MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tltnle Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tltnle 18379
Description: In a Toset, "less than" is equivalent to the negation of the converse of "less than or equal to", see pltnle 18295. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tleile.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tleile.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
tltnle.s < = (ltβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
tltnle ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋))
Proof of Theorem tltnle
StepHypRef Expression
1 tospos 18377 . . 3 (𝐾 ∈ Toset β†’ 𝐾 ∈ Poset)
2 tleile.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 tleile.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 tltnle.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
52, 3, 4pltval3 18296 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋)))
61, 5syl3an1 1161 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋)))
72, 3tleile 18378 . . 3 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ∨ π‘Œ ≀ 𝑋))
8 ibar 527 . . . 4 ((𝑋 ≀ π‘Œ ∨ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋 ↔ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∨ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋)))
9 pm5.61 997 . . . 4 (((𝑋 ≀ π‘Œ ∨ π‘Œ ≀ 𝑋) ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋))
108, 9bitr2di 287 . . 3 ((𝑋 ≀ π‘Œ ∨ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋))
117, 10syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋) ↔ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋))
126, 11bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ ↔ Β¬ π‘Œ ≀ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  lecple 17208  Posetcpo 18264  ltcplt 18265  Tosetctos 18373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-toset 18374
This theorem is referenced by:  tlt2  32406  toslublem  32409  tosglblem  32411  isarchi2  32601  archirng  32604  archiabllem2c  32611  archiabl  32614
  Copyright terms: Public domain W3C validator