Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  odutos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odutos 30209
 Description: Being a toset is a self-dual property. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
odutos.d 𝐷 = (ODual‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
odutos (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Toset)

Proof of Theorem odutos
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tospos 30204 . . 3 (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
2 odutos.d . . . 4 𝐷 = (ODual‘𝐾)
32odupos 17489 . . 3 (𝐾 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
41, 3syl 17 . 2 (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Poset)
5 eqid 2826 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 eqid 2826 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
75, 6tleile 30207 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑥𝑥(le‘𝐾)𝑦))
8 vex 3418 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
9 vex 3418 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
108, 9brcnv 5538 . . . . . . 7 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥)
119, 8brcnv 5538 . . . . . . 7 (𝑦(le‘𝐾)𝑥𝑥(le‘𝐾)𝑦)
1210, 11orbi12i 945 . . . . . 6 ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑦(le‘𝐾)𝑥𝑥(le‘𝐾)𝑦))
137, 12sylibr 226 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥))
14133com23 1162 . . . 4 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥))
15143expb 1155 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥))
1615ralrimivva 3181 . 2 (𝐾 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥))
172, 5odubas 17487 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐷)
182, 6oduleval 17485 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐷)
1917, 18istos 17389 . 2 (𝐷 ∈ Toset ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥)))
204, 16, 19sylanbrc 580 1 (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Toset)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 880   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3118   class class class wbr 4874  ◡ccnv 5342  ‘cfv 6124  Basecbs 16223  lecple 16313  Posetcpo 17294  Tosetctos 17387  ODualcodu 17482 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-dec 11823  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ple 16326  df-proset 17282  df-poset 17300  df-toset 17388  df-odu 17483 This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  30515
 Copyright terms: Public domain W3C validator