Theorem orngsqr 20799

Description: In an ordered ring, all squares are positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orngmul.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
orngmul.1	⊢ ≤ = (le‘𝑅)
orngmul.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
orngmul.3	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
orngsqr	⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))

Proof of Theorem orngsqr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
2		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ 𝑋)
4		orngmul.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		orngmul.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑅)
6		orngmul.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		orngmul.3	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	orngmul 20798	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))
9	1, 2, 3, 2, 3, 8	syl122anc 1381	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))
10		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
11		orngring 20795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
13		ringgrp 20173	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Grp)
15		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
17	4, 16	grpinvcl 18917	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	14, 15, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
19		orngogrp 20796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
20		isogrp 20053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
21	20	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oMnd)
23	10, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ oMnd)
24	4, 6	grpidcl 18895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
25	14, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ∈ 𝐵)
26		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ oRing)
27	26, 11, 13, 24	4syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	26, 27, 28	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
30		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lt‘𝑅) = (lt‘𝑅)
31	5, 30	pltle 18254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 → 0 ≤ 𝑋))
32	31	con3dimp 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
33	29, 32	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
34		omndtos 20056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ oMnd → 𝑅 ∈ Toset)
35	4, 5, 30	tosso 18340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → (𝑅 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ ≤ )))
36	35	ibi 267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ ≤ ))
37	36	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
38	10, 22, 34, 37	4syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
39		solin 5559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
40	38, 25, 15, 39	syl12anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
41		3orass 1089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
42	40, 41	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
43		orel1 888	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋 → (( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )) → ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
44	33, 42, 43	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
45		orcom 870	. . . . . . . . 9 ⊢ (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 0 = 𝑋))
46		eqcom 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
47	46	orbi2i 912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 0 = 𝑋) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
48	45, 47	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
49	44, 48	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
50		tospos 18341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → 𝑅 ∈ Poset)
51	10, 22, 34, 50	4syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Poset)
52	4, 5, 30	pleval2 18258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 )))
53	51, 15, 25, 52	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋 ≤ 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 )))
54	49, 53	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≤ 0 )
55		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
56	4, 5, 55	omndadd 20057	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 0 ) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) ≤ ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)))
57	23, 15, 25, 18, 54, 56	syl131anc 1385	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) ≤ ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)))
58	4, 55, 6, 16	grprinv 18920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = 0 )
59	14, 15, 58	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = 0 )
60	4, 55, 6	grplid 18897	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = ((invg‘𝑅)‘𝑋))
61	14, 18, 60	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = ((invg‘𝑅)‘𝑋))
62	57, 59, 61	3brtr3d 5129	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((invg‘𝑅)‘𝑋))
63	4, 5, 6, 7	orngmul 20798	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ ((invg‘𝑅)‘𝑋)) ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ ((invg‘𝑅)‘𝑋))) → 0 ≤ (((invg‘𝑅)‘𝑋) · ((invg‘𝑅)‘𝑋)))
64	10, 18, 62, 18, 62, 63	syl122anc 1381	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (((invg‘𝑅)‘𝑋) · ((invg‘𝑅)‘𝑋)))
65	4, 7, 16, 12, 15, 15	ringm2neg 20241	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (((invg‘𝑅)‘𝑋) · ((invg‘𝑅)‘𝑋)) = (𝑋 · 𝑋))
66	64, 65	breqtrd 5124	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))
67	9, 66	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   I cid 5518   Or wor 5531   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  lecple 17184  0_gc0g 17359  Posetcpo 18230  ltcplt 18231  Tosetctos 18337  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  oMndcomnd 20048  oGrpcogrp 20049  Ringcrg 20168  oRingcorng 20790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-toset 18338  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-omnd 20050  df-ogrp 20051  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-orng 20792

This theorem is referenced by:  orng0le1  20807