Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  toslat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toslat 47607
Description: A toset is a lattice. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
toslat (๐พ โˆˆ Toset โ†’ ๐พ โˆˆ Lat)

Proof of Theorem toslat
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tospos 18373 . 2 (๐พ โˆˆ Toset โ†’ ๐พ โˆˆ Poset)
21ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โˆง ๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ) โ†’ ๐พ โˆˆ Poset)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐พ) = (Baseโ€˜๐พ)
4 simplrl 776 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โˆง ๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
5 simplrr 777 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โˆง ๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (leโ€˜๐พ) = (leโ€˜๐พ)
7 simpr 486 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โˆง ๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ)
8 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โˆง ๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ) โ†’ {๐‘ฅ, ๐‘ฆ} = {๐‘ฅ, ๐‘ฆ})
9 eqid 2733 . . . . . . 7 (lubโ€˜๐พ) = (lubโ€˜๐พ)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lubprdm 47596 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โˆง ๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ) โ†’ {๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โˆˆ dom (lubโ€˜๐พ))
111ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โˆง ๐‘ฆ(leโ€˜๐พ)๐‘ฅ) โ†’ ๐พ โˆˆ Poset)
12 simplrr 777 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โˆง ๐‘ฆ(leโ€˜๐พ)๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
13 simplrl 776 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โˆง ๐‘ฆ(leโ€˜๐พ)๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
14 simpr 486 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โˆง ๐‘ฆ(leโ€˜๐พ)๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ(leโ€˜๐พ)๐‘ฅ)
15 prcom 4737 . . . . . . . 8 {๐‘ฅ, ๐‘ฆ} = {๐‘ฆ, ๐‘ฅ}
1615a1i 11 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โˆง ๐‘ฆ(leโ€˜๐พ)๐‘ฅ) โ†’ {๐‘ฅ, ๐‘ฆ} = {๐‘ฆ, ๐‘ฅ})
1711, 3, 12, 13, 6, 14, 16, 9lubprdm 47596 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โˆง ๐‘ฆ(leโ€˜๐พ)๐‘ฅ) โ†’ {๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โˆˆ dom (lubโ€˜๐พ))
183, 6tleile 18374 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ Toset โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฆ(leโ€˜๐พ)๐‘ฅ))
19183expb 1121 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โ†’ (๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฆ(leโ€˜๐พ)๐‘ฅ))
2010, 17, 19mpjaodan 958 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โ†’ {๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โˆˆ dom (lubโ€˜๐พ))
2120ralrimivva 3201 . . . 4 (๐พ โˆˆ Toset โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ){๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โˆˆ dom (lubโ€˜๐พ))
22 eqid 2733 . . . . 5 (joinโ€˜๐พ) = (joinโ€˜๐พ)
233, 1, 9, 22joindm2 47601 . . . 4 (๐พ โˆˆ Toset โ†’ (dom (joinโ€˜๐พ) = ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ){๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โˆˆ dom (lubโ€˜๐พ)))
2421, 23mpbird 257 . . 3 (๐พ โˆˆ Toset โ†’ dom (joinโ€˜๐พ) = ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)))
25 eqid 2733 . . . . . . 7 (glbโ€˜๐พ) = (glbโ€˜๐พ)
262, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 25glbprdm 47599 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โˆง ๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ) โ†’ {๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โˆˆ dom (glbโ€˜๐พ))
2711, 3, 12, 13, 6, 14, 16, 25glbprdm 47599 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โˆง ๐‘ฆ(leโ€˜๐พ)๐‘ฅ) โ†’ {๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โˆˆ dom (glbโ€˜๐พ))
2826, 27, 19mpjaodan 958 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ Toset โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))) โ†’ {๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โˆˆ dom (glbโ€˜๐พ))
2928ralrimivva 3201 . . . 4 (๐พ โˆˆ Toset โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ){๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โˆˆ dom (glbโ€˜๐พ))
30 eqid 2733 . . . . 5 (meetโ€˜๐พ) = (meetโ€˜๐พ)
313, 1, 25, 30meetdm2 47603 . . . 4 (๐พ โˆˆ Toset โ†’ (dom (meetโ€˜๐พ) = ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ){๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โˆˆ dom (glbโ€˜๐พ)))
3229, 31mpbird 257 . . 3 (๐พ โˆˆ Toset โ†’ dom (meetโ€˜๐พ) = ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)))
3324, 32jca 513 . 2 (๐พ โˆˆ Toset โ†’ (dom (joinโ€˜๐พ) = ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)) โˆง dom (meetโ€˜๐พ) = ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ))))
343, 22, 30islat 18386 . 2 (๐พ โˆˆ Lat โ†” (๐พ โˆˆ Poset โˆง (dom (joinโ€˜๐พ) = ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)) โˆง dom (meetโ€˜๐พ) = ((Baseโ€˜๐พ) ร— (Baseโ€˜๐พ)))))
351, 33, 34sylanbrc 584 1 (๐พ โˆˆ Toset โ†’ ๐พ โˆˆ Lat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ร— cxp 5675  dom cdm 5677  โ€˜cfv 6544  Basecbs 17144  lecple 17204  Posetcpo 18260  lubclub 18262  glbcglb 18263  joincjn 18264  meetcmee 18265  Tosetctos 18369  Latclat 18384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-dec 12678  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ple 17217  df-odu 18240  df-proset 18248  df-poset 18266  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-toset 18370  df-lat 18385
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator