Theorem archiabllem2c 33147

Description: Lemma for archiabl 33150. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
archiabllem2.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
archiabllem2b.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem2b.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem2c	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ≤ ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2c

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
2		simpl1l 1225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝜑)
3		archiabllem.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ oGrp)
5		simpl1r 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
6	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑊 ∈ oGrp)
7		ogrpgrp 20022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑊 ∈ Grp)
9		archiabllem2b.5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		archiabllem2b.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		archiabllem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
14		archiabllem2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ + = (+g‘𝑊)
15	13, 14	grpcl 18838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
16	8, 10, 12, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
17	2, 5, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
18	2, 3, 7	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ Grp)
19		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑚 ∈ ℤ)
20	19	peano2zd 12601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
21		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐵)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑡 ∈ 𝐵)
23		archiabllem.m	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ · = (.g‘𝑊)
24	13, 23	mulgcl 18988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → ((𝑚 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
25	18, 20, 22, 24	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
26		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑛 ∈ ℤ)
27	26	peano2zd 12601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
28	13, 23	mulgcl 18988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
29	18, 27, 22, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵)
30	13, 14	grpcl 18838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑛 + 1) · 𝑡) ∈ 𝐵) → (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
31	18, 25, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
32	12	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
34	10	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑌 ∈ 𝐵)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
36	13, 14	grpcl 18838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
37	18, 33, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
38		archiabllem.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
39		isogrp 20021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
40	39	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
41	2, 3, 40	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ oMnd)
42		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))
43	42	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡)))
44	43	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))
45	42	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
46	45	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡))
47		archiabllem2.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
48		isogrp 20021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((oppg‘𝑊) ∈ oGrp ↔ ((oppg‘𝑊) ∈ Grp ∧ (oppg‘𝑊) ∈ oMnd))
49	48	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((oppg‘𝑊) ∈ oGrp → (oppg‘𝑊) ∈ oMnd)
50	2, 47, 49	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (oppg‘𝑊) ∈ oMnd)
51	13, 38, 14, 41, 29, 35, 33, 25, 44, 46, 50	omndadd2rd 20028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑌 + 𝑋) ≤ (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
52		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
53	13, 38, 52	ogrpsub 20034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) ∧ (𝑌 + 𝑋) ≤ (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ ((((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
54	4, 17, 31, 37, 51, 53	syl131anc 1385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ ((((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
55	19	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑚 ∈ ℂ)
56	26	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑛 ∈ ℂ)
57		1cnd 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 1 ∈ ℂ)
58	55, 56, 57, 57	add4d 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)))
59		1p1e2 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 + 1) = 2
60	59	oveq2i 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑚 + 𝑛) + 2)
61		addcom 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑚 + 𝑛) = (𝑛 + 𝑚))
62	61	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) + 2) = ((𝑛 + 𝑚) + 2))
63	60, 62	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = ((𝑛 + 𝑚) + 2))
64		2cnd 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
65		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → 𝑛 ∈ ℂ)
66		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → 𝑚 ∈ ℂ)
67	65, 66	addcld 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℂ)
68	64, 67	addcomd 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 + (𝑛 + 𝑚)) = ((𝑛 + 𝑚) + 2))
69	63, 68	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = (2 + (𝑛 + 𝑚)))
70	55, 56, 69	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 𝑛) + (1 + 1)) = (2 + (𝑛 + 𝑚)))
71	58, 70	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) = (2 + (𝑛 + 𝑚)))
72	71	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = ((2 + (𝑛 + 𝑚)) · 𝑡))
73		2z 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 2 ∈ ℤ)
75	26, 19	zaddcld 12602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ)
76	13, 23, 14	mulgdir 19003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → ((2 + (𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
77	18, 74, 75, 22, 76	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((2 + (𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
78	72, 77	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
79	13, 23, 14	mulgdir 19003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
80	18, 20, 27, 22, 79	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) + (𝑛 + 1)) · 𝑡) = (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
81	13, 23, 14	mulg2 18980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐵 → (2 · 𝑡) = (𝑡 + 𝑡))
82	22, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (2 · 𝑡) = (𝑡 + 𝑡))
83	82	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((2 · 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
84	78, 80, 83	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
85	84	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((((𝑚 + 1) · 𝑡) + ((𝑛 + 1) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
86	54, 85	breqtrd 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
87	84, 31	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
88		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
89	13, 14, 88, 52	grpsubval 18882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))))
90	87, 37, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))))
91	86, 90	breqtrd 5121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))))
92		archiabllem.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ < = (lt‘𝑊)
93	2, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
94	13, 88	grpinvcl 18884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
95	18, 37, 94	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
96	75	znegcld 12600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → -(𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ)
97	13, 23	mulgcl 18988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ -(𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)
98	18, 96, 22, 97	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)
99	13, 23, 14	mulgdir 19003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)))
100	18, 26, 19, 22, 99	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)))
101	13, 23	mulgcl 18988	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵)
102	18, 26, 22, 101	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵)
103	13, 23	mulgcl 18988	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵)
104	18, 19, 22, 103	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵)
105	45	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 · 𝑡) < 𝑋)
106	13, 92, 14	ogrpaddlt 20035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 · 𝑡) < 𝑋) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)))
107	4, 102, 33, 104, 105, 106	syl131anc 1385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)))
108	43	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑚 · 𝑡) < 𝑌)
109	13, 92, 14, 4, 93, 104, 35, 33, 108	ogrpaddltrd 20037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌))
110		omndtos 20024	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
111		tospos 18342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ Toset → 𝑊 ∈ Poset)
112	41, 110, 111	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → 𝑊 ∈ Poset)
113	13, 14	grpcl 18838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
114	18, 102, 104, 113	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
115	13, 14	grpcl 18838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑡) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
116	18, 33, 104, 115	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵)
117	13, 92	plttr 18264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Poset ∧ (((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)))
118	112, 114, 116, 37, 117	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) ∧ (𝑋 + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌)))
119	107, 109, 118	mp2and 699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 · 𝑡) + (𝑚 · 𝑡)) < (𝑋 + 𝑌))
120	100, 119	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) < (𝑋 + 𝑌))
121	100, 114	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)
122	13, 92, 88	ogrpinvlt 20041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ oGrp ∧ (oppg‘𝑊) ∈ oGrp) ∧ ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) < (𝑋 + 𝑌) ↔ ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ((invg‘𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
123	4, 93, 121, 37, 122	syl211anc 1378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) < (𝑋 + 𝑌) ↔ ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ((invg‘𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
124	120, 123	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < ((invg‘𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
125	13, 23, 88	mulgneg 18989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((invg‘𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
126	18, 75, 22, 125	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) = ((invg‘𝑊)‘((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
127	124, 126	breqtrrd 5123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) < (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))
128	13, 92, 14, 4, 93, 95, 98, 87, 127	ogrpaddltrd 20037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
129	13, 52	grpsubcl 18917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
130	18, 17, 37, 129	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
131	13, 14	grpcl 18838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐵)
132	18, 87, 95, 131	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐵)
133	13, 14	grpcl 18838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵 ∧ (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
134	18, 87, 98, 133	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)
135	13, 38, 92	plelttr 18266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Poset ∧ (((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) ∈ 𝐵)) → ((((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
136	112, 130, 132, 134, 135	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ≤ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) ∧ (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + ((invg‘𝑊)‘(𝑋 + 𝑌))) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
137	91, 128, 136	mp2and 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
138	13, 14	grpcl 18838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵)
139	18, 22, 22, 138	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵)
140	13, 14	grpass 18839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡) ∈ 𝐵)) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
141	18, 139, 121, 98, 140	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = ((𝑡 + 𝑡) + (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))))
142	56, 55	addcld 11153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℂ)
143	142	negidd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) = 0)
144	143	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = (0 · 𝑡))
145	13, 23, 14	mulgdir 19003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ -(𝑛 + 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → (((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
146	18, 75, 96, 22, 145	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) + -(𝑛 + 𝑚)) · 𝑡) = (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)))
147		archiabllem.0	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
148	13, 147, 23	mulg0 18971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑡) = 0 )
149	22, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (0 · 𝑡) = 0 )
150	144, 146, 149	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = 0 )
151	150	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑡 + 𝑡) + (((𝑛 + 𝑚) · 𝑡) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡))) = ((𝑡 + 𝑡) + 0 ))
152	13, 14, 147	grprid 18865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵) → ((𝑡 + 𝑡) + 0 ) = (𝑡 + 𝑡))
153	18, 139, 152	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑡 + 𝑡) + 0 ) = (𝑡 + 𝑡))
154	141, 151, 153	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → (((𝑡 + 𝑡) + ((𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) + (-(𝑛 + 𝑚) · 𝑡)) = (𝑡 + 𝑡))
155	137, 154	breqtrd 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡))
156	155	3anassrs 1361	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡)))) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡))
157	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ oGrp)
158		archiabllem.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
159	158	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 𝑊 ∈ Archi)
160	159	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ Archi)
161		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 0 < 𝑡)
162	47	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
163	162	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
164	13, 147, 92, 38, 23, 157, 160, 21, 32, 161, 163	archirngz 33141	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)))
165	13, 147, 92, 38, 23, 157, 160, 21, 34, 161, 163	archirngz 33141	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡)))
166		reeanv 3201	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))
167	164, 165, 166	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑛 · 𝑡) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑡)) ∧ ((𝑚 · 𝑡) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑡))))
168	156, 167	r19.29vva 3189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡))
169	157, 40, 110	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ Toset)
170	8, 12, 10, 36	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
171	8, 16, 170, 129	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
172	171	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
173	157, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → 𝑊 ∈ Grp)
174	173, 21, 21, 138	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵)
175	13, 38, 92	tltnle 18344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑡 + 𝑡) ∈ 𝐵) → (((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡) ↔ ¬ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
176	169, 172, 174, 175	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → (((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < (𝑡 + 𝑡) ↔ ¬ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
177	168, 176	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑡) → ¬ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
178	177	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑡) → ¬ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
179	178	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))) → ¬ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
180	1, 179	pm2.21fal 1562	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))) → ⊥)
181		archiabllem2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
182	181	3adant1r 1178	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
183	13, 147, 52	grpsubid 18921	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = 0 )
184	8, 170, 183	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = 0 )
185		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
186	13, 92, 52	ogrpsublt 20039	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
187	6, 170, 16, 170, 185, 186	syl131anc 1385	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) < ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
188	184, 187	eqbrtrrd 5119	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → 0 < ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)))
189	13, 147, 38, 92, 23, 6, 159, 14, 162, 182, 171, 188	archiabllem2a 33146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ∃𝑡 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑡 ∧ (𝑡 + 𝑡) ≤ ((𝑌 + 𝑋)(-g‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
190	180, 189	r19.29a 3137	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋)) → ⊥)
191	190	inegd 1560	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ⊥wfal 1552   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031  -cneg 11366  2c2 12201  ℤcz 12489  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  lecple 17186  0_gc0g 17361  Posetcpo 18231  ltcplt 18232  Tosetctos 18338  Grpcgrp 18830  inv_gcminusg 18831  -_gcsg 18832  ._gcmg 18964  opp_gcoppg 19242  oMndcomnd 20016  oGrpcogrp 20017  Archicarchi 33129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-seq 13927  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-ple 17199  df-0g 17363  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-toset 18339  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-oppg 19243  df-omnd 20018  df-ogrp 20019  df-inftm 33130  df-archi 33131

This theorem is referenced by:  archiabllem2b  33148