Theorem odutos 32956

Description: Being a toset is a self-dual property. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
odutos.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
odutos	⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Toset)

Proof of Theorem odutos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tospos 18330	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
2		odutos.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)
3	2	odupos 18238	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Poset)
5		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7	5, 6	tleile 18331	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∨ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
8		vex 3440	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 3440	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	brcnv 5827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑦(le‘𝐾)𝑥)
11	9, 8	brcnv 5827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦◡(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑥(le‘𝐾)𝑦)
12	10, 11	orbi12i 914	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∨ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
13	7, 12	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
14	13	3com23 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
15	14	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
16	15	ralrimivva 3175	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
17	2, 5	odubas 18203	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐷)
18	2, 6	oduleval 18201	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝐾) = (le‘𝐷)
19	17, 18	istos 18328	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Toset ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥)))
20	4, 16, 19	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   class class class wbr 5093  ^◡ccnv 5618  ‘cfv 6487  Basecbs 17126  lecple 17174  ODualcodu 18198  Posetcpo 18219  Tosetctos 18326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-dec 12595  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ple 17187  df-odu 18199  df-proset 18206  df-poset 18225  df-toset 18327

This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  33943