Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orngsqr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem orngsqr 32692
Description: In an ordered ring, all squares are positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
orngmul.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
orngmul.1 ≀ = (leβ€˜π‘…)
orngmul.2 0 = (0gβ€˜π‘…)
orngmul.3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
orngsqr ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· 𝑋))
Proof of Theorem orngsqr
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ oRing)
2 simplr 765 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simpr 483 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ 𝑋)
4 orngmul.0 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
5 orngmul.1 . . . 4 ≀ = (leβ€˜π‘…)
6 orngmul.2 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
7 orngmul.3 . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
84, 5, 6, 7orngmul 32691 . . 3 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· 𝑋))
91, 2, 3, 2, 3, 8syl122anc 1377 . 2 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· 𝑋))
10 simpll 763 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ oRing)
11 orngring 32688 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1211ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
13 ringgrp 20132 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
15 simplr 765 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
16 eqid 2730 . . . . . 6 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
174, 16grpinvcl 18908 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
1814, 15, 17syl2anc 582 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
19 orngogrp 32689 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ oGrp)
20 isogrp 32490 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
2120simprbi 495 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ oGrp β†’ 𝑅 ∈ oMnd)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ oMnd)
2310, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ oMnd)
244, 6grpidcl 18886 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
2514, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ∈ 𝐡)
26 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ oRing)
2711, 13, 243syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ oRing β†’ 0 ∈ 𝐡)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
29 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3026, 28, 293jca 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
31 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (ltβ€˜π‘…) = (ltβ€˜π‘…)
325, 31pltle 18290 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 β†’ 0 ≀ 𝑋))
3332con3dimp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ Β¬ 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋)
3430, 33sylan 578 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ Β¬ 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋)
35 omndtos 32493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ oMnd β†’ 𝑅 ∈ Toset)
3622, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ Toset)
374, 5, 31tosso 18376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Toset β†’ (𝑅 ∈ Toset ↔ ((ltβ€˜π‘…) Or 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐡) βŠ† ≀ )))
3837ibi 266 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Toset β†’ ((ltβ€˜π‘…) Or 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐡) βŠ† ≀ ))
3938simpld 493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Toset β†’ (ltβ€˜π‘…) Or 𝐡)
4010, 36, 393syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ (ltβ€˜π‘…) Or 𝐡)
41 solin 5612 . . . . . . . . . . 11 (((ltβ€˜π‘…) Or 𝐡 ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ( 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ))
4240, 25, 15, 41syl12anc 833 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ ( 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ))
43 3orass 1088 . . . . . . . . . 10 (( 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ) ↔ ( 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 )))
4442, 43sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ ( 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 )))
45 orel1 885 . . . . . . . . 9 (Β¬ 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 β†’ (( 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 )) β†’ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 )))
4634, 44, 45sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ))
47 orcom 866 . . . . . . . . 9 (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ) ↔ (𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ∨ 0 = 𝑋))
48 eqcom 2737 . . . . . . . . . 10 ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
4948orbi2i 909 . . . . . . . . 9 ((𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ∨ 0 = 𝑋) ↔ (𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
5047, 49bitri 274 . . . . . . . 8 (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ) ↔ (𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
5146, 50sylib 217 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
52 tospos 18377 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Toset β†’ 𝑅 ∈ Poset)
5310, 36, 523syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ Poset)
544, 5, 31pleval2 18294 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ 0 ↔ (𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ∨ 𝑋 = 0 )))
5553, 15, 25, 54syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ≀ 0 ↔ (𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ∨ 𝑋 = 0 )))
5651, 55mpbird 256 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ≀ 0 )
57 eqid 2730 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
584, 5, 57omndadd 32494 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ 0 ) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) ≀ ( 0 (+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)))
5923, 15, 25, 18, 56, 58syl131anc 1381 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) ≀ ( 0 (+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)))
604, 57, 6, 16grprinv 18911 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = 0 )
6114, 15, 60syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = 0 )
624, 57, 6grplid 18888 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹))
6314, 18, 62syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹))
6459, 61, 633brtr3d 5178 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹))
654, 5, 6, 7orngmul 32691 . . . 4 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) ∧ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹))) β†’ 0 ≀ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) Β· ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)))
6610, 18, 64, 18, 64, 65syl122anc 1377 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) Β· ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)))
674, 7, 16, 12, 15, 15ringm2neg 20194 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) Β· ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = (𝑋 Β· 𝑋))
6866, 67breqtrd 5173 . 2 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· 𝑋))
699, 68pm2.61dan 809 1 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∨ w3o 1084   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   I cid 5572   Or wor 5586   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  lecple 17208  0gc0g 17389  Posetcpo 18264  ltcplt 18265  Tosetctos 18373  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  Ringcrg 20127  oMndcomnd 32485  oGrpcogrp 32486  oRingcorng 32683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-toset 18374  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-omnd 32487  df-ogrp 32488  df-orng 32685
This theorem is referenced by:  orng0le1  32700
  Copyright terms: Public domain W3C validator