Theorem orngsqr 20950

Description: In an ordered ring, all squares are positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orngmul.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
orngmul.1	⊢ ≤ = (le‘𝑅)
orngmul.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
orngmul.3	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
orngsqr	⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))

Proof of Theorem orngsqr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
2		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr 489	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ 𝑋)
4		orngmul.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		orngmul.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑅)
6		orngmul.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		orngmul.3	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	orngmul 20949	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))
9	1, 2, 3, 2, 3, 8	syl122anc 1406	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))
10		simpll 778	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
11		orngring 20946	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
13		ringgrp 20321	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Grp)
15		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
17	4, 16	grpinvcl 19055	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	14, 15, 17	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
19		orngogrp 20947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
20		isogrp 20195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
21	20	simprbi 502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
22	19, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oMnd)
23	10, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ oMnd)
24	4, 6	grpidcl 19033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
25	14, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ∈ 𝐵)
26		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ oRing)
27	26, 11, 13, 24	4syl 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
28		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	26, 27, 28	3jca 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
30		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lt‘𝑅) = (lt‘𝑅)
31	5, 30	pltle 18388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 → 0 ≤ 𝑋))
32	31	con3dimp 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
33	29, 32	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
34		omndtos 20198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ oMnd → 𝑅 ∈ Toset)
35	4, 5, 30	tosso 18474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → (𝑅 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ ≤ )))
36	35	ibi 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ ≤ ))
37	36	simpld 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
38	10, 22, 34, 37	4syl 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
39		solin 5598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
40	38, 25, 15, 39	syl12anc 849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
41		3orass 1106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
42	40, 41	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
43		orel1 901	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋 → (( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )) → ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
44	33, 42, 43	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
45		orcom 883	. . . . . . . . 9 ⊢ (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 0 = 𝑋))
46		eqcom 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
47	46	orbi2i 925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 0 = 𝑋) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
48	45, 47	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
49	44, 48	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
50		tospos 18475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → 𝑅 ∈ Poset)
51	10, 22, 34, 50	4syl 20	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Poset)
52	4, 5, 30	pleval2 18392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 )))
53	51, 15, 25, 52	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋 ≤ 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 )))
54	49, 53	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≤ 0 )
55		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
56	4, 5, 55	omndadd 20199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 0 ) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) ≤ ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)))
57	23, 15, 25, 18, 54, 56	syl131anc 1410	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) ≤ ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)))
58	4, 55, 6, 16	grprinv 19058	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = 0 )
59	14, 15, 58	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = 0 )
60	4, 55, 6	grplid 19035	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = ((invg‘𝑅)‘𝑋))
61	14, 18, 60	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = ((invg‘𝑅)‘𝑋))
62	57, 59, 61	3brtr3d 5143	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((invg‘𝑅)‘𝑋))
63	4, 5, 6, 7	orngmul 20949	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ ((invg‘𝑅)‘𝑋)) ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ ((invg‘𝑅)‘𝑋))) → 0 ≤ (((invg‘𝑅)‘𝑋) · ((invg‘𝑅)‘𝑋)))
64	10, 18, 62, 18, 62, 63	syl122anc 1406	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (((invg‘𝑅)‘𝑋) · ((invg‘𝑅)‘𝑋)))
65	4, 7, 16, 12, 15, 15	ringm2neg 20390	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (((invg‘𝑅)‘𝑋) · ((invg‘𝑅)‘𝑋)) = (𝑋 · 𝑋))
66	64, 65	breqtrd 5138	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))
67	9, 66	pm2.61dan 824	1 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110   I cid 5557   Or wor 5570   ↾ cres 5665  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  lecple 17318  0_gc0g 17493  Posetcpo 18364  ltcplt 18365  Tosetctos 18471  Grpcgrp 19001  inv_gcminusg 19002  oMndcomnd 20190  oGrpcogrp 20191  Ringcrg 20316  oRingcorng 20941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-toset 18472  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-omnd 20192  df-ogrp 20193  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-orng 20943

This theorem is referenced by:  orng0le1  20958