ ((𝑑 + 𝑑) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) ∈ 𝐡 ∧ (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) = ((𝑑 + 𝑑) + (((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑))))
14118, 139, 121, 98, 140syl13anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) = ((𝑑 + 𝑑) + (((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑))))
14256, 55addcld 11255 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (𝑛 + π‘š) ∈ β„‚)
143142negidd 11583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((𝑛 + π‘š) + -(𝑛 + π‘š)) = 0)
144143oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((𝑛 + π‘š) + -(𝑛 + π‘š)) Β· 𝑑) = (0 Β· 𝑑))
14513, 23, 14mulgdir 19052 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Grp ∧ ((𝑛 + π‘š) ∈ β„€ ∧ -(𝑛 + π‘š) ∈ β„€ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑛 + π‘š) + -(𝑛 + π‘š)) Β· 𝑑) = (((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)))
14618, 75, 96, 22, 145syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((𝑛 + π‘š) + -(𝑛 + π‘š)) Β· 𝑑) = (((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)))
147 archiabllem.0 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0gβ€˜π‘Š)
14813, 147, 23mulg0 19021 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· 𝑑) = 0 )
14922, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (0 Β· 𝑑) = 0 )
150144, 146, 1493eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) = 0 )
151150oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((𝑑 + 𝑑) + (((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑))) = ((𝑑 + 𝑑) + 0 ))
15213, 14, 147grprid 18916 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑑 + 𝑑) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑑 + 𝑑) + 0 ) = (𝑑 + 𝑑))
15318, 139, 152syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((𝑑 + 𝑑) + 0 ) = (𝑑 + 𝑑))
154141, 151, 1533eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ (((𝑑 + 𝑑) + ((𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) + (-(𝑛 + π‘š) Β· 𝑑)) = (𝑑 + 𝑑))
155137, 154breqtrd 5168 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))) β†’ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) < (𝑑 + 𝑑))
1561553anassrs 1358 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑)))) β†’ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) < (𝑑 + 𝑑))
15763ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
158 archiabllem.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
159158adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ Archi)
1601593ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ π‘Š ∈ Archi)
161 simp3 1136 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ 0 < 𝑑)
16247adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ (oppgβ€˜π‘Š) ∈ oGrp)
1631623ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ (oppgβ€˜π‘Š) ∈ oGrp)
16413, 147, 92, 38, 23, 157, 160, 21, 32, 161, 163archirngz 32875 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ ((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)))
16513, 147, 92, 38, 23, 157, 160, 21, 34, 161, 163archirngz 32875 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑)))
166 reeanv 3221 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆƒπ‘š ∈ β„€ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))) ↔ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ ((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))
167164, 165, 166sylanbrc 582 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆƒπ‘š ∈ β„€ (((𝑛 Β· 𝑑) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑑)) ∧ ((π‘š Β· 𝑑) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((π‘š + 1) Β· 𝑑))))
168156, 167r19.29vva 3208 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) < (𝑑 + 𝑑))
169157, 40, 1103syl 18 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ π‘Š ∈ Toset)
1708, 12, 10, 36syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
1718, 16, 170, 129syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ 𝐡)
1721713ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ 𝐡)
173157, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ π‘Š ∈ Grp)
174173, 21, 21, 138syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ (𝑑 + 𝑑) ∈ 𝐡)
17513, 38, 92tltnle 18405 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Toset ∧ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (𝑑 + 𝑑) ∈ 𝐡) β†’ (((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) < (𝑑 + 𝑑) ↔ Β¬ (𝑑 + 𝑑) ≀ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ))))
176169, 172, 174, 175syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ (((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) < (𝑑 + 𝑑) ↔ Β¬ (𝑑 + 𝑑) ≀ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ))))
177168, 176mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑑) β†’ Β¬ (𝑑 + 𝑑) ≀ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)))
1781773expa 1116 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 0 < 𝑑) β†’ Β¬ (𝑑 + 𝑑) ≀ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)))
179178adantrr 716 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑑 ∧ (𝑑 + 𝑑) ≀ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)))) β†’ Β¬ (𝑑 + 𝑑) ≀ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)))
1801, 179pm2.21fal 1556 . . 3 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ ( 0 < 𝑑 ∧ (𝑑 + 𝑑) ≀ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)))) β†’ βŠ₯)
181 archiabllem2.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < π‘Ž))
1821813adant1r 1175 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < π‘Ž))
18313, 147, 52grpsubid 18971 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + π‘Œ)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) = 0 )
1848, 170, 183syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) = 0 )
185 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋))
18613, 92, 52ogrpsublt 32779 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) < ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)))
1876, 170, 16, 170, 185, 186syl131anc 1381 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)) < ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)))
188184, 187eqbrtrrd 5166 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ 0 < ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ)))
18913, 147, 38, 92, 23, 6, 159, 14, 162, 182, 171, 188archiabllem2a 32880 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 ( 0 < 𝑑 ∧ (𝑑 + 𝑑) ≀ ((π‘Œ + 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝑋 + π‘Œ))))
190180, 189r19.29a 3157 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋)) β†’ βŠ₯)
191190inegd 1554 1 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑋 + π‘Œ) < (π‘Œ + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βŠ₯wfal 1546   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  -cneg 11467  2c2 12289  β„€cz 12580  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  lecple 17231  0gc0g 17412  Posetcpo 18290  ltcplt 18291  Tosetctos 18399  Grpcgrp 18881  invgcminusg 18882  -gcsg 18883  .gcmg 19014  oppgcoppg 19287  oMndcomnd 32755  oGrpcogrp 32756  Archicarchi 32863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-seq 13991  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-ple 17244  df-0g 17414  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-toset 18400  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-oppg 19288  df-omnd 32757  df-ogrp 32758  df-inftm 32864  df-archi 32865
This theorem is referenced by:  archiabllem2b  32882
  Copyright terms: Public domain W3C validator