Theorem odutos 32708

Description: Being a toset is a self-dual property. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
odutos.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
odutos	⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Toset)

Proof of Theorem odutos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tospos 18412	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐾 ∈ Poset)
2		odutos.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝐾)
3	2	odupos 18320	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Poset)
5		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7	5, 6	tleile 18413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∨ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
8		vex 3475	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 3475	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	brcnv 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑦(le‘𝐾)𝑥)
11	9, 8	brcnv 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦◡(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑥(le‘𝐾)𝑦)
12	10, 11	orbi12i 913	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥) ↔ (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∨ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
13	7, 12	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
14	13	3com23 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
15	14	3expb 1118	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
16	15	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥))
17	2, 5	odubas 18283	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐷)
18	2, 6	oduleval 18281	. . 3 ⊢ ◡(le‘𝐾) = (le‘𝐷)
19	17, 18	istos 18410	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Toset ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥◡(le‘𝐾)𝑦 ∨ 𝑦◡(le‘𝐾)𝑥)))
20	4, 16, 19	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐾 ∈ Toset → 𝐷 ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5677  ‘cfv 6548  Basecbs 17180  lecple 17240  ODualcodu 18278  Posetcpo 18299  Tosetctos 18408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-dec 12709  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ple 17253  df-odu 18279  df-proset 18287  df-poset 18305  df-toset 18409

This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  33524