Theorem trclfvcotrg 14923

Description: The value of the transitive closure of a relation is always a transitive relation. (Contributed by RP, 8-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvcotrg	⊢ ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅)

Proof of Theorem trclfvcotrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trclfvcotr 14916	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅))
2		fvprc 6814	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = ∅)
3		0trrel 14888	. . . . 5 ⊢ (∅ ∘ ∅) ⊆ ∅
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((t+‘𝑅) = ∅ → (∅ ∘ ∅) ⊆ ∅)
5		id 22	. . . . 5 ⊢ ((t+‘𝑅) = ∅ → (t+‘𝑅) = ∅)
6	5, 5	coeq12d 5803	. . . 4 ⊢ ((t+‘𝑅) = ∅ → ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) = (∅ ∘ ∅))
7	4, 6, 5	3sstr4d 3985	. . 3 ⊢ ((t+‘𝑅) = ∅ → ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅))
8	2, 7	syl 17	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅))
9	1, 8	pm2.61i 182	1 ⊢ ((t+‘𝑅) ∘ (t+‘𝑅)) ⊆ (t+‘𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280   ∘ ccom 5618  ‘cfv 6481  t+ctcl 14892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-trcl 14894

This theorem is referenced by:  cotrcltrcl  43766  brtrclfv2  43768  frege96d  43790  frege97d  43793  frege98d  43794  frege109d  43798  frege131d  43805