Theorem tpfo 14518

Description: A function onto a (proper) triple. (Contributed by AV, 20-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
tpf.t	⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
tpfo	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpfo

Dummy variables 𝑖 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2		tpf.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
3	1, 2	tpf 14517	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)⟶𝑇)
4		eltpi 4664	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝑡 = 𝐴 ∨ 𝑡 = 𝐵 ∨ 𝑡 = 𝐶))
5		3nn 12319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		lbfzo0 13716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ ℕ)
7	5, 6	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 0 ∈ (0..^3))
9		fveq2 6876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘0))
10	9	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝐴 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐴 = (𝐹‘0)))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐴 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐴 = (𝐹‘0)))
12	1	tpf1ofv0 14514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹‘0) = 𝐴)
13	12	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 = (𝐹‘0))
14	8, 11, 13	rspcedvd 3603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐴 = (𝐹‘𝑖))
15		eqeq1 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐴 → (𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐴 = (𝐹‘𝑖)))
16	15	rexbidv 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐴 → (∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐴 = (𝐹‘𝑖)))
17	14, 16	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑡 = 𝐴 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
18		1nn0 12517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		1lt3 12413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 3
20		elfzo0 13717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (0..^3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 < 3))
21	18, 5, 19, 20	mpbir3an 1342	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 1 ∈ (0..^3))
23		fveq2 6876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘1))
24	23	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐵 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐵 = (𝐹‘1)))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐵 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐵 = (𝐹‘1)))
26	1	tpf1ofv1 14515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹‘1) = 𝐵)
27	26	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (𝐹‘1))
28	22, 25, 27	rspcedvd 3603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐵 = (𝐹‘𝑖))
29		eqeq1 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐵 = (𝐹‘𝑖)))
30	29	rexbidv 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐵 = (𝐹‘𝑖)))
31	28, 30	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑡 = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
32		2nn0 12518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2lt3 12412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
34		elfzo0 13717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ (0..^3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3))
35	32, 5, 33, 34	mpbir3an 1342	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 2 ∈ (0..^3))
37		fveq2 6876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘2))
38	37	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝐶 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐶 = (𝐹‘2)))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐶 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐶 = (𝐹‘2)))
40	1	tpf1ofv2 14516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐹‘2) = 𝐶)
41	40	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐹‘2))
42	36, 39, 41	rspcedvd 3603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐶 = (𝐹‘𝑖))
43		eqeq1 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐶 = (𝐹‘𝑖)))
44	43	rexbidv 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐶 = (𝐹‘𝑖)))
45	42, 44	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑡 = 𝐶 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
46	17, 31, 45	3jaao 1435	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑡 = 𝐴 ∨ 𝑡 = 𝐵 ∨ 𝑡 = 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
47	4, 46	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
48	47, 2	eleq2s 2852	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
49	48	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
50	49	ralrimiv 3131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖))
51		dffo3 7092	. 2 ⊢ (𝐹:(0..^3)–onto→𝑇 ↔ (𝐹:(0..^3)⟶𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
52	3, 50, 51	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ifcif 4500  {ctp 4605   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ⟶wf 6527  –onto→wfo 6529  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   < clt 11269  ℕcn 12240  2c2 12295  3c3 12296  ℕ₀cn0 12501  ..^cfzo 13671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672

This theorem is referenced by:  tpf1o  14519