Theorem archiabllem1a 33194

Description: Lemma for archiabl 33201: In case an archimedean group 𝑊 admits a smallest positive element 𝑈, then any positive element 𝑋 of 𝑊 can be written as (𝑛 · 𝑈) with 𝑛 ∈ ℕ. Since the reciprocal holds for negative elements, 𝑊 is then isomorphic to ℤ. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
archiabllem1.p	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
archiabllem1.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
archiabllem1a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem1a.c	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem1a	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑊,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   · ,𝑛,𝑥   0 ,𝑛,𝑥   < ,𝑛,𝑥   𝑥, ≤

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑛)

Proof of Theorem archiabllem1a

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2		nn0p1nn 12545	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
4		archiabllem1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑈 ∈ 𝐵)
6		archiabllem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		archiabllem.m	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑊)
8	6, 7	mulg1 19069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑈) = 𝑈)
9	5, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (1 · 𝑈) = 𝑈)
10	9	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = (𝑈(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
11		archiabllem.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ oGrp)
13		ogrpgrp 33076	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ Grp)
15		1zzd 12628	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 1 ∈ ℤ)
16	1	nn0zd 12619	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℤ)
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
18	6, 7, 17	mulgdir 19094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((1 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
19	14, 15, 16, 5, 18	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((1 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
20		isogrp 33075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
21	20	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
22		omndtos 33078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
23		tospos 18435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Toset → 𝑊 ∈ Poset)
24	12, 21, 22, 23	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ Poset)
25		archiabllem1a.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	25	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	6, 7	mulgcl 19079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵)
28	14, 16, 5, 27	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵)
29		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
30	6, 29	grpsubcl 19008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵)
31	14, 26, 28, 30	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵)
32	16	peano2zd 12705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
33	6, 7	mulgcl 19079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵)
34	14, 32, 5, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵)
35		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))
36		archiabllem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
37	6, 36, 29	ogrpsub 33089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈)) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
38	12, 26, 34, 28, 35, 37	syl131anc 1385	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
39	1	nn0cnd 12569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℂ)
40		1cnd 11235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 1 ∈ ℂ)
41	39, 40	pncan2d 11601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 + 1) − 𝑚) = 1)
42	41	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (1 · 𝑈))
43	6, 7, 29	mulgsubdir 19102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
44	14, 32, 16, 5, 43	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
45	42, 44, 9	3eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
46	38, 45	breqtrd 5150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ 𝑈)
47		archiabllem1.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
48	47	3expia 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥))
49	48	ralrimiva 3133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥))
50	49	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥))
51		archiabllem.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
52	6, 51, 29	grpsubid 19012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 0 )
53	14, 28, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 0 )
54		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 · 𝑈) < 𝑋)
55		archiabllem.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < = (lt‘𝑊)
56	6, 55, 29	ogrpsublt 33094	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) ∧ (𝑚 · 𝑈) < 𝑋) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
57	12, 28, 26, 28, 54, 56	syl131anc 1385	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
58	53, 57	eqbrtrrd 5148	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
59		breq2 5128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))))
60		breq2 5128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → (𝑈 ≤ 𝑥 ↔ 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))))
61	59, 60	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → (( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥) ↔ ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))))
62	61	rspcv 3602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥) → ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))))
63	31, 50, 58, 62	syl3c 66	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
64	6, 36	posasymb 18336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Poset ∧ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))) ↔ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈))
65	64	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Poset ∧ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
66	24, 31, 5, 46, 63, 65	syl32anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
67	66	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = (𝑈(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
68	10, 19, 67	3eqtr4rd 2782	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = ((1 + 𝑚) · 𝑈))
69	6, 17, 29	grpnpcan 19020	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑋)
70	14, 26, 28, 69	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑋)
71	40, 39	addcomd 11442	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (1 + 𝑚) = (𝑚 + 1))
72	71	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
73	68, 70, 72	3eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
74		oveq1 7417	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑈) = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
75	74	rspceeqv 3629	. . 3 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 = ((𝑚 + 1) · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
76	3, 73, 75	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
77		archiabllem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
78		archiabllem1.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
79		archiabllem1a.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
80	6, 51, 55, 36, 7, 11, 77, 4, 25, 78, 79	archirng 33191	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈)))
81	76, 80	r19.29a 3149	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11135   + caddc 11137   − cmin 11471  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  lecple 17283  0_gc0g 17458  Posetcpo 18324  ltcplt 18325  Tosetctos 18431  Grpcgrp 18921  -_gcsg 18923  ._gcmg 19055  oMndcomnd 33070  oGrpcogrp 33071  Archicarchi 33180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-seq 14025  df-0g 17460  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-toset 18432  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-omnd 33072  df-ogrp 33073  df-inftm 33181  df-archi 33182

This theorem is referenced by:  archiabllem1b  33195