Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  odutos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odutos 32708
Description: Being a toset is a self-dual property. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
odutos.d 𝐷 = (ODualβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
odutos (𝐾 ∈ Toset β†’ 𝐷 ∈ Toset)

Proof of Theorem odutos
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tospos 18412 . . 3 (𝐾 ∈ Toset β†’ 𝐾 ∈ Poset)
2 odutos.d . . . 4 𝐷 = (ODualβ€˜πΎ)
32odupos 18320 . . 3 (𝐾 ∈ Poset β†’ 𝐷 ∈ Poset)
41, 3syl 17 . 2 (𝐾 ∈ Toset β†’ 𝐷 ∈ Poset)
5 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 eqid 2728 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
75, 6tleile 18413 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑦(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∨ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦))
8 vex 3475 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
9 vex 3475 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
108, 9brcnv 5885 . . . . . . 7 (π‘₯β—‘(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ 𝑦(leβ€˜πΎ)π‘₯)
119, 8brcnv 5885 . . . . . . 7 (𝑦◑(leβ€˜πΎ)π‘₯ ↔ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦)
1210, 11orbi12i 913 . . . . . 6 ((π‘₯β—‘(leβ€˜πΎ)𝑦 ∨ 𝑦◑(leβ€˜πΎ)π‘₯) ↔ (𝑦(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∨ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦))
137, 12sylibr 233 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘₯β—‘(leβ€˜πΎ)𝑦 ∨ 𝑦◑(leβ€˜πΎ)π‘₯))
14133com23 1124 . . . 4 ((𝐾 ∈ Toset ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘₯β—‘(leβ€˜πΎ)𝑦 ∨ 𝑦◑(leβ€˜πΎ)π‘₯))
15143expb 1118 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘₯β—‘(leβ€˜πΎ)𝑦 ∨ 𝑦◑(leβ€˜πΎ)π‘₯))
1615ralrimivva 3197 . 2 (𝐾 ∈ Toset β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘₯β—‘(leβ€˜πΎ)𝑦 ∨ 𝑦◑(leβ€˜πΎ)π‘₯))
172, 5odubas 18283 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜π·)
182, 6oduleval 18281 . . 3 β—‘(leβ€˜πΎ) = (leβ€˜π·)
1917, 18istos 18410 . 2 (𝐷 ∈ Toset ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘₯β—‘(leβ€˜πΎ)𝑦 ∨ 𝑦◑(leβ€˜πΎ)π‘₯)))
204, 16, 19sylanbrc 582 1 (𝐾 ∈ Toset β†’ 𝐷 ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5677  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  lecple 17240  ODualcodu 18278  Posetcpo 18299  Tosetctos 18408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-dec 12709  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ple 17253  df-odu 18279  df-proset 18287  df-poset 18305  df-toset 18409
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  33524
  Copyright terms: Public domain W3C validator