Theorem archiabllem1a 30820

Description: Lemma for archiabl 30827: In case an archimedean group 𝑊 admits a smallest positive element 𝑈, then any positive element 𝑋 of 𝑊 can be written as (𝑛 · 𝑈) with 𝑛 ∈ ℕ. Since the reciprocal holds for negative elements, 𝑊 is then isomorphic to ℤ. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
archiabllem1.p	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
archiabllem1.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
archiabllem1a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem1a.c	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem1a	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑊,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   · ,𝑛,𝑥   0 ,𝑛,𝑥   < ,𝑛,𝑥   𝑥, ≤

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑛)

Proof of Theorem archiabllem1a

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2		nn0p1nn 11937	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
4		archiabllem1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
5	4	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑈 ∈ 𝐵)
6		archiabllem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		archiabllem.m	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑊)
8	6, 7	mulg1 18235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑈) = 𝑈)
9	5, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (1 · 𝑈) = 𝑈)
10	9	oveq1d 7171	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = (𝑈(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
11		archiabllem.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
12	11	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ oGrp)
13		ogrpgrp 30704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ Grp)
15		1zzd 12014	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 1 ∈ ℤ)
16	1	nn0zd 12086	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℤ)
17		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
18	6, 7, 17	mulgdir 18259	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((1 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
19	14, 15, 16, 5, 18	syl13anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((1 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
20		isogrp 30703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
21	20	simprbi 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
22		omndtos 30706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
23		tospos 30645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Toset → 𝑊 ∈ Poset)
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Poset)
25	12, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ Poset)
26		archiabllem1a.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
28	6, 7	mulgcl 18245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵)
29	14, 16, 5, 28	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵)
30		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
31	6, 30	grpsubcl 18179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵)
32	14, 27, 29, 31	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵)
33	16	peano2zd 12091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
34	6, 7	mulgcl 18245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵)
35	14, 33, 5, 34	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵)
36		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))
37		archiabllem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
38	6, 37, 30	ogrpsub 30717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈)) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
39	12, 27, 35, 29, 36, 38	syl131anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
40	1	nn0cnd 11958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℂ)
41		1cnd 10636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 1 ∈ ℂ)
42	40, 41	pncan2d 10999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 + 1) − 𝑚) = 1)
43	42	oveq1d 7171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (1 · 𝑈))
44	6, 7, 30	mulgsubdir 18267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
45	14, 33, 16, 5, 44	syl13anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
46	43, 45, 9	3eqtr3d 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
47	39, 46	breqtrd 5092	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ 𝑈)
48		archiabllem1.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
49	48	3expia 1117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥))
50	49	ralrimiva 3182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥))
51	50	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥))
52		archiabllem.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
53	6, 52, 30	grpsubid 18183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 0 )
54	14, 29, 53	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 0 )
55		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 · 𝑈) < 𝑋)
56		archiabllem.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < = (lt‘𝑊)
57	6, 56, 30	ogrpsublt 30722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) ∧ (𝑚 · 𝑈) < 𝑋) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
58	12, 29, 27, 29, 55, 57	syl131anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
59	54, 58	eqbrtrrd 5090	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
60		breq2 5070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))))
61		breq2 5070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → (𝑈 ≤ 𝑥 ↔ 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))))
62	60, 61	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → (( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥) ↔ ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))))
63	62	rspcv 3618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥) → ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))))
64	32, 51, 59, 63	syl3c 66	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
65	6, 37	posasymb 17562	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Poset ∧ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))) ↔ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈))
66	65	biimpa 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Poset ∧ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
67	25, 32, 5, 47, 64, 66	syl32anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
68	67	oveq1d 7171	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = (𝑈(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
69	10, 19, 68	3eqtr4rd 2867	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = ((1 + 𝑚) · 𝑈))
70	6, 17, 30	grpnpcan 18191	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑋)
71	14, 27, 29, 70	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑋)
72	41, 40	addcomd 10842	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (1 + 𝑚) = (𝑚 + 1))
73	72	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
74	69, 71, 73	3eqtr3d 2864	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
75		oveq1 7163	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑈) = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
76	75	rspceeqv 3638	. . 3 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 = ((𝑚 + 1) · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
77	3, 74, 76	syl2anc 586	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
78		archiabllem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
79		archiabllem1.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
80		archiabllem1a.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
81	6, 52, 56, 37, 7, 11, 78, 4, 26, 79, 80	archirng 30817	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈)))
82	77, 81	r19.29a 3289	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  1c1 10538   + caddc 10540   − cmin 10870  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  lecple 16572  0_gc0g 16713  Posetcpo 17550  ltcplt 17551  Tosetctos 17643  Grpcgrp 18103  -_gcsg 18105  ._gcmg 18224  oMndcomnd 30698  oGrpcogrp 30699  Archicarchi 30806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-seq 13371  df-0g 16715  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-toset 17644  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-omnd 30700  df-ogrp 30701  df-inftm 30807  df-archi 30808

This theorem is referenced by:  archiabllem1b  30821