Theorem trclfvg 14909

Description: The value of the transitive closure of a relation is a superset or (for proper classes) the empty set. (Contributed by RP, 8-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvg	⊢ (𝑅 ⊆ (t+‘𝑅) ∨ (t+‘𝑅) = ∅)

Proof of Theorem trclfvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmid 894	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V ∨ ¬ 𝑅 ∈ V)
2		trclfvlb 14902	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 ⊆ (t+‘𝑅))
3		fvprc 6808	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = ∅)
4	2, 3	orim12i 908	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∨ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝑅 ⊆ (t+‘𝑅) ∨ (t+‘𝑅) = ∅))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑅 ⊆ (t+‘𝑅) ∨ (t+‘𝑅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3433   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  ‘cfv 6476  t+ctcl 14879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3393  df-v 3435  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-id 5508  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fv 6484  df-trcl 14881

This theorem is referenced by: (None)