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Theorem archiabllem1a 30442
Description: Lemma for archiabl 30449: In case an archimedean group 𝑊 admits a smallest positive element 𝑈, then any positive element 𝑋 of 𝑊 can be written as (𝑛 · 𝑈) with 𝑛 ∈ ℕ. Since the reciprocal holds for negative elements, 𝑊 is then isomorphic to . (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u (𝜑𝑈𝐵)
archiabllem1.p (𝜑0 < 𝑈)
archiabllem1.s ((𝜑𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
archiabllem1a.x (𝜑𝑋𝐵)
archiabllem1a.c (𝜑0 < 𝑋)
Assertion
Ref Expression
archiabllem1a (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑊,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   · ,𝑛,𝑥   0 ,𝑛,𝑥   < ,𝑛,𝑥   𝑥,
Allowed substitution hint:   (𝑛)

Proof of Theorem archiabllem1a
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 756 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2 nn0p1nn 11741 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . 3 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
4 archiabllem1.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐵)
54ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑈𝐵)
6 archiabllem.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑊)
7 archiabllem.m . . . . . . . 8 · = (.g𝑊)
86, 7mulg1 18010 . . . . . . 7 (𝑈𝐵 → (1 · 𝑈) = 𝑈)
95, 8syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (1 · 𝑈) = 𝑈)
109oveq1d 6985 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = (𝑈(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
11 archiabllem.g . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
1211ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ oGrp)
13 ogrpgrp 30400 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ Grp)
15 1zzd 11819 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 1 ∈ ℤ)
161nn0zd 11891 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℤ)
17 eqid 2772 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
186, 7, 17mulgdir 18033 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈𝐵)) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((1 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
1914, 15, 16, 5, 18syl13anc 1352 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((1 · 𝑈)(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
20 isogrp 30399 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
2120simprbi 489 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
22 omndtos 30402 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
23 tospos 30355 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Toset → 𝑊 ∈ Poset)
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Poset)
2512, 24syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ Poset)
26 archiabllem1a.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐵)
2726ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋𝐵)
286, 7mulgcl 18020 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈𝐵) → (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵)
2914, 16, 5, 28syl3anc 1351 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵)
30 eqid 2772 . . . . . . . . 9 (-g𝑊) = (-g𝑊)
316, 30grpsubcl 17956 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵)
3214, 27, 29, 31syl3anc 1351 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵)
3316peano2zd 11896 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
346, 7mulgcl 18020 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑈𝐵) → ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵)
3514, 33, 5, 34syl3anc 1351 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵)
36 simprr 760 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))
37 archiabllem.e . . . . . . . . . 10 = (le‘𝑊)
386, 37, 30ogrpsub 30414 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑋𝐵 ∧ ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈)) → (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
3912, 27, 35, 29, 36, 38syl131anc 1363 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
401nn0cnd 11762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℂ)
41 1cnd 10426 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 1 ∈ ℂ)
4240, 41pncan2d 10792 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 + 1) − 𝑚) = 1)
4342oveq1d 6985 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (1 · 𝑈))
446, 7, 30mulgsubdir 18041 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈𝐵)) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
4514, 33, 16, 5, 44syl13anc 1352 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
4643, 45, 93eqtr3d 2816 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
4739, 46breqtrd 4949 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) 𝑈)
48 archiabllem1.s . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
49483expia 1101 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 0 < 𝑥𝑈 𝑥))
5049ralrimiva 3126 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑈 𝑥))
5150ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ∀𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑈 𝑥))
52 archiabllem.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
536, 52, 30grpsubid 17960 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → ((𝑚 · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 0 )
5414, 29, 53syl2anc 576 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 0 )
55 simprl 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 · 𝑈) < 𝑋)
56 archiabllem.t . . . . . . . . . . 11 < = (lt‘𝑊)
576, 56, 30ogrpsublt 30419 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵𝑋𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) ∧ (𝑚 · 𝑈) < 𝑋) → ((𝑚 · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) < (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
5812, 29, 27, 29, 55, 57syl131anc 1363 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 · 𝑈)(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) < (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
5954, 58eqbrtrrd 4947 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 0 < (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
60 breq2 4927 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → ( 0 < 𝑥0 < (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈))))
61 breq2 4927 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → (𝑈 𝑥𝑈 (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈))))
6260, 61imbi12d 337 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → (( 0 < 𝑥𝑈 𝑥) ↔ ( 0 < (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))))
6362rspcv 3525 . . . . . . . 8 ((𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵 → (∀𝑥𝐵 ( 0 < 𝑥𝑈 𝑥) → ( 0 < (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))))
6432, 51, 59, 63syl3c 66 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑈 (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
656, 37posasymb 17410 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Poset ∧ (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵𝑈𝐵) → (((𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) 𝑈𝑈 (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈))) ↔ (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈))
6665biimpa 469 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Poset ∧ (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵𝑈𝐵) ∧ ((𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) 𝑈𝑈 (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))) → (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
6725, 32, 5, 47, 64, 66syl32anc 1358 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
6867oveq1d 6985 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = (𝑈(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
6910, 19, 683eqtr4rd 2819 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = ((1 + 𝑚) · 𝑈))
706, 17, 30grpnpcan 17968 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑋)
7114, 27, 29, 70syl3anc 1351 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑋)
7241, 40addcomd 10634 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (1 + 𝑚) = (𝑚 + 1))
7372oveq1d 6985 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
7469, 71, 733eqtr3d 2816 . . 3 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
75 oveq1 6977 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑈) = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
7675rspceeqv 3547 . . 3 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 = ((𝑚 + 1) · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
773, 74, 76syl2anc 576 . 2 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
78 archiabllem.a . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
79 archiabllem1.p . . 3 (𝜑0 < 𝑈)
80 archiabllem1a.c . . 3 (𝜑0 < 𝑋)
816, 52, 56, 37, 7, 11, 78, 4, 26, 79, 80archirng 30439 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋𝑋 ((𝑚 + 1) · 𝑈)))
8277, 81r19.29a 3228 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wral 3082  wrex 3083   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  1c1 10328   + caddc 10330  cmin 10662  cn 11431  0cn0 11700  cz 11786  Basecbs 16329  +gcplusg 16411  lecple 16418  0gc0g 16559  Posetcpo 17398  ltcplt 17399  Tosetctos 17491  Grpcgrp 17881  -gcsg 17883  .gcmg 18001  oMndcomnd 30394  oGrpcogrp 30395  Archicarchi 30428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-seq 13178  df-0g 16561  df-proset 17386  df-poset 17404  df-plt 17416  df-toset 17492  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-mulg 18002  df-omnd 30396  df-ogrp 30397  df-inftm 30429  df-archi 30430
This theorem is referenced by:  archiabllem1b  30443
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