Theorem orngsqr 32099

Description: In an ordered ring, all squares are positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orngmul.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
orngmul.1	⊢ ≤ = (le‘𝑅)
orngmul.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
orngmul.3	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
orngsqr	⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))

Proof of Theorem orngsqr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
2		simplr 767	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ 𝑋)
4		orngmul.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		orngmul.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑅)
6		orngmul.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		orngmul.3	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	orngmul 32098	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))
9	1, 2, 3, 2, 3, 8	syl122anc 1379	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))
10		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
11		orngring 32095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
13		ringgrp 19969	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Grp)
15		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
17	4, 16	grpinvcl 18798	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	14, 15, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
19		orngogrp 32096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
20		isogrp 31910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
21	20	simprbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oMnd)
23	10, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ oMnd)
24	4, 6	grpidcl 18778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
25	14, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ∈ 𝐵)
26		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ oRing)
27	11, 13, 24	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 0 ∈ 𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
29		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
30	26, 28, 29	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
31		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lt‘𝑅) = (lt‘𝑅)
32	5, 31	pltle 18222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 → 0 ≤ 𝑋))
33	32	con3dimp 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
34	30, 33	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
35		omndtos 31913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ oMnd → 𝑅 ∈ Toset)
36	22, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Toset)
37	4, 5, 31	tosso 18308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → (𝑅 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ ≤ )))
38	37	ibi 266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ ≤ ))
39	38	simpld 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
40	10, 36, 39	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
41		solin 5570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
42	40, 25, 15, 41	syl12anc 835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
43		3orass 1090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
44	42, 43	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
45		orel1 887	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋 → (( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )) → ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
46	34, 44, 45	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
47		orcom 868	. . . . . . . . 9 ⊢ (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 0 = 𝑋))
48		eqcom 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
49	48	orbi2i 911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 0 = 𝑋) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
50	47, 49	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
51	46, 50	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
52		tospos 18309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → 𝑅 ∈ Poset)
53	10, 36, 52	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Poset)
54	4, 5, 31	pleval2 18226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 )))
55	53, 15, 25, 54	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋 ≤ 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 )))
56	51, 55	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≤ 0 )
57		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
58	4, 5, 57	omndadd 31914	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 0 ) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) ≤ ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)))
59	23, 15, 25, 18, 56, 58	syl131anc 1383	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) ≤ ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)))
60	4, 57, 6, 16	grprinv 18801	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = 0 )
61	14, 15, 60	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = 0 )
62	4, 57, 6	grplid 18780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = ((invg‘𝑅)‘𝑋))
63	14, 18, 62	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = ((invg‘𝑅)‘𝑋))
64	59, 61, 63	3brtr3d 5136	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((invg‘𝑅)‘𝑋))
65	4, 5, 6, 7	orngmul 32098	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ ((invg‘𝑅)‘𝑋)) ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ ((invg‘𝑅)‘𝑋))) → 0 ≤ (((invg‘𝑅)‘𝑋) · ((invg‘𝑅)‘𝑋)))
66	10, 18, 64, 18, 64, 65	syl122anc 1379	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (((invg‘𝑅)‘𝑋) · ((invg‘𝑅)‘𝑋)))
67	4, 7, 16, 12, 15, 15	ringm2neg 20022	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (((invg‘𝑅)‘𝑋) · ((invg‘𝑅)‘𝑋)) = (𝑋 · 𝑋))
68	66, 67	breqtrd 5131	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))
69	9, 68	pm2.61dan 811	1 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   I cid 5530   Or wor 5544   ↾ cres 5635  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  lecple 17140  0_gc0g 17321  Posetcpo 18196  ltcplt 18197  Tosetctos 18305  Grpcgrp 18748  inv_gcminusg 18749  Ringcrg 19964  oMndcomnd 31905  oGrpcogrp 31906  oRingcorng 32090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-toset 18306  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-omnd 31907  df-ogrp 31908  df-orng 32092

This theorem is referenced by:  orng0le1  32107