Theorem orngsqr 20938

Description: In an ordered ring, all squares are positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
orngmul.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
orngmul.1	⊢ ≤ = (le‘𝑅)
orngmul.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
orngmul.3	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
orngsqr	⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))

Proof of Theorem orngsqr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
2		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr 489	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ 𝑋)
4		orngmul.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		orngmul.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑅)
6		orngmul.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		orngmul.3	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	orngmul 20937	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))
9	1, 2, 3, 2, 3, 8	syl122anc 1402	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))
10		simpll 778	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ oRing)
11		orngring 20934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
13		ringgrp 20311	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Grp)
15		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
17	4, 16	grpinvcl 19044	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	14, 15, 17	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵)
19		orngogrp 20935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oGrp)
20		isogrp 20185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑅 ∈ oMnd))
21	20	simprbi 502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ oGrp → 𝑅 ∈ oMnd)
22	19, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ oMnd)
23	10, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ oMnd)
24	4, 6	grpidcl 19022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
25	14, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ∈ 𝐵)
26		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ oRing)
27	26, 11, 13, 24	4syl 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
28		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	26, 27, 28	3jca 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
30		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lt‘𝑅) = (lt‘𝑅)
31	5, 30	pltle 18377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 → 0 ≤ 𝑋))
32	31	con3dimp 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
33	29, 32	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋)
34		omndtos 20188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ oMnd → 𝑅 ∈ Toset)
35	4, 5, 30	tosso 18463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → (𝑅 ∈ Toset ↔ ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ ≤ )))
36	35	ibi 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → ((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐵) ⊆ ≤ ))
37	36	simpld 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
38	10, 22, 34, 37	4syl 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (lt‘𝑅) Or 𝐵)
39		solin 5587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((lt‘𝑅) Or 𝐵 ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
40	38, 25, 15, 39	syl12anc 849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
41		3orass 1104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
42	40, 41	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
43		orel1 901	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 0 (lt‘𝑅)𝑋 → (( 0 (lt‘𝑅)𝑋 ∨ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )) → ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 )))
44	33, 42, 43	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ))
45		orcom 883	. . . . . . . . 9 ⊢ (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 0 = 𝑋))
46		eqcom 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
47	46	orbi2i 925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 0 = 𝑋) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
48	45, 47	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋(lt‘𝑅) 0 ) ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
49	44, 48	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 ))
50		tospos 18464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → 𝑅 ∈ Poset)
51	10, 22, 34, 50	4syl 20	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Poset)
52	4, 5, 30	pleval2 18381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 )))
53	51, 15, 25, 52	syl3anc 1394	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋 ≤ 0 ↔ (𝑋(lt‘𝑅) 0 ∨ 𝑋 = 0 )))
54	49, 53	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≤ 0 )
55		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
56	4, 5, 55	omndadd 20189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 0 ) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) ≤ ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)))
57	23, 15, 25, 18, 54, 56	syl131anc 1406	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) ≤ ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)))
58	4, 55, 6, 16	grprinv 19047	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = 0 )
59	14, 15, 58	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = 0 )
60	4, 55, 6	grplid 19024	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = ((invg‘𝑅)‘𝑋))
61	14, 18, 60	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → ( 0 (+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑋)) = ((invg‘𝑅)‘𝑋))
62	57, 59, 61	3brtr3d 5136	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ ((invg‘𝑅)‘𝑋))
63	4, 5, 6, 7	orngmul 20937	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ ((invg‘𝑅)‘𝑋)) ∧ (((invg‘𝑅)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 0 ≤ ((invg‘𝑅)‘𝑋))) → 0 ≤ (((invg‘𝑅)‘𝑋) · ((invg‘𝑅)‘𝑋)))
64	10, 18, 62, 18, 62, 63	syl122anc 1402	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (((invg‘𝑅)‘𝑋) · ((invg‘𝑅)‘𝑋)))
65	4, 7, 16, 12, 15, 15	ringm2neg 20380	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → (((invg‘𝑅)‘𝑋) · ((invg‘𝑅)‘𝑋)) = (𝑋 · 𝑋))
66	64, 65	breqtrd 5131	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))
67	9, 66	pm2.61dan 824	1 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝑋 · 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105   I cid 5546   Or wor 5559   ↾ cres 5654  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  ._rcmulr 17301  lecple 17307  0_gc0g 17482  Posetcpo 18353  ltcplt 18354  Tosetctos 18460  Grpcgrp 18990  inv_gcminusg 18991  oMndcomnd 20180  oGrpcogrp 20181  Ringcrg 20306  oRingcorng 20929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18374  df-toset 18461  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-omnd 20182  df-ogrp 20183  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-orng 20931

This theorem is referenced by:  orng0le1  20946