Theorem trclfvcotrg 15169

Description: The value of the transitive closure of a relation is always a transitive relation. (Contributed by RP, 8-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvcotrg	⊢ ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅)

Proof of Theorem trclfvcotrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trclfvcotr 15162	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅))
2		fvprc 6877	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = ∅)
3		0trrel 15134	. . . . 5 ⊢ (∅ ∘ ∅) ⊆ ∅
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((t+‘𝑅) = ∅ → (∅ ∘ ∅) ⊆ ∅)
5		id 23	. . . . 5 ⊢ ((t+‘𝑅) = ∅ → (t+‘𝑅) = ∅)
6	5, 5	coeq12d 5842	. . . 4 ⊢ ((t+‘𝑅) = ∅ → ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) = (∅ ∘ ∅))
7	4, 6, 5	3sstr4d 3986	. . 3 ⊢ ((t+‘𝑅) = ∅ → ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅))
8	2, 7	syl 18	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅))
9	1, 8	pm2.61i 184	1 ⊢ ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6538  t+ctcl 15138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-trcl 15140

This theorem is used by:  cotrcltrcl  44724  brtrclfv2  44726  frege96d  44748  frege97d  44751  frege98d  44752  frege109d  44756  frege131d  44763