Theorem tpf 14543

Description: A function into a (proper) triple. (Contributed by AV, 20-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
tpf.t	⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
tpf	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)⟶𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpid1g 4734	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
2	1	3ad2ant1 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
3		tpid2g 4736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
4	3	3ad2ant2 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
5		tpid3g 4737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
6	5	3ad2ant3 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
7	4, 6	ifcld 4533	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶) ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
8	2, 7	ifcld 4533	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
9		tpf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
10	8, 9	eleqtrrdi 2873	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) ∈ 𝑇)
11	10	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (0..^3)) → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) ∈ 𝑇)
12		tpf1o.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
13	11, 12	fmptd 7109	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)⟶𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ifcif 4486  {ctp 4592   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6532  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107  3c3 12302  ..^cfzo 13689

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540

This theorem is used by:  tpfo  14544