Theorem trclfvlb 14917

Description: The transitive closure of a relation has a lower bound. (Contributed by RP, 28-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvlb	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ⊆ (t+‘𝑅))

Proof of Theorem trclfvlb

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssmin 4917	. 2 ⊢ 𝑅 ⊆ ∩ {𝑟 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)}
2		trclfv 14909	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (t+‘𝑅) = ∩ {𝑟 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)})
3	1, 2	sseqtrrid 3974	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ⊆ (t+‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  {cab 2711   ⊆ wss 3898  ∩ cint 4897   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6486  t+ctcl 14894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-trcl 14896

This theorem is referenced by:  trclfvlb2  14919  trclfvlb3  14920  cotrtrclfv  14921  trclfvg  14924  dmtrclfv  14927  rntrclfvOAI  42808  brtrclfv2  43844  frege96d  43866  frege91d  43868  frege97d  43869  frege109d  43874  frege131d  43881