Theorem tpf1ofv2 14425

Description: The value of a one-to-one function onto a triple at 2. (Contributed by AV, 20-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
tpf1ofv2	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐹‘2) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tpf1ofv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpf1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^3) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶))))
3		2ne0 12253	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
4	3	neii 2935	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 0
5		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 = 0 ↔ 2 = 0))
6	4, 5	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → ¬ 𝑥 = 0)
7	6	iffalsed 4491	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶))
8		1re 11136	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
9		1lt2 12315	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
10	8, 9	gtneii 11249	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 1
11	10	neii 2935	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 1
12		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 = 1 ↔ 2 = 1))
13	11, 12	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → ¬ 𝑥 = 1)
14	13	iffalsed 4491	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
15	7, 14	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑥 = 2 → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = 𝐶)
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 = 2) → if(𝑥 = 0, 𝐴, if(𝑥 = 1, 𝐵, 𝐶)) = 𝐶)
17		2nn0 12422	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18		3nn 12228	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
19		2lt3 12316	. . . 4 ⊢ 2 < 3
20		elfzo0 13620	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0..^3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3))
21	17, 18, 19, 20	mpbir3an 1343	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 2 ∈ (0..^3))
23		id 22	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ 𝑉)
24	2, 16, 22, 23	fvmptd 6950	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐹‘2) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4480   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031   < clt 11170  ℕcn 12149  2c2 12204  3c3 12205  ℕ₀cn0 12405  ..^cfzo 13574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575

This theorem is referenced by:  tpfo  14427  isgrtri  48225