Theorem tpfo 14457

Description: A function onto a (proper) triple. (Contributed by AV, 20-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
tpf.t	⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
tpfo	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpfo

Dummy variables 𝑖 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2		tpf.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
3	1, 2	tpf 14456	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)⟶𝑇)
4		eltpi 4623	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝑡 = 𝐴 ∨ 𝑡 = 𝐵 ∨ 𝑡 = 𝐶))
5		3nn 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		lbfzo0 13649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ ℕ)
7	5, 6	mpbir 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 0 ∈ (0..^3))
9		fveq2 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘0))
10	9	eqeq2d 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝐴 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐴 = (𝐹‘0)))
11	10	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐴 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐴 = (𝐹‘0)))
12	1	tpf1ofv0 14453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹‘0) = 𝐴)
13	12	eqcomd 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 = (𝐹‘0))
14	8, 11, 13	rspcedvd 3564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐴 = (𝐹‘𝑖))
15		eqeq1 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐴 → (𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐴 = (𝐹‘𝑖)))
16	15	rexbidv 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐴 → (∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐴 = (𝐹‘𝑖)))
17	14, 16	syl5ibrcom 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑡 = 𝐴 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
18		1nn0 12448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		1lt3 12344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 3
20		elfzo0 13650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (0..^3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 < 3))
21	18, 5, 19, 20	mpbir3an 1349	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 1 ∈ (0..^3))
23		fveq2 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘1))
24	23	eqeq2d 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐵 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐵 = (𝐹‘1)))
25	24	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐵 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐵 = (𝐹‘1)))
26	1	tpf1ofv1 14454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹‘1) = 𝐵)
27	26	eqcomd 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (𝐹‘1))
28	22, 25, 27	rspcedvd 3564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐵 = (𝐹‘𝑖))
29		eqeq1 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐵 = (𝐹‘𝑖)))
30	29	rexbidv 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐵 = (𝐹‘𝑖)))
31	28, 30	syl5ibrcom 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑡 = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
32		2nn0 12449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2lt3 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
34		elfzo0 13650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ (0..^3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3))
35	32, 5, 33, 34	mpbir3an 1349	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 2 ∈ (0..^3))
37		fveq2 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘2))
38	37	eqeq2d 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝐶 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐶 = (𝐹‘2)))
39	38	adantl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐶 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐶 = (𝐹‘2)))
40	1	tpf1ofv2 14455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐹‘2) = 𝐶)
41	40	eqcomd 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐹‘2))
42	36, 39, 41	rspcedvd 3564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐶 = (𝐹‘𝑖))
43		eqeq1 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐶 = (𝐹‘𝑖)))
44	43	rexbidv 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐶 = (𝐹‘𝑖)))
45	42, 44	syl5ibrcom 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑡 = 𝐶 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
46	17, 31, 45	3jaao 1442	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑡 = 𝐴 ∨ 𝑡 = 𝐵 ∨ 𝑡 = 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
47	4, 46	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
48	47, 2	eleq2s 2859	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
49	48	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
50	49	ralrimiv 3132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖))
51		dffo3 7047	. 2 ⊢ (𝐹:(0..^3)–onto→𝑇 ↔ (𝐹:(0..^3)⟶𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
52	3, 50, 51	sylanbrc 590	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∨ w3o 1092   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  ifcif 4457  {ctp 4562   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  ⟶wf 6485  –onto→wfo 6487  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033  1c1 11034   < clt 11174  ℕcn 12169  2c2 12231  3c3 12232  ℕ₀cn0 12432  ..^cfzo 13603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604

This theorem is referenced by:  tpf1o  14458