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Theorem archiabllem2c 30096
Description: Lemma for archiabl 30099. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1 + = (+g𝑊)
archiabllem2.2 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
archiabllem2b.4 (𝜑𝑋𝐵)
archiabllem2b.5 (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
archiabllem2c (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2c
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 780 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵) ∧ ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
2 simpl1l 1286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝜑)
3 archiabllem.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ oGrp)
5 simpl1r 1288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
63adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑊 ∈ oGrp)
7 ogrpgrp 30050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑊 ∈ Grp)
9 archiabllem2b.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌𝐵)
109adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑌𝐵)
11 archiabllem2b.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋𝐵)
1211adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑋𝐵)
13 archiabllem.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = (Base‘𝑊)
14 archiabllem2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 + = (+g𝑊)
1513, 14grpcl 17654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
168, 10, 12, 15syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
172, 5, 16syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
182, 3, 73syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ Grp)
19 simpr2 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑚 ∈ ℤ)
2019peano2zd 11770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
21 simp2 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 𝑡𝐵)
2221adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑡𝐵)
23 archiabllem.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 · = (.g𝑊)
2413, 23mulgcl 17782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵) → ((𝑚 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
2518, 20, 22, 24syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
26 simpr1 1241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑛 ∈ ℤ)
2726peano2zd 11770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
2813, 23mulgcl 17782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
2918, 27, 22, 28syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
3013, 14grpcl 17654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑛 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵) → (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
3118, 25, 29, 30syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
32123ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 𝑋𝐵)
3332adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑋𝐵)
34103ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 𝑌𝐵)
3534adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑌𝐵)
3613, 14grpcl 17654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
3718, 33, 35, 36syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
38 archiabllem.e . . . . . . . . . . . . . . 15 = (le‘𝑊)
39 isogrp 30049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
4039simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
412, 3, 403syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ oMnd)
42 simpr3 1245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))
4342simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡)))
4443simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))
4542simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
4645simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡))
47 archiabllem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
48 isogrp 30049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((oppg𝑊) ∈ oGrp ↔ ((oppg𝑊) ∈ Grp ∧ (oppg𝑊) ∈ oMnd))
4948simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((oppg𝑊) ∈ oGrp → (oppg𝑊) ∈ oMnd)
502, 47, 493syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (oppg𝑊) ∈ oMnd)
5113, 38, 14, 41, 29, 35, 33, 25, 44, 46, 50omndadd2rd 30056 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑌 + 𝑋) (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
52 eqid 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-g𝑊) = (-g𝑊)
5313, 38, 52ogrpsub 30064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 + 𝑋) (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ((((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
544, 17, 31, 37, 51, 53syl131anc 1495 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ((((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
5519zcnd 11768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑚 ∈ ℂ)
5626zcnd 11768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑛 ∈ ℂ)
57 1cnd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 1 ∈ ℂ)
5855, 56, 57, 57add4d 10558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)))
59 1p1e2 11444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 + 1) = 2
6059oveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑚 + 𝑛) + 2)
61 addcom 10516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑚 + 𝑛) = (𝑛 + 𝑚))
6261oveq1d 6898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) + 2) = ((𝑛 + 𝑚) + 2))
6360, 62syl5eq 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑛 + 𝑚) + 2))
64 2cnd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
65 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → 𝑛 ∈ ℂ)
66 simpl 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → 𝑚 ∈ ℂ)
6765, 66addcld 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℂ)
6864, 67addcomd 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 + (𝑛 + 𝑚)) = ((𝑛 + 𝑚) + 2))
6963, 68eqtr4d 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = (2 + (𝑛 + 𝑚)))
7055, 56, 69syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = (2 + (𝑛 + 𝑚)))
7158, 70eqtr3d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) = (2 + (𝑛 + 𝑚)))
7271oveq1d 6898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = ((2 + (𝑛 + 𝑚)) · 𝑡))
73 2z 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 2 ∈ ℤ)
7526, 19zaddcld 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ)
7613, 23, 14mulgdir 17795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵)) → ((2 + (𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
7718, 74, 75, 22, 76syl13anc 1484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((2 + (𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
7872, 77eqtrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
7913, 23, 14mulgdir 17795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵)) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
8018, 20, 27, 22, 79syl13anc 1484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
8113, 23, 14mulg2 17774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡𝐵 → (2 · 𝑡) = (𝑡 + 𝑡))
8222, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (2 · 𝑡) = (𝑡 + 𝑡))
8382oveq1d 6898 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
8478, 80, 833eqtr3d 2859 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
8584oveq1d 6898 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
8654, 85breqtrd 4881 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
8784, 31eqeltrrd 2897 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
88 eqid 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (invg𝑊) = (invg𝑊)
8913, 14, 88, 52grpsubval 17689 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))))
9087, 37, 89syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))))
9186, 90breqtrd 4881 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))))
92 archiabllem.t . . . . . . . . . . . 12 < = (lt‘𝑊)
932, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
9413, 88grpinvcl 17691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
9518, 37, 94syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
9675znegcld 11769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → -(𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ)
9713, 23mulgcl 17782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ -(𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)
9818, 96, 22, 97syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)
9913, 23, 14mulgdir 17795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵)) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)))
10018, 26, 19, 22, 99syl13anc 1484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)))
10113, 23mulgcl 17782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵) → (𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵)
10218, 26, 22, 101syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵)
10313, 23mulgcl 17782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵) → (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵)
10418, 19, 22, 103syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵)
10545simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 · 𝑡) < 𝑋)
10613, 92, 14ogrpaddlt 30065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵𝑋𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 · 𝑡) < 𝑋) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)))
1074, 102, 33, 104, 105, 106syl131anc 1495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)))
10843simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑚 · 𝑡) < 𝑌)
10913, 92, 14, 4, 93, 104, 35, 33, 108ogrpaddltrd 30067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌))
110 omndtos 30052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
111 tospos 30005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ Toset → 𝑊 ∈ Poset)
11241, 110, 1113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ Poset)
11313, 14grpcl 17654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
11418, 102, 104, 113syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
11513, 14grpcl 17654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
11618, 33, 104, 115syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
11713, 92plttr 17194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Poset ∧ (((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)))
118112, 114, 116, 37, 117syl13anc 1484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)))
119107, 109, 118mp2and 682 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌))
120100, 119eqbrtrd 4877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) < (𝑋 + 𝑌))
121100, 114eqeltrd 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)
12213, 92, 88ogrpinvlt 30071 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ oGrp ∧ (oppg𝑊) ∈ oGrp) ∧ ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) < (𝑋 + 𝑌) ↔ ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ((invg𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
1234, 93, 121, 37, 122syl211anc 1488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) < (𝑋 + 𝑌) ↔ ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ((invg𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
124120, 123mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ((invg𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
12513, 23, 88mulgneg 17783 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((invg𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
12618, 75, 22, 125syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((invg𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
127124, 126breqtrrd 4883 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))
12813, 92, 14, 4, 93, 95, 98, 87, 127ogrpaddltrd 30067 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
12913, 52grpsubcl 17719 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
13018, 17, 37, 129syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
13113, 14grpcl 17654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐵)
13218, 87, 95, 131syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐵)
13313, 14grpcl 17654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
13418, 87, 98, 133syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
13513, 38, 92plelttr 17196 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Poset ∧ (((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)) → ((((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
136112, 130, 132, 134, 135syl13anc 1484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
13791, 128, 136mp2and 682 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
13813, 14grpcl 17654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑡𝐵𝑡𝐵) → (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵)
13918, 22, 22, 138syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵)
14013, 14grpass 17655 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
14118, 139, 121, 98, 140syl13anc 1484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
14256, 55addcld 10353 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℂ)
143142negidd 10676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) = 0)
144143oveq1d 6898 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = (0 · 𝑡))
14513, 23, 14mulgdir 17795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ -(𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡𝐵)) → (((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
14618, 75, 96, 22, 145syl13anc 1484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
147 archiabllem.0 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0g𝑊)
14813, 147, 23mulg0 17770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡𝐵 → (0 · 𝑡) = 0 )
14922, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (0 · 𝑡) = 0 )
150144, 146, 1493eqtr3d 2859 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = 0 )
151150oveq2d 6899 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑡 + 𝑡) + (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))) = ((𝑡 + 𝑡) + 0 ))
15213, 14, 147grprid 17677 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵) → ((𝑡 + 𝑡) + 0 ) = (𝑡 + 𝑡))
15318, 139, 152syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑡 + 𝑡) + 0 ) = (𝑡 + 𝑡))
154141, 151, 1533eqtrd 2855 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = (𝑡 + 𝑡))
155137, 154breqtrd 4881 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡))
1561553anassrs 1462 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡)))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡))
15763ad2ant1 1156 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ oGrp)
158 archiabllem.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
159158adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑊 ∈ Archi)
1601593ad2ant1 1156 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ Archi)
161 simp3 1161 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 0 < 𝑡)
16247adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
1631623ad2ant1 1156 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
16413, 147, 92, 38, 23, 157, 160, 21, 32, 161, 163archirngz 30090 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
16513, 147, 92, 38, 23, 157, 160, 21, 34, 161, 163archirngz 30090 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡)))
166 reeanv 3306 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))
167164, 165, 166sylanbrc 574 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋𝑋 ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌𝑌 ((𝑚 + 1) · 𝑡))))
168156, 167r19.29vva 3280 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡))
169157, 40, 1103syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ Toset)
1708, 12, 10, 36syl3anc 1483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
1718, 16, 170, 129syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
1721713ad2ant1 1156 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
173157, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ Grp)
174173, 21, 21, 138syl3anc 1483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵)
17513, 38, 92tltnle 30009 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Toset ∧ ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵) → (((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡) ↔ ¬ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
176169, 172, 174, 175syl3anc 1483 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → (((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡) ↔ ¬ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
177168, 176mpbid 223 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵0 < 𝑡) → ¬ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
1781773expa 1140 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 0 < 𝑡) → ¬ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
179178adantrr 699 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵) ∧ ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))) → ¬ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
1801, 179pm2.21fal 1660 . . 3 ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡𝐵) ∧ ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))) → ⊥)
181 archiabllem2.3 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
1821813adant1r 1216 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
18313, 147, 52grpsubid 17723 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = 0 )
1848, 170, 183syl2anc 575 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = 0 )
185 simpr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
18613, 92, 52ogrpsublt 30069 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
1876, 170, 16, 170, 185, 186syl131anc 1495 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
188184, 187eqbrtrrd 4879 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 0 < ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
18913, 147, 38, 92, 23, 6, 159, 14, 162, 182, 171, 188archiabllem2a 30095 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ∃𝑡𝐵 ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ((𝑌 + 𝑋)(-g𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
190180, 189r19.29a 3277 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ⊥)
191190inegd 1658 1 (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wfal 1650  wcel 2157  wrex 3108   class class class wbr 4855  cfv 6110  (class class class)co 6883  cc 10228  0cc0 10230  1c1 10231   + caddc 10233  -cneg 10561  2c2 11367  cz 11662  Basecbs 16087  +gcplusg 16172  lecple 16179  0gc0g 16324  Posetcpo 17164  ltcplt 17165  Tosetctos 17257  Grpcgrp 17646  invgcminusg 17647  -gcsg 17648  .gcmg 17764  oppgcoppg 17995  oMndcomnd 30044  oGrpcogrp 30045  Archicarchi 30078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-inf2 8794  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-tpos 7596  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-er 7988  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11579  df-z 11663  df-dec 11779  df-uz 11924  df-fz 12569  df-seq 13044  df-ndx 16090  df-slot 16091  df-base 16093  df-sets 16094  df-plusg 16185  df-ple 16192  df-0g 16326  df-proset 17152  df-poset 17170  df-plt 17182  df-toset 17258  df-mgm 17466  df-sgrp 17508  df-mnd 17519  df-grp 17649  df-minusg 17650  df-sbg 17651  df-mulg 17765  df-oppg 17996  df-omnd 30046  df-ogrp 30047  df-inftm 30079  df-archi 30080
This theorem is referenced by:  archiabllem2b  30097
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