Theorem orngsqr 20769

Description: In an ordered ring, all squares are positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orngmul.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
orngmul.1	⊢ ≤ = (le‘𝑅)
orngmul.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
orngmul.3	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
orngsqr	⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))

Proof of Theorem orngsqr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
2		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ 𝑋)
4		orngmul.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		orngmul.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑅)
6		orngmul.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		orngmul.3	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	orngmul 20768	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))
9	1, 2, 3, 2, 3, 8	syl122anc 1381	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))
10		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
11		orngring 20765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
13		ringgrp 20141	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Grp)
15		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
17	4, 16	grpinvcl 18884	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	14, 15, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
19		orngogrp 20766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
20		isogrp 20021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
21	20	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oMnd)
23	10, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ oMnd)
24	4, 6	grpidcl 18862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
25	14, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ∈ 𝐵)
26		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ oRing)
27	26, 11, 13, 24	4syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	26, 27, 28	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
30		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lt‘𝑅) = (lt‘𝑅)
31	5, 30	pltle 18255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 → 0 ≤ 𝑋))
32	31	con3dimp 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
33	29, 32	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
34		omndtos 20024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ oMnd → 𝑅 ∈ Toset)
35	4, 5, 30	tosso 18341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → (𝑅 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ ≤ )))
36	35	ibi 267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ ≤ ))
37	36	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
38	10, 22, 34, 37	4syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
39		solin 5558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
40	38, 25, 15, 39	syl12anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
41		3orass 1089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
42	40, 41	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
43		orel1 888	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋 → (( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )) → ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
44	33, 42, 43	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
45		orcom 870	. . . . . . . . 9 ⊢ (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 0 = 𝑋))
46		eqcom 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
47	46	orbi2i 912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 0 = 𝑋) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
48	45, 47	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
49	44, 48	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
50		tospos 18342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → 𝑅 ∈ Poset)
51	10, 22, 34, 50	4syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Poset)
52	4, 5, 30	pleval2 18259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 )))
53	51, 15, 25, 52	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋 ≤ 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 )))
54	49, 53	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≤ 0 )
55		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
56	4, 5, 55	omndadd 20025	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 0 ) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) ≤ ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)))
57	23, 15, 25, 18, 54, 56	syl131anc 1385	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) ≤ ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)))
58	4, 55, 6, 16	grprinv 18887	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = 0 )
59	14, 15, 58	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = 0 )
60	4, 55, 6	grplid 18864	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = ((invg‘𝑅)‘𝑋))
61	14, 18, 60	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = ((invg‘𝑅)‘𝑋))
62	57, 59, 61	3brtr3d 5126	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((invg‘𝑅)‘𝑋))
63	4, 5, 6, 7	orngmul 20768	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ ((invg‘𝑅)‘𝑋)) ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ ((invg‘𝑅)‘𝑋))) → 0 ≤ (((invg‘𝑅)‘𝑋) · ((invg‘𝑅)‘𝑋)))
64	10, 18, 62, 18, 62, 63	syl122anc 1381	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (((invg‘𝑅)‘𝑋) · ((invg‘𝑅)‘𝑋)))
65	4, 7, 16, 12, 15, 15	ringm2neg 20209	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (((invg‘𝑅)‘𝑋) · ((invg‘𝑅)‘𝑋)) = (𝑋 · 𝑋))
66	64, 65	breqtrd 5121	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))
67	9, 66	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095   I cid 5517   Or wor 5530   ↾ cres 5625  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  lecple 17186  0_gc0g 17361  Posetcpo 18231  ltcplt 18232  Tosetctos 18338  Grpcgrp 18830  inv_gcminusg 18831  oMndcomnd 20016  oGrpcogrp 20017  Ringcrg 20136  oRingcorng 20760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-toset 18339  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-omnd 20018  df-ogrp 20019  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-orng 20762

This theorem is referenced by:  orng0le1  20777