Theorem tpfo 14421

Description: A function onto a (proper) triple. (Contributed by AV, 20-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
tpf.t	⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
tpfo	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpfo

Dummy variables 𝑖 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2		tpf.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
3	1, 2	tpf 14420	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)⟶𝑇)
4		eltpi 4643	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝑡 = 𝐴 ∨ 𝑡 = 𝐵 ∨ 𝑡 = 𝐶))
5		3nn 12222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		lbfzo0 13613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ ℕ)
7	5, 6	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 0 ∈ (0..^3))
9		fveq2 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘0))
10	9	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝐴 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐴 = (𝐹‘0)))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐴 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐴 = (𝐹‘0)))
12	1	tpf1ofv0 14417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹‘0) = 𝐴)
13	12	eqcomd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 = (𝐹‘0))
14	8, 11, 13	rspcedvd 3576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐴 = (𝐹‘𝑖))
15		eqeq1 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐴 → (𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐴 = (𝐹‘𝑖)))
16	15	rexbidv 3158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐴 → (∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐴 = (𝐹‘𝑖)))
17	14, 16	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑡 = 𝐴 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
18		1nn0 12415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		1lt3 12311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 3
20		elfzo0 13614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (0..^3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 < 3))
21	18, 5, 19, 20	mpbir3an 1342	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 1 ∈ (0..^3))
23		fveq2 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘1))
24	23	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐵 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐵 = (𝐹‘1)))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐵 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐵 = (𝐹‘1)))
26	1	tpf1ofv1 14418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹‘1) = 𝐵)
27	26	eqcomd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (𝐹‘1))
28	22, 25, 27	rspcedvd 3576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐵 = (𝐹‘𝑖))
29		eqeq1 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐵 = (𝐹‘𝑖)))
30	29	rexbidv 3158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐵 = (𝐹‘𝑖)))
31	28, 30	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑡 = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
32		2nn0 12416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2lt3 12310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
34		elfzo0 13614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ (0..^3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3))
35	32, 5, 33, 34	mpbir3an 1342	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 2 ∈ (0..^3))
37		fveq2 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘2))
38	37	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝐶 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐶 = (𝐹‘2)))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐶 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐶 = (𝐹‘2)))
40	1	tpf1ofv2 14419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐹‘2) = 𝐶)
41	40	eqcomd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐹‘2))
42	36, 39, 41	rspcedvd 3576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐶 = (𝐹‘𝑖))
43		eqeq1 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐶 = (𝐹‘𝑖)))
44	43	rexbidv 3158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐶 = (𝐹‘𝑖)))
45	42, 44	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑡 = 𝐶 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
46	17, 31, 45	3jaao 1435	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑡 = 𝐴 ∨ 𝑡 = 𝐵 ∨ 𝑡 = 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
47	4, 46	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
48	47, 2	eleq2s 2852	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
49	48	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
50	49	ralrimiv 3125	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖))
51		dffo3 7045	. 2 ⊢ (𝐹:(0..^3)–onto→𝑇 ↔ (𝐹:(0..^3)⟶𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
52	3, 50, 51	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)–onto→𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  ifcif 4477  {ctp 4582   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ⟶wf 6486  –onto→wfo 6488  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025   < clt 11164  ℕcn 12143  2c2 12198  3c3 12199  ℕ₀cn0 12399  ..^cfzo 13568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569

This theorem is referenced by:  tpf1o  14422