Theorem toslat 49612

Description: A toset is a lattice. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
toslat	⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Lat)

Proof of Theorem toslat

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tospos 18462	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
2	1	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → 𝐾 ∈ Poset)
3		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		simplrl 788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
5		simplrr 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
6		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → 𝑥(le‘𝐾)𝑦)
8		eqidd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → {𝑥, 𝑦} = {𝑥, 𝑦})
9		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lubprdm 49593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾))
11	1	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝐾 ∈ Poset)
12		simplrr 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
13		simplrl 788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
14		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑦(le‘𝐾)𝑥)
15		prcom 4694	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥, 𝑦} = {𝑦, 𝑥}
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → {𝑥, 𝑦} = {𝑦, 𝑥})
17	11, 3, 12, 13, 6, 14, 16, 9	lubprdm 49593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾))
18	3, 6	tleile 18463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
19	18	3expb 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
20	10, 17, 19	mpjaodan 973	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾))
21	20	ralrimivva 3208	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾){𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾))
22		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
23	3, 1, 9, 22	joindm2 49598	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾){𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)))
24	21, 23	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
25		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
26	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 25	glbprdm 49596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾))
27	11, 3, 12, 13, 6, 14, 16, 25	glbprdm 49596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾))
28	26, 27, 19	mpjaodan 973	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾))
29	28	ralrimivva 3208	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾){𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾))
30		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
31	3, 1, 25, 30	meetdm2 49600	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → (dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾){𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)))
32	29, 31	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
33	24, 32	jca 520	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
34	3, 22, 30	islat 18477	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
35	1, 33, 34	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Lat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  {cpr 4587   class class class wbr 5104   × cxp 5649  dom cdm 5651  ‘cfv 6525  Basecbs 17257  lecple 17305  Posetcpo 18351  lubclub 18353  glbcglb 18354  joincjn 18355  meetcmee 18356  Tosetctos 18458  Latclat 18475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ple 17318  df-odu 18331  df-proset 18338  df-poset 18357  df-lub 18388  df-glb 18389  df-join 18390  df-meet 18391  df-toset 18459  df-lat 18476

This theorem is referenced by: (None)