Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem1a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem archiabllem1a 32324
Description: Lemma for archiabl 32331: In case an archimedean group π‘Š admits a smallest positive element π‘ˆ, then any positive element 𝑋 of π‘Š can be written as (𝑛 Β· π‘ˆ) with 𝑛 ∈ β„•. Since the reciprocal holds for negative elements, π‘Š is then isomorphic to β„€. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
archiabllem.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
archiabllem.e ≀ = (leβ€˜π‘Š)
archiabllem.t < = (ltβ€˜π‘Š)
archiabllem.m Β· = (.gβ€˜π‘Š)
archiabllem.g (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
archiabllem.a (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
archiabllem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
archiabllem1.p (πœ‘ β†’ 0 < π‘ˆ)
archiabllem1.s ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
archiabllem1a.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
archiabllem1a.c (πœ‘ β†’ 0 < 𝑋)
Assertion
Ref Expression
archiabllem1a (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑋 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐡   π‘ˆ,𝑛,π‘₯   𝑛,π‘Š,π‘₯   𝑛,𝑋,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯   Β· ,𝑛,π‘₯   0 ,𝑛,π‘₯   < ,𝑛,π‘₯   π‘₯, ≀
Allowed substitution hint:   ≀ (𝑛)
Proof of Theorem archiabllem1a
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
2 nn0p1nn 12507 . . . 4 (π‘š ∈ β„•0 β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
31, 2syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
4 archiabllem1.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
54ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
6 archiabllem.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
7 archiabllem.m . . . . . . . 8 Β· = (.gβ€˜π‘Š)
86, 7mulg1 18955 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝐡 β†’ (1 Β· π‘ˆ) = π‘ˆ)
95, 8syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ (1 Β· π‘ˆ) = π‘ˆ)
109oveq1d 7420 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ ((1 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) = (π‘ˆ(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
11 archiabllem.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
1211ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
13 ogrpgrp 32208 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ π‘Š ∈ Grp)
15 1zzd 12589 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ 1 ∈ β„€)
161nn0zd 12580 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ π‘š ∈ β„€)
17 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
186, 7, 17mulgdir 18980 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (1 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡)) β†’ ((1 + π‘š) Β· π‘ˆ) = ((1 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
1914, 15, 16, 5, 18syl13anc 1372 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ ((1 + π‘š) Β· π‘ˆ) = ((1 Β· π‘ˆ)(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
20 isogrp 32207 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ oGrp ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Š ∈ oMnd))
2120simprbi 497 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ oMnd)
22 omndtos 32210 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ oMnd β†’ π‘Š ∈ Toset)
23 tospos 18369 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Toset β†’ π‘Š ∈ Poset)
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Poset)
2512, 24syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ π‘Š ∈ Poset)
26 archiabllem1a.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2726ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
286, 7mulgcl 18965 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡) β†’ (π‘š Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡)
2914, 16, 5, 28syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ (π‘š Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡)
30 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
316, 30grpsubcl 18899 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘š Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) ∈ 𝐡)
3214, 27, 29, 31syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) ∈ 𝐡)
3316peano2zd 12665 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„€)
346, 7mulgcl 18965 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘š + 1) ∈ β„€ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡)
3514, 33, 5, 34syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡)
36 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))
37 archiabllem.e . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜π‘Š)
386, 37, 30ogrpsub 32221 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘š Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) ≀ (((π‘š + 1) Β· π‘ˆ)(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
3912, 27, 35, 29, 36, 38syl131anc 1383 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) ≀ (((π‘š + 1) Β· π‘ˆ)(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
401nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
41 1cnd 11205 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ 1 ∈ β„‚)
4240, 41pncan2d 11569 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ ((π‘š + 1) βˆ’ π‘š) = 1)
4342oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ (((π‘š + 1) βˆ’ π‘š) Β· π‘ˆ) = (1 Β· π‘ˆ))
446, 7, 30mulgsubdir 18988 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ ((π‘š + 1) ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘š + 1) βˆ’ π‘š) Β· π‘ˆ) = (((π‘š + 1) Β· π‘ˆ)(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
4514, 33, 16, 5, 44syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ (((π‘š + 1) βˆ’ π‘š) Β· π‘ˆ) = (((π‘š + 1) Β· π‘ˆ)(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
4643, 45, 93eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ (((π‘š + 1) Β· π‘ˆ)(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) = π‘ˆ)
4739, 46breqtrd 5173 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) ≀ π‘ˆ)
48 archiabllem1.s . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
49483expia 1121 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < π‘₯ β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯))
5049ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯))
5150ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯))
52 archiabllem.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘Š)
536, 52, 30grpsubid 18903 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘š Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) = 0 )
5414, 29, 53syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) = 0 )
55 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ (π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋)
56 archiabllem.t . . . . . . . . . . 11 < = (ltβ€˜π‘Š)
576, 56, 30ogrpsublt 32226 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘š Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡) ∧ (π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) < (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
5812, 29, 27, 29, 55, 57syl131anc 1383 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ ((π‘š Β· π‘ˆ)(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) < (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
5954, 58eqbrtrrd 5171 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ 0 < (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
60 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ ( 0 < π‘₯ ↔ 0 < (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ))))
61 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ (π‘ˆ ≀ π‘₯ ↔ π‘ˆ ≀ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ))))
6260, 61imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ (( 0 < π‘₯ β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯) ↔ ( 0 < (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))))
6362rspcv 3608 . . . . . . . 8 ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯) β†’ ( 0 < (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))))
6432, 51, 59, 63syl3c 66 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
656, 37posasymb 18268 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Poset ∧ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) ∈ 𝐡 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) ≀ π‘ˆ ∧ π‘ˆ ≀ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ))) ↔ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) = π‘ˆ))
6665biimpa 477 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Poset ∧ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) ∈ 𝐡 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) ≀ π‘ˆ ∧ π‘ˆ ≀ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) = π‘ˆ)
6725, 32, 5, 47, 64, 66syl32anc 1378 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) = π‘ˆ)
6867oveq1d 7420 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ))(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) = (π‘ˆ(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)))
6910, 19, 683eqtr4rd 2783 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ))(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) = ((1 + π‘š) Β· π‘ˆ))
706, 17, 30grpnpcan 18911 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘š Β· π‘ˆ) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ))(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) = 𝑋)
7114, 27, 29, 70syl3anc 1371 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ))(+gβ€˜π‘Š)(π‘š Β· π‘ˆ)) = 𝑋)
7241, 40addcomd 11412 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ (1 + π‘š) = (π‘š + 1))
7372oveq1d 7420 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ ((1 + π‘š) Β· π‘ˆ) = ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))
7469, 71, 733eqtr3d 2780 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ 𝑋 = ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))
75 oveq1 7412 . . . 4 (𝑛 = (π‘š + 1) β†’ (𝑛 Β· π‘ˆ) = ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))
7675rspceeqv 3632 . . 3 (((π‘š + 1) ∈ β„• ∧ 𝑋 = ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑋 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
773, 74, 76syl2anc 584 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑋 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
78 archiabllem.a . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
79 archiabllem1.p . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < π‘ˆ)
80 archiabllem1a.c . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑋)
816, 52, 56, 37, 7, 11, 78, 4, 26, 79, 80archirng 32321 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„•0 ((π‘š Β· π‘ˆ) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ ((π‘š + 1) Β· π‘ˆ)))
8277, 81r19.29a 3162 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑋 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107   + caddc 11109   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  lecple 17200  0gc0g 17381  Posetcpo 18256  ltcplt 18257  Tosetctos 18365  Grpcgrp 18815  -gcsg 18817  .gcmg 18944  oMndcomnd 32202  oGrpcogrp 32203  Archicarchi 32310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-0g 17383  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-toset 18366  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-omnd 32204  df-ogrp 32205  df-inftm 32311  df-archi 32312
This theorem is referenced by:  archiabllem1b  32325
  Copyright terms: Public domain W3C validator