Theorem toslat 49469

Description: A toset is a lattice. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
toslat	⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Lat)

Proof of Theorem toslat

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tospos 18375	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
2	1	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → 𝐾 ∈ Poset)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
5		simplrr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → 𝑥(le‘𝐾)𝑦)
8		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → {𝑥, 𝑦} = {𝑥, 𝑦})
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lubprdm 49450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾))
11	1	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝐾 ∈ Poset)
12		simplrr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
13		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑦(le‘𝐾)𝑥)
15		prcom 4677	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥, 𝑦} = {𝑦, 𝑥}
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → {𝑥, 𝑦} = {𝑦, 𝑥})
17	11, 3, 12, 13, 6, 14, 16, 9	lubprdm 49450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾))
18	3, 6	tleile 18376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
19	18	3expb 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
20	10, 17, 19	mpjaodan 961	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾))
21	20	ralrimivva 3181	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾){𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾))
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
23	3, 1, 9, 22	joindm2 49455	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾){𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)))
24	21, 23	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
26	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 25	glbprdm 49453	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑦) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾))
27	11, 3, 12, 13, 6, 14, 16, 25	glbprdm 49453	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾))
28	26, 27, 19	mpjaodan 961	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾))
29	28	ralrimivva 3181	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾){𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾))
30		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
31	3, 1, 25, 30	meetdm2 49457	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → (dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾){𝑥, 𝑦} ∈ dom (glb‘𝐾)))
32	29, 31	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
33	24, 32	jca 511	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
34	3, 22, 30	islat 18390	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
35	1, 33, 34	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Lat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {cpr 4570   class class class wbr 5086   × cxp 5622  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  lecple 17218  Posetcpo 18264  lubclub 18266  glbcglb 18267  joincjn 18268  meetcmee 18269  Tosetctos 18371  Latclat 18388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-dec 12636  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ple 17231  df-odu 18244  df-proset 18251  df-poset 18270  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-toset 18372  df-lat 18389

This theorem is referenced by: (None)