Theorem toslat 49338

Description: A toset is a lattice. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
toslat	⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Lat)

Proof of Theorem toslat

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tospos 18353	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
2	1	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → 𝐾 ∈ Poset)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
5		simplrr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → 𝑥(le‘𝐾)𝑦)
8		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → {𝑥, 𝑦} = {𝑥, 𝑦})
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lubprdm 49319	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾))
11	1	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝐾 ∈ Poset)
12		simplrr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
13		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑦(le‘𝐾)𝑥)
15		prcom 4691	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥, 𝑦} = {𝑦, 𝑥}
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → {𝑥, 𝑦} = {𝑦, 𝑥})
17	11, 3, 12, 13, 6, 14, 16, 9	lubprdm 49319	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾))
18	3, 6	tleile 18354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
19	18	3expb 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
20	10, 17, 19	mpjaodan 961	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾))
21	20	ralrimivva 3181	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾){𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾))
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
23	3, 1, 9, 22	joindm2 49324	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾){𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)))
24	21, 23	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
26	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 25	glbprdm 49322	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾))
27	11, 3, 12, 13, 6, 14, 16, 25	glbprdm 49322	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾))
28	26, 27, 19	mpjaodan 961	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾))
29	28	ralrimivva 3181	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾){𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾))
30		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
31	3, 1, 25, 30	meetdm2 49326	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → (dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾){𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)))
32	29, 31	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
33	24, 32	jca 511	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
34	3, 22, 30	islat 18368	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
35	1, 33, 34	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Lat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {cpr 4584   class class class wbr 5100   × cxp 5630  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  lecple 17196  Posetcpo 18242  lubclub 18244  glbcglb 18245  joincjn 18246  meetcmee 18247  Tosetctos 18349  Latclat 18366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-dec 12620  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ple 17209  df-odu 18222  df-proset 18229  df-poset 18248  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-toset 18350  df-lat 18367

This theorem is referenced by: (None)