Theorem trclfvg 15054

Description: The value of the transitive closure of a relation is a superset or (for proper classes) the empty set. (Contributed by RP, 8-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvg	⊢ (𝑅 ⊆ (t+‘𝑅) ∨ (t+‘𝑅) = ∅)

Proof of Theorem trclfvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmid 895	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V ∨ ¬ 𝑅 ∈ V)
2		trclfvlb 15047	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 ⊆ (t+‘𝑅))
3		fvprc 6898	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = ∅)
4	2, 3	orim12i 909	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∨ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝑅 ⊆ (t+‘𝑅) ∨ (t+‘𝑅) = ∅))
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑅 ⊆ (t+‘𝑅) ∨ (t+‘𝑅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ‘cfv 6561  t+ctcl 15024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-trcl 15026

This theorem is referenced by: (None)