Theorem odutos 31148

Description: Being a toset is a self-dual property. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
odutos.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
odutos	⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Toset)

Proof of Theorem odutos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tospos 18053	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
2		odutos.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)
3	2	odupos 17961	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Poset)
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7	5, 6	tleile 18054	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∨ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
8		vex 3426	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 3426	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	brcnv 5780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑦(le‘𝐾)𝑥)
11	9, 8	brcnv 5780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦◡(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑥(le‘𝐾)𝑦)
12	10, 11	orbi12i 911	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∨ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
13	7, 12	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
14	13	3com23 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
15	14	3expb 1118	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
16	15	ralrimivva 3114	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
17	2, 5	odubas 17925	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐷)
18	2, 6	oduleval 17923	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝐾) = (le‘𝐷)
19	17, 18	istos 18051	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Toset ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥)))
20	4, 16, 19	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  ODualcodu 17920  Posetcpo 17940  Tosetctos 18049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-dec 12367  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ple 16908  df-odu 17921  df-proset 17928  df-poset 17946  df-toset 18050

This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  31775