Theorem odutos 32641

Description: Being a toset is a self-dual property. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
odutos.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
odutos	⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Toset)

Proof of Theorem odutos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tospos 18383	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
2		odutos.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)
3	2	odupos 18291	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Poset)
5		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7	5, 6	tleile 18384	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∨ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
8		vex 3472	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 3472	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	brcnv 5875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑦(le‘𝐾)𝑥)
11	9, 8	brcnv 5875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦◡(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑥(le‘𝐾)𝑦)
12	10, 11	orbi12i 911	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∨ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
13	7, 12	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
14	13	3com23 1123	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
15	14	3expb 1117	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
16	15	ralrimivva 3194	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
17	2, 5	odubas 18254	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐷)
18	2, 6	oduleval 18252	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝐾) = (le‘𝐷)
19	17, 18	istos 18381	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Toset ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥)))
20	4, 16, 19	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   class class class wbr 5141  ^◡ccnv 5668  ‘cfv 6536  Basecbs 17151  lecple 17211  ODualcodu 18249  Posetcpo 18270  Tosetctos 18379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-dec 12679  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ple 17224  df-odu 18250  df-proset 18258  df-poset 18276  df-toset 18380

This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  33433