Theorem archiabllem1a 33252

Description: Lemma for archiabl 33259: In case an archimedean group 𝑊 admits a smallest positive element 𝑈, then any positive element 𝑋 of 𝑊 can be written as (𝑛 · 𝑈) with 𝑛 ∈ ℕ. Since the reciprocal holds for negative elements, 𝑊 is then isomorphic to ℤ. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
archiabllem1.p	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
archiabllem1.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
archiabllem1a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem1a.c	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem1a	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑊,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   · ,𝑛,𝑥   0 ,𝑛,𝑥   < ,𝑛,𝑥   𝑥, ≤

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑛)

Proof of Theorem archiabllem1a

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2		nn0p1nn 12476	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
4		archiabllem1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
5	4	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑈 ∈ 𝐵)
6		archiabllem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		archiabllem.m	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑊)
8	6, 7	mulg1 19057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑈) = 𝑈)
9	5, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (1 · 𝑈) = 𝑈)
10	9	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = (𝑈(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
11		archiabllem.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
12	11	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ oGrp)
13		ogrpgrp 20100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ Grp)
15		1zzd 12558	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 1 ∈ ℤ)
16	1	nn0zd 12549	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℤ)
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
18	6, 7, 17	mulgdir 19082	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((1 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
19	14, 15, 16, 5, 18	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((1 · 𝑈)(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
20		isogrp 20099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
21	20	simprbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
22		omndtos 20102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
23		tospos 18384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Toset → 𝑊 ∈ Poset)
24	12, 21, 22, 23	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑊 ∈ Poset)
25		archiabllem1a.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	25	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	6, 7	mulgcl 19067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵)
28	14, 16, 5, 27	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵)
29		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
30	6, 29	grpsubcl 18996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵)
31	14, 26, 28, 30	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵)
32	16	peano2zd 12636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 + 1) ∈ ℤ)
33	6, 7	mulgcl 19067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵)
34	14, 32, 5, 33	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵)
35		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))
36		archiabllem.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
37	6, 36, 29	ogrpsub 20112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑚 + 1) · 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈)) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
38	12, 26, 34, 28, 35, 37	syl131anc 1386	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
39	1	nn0cnd 12500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑚 ∈ ℂ)
40		1cnd 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 1 ∈ ℂ)
41	39, 40	pncan2d 11507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 + 1) − 𝑚) = 1)
42	41	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (1 · 𝑈))
43	6, 7, 29	mulgsubdir 19090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑚 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
44	14, 32, 16, 5, 43	syl13anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) − 𝑚) · 𝑈) = (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
45	42, 44, 9	3eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (((𝑚 + 1) · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
46	38, 45	breqtrd 5111	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ 𝑈)
47		archiabllem1.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
48	47	3expia 1122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥))
49	48	ralrimiva 3129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥))
50	49	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥))
51		archiabllem.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
52	6, 51, 29	grpsubid 19000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 0 )
53	14, 28, 52	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 0 )
54		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑚 · 𝑈) < 𝑋)
55		archiabllem.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < = (lt‘𝑊)
56	6, 55, 29	ogrpsublt 20117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ ((𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) ∧ (𝑚 · 𝑈) < 𝑋) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
57	12, 28, 26, 28, 54, 56	syl131anc 1386	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑚 · 𝑈)(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
58	53, 57	eqbrtrrd 5109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
59		breq2 5089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))))
60		breq2 5089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → (𝑈 ≤ 𝑥 ↔ 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))))
61	59, 60	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → (( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥) ↔ ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))))
62	61	rspcv 3560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → 𝑈 ≤ 𝑥) → ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))))
63	31, 50, 58, 62	syl3c 66	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
64	6, 36	posasymb 18285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Poset ∧ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))) ↔ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈))
65	64	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Poset ∧ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) ≤ 𝑈 ∧ 𝑈 ≤ (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
66	24, 31, 5, 46, 63, 65	syl32anc 1381	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑈)
67	66	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = (𝑈(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)))
68	10, 19, 67	3eqtr4rd 2782	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = ((1 + 𝑚) · 𝑈))
69	6, 17, 29	grpnpcan 19008	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑚 · 𝑈) ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑋)
70	14, 26, 28, 69	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((𝑋(-g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈))(+g‘𝑊)(𝑚 · 𝑈)) = 𝑋)
71	40, 39	addcomd 11348	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → (1 + 𝑚) = (𝑚 + 1))
72	71	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ((1 + 𝑚) · 𝑈) = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
73	68, 70, 72	3eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → 𝑋 = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
74		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑈) = ((𝑚 + 1) · 𝑈))
75	74	rspceeqv 3587	. . 3 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋 = ((𝑚 + 1) · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
76	3, 73, 75	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))
77		archiabllem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
78		archiabllem1.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
79		archiabllem1a.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
80	6, 51, 55, 36, 7, 11, 77, 4, 25, 78, 79	archirng 33249	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((𝑚 · 𝑈) < 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ ((𝑚 + 1) · 𝑈)))
81	76, 80	r19.29a 3145	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑋 = (𝑛 · 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  lecple 17227  0_gc0g 17402  Posetcpo 18273  ltcplt 18274  Tosetctos 18380  Grpcgrp 18909  -_gcsg 18911  ._gcmg 19043  oMndcomnd 20094  oGrpcogrp 20095  Archicarchi 33238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-0g 17404  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-toset 18381  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-omnd 20096  df-ogrp 20097  df-inftm 33239  df-archi 33240

This theorem is referenced by:  archiabllem1b  33253