Theorem tpfo 14669

Description: A function onto a (proper) triple. (Contributed by AV, 20-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
tpf.t	⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
tpfo	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)⟶onto𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpfo

Dummy variables 𝑖 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2		tpf.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
3	1, 2	tpf 14668	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)⟶𝑇)
4		eltpi 4649	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → (𝑡 = 𝐴 ∨ 𝑡 = 𝐵 ∨ 𝑡 = 𝐶))
5		3nn 12446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		lbfzo0 13858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ ℕ)
7	5, 6	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 0 ∈ (0..^3))
9		fveq2 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘0))
10	9	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝐴 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐴 = (𝐹‘0)))
11	10	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 0) → (𝐴 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐴 = (𝐹‘0)))
12	1	tpf1ofv0 14665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹‘0) = 𝐴)
13	12	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 = (𝐹‘0))
14	8, 11, 13	rspcedvd 3582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐴 = (𝐹‘𝑖))
15		eqeq1 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐴 → (𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐴 = (𝐹‘𝑖)))
16	15	rexbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐴 → (∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐴 = (𝐹‘𝑖)))
17	14, 16	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑡 = 𝐴 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
18		1nn0 12646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		1lt3 12542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 3
20		elfzo0 13859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (0..^3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 < 3))
21	18, 5, 19, 20	mpbir3an 1360	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 1 ∈ (0..^3))
23		fveq2 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘1))
24	23	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐵 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐵 = (𝐹‘1)))
25	24	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐵 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐵 = (𝐹‘1)))
26	1	tpf1ofv1 14666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹‘1) = 𝐵)
27	26	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (𝐹‘1))
28	22, 25, 27	rspcedvd 3582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐵 = (𝐹‘𝑖))
29		eqeq1 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐵 = (𝐹‘𝑖)))
30	29	rexbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐵 = (𝐹‘𝑖)))
31	28, 30	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑡 = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
32		2nn0 12647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2lt3 12540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
34		elfzo0 13859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ (0..^3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3))
35	32, 5, 33, 34	mpbir3an 1360	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 2 ∈ (0..^3))
37		fveq2 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘2))
38	37	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝐶 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐶 = (𝐹‘2)))
39	38	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = 2) → (𝐶 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐶 = (𝐹‘2)))
40	1	tpf1ofv2 14667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐹‘2) = 𝐶)
41	40	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐹‘2))
42	36, 39, 41	rspcedvd 3582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐶 = (𝐹‘𝑖))
43		eqeq1 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ 𝐶 = (𝐹‘𝑖)))
44	43	rexbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝐶 → (∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝐶 = (𝐹‘𝑖)))
45	42, 44	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑡 = 𝐶 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
46	17, 31, 45	3jaao 1461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑡 = 𝐴 ∨ 𝑡 = 𝐵 ∨ 𝑡 = 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
47	4, 46	syl5com 32	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
48	47, 2	eleq2s 2882	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
49	48	com12 33	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
50	49	ralrimiv 3157	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖))
51		dffo3 7123	. 2 ⊢ (𝐹:(0..^3)⟶onto𝑇 ↔ (𝐹:(0..^3)⟶𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑖 ∈ (0..^3)𝑡 = (𝐹‘𝑖)))
52	3, 50, 51	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐹:(0..^3)⟶onto𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ifcif 4485  {ctp 4592   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ⟶wf 6551  ⟶ontowfo 6553  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225   < clt 11367  ℕcn 12359  2c2 12421  3c3 12422  ℕ₀cn0 12630  ..^cfzo 13812

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813

This theorem is used by:  tpf1o  14670