Theorem trclfvlb 15161

Description: The transitive closure of a relation has a lower bound. (Contributed by RP, 28-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvlb	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ⊆ (t+‘𝑅))

Proof of Theorem trclfvlb

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssmin 4926	. 2 ⊢ 𝑅 ⊆ ∩ {𝑟 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)}
2		trclfv 15153	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (t+‘𝑅) = ∩ {𝑟 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)})
3	1, 2	sseqtrrid 3951	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ⊆ (t+‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  {cab 2738   ⊆ wss 3895  ∩ cint 4906   ∘ ccom 5654  ‘cfv 6538  t+ctcl 15138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-trcl 15140

This theorem is used by:  trclfvlb2  15163  trclfvlb3  15164  cotrtrclfv  15165  trclfvg  15168  dmtrclfv  15171  rntrclfvOAI  43702  brtrclfv2  44727  frege96d  44749  frege91d  44751  frege97d  44752  frege109d  44757  frege131d  44764