Theorem tpf1ofv2 14458

Description: The value of a one-to-one function onto a triple at 2. (Contributed by AV, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
tpf1ofv2	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐹‘2) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpf1ofv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶))))
3		2ne0 12283	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
4	3	neii 2937	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 0
5		eqeq1 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 = 0 ↔ 2 = 0))
6	4, 5	mtbiri 328	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → ¬ 𝑥 = 0)
7	6	iffalsed 4472	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶))
8		1re 11142	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		1lt2 12345	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
10	8, 9	gtneii 11256	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 1
11	10	neii 2937	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 1
12		eqeq1 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 = 1 ↔ 2 = 1))
13	11, 12	mtbiri 328	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → ¬ 𝑥 = 1)
14	13	iffalsed 4472	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
15	7, 14	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = 𝐶)
16	15	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 = 2) → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = 𝐶)
17		2nn0 12452	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18		3nn 12258	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
19		2lt3 12346	. . . 4 ⊢ 2 < 3
20		elfzo0 13653	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0..^3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3))
21	17, 18, 19, 20	mpbir3an 1348	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 2 ∈ (0..^3))
23		id 22	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ 𝑉)
24	2, 16, 22, 23	fvmptd 6950	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐹‘2) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ifcif 4461   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   < clt 11177  ℕcn 12172  2c2 12234  3c3 12235  ℕ₀cn0 12435  ..^cfzo 13606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607

This theorem is referenced by:  tpfo  14460  isgrtri  48435