Theorem tpf 14426

Description: A function into a (proper) triple. (Contributed by AV, 20-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
tpf.t	⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
tpf	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)⟶𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpid1g 4727	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
2	1	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
3		tpid2g 4729	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
4	3	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
5		tpid3g 4730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
6	5	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
7	4, 6	ifcld 4527	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶) ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
8	2, 7	ifcld 4527	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
9		tpf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
10	8, 9	eleqtrrdi 2848	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) ∈ 𝑇)
11	10	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (0..^3)) → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) ∈ 𝑇)
12		tpf1o.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
13	11, 12	fmptd 7061	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)⟶𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4480  {ctp 4585   ↦ cmpt 5180  ⟶wf 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031  3c3 12205  ..^cfzo 13574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497

This theorem is referenced by:  tpfo  14427