Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orngsqr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem orngsqr 32422
Description: In an ordered ring, all squares are positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
orngmul.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
orngmul.1 ≀ = (leβ€˜π‘…)
orngmul.2 0 = (0gβ€˜π‘…)
orngmul.3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
orngsqr ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· 𝑋))
Proof of Theorem orngsqr
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ oRing)
2 simplr 768 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simpr 486 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ 𝑋)
4 orngmul.0 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
5 orngmul.1 . . . 4 ≀ = (leβ€˜π‘…)
6 orngmul.2 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
7 orngmul.3 . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
84, 5, 6, 7orngmul 32421 . . 3 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· 𝑋))
91, 2, 3, 2, 3, 8syl122anc 1380 . 2 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· 𝑋))
10 simpll 766 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ oRing)
11 orngring 32418 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1211ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
13 ringgrp 20061 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
15 simplr 768 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
16 eqid 2733 . . . . . 6 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
174, 16grpinvcl 18872 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
1814, 15, 17syl2anc 585 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
19 orngogrp 32419 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ oGrp)
20 isogrp 32220 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
2120simprbi 498 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ oGrp β†’ 𝑅 ∈ oMnd)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ oMnd)
2310, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ oMnd)
244, 6grpidcl 18850 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
2514, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ∈ 𝐡)
26 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ oRing)
2711, 13, 243syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ oRing β†’ 0 ∈ 𝐡)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
29 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3026, 28, 293jca 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (ltβ€˜π‘…) = (ltβ€˜π‘…)
325, 31pltle 18286 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 β†’ 0 ≀ 𝑋))
3332con3dimp 410 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ Β¬ 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋)
3430, 33sylan 581 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ Β¬ 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋)
35 omndtos 32223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ oMnd β†’ 𝑅 ∈ Toset)
3622, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ Toset)
374, 5, 31tosso 18372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Toset β†’ (𝑅 ∈ Toset ↔ ((ltβ€˜π‘…) Or 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐡) βŠ† ≀ )))
3837ibi 267 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Toset β†’ ((ltβ€˜π‘…) Or 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐡) βŠ† ≀ ))
3938simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Toset β†’ (ltβ€˜π‘…) Or 𝐡)
4010, 36, 393syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ (ltβ€˜π‘…) Or 𝐡)
41 solin 5614 . . . . . . . . . . 11 (((ltβ€˜π‘…) Or 𝐡 ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ( 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ))
4240, 25, 15, 41syl12anc 836 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ ( 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ))
43 3orass 1091 . . . . . . . . . 10 (( 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ) ↔ ( 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 )))
4442, 43sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ ( 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 )))
45 orel1 888 . . . . . . . . 9 (Β¬ 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 β†’ (( 0 (ltβ€˜π‘…)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 )) β†’ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 )))
4634, 44, 45sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ))
47 orcom 869 . . . . . . . . 9 (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ) ↔ (𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ∨ 0 = 𝑋))
48 eqcom 2740 . . . . . . . . . 10 ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
4948orbi2i 912 . . . . . . . . 9 ((𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ∨ 0 = 𝑋) ↔ (𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
5047, 49bitri 275 . . . . . . . 8 (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ) ↔ (𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
5146, 50sylib 217 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
52 tospos 18373 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Toset β†’ 𝑅 ∈ Poset)
5310, 36, 523syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ Poset)
544, 5, 31pleval2 18290 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ 0 ↔ (𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ∨ 𝑋 = 0 )))
5553, 15, 25, 54syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ≀ 0 ↔ (𝑋(ltβ€˜π‘…) 0 ∨ 𝑋 = 0 )))
5651, 55mpbird 257 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ≀ 0 )
57 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
584, 5, 57omndadd 32224 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ 0 ) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) ≀ ( 0 (+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)))
5923, 15, 25, 18, 56, 58syl131anc 1384 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) ≀ ( 0 (+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)))
604, 57, 6, 16grprinv 18875 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = 0 )
6114, 15, 60syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = 0 )
624, 57, 6grplid 18852 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹))
6314, 18, 62syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹))
6459, 61, 633brtr3d 5180 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹))
654, 5, 6, 7orngmul 32421 . . . 4 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) ∧ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ 0 ≀ ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹))) β†’ 0 ≀ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) Β· ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)))
6610, 18, 64, 18, 64, 65syl122anc 1380 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) Β· ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)))
674, 7, 16, 12, 15, 15ringm2neg 20118 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹) Β· ((invgβ€˜π‘…)β€˜π‘‹)) = (𝑋 Β· 𝑋))
6866, 67breqtrd 5175 . 2 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· 𝑋))
699, 68pm2.61dan 812 1 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ (𝑋 Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   I cid 5574   Or wor 5588   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  lecple 17204  0gc0g 17385  Posetcpo 18260  ltcplt 18261  Tosetctos 18369  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  Ringcrg 20056  oMndcomnd 32215  oGrpcogrp 32216  oRingcorng 32413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-toset 18370  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-omnd 32217  df-ogrp 32218  df-orng 32415
This theorem is referenced by:  orng0le1  32430
  Copyright terms: Public domain W3C validator