Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orngsqr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orngsqr 31083
Description: In an ordered ring, all squares are positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
orngmul.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
orngmul.1 = (le‘𝑅)
orngmul.2 0 = (0g𝑅)
orngmul.3 · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
orngsqr ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → 0 (𝑋 · 𝑋))

Proof of Theorem orngsqr
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
2 simplr 769 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 0 𝑋) → 𝑋𝐵)
3 simpr 488 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 0 𝑋) → 0 𝑋)
4 orngmul.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 orngmul.1 . . . 4 = (le‘𝑅)
6 orngmul.2 . . . 4 0 = (0g𝑅)
7 orngmul.3 . . . 4 · = (.r𝑅)
84, 5, 6, 7orngmul 31082 . . 3 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋𝐵0 𝑋) ∧ (𝑋𝐵0 𝑋)) → 0 (𝑋 · 𝑋))
91, 2, 3, 2, 3, 8syl122anc 1380 . 2 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 0 𝑋) → 0 (𝑋 · 𝑋))
10 simpll 767 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
11 orngring 31079 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
1211ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
13 ringgrp 19424 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ Grp)
15 simplr 769 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑋𝐵)
16 eqid 2739 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
174, 16grpinvcl 18272 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
1814, 15, 17syl2anc 587 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
19 orngogrp 31080 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
20 isogrp 30908 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
2120simprbi 500 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oMnd)
2310, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ oMnd)
244, 6grpidcl 18252 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
2514, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 0𝐵)
26 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ oRing)
2711, 13, 243syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ oRing → 0𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
29 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
3026, 28, 293jca 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑋𝐵))
31 eqid 2739 . . . . . . . . . . . 12 (lt‘𝑅) = (lt‘𝑅)
325, 31pltle 17690 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋0 𝑋))
3332con3dimp 412 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
3430, 33sylan 583 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
35 omndtos 30911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ oMnd → 𝑅 ∈ Toset)
3622, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Toset)
374, 5, 31tosso 17765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Toset → (𝑅 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ )))
3837ibi 270 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Toset → ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ ))
3938simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Toset → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
4010, 36, 393syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
41 solin 5468 . . . . . . . . . . 11 (((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( 0𝐵𝑋𝐵)) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
4240, 25, 15, 41syl12anc 836 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
43 3orass 1091 . . . . . . . . . 10 (( 0 (lt‘𝑅)𝑋0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
4442, 43sylib 221 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
45 orel1 888 . . . . . . . . 9 0 (lt‘𝑅)𝑋 → (( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 )) → ( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
4634, 44, 45sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
47 orcom 869 . . . . . . . . 9 (( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 00 = 𝑋))
48 eqcom 2746 . . . . . . . . . 10 ( 0 = 𝑋𝑋 = 0 )
4948orbi2i 912 . . . . . . . . 9 ((𝑋(lt‘𝑅) 00 = 𝑋) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0𝑋 = 0 ))
5047, 49bitri 278 . . . . . . . 8 (( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0𝑋 = 0 ))
5146, 50sylib 221 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (𝑋(lt‘𝑅) 0𝑋 = 0 ))
52 tospos 30821 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Toset → 𝑅 ∈ Poset)
5310, 36, 523syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ Poset)
544, 5, 31pleval2 17694 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0𝑋 = 0 )))
5553, 15, 25, 54syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (𝑋 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0𝑋 = 0 )))
5651, 55mpbird 260 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑋 0 )
57 eqid 2739 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
584, 5, 57omndadd 30912 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ oMnd ∧ (𝑋𝐵0𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 0 ) → (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) ( 0 (+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)))
5923, 15, 25, 18, 56, 58syl131anc 1384 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) ( 0 (+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)))
604, 57, 6, 16grprinv 18274 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) = 0 )
6114, 15, 60syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) = 0 )
624, 57, 6grplid 18254 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) = ((invg𝑅)‘𝑋))
6314, 18, 62syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ( 0 (+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) = ((invg𝑅)‘𝑋))
6459, 61, 633brtr3d 5062 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 0 ((invg𝑅)‘𝑋))
654, 5, 6, 7orngmul 31082 . . . 4 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵0 ((invg𝑅)‘𝑋)) ∧ (((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵0 ((invg𝑅)‘𝑋))) → 0 (((invg𝑅)‘𝑋) · ((invg𝑅)‘𝑋)))
6610, 18, 64, 18, 64, 65syl122anc 1380 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 0 (((invg𝑅)‘𝑋) · ((invg𝑅)‘𝑋)))
674, 7, 16, 12, 15, 15ringm2neg 19473 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (((invg𝑅)‘𝑋) · ((invg𝑅)‘𝑋)) = (𝑋 · 𝑋))
6866, 67breqtrd 5057 . 2 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 0 (𝑋 · 𝑋))
699, 68pm2.61dan 813 1 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → 0 (𝑋 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3o 1087  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3844   class class class wbr 5031   I cid 5429   Or wor 5442  cres 5528  cfv 6340  (class class class)co 7173  Basecbs 16589  +gcplusg 16671  .rcmulr 16672  lecple 16678  0gc0g 16819  Posetcpo 17669  ltcplt 17670  Tosetctos 17762  Grpcgrp 18222  invgcminusg 18223  Ringcrg 19419  oMndcomnd 30903  oGrpcogrp 30904  oRingcorng 31074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-plusg 16684  df-0g 16821  df-proset 17657  df-poset 17675  df-plt 17687  df-toset 17763  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-grp 18225  df-minusg 18226  df-mgp 19362  df-ur 19374  df-ring 19421  df-omnd 30905  df-ogrp 30906  df-orng 31076
This theorem is referenced by:  orng0le1  31091
  Copyright terms: Public domain W3C validator