Theorem trclfvlb 14719

Description: The transitive closure of a relation has a lower bound. (Contributed by RP, 28-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvlb	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ⊆ (t+‘𝑅))

Proof of Theorem trclfvlb

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssmin 4898	. 2 ⊢ 𝑅 ⊆ ∩ {𝑟 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)}
2		trclfv 14711	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (t+‘𝑅) = ∩ {𝑟 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)})
3	1, 2	sseqtrrid 3974	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ⊆ (t+‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ⊆ wss 3887  ∩ cint 4879   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  t+ctcl 14696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-trcl 14698

This theorem is referenced by:  trclfvlb2  14721  trclfvlb3  14722  cotrtrclfv  14723  trclfvg  14726  dmtrclfv  14729  rntrclfvOAI  40513  brtrclfv2  41335  frege96d  41357  frege91d  41359  frege97d  41360  frege109d  41365  frege131d  41372