Theorem trclfvg 14950

Description: The value of the transitive closure of a relation is a superset or (for proper classes) the empty set. (Contributed by RP, 8-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvg	⊢ (𝑅 ⊆ (t+‘𝑅) ∨ (t+‘𝑅) = ∅)

Proof of Theorem trclfvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmid 895	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V ∨ ¬ 𝑅 ∈ V)
2		trclfvlb 14943	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 ⊆ (t+‘𝑅))
3		fvprc 6834	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = ∅)
4	2, 3	orim12i 909	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∨ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝑅 ⊆ (t+‘𝑅) ∨ (t+‘𝑅) = ∅))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑅 ⊆ (t+‘𝑅) ∨ (t+‘𝑅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ‘cfv 6500  t+ctcl 14920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-trcl 14922

This theorem is referenced by: (None)