| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | idn2 44633 | . . . . . . 7
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ,   (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴)   ▶   (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴)   ) | 
| 2 |  | simpl 482 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝑦) | 
| 3 | 1, 2 | e2 44651 | . . . . . 6
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ,   (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴)   ▶   𝑧 ∈ 𝑦   ) | 
| 4 |  | idn3 44635 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ,   (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴)   ,   𝑞 ∈ 𝐴   ▶   𝑞 ∈ 𝐴   ) | 
| 5 |  | idn1 44594 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ▶   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ) | 
| 6 |  | rspsbc 3879 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥 → [𝑞 / 𝑥]Tr 𝑥)) | 
| 7 | 4, 5, 6 | e31 44771 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ,   (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴)   ,   𝑞 ∈ 𝐴   ▶   [𝑞 / 𝑥]Tr 𝑥   ) | 
| 8 |  | trsbc 44560 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → ([𝑞 / 𝑥]Tr 𝑥 ↔ Tr 𝑞)) | 
| 9 | 8 | biimpd 229 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → ([𝑞 / 𝑥]Tr 𝑥 → Tr 𝑞)) | 
| 10 | 4, 7, 9 | e33 44754 | . . . . . . . . . 10
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ,   (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴)   ,   𝑞 ∈ 𝐴   ▶   Tr 𝑞   ) | 
| 11 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) | 
| 12 | 1, 11 | e2 44651 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ,   (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴)   ▶   𝑦 ∈ ∩ 𝐴   ) | 
| 13 |  | elintg 4954 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝐴
→ (𝑦 ∈ ∩ 𝐴
↔ ∀𝑞 ∈
𝐴 𝑦 ∈ 𝑞)) | 
| 14 | 13 | ibi 267 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝐴
→ ∀𝑞 ∈
𝐴 𝑦 ∈ 𝑞) | 
| 15 | 12, 14 | e2 44651 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ,   (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴)   ▶   ∀𝑞 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝑞   ) | 
| 16 |  | rsp 3247 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(∀𝑞 ∈
𝐴 𝑦 ∈ 𝑞 → (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝑞)) | 
| 17 | 15, 16 | e2 44651 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ,   (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴)   ▶   (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝑞)   ) | 
| 18 |  | pm2.27 42 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝑞) → 𝑦 ∈ 𝑞)) | 
| 19 | 4, 17, 18 | e32 44778 | . . . . . . . . . 10
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ,   (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴)   ,   𝑞 ∈ 𝐴   ▶   𝑦 ∈ 𝑞   ) | 
| 20 |  | trel 5268 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (Tr 𝑞 → ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑞) → 𝑧 ∈ 𝑞)) | 
| 21 | 20 | expd 415 | . . . . . . . . . 10
⊢ (Tr 𝑞 → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑞 → 𝑧 ∈ 𝑞))) | 
| 22 | 10, 3, 19, 21 | e323 44786 | . . . . . . . . 9
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ,   (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴)   ,   𝑞 ∈ 𝐴   ▶   𝑧 ∈ 𝑞   ) | 
| 23 | 22 | in3 44629 | . . . . . . . 8
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ,   (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴)   ▶   (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝑞)   ) | 
| 24 | 23 | gen21 44639 | . . . . . . 7
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ,   (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴)   ▶   ∀𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝑞)   ) | 
| 25 |  | df-ral 3062 | . . . . . . . 8
⊢
(∀𝑞 ∈
𝐴 𝑧 ∈ 𝑞 ↔ ∀𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝑞)) | 
| 26 | 25 | biimpri 228 | . . . . . . 7
⊢
(∀𝑞(𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝑞) → ∀𝑞 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑞) | 
| 27 | 24, 26 | e2 44651 | . . . . . 6
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ,   (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴)   ▶   ∀𝑞 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑞   ) | 
| 28 |  | elintg 4954 | . . . . . . 7
⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝑧 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑞)) | 
| 29 | 28 | biimprd 248 | . . . . . 6
⊢ (𝑧 ∈ 𝑦 → (∀𝑞 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑞 → 𝑧 ∈ ∩ 𝐴)) | 
| 30 | 3, 27, 29 | e22 44691 | . . . . 5
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ,   (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴)   ▶   𝑧 ∈ ∩ 𝐴   ) | 
| 31 | 30 | in2 44625 | . . . 4
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ▶   ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ ∩ 𝐴)   ) | 
| 32 | 31 | gen12 44638 | . . 3
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ▶   ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ ∩ 𝐴)   ) | 
| 33 |  | dftr2 5261 | . . . 4
⊢ (Tr ∩ 𝐴
↔ ∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ ∩ 𝐴)) | 
| 34 | 33 | biimpri 228 | . . 3
⊢
(∀𝑧∀𝑦((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → Tr ∩ 𝐴) | 
| 35 | 32, 34 | e1a 44647 | . 2
⊢ (   ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥   ▶   Tr ∩ 𝐴   ) | 
| 36 | 35 | in1 44591 | 1
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 Tr 𝑥 → Tr ∩ 𝐴) |