Theorem tpfo 14441

Description: A function onto a (proper) triple. (Contributed by AV, 20-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
tpf.t	⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
tpfo	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpfo

Dummy variables 𝑖 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2		tpf.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
3	1, 2	tpf 14440	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)⟶𝑇)
4		eltpi 4648	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝑡 = 𝐴 ∨ 𝑡 = 𝐵 ∨ 𝑡 = 𝐶))
5		3nn 12241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		lbfzo0 13636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ ℕ)
7	5, 6	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 0 ∈ (0..^3))
9		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘0))
10	9	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝐴 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐴 = (𝐹‘0)))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐴 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐴 = (𝐹‘0)))
12	1	tpf1ofv0 14437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹‘0) = 𝐴)
13	12	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 = (𝐹‘0))
14	8, 11, 13	rspcedvd 3587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐴 = (𝐹‘𝑖))
15		eqeq1 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐴 → (𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐴 = (𝐹‘𝑖)))
16	15	rexbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐴 → (∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐴 = (𝐹‘𝑖)))
17	14, 16	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑡 = 𝐴 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
18		1nn0 12434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		1lt3 12330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 3
20		elfzo0 13637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (0..^3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 < 3))
21	18, 5, 19, 20	mpbir3an 1342	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 1 ∈ (0..^3))
23		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘1))
24	23	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐵 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐵 = (𝐹‘1)))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐵 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐵 = (𝐹‘1)))
26	1	tpf1ofv1 14438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹‘1) = 𝐵)
27	26	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (𝐹‘1))
28	22, 25, 27	rspcedvd 3587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐵 = (𝐹‘𝑖))
29		eqeq1 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐵 = (𝐹‘𝑖)))
30	29	rexbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐵 = (𝐹‘𝑖)))
31	28, 30	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑡 = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
32		2nn0 12435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2lt3 12329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
34		elfzo0 13637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ (0..^3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3))
35	32, 5, 33, 34	mpbir3an 1342	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 2 ∈ (0..^3))
37		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘2))
38	37	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝐶 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐶 = (𝐹‘2)))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐶 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐶 = (𝐹‘2)))
40	1	tpf1ofv2 14439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐹‘2) = 𝐶)
41	40	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐹‘2))
42	36, 39, 41	rspcedvd 3587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐶 = (𝐹‘𝑖))
43		eqeq1 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐶 = (𝐹‘𝑖)))
44	43	rexbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐶 = (𝐹‘𝑖)))
45	42, 44	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑡 = 𝐶 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
46	17, 31, 45	3jaao 1435	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑡 = 𝐴 ∨ 𝑡 = 𝐵 ∨ 𝑡 = 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
47	4, 46	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
48	47, 2	eleq2s 2846	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
49	48	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
50	49	ralrimiv 3124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖))
51		dffo3 7056	. 2 ⊢ (𝐹:(0..^3)–onto→𝑇 ↔ (𝐹:(0..^3)⟶𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
52	3, 50, 51	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ifcif 4484  {ctp 4589   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  –onto→wfo 6497  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   < clt 11184  ℕcn 12162  2c2 12217  3c3 12218  ℕ₀cn0 12418  ..^cfzo 13591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592

This theorem is referenced by:  tpf1o  14442