Theorem tpf1ofv2 14516

Description: The value of a one-to-one function onto a triple at 2. (Contributed by AV, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
tpf1ofv2	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐹‘2) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpf1ofv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶))))
3		2ne0 12344	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
4	3	neii 2934	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 0
5		eqeq1 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 = 0 ↔ 2 = 0))
6	4, 5	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → ¬ 𝑥 = 0)
7	6	iffalsed 4511	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶))
8		1re 11235	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		1lt2 12411	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
10	8, 9	gtneii 11347	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 1
11	10	neii 2934	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 1
12		eqeq1 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 = 1 ↔ 2 = 1))
13	11, 12	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → ¬ 𝑥 = 1)
14	13	iffalsed 4511	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
15	7, 14	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = 𝐶)
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 = 2) → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = 𝐶)
17		2nn0 12518	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18		3nn 12319	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
19		2lt3 12412	. . . 4 ⊢ 2 < 3
20		elfzo0 13717	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0..^3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3))
21	17, 18, 19, 20	mpbir3an 1342	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 2 ∈ (0..^3))
23		id 22	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ 𝑉)
24	2, 16, 22, 23	fvmptd 6993	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐹‘2) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4500   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   < clt 11269  ℕcn 12240  2c2 12295  3c3 12296  ℕ₀cn0 12501  ..^cfzo 13671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672

This theorem is referenced by:  tpfo  14518  isgrtri  47955