Theorem trclfvcotrg 14969

Description: The value of the transitive closure of a relation is always a transitive relation. (Contributed by RP, 8-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvcotrg	⊢ ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅)

Proof of Theorem trclfvcotrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trclfvcotr 14962	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅))
2		fvprc 6819	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = ∅)
3		0trrel 14934	. . . . 5 ⊢ (∅ ∘ ∅) ⊆ ∅
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((t+‘𝑅) = ∅ → (∅ ∘ ∅) ⊆ ∅)
5		id 22	. . . . 5 ⊢ ((t+‘𝑅) = ∅ → (t+‘𝑅) = ∅)
6	5, 5	coeq12d 5806	. . . 4 ⊢ ((t+‘𝑅) = ∅ → ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) = (∅ ∘ ∅))
7	4, 6, 5	3sstr4d 3970	. . 3 ⊢ ((t+‘𝑅) = ∅ → ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅))
8	2, 7	syl 17	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅))
9	1, 8	pm2.61i 183	1 ⊢ ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261   ∘ ccom 5622  ‘cfv 6485  t+ctcl 14938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-trcl 14940

This theorem is referenced by:  cotrcltrcl  44169  brtrclfv2  44171  frege96d  44193  frege97d  44196  frege98d  44197  frege109d  44201  frege131d  44208