Theorem odutos 31246

Description: Being a toset is a self-dual property. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
odutos.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
odutos	⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Toset)

Proof of Theorem odutos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tospos 18138	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
2		odutos.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)
3	2	odupos 18046	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Poset)
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7	5, 6	tleile 18139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∨ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
8		vex 3436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 3436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	brcnv 5791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑦(le‘𝐾)𝑥)
11	9, 8	brcnv 5791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦◡(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑥(le‘𝐾)𝑦)
12	10, 11	orbi12i 912	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∨ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
13	7, 12	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
14	13	3com23 1125	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
15	14	3expb 1119	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
16	15	ralrimivva 3123	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
17	2, 5	odubas 18009	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐷)
18	2, 6	oduleval 18007	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝐾) = (le‘𝐷)
19	17, 18	istos 18136	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Toset ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥)))
20	4, 16, 19	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5588  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  ODualcodu 18004  Posetcpo 18025  Tosetctos 18134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-dec 12438  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ple 16982  df-odu 18005  df-proset 18013  df-poset 18031  df-toset 18135

This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  31873