Theorem archiabllem1a 33199

Description: Lemma for archiabl 33206: In case an archimedean group 𝑊 admits a smallest positive element 𝑈, then any positive element 𝑋 of 𝑊 can be written as (𝑛 · 𝑈) with 𝑛 ∈ ℕ. Since the reciprocal holds for negative elements, 𝑊 is then isomorphic to ℤ. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
archiabllem1.p	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
archiabllem1.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
archiabllem1a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem1a.c	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem1a	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑊,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   · ,𝑛,𝑥   0 ,𝑛,𝑥   < ,𝑛,𝑥   𝑥, ≤

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑛)

Proof of Theorem archiabllem1a

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2		nn0p1nn 12567	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
4		archiabllem1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑈 ∈ 𝐵)
6		archiabllem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		archiabllem.m	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑊)
8	6, 7	mulg1 19100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑈) = 𝑈)
9	5, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (1 · 𝑈) = 𝑈)
10	9	oveq1d 7447	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = (𝑈(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
11		archiabllem.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ oGrp)
13		ogrpgrp 33081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ Grp)
15		1zzd 12650	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 1 ∈ ℤ)
16	1	nn0zd 12641	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℤ)
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
18	6, 7, 17	mulgdir 19125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((1 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
19	14, 15, 16, 5, 18	syl13anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((1 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
20		isogrp 33080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
21	20	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
22		omndtos 33083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
23		tospos 18466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Toset → 𝑊 ∈ Poset)
24	12, 21, 22, 23	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ Poset)
25		archiabllem1a.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	25	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	6, 7	mulgcl 19110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵)
28	14, 16, 5, 27	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵)
29		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
30	6, 29	grpsubcl 19039	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵)
31	14, 26, 28, 30	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵)
32	16	peano2zd 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
33	6, 7	mulgcl 19110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵)
34	14, 32, 5, 33	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵)
35		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))
36		archiabllem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
37	6, 36, 29	ogrpsub 33094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈)) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
38	12, 26, 34, 28, 35, 37	syl131anc 1384	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
39	1	nn0cnd 12591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℂ)
40		1cnd 11257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 1 ∈ ℂ)
41	39, 40	pncan2d 11623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 + 1) − 𝑚) = 1)
42	41	oveq1d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (1 · 𝑈))
43	6, 7, 29	mulgsubdir 19133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
44	14, 32, 16, 5, 43	syl13anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
45	42, 44, 9	3eqtr3d 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
46	38, 45	breqtrd 5168	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ 𝑈)
47		archiabllem1.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
48	47	3expia 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥))
49	48	ralrimiva 3145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥))
50	49	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥))
51		archiabllem.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
52	6, 51, 29	grpsubid 19043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 0 )
53	14, 28, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 0 )
54		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 · 𝑈) < 𝑋)
55		archiabllem.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < = (lt‘𝑊)
56	6, 55, 29	ogrpsublt 33099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) ∧ (𝑚 · 𝑈) < 𝑋) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
57	12, 28, 26, 28, 54, 56	syl131anc 1384	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
58	53, 57	eqbrtrrd 5166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
59		breq2 5146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))))
60		breq2 5146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → (𝑈 ≤ 𝑥 ↔ 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))))
61	59, 60	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → (( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥) ↔ ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))))
62	61	rspcv 3617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥) → ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))))
63	31, 50, 58, 62	syl3c 66	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
64	6, 36	posasymb 18366	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Poset ∧ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))) ↔ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈))
65	64	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Poset ∧ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
66	24, 31, 5, 46, 63, 65	syl32anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
67	66	oveq1d 7447	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = (𝑈(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
68	10, 19, 67	3eqtr4rd 2787	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = ((1 + 𝑚) · 𝑈))
69	6, 17, 29	grpnpcan 19051	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑋)
70	14, 26, 28, 69	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑋)
71	40, 39	addcomd 11464	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (1 + 𝑚) = (𝑚 + 1))
72	71	oveq1d 7447	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
73	68, 70, 72	3eqtr3d 2784	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
74		oveq1 7439	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑈) = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
75	74	rspceeqv 3644	. . 3 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 = ((𝑚 + 1) · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
76	3, 73, 75	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
77		archiabllem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
78		archiabllem1.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
79		archiabllem1a.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
80	6, 51, 55, 36, 7, 11, 77, 4, 25, 78, 79	archirng 33196	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈)))
81	76, 80	r19.29a 3161	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  1c1 11157   + caddc 11159   − cmin 11493  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  lecple 17305  0_gc0g 17485  Posetcpo 18354  ltcplt 18355  Tosetctos 18462  Grpcgrp 18952  -_gcsg 18954  ._gcmg 19086  oMndcomnd 33075  oGrpcogrp 33076  Archicarchi 33185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-seq 14044  df-0g 17487  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-toset 18463  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-omnd 33077  df-ogrp 33078  df-inftm 33186  df-archi 33187

This theorem is referenced by:  archiabllem1b  33200