Theorem trclfvg 15040

Description: The value of the transitive closure of a relation is a superset or (for proper classes) the empty set. (Contributed by RP, 8-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvg	⊢ (𝑅 ⊆ (t+‘𝑅) ∨ (t+‘𝑅) = ∅)

Proof of Theorem trclfvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmid 907	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V ∨ ¬ 𝑅 ∈ V)
2		trclfvlb 15033	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 ⊆ (t+‘𝑅))
3		fvprc 6863	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = ∅)
4	2, 3	orim12i 921	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∨ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝑅 ⊆ (t+‘𝑅) ∨ (t+‘𝑅) = ∅))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑅 ⊆ (t+‘𝑅) ∨ (t+‘𝑅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  ‘cfv 6525  t+ctcl 15010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-trcl 15012

This theorem is referenced by: (None)