Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orngsqr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orngsqr 30144
Description: In an ordered ring, all squares are positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
orngmul.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
orngmul.1 = (le‘𝑅)
orngmul.2 0 = (0g𝑅)
orngmul.3 · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
orngsqr ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → 0 (𝑋 · 𝑋))

Proof of Theorem orngsqr
StepHypRef Expression
1 simpll 742 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
2 simplr 744 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 0 𝑋) → 𝑋𝐵)
3 simpr 471 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 0 𝑋) → 0 𝑋)
4 orngmul.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 orngmul.1 . . . 4 = (le‘𝑅)
6 orngmul.2 . . . 4 0 = (0g𝑅)
7 orngmul.3 . . . 4 · = (.r𝑅)
84, 5, 6, 7orngmul 30143 . . 3 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋𝐵0 𝑋) ∧ (𝑋𝐵0 𝑋)) → 0 (𝑋 · 𝑋))
91, 2, 3, 2, 3, 8syl122anc 1485 . 2 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 0 𝑋) → 0 (𝑋 · 𝑋))
10 simpll 742 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
11 orngring 30140 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
1211ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
13 ringgrp 18760 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ Grp)
15 simplr 744 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑋𝐵)
16 eqid 2771 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
174, 16grpinvcl 17675 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
1814, 15, 17syl2anc 565 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
19 orngogrp 30141 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
20 isogrp 30042 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
2120simprbi 478 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oMnd)
2310, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ oMnd)
244, 6grpidcl 17658 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
2514, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 0𝐵)
26 simpl 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ oRing)
2711, 13, 243syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ oRing → 0𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
29 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
3026, 28, 293jca 1122 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑋𝐵))
31 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (lt‘𝑅) = (lt‘𝑅)
325, 31pltle 17169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋0 𝑋))
3332con3dimp 395 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
3430, 33sylan 561 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
35 omndtos 30045 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ oMnd → 𝑅 ∈ Toset)
3622, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Toset)
374, 5, 31tosso 17244 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Toset → (𝑅 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ )))
3837ibi 256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Toset → ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ ))
3938simpld 476 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Toset → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
4010, 36, 393syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
41 solin 5193 . . . . . . . . . . 11 (((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( 0𝐵𝑋𝐵)) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
4240, 25, 15, 41syl12anc 1474 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
43 3orass 1074 . . . . . . . . . 10 (( 0 (lt‘𝑅)𝑋0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
4442, 43sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
45 orel1 863 . . . . . . . . 9 0 (lt‘𝑅)𝑋 → (( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 )) → ( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
4634, 44, 45sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
47 orcom 849 . . . . . . . . 9 (( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 00 = 𝑋))
48 eqcom 2778 . . . . . . . . . 10 ( 0 = 𝑋𝑋 = 0 )
4948orbi2i 886 . . . . . . . . 9 ((𝑋(lt‘𝑅) 00 = 𝑋) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0𝑋 = 0 ))
5047, 49bitri 264 . . . . . . . 8 (( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0𝑋 = 0 ))
5146, 50sylib 208 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (𝑋(lt‘𝑅) 0𝑋 = 0 ))
52 tospos 29998 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Toset → 𝑅 ∈ Poset)
5310, 36, 523syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ Poset)
544, 5, 31pleval2 17173 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0𝑋 = 0 )))
5553, 15, 25, 54syl3anc 1476 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (𝑋 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0𝑋 = 0 )))
5651, 55mpbird 247 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑋 0 )
57 eqid 2771 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
584, 5, 57omndadd 30046 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ oMnd ∧ (𝑋𝐵0𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 0 ) → (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) ( 0 (+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)))
5923, 15, 25, 18, 56, 58syl131anc 1489 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) ( 0 (+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)))
604, 57, 6, 16grprinv 17677 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) = 0 )
6114, 15, 60syl2anc 565 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) = 0 )
624, 57, 6grplid 17660 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) = ((invg𝑅)‘𝑋))
6314, 18, 62syl2anc 565 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ( 0 (+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) = ((invg𝑅)‘𝑋))
6459, 61, 633brtr3d 4817 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 0 ((invg𝑅)‘𝑋))
654, 5, 6, 7orngmul 30143 . . . 4 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵0 ((invg𝑅)‘𝑋)) ∧ (((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵0 ((invg𝑅)‘𝑋))) → 0 (((invg𝑅)‘𝑋) · ((invg𝑅)‘𝑋)))
6610, 18, 64, 18, 64, 65syl122anc 1485 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 0 (((invg𝑅)‘𝑋) · ((invg𝑅)‘𝑋)))
674, 7, 16, 12, 15, 15ringm2neg 18806 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (((invg𝑅)‘𝑋) · ((invg𝑅)‘𝑋)) = (𝑋 · 𝑋))
6866, 67breqtrd 4812 . 2 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 0 (𝑋 · 𝑋))
699, 68pm2.61dan 796 1 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → 0 (𝑋 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826  w3o 1070  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723   class class class wbr 4786   I cid 5156   Or wor 5169  cres 5251  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  lecple 16156  0gc0g 16308  Posetcpo 17148  ltcplt 17149  Tosetctos 17241  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  Ringcrg 18755  oMndcomnd 30037  oGrpcogrp 30038  oRingcorng 30135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-toset 17242  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-omnd 30039  df-ogrp 30040  df-orng 30137
This theorem is referenced by:  orng0le1  30152
  Copyright terms: Public domain W3C validator