Theorem trclfvlb 15187

Description: The transitive closure of a relation has a lower bound. (Contributed by RP, 28-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvlb	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ⊆ (t+‘𝑅))

Proof of Theorem trclfvlb

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssmin 4930	. 2 ⊢ 𝑅 ⊆ ∩ {𝑟 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)}
2		trclfv 15179	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (t+‘𝑅) = ∩ {𝑟 ∣ (𝑅 ⊆ 𝑟 ∧ (𝑟 ∘ 𝑟) ⊆ 𝑟)})
3	1, 2	sseqtrrid 3956	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ⊆ (t+‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  {cab 2741   ⊆ wss 3900  ∩ cint 4910   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6555  t+ctcl 15164

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fv 6563  df-trcl 15166

This theorem is used by:  trclfvlb2  15189  trclfvlb3  15190  cotrtrclfv  15191  trclfvg  15194  dmtrclfv  15197  rntrclfvOAI  43893  brtrclfv2  44917  frege96d  44939  frege91d  44941  frege97d  44942  frege109d  44947  frege131d  44954