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Type | Label | Description | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Statement | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fnfz0hash 14401 | The size of a function on a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (0...𝑁)) → (♯‘𝐹) = (𝑁 + 1)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ffz0hash 14402 | The size of a function on a finite set of sequential nonnegative integers equals the upper bound of the sequence increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 11-Apr-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶𝐵) → (♯‘𝐹) = (𝑁 + 1)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fnfz0hashnn0 14403 | The size of a function on a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 10-Apr-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐹 Fn (0...𝑁) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ffzo0hash 14404 | The size of a function on a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (0..^𝑁)) → (♯‘𝐹) = 𝑁) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fnfzo0hash 14405 | The size of a function on a half-open range of nonnegative integers equals the upper bound of this range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 11-Apr-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0..^𝑁)⟶𝐵) → (♯‘𝐹) = 𝑁) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fnfzo0hashnn0 14406 | The value of the size function on a half-open range of nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 10-Apr-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐹 Fn (0..^𝑁) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashbclem 14407* | Lemma for hashbc 14408: inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin) & ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) & ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℤ ((♯‘𝐴)C𝑗) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝑗})) & ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ) ⇒ ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐴 ∪ {𝑧}))C𝐾) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝒫 (𝐴 ∪ {𝑧}) ∣ (♯‘𝑥) = 𝐾})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashbc 14408* | The binomial coefficient counts the number of subsets of a finite set of a given size. This is Metamath 100 proof #58 (formula for the number of combinations). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴)C𝐾) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 𝐾})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashfacen 14409* | The number of bijections between two sets is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2024.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐶} ≈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐷}) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashfacenOLD 14410* | Obsolete version of hashfacen 14409 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐷) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐶} ≈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐷}) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashf1lem1 14411* | Lemma for hashf1 14414. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Aug-2024.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin) & ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin) & ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) & ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) & ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) ⇒ ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∣ ((𝑓 ↾ 𝐴) = 𝐹 ∧ 𝑓:(𝐴 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵)} ≈ (𝐵 ∖ ran 𝐹)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashf1lem1OLD 14412* | Obsolete version of hashf1lem1 14411 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin) & ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin) & ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) & ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) & ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) ⇒ ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∣ ((𝑓 ↾ 𝐴) = 𝐹 ∧ 𝑓:(𝐴 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵)} ≈ (𝐵 ∖ ran 𝐹)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashf1lem2 14413* | Lemma for hashf1 14414. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin) & ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin) & ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) & ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) ⇒ ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝐴 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝐴)) · (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashf1 14414* | The permutation number ∣ 𝐴 ∣ ! · ( ∣ 𝐵 ∣ C ∣ 𝐴 ∣ ) = ∣ 𝐵 ∣ ! / ( ∣ 𝐵 ∣ − ∣ 𝐴 ∣ )! counts the number of injections from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashfac 14415* | A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = (!‘(♯‘𝐴))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | leiso 14416 | Two ways to write a strictly increasing function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ⊆ ℝ*) → (𝐹 Isom < , < (𝐴, 𝐵) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ (𝐴, 𝐵))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | leisorel 14417 | Version of isorel 7318 for strictly increasing functions on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐹 Isom < , < (𝐴, 𝐵) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (𝐶 ≤ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝐶) ≤ (𝐹‘𝐷))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fz1isolem 14418* | Lemma for fz1iso 14419. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐺 = (rec((𝑛 ∈ V ↦ (𝑛 + 1)), 1) ↾ ω) & ⊢ 𝐵 = (ℕ ∩ (◡ < “ {((♯‘𝐴) + 1)})) & ⊢ 𝐶 = (ω ∩ (◡𝐺‘((♯‘𝐴) + 1))) & ⊢ 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴) ⇒ ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fz1iso 14419* | Any finite ordered set has an order isomorphism to a one-based finite sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , 𝑅 ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ishashinf 14420* | Any set that is not finite contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. Cf. isinf 9256. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | seqcoll 14421* | The function 𝐹 contains a sparse set of nonzero values to be summed. The function 𝐺 is an order isomorphism from the set of nonzero values of 𝐹 to a 1-based finite sequence, and 𝐻 collects these nonzero values together. Under these conditions, the sum over the values in 𝐻 yields the same result as the sum over the original set 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑘) = 𝑘) & ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 + 𝑍) = 𝑘) & ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑛 ∈ 𝑆)) → (𝑘 + 𝑛) ∈ 𝑆) & ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆) & ⊢ (𝜑 → 𝐺 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴)) & ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐴))) & ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) & ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝐺‘(♯‘𝐴)))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆) & ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐺‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍) & ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻‘𝑛) = (𝐹‘(𝐺‘𝑛))) ⇒ ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐺‘𝑁)) = (seq1( + , 𝐻)‘𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | seqcoll2 14422* | The function 𝐹 contains a sparse set of nonzero values to be summed. The function 𝐺 is an order isomorphism from the set of nonzero values of 𝐹 to a 1-based finite sequence, and 𝐻 collects these nonzero values together. Under these conditions, the sum over the values in 𝐻 yields the same result as the sum over the original set 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑘) = 𝑘) & ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 + 𝑍) = 𝑘) & ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑛 ∈ 𝑆)) → (𝑘 + 𝑛) ∈ 𝑆) & ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆) & ⊢ (𝜑 → 𝐺 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴)) & ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅) & ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁)) & ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆) & ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑘) = 𝑍) & ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻‘𝑛) = (𝐹‘(𝐺‘𝑛))) ⇒ ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq1( + , 𝐻)‘(♯‘𝐴))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | phphashd 14423 | Corollary of the Pigeonhole Principle using equality. Equivalent of phpeqd 9211 expressed using the hash function. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin) & ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴) & ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) ⇒ ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | phphashrd 14424 | Corollary of the Pigeonhole Principle using equality. Equivalent of phphashd 14423 with reversed arguments. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin) & ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵) & ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)) ⇒ ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashprlei 14425 | An unordered pair has at most two elements. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hash2pr 14426* | A set of size two is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hash2prde 14427* | A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hash2exprb 14428* | A set of size two is an unordered pair if and only if it contains two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jan-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hash2prb 14429* | A set of size two is a proper unordered pair. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | prprrab 14430 | The set of proper pairs of elements of a given set expressed in two ways. (Contributed by AV, 24-Nov-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 2} | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | nehash2 14431 | The cardinality of a set with two distinct elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑉) & ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃) & ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵) ⇒ ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hash2prd 14432 | A set of size two is an unordered pair if it contains two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2022.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hash2pwpr 14433 | If the size of a subset of an unordered pair is 2, the subset is the pair itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (((♯‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashle2pr 14434* | A nonempty set of size less than or equal to two is an unordered pair of sets. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashle2prv 14435* | A nonempty subset of a powerset of a class 𝑉 has size less than or equal to two iff it is an unordered pair of elements of 𝑉. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑃 = {𝑎, 𝑏})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | pr2pwpr 14436* | The set of subsets of a pair having length 2 is the set of the pair as singleton. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} = {{𝐴, 𝐵}}) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashge2el2dif 14437* | A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashge2el2difr 14438* | A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝐷)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashge2el2difb 14439* | A set has size at least 2 iff it has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashdmpropge2 14440 | The size of the domain of a class which contains two ordered pairs with different first components is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉) & ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊) & ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋) & ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌) & ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑍) & ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵) & ⊢ (𝜑 → {〈𝐴, 𝐶〉, 〈𝐵, 𝐷〉} ⊆ 𝐹) ⇒ ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐹)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashtplei 14441 | An unordered triple has at most three elements. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≤ 3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashtpg 14442 | The size of an unordered triple of three different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashge3el3dif 14443* | A set with size at least 3 has at least 3 different elements. In contrast to hashge2el2dif 14437, which has an elementary proof, the dominance relation and 1-1 functions from a set with three elements which are known to be different are used to prove this theorem. Although there is also an elementary proof for this theorem, it might be much longer. After all, this proof should be kept because it can be used as template for proofs for higher cardinalities. (Contributed by AV, 20-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | elss2prb 14444* | An element of the set of subsets with two elements is a proper unordered pair. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑧) = 2} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hash2sspr 14445* | A subset of size two is an unordered pair of elements of its superset. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2017.) (Proof shortened by AV, 4-Nov-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | exprelprel 14446* | If there is an element of the set of subsets with two elements in a set, an unordered pair of sets is in the set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (∃𝑝 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}𝑝 ∈ 𝑋 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑤 ∈ 𝑉 {𝑣, 𝑤} ∈ 𝑋) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hash3tr 14447* | A set of size three is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hash1to3 14448* | If the size of a set is between 1 and 3 (inclusively), the set is a singleton or an unordered pair or an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (♯‘𝑉) ∧ (♯‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fundmge2nop0 14449 | A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. This stronger version of fundmge2nop 14450 (with the less restrictive requirement that (𝐺 ∖ {∅}) needs to be a function instead of 𝐺) is useful for proofs for extensible structures, see structn0fun 17080. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Nov-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fundmge2nop 14450 | A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 9-Jun-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fun2dmnop0 14451 | A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. This stronger version of fun2dmnop 14452 (with the less restrictive requirement that (𝐺 ∖ {∅}) needs to be a function instead of 𝐺) is useful for proofs for extensible structures, see structn0fun 17080. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ V & ⊢ 𝐵 ∈ V ⇒ ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fun2dmnop 14452 | A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 9-Jun-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐴 ∈ V & ⊢ 𝐵 ∈ V ⇒ ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashdifsnp1 14453 | If the size of a set is a nonnegative integer increased by 1, the size of the set with one of its elements removed is this nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | fi1uzind 14454* | Properties of an ordered pair with a finite first component with at least L elements, proven by finite induction on the size of the first component. This theorem can be applied for graphs (represented as orderd pairs of vertices and edges) with a finite number of vertices, usually with 𝐿 = 0 (see opfi1ind 14459) or 𝐿 = 1. (Contributed by AV, 22-Oct-2020.) (Revised by AV, 28-Mar-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐹 ∈ V & ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0 & ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ 𝑒 = 𝐸) → (𝜓 ↔ 𝜑)) & ⊢ ((𝑣 = 𝑤 ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝜓 ↔ 𝜃)) & ⊢ (([𝑣 / 𝑎][𝑒 / 𝑏]𝜌 ∧ 𝑛 ∈ 𝑣) → [(𝑣 ∖ {𝑛}) / 𝑎][𝐹 / 𝑏]𝜌) & ⊢ ((𝑤 = (𝑣 ∖ {𝑛}) ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝜃 ↔ 𝜒)) & ⊢ (([𝑣 / 𝑎][𝑒 / 𝑏]𝜌 ∧ (♯‘𝑣) = 𝐿) → 𝜓) & ⊢ ((((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ([𝑣 / 𝑎][𝑒 / 𝑏]𝜌 ∧ (♯‘𝑣) = (𝑦 + 1) ∧ 𝑛 ∈ 𝑣)) ∧ 𝜒) → 𝜓) ⇒ ⊢ (([𝑉 / 𝑎][𝐸 / 𝑏]𝜌 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑉)) → 𝜑) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | brfi1uzind 14455* | Properties of a binary relation with a finite first component with at least L elements, proven by finite induction on the size of the first component. This theorem can be applied for graphs (as binary relation between the set of vertices and an edge function) with a finite number of vertices, usually with 𝐿 = 0 (see brfi1ind 14456) or 𝐿 = 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Oct-2020.) (Revised by AV, 28-Mar-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ Rel 𝐺 & ⊢ 𝐹 ∈ V & ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0 & ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ 𝑒 = 𝐸) → (𝜓 ↔ 𝜑)) & ⊢ ((𝑣 = 𝑤 ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝜓 ↔ 𝜃)) & ⊢ ((𝑣𝐺𝑒 ∧ 𝑛 ∈ 𝑣) → (𝑣 ∖ {𝑛})𝐺𝐹) & ⊢ ((𝑤 = (𝑣 ∖ {𝑛}) ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝜃 ↔ 𝜒)) & ⊢ ((𝑣𝐺𝑒 ∧ (♯‘𝑣) = 𝐿) → 𝜓) & ⊢ ((((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑣𝐺𝑒 ∧ (♯‘𝑣) = (𝑦 + 1) ∧ 𝑛 ∈ 𝑣)) ∧ 𝜒) → 𝜓) ⇒ ⊢ ((𝑉𝐺𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑉)) → 𝜑) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | brfi1ind 14456* | Properties of a binary relation with a finite first component, proven by finite induction on the size of the first component. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.) (Revised by AV, 28-Mar-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ Rel 𝐺 & ⊢ 𝐹 ∈ V & ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ 𝑒 = 𝐸) → (𝜓 ↔ 𝜑)) & ⊢ ((𝑣 = 𝑤 ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝜓 ↔ 𝜃)) & ⊢ ((𝑣𝐺𝑒 ∧ 𝑛 ∈ 𝑣) → (𝑣 ∖ {𝑛})𝐺𝐹) & ⊢ ((𝑤 = (𝑣 ∖ {𝑛}) ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝜃 ↔ 𝜒)) & ⊢ ((𝑣𝐺𝑒 ∧ (♯‘𝑣) = 0) → 𝜓) & ⊢ ((((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑣𝐺𝑒 ∧ (♯‘𝑣) = (𝑦 + 1) ∧ 𝑛 ∈ 𝑣)) ∧ 𝜒) → 𝜓) ⇒ ⊢ ((𝑉𝐺𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝜑) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | brfi1indALT 14457* | Alternate proof of brfi1ind 14456, which does not use brfi1uzind 14455. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ Rel 𝐺 & ⊢ 𝐹 ∈ V & ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ 𝑒 = 𝐸) → (𝜓 ↔ 𝜑)) & ⊢ ((𝑣 = 𝑤 ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝜓 ↔ 𝜃)) & ⊢ ((𝑣𝐺𝑒 ∧ 𝑛 ∈ 𝑣) → (𝑣 ∖ {𝑛})𝐺𝐹) & ⊢ ((𝑤 = (𝑣 ∖ {𝑛}) ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝜃 ↔ 𝜒)) & ⊢ ((𝑣𝐺𝑒 ∧ (♯‘𝑣) = 0) → 𝜓) & ⊢ ((((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑣𝐺𝑒 ∧ (♯‘𝑣) = (𝑦 + 1) ∧ 𝑛 ∈ 𝑣)) ∧ 𝜒) → 𝜓) ⇒ ⊢ ((𝑉𝐺𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝜑) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opfi1uzind 14458* | Properties of an ordered pair with a finite first component with at least L elements, proven by finite induction on the size of the first component. This theorem can be applied for graphs (represented as orderd pairs of vertices and edges) with a finite number of vertices, usually with 𝐿 = 0 (see opfi1ind 14459) or 𝐿 = 1. (Contributed by AV, 22-Oct-2020.) (Revised by AV, 28-Mar-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐸 ∈ V & ⊢ 𝐹 ∈ V & ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0 & ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ 𝑒 = 𝐸) → (𝜓 ↔ 𝜑)) & ⊢ ((𝑣 = 𝑤 ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝜓 ↔ 𝜃)) & ⊢ ((〈𝑣, 𝑒〉 ∈ 𝐺 ∧ 𝑛 ∈ 𝑣) → 〈(𝑣 ∖ {𝑛}), 𝐹〉 ∈ 𝐺) & ⊢ ((𝑤 = (𝑣 ∖ {𝑛}) ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝜃 ↔ 𝜒)) & ⊢ ((〈𝑣, 𝑒〉 ∈ 𝐺 ∧ (♯‘𝑣) = 𝐿) → 𝜓) & ⊢ ((((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (〈𝑣, 𝑒〉 ∈ 𝐺 ∧ (♯‘𝑣) = (𝑦 + 1) ∧ 𝑛 ∈ 𝑣)) ∧ 𝜒) → 𝜓) ⇒ ⊢ ((〈𝑉, 𝐸〉 ∈ 𝐺 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑉)) → 𝜑) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | opfi1ind 14459* | Properties of an ordered pair with a finite first component, proven by finite induction on the size of the first component. This theorem can be applied for graphs (represented as orderd pairs of vertices and edges) with a finite number of vertices, e.g., fusgrfis 28567. (Contributed by AV, 22-Oct-2020.) (Revised by AV, 28-Mar-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝐸 ∈ V & ⊢ 𝐹 ∈ V & ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ 𝑒 = 𝐸) → (𝜓 ↔ 𝜑)) & ⊢ ((𝑣 = 𝑤 ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝜓 ↔ 𝜃)) & ⊢ ((〈𝑣, 𝑒〉 ∈ 𝐺 ∧ 𝑛 ∈ 𝑣) → 〈(𝑣 ∖ {𝑛}), 𝐹〉 ∈ 𝐺) & ⊢ ((𝑤 = (𝑣 ∖ {𝑛}) ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝜃 ↔ 𝜒)) & ⊢ ((〈𝑣, 𝑒〉 ∈ 𝐺 ∧ (♯‘𝑣) = 0) → 𝜓) & ⊢ ((((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (〈𝑣, 𝑒〉 ∈ 𝐺 ∧ (♯‘𝑣) = (𝑦 + 1) ∧ 𝑛 ∈ 𝑣)) ∧ 𝜒) → 𝜓) ⇒ ⊢ ((〈𝑉, 𝐸〉 ∈ 𝐺 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝜑) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
This section is about words (or strings) over a set (alphabet) defined as finite sequences of symbols (or characters) being elements of the alphabet. Although it is often required that the underlying set/alphabet be nonempty, finite and not a proper class, these restrictions are not made in the current definition df-word 14461, see, for example, s1cli 14551: 〈“𝐴”〉 ∈ Word V. Note that the empty word ∅ (i.e., the empty set) is the only word over an empty alphabet, see 0wrd0 14486. The set Word 𝑆 of words over 𝑆 is the free monoid over 𝑆, where the monoid law is concatenation and the monoid unit is the empty word. Besides the definition of words themselves, several operations on words are defined in this section:
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Syntax | cword 14460 | Syntax for the Word operator. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
class Word 𝑆 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition | df-word 14461* | Define the class of words over a set. A word (sometimes also called a string) is a finite sequence of symbols from a set (alphabet) 𝑆. Definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. The domain is forced to be an initial segment of ℕ0 so that two words with the same symbols in the same order be equal. The set Word 𝑆 is sometimes denoted by S*, using the Kleene star, although the Kleene star, or Kleene closure, is sometimes reserved to denote an operation on languages. The set Word 𝑆 equipped with concatenation is the free monoid over 𝑆, and the monoid unit is the empty word (see frmdval 18728). (Contributed by FL, 14-Jan-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ Word 𝑆 = {𝑤 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑤:(0..^𝑙)⟶𝑆} | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | iswrd 14462* | Property of being a word over a set with an existential quantifier over the length. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdval 14463* | Value of the set of words over a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 = ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | iswrdi 14464 | A zero-based sequence is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊:(0..^𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdf 14465 | A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | iswrdb 14466 | A word over an alphabet is a function from an open range of nonnegative integers (of length equal to the length of the word) into the alphabet. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Jul-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrddm 14467 | The indices of a word (i.e. its domain regarded as function) are elements of an open range of nonnegative integers (of length equal to the length of the word). (Contributed by AV, 2-May-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | sswrd 14468 | The set of words respects ordering on the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → Word 𝑆 ⊆ Word 𝑇) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | snopiswrd 14469 | A singleton of an ordered pair (with 0 as first component) is a word. (Contributed by AV, 23-Nov-2018.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → {〈0, 𝑆〉} ∈ Word 𝑉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdexg 14470 | The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdexb 14471 | The set of words over a set is a set, bidirectional version. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑆 ∈ V ↔ Word 𝑆 ∈ V) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdexi 14472 | The set of words over a set is a set, inference form. (Contributed by AV, 23-May-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 ∈ V ⇒ ⊢ Word 𝑆 ∈ V | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdsymbcl 14473 | A symbol within a word over an alphabet belongs to the alphabet. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jun-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝐼) ∈ 𝑉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdfn 14474 | A word is a function with a zero-based sequence of integers as domain. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Apr-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdv 14475 | A word over an alphabet is a word over the universal class. (Contributed by AV, 8-Feb-2021.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Word V) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdlndm 14476 | The length of a word is not in the domain of the word (regarded as a function). (Contributed by AV, 3-Mar-2021.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∉ dom 𝑊) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | iswrdsymb 14477* | An arbitrary word is a word over an alphabet if all of its symbols belong to the alphabet. (Contributed by AV, 23-Jan-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑊 ∈ Word V ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdfin 14478 | A word is a finite set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Nov-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | lencl 14479 | The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | lennncl 14480 | The length of a nonempty word is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdffz 14481 | A word is a function from a finite interval of integers. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdeq 14482 | Equality theorem for the set of words. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑆 = 𝑇 → Word 𝑆 = Word 𝑇) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdeqi 14483 | Equality theorem for the set of words, inference form. (Contributed by AV, 23-May-2021.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ 𝑆 = 𝑇 ⇒ ⊢ Word 𝑆 = Word 𝑇 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | iswrddm0 14484 | A function with empty domain is a word. (Contributed by AV, 13-Oct-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊:∅⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrd0 14485 | The empty set is a word (the empty word, frequently denoted ε in this context). This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ∅ ∈ Word 𝑆 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | 0wrd0 14486 | The empty word is the only word over an empty alphabet. (Contributed by AV, 25-Oct-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊 ∈ Word ∅ ↔ 𝑊 = ∅) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | ffz0iswrd 14487 | A sequence with zero-based indices is a word. (Contributed by AV, 31-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 13-Oct-2018.) (Proof shortened by JJ, 18-Nov-2022.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊:(0...𝐿)⟶𝑆 → 𝑊 ∈ Word 𝑆) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdsymb 14488 | A word is a word over the symbols it consists of. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → 𝑆 ∈ Word (𝑆 “ (0..^(♯‘𝑆)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | nfwrd 14489 | Hypothesis builder for Word 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ Ⅎ𝑥𝑆 ⇒ ⊢ Ⅎ𝑥Word 𝑆 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | csbwrdg 14490* | Class substitution for the symbols of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ⦋𝑆 / 𝑥⦌Word 𝑥 = Word 𝑆) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdnval 14491* | Words of a fixed length are mappings from a fixed half-open integer interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉 ↑m (0..^𝑁))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdmap 14492 | Words as a mapping. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ 𝑊 ∈ (𝑉 ↑m (0..^𝑁)))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | hashwrdn 14493* | If there is only a finite number of symbols, the number of words of a fixed length over these sysmbols is the number of these symbols raised to the power of the length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) = ((♯‘𝑉)↑𝑁)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdnfi 14494* | If there is only a finite number of symbols, the number of words of a fixed length over these symbols is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) Remove unnecessary antecedent. (Revised by JJ, 18-Nov-2022.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑉 ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdsymb0 14495 | A symbol at a position "outside" of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → (𝑊‘𝐼) = ∅)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdlenge1n0 14496 | A word with length at least 1 is not empty. (Contributed by AV, 14-Oct-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘𝑊))) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | len0nnbi 14497 | The length of a word is a positive integer iff the word is not empty. (Contributed by AV, 22-Mar-2022.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdlenge2n0 14498 | A word with length at least 2 is not empty. (Contributed by AV, 18-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ≠ ∅) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdsymb1 14499 | The first symbol of a nonempty word over an alphabet belongs to the alphabet. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jun-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem | wrdlen1 14500* | A word of length 1 starts with a symbol. (Contributed by AV, 20-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 19-Oct-2018.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑊‘0) = 𝑣) |
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