Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orngsqr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orngsqr 33334
Description: In an ordered ring, all squares are positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
orngmul.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
orngmul.1 = (le‘𝑅)
orngmul.2 0 = (0g𝑅)
orngmul.3 · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
orngsqr ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → 0 (𝑋 · 𝑋))

Proof of Theorem orngsqr
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
2 simplr 769 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 0 𝑋) → 𝑋𝐵)
3 simpr 484 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 0 𝑋) → 0 𝑋)
4 orngmul.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 orngmul.1 . . . 4 = (le‘𝑅)
6 orngmul.2 . . . 4 0 = (0g𝑅)
7 orngmul.3 . . . 4 · = (.r𝑅)
84, 5, 6, 7orngmul 33333 . . 3 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋𝐵0 𝑋) ∧ (𝑋𝐵0 𝑋)) → 0 (𝑋 · 𝑋))
91, 2, 3, 2, 3, 8syl122anc 1381 . 2 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 0 𝑋) → 0 (𝑋 · 𝑋))
10 simpll 767 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
11 orngring 33330 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
1211ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
13 ringgrp 20235 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ Grp)
15 simplr 769 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑋𝐵)
16 eqid 2737 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
174, 16grpinvcl 19005 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
1814, 15, 17syl2anc 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
19 orngogrp 33331 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
20 isogrp 33079 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
2120simprbi 496 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oMnd)
2310, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ oMnd)
244, 6grpidcl 18983 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
2514, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 0𝐵)
26 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ oRing)
2726, 11, 13, 244syl 19 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
28 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
2926, 27, 283jca 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑋𝐵))
30 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (lt‘𝑅) = (lt‘𝑅)
315, 30pltle 18378 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋0 𝑋))
3231con3dimp 408 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
3329, 32sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
34 omndtos 33082 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ oMnd → 𝑅 ∈ Toset)
354, 5, 30tosso 18464 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Toset → (𝑅 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ )))
3635ibi 267 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Toset → ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ ))
3736simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Toset → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
3810, 22, 34, 374syl 19 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
39 solin 5619 . . . . . . . . . . 11 (((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( 0𝐵𝑋𝐵)) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
4038, 25, 15, 39syl12anc 837 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
41 3orass 1090 . . . . . . . . . 10 (( 0 (lt‘𝑅)𝑋0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
4240, 41sylib 218 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
43 orel1 889 . . . . . . . . 9 0 (lt‘𝑅)𝑋 → (( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 )) → ( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
4433, 42, 43sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
45 orcom 871 . . . . . . . . 9 (( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 00 = 𝑋))
46 eqcom 2744 . . . . . . . . . 10 ( 0 = 𝑋𝑋 = 0 )
4746orbi2i 913 . . . . . . . . 9 ((𝑋(lt‘𝑅) 00 = 𝑋) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0𝑋 = 0 ))
4845, 47bitri 275 . . . . . . . 8 (( 0 = 𝑋𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0𝑋 = 0 ))
4944, 48sylib 218 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (𝑋(lt‘𝑅) 0𝑋 = 0 ))
50 tospos 18465 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Toset → 𝑅 ∈ Poset)
5110, 22, 34, 504syl 19 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑅 ∈ Poset)
524, 5, 30pleval2 18382 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0𝑋 = 0 )))
5351, 15, 25, 52syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (𝑋 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0𝑋 = 0 )))
5449, 53mpbird 257 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 𝑋 0 )
55 eqid 2737 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
564, 5, 55omndadd 33083 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ oMnd ∧ (𝑋𝐵0𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 0 ) → (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) ( 0 (+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)))
5723, 15, 25, 18, 54, 56syl131anc 1385 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) ( 0 (+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)))
584, 55, 6, 16grprinv 19008 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) = 0 )
5914, 15, 58syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) = 0 )
604, 55, 6grplid 18985 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) = ((invg𝑅)‘𝑋))
6114, 18, 60syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → ( 0 (+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑋)) = ((invg𝑅)‘𝑋))
6257, 59, 613brtr3d 5174 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 0 ((invg𝑅)‘𝑋))
634, 5, 6, 7orngmul 33333 . . . 4 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵0 ((invg𝑅)‘𝑋)) ∧ (((invg𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵0 ((invg𝑅)‘𝑋))) → 0 (((invg𝑅)‘𝑋) · ((invg𝑅)‘𝑋)))
6410, 18, 62, 18, 62, 63syl122anc 1381 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 0 (((invg𝑅)‘𝑋) · ((invg𝑅)‘𝑋)))
654, 7, 16, 12, 15, 15ringm2neg 20303 . . 3 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → (((invg𝑅)‘𝑋) · ((invg𝑅)‘𝑋)) = (𝑋 · 𝑋))
6664, 65breqtrd 5169 . 2 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 0 𝑋) → 0 (𝑋 · 𝑋))
679, 66pm2.61dan 813 1 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵) → 0 (𝑋 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951   class class class wbr 5143   I cid 5577   Or wor 5591  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  lecple 17304  0gc0g 17484  Posetcpo 18353  ltcplt 18354  Tosetctos 18461  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  Ringcrg 20230  oMndcomnd 33074  oGrpcogrp 33075  oRingcorng 33325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-toset 18462  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-omnd 33076  df-ogrp 33077  df-orng 33327
This theorem is referenced by:  orng0le1  33342
  Copyright terms: Public domain W3C validator